导学案(31)第四章45相似三角形判定定理的证明

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4.5 相似三角形判定定理的证明(分层练习)(解析版)

第四章图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明精选练习一、单选题1．（2022·全国·九年级课时练习）ABC V 和A B C ¢¢¢V 符合下列条件，其中使ABC V 与A B C ¢¢¢V 不相似的是（）A ．45A A ¢Ð=Ð=°，26B Ð=°，109B ¢Ð=°B ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，12A B ¢¢=，8A C ¢¢=，16B C ¢¢=C ．A B ¢Ð=Ð， 1.5AB =，1514AC =，32A B ¢¢=， 2.1B C ¢¢=D ．BC a =，AC b =，AB c =，B C ¢¢=A C ¢¢=A B ¢¢=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．V斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，CD是Rt ABCA．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△AC B．故选D．【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．3．（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．【详解】解：（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．正确的个数有3个；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学八年级期中）如图，在ABC V 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：ACP B Ð=Ð①；APC ACB Ð=Ð②；2AC AP AB =×③；AB CP AP CB ×=×④，能满足APC V 与ACB V 相似的条件是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当ACP B Ð=Ð，A A Ð=ÐQ ，所以APC V ∽ACB V ,故条件①能判定相似，符合题意；当APC ACB Ð=Ð，A A Ð=ÐQ ，所以APC V ∽ACB V ，故条件②能判定相似，符合题意；当2AC AP AB =×，即AC ：AB AP =：AC ，因为A AÐ=Ð所以APC V ∽ACB V ，故条件③能判定相似，符合题意；当AB CP AP CB ×=×，即PC ：BC AP =：AB ，而PAC CAB Ð=Ð，所以条件④不能判断APC V 和ACB V 相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.5．下列各组图形必相似的是（）A ．任意两个等腰三角形B ．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形C ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形D ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.【详解】A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.故本题选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键.6．（2022·河北唐山·九年级期末）图中四个阴影的三角形中与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．（ΔABC 与△DEF 中，65A Ð=°，42B Ð=°，65D Ð=°，73F Ð=°，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC ________【答案】相似【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可.【详解】∵65A Ð=°，42B Ð=°，∴∠C =180°-65°-42°=73°.∵65D Ð=°，73F Ð=°，∴∠A =∠D, ∠C =∠F,∴△DEF 与△ABC 相似.故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知，90ACB ADC Ð=Ð=o ，3BC =，4AC =，要使ABC ACD V V ∽，只要CD =________．9．如图所示，D ，E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE 与BC 不平行，当满足________条件时，有△ABC ∽△AE D ．10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，8AB =，50A Ð=゜，''4A B =，''3A C =．当AC =________，'A Ð=________时，'''ABC A B C V V ∽．三、解答题11．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′．求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．【答案】证明见解析【分析】在△ABC 的边AB 上截取AD =A ′B ′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，可证△ADE ∽△ABC ；再证△ADE ≌△A ′B ′C ′即可．【详解】证明：在△ABC 的边AB 上截取AD =A ′B ′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE =∠B ，△ADE ∽△AB C ．∵∠A =∠A ′，∠ADE =∠B =∠B ′，AD =A ′B ′，∴△ADE ≌△A ′B ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明．12．（2021·全国·九年级课时练习）已知：如图，在ABC V 和A B C ¢¢¢V 中，,AB AC A A A B A C Ð=Ð¢=¢¢¢¢．求证：ABC A B C ¢¢¢∽△△．一、填空题1．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学九年级阶段练习）ABC D 中，10AB =，6AC =，点D 在AC 上，且3AD =，若要在AB 上找一个点E ，使ADE D 与ABC D 相似，则AE =__．2．已知△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A ＝70°时，∠B ＝34°，∠D ＝70°，则当∠F ＝_____时，△ABC ∽△DEF ．【答案】76°【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【详解】∵△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A =70°时，∠B =34°，∠D =70°，∴∠B =∠E =34°，∴∠C =∠F =76°，故答案为76°【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．3．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在ABCD Y 中，点E 在AB 上，CE BD ，交于点F ，若:4:3AE BE =，且2BF =，则DF =_________．4．如图，在△AB C中，点P在AB上，下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件有______________.【答案】①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【详解】①、当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；②、当∠APC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；③、当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∵∠A=∠A∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；④、∵当AB•CP=AP•CB，即PC：BC=AP：AB，而∠PAC=∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；故答案为①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5．如图所示，在△AB C中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？情况讨论，避免漏解而导致出错．二、解答题6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，123Ð=Ð=Ð，求证：ABC D 与ADE D 相似.【答案】证明见解析【分析】两个三角形的若是有两组角相等，那么这两个三角形是相似三角形．根据题意可分别求出两组角相等，从而知道△ABC 与△ADE 相似．【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ，即∠BAC =∠DAE ，又∵在△AHE 和△DH C 中，∠2=∠3，∠AHE =∠DHC∴∠C =∠E ，在△ABC 和△ADE 中∵∠E =∠C ，∠BAC =∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两个三角形的两组角对应相等，那么这两个个三角形互为相似三角形．7．（2022·甘肃酒泉·九年级期末）如图，在△AB C 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．8．如图已知，在△AB C中，CD⊥AB，BE⊥AC，BE交CD于点O，求证：△ABE∽△OCE.【答案】证明见解析.【分析】要证明△ABE∽△OCE，需先找对证明两三角形相似的条件，根据已知条件找出即可证明.【详解】Q CD⊥AB，BE⊥AC，\∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，\∠ABE＝∠OCE.又Q∠AEB＝∠OEC，\△ABE∽△OCE.【点睛】此题重点考察学生对证明两三角形相似的理解，熟练两三角形相似的证明方法是解题的关键.。

相似三角形的判定SAS定理概述

SAS定理的扩展和推广
定理的推广
推广到多边形
将SAS定理从三角形推广到多边形，需要寻找多边形中对应顶点之间的角和边的关系，以判断两个多边形是否相似。
推广到高维空间
在高维空间中，可以定义高维几何对象之间的相似性，并利用SAS定理的思路进行判定。
定理的证明推广
证明方法的改进
对SAS定理的证明方法进行改进，可以更深入地理解定理的本质，并发现新的应用领域。
在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要使用相似三角形判定定理来证明几何定理或解决几何问题。
代数与三角函数
在数学竞赛中，有时需要使用相似三角形判定定理来求解代数或三角函数问题。
在科学研究和工程中的应用
物理学
在物理学中，相似三角形判定定理常用于研究力学、光学等领域的问题。
地理学
在地理学中，相似三角形判定定理常用于研究地球的形状、大小等问题。
判定多边形相似
对应角相等
如果两个多边形的对应角相等，则这两个多边形相似。
对应边成比例
如果两个多边形的对应边成比例，则这两个多边形相似。
在几何图形中的应用
01
02
03
确定相似图形
通过SAS定理，我们可以确定哪些图形是相似的，这对于解决几何问题非常重要。
计算面积和周长
通过相似图形的性质，我们可以计算图形的面积和周长。
解决实际问题
在解决实际问题时，如建筑设计、地图绘制等，我们经常需要使用相似图形的概念。
03
SAS定理与其他相似三角形判定定理的关系
SAS定理定义
总结词
SAS定理是相似三角形判定定理的一种，即如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则这两个三角形相似。

北师大版九年级数学上册第4章相似三角形判定定理的证明

证明: (1)∵D,F关于直线AE 对称,
∴易得 AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∵ = , = , ∴
∴ ∼ .

=

,

例 4: 在△ABC中,AB=AC,点 D,E在BC 边上,∠BAC=2∠DAE=2α.
(2)如图②,在(1)的条件下,若α=45°,连接CF,求证: ² = ² + ².

∴ = ⋅ =
∵ =

− ⋅ = − ,

⋅ = × × = ,

∴当 = 时, − = × ,整理得 ² − + = ,解得 ₁
EF 是直角三角形,. ∴ ² = ² + ².
∵D,F关于直线AE 对称,∴易得 DE=EF. ∴ ² = ² + ².
【题型三】和相似有关的动点问题
例 5: 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=11,BC=6,AB⊥BC,
点 P是线段AB 上一动点,如果满足△ADP 和△BCP 相似,求线
点 B以1cm/s的速度移动,点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C以2cm/s的速度移动
(其中一点到达终点，另一点也停止运动)，设移动时间为 ts.
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，那么几秒时，△PBQ的面

积等于△ABC面积的 ?
解: (1)由题意得 = , = ,则 = − ,
求AB 的长.
解: ∵∠A = ∠A,∠ABD = ∠C,
∴△ABD∽ , ∴

相似三角形判定定理的证明

相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理（AAA定理）是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

以下是相似三角形判定定理的证明：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形相似。

我们可以使用等角定理，即对于两个三角形中的对应等角，其对边之比是相等的。

根据已知条件，可以得出以下等式: ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
然后我们来比较三角形ABC和DEF的边长之比。

根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边之比是相等的。

我们可以分别比较对应边之间的比例： AB/DE BC/EF CA/FD
由于已知∠A = ∠D，我们可以使用三角形内角和为180度的性质计算出∠B和∠C的度数: ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - ∠D - ∠F = ∠E
同理，我们可以得出∠C = ∠F。

因此，我们得出: AB/DE = BC/EF = CA/FD
根据等角定理和边长比例相等，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF是相似的。

综上所述，我们可以证明相似三角形判定定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

九年级数学相似三角形的判定(教案、导学案)

27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1）求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求 DE 的长.【教学说明】让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1）一、新课导入 1.课题导入问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？由此导入课题(板书课题). 2.学习目标（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.③完成教材P29探究：a.如图1，量一量，算一算，ABBC与DEEF相等吗？BCAB与EFDE呢？ABAC与DEDF呢？BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF，BCAB=EFDE，ABAC=DEDF，BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即：∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，BDAB=CEAC.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.1.自学指导（1）自学内容：教材P30思考~P31.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.证三条边成比例：由DE∥BC可得ADAB＝AEAC，由EF∥AB可得BFBC＝AEAC.由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学（1）师助生：①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图，DE∥BC，12ADDB，则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .解：∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. （2）AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．解：（1）BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.证明：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。

《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(基础)

相似三角形判定定理的证明（基础）【学习目标】1. 熟记三个判定定理的内容•2. 三个判定定理的证明过程•3. 学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在厶ABC和△ A B' C'中，/ A=Z A', / B=Z B'.求证：△ AB3A A B C'证明：在厶ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则/ ADE N B,Z AED2 C,AD AEAD =竺（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB AC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则AD CF型二汇（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB CB• AE CFAC CB•/ DE// BC,DF// AC,•四边形DFCE是平行四边形.•DE=CF.•AE:AC=DE:CB•AD AE DEAB AC BC .而/ ADE N B, / DAE=Z BAC,Z AED玄C,•△AD0A ABC.•••/ A=N A' , N ADE=Z B=N B' ,AD=A' B',•△AD0A A' B' C .•△ABS A A' B' C .要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明：在厶ABC 的边AB （或它的延长线）上截取 AD=A B ',过点D 作BC 的平行线, 交AC 于点E,则/ B=Z ADE,/ C=Z AED,•••△ ABC^A ADE （两角分别相等的两个三角形相似）..AB AC AD - AE .AB AC ,AD=A ' B ',A'B' A'C' .AB ACAD 一 A'C' .AC ACAE _ A'C'• AE=A' C' 而/ A=/ A• △ ADE^A A ' B ' C'.• △ ABC^A A ' B ' C'要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在厶ABC 和△ A ' B ' C'中, 求证：△ ABC^A A ' B' C'.证明：在厶ABC 的边AB, AC （或它们的延长线）上截取 AD=A B ' ,AE=A ' C ,连接DE.AB AC ”，，，,AD=A B ' ,AE=A ' C ,已知，在厶 ABC^n ^ A B' C'中，/ A=Z AAB AC ABA'C',求证: △ ABC^A A ' B C 'AB _ BC _ ACA'B' 一 B'C' 一 A'C'A'B' A'C'.AB AC…_ AE而/ BAC=/ DAE,•••△AB3A ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）..AB BC_ DEp AB BC ,,又，AD= A B',A'B' B'C'.AB BC_ B'C'.BC BC"DE 一B'C'•DE=B C',•△ADE^A A ' B ' C',•△ABC^A A ' B ' C'.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似▼ 1、在厶ABC 中，/ A=60°, BDL AC 垂足为D, CEL AB 垂足为E,求证：△ ADE^A ABC【思路点拨】由BD L AC, CEL AB得到/ AEC d ADB=90 ,利用/ EAC M DAB可判断△ AE3A ADB则塑=—，禾U用比例性质得塑型，加上/ EAD M CAB根据三角形相似的AD AB AC AB判定方法即可得到结论.【答案与解析】证明：•/ BD L AC CEL AB •••/ AEC M ADB=90 , 而/ EAC M DAB•△AEC^A ADB■^1 "-I.，•AE_AD•-1.，•••/ EAD M CAB• △AD0A ABC【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等. 举一反三【变式】如图，△ ABC 是等边三角形，点D , E 分别在BC 、AC 上，且/ ADE=60 求证：BD?CD=AC?CE.【答案】证明：•/ △ ABC 是等边三角形,••• / B=Z C=60 ° , AB=AC ,•/ / B+Z BAD=Z ADE+ZCDE, / B=Z ADE=60 • Z BAD=Z CDE,与DH 的延长线交于点 E ,求证：△ AH SA EBD【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：Z A=Z E ,再有垂直得到90°的角,Z ADH Z ACB=90，从而证明：△ AH SA EBD【答案与解析】证明：••• HDLAB 于 D,• Z ADH=90 , • Z A+Z AHD=90 ,•••Z ACB=90 ,• Z E+Z AHD=90 , • Z A=Z E , • Z ADH Z ACB=90 , • △ AH SA EBD【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.Rt △ ABC 中，Z ACB=90，点H 在AC 上，且线段 HDL AB 于D, BC 的延长线已知, 即 BD?CD=AC?CE ;类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE^A DEF(2 )根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得 BG 的长.【答案与解析】(1) 证明：T ABCD 为正方形，••• AD=AB=DC=BQ A=Z D=90 , •/ AE=ED•厂:•/ DF= DC ,4• △ ABE^A DEF(2) 解：T ABCD 为正方形，• ED// BG •工又•/ DF= DC 正方形的边长为 4,4•ED=2 CG=6 • BG=BC+CG=10【总结升华】考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用.举一反三【变式】(2015?随州)如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断△ ABC AED 的是()如图，在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边 AD CD 上的点,连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G. (1) 求证：△ ABE^A DEF(2) 若正方形的边长为 4,求BG 的长.1 I,根据有两边对DFDEAEAE2DF一【思路点拨】DA ./ AED= /B B .上 ADE= /C C .丄丄AE AB【答案】D;提示：I / DAE= / CAB ,•••当/ AED= / B 或/ ADE= / C 时，△ ABC s\ AED ; 当旦='时，△ ABC s\ AED .AC AB故选D .（2014秋？揭西县校级期末）如图，F 为平行四边形ABCD 的边AD 的延长线上的一点，BF 分别交于 CD 、AC 于 G 、E ,若 EF=32，GE=8，求 BE .【答案与解析】解：设BE=x , •/ EF=32 , GE=8 , • FG=32 - 8=24,•/ AD // BC ,• △ AFE CBE ,•耳 F _AF•：.■:'，则亠= •仃1 ①K BC BC•/ DG // AB , •••△ DFGCBG ,•—='代入①BC S+x 32 24 d = +ix 8+x'解得：x= ±6（负数舍去），故 BE=16.C【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△ DFG CBG是解题关键.举一反三【变式】如图，在4X3的正方形方格中，△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC= _____ ° , BC= ________ ;(2)判断△ ABC与厶DEC是否相似，并证明你的结论.下\一Z D E 【答案】解：(1)Z ABC=135 , BC=匚；(2)相似；BC=：EC=. I =.：；•阳2 _厂BC 2^2厂.•匚「* *CE DE又/ ABC M CED=135 ,• △ABC^A DEC类型三、三边成比例的两个三角形相似少、/、、5、已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出正方形的对角线为 _,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长, n个呢？(2)根据图②，求证△ BC0A BED(3)由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1.M BEC M BDE=45 ;2./ BEC M BED=45 ;3./ BEC M DFE=45【思路点拨】(1)主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；(2 )在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；(3)欲证/ BEC y DFE=45，在本题中等于45°的角有两个，即/AEB和/BEF,所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中4 / C D A f C D去，利用等腰梯形的性质求解即可.【答案与解析】解：(1)由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=匚=| - | ,第二个图形中，对角线长=匸=一 | ,第三个图形中，对角线长 =^ '■ | ,所以第n个图形中，对角线长=^［；(2 )在厶BCE 中，BC=1, BE=& , EC=^, 在厶BED 中，BE=/^ , BD=2 ED^jj,•••△ BC0A BED(3 )选取③，•/ CD// EF,且CE=DF•四边形CEFD为等腰梯形，•••/ DFE y CEF•••/ BEC y DFE y BEC y CEF=45 .【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的•。

《相似三角形判定定理的证明》图形的相似

02
利用相似三角形的性质证明，通过相似比推导出对应边成比例
。
射影定理的应用
03
在几何学中，射影定理常用于证明线段间的比例关系，以及求
解线段长度的问题。
圆幂定理
1 2
圆幂定理定义
给定圆上任意一点P，过点P作圆的任意两条切线，分别与圆相切于点A和B，则PA的平方乘以PB 的平方等于AB的平方。
圆幂定理的证明方法
计算角度
通过相似三角形的比例关系，可以计算出无法直接测量的角度。例如，在测量一个无法直接测量的角度时，可以先构造一个与原三角形相似的三角形，然后通过测量相似三角形的角度来计算原三角形的角度。
在工程中的应用
建筑设计
在建筑设计中，工程师可以利用相似三角形判定定理来设计建筑的形状和结构，以满足特定的功能和审美需求。例如，可以构造一个与实际建筑比例相同的模型，然后通过测量模型来预测实际建筑物的日照、风载和结构性能等。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形判定定理的重要性
理论意义
相似三角形判定定理是几何学中重要的基本定理之一，它为研究图形的形状和大小提供了基础。
实际应用
相似三角形判定定理在工程、建筑、测量等领域都有广泛的应用。
相似三角形判定定理的历史背景
起源
古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中首次提出相似三角形的概念和判定定理。
VS
详细描述
角平分线将对应的两边分为相等的两部分，因此如果两个三角形对应的角平分线相等，则这两个三角形相似。这种方法也是常用的证明两个三角形相似的方法之一。
斜边中线法
总结词
利用斜边中线的性质进行判断
详细描述

4.5 相似三角形判定定理的证明

A' D A' E . ∴ A' B' A' C'
B
C
AB AC ， ∵ A′D=AB， A' B' A' C' A' D A' E AC = ， ∴ A' B' A' C' A' C'
A'
D B' A
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
E C'
∴ △A′DE ≌ △ABC，
第四章
*4.5
图形的相似
相似三角形判定定理的证明
讲授新课当堂练习课堂小结
导入新课
学习目标
1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， A' AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C' 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， D E 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， C' B' 交 A′C′ 于点 E. A ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′.
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 ∠1=∠B，∠2

4.5 相似三角形判定定理的证明课件(共21张PPT) 数学北师版九年级上册

1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为( )A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
D
E
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
几何语言：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）授课老师：时间：204年9月15日BD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或
同学们再见！
∴△ADE≌△A′B′C′

数学九年级北师大版4.5相似三角形判定定理的证明黄金分割教案

4.培养学生的数学建模素养，通过实例让学生学会构建数学模型，将现实问题转化为数学问题，提高解决问题的能力。
5.强化学生的数学运算能力，使学生熟练掌握相似三角形判定及黄金分割比的计算方法，并能准确、迅速地进行相关计算。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-相似三角形的判定定理：本节课的核心内容是使学生掌握并能够运用AA、SSS、SAS相似定理进行几何证明和问题求解。重点包括：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形判定定理的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。这一概念在几何证明和图形分析中至关重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示相似三角形在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用相似三角形的判定定理进行严密的证明，并解决实际问题。
2.提升学生的几何直观和空间想象力，通过探索黄金分割的性质，理解其在几何图形中的应用和美感。
3.增强学生的数据分析能力，使学生能够利用黄金分割的相关知识分析生活中的实际问题，提出解决方案。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形判定定理的证明与黄金分割》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过一些图形或建筑中的比例美？”比如，门框的宽高比、窗户的设计等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形和黄金分割的奥秘。
此外，实践活动和小组讨论的环节，让学生们有了更多的互动和合作机会。他们能够在讨论中相互启发，共同解决问题。但从学生的讨论成果来看，我发现他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。这让我意识到，在今后的教学中，需要更多关注学生逻辑思维和问题解决能力的培养。

北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明教学设计

6.总结反思，提升素养
在课堂小结环节，引导学生总结相似三角形的判定定理及其应用，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。此外，教师要对学生的学习情况进行点评，给予鼓励和指导。
7.课后作业，巩固成果
布置适量的课后作业，让学生在课后对所学知识进行巩固。同时，鼓励学生进行自主探究，发现相似三角形的其他性质和应用。
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的判定定理，能够准确地判断两个三角形是否相似。
2.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题，提高数学应用能力。
3.掌握几何证明的方法和技巧，培养学生的逻辑推理能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣
在教学伊始，通过展示生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影作品中的构图等，让学生感受相似三角形在现实生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。
3.对相似三角形的判定定理进行详细讲解，结合实际例题，让学生理解并掌握定理的内涵。
4.通过变式训练，让学生了解相似三角形判定定理在不同题型中的应用。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，让他们针对相似三角形的判定定理进行讨论，探讨定理的适用范围和注意事项。
2.各小组分享讨论成果，教师进行点评和指导。
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，发现相似三角形的判定定理。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，掌握相似三角形的判定方法和解题技巧。
4.注重培养学生的几何直观，通过画图、观察、推理环节，提高学生的几何素养。
3.结合生活实际，找一些含有相似三角形的事物，如建筑物的立面图、摄影作品等，并运用本节课所学的相似三角形判定定理进行分析，将分析结果以文字或图片形式展示。

《相似三角形的性质》导学案

《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

3、能运用相似三角形的性质解决相关的计算和证明问题。

二、学习重难点1、重点（1）相似三角形的性质及其应用。

（2）相似三角形的周长比和面积比与相似比的关系。

2、难点相似三角形性质的灵活运用，尤其是涉及到周长比和面积比的综合问题。

三、知识回顾1、相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

2、相似三角形的判定方法：（1）两角对应相等，两三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）三边对应成比例，两三角形相似。

四、新课导入我们已经知道了什么是相似三角形以及如何判定两个三角形相似，那么相似三角形具有哪些性质呢？这就是我们本节课要探究的内容。

五、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

例如，在△ABC 和△A'B'C'中，如果△ABC∽△A'B'C'，那么∠A＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'，且\（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼）。

2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高。

因为∠ADB ＝∠A'D'B' ＝ 90°，且∠B ＝∠B'，所以△ABD∽△A'B'D'，所以\（＼frac{AD}｛A'D'｝＝＼frac{AB}｛A'B'｝＼），即相似三角形对应高的比等于相似比。

4.5《相似三角形判定定理的证明》课时练习(含解析)

北师大版数学九年级上册第4章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测一、选择题1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为2、2、10，只有选项B的各边为1、2、5与它的各边对应成比例．故选：B．分析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得选项A，B，C，D各三角形的三边的长，最后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．熟悉三组对应边的比相等的两个三角形相似定理是解答此题的关键．2．如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对答案：D解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．熟练掌握相似三角形的判定方法是解答此题的关键．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．2AB AD AC=D．AD AB AB BC=答案：D解析：解答：A．∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；B．∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；C．∵2AB AD AC=，∴AD ABAB BC=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；D．AD ABAB BC=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出正确答案．此题考查了相似三角形的判定．4．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个30︒的内角B．都含有一个45︒的内角C．都含有一个60︒的内角D．都含有一个80︒的内角答案：C解析：解答：因为选项A、B、D给出的角30︒，45︒，80︒可能是顶角也可能是底角，不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；所以选项A，B，D错误；因为有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，所以选项C正确．故选：C．分析：若要判定两三角形相似，最常用的方法是找两对对应相等的角，而选项A、选项B、选项D都只能找到一对相等的角，只有选项C可以找出两对对应相等的角．5．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组答案：A解析：解答：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选：A．分析：根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．6．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是（）A．5B．7C．8D．10答案：D解析：解答：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90︒∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90︒∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10对故选：D．分析：根据已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可得到答案．此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．7．如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）2=（4）AB•CP=AP•CB，AC AP AB其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：（1）中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，（1）正确；（2）∠APC=∠ACB，且有一公共角∠A，（2）正确；（3）中AC2=AP•AB，∠A为其夹角，（3）正确；（4）中不是两组对应边成比例，夹角相等，所以（4）错误．故选：C．分析：两组对应角相等的三角形是相似三角形；两组对应边成比例且夹角相等两个三角形是相似三角形．由此可求出答案．8．如图，已知点P是不等边△ABC的边BC上的一点，点D在边AB或AC上，若由点P、D截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（）A．2处B．3处C．4处D．5处答案：C解析：解答：①△CPD与△CBA相似；此时△CPD与△CBA共用∠C，P点的位置有两个：∠CPD=∠B或∠CPD=∠A；②△BPD与△BCA相似；此时△CPD与△CBA共用∠B，P点的位置同样有两个：∠BPD=∠C或∠BPD=∠A；所以符合条件的D点位置最多有4处．故选：C．分析：先判断由点P、D截得的小三角形与△ABC有哪些相等的条件，再根据相似三角形的判定方法来判断符合条件的D点有几个．注意不要漏解．9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90 ，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB 边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：∵AB ⊥BC ， ∴∠B =90︒． ∵AD ∥BC ，∴∠A =180°-∠B =90︒， ∴∠PAD =∠PBC =90︒．AB =8，AD =3，BC =4，设AP 的长为x ，则BP 长为8-x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ：BP =AD ：BC ，即x ：（8-x ）=3：4，解得x =247； ②若△APD ∽△BCP ，则AP ：BC =AD ：BP ，即x ：4=3：（8-x ），解得x =2或x =6． ∴满足条件的点P 的个数是3个，故选：C ．分析：因为∠PAD =∠PBC =90︒，所以要使△PAD 与△PBC 相似，分两种情况讨论：①△APD ∽△BPC ，②△APD ∽△BCP ，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP 的长，从而得到P 点的个数．进行分类讨论是解答此题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D解析：解答：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．如图②，AO ∥BC ，BA ⊥2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90︒，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；如图④，∠AOB =∠4BAC =90︒，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ．故选：D ．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理可得出结论．此题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：解答：∵∠BDO =∠BEA =90︒，∠DBO =∠EBA ， ∴△BDO ∽△BEA ，∵∠BOD =∠COE ，∠BDO =∠CEO =90︒， ∴△BDO ∽△CEO ，∵∠CEO =∠CDA =90︒，∠ECO =∠DCA ，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CD A．故选：C．分析：根据∠BDO=∠BEA=90︒，∠DBO=∠EBA，证得△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可知．此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等．12．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠C=∠F=90︒，∠A=55︒，∠D=35︒B．∠C=∠F=90︒，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C．∠C=∠F=90︒，BC AC EF DF＝D．∠B=∠E=90︒，AB DF EF AC=答案：D解析：解答：A．相似：∵∠A=55︒∴∠B=90︒-55︒=35︒∵∠D=35︒∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，则102153ABDE==，6293BCEF==，∴AB BCDE EF=，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；C．相似：∵∠C=∠F=90︒，BC ACEF DF＝∴△ABC∽△DEF；D．不相似：∵∠B=∠E=90︒，AB DFEF AC=，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似．故选：D．分析：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析作出正确判断．此题考查了相似三角形判定的理解及运用．13．下面两个三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个钝角三角形D．两个等边三角形答案：D解析：解答：A．等腰三角形的角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以A不正确；B．两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，所以B不正确；C．两个钝角三角形的对应角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以C不正确；D．两个等边三角形的各角度都为60︒，各边对应相等，所以D正确．故选：D．分析：按照三角形相似的判定定理逐个分析，确定正确答案．三角形相似的判定定理有：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．14．已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：∵AB=AC=6，∴∠C=∠B=75︒，∴∠A=30︒，∵55 66 =，∴与△ABC相似的是选项C．故选：C．分析：由已知图形，根据等边对等角及三角形内角和定理，可得∠A=30︒，△ABC是等腰三角形；根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可求得答案．解题的关键是仔细识图和熟悉相似三角形的判定方法．15．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：A解析：解答：甲：根据题意得：AB∥A B''，AC∥A C''，BC∥B C''，∴∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A BC'''，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A B''=C D''=3+2=5，A D''=B C''=5+2=7，∴35AB CDA B C D''''＝＝，57AD BCA DB C''''＝＝，∴AB ADA B A D≠''''，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．分析：甲：根据题意得：AB∥A B''，AC∥A C''，BC∥B C''，可证得∠A=∠A'，∠B=∠B'，由两角对应相等两三角形相似得△ABC∽△A BC'''；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A B''=C′D′=3+2=5，A′D′=B C''=5+2=7，则可得AB ADA B A D≠''''，即新矩形与原矩形不相似．此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．二、填空题16．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于______答案：1 2解析：解答：∵∠ADO=∠ADO，∠DOA=∠DAE=90°，∴△AOD∽△EAD，∴AO AEDO AD==12．故答案为：12．分析：利用两角对应相等得△AOD∽△EAD，那么AO AEDO AD=．此题考查了相似三角形的判定；把所求的线段的比进行相应的转移是解决此题的关键．17．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于答案：1：3解析：解答：∵∠ABC=90︒，∠DCB=90︒∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=1：3∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．分析：一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：3，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=答案：6解析：解答：∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DE AB BC =，即123BC= 解得：BC =6．故答案为：6．分析：根据DE ∥BC ，判断△ADE ∽△ABC ，利用对应边成比例的知识可得AD DE AB BC=，代入数据求出B C ．19．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且S △ADE =4，S △EFC =9，则△ABC 的面积为答案：25解析：解答：∵DE ∥BC ，EF ∥AB∴∠C =∠AED ，∠FEC =∠A ，∴△EFC ∽△ADE ，而ADE S ∆=4，EFC S ∆=9， ∴294EC AE =（）， ∴EC ：AE =3：2，∴EC ：AC =3：5， ∴EFC ABC S S ∆∆=2239()()525EC AC ==， ∴ABC S ∆=9×259=25．故答案为25．分析：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即对应边之比的平方，所以先利用△EFC ∽△ADE ，得出对应线段的比，从而得出面积比，再代入求出其面积．此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质．20．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EB =2：3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为答案：21解析：解答：∵23AE EB =， ∴25AE AB =． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴2()ADE ACB S AE S AB∆∆=． ∵△AED 的面积是24m ， ∴242()5ACB S ∆=， ∴ACB S ∆=25，∴四边形DEBC 的面积为：25-4=21．故答案为：21．分析：根据DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ACB ，可以得出2()ADE ACB S AE AB S ∆∆＝，由23AE EB =可以得出25AE AB =，代入可以求出△ABC 的面积，从而求出四边形DEBC 的面积．三、解答题21．已知，在△ABC 中，三条边的长分别为2，3，4，△A ′B ′C ′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC ∽△'''A B C ，求△A BC '''中的第三边长．答案：2解析：解答：已知在△ABC 中，三条边的长分别为2，3，4，△'''A B C 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△'''A B C 的两边分别为△ABC 的两边长的一半，因此要使△ABC ∽△'''A B C 需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．故答案为：2．分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．22．如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC•BE与AE•CD是否相等？答案：相等解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，∵∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BAE，∴AC：AE=AB：BE，即AC•BE=AE•AB，∵AB=CD，∴AC•BE=AE•C D．分析：要证明AC•BE=AE•CD，只要证明这4条线段所在的三角形相似即可，但直接找不到，利用相等的线段代换后，从条件可以得出4条线段所在三角形相似从而得出结论．此题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出线段比，从而转化为线段的积．23．如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．答案：1解析：解答：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=90︒，∴∠AED+∠DEH=90︒，∠AED+∠DAE=90︒，∴∠DEH=∠DAE．∵△AED∽△EHD，AD DEDE DH=．∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=CD=4．∵E为CD的中点，∴DE=2．∴422DH =，∴DH=1．分析：根据正方形的性质和等角的余角相等，可得两个三角形中，有两个角对应相等，证得两个三角形相似，在此基础上，根据相似三角形的性质进行求解．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90︒，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E 处．（1）问：△BDE与△BAC相似吗？答案：相似（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．答案：3解析：解答：（1）相似．理由如下：∵∠C=90︒，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，∴∠C=∠AED=90︒，∴∠DEB=∠C=90︒，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理，得AB=222268AC BC+=+=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90︒．∴BE=AB-AE=10-6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，222DE BE BD+=，即22248CD CD +=-（），解得：CD =3，在Rt △ACD 中，由勾股定理得222AC CD AD +=，即22236AD +=，解得：AD =3分析：（1）根据折叠的性质得出∠C =∠AED =90︒，利用∠DEB =∠C ，∠B =∠B 证明三角形相似；（2）先由勾股定理求出AB 的长，再由折叠的性质知DE =CD ，AE =AC ，BE =AB -AE ，在Rt △BDE 中运用勾股定理求出DE ，即CD ，最后在Rt △ACD 中运用勾股定理得出A D ．25．如图，在△ABC 中，AB =8cm ，BC =16cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm /s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm /s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时△QBP 与△ABC 相似？答案：2秒｜0.8秒解析：解答：设经过t 秒时，以△QBC 与△ABC 相似，则AP =2t ，BP =8-2t ，BQ =4t ， ∵∠PBQ =∠ABC ，∴当BP BQ BA BC =时，△BPQ ∽△BAC ，即824816t t -=，解得t =2（s ）；当BP BQ BC BA =时，△BPQ ∽△BCA ，即824168t t -=，解得t =0.8（s ）；综合上述，经过2秒或0.8秒时，△QBC 与△ABC 相似．分析：设经过t 秒时，以△QBC 与△ABC 相似，则AP =2t ，BP =8-2t ，BQ =4t ，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当BP BQ BA BC =时，△BPQ ∽△BAC ；当BP BQ BC BA=时，△BPQ ∽△BC A ．。

北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：相似三角形判定定理的证明

北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案相似三角形判定定理的证明【学习目标】1.了解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理；2.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.【知识梳理】1.两角的两个三角形相似. 2.两边且的两个三角形相似.3.三边的两个三角形相似.【典型例题】知识点一：两角分别相等的两个三角形相似.1.已知：如图,∠ABD=∠C ，AD=2, AC=8，求AB.知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D 为AB 上一点,且AD=23AB,在AC 上取一点E,使以A. D. E 为顶点的三角形与ABC 相似,则AE 等于( )A. 6.4B. 10C. 6.4或10D. 以上答案都不对知识点三：定理三边成比例的两个三角形相似.3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）【巩固训练】1. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（）A. =B.C.D.2如图，矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝10，P 为CD 边上的动点，当DP ＝时，△ADP 与△BCP 相似2题1题图3.如图，在等边三角形 ABC 中， D ， E ， F 分别是三边上的点， AE = BF = CD ，那么△ABC 与△DEF 相似吗？请证明你的结论.4.已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.【拓展延伸】5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF=∠A ．（1）找出图中一对相似的三角形，并证明（2）求证：BC AB CE BD ．6.如图，AB ∥CD ，AC 与BD 交于点E ，且∠ACB ＝90°，AB ＝6，BC ＝6，CE ＝3．（1）求CD 的长；（2）求证：△CDE ∽△BDC ．4题图 A D B E C F。

4.5相似三角形判定定理的证明(教案)

五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对相似三角形判定定理的理解存在一些挑战。首先，他们在识别对应边和对应角时遇到了困难，这说明我们在教学中需要更多地强调这一点，可能通过更多的图形示例和实际操作来加强学生的直观感受。
我还注意到，当涉及到实际应用问题时，学生们在将理论知识应用到解决问题上显得有些犹豫不决。这可能是因为我们平时在教学中缺乏将理论联系实际的机会。因此，我计划在未来的课程中，引入更多的生活实例，让学生看到数学知识是如何在现实世界中发挥作用的。
-能够运用相似三角形的性质和判定定理进行简单的几何证明。
举例：通过比较两个具体的三角形，强调在判定相似时，必须满足两边对应成比例且夹角相等的条件。讲解AA和SAS判定方法时，结合图形示例，让学生直观感受定理的应用。
2.教学难点
-难点一：理解“对应”的概念，即在相似三角形判定中，如何识别哪两边和哪个角是对应的。
4.5相似三角形判定定理的证明（教案）
一、教学内容
本节内容选自教材第四章第五节“相似三角形的判定定理的证明”。内容包括：
1.探索并理解“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的定理；
2.掌握运用“AA”（两个角相等）和“SAS”（两边对应成比例且夹角相等）判定两个三角形相似的方法；
3.通过具体例题，学会运用相似三角形的判定定理解决实际问题；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

相似三角形的性质导学案

相似三角形的性质主备人：高焕婷备课组长：林新涛教研组长学习目标：1、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2、能用三角形的性质解决简单的问题．一、自主学习1．复习回顾：（1）根据相似的定义，如果两个三角形相似，我们可以得到对应边，对应角。

其中的比叫做相似比。

两个三角形相似，我们还可以得到哪些结论？2．自主学习课本71-----72页内容。

结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形对应边上的高的比等于 .性质2 相似三角形面积的比等于 .性质3 相似三角形对应角的平分线的比等于 .性质4 相似三角形对应边上的中线的比等于 .性质5 相似三角形周长的比等于 .二、合作探究：（1）如果两个相似三角形相似比为3∶5 ，那么对应角平分线的比为_______，对应高的比为．（2）如果两个相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为________，对应边上的中线的比为，周长的比为________，面积的比为．（3）如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．三、展示交流1、已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若32EC AE =，18=∆ABC S ，求△ADE 的面积；(第3题)2、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,S △ADE =S 四边形BCED,求ABAD 的值四、精讲点拨如图，点I 、H 在BC 上，G 、F 分别在AC 、AB 上，四边形FGHI 是正方形，AD ⊥BC ，D 是垂足，AD 交FG 于点E ，若BC=12cm ，AD=8cm ，求正方形IHGF 的边长.五、达标测评1、两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是72cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．2、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,若DB=2AD,则DE:BC= ,S △ADE :S △ABC = .3、如图,在□ABCD 中,E 是AB 上一点,AC 与DE 相交于F, AE:EB=1:2,求∆AEF 与∆CDF 的相似比.若∆AEF 的面积为5 cm 2,求∆CDF 和∆ADF 的面积。

相似三角形判定定理证明导学案

相似三角形判定定理的证明解答专练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高线，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．求证：（1）△ABE∽△CBF．（2）．2．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若AC，AB＝2，求的值．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．（1）求证：△ABG∽△ECF；（2）求证：EG＝EF；（3）求证：．4．如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：AE2＝AF•AB；（2）求证：．5．如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC．（1）求证：△DAF∽△CAE．（2）求证：．6．已知：在△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，点E在边AB上，过点E作DF⊥AB，点D在边BC上，点F在CA的延长线上，联结BF．（1）如图1，当∠FBC＝90°时，求证：BF2＝2AC•BE；（2）如图2，当BC＝CF时，求线段AE的长．7．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．（1）求证：AB2＝AC•AE；（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若，求的值．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，绕B点顺时针旋转得到在Rt△BDE，连接CD并延长交AE于点F．（1）求证：∠CBD＝2∠EDF；（2）若CD＝EF，求的值．12．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE＝∠B．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△DEA∽△DAC．（2）如图2，已知AB＝AC＝5，BC＝8，点E在BC的延长线上，若AD，求CE的长．13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF＝CF；（2）求证：AF2＝EF•GF；（3）若菱形ABCD 的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．15．如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2＝BG•BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．16．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：．18．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝°；（2）证明：△AFC∽△AGD；（3）若，请求出的值．19．如图所示，P为正方形ABCD的边AD上一动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，过点P作PM∥FC交CD于点M．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若△ABP的面积为25，，求△PDM的面积．。

相似三角形导学案(刘丽霞)

4.5《相似三角形》导学案【学习目标】1、掌握相似三角形的定义，并应用它判断两个三角形是否相似。

2、掌握相似三角形的性质，并应用性质解决一些相似三角形的问题。

3、激情投入，阳光展示，享受成功学习的快乐。

【学习重点】相似三角形定义的理解【学习难点】相似三角形性质的应用【学习过程】一、旧知回顾（1）相等，成比例的两个多边形叫做相似多边形。

（2）相似多边形的比叫做相似比。

二、自学导航1、思考一：你能用类比的方法说出什么是相似三角形吗？（1）定义：对应角，对应边的两个三角形，我们称为相似三角形。

（2）两个相似三角形用“”表示，读做“”。

如△ABC与△A１B１C１相似，记作“”【注意：对应顶点写在对应位置上】用数学符号表示：三、质疑探究1、合作交流：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？（可设两个等腰直角三角形的腰长分别为a，b）（3）两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？（可设两个等边三角形的边长分别为a，b）2、知识辨析：（1）假如两个三角形全等，则它们必相似。

（）（2）若两个三角形相似，则它们必全等。

（）（3）假如两个三角形与第三个三角形相似，则这两个三角形必相似。

（）（4）相似的两个三角形一定大小不等。

（）3、思考二：（1）相似多边形有什么性质呢？相似多边形的对应边对应角（2）类似的你能说出相似三角形的性质吗？相似三角形的对应边对应角4、基础达标：（1）若ρABC∽ρDEF，则∠A=____, ____= ∠E, ∠C= ____,AB=DF = BC（2）完成课本129页随堂练习1四、学以致用1、例题讲解：例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。

例2：如图，已知△ABC∽ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°，求⑴∠ADE和∠AED的度数；⑵DE的长2、拓展提升：北京奥运馆被人们形象地称为“鸟巢”，它的顶部有一个三角形形状的钢架梁，其最长的一边为15m.在图纸上，表示这个钢架梁的三角形三边的长度分别为3cm，4cm，5cm，求焊成一个钢架梁共需要多少米钢筋？五、反思回顾谈谈你的收获与感想？六、作业：课本P130习题4.6 1.2板书设计4.5相似三角形一．定义二．性质三．应用教后反思：本节课通过类比的方法由相似多边形的定义和性质引出相似三角形的定义和性质，进一步利用性质解决一些实际问题，与生活实际联系，激发了学生的学习兴趣，学生的参与也很积极，但学生的展示没有我校的学生精彩，但在我的鼓励下学生也慢慢的投入到课堂中，整体效果比较好，时间把握的也很好。