上海市闵行区2010二模理科数学参考答案

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数学_2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 设集合A={x|−12<x<2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=________．2. 已知△ABC中，cotA=−34，则cosA=________．3. 若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，则前6项的和S6=________．（用数字作答）4. (x+2)6的展开式中x3的系数是________（用具体数字作答）．5. 若球O1、O2表面积之比S1S2=9，则它们的半径之比R1R2=________．6. 函数f(x)=√2x−4(x≥4)的反函数为________．7. 行列式|42k−354−11−2|中第2行第1列元素的代数余子式的值为−10，则k=________．8. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．9. △ABC中，已知AB=2，AC=2√2，则∠ACB的最大值为________．10. 有5只苹果，它们的质量分别为125a121b127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s=________（用数字作答）11. 在极坐标系中，若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．12. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为23．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是________．（用数值表示）13. 已知a≤1时，集合[a, 2−a]有且只有3个整数，则a的取值范围是________．14. 设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[−1.5]=−2．若函数f(x)=a x1+a x(a>0, a≠1)，则g(x)=[f(x)−12]+[f(−x)−12]的值域为________．二、选择题：（本题满分16分，每小题4分）15. 复数3−i1−i等于（）A 1+2iB 1−2iC 2+iD 2−i16. 下列函数中，与函数y=√x有相同定义域的是（）A f(x)=log 2xB f(x)=1xC f(x)=|x|D f(x)=2x17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →=2BP →，则( )A PA →+PB →=0→B PC →+PA →=0→C PB →+PC →=0→D PA →+PB →+PC →=0→18. 已知AC ，BD 为圆O:x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，AC ，BD 交于点M(1, √2)，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD 的面积的最大值等于（） A 4 B 5 C 6 D 7三、解答题：（本大题共5题，满分78分） 19. 在△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知∠B =45∘，∠C =60∘，a =2(√3+1)，求△ABC 的面积S △ABC ．20.如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为1，M 为棱A 1B 1上的点，N 为棱BB 1的中点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为arccos 25，求|A 1M||MB 1|的值．21. 已知函数f(x)=x−a ax(a >0)（1）判断并证明y =f(x)在x ∈(0, +∞)上的单调性；（2）若存在x 0，使f(x 0)=x 0，则称x 0为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点x 0；（3）若f(x)<2x 在x ∈(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．22. 设P(a, b)(a ⋅b ≠0)、R(a, 2)为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线y 2=4ab x 交于点Q （异于O ）．（1）若对任意ab ≠0，点Q 在抛物线y =mx 2+1(m ≠0)上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点P(a, b)(ab ≠0)在椭圆x 2+4y 2=1上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足|OA|⋅|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切．23. 设数列{a n }(n =1, 2,…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）若a 1=4，d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1，a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim n →∞(1S 1+1S 2+⋯+1S n )=119；若存在，求{a n }的通项公式，若不存在，说明理由；（3）试问：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）答案1. {x|−1≤x <2}2. −35 3. 63 4. 160 5. 36. f −1(x)=12x 2+2(x ≥2) 7. −14 8. 2,120∘ 9. π4 10. 2 11. 2√3 12. 4913. −1<a ≤0 14. {0, −1} 15. C 16. A 17. B 18. B19. 解：∵ A =180∘−(B +C)=75∘， ∴ sinA =sin750=sin(450+300)=√6+√24由正弦定理a sinA =b sinB⇒√3+1)√6+√24=√22⇒b =4，∴ S △ABC =12absinC =12⋅2(√3+1)⋅4⋅√32=6+2√3．20.解：如图建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，M(1, a, 1)，N(1,1,12)AM →=(0, a, 1)，CN →=(1, 0, 12)（其中a >0）设向量AM →、CN →的夹角为θ，则cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=25，⇒1+a 2=54，∴ a =12或cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=−25，无解；所以当a =12时，|A 1M||MB 1|=1 21. 解：（1）f(x)=1a −1x对任意的x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1>x 2f(x 1)−f(x 2)=(1a −1x 1)−(1a −1x 2)=x 1−x 2x 1x 2∵ x 1>x 2>0∴ x 1−x 2>0，x 1x 2>0∴ f(x 1)−f(x 2)>0，函数y =f(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增．（2）解：令x =x−a ax⇒ax 2−x +a =0，令△=1−4a 2=0⇒a =12（负值舍去）将a =12代入ax 2−x +a =0得12x 2−x +12=0⇒x 2−2x +1=0∴ x 0=1（3）∵ f(x)<2x ∴ 1a<2x +1x∵ x >0∴ 2x +1x ≥2√2（等号成立当x =√22） ∴ 1a <(2x +1x )min =2√2⇒a >√24∴ a 的取值范围是(√24，+∞)22. 解：（1）∵ {y =2a xy 2=4ab x⇒Q(a b ,2b )，代入y =mx 2+1∴ 2b=m(ab)2+1⇒ma 2+b 2−2b =0当m =1时，点P(a, b)在圆M:x 2+(y −1)2=1上（2）∵ P(a, b)在椭圆x 2+4y 2=1上，即a 2+(2b)2=1 ∴ 可设a =cosθ,b =12sinθ 又∵ Q(ab ，2b )，∴ {x Q =a b y Q =2b⇒y Q2−mx Q2=(2b)2−m(a b)2=(4sinθ)2−m(2cosθsinθ)2=16sin 2θ−4mcos 2θsin 2θ=16（令m =4）∴ 点Q 在双曲线y 2−4x 2=16上（3）∵ 圆M 的方程为x 2+(y −1)2=1设AB:x =ky +λ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由|OA|⋅|OB|=1√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=√1−(y 1−1)2+y 12⋅√1−(y 2−1)2+y 22=√2y 1⋅√2y 2=1⇒y 1y 2=14又∵ {x 2+(y −1)2=1x =ky +λ⇒(k 2+1)y 2+2(kλ−1)y +λ2=0，∴ y 1y 2=λ2k 2+1=14⇒√k 2+1=12又原点O 到直线AB 距离d =√1+k 2∴ d =12，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴ 直线AB 恒与圆S ：x 2+y 2=14相切．23. 解：（1）数列{a n }是“封闭数列”，因为：a n =4+(n −1)⋅2=2n +2，对任意的m ，n ∈N ∗，有a m +a n =(2m +2)+(2n +2)=2(m +n +1)+2， ∵ m +n +1∈N ∗于是，令p =m +n +1，则有a p =2p +2∈{a n }（2）解：由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+(n −1)+a 1+(m −1)=a 1+(p −1)成立，于是有a 1=p −m −n +1为整数，又∵ a 1>0∴ a 1是正整数．若a 1=1则S n =n(n+1)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)=2>119，若a 1=2，则S n =n(n+3)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n )=119，若a 1≥3，则S n =n(2a 1+n−1)2>n(n+3)2，于是1S n <2n(n+3)，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)<119，综上所述，a 1=2，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)，显然，该数列是“封闭数列”．（3）结论：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是存在整数m ≥−1，使a 1=md ．证明：（必要性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ，则2a 1+(s +t −2)d =a 1+(k −1)d ⇒a 1=(k −s −t +1)d 故存在m =k −s −t +1∈Z ，使a 1=md ，下面证明m ≥−1．当d =0时，显然成立．对d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥2，对不同的两项a 1，a p ，存在a q 使a 1+a p =a q ，即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ⇒qd =0，这与q >0，d ≠0矛盾，故存在整数m≥−1，使a1=md．（充分性）若存在整数m≥−1使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)，于是a s+a t=a1+(s−1)d+md+(t−1)d=a1+(s+m+t−2)d=a s+m+t−1由于s+t≥3，m≥−1∴ s+t+m−1为正整数，∴ a s+m+t−1∈{a n}证毕．。

2010闵行区数学二模(含答案)

2010年闵行区九年级数学质量调研考试一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．2010年上海世博会预测参观总人次超过70 200 000人次，将70 200 000用科学计数法表示正确的是（）（A ）702×105；（B ）7.02×107；（C ）7.02×108；（D ）0.702×108．2．点P （1，-3）关于原点对称的点的坐标是（）（A ）（-1，-3）；（B ）（1，3）；（C ）（-1，3）；（D ）（3，-1）． 3．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，如果AC = m ，∠A =β，那么AB 的长为（）（A ）βsin ⋅m ；（B ）βcos ⋅m ；（C ）βsin m；（D ）βcos m．4．在直角坐标平面内，如果抛物线223y x =-经过平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的要求是（）（A ）沿y 轴向上平移3个单位；（B ）沿y 轴向下平移3个单位；（C ）沿x 轴向左平移3个单位；（D ）沿x 轴向右平移3个单位． 5．已知两圆的半径分别是1 cm 和5 cm ，圆心距为3 cm ，那么这两圆的位置关系是（）（A ）内切；（B ）内含；（C ）外切；（D ）相交．6．如果一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形（）（A ）是轴对称图形，但不是中心对称图形；（B ）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（C ）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（D ）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：32(3)a = ____________.8．不等式320x -<的解集是________________．93=的解是________________． 10．已知函数2()x f x x-=，那么(2)f -=_______________．11．已知点A （2，-1）在反比例函数k y x=（k ≠ 0）的图像上，那么k =________．12．一次函数25y x =-的图像在y 轴上的截距是_________．13．抛物线222y x x =-+在对称轴的左侧部分是_______．（填“上升”或“下降”） 14．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，那么掷出的点数小于3的概率为____________．15．已知AB a = ，AC b = ，那么BC =_____________．（用向量a 、b的式子表示）16．已知⊙O 的直径AB = 26，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，且OE = 5，那么CD =____．17．在四边形ABCD 中，AD // BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．（只要填写一种情况） 18．如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，那么tan ∠ABC =___________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求值：2121)a a a aa-+-÷（，其中a =20．解方程组：2225,210.x y x x y y +=⎧⎨-+-=⎩21．（本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分，满分10分）今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，参加植树学生植树情况的部分统计结果如图所示．请根据统计图形所提供的有关信息，完成下列问题：（1）求参加植树的学生人数；（2）求学生植树棵数的平均数；（精确到1）（3）请将该条形统计图补充完整．4植树棵数ABCDE（第18题图）①②22．如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，点M 是边CD 的中点，联结AM 、BM ．求：（1）△ABM 的面积；（2）∠MBC 的正弦值．23．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上，且BE = EF = FD ，联结AE 、AF 、CE 、CF ．求证：（1）AF = CF ；（2）四边形AECF 菱形．24．如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求m 的值；（2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得 △PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（第24题图）A BC（第22题图）MD F（第23题图） DCB A E25．如图，在△ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，BO ⊥AC ，垂足为点O ．过点A 作射线AE // BC ，点P 是边BC 上任意一点，联结PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B 、P 两点间的距离为x ．（1）如图1，如果四边形ABPQ 是平行四边形，求x 的值；（2）过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为点R ，当x 为何值时，△PQR ∽△CBO ？（3）设△AOQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域．闵行区2009学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案以及评分标准一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．COBAE（备用图）COPBQAE（第25题图1）C O BAE（第25题图）QP二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）7．；8．；9．x = 4；10．2；11．-2；12．-5；13．下降；14．；15．；16．24；17．AD = BC或AB // CD或∠A =∠C等，正确即可；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式= ……………………………………………………（3分）．…………………………………………………………………（3分）当时，原式= ．………………………………………（4分）20．解：由②得，．………………………………………（3分）原方程组可化为………………………………………………（3分）分别解这两个方程组，得原方程组的解是……………………………………………………………（4分）说明：学生如果利用代入消元法求解，参照给分。

2010年上海市部分区县中考数学二模答案

2010年松江区初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准2010.4一、选择题1、D ；2、C ；3、B ；4、D ；5、A ；6、A 二、填空题7、1-； 8、3≥x ； 9、)1)(1(-+x x x ； 10、5=x ； 11、x y 2-=； 12、a 64.0； 13、51； 14、5； 15、8； 16、4； 17、b a 3132+； 18、52 三、解答题19．解：原式=13133)32(322-++---………………………………5分 =734-……………………………………………………………………5分 20．解：方程两边同乘以)3)(3(-+x x 得：………………………………………1分)3(2)3(2942--++-=x x x x …………………………………………2分整理得：0342=+-x x …………………………………………………2分解得：11=x ，32=x ………………………………………………………3分经检验：32=x 是原方程的增根；……………………………………………1分所以，原方程的解为1=x ． …………………………………………………1分 21．解：连接AF ，∵AD=AB ，F 是BD 的中点∴AF ⊥BC ，∴︒=∠90AFC …………………………………………………2分在AFC Rt ∆中，︒=∠90AFC ∵E 是AC 的中点，∴421==AC EF ………………………………………3分又∵FE ⊥AC ，∴24==CF AF …………………………………………2分在AFB Rt ∆中，︒=∠90AFB∵2tan ==∠BFAFB ，∴22=BF ，∴102=AB ……………………3分 22.(1)160；0.4；40……3分（2）图略；……2分（3）90~80.……………2分（4）5000………………3分23.（1）证明：∵CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD∴GCF DCF DCE BCE ∠=∠∠=∠,……………………………………1分∵EF ∥BC ，∴GCF EFC FEC BCE ∠=∠∠=∠,………………………1分 ∴DCF EFC FEC DCE ∠=∠∠=∠,………………………………………1分 ∴OE=OC ，OF=OC ，∴OE=OF ……………………………………………2分（2）∵点O 为CD 的中点，∴OD=OC ，又OE=OF∴四边形DECF 是平行四边形………………………………………………2分∵CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD∴DCG DCF BCD DCE ∠=∠∠=∠21,21 ………………………………2分 ∴︒=∠+∠=∠+∠90)21(21DCG BCD DCF DCE ………………………2分即︒=∠90ECF ，∴四边形DECF 是矩形 ………………………………1分24.解：（1）因为直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ．由,0=x 得3=y ，0=y ，得4=x ，所以)0,4(A )3,0(B ……………1分把)0,1(-C )3,0(B 代入c ax ax y +-=42中，得⎩⎨⎧=++=043c a a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==533a c …………………………………2分 ∴这个二次函数的解析式为3512532++-=x x y ……………………………1分 527)2(532+--=x y ，P 点坐标为P )527,2( ………………………………1分（２）设二次函数图象的对称轴与直线343+-=x y 交于E 点，与x 轴交于F 点把2-=x 代入343+-=x y 得，23=y ， ∴)23,2(E ，∴103923527=-=PE …………………………1分∵PE//OB ，OF=AF ， ∴AE BE =∵AD ∥BP ，∴DE PE =，5392==PE PD ……………………………2分（3）∵)23,2(E ， ∴25494=+=OE ，∴OE ED > 设圆O 的半径为r ，以PD 为直径的圆与圆O 相切时，只有外切，………1分 ∴251039=-r ，解得：5321=r ，572=r ……………………………3分即圆O 的半径为532或5725.解：1（1）∵90=∠=∠FEB DEC ，∴BEC DEF ∠=∠……………1分∵90=∠+∠=∠+∠DCP BCE DCP EDF ，…………………………1分 ∴BCE EDF ∠=∠，∴△DEF ∽△CEB …………………………………1分（2）∵PDC Rt ∆中，CP DE ⊥，∴90=∠=∠CED CDP∴△DEC ∽△PDC ，∴DCPDEC DE = ………………………………………1分 ∵△DEF ∽△CEB ，∴DCDFCB DF EC DE ==…………………………………1分 ∴DCDFDC PD =，∴DF PD =………………………………………………1分 ∵AP =x ，DF =y ，∴,1x PD -= ∴x y -=1 ……………………………1分)10(<<x …………………………………………………………………1分（3）∵△DEF ∽△CEB ，∴22CB DF S S CE B DE F =∆∆ （1） …………………………1分 ∵CF DF S S CE F DE F =∆∆（2），∴（1）÷（2）得2CBCFDF S S CE B cE F ⋅=∆∆ ……………1分又∵E F C B E C S S ∆∆=4，∴412=⋅=∆∆CB CF DF S S CE B cE F ……………………………1分当P 点在边DA 上时，有411)1(=⋅-x x ，解得21=x ………………………………………………2分当P 点在边DA 的延长线上时，411)1(=⋅+x x ，解得212-=x ……………………………………………1分长宁一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分.） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D二、填空题(本大题共12题，每题4分,满分48分.填对得4分,填错或不填、多填均得0分) 7. 2 8.1 9.x 5 10. 1 11. b a - 12. 3±≠x 13. 2321+=x y 14. △OAF ，△OED 15.0120-22=+x x （或()12112=+x ，()12111=+++x x x ）16.31 17. ()b a +43（或b a 4343+） 18. 30三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题10分）解：︒︒-︒+︒60sin 30sin 260sin 30sin 22=()260sin 30sin ︒-︒ ………4分=22321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2321- ……………… 4分 =213-（或2123-） …… 2分 20.（本题10分）解：整理(1)\(2)得⎪⎩⎪⎨⎧+>+->335211x x x (2)()()⎪⎩⎪⎨⎧->-+-+>22212121x x⎩⎨⎧<+->22)21(x x …………… 2分⎩⎨⎧<-->121x x …… …….2分∴ 121<<--x …… ……..1分∴不等式组的整数解为-2，-1，0 …….. 3分21.（本题10分）（1）80；…… ………..2分（2）0.05 ；…… …...2分（3）84；…… ……..3分（4）不合理，初三年级学生的随机样本不能代表该校全体学生。

闵行区高考数学调研理卷

闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M x x =+≤，{}1,0,1N =-，那么M N =I . 2．线性方程组的{32521x y x y +=+=-增广矩阵为 .3．已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= . 4．2221lim 1n n n n →∞-=++. 5．若13z a i =+，234z i =+，且12zz 为纯虚数，则实数a = .6．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm cm ，则该圆锥的体积为 3cm .7．经过点(2,0)A 且与极轴夹角为2π的直线l 的极坐标方程为 . 8．已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第项.9．如果随机变量ξ的概率分布律由下表给出：则ξ的方差D ξ= .10．若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b+的最小值为 .11．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[]0απ∈，,()f OM ON α=+u u u u r u u u r，则()αf 的范围为 .12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的最大值为 .13．已知双曲线22221x y a b-=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双曲线的两条渐近线方程为 .14．已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，53201020102010(4)(4)(4)6f a a a -=-+-=-，n S 是其前n 项和，则2011S = .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的 [答]（） (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.16．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 [答]（） (A)16. (B)18. (C)27. (D)36.17．设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4xf x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（）(A) 1201x x <<. (B) 121x x =. (C) 1212x x <<. (D) 122x x ≥.18．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数22()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，都使12()()f x f x <成立的条件序号是 [答]（） (A) ①③. (B) ②④. (C) ③④. (D) ④.EBCDA 1P B 1C 1D 1 .A三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=o，14AD =，点P 是1AD 的中点，求异面直线1AA 与1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表:从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x x x =-≥，220()(4)(1)3g x x x =-≥，224017()log (1)114h x x x x =--≥，其中x 表示月数，()()()f x g x h x 、、分别表示污染度.（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知O 是线段AB 外一点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r.（1）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA △、12OA A △及2OA B △的重心依次为123G G G 、、，试用向量a r 、b r 表示123OG OG OG ++u u u u r u u u u r u u u u r；（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分．已知椭圆2214x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值；（2）若65t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o；（3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．。

闵行区2010学年第二学期八年级期末考试数学试卷

闵行区2010学年第二学期八年级期末考试数学试卷（考试时间90分钟，满分100分）一．选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1、在直角坐标平面内，一次函数2y x =-+的图像一定不经过（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 2、已知下列关于x 的方程：①210x +=； ②210x =； 27x =； 70=；12x =； ⑥13x =+其中，是无理方程的有（）（A ）2个；（B ）3个（C ）4个（D ）5个3、用换元法解分式方程2213101x x x x +-+=+，如果设21x y x+=，那么原方程化为关于y 的整式方程是（）（A ）230;y y +-=（B ）2310;y y -+= （C ） 2310;y y -+= （D ） 2310.y y --=4、把一枚骰子掷两次，将所得的点数相加，那么下列事件中是随机事件的是（）（A ）点数之和大于1；（B ）点数之和小于1；（C ）点数之和大于12；（D ）点数之和小于10，5、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）（A ）平行四边形（B ）等边三角形（C ）等腰梯形（D ）圆6、下列命题中，是假命题的是（）（A ）菱形的对角线互相平分；（B ）菱形的对角线互相垂直（C ）菱形的对角线相等（D ）菱形的对角线平分一组对角二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7、已知：一次函数2y x b =+的图像经过点（0，-3），那么这个一次函数的解析式为______________．8、已知：A 、B 两点分别是一次函数3y x =+的图像与轴、y 轴的公共点，那么A 、B 两点间的距9、已知：点A （-1，a ）和点B （1，b ）在函数23y x m =-+的图像上，那么a 与b 的大小关系是：a ______________b10、方程340x x -=的解是______________．11、方程420ax x -+=(4)a ≠的解是______________．12、一辆汽车，新车购买价20万元，每年的年折旧率为x ，如果该车购买之后的第二年年末折旧后价值14，25万元，求年折旧率x 的值。

上海市闵行区中考数学二模试卷含答案解析

上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）22．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABC D是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=．8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．9．（4分）方程=1的根是．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=（用、的式子表示）．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）18．（4分）在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos ∠ABC=，点E 在线段AD 上，将△ABE 沿BE 翻折，点A 恰巧落在对角线BD 上点P 处，那么PD= ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算： +（﹣1）﹣2cos45°+8．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知一次函数y=﹣2x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC=90°，tan ∠ABC=．（1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得2S △ABM =S △ABC ，求点M 的坐标．22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？23．（12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）2【解答】解：由题意可知：2xy是二次单项式，故选：C．2．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；（B）2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；（D）原式=，故D错误；故选：C．3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．故选：A．4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD 是菱形，故本选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是矩形，故本选项错误；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=5．【解答】解：原式=1+4=5，故答案为：58．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．【解答】解：4a2﹣3=．故答案为：．9．（4分）方程=1的根是1．【解答】解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣，故答案为：m＜﹣．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为y=﹣x+5．【解答】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，∴k=﹣．又∵截距为5，∴b=5，∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．故答案是：y=﹣x+5．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为8．【解答】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是=0.7，又∵第五组的频率是0.10，∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为：8．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=﹣（用、的式子表示）．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴==，==，∵AE=2DE，∴=，∵=+．∴=﹣，故答案为﹣．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b 相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．故答案是：y=x2+3x﹣．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为cotα（或）．（用锐角α的三角比表示）【解答】解：如图所示：∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=（或），故答案为：（或），17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为17.3米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3．∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=12﹣12．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFC D为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为：12﹣12．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算： +（﹣1）﹣2cos45°+8．【解答】解：原式=﹣1+1﹣2×+2=﹣+2=2．20．（10分）解方程组：【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0x﹣2y=0或x+y=0…………………………………………（2分）原方程组可化为，………………………………（2分）解得原方程组的解为，…………………………………（5分）∴原方程组的解是为，……………………………………（6分）21．（10分）已知一次函数y=﹣2x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC=90°，tan ∠ABC=．（1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得2S △ABM =S △ABC ，求点M 的坐标．【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x +4=0，解得x=2，∴点A 坐标是（2，0）．令x=0，则y=4，∴点B 坐标是（0，4）．∴AB===2．∵∠BAC=90°，tan ∠ABC==，∴AC=AB=．如图1，过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，∠BAO +∠ABO=90°，∠BAO +∠CAD=90°，∵∴∠ABO=∠CAD ，，∴△OAB ∽△DAC ． ∴===，∵OB=4，OA=2，∴AD=2，CD=1，∴点C 坐标是（4，1）．（2）S △ABC =AB•AC=×2×=5．∵2S △ABM =S △ABC ，∴S △ABM =．∵M （1，m ），∴点M 在直线x=1上；令直线x=1与线段AB 交于点E ，ME=m ﹣2；如图2，分别过点A 、B 作直线x=1的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG=OA=2；∴S △ABM =S △BME +S △AME =ME•BG +ME•AF=ME （BG +AF ） =ME•OA=×2×ME=，∴ME=，m ﹣2=， m=，∴M （1，）．22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？【解答】解：设自行车的平均速度是x 千米/时．根据题意，列方程得﹣=，解得：x 1=15，x 2=﹣30．经检验，x 1=15是原方程的根，且符合题意，x 2=﹣30不符合题意舍去．答：自行车的平均速度是15千米/时．23．（12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF•BC=AB•BD ；（2）求证：四边形ADGF 是菱形．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD．…………………………………………………（1分）∴．………………………………………………………（1分）∴BF•BC=AB•B D．………………………………………………（1分）（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分）又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【解答】解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标D（﹣1，4）；（2）令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴A（﹣3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA，在Rt△BOC中，tan∠OCB==，∵AC==3，DC==，AD==2，∴AC2+DC2=20=AD2；∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC===，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），D（﹣1，4），∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，化简得：x﹣2+2y=0，由，解得，．∴点Q的坐标是（，），（，）．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°∴AB=10，如图1，过E作EH⊥AB于H，在Rt△ABC中，sinB=，cosB=在Rt△BEH中，BE=BF=x，∴EH=x，EH=x，∴FH=x，在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2=（x）2+（x）2=x2，∴y=x（0＜x＜8）（2）如图2，取的中点P，联结BP交ED于点G∵=2，P是的中点，EP=EF=PD．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．∵EP=EF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG，又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC，又∵BE是公共边，∴△BEH≌△BEG．∴EH=EG=GD=x．在Rt△CEA中，∵AC=6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=AC•tan∠CAE==∴BE=8﹣=∴ED=2EG=x=，（3）四边形ABDC不可能为直角梯形，①当CD∥AB时，如图3，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD=∠CDB=90°．在Rt△CBD中，∵BC=8．∴CD=BC•cos∠BCD=，BD=BC•sin∠BCD==BE．∴=，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形，②当AC∥BD时，如图4，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD=∠CDB=90°．∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD=90°．∴∠ABD=∠ACB+∠BCD＞90o．与∠ACD=∠CDB=90°矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．即：四边形ABDC不可能是直角梯形21 /21。

2010年上海市高考理科数学试卷及答案（打印版）

2010年普通高等学‎校招生全国统一考试（‎上海卷）数学（理科‎）一、填空题（本大‎题满分56分）本大题‎共有14题，考生必须‎在答题纸相应编号的空‎格内直接填写结果，每‎个空格填对得4分，否‎则一律得零分。

1.‎不等式204xx ->+的解集是 ‎。

2‎.若复数12z i =-（i 为虚数‎单位），则z z z ⋅+= ‎ 。

3.‎ 动点P 到点(2,0)F 的距离‎与它到直线20x +=的距离相‎等，则P 的轨迹方程为‎ ‎。

4.行列式cossin 36sincos36ππππ的值‎是 ‎ 。

5. 圆22:2440C x y x y +--+=‎的圆心到直线l:3440x y ++=的‎距离d = ‎ 。

6‎. 随机变量ξ的概率‎分布率由下图给出：‎则随机变量ξ的均‎值是 ‎7. 201‎0年上海世博会园区每‎天9:00开园，20‎:00停止入园。

在右‎边的框图中，S 表示上‎海世博会官方网站在每‎个整点报道的入园总人‎数，a 表示整点报道前‎1个小时内入园人数，‎则空白的执行框内应‎填入 ‎。

‎ ‎ ‎ 8.‎对任意不等于1的正数‎a ，函数f(x)=log (3)a x +‎的反函数的图像都经过‎点P ，则点P 的坐标是‎ ‎9．从一副混合后的扑‎克牌（52张）中随机‎抽取1张，事件A 为“‎抽得红桃K ”，事件‎B 为“抽得为黑桃”，‎则概率P （A ⋃B ）=‎ ‎（结果用最简分数表示‎）10．在n ‎行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记‎位于第i 行第j 列的数‎为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，112233a a a a +++⋅⋅⋅+= ‎ ‎ 。

11. 将直线‎2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥） x ‎轴、y 轴围成的封闭图‎形的面积记为n S ，则lim n n S →∞=‎ ‎ 。

2010年上海市闵行区高三下学期质量调研考试(数学理含答案)

上海市闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷(理科)编辑：刘彦利1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚. 2 .本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.填空题(本大题满分 56分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 •若2_- a bi (i 为虚数单位，a 、b R )，则a b _______________i2 . A 、B 是两个随机事件，P(A) 0.34 , P(B) 0.32 ,P(AB) 0.31，贝U P(AUB) .11 1 3. 方程190 0的解为 ___________ : _________1 9x3x4. _____________________________________ (2x 1)6展开式中x 2的系数为 :5•某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：6 .已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4 ，球心到该截面的距离为5，则球O 的体积等于 . 7.根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： .&已知函数 f(x) 20 0.618 x 的零点 X 0k, k 1 , k Z ,则k.9.设等差数列 a n 的前n 项之和S n 满足S 10 S 5 40 ,成绩40 50 60 70 80 90 人数112213则总体标准差的点估计值是 ____________________ (精确到0.01)考生注意:开始那么a8.10.已知直线I 的参数方程是 (t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴y 2 t1 111.定义：关于x 的两个不等式f x 0和g x 0的解集分别为 a,b 和，一，则称 b a这两个不等式为对偶不等式•如果不等式x 24... 3xcos2 2x 2 4xsi n2 1 0为对偶不等式，且，，则212•已知5是方程f(x) x k ( k 是实常数)的一个根,程f tx) x k 必有一根是 _______________ .x b13•函数f x在 2,上是增函数的一个充分非必要条件是 .x a14 .对于自然数 n (n 2)的正整数次幕，可以如下分解为n 个自然数的和的形式:1 —1725 3— 22 1,23 3,247,L ,323,33 9 ,34 27,L L52 5,53—丄3 59511297 —9——仿此，k 3 (k N *,k 2)的分解中的最大数为二.选择题(本大题满分 16分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得 4分, 答案代号必须填在答题纸上•注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位.15.如图，已知正六边形 ABCDEF 下列向量的数量积中最大的是［答］()uu uULT E 一 ——D(A) A B AC •/ \uu u uULT F 'C(B) A BAD .(C) uu uABuur AE . ABuu u UULT(D) AAF .16•已知△ ABC 中，AC ^2 , BC 2，则角A 的取值范围是［答］( )建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为距离是2、、2COS ( )，则圆C 的圆心到直线I 的42 0与不等式f 1(x)是f (x)的论正确的是对应的区域内写出必要的步骤.(2)求函数f (x)的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，每小题满分各 7 分.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AD//BC, BAD 90 , PA 垂直于底面ABCD , PA AD AB 2BC 2 , M 、N 分别为PC 、PB 的中点.(1) 求证：PB AM ;(2) 求BD 与平面ADMN 所成的角21. (本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10 分.(A) 6’ 3 - (B)(C)(D)17 .数列a n 中，已知a 1 a 2a 3 1 ,若对任意正整数n ,有a n a n 1a n 2a n 3 a n a n 1a n 2a n 3，且 a n1a n2a n 31，则该数列的前 2010项和 S 2010 ［答］((A)2010.(B) 2011.(C)2010.(D)2008.18.设点 P x, y是曲线楼1上的点，又点只(0,12), F 2(0,12)，(A) PF 1 (C) PF 1PF 2 26.PF 2 26.解答题(本大题满分 78分)(B)(D)本大题共有 PF1PF1PF 2 26. PF 226.5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数f(x) 2sin2cos x , x ,2(1 )若 sin x 45，求函数f (x)的值; DC某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(n 1)米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：(1 )离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？(2)第几区内的火山灰总重量最大？22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3 小题满分6分.设x1> x2R，常数a 0,定义运算" ”：x1 x2 (x1 x2)2，定义运算" ”：X1 冷(X1 X2)2；对于两点A(X1,yJ、B(X2,y2)，定义d(AB) 如y?.(1)若x 0,求动点P x, (x a) (x a)的轨迹C ；、1⑵已知直线h ： y x 1与(1)中轨迹C交于A(N, yj、B(X2, y?)两点，若2(为X2) (y1 y2) 8 15，试求a 的值；⑶在⑵ 中条件下，若直线|2不过原点且与y轴交于点S,与x轴交于点T,并且与(1)中轨迹C交于不同两点P、Q,试求|d(ST)| |d(ST)|的取值范围.|d(SP)| |d(SQ)|55(10 分)623. （本题满分18分）（理）本题共有 3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分.log 3 3x, M (x 1,y 1), N(x 2, y 2)是f x 图像上的两点，横坐标为1 x数学试卷参考答案与评分标准一、填空题 :（每题4分）1 ・-1 ； 2.0.35 ；3.2 ； 4. 60；5.17.64 ；6. 36 ；7. 1 32 52L20092； 8.3 ；9.8 ； 10.理 2 2 ;文(0,2)11. 5 ；612. 理k 5 ;文(-2，4 )； 13. 理符合 a b0且a2的一个特例均可;文符合a4的一个特例均可;14. 理 k 2 k 1 ；文29.二、选择题 :（每题4分）15. A ； 16. D；17. B ； 18. C三、解答题::19.（本题满分14分）理： (1) Qsin x 4 ,x53 ,cosx (2 分)2已知函数f x的点 uuuP 满足2 OPuuuu uuir OM ON （O 为坐标原(1) 求证: y 1 y 2为定值;(2)(n Nn 2)，(3) 求lim n4^ 9Sn4 S n 19 S n 1的值;在⑵ 的条件下，若 a n16 1n 1,2,n 项和，若 T n m S n 1 闵行区（n N ），T n 为数列a n 对一切n N 都成立，试求实数 m 的取值范围. 2009学年第二学期高三年级质量调研考试的前f(x) 2 仝sinx2Icosx 2 cosx 2(4分)■ 3s inx COSX(8 分)(2) f(x) 2sin x(12 分)55(10 分)61文（同理19题）-si n x ；1 , 函数 f(x)的值域为[1, 2].(14 分)2 6文：设z abi (a, b R ）（2分）因为（2i)z (2a b) (a2b ）i 为纯虚数(5 分）2ab 042b 0a —4 8.zi所以a（9分）解得5（12分）故复数（14 分）(a 2)2 b 24b855 520. （本题满分 14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz (图略)，由 PA AD AB 2BC 2 得A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0),1M(1-,1) D(0,2,0)2(2 分)因为 uu u PB uuu u AM (2,0, 1 2) (1-,1)0 (5分)2 所以PB AM . （7分） (2) 因为 uurr PBuuirAD (2,0, 2) (0,2,0) 0 所以PB AD ，又PB AM ,故 PB 平面 uurr ADMN ，即 PB（2, 0, 2）是平面ADMN 的法向量• （9分）uuu uuuuu设BD 与平面ADMN 所成的角为，又BD （ 2,2,0）,设BD 与PB 夹角为解法二：（1）证明：因为 N 是PB 的中点，PA AB ,所以AN PB （2 分）贝V sin cos-u B DP B(12 分)，故BD 与(14 分)由PA 底面ABCD ,得PA AD ，又BAD 90 ,即 BA AD ,AD 平面PAB ,AD PB (4 分)PB 面 ADMN , PB AM(7 分)(2) 联结DN ,Q BP平面ADMN , 故 BDN 为BD 与面ADMN 所成角（9分）Rt ABD 中, BDBA 2 AD 2 Rt PAB 中, PB “ PA 2 AB 2BN 」PB2RtBDN 中,sinBNBDN BDBDN(12 分) 故BD 与平面ADMN 所成的角是一6(14 分)umr uur BD PB121.（本题满分16分）（1）设第n区每平方米的重量为a n千克，则文（同理19题）n 1n 1a n 1000(1 2%) 1000 0.98(2 分) 第 1225 米位于第 25 区， (4 分)a 25 1000 0.9824 616 (千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克(6分)(2)设第n 区内的面积为b n 平方米，则b n502 n 2502(n 1)2 2500 (2n 1)则第5n 1n 区内火山灰的总重量为 C n a n b n 25 10 (2n 1) 0.98(千克)(9分)设第n 区火山灰总重量最大，5n 15n 2nt 25 10 (2n 1) 0.9825 10(2n 3) 0.98八则5 15 ，( 13 分)25 105(2n 1) 0.98 25 1 05(2n 1) 0.98n解得49.5 n 50.5，即得第50区火山灰的总重量最大. (16分)22.(本题满分 16 分)(理)(1)设 y(x —a)—(x —a),则 y 2 (x a) (x a)(x a)2 (x a)2 4ax (2 分) 又由 y . (x a) (x a)》0 可得Rx ,(x a) (x a))的轨迹方程为y 2 4ax(y 0)，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(a,0)的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 (4分)⑵由已知可得4ax1 -x 1 2整理得x 2 (4 16a)x4 0,由 (4 16a)2 160,.・.a舟(6分)X 2) (y 1 y 2)、(X 1 X 2)2(y 1 y 2)2任 X 2)2(为 X 2 )22绑 4 16a)216 8,15 ,(8 分)3解得a 2或a(舍)2(10 分)(3 厂.d(AB) 『2,爲|d(ST)| |ST| |d(SQ)| |SP|旦(12分)|SQ|设直线l 2 : xmy c ,依题意0, c 0,则T(c,0),分别过P 、Q 作PP I y 轴，QQ 丄yx 1 x 2)2 4x )x 2轴，垂足分别为P、Q,则型曲述d上1上1|SP| |SQ| |PR| |QQ1| |X p| |X Q|8 x消去y得x2（2cmy c8m2）x2|c||ST| |ST||SP| |SQ|L）2c2|c| c12 2 •（14分）T X p、X Q取不相等的正数，.••取等的条件不成立••込回也的取值范围是（2, +|d（SP）| |d（SQ）| ）•（16分）（文）解：（1）设AB所在直线的方程为y由x 3y 4得4x2 6mx 3m2 y x m （2分）因为A、B在椭圆上，所以设A B两点坐标分别为则x-i x23m212m2640 •（X1,%）、（X,y2）,中点为44-X0, y°X0x0i x （4、334,33所以中点轨迹方程为P（x o, y o）13X0（4分）（2）QAB// l，且AB边通过点（0,0），故AB所在直线的方程为此时m 0，由（1）可得x1，所以AB （6分）又因为AB边上的高h等于原点到直线I的距离，所以h（8分）S A ABC 2AB h（10分）（3）由（1）得x-i x23m2X]X23m2 44，所以AB >/2|x1X2 .32 6m2（12分）2 m、2（14分）又因为BC的长等于点（0, m）到直线I的距离，即BC所以AC AB BC 2 2m 2m 10 (m 1)211 .所以当m 1时，AC边最长, （这时12 64此时AB所在直线的方程为y(16 分) 23.（本题满分18 分）uuu （理）（1）证明：由已知可得，OP 1 uuuu2(OMuuurON)，所以P是MN的中点，有X1 X2 1, y1 y2 log3-3X11 X2空X— 1 (4 分)X2) X-|X2（2 ）由（1）知当X-I x2 1 时，y1 y2f(xj f(X2) 1.S n )L n f(U①n心)nf(2)n1f(-)②n(6分)4S nn im4q 1 9S9Sn1limn3n(10 分)(3)当n 2时, 1n"~2又当n 1时, a, J所以a n6 (12 分)1 1 1 1 故T n (2 才(3 4)（宀") n2( n 2)(14 分)QT n m(S n 1 1)对一切n 都成立，即2)2恒成立(16 分)(文)b n 1(2)2S n1 18，所以m的取值范围是（8,(18 分)(1) a n 1 2a n 2n,(2 分)b n 1，由（1）可得故b n为等差数列,n 1a n n21 212 223 23(6分)(n 1)b1S n1，b n1 20n 2n2 2122(4分)2* 1两式相减，得S20 21222* 1 n 2n2n 1 n 2n，limn(n 1)2" 1 12(10 分)S n (n 1)2n 11（3）由（1）可得 T n n 2, （12 分）••• d nT n 4 a ： T n 1 4^（d 1 d 2 d 3 L d n d n 1）（d 1 d ? d ? L d n ）• {d 1 d 2 d 3 L d n ｝单调递增，即d 1 d 2 d 3 L d nid 1 3 0（14分）要使 d 1 d 2 d 3 L d n log 8（2m t)对任意正整数n 成立, 1 必须且只需—log 8(2m t)，即0 3 2m t 2对任意m [1,2]恒成立• （16 分）•••［21，41］（o , 2］，即 4t2 t 2矛盾• 2•••满足条件的实数t 不存在.（18分）。

闵行区高考数学二模试卷含答案

闵行区高考数学二模试卷含答案The document was finally revised on 20212017年闵行区高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1. 方程()3log 212x +=的解是．2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i是虚数单位），且12z z为纯虚数，则实数a = ．4. 直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则 ( )(A) 12t=，s 的最小值为6π (B) 2t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) t =，s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：AB CPQD（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形， AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2x f x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．（1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中 120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道BAD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．闵行区2016-2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16；6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 10．2； 11．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ．三.解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h 解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分所以sinarc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin arc ………………14分解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin5A MA BMA B∠===……………………12分所以1arcsin5A BM∠=所以直线1BA与平面ABM所成的角为sinarc………………14分18．[解]（1）由()4()3f xg x=+得2423x x-=⋅+……………………2分223240x x⇒-⋅-=所以21x=-（舍）或24x=，……………………4分所以2x=……………………6分（2）由()(2)3f a xg x+--≥得2223a x x+-≥……………………8分2223a x x+≥+2232a x x-⇒≥+⋅……………………10分而232x x-+⋅≥，当且仅当[]4232,log30,4x x x-=⋅=∈即时取等号…12分所以2a≥211log32a≥+．………………………………14分19．[解]（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得8004001200000x y+=，即23000x y+=，………………………………2分1sin1202ABCS x y∆=⋅⋅yx⋅⋅=43…………………………4分yx⋅⋅=28322283⎪⎭⎫⎝⎛+≤yx=2m当且仅当yx=2，即750,1500x y==时等号成立，所以当ABC△的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米 (6)分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m==．由2133AD AB AC =+ …………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分 222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM kk k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分 21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分令1111222233x f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分（2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n=--+，………………6分即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n*+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- ………………10分所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C CCn n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--……16分12!nn T n +⇒=则12lim lim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。

上海数学各区二模卷-第25题带答案

各区二模卷答题25．（2010年二模奉贤区本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．证明：（1）∵AM⊥AC ，∠ACB =90°∴AM ∥BC ∴BPAPBC AE =--------------------------------------(1分) ∵BC =6，AC =8， ∴AB=10-----∵AE =x ，AP =y ∴y y x -=106 ∴()0610>+=x xx y ----------（2）假设在射线AM 上存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似 ∵AM ∥BC ∴∠B =∠BAE ∵∠ACB =90° ∠AE P ≠90° ∴△ABC ∽△EAP -∴AP AE BC AB =-----------------（1分）∴xx x +=610610 解得：0,33221==x x （舍去）-----∴当AE 的长为332时，△ABC ∽△EAP （3）∵⊙C 与⊙E 相切，AE =x ①当点E 在射线AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=6-x ，第25题图1NEC=286+=+-x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8+=+x x 解得：15=x ∴⊙E 的半径为9. -----------------------------------（2分） ②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)14(8x x -=+ 解得：733=x ∴⊙E 的半径为79.---------------------------------（2分）③当点E 在射线DA 上，⊙C 与⊙E 内切时，ED=6+x ， EC=286-=-+x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8-=+x x 解得：15-=x （舍去）-------------------------------------------------（1分） ∴当⊙C 与⊙E 相切时，⊙E 的半径为9或79。

2010年上海市闵行区初中数学二模卷试题及参考答案【纯word版,完美打印】

闵行区2010学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．数轴上任意一点所表示的数一定是（A ）整数；（B ）有理数；（C ）无理数；（D ）实数.2．已知点A 与点B （2，-3）关于y 轴对称，那么点A 的坐标为（A ）（-3，2）；（B ）（-2，-3）；（C ）（-2， 3）；（D ）（2，3）.3．用换元法解分式方程2213+101x x x x +-=+，如果设y xx =+12，那么原方程化为关于y的整式方程是（A ）032=-+y y ；（B ）2310y y -+=；（C ）2310y y -+=；（D ）2310y y --=.4．已知直线y k x b =+经过第一、二、三象限，那么直线y b x k =+一定不经过（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限.5．关于长方体有下列三个结论：① 长方体中每一个面都是长方形；② 长方体中每两个面都互相垂直； ③ 长方体中相对的两个面是全等的长方形．其中结论正确的个数有（A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个.6．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3、5，⊙O 1上一点A 与⊙O 2的圆心O 2的距离等于6，那么下列关于⊙O 1和⊙O 2的位置关系的结论一定错误的是（A ）两圆外切；（B ）两圆内切；（C ）两圆相交；（D ）两圆外离.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：32(2)a = ▲ . 8．分解因式：32x x -= ▲ .9．已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=有两个实数根，那么m 的取值范围是 ▲ .10x =的解是 ▲ . 11．已知函数()f x =，那么(1)f -= ▲ .12．写出一个反比例函数的解析式，使其图像在每个象限内，y 的值随x 的值的增大而增大，那么这个函数的解析式可以是 ▲ .（只需写出一个符合题意的函数解析式）13．将二次函数22(1)3y x =-- 的图像沿着y 轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图像的顶点坐标是 ▲ .14．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是合数的概率为 ▲ .15．已知：在△ABC 中，DE // BC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD = 2BD ，如果AB a = ，AC b =，那么DE = ▲ .（用向量a 、b 的式子表示） 16．某飞机在1500米的上空测得地面控制点的俯角为60°，那么此时飞机与地面控制点的距离为 ▲ 米．（结果保留根号）17．经过测量，不挂重物时弹簧长度为6厘米，挂上2.5千克的重物时弹簧长度为7.5厘米，那么弹簧长度y （厘米）与所挂重物的质量x （千克）的函数解析式为 ▲ ． 18．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AB =6．如果将△ABC 在直线AB 上平行移动2个单位后得△A ′B ′C ′，那么△CA ′B 的面积为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：11()x x x x -÷-，其中2x =.20．（本题满分10分）解不等式组：2(1)34,4312.34x x x x +<+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩ 并把解集在数轴上表示出来.ABC（第18题图）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5ABC ∠=．求：（1）弦BC 的长；（2）∠OBC 的正切的值．22．（本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分，满分10分）某校九年级260名学生进行了一次数学测验，随机抽取部分学生的成绩进行分析，这些成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图（如图所示），从左到右前四个小组的频率分别为0.1、0.2、0.3、0.25，最后一组的频数为6．根据所给的信息回答下列问题：（1）共抽取了多少名学生的成绩？（2）估计这次数学测验成绩超过80分的学生人数约有多少名？（3）如果从左到右五个组的平均分分别为55、68、74、86、95分，那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多少分？23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC = CD ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，点F 在BD 上，联结AF 、EF ．（1）求证：AD = ED ；（2）如果AF // CD ，求证：四边形ADEF 是菱形．ABCDEF（第23题图）（第21题图）60.5 80.5 100.5 （第22题图）24．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分，满分12分）如图，已知：抛物线23y x b x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，并且OA = OC .（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C 作CE // x 轴，交抛物线于点E ，设抛物线的顶点为点D ，试判断△CDE 的形状，并说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴l 上，且△MCD 的面积等于△CDE 的面积，请写出点M 的坐标（无需写出解题步骤）．25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，联结BE ，∠ABE = 30°，BE = DE ，联结BD ．点M 为线段DE 上的任意一点，过点M 作MN // BD ，与BE 相交于点N ．（1）如果AB =AD 的长；（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M 为线段DE 的中点，联结CN ．过点M 作MF ⊥CN ，垂足为点F ，求线段MF 的长；（3）试判断BE 、MN 、MD 这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．ABC D EMN（第25题图）A BCDEMN（图1）F………………………………………………………………………………………………………………………………………………………密封线内不准答题（第24题图）闵行区2010学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案以及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ；2．B ；3．A ；4．D ；5．C ；6．B .二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．64a ；8．(x x x ；9．4m ≤；10．x = 3；11；12．1y x=-（正确即可）；13．（1，0）；14．13；5．2233b a -；16．17．365y x =+；18．6或9．三．解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式211x x x x--=÷……………………………………………………………（2分） 211x x x x -=⨯-……………………………………………………………（2分） 11x =+．…………………………………………………………………（2分）当2x =时，原式=（1分）=1=．………………………………………………………………（3分）20．解：由 2(1)34x x +<+，得 2x -<．…………………………………………………………………（3分）解得 2x >-．由431234x x --≤，得 721x ≤．解得 3x ≤．…………………………………………………………………（3分）所以，原不等式组的解集为 23x -<≤．…………………………………（2分）在数轴上画出不等式组的解集正确．………………………………………（2分）21．解：（1）联结AO ，AO 的延长线与弦BC 相交于点D ．在⊙O 中，∵ AB = AC ，∴ A B A C =．…………………………（1分）又∵ AD 经过圆心O ，∴ AD ⊥BC ，BC = 2BD ．…………………（1分）在Rt △ABD 中， AB = 10，4sin 5ABC ∠=，∴ 4s i n 1085A D A B A B C =⋅∠=⨯=． ………………………………（2分）于是，由勾股定理得 6B D ==． ∴ BC = 12．……………………………………………………………（1分）（2）设⊙O 的半径OB = r ．在⊙O 中，由 OA = OB = r ，得 OD = 8 – r ．在Rt △OBD 中，利用勾股定理，得 222BD OD OB +=，即得 2236(8)r r +-=．………………………………………………（2分）解得 254r =．∴ 254OB =．………………………………………（1分）∴ 257844OD =-=．…………………………………………………（1分） ∴ 774t a n 624OD OBC BD ∠===．………………………………………（1分）22．解：（1）最后一组的频率为 1 – 0.1 – 0.2 – 0.3 – 0.25 = 0.15． ………………（1分）所以 6 ÷ 0.15 = 40（名）． ……………………………………………（1分）所以，共抽取了40名学生的成绩．…………………………………（1分）（2）成绩超过80分的组频率之和为 0.25 +0.15 = 0.4．…………………（1分）所以 0.4 ×260 = 104（名）．…………………………………………（1分）所以，估计这次数学测验超过80分的学生人数约有104名．……（1分）（3）五个组的频数分别为4、8、12、10、6．……………………………（1分）加权平均数为 554688741286109564812106v ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++…………（1分）308277.540==．……………………………………（1分）所以，估计这次数学测验成绩的平均分约为77.5分． ……………（1分）23．证明：（1）∵BC = CD，∴∠CDB =∠CBD．……………………………（1分）∵AD // BC，∴∠ADB =∠CBD．∴∠ADB =∠CDB．………………………………………………（1分）又∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD =∠BED = 90°．………（1分）于是，在△ABD和△EBD中，∵∠ADB =∠CDB，∠BAD =∠BED，BD = BD，∴△ABD≌△EBD．………………………………………………（2分）∴AD = ED．………………………………………………………（1分）（2）∵AF // CD，∴∠AFD =∠EDF．……………………………（1分）∴∠AFD =∠ADF，即得AF = AD．…………………………（1分）又∵AD = ED，∴AF = DE．…………………………………（1分）于是，由AF // DE，AF = DE，得四边形ADEF是平行四边形．……………………………………（2分）又∵AD = ED，∴四边形ADEF是菱形．…………………………………………（1分）24．解：（1）当x = 0时，得y = -3．∴C（0，-3）．…………………………（1分）∵OA = OC，∴OA = 3，即得A（-3，0）．…………………（1分）由点A在抛物线23=+-上，y x b x得9330--=．b解得b = 2．……………………………………………………………（1分）∴所求抛物线的解析式是223=+-．…………………………（1分）y x x（2）由CE // x轴，C（0，-3），可设点E（m，-3）．由点E在抛物线223=+-上，y x x得2233+-=-．m m解得m1 = -2，m2 = 0．∴E（-2，-3）．……………………………………………………（1分）又∵22y x x x=+-=+-，23(1)4∴顶点D（-1，-4）．………………………………………………（1分）∵CD=ED==，CE = 2，∴CD = ED，且222+=．C D E D C E∴△CDE是等腰直角三角形．……………………………………（3分）（3）M1（-1，-2），M2（-1，-6）．…………（3分，其中只写出一个得2分）25．解：（1）由矩形ABCD ，得 AB = CD ，∠A =∠ADC = 90°．在Rt △ABE 中，∵ ∠ABE = 30°，AB =∴ t a n 2A E A B A B E =⋅∠=，BE = 2AE = 4．…………（2分）又∵ BE = DE ，∴ DE = 4．于是，由 AD = AE +DE ，得 AD = 6．……………………………（2分）（2）联结CM ．在Rt △ABD 中，BD 1分） ∴ BD = 2AB ，即得 ∠ADB = 30°．∵ MN // BD ，∴ ∠AMN =∠ADB = 30°．…………………………（1分）又∵ MN // BD ，点M 为线段DE 的中点， ∴ DM = EM = 2，12MN EM BD ED ==．∴ 12MN BD ==………………………………………………（1分）在Rt △CDM 中，tan CD CMD MD ∠==∴ ∠CMD = 60°，即得 CM = 4，∠CMN = 90°．………………（1分）由勾股定理，得 CN == 于是，由 MF ⊥CN ，∠CMN = 90°，得 1MN CM MF CN ⋅=== ……………………………（1分）（3）BE DM =． …………………………………………………（1分）证明如下：过点E 作EF ⊥BD ，垂足为点F ．∵ BE = DE ，EF ⊥BD ，∴ BD = 2DF ．…………………………（1分）在Rt △DEF 中，由 ∠EDB = 30°，得 c o s D F D E E D D E =⋅∠，即得 B D B E．…………（1分） ∵ MN // BD ，∴ M N E NB D E B =，DM BN DE BE =，即得 E N BE =，BN = DM ．∴ E N M N =．……………………………………………………（1分）于是，由 BE = BN +EN ，得 B E D M M N =．………………（1分）。

2024年上海闵行区初三二模数学试卷和答案

2023-2024学年上海闵行区第二学期初三年级学业质量调研数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．4．本次考试不能用计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，有理数是（）A.3π- B.1- C.D.2.下列运算正确的是（）A.2a a a+= B.2a a a⋅= C.33(2)8a a = D.()326a a -=3.下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的函数是（）A.1y x=B.2y x =-+C.2y x =- D.1y x=-4.某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（）A.150，150B.155，155C.150，160D.150，1555.在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，5AB =，12AC =，以点A ，点B ，点C 为圆心的,,A B C 的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（）A.点B 在A 上B.A 与B 内切C.A 与C 有两个公共点D.直线BC 与A 相切6.在矩形ABCD 中，AB BC <，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，联结DE 、DF 、EF ，,,,AB a BE CF b DE c BEF DFC ====∠=∠，以下两个结论：①222()()a b a b c ++-=；②2a b c +>．其中判断正确的是（）A.①②都正确B.①②都错误；C .①正确，②错误D.①错误，②正确二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：124＝____.8.单项式22xy 的次数为______．9.不等式组2620x x <⎧⎨->⎩的解集是______．10.计算：()()32523a b a b -++=________.11.分式方程2111x x x =--的解是______．12.若关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是_______．13.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两.2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，那么可列方程组为______．14.某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：A 畅谈交流心得；B 外出郊游骑行；C 开展运动比赛；D 互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示D 的扇形圆心角的度数为______．15.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 与BD 互相垂直，2AC =，那么梯形ABCD 的中位线长为______．16.已知二次函数的解析式为21y x bx =++，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b 的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是______．17.如图，在ABC 中，BC AC 、上的中线AE BD 、相交于点F ，如果BAE C ∠=∠，那么AFAC的值为______．18.在Rt ABC △中，3906sin 5B ABC ∠=︒==，，，D 为边AB 上一动点，将DA 绕点D 旋转，使点A 落在边AC 上的点E 处，过点E 作EF DE ⊥交边BC 于点F ，连接DF ，当DEF 是等腰三角形时，线段CF 的长为______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.01182024222-⎛⎫-++⎪⎝⎭．20.先化简，再求值：22111211a a a a a a a +++÷--+-，其中2a =21.如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，GD AC ∥，DGF DEF ∠=∠，B GFE ∠=∠．（1）求证：四边形EDGF 是平行四边形；（2）求证：GF CDAB AC=．22.某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．时间x8时11时14时17时20时1y 自西向东交通量（辆/分钟）10162228342y 自东向西交通量（辆/分钟）2522191613（1）请用一次函数分别表示1y 与x 、2y 与x 之间的函数关系．（不写定义域）（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为12v y y =+总，车流量大的方向交通量为m v ，经查阅资料得：当23m v v ≥总，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况，该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．23.沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义．．．．．．．：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作O 的内接正六边形的方法．①在O 上任取一点A ，以A 为圆心、AO 为半径作弧，在O 上截得一点B ；②以B 为圆心，AO 为半径作弧，在O 上截得一点C ；再如此从点C 逐次截得点D 、E 、F ；③顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ．（1）根据正多边形的定义．．．．．．．．．，我们只需要证明__________，________（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF 是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作O 的内接正五边形的方法．①作O 的两条互相垂直的直径PQ 和AF；②取半径OP 的中点M ；再以M 为圆心、MA 为半径作弧，和半径OQ 相交于点N ；③以点A 为圆心，以AN 的长为半径作弧，与O 相截，得交点B ．如此连续截取3次，依次得分点C 、D 、E ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，那么五边形ABCDE 是正五边形．（2）已知O 的半径为2，求边AB 的长，并证明五边形ABCDE 是正五边形．（参考数据：sin 22.5︒=，cos22.5︒=sin 36=︒51cos364︒=，sin 72=︒．）24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于()1,0A -、B 两点，且与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D 是x 正半轴上一点，2ADC ACO ∠=∠，且四边形AQCD 是菱形，请直接写出点D 和点Q 的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形（线段AE 与线段BC 不相交），求t 的取值范围．25.如图，OB 是O 的半径，弦AB 垂直于弦BC ，点M 是弦BC 的中点，过点M 作OB 的平行线，交O于点E 和点F ．（1）如图1，当AB BC =时．①求ABO ∠的度数；②连接OE ，求证：30OEF ∠=︒；（2）如图2，连接OE ，当AB BC ≤时，tan ,OEF x ∠=ABy BC=，求y 关于x 的函数关系式并直接写出定义域．2023-2024学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷含答案（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．4．本次考试不能用计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，有理数是（）A.3π- B.1- C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题考查有理数的识别，整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【详解】解：3π-1-是有理数，故选：B ．2.下列运算正确的是（）A.2a a a +=B.2a a a⋅= C.33(2)8a a = D.()326a a -=【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据整式加法法则、单项式乘以单项式法则以及积的乘方运算法则逐项分析判断即可．【详解】解：A.2a a a +=，故本选项运算错误，不符合题意；B.2a a a ⋅=，故本选项运算错误，不符合题意；C.33(2)8a a =，本选项运算正确，符合题意；D.()326a a -=-，故本选项运算错误，不符合题意．故选：C ．3.下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的函数是（）A.1y x=B.2y x =-+C.2y x =- D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质．根据一次函数和反比例函数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A 、1y x=是反比例函数，10k =>，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，所以A 选项不合题意；B 、2y x =-+是一次函数，10k =-<，y 随x 的增大而减小，所以B 选项不合题意；C 、2y x =-是一次函数，10k =>，y 随x 的增大而增大，所以C 选项符合题意；D 、1y x=-是反比例函数，10k =-<，在每个象限内，y 随x 的增大而减增大，所以D 选项不合题意；故选：C ．4.某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（）A.150，150 B.155，155C.150，160D.150，155【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查算术平均数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和算术平均数的定义列式求解即可．【详解】解：这组数据的平均数为()11661601601501341301506⨯+++++=，中位数为1601501552+=，故选：D ．5.在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，5AB =，12AC =，以点A ，点B ，点C 为圆心的,,A B C 的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（）A.点B 在A 上B.A 与B 内切C.A 与C 有两个公共点D.直线BC 与A 相切【答案】D 【解析】【分析】首先利用勾股定理解得13BC =，然后根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，逐项分析判断即可．【详解】解：∵90,5,12CAB AB AC ∠=︒==，∴13BC ===，∵5AB =，A 的半径为5，∴点B 在A 上，选项A 正确，不符合题意；∵, A B 的半径分别为5、10，且1055AB =-=，∴A 与B 内切，选项B 正确，不符合题意；∵125813AC =<+=，∴A 与C 相交，有两个公共点，选项C 正确，不符合题意；如下图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵1122ABC S AC AB BC AD =⨯=⨯ ，∴111251322AD ⨯⨯=⨯⨯，解得6013AD =，∵60513AD =<，∴直线BC 与A 相交，选项D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．6.在矩形ABCD 中，AB BC <，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，联结DE 、DF 、EF ，,,,AB a BE CF b DE c BEF DFC ====∠=∠，以下两个结论：①222()()a b a b c ++-=；②2a b c +>．其中判断正确的是（）A.①②都正确B.①②都错误；C.①正确，②错误D.①错误，②正确【答案】A 【解析】【分析】先证明()ASA BEF CFD ≌，则,BFE CDF EF DF ∠=∠=，再证明DEF 是等腰直角三角形，则2222EF DF DE c===，进一步得到a =22212a b c +=，利用完全平方公式进行计算即可证明①正确，由22212a b c +=22c =，根据()222222a b a ab b a b +=++>+即可证明②正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C ∠=∠=︒，AB CD a ==∵,BE CF b BEF DFC ==∠=∠∴()ASA BEF CFD ≌，∴,BFE CDF EF DF ∠=∠=，∴90BFE CFD CDF CFD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90EFD ∠=︒∴DEF 是等腰直角三角形，∴2222EF DF DE c ===，∴CD BF ====，∴a =∴22212a b c +=，∴()22222222221()()22222a b a b a ab b a ab b a bc c ++-=+++-+=+=⨯=，故①正确；∵22212a b c +=，22c =，∵()222222a b a ab b a b +=++>+，∴a b +>，∴2a b c +>故②正确，故选：A【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、二次根式的运算等知识，证明()ASA BEF CFD ≌是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：124＝____.【答案】2【解析】【分析】根据算术平方根的计算法则进行计算，即可得到答案.【详解】1242=，故答案为2.【点睛】本题考查求算术平方根，解题的关键是掌握求算术平方根的方法.8.单项式22xy 的次数为______．【答案】3【解析】【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．【详解】解：单项式22xy 的次数为：3．故答案为3．【点睛】本题考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题的关键．9.不等式组2620x x <⎧⎨->⎩的解集是______．【答案】23x <<##32x >>【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可．【详解】解：2620x x <⎧⎨->⎩①②，解不等式①，可得3x <，解不等式②，可得2x >，所以，该不等式的解集为23x <<．故答案为：23x <<．10.计算：()()32523a b a b -++= ________.【答案】1612a b+r r 【解析】【分析】去括号，按照向量的加减法法则计算即可．【详解】原式=6310151612a b a b a b -++=+r r r r r r故答案为：1612a b +r r ．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算法则是解答本题的关键．数乘向量满足下列运算律：设λ，μ为实数，则①()a a a λμλμ+=+ ，②()a a λμλμ= ，③()a b a b λλλ+=+ ．11.分式方程2111x x x =--的解是______．【答案】=1x -【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是求解后必须检验是否为增根．等号两边同时乘以()1x -，求解并检验即可．【详解】解：2111x x x =--，等号两边同时乘以()1x -，可得21x =，解得1x =±，当1x =时，10x -=，所以，1x =是该分式方程的增根，当=1x -时，10x -≠，所以，=1x -是该分式方程的解，所以，分式方程2111x x x =--的解是=1x -．故答案为：=1x -．12.若关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是_______．【答案】1m >【解析】【分析】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式，根据方程没有实数根得出判别式小于0，列出关于m 的不等式求解即可．【详解】解：关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，440m \D =-<，解得：1m >．故答案为：1m >．13.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两.2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，那么可列方程组为______．【答案】52192516x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组.根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．【详解】解：设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，，由题意可得，52192516x y x y +=⎧⎨+=⎩，故答案为：52192516x y x y +=⎧⎨+=⎩．14.某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：A 畅谈交流心得；B 外出郊游骑行；C 开展运动比赛；D 互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示D 的扇形圆心角的度数为______．【答案】90︒##90度【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图等知识，确定参与调查的学生总人数以及D 组人数是解题关键．首先根据扇形统计图和条形统计图确定参与调查的学生总人数，进而可得D 组人数，然后利用“360︒⨯D 组学生占比”求解即可．【详解】解：根据题意，可得，参与调查的学生总人数为1640%40÷=人，则D 组人数为40168610---=人，所以，扇形统计图中表示D 的扇形圆心角的度数为103609040︒⨯=︒．故答案为：90︒．15.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 与BD 互相垂直，AC =，那么梯形ABCD 的中位线长为______．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了梯形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过A 作AE BD ∥交CB 的延长线于E ，证明四边形ADBE 是平行四边形，易得AE BD AC ==，进而可得ACE △是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边的长求得斜边的长，从而利用中位线定义求得答案．【详解】解：过A 作AE BD ∥交CB 的延长线于E ，∵AD BC ∥，AE BD ∥，∴四边形ADBE 是平行四边形，∴AD BE =，AE BD =，∵等腰梯形ABCD 中，AC BD =，∴AE AC =，∵AC BD ⊥，AE BD ∥，∴AE AC ⊥，∴ACE △是等腰直角三角形，∵5AC =，∴24CE BC BE BC AD =+=+==，∴梯形的中位线122CE ==．故答案为：2．16.已知二次函数的解析式为21y x bx =++，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b 的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率是______．【答案】23【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，简单概率计算等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先确定当0b =、1b =和2b =时二次函数的顶点坐标，然后根据简单概率计算公式求解即可．【详解】解：当0b =时，该二次函数的解析式为21y x =+，其顶点坐标为()0,1，在y 轴上；当1b =时，该二次函数的解析式为2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，其顶点坐标为13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，不在坐标轴上；当2b =时，该二次函数的解析式为()22211y x x x =++=+，其顶点坐标为()1,0-，在x 轴上．综上可知，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b 的值，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的是0，2，所以，得到的二次函数图像的顶点在坐标轴上的概率23P =．故答案为：23．17.如图，在ABC 中，BC AC 、上的中线AE BD 、相交于点F ，如果BAE C ∠=∠，那么AF AC 的值为______．【答案】3【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明23AD AH =，再证明ADF AHE ∽，则23AF AD AE AH ==，证明ABE CBA △∽△，则BE BA AE BA BC AC==，设BE CE k ==，则2BC k =，得到AB =（负值舍去），进一步得到2AE AC =，则2322AF AE ==，即可得到答案．【详解】解：过点E 作EH BD ∥于点H，∴CH CEDH BE =，∵BC AC 、上的中线AE BD 、相交于点F ，∴12BE CE BC ==，∴1122CH DH CD AD===∴23AD AH =，∵EH BD∥∴ADF AHE∽∴23AF ADAE AH ==∵BAE C ∠=∠，ABE CBA ∠=∠，∴ABE CBA△∽△∴BE BA AE BA BC AC==∴2=⋅AB BE BC设BE CE k ==，则2BC k =，∴2222AB BE BC k k k =⋅=⋅=，∴AB =（负值舍去），∴2222AE BA AC BC k ===∴2AE AC =，∴2322AF AE ==∴3AF AC =故答案为：318.在Rt ABC △中，3906sin 5B AB C ∠=︒==，，，D 为边AB 上一动点，将DA 绕点D 旋转，使点A 落在边AC 上的点E 处，过点E 作EF DE ⊥交边BC 于点F ，连接DF ，当DEF 是等腰三角形时，线段CF 的长为______．【答案】257【解析】【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，先求解10AC =，8BC =，再判断DEF 为等腰三角形时，只有DE EF =，再证明DE DA CF EF ==，，再利用勾股定理建立方程可得答案．【详解】解：∵3906sin 5B AB C ∠=︒==，，，∴635AB AC AC ==，∴10AC =，8BC ==，∵DEF 为直角三角形，∴当DEF 为等腰三角形时，只有DE EF =，如图，设DE EF x ==时，而90DEF ∠=︒，∴DF =，90DEA CEF ∠+∠=︒，由旋转可得：AD DE x ==，∴A DEA ∠=∠，6BD x =-，∵90C A Ð+Ð=°，∴C CEF ∠=∠，∴EF CF x ==，∴8BF x =-，∴()())22268x x -+-=，解得：257x =，即257CF =；故答案为：257．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.011202422-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭．【答案】3+【解析】【分析】本题主要考查了二次根式运算、负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据二次根式性质、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则以及绝对值的性质进行运算，然后进行加减运算即可．【详解】解：原式122=++3=．20.先化简，再求值：22111211a a a a a a a +++÷--+-，其中a =【答案】11a a +-；3+【解析】【分析】本题主要考查分式的四则运算以及二次根式的化简求值，根据分式的加法法则，除法法则把原式化简，把a 的值代入计算即可．【详解】解：22111211a a a a a a a +++÷--+-()()2111111a a a a a a +-=+⋅-+-111a a a =+--11a a +=-；当a =213===+．21.如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，GDAC ∥，DGF DEF ∠=∠，B GFE ∠=∠．（1）求证：四边形EDGF 是平行四边形；（2）求证：GF CD AB AC=．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形EDGF 是平行四边形是解题关键．（1）首先证明GF DE ∥，然后利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形EDGF 是平行四边形即可；（2）首先由平行四边形的性质可得DE GF =，DE GF ∥，进而证明CDE CAB ∽△△，由相似三角形的性质即可证明结论．【小问1详解】证明：∵GD AC ∥，∴180DGF GFE ∠+∠=︒，∵DGF DEF ∠=∠，∴180DEF GFE ∠+∠=︒，∴GF DE ∥，又∵GD AC ∥，∴四边形EDGF 是平行四边形；【小问2详解】证明：∵四边形EDGF 是平行四边形，∴DE GF =，DE GF ∥，∴GFE DEC ∠=∠，∵B GFE ∠=∠，∴B DEC ∠=∠，又∵C C ∠=∠，∴CDE CAB ∽△△，∴DE CDAB AC=，∵DE GF =，∴GF CDAB AC=．22.某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．时间x8时11时14时17时20时1y 自西向东交通量（辆/分钟）10162228342y 自东向西交通量（辆/分钟）2522191613（1）请用一次函数分别表示1y 与x 、2y 与x 之间的函数关系．（不写定义域）（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为12v y y =+总，车流量大的方向交通量为m v ，经查阅资料得：当23m v v ≥总，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况，该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．【答案】（1）()11110y k x b k =+≠，233y x =-+（2）8时到9时，可变车道的方向为自东向西；18时到20时，可变车道的方向为自西向东，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的应用、解不等式的应用等知识，结合题意确定一次函数解析式是解题关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）结合（1）可知单位时间内双向交通总量为27v x =+总，分123y v ≥总和223y v ≥总两种情况讨论，分别建立关于x 的不等式，求解即可获得答案．【小问1详解】解：设自西向东交通量()11110y k x b k =+≠，将点()8,10、()20,34代入，可得11111083420k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1126k b =⎧⎨=-⎩，∴自西向东交通量126y x =-；设自东向西交通量()22220y k x b k =+≠，将点()8,25、()20,13代入，可得22222581320k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22133k b =-⎧⎨=⎩，∴自东向西交通量233y x =-+；【小问2详解】结合（1）可知，单位时间内双向交通总量为()12263327v y x x y x =-+-+=+=+总，当123y v ≥总，即()226273x x -≥+时，解得18x ≥；当223y v ≥总，即()233273x x -+≥+时，解得9x ≤．所以，8时到9时，可变车道的方向为自东向西；18时到20时，可变车道的方向为自西向东．23.沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义．．．．．．．：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作O 的内接正六边形的方法．①在O 上任取一点A ，以A 为圆心、AO 为半径作弧，在O 上截得一点B ；②以B 为圆心，AO 为半径作弧，在O 上截得一点C ；再如此从点C 逐次截得点D 、E 、F ；③顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ．（1）根据正多边形的定义．．．．．．．．．，我们只需要证明__________，________（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF 是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作O 的内接正五边形的方法．①作O 的两条互相垂直的直径PQ 和AF；②取半径OP 的中点M ；再以M 为圆心、MA 为半径作弧，和半径OQ 相交于点N ；③以点A 为圆心，以AN 的长为半径作弧，与O 相截，得交点B ．如此连续截取3次，依次得分点C 、D 、E ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，那么五边形ABCDE 是正五边形．（2）已知O 的半径为2，求边AB 的长，并证明五边形ABCDE 是正五边形．（参考数据：sin 22.5︒=，cos22.5︒=sin 36=︒1cos364︒=，sin 72=︒．）【答案】（1）AB BC CD DE EF FA =====，A B C D E F∠=∠=∠=∠=∠=∠（2）AB =，证明五边形ABCDE 是正五边形见详解【解析】【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案；（2）首先结合题意并根据勾股定理解得AM =，进而可得MN AM ==，易得1ON =，再在Rt AON △中，由勾股定理解得AN =，即可确定AB 的值；连接BF ，OB ，OC ，OD ，OE ，结合AF 为O 直径易得90ABF ∠=︒，利用三角函数可得36AFB ∠=︒，由圆周角定理可得72AOB ∠=︒，进而可得54OAB OBA ∠=∠=︒，然后利用全等三角形的性质可证明AB BC CD DE EA ====，108ABC BCD CDE DEA EAB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，即可证明结论．【小问1详解】解：根据正多边形的定义，我们只需要证明AB BC CD DE EF FA =====，A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠，就可证明六边形ABCDEF 是正六边形．故答案为：AB BC CD DE EF FA =====，A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠；【小问2详解】解：根据题意，可得AF PQ ⊥，2OP OA ==，∵点M 为半径OP 的中点，∴112OM OP ==，∴在Rt AOM △中，AM ===，∵以M 为圆心、MA 为半径作弧，和半径OQ 相交于点N ，∴MN AM ==，∴1ON MN OM =-=，∴在Rt AON △中，AN ==∵以点A 为圆心，以AN 的长为半径作弧，与O 相截，得交点B ，∴AB AN ==；如下图，连接BF ，OB ，OC ，OD ，OE ，∵AF为O 直径，∴90ABF ∠=︒，224AF =⨯=，∵1025sin 4AB AFB AF-∠==∴36AFB ∠=︒，∴272AOB AFB ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴()1180542OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒，在OAB 和OBC △中，OA OB AB BC OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴OAB OBC ≌，∴72AOB BOC ∠=∠=︒，∴54OBC OCB ∠=∠=︒，同理可得OCD ODE OAB ≌≌，∴72AOB BOC COD DOE ∠=∠=∠=∠=︒，∴36072EOA AOB BOC COD DOE AOB ∠=︒-∠-∠-∠-∠=︒=∠，又∵OE OA =，OA OB =，∴()SAS EOA AOB ≌，∴EA AB =，54OEA OAE ∠=∠=︒，∴AB BC CD DE EA ====，542108ABC BCD CDE DEA EAB ∠=∠=∠=∠=∠=︒⨯=︒，∴五边形ABCDE 是正五边形．【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于()1,0A -、B 两点，且与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D 是x 正半轴上一点，2ADC ACO ∠=∠，且四边形AQCD 是菱形，请直接写出点D 和点Q 的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形（线段AE 与线段BC 不相交），求t 的取值范围．【答案】（1）213222y x x =--（2）3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，5,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）504t <<-或5t <-【解析】【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出B 点坐标，勾股定理逆定理求出90ACB ∠=︒，根据2ADC ACO ∠=∠，得到D 为AB 的中点，再根据菱形的性质，求出Q 点坐标即可；（3）求出直线,AC BC 的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可．【小问1详解】解：把()1,0A -，()0,2C -代入212y x bx c =++，得：()211022b c c ⎧⨯--+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴213222y x x =--；【小问2详解】∵213222y x x =--，当2132022y x x =--=时，解得：121,4x x =-=，∴()4,0B ，∵()1,0A -，()0,2C -∴5,AB AC BC ===，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴90ACO BCO ∠+∠=︒，∵90CBO BCO ∠+∠=︒，∵∠=∠ACO CBO ，∵2ADC ACO ∠=∠，∴2ADC OBC ∠=∠，连接CD ，则：2ADC DCB CBD OBC ∠=∠+∠=∠，∴DCB CBD ∠=∠，∴DCB ACO ∠=∠，CD BD =，∵90DCB DCA ACO OAC ∠+∠=∠+∠=︒，∴DCA OAC ∠=∠，∴CD AD BD ==，∴D 为AB 的中点，∴3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，∵AQCD 是菱形，∴AQ CD ∥，把点C 先向右平移32个单位，再向上平移2个单位得到点D ，∴把点Q 先向右平移32个单位，再向上平移2个单位得到点A ，∴5,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；【小问3详解】∵213222y x x =--，∴对称轴为直线32x =，∴对称轴与x 轴的交点坐标为3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，∵()1,0A -，()4,0B ，()0,2C -，∴设直线BC 的解析式为2y kx =-，把()4,0B 代入，得：12k =，∴122y x =-，当32x =时，54y =-，∴直线BC 与对称轴的交点坐标为35,24F ⎛⎫-⎪⎝⎭，同法可得：直线AC 的解析式为：22y x =--，直线AC 与对称轴的交点坐标为3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形，∴当点E 在,D F 之间或点E 在点M 下方时，满足题意，∴504t <<-或5t <-．。

闵行区2010年高考模拟考数学试卷(文理科答案)

闵行区2010年高考模拟试卷数学试卷（文理科）答案一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++ ； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29. 二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x =-= （8分）（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2 ，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分）文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分）故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分）所以AM PB ⊥. （7分）（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥，故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分）设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α，则1sin cos 2BD PB BD PBθα⋅====⋅ ，（12分）又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分）解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =，所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥ 平面ADMN ，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分）在Rt ABD ∆中，BD = 在Rt PAB ∆中，PB ==12BN PB == 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0，（12分）故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分）第1225米位于第25区，（4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩，（13分）解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y =则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y ≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分（4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）∴====（8分）解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分） (3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P Q OT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==．（14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）．（16分）（文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=．（2分）因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<≠-）（4分）（2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =．此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分）又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△．（10分）（3）由（1）得123 2 mx x+=-，212344mx x-=，所以12AB x=-=（12分）又因为BC的长等于点(0)m，到直线l的距离，即BC=．（14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m=+=--+=-++．所以当1m=-时，AC边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB所在直线的方程为1y x=-．（16分）23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON=+，所以P是MN的中点，有121x x+=,123312log logy y∴+=+12312123log11()x xx x x x==-++（4分）（2）由（1）知当121x x+=时，1212()() 1.y y f x f x+=+=121()()()nnS f f fn n n-=++①121()()()nnS f f fn n n-=+++②①+②得12nnS-=（6分）111149231lim lim49233n nn nS S n nS S n nn n++--→∞→∞--==-++（10分）（3）当2n≥时，111.1212422nan n n n==-++++⨯⋅又当1n=时，11,6a=所以1112nan n=-++（12分）故111111()()()2334122(2)nnTn n n=-+-++-=+++（14分）1(1)n nT m S+<+对一切*n∈N都成立，即211(2)nnT nmS n+>=++恒成立（16分）又2114(2)84nn nn=≤+++，所以m的取值范围是1(,)8+∞（18分）（文）（1）122nn na a+=+，11122n nn na a+-=+，（2分）11n nb b+=+，故{}n b为等差数列，11b=，nb n=. （4分）（2）由（1）可得12nna n-=（6分）12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=nnnSnnnnnS22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nnnnnnnS212222221210⋅--=⋅-+++=--，即12)1(+-=nnnS（8分）11(1)211lim lim222nnn nn nS nn n++→∞→∞-+∴==⋅⋅（10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n n n n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++ 单调递增，即123113n d d d d d ++++≥= ，（14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+ 对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分）∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试。

2024届上海市闵行区高三二模数学试题及答案

上海市闵行区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合210A x x ， 2,1,0B ，则A B ．2.若复数z 满足 234i z i （i 为虚数单位），则z．3.4.在 2x5.6.7.现有5A 项目，8.函数y 9.已知a 当取任意实数时，c 10.双曲线B 两点，若1F B12F A 11.a 的取值范围为．12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形．例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形．当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设a R ，则“21a ”是“31a ”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知 y f x ，x R 为奇函数，当0x 时， 2log 1f x x ，则集合0x f x f x 可表示为（）.A 2, ；.B ,2 ；.C ,22, ；.D 2,02, ．15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：假设H 2P 2P ②有③2.A 016.已知f关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于2512．.A ①是真命题，②是假命题；.B ①是假命题，②是真命题；.C ①是真命题，②是真命题；.D ①是假命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，且2sin 0b A ．（1）求角B ；（2）求sin sin A C 的取值范围．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ，PA 平面ABCD ，2AB AD AP ．（1）求证：PC AB ；（2）求二面角C BP A 的大小．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各白从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个．（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差．如图，已知椭圆221:14x C y 和抛物线22:2C x py （0p ），2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S 、OAB S ．（1）求p 的值；（2）求OM ON的值；（3）的取值范围．己知定义在 0, 上的函数 y f x 的表达式为 sin cos f x x x x ，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列 n x （1n ，n N ）．（1）求函数 y f x 在区间 0, 上的值域；（2）求证：函数 y f x 在区间,1n n （1n ，n N ）上有且仅有一个零点；（3）求证： 11n n n x x n．上海市闵行区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案与评分标准一.填空题1．{2,1} ；23．45；4．160 ；5．18；6．121；7．96；8．340x y ；9．；10．4；11． ,2 ；12．20.二.选择题13．B ；14．D ；15．D ；16．A ．三.解答题17．[解]（1）2sin 0b A,2sin sin 0A B A ,……………4分又 sin 0A,sin 2B, 3B .………………………………6分（2） ABC △为锐角三角形，A (,62,则2sin sin sin sin()3A C A A3sin cos 22A A6A ，…10分sin sin A C3(2.………………………………14分18．[解]（1）连接AC ,ABCD 为等腰梯形，//AD BC ,120BAD ,2AB AD；4,BC AC ，90BAC ，………………2分PA 平面ABCD ,所以由三垂线定理得PC AB .……………………6分（2）取BP 的中点H ，连接CH AH 、，则AH PB ，因为4PC BC，所以CH BP ,所以CHA 为二面角C BP A 的平面角，…………………8分因为,PA AC AC AB ，PA AB A ，所以AC 平面ABP ,所以AC AH ……………………10分在Rt AHC △中，CA,AH所以tan CHA 所以二面角C BP A的大小为.……………………14分19．[解]（1）设小张答对的题数为X ，则999101(9)10C P X C .………4分（2）设事件A 表示“输入的问题没有语法错误”，事件B 表示“一个问题能被ChatGPT 正确回答”，2由题意知()0.1P A ，()0.98P B A ，0.18P B A ，则()1()0.9P A P A ，………………………………6分P B P B A P B A P B A P A P B A P A 0.980.90.180.10.9 ………………………………8分（3）设小张答对的题数为X ，则X 的可能取值是89、，且8191910C C 9(8)C 10P X ，99910C 1(9)C 10P X ，………………………………10分设ChatGPT 答对的题数为Y ，则Y 服从二项分布9(9,10B ，91()898.11010E X，()90.98.1E Y np ，……………………12分22819811()(8(9)0.0910101001D X ，()90.90.10.81D Y npq .……………………14分20．[解]（1）抛物线2C 的焦点为 0,1F ，故2p .……………………4分（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx ，点 11,M x y 、 22,N x y ，联立214y kx x y可得2440x kx ，216160k 恒成立，则124x x ,……………………………6分221212121241344x x OM ON x x y y x x .……………………10分（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k ，20k ，联立12244y k x x y 可得 221414k x，解得x ………………12分点A在第三象限，则A x ，点B在第四象限，同理可得B x ，……………………………14分且121212121164y y x x k k x x1222OMN OAB OM ON x x S S OB OA△……………………………16分2，当且仅当112k 时，等号成立.…………18分21．[解]（1）由cos cos sin sinf x x x x x x x，………………2分当0,x时， 0f x，即函数y f x在区间0, 上是严格增函数，且 00f ，f，所以f x在区间0, 上的值域为0, .……………………………4分（2）当,1x n n时，①当n是偶数时， 0f x，函数y f x在区间,1n n上是严格增函数；…………………6分②当n是奇数时， 0f x，函数y f x在区间,1n n上是严格减函数；…………………8分且 11nf n n，故2110f n f n n n，所以由零点存在定理可知，函数y f x在区间,1n n上有且仅有一个零点.…………………10分（3）由（2）可知函数f x在,1n n上有且仅有一个零点nx，且满足 sin cos0n n n nf x x x x，即tann nx x（几何意义：nx是y tan x与y x交点的横坐标）…………………………12分又因为 12nf n，故2f n f n n，所以由零点存在性定理可知，函数y f x在,2n n上有且仅有一个零点nx，于是1,1,12n nx x n n，1,22n nx x111111tan tantan tan1tan tan1n n n nn n n nn n n nx x x xx x x xx x x x (14)分①因为1n nx x，得1tan0n nx x所以1n nx x，即1n nx x；（或者111tan tan tan tan0n n n n n nx x x x x x1tan tann nx x1n nx x） (16)分34②因为 112222133322tan 12n n n n n n n x x x x x x x n n n由（1）可知，当0,2x 时，有tan x x 故 11tan n n n n x x x x n ，所以1n n x x n ；由①②可知 11n n n x x n.………………………………18分。

2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编：立体几何

2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题：15．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（15、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ C ）（A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 2316、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科) 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面P A D 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ B ）A ．俯视主视左视俯视主视左视俯视主视B ．C ．D ．第17题图17. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A．4； B．4；C ．12； D．3.17．(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4B ．6C ．8D ． 1014．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为【 A 】[15．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的（ C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15. （2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）“直线l 垂直于ABC ∆的边A B ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（ B ）. (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件二、填空题：AB C D C.AB C D A.AB CD B.AB CD D.6．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为（结果保留π）．10．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）． 128π7[10、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。

上海市闵行区2010届高三上学期期末质量调研考试(数学理)

上海市闵行区2010届高三上学期期末质量调研考试数学试卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写． 2．本试卷共有23道题，共4页.满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留.一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的反函数 . 2． .3．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）、、、、，则该样本方差 . 4．已知集合，，且，那么实数的取值范围是 . 5．化简行列式 .6．在右面的程序框图中，要求输出三个实数中最大的数，则在空白的判断框中应填的是 .7．某校高二（8）班4位同学的数学期中、期末和平时成绩依次用矩阵表示，总评成绩按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则4位同学总评成绩的矩阵可用表示为 . 8．如图，直三棱柱中，，是侧棱上一点，向量是平面的一个法向量，则平面与平面所成二面角的锐角为（结果用反三角函数值表示）.9．已知函数若，则 .10．在平面直角坐标系中，以Ox 位圆相交于A 、B 两点，若A 、B 两点的横坐标分别为、.则的值为 . 11．用铁皮整理一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm ，体积为31000cm 3. 则整理该容器需要铁皮面积为（衔接部分忽略不计，取1.414，取3.14，结果保留整数）.12．已知无穷数列，首项，其前项和为n S ，且.若数列的各项和为，则 .13．如图，△中,,=8,，延长到，使，当点在线段上移动时，若，则的最大值是 . 14．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．“”是“不等式成立”的 [答]（）(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.(C) 充要条件. (D) 既非充分亦非必要条件.16．函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是 [答]（）(A) . (B) . (C) . (D) .17．2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，则小张不从事翻译工作且小赵不从事司机工作的概率是 [答]（）(A) . (B) . (C) . (D) .18.在平面直角坐标系中，定义为点到点的一个变换，我们把它称为点变换.已知，是经过点变换得到的一列点.设，数列的前项和为n S ，那么的值为 [答]（）(A) . (B) . (C) . (D) .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）已知四棱锥底面,，底面是正方形，是的中点，与底面所成角的大小为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．已知以角为钝角的的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围.EP DCB A21.（本题满分16分）本题共有2个小题，每小题满分各8分．某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客.旅游人数x与人均消费（元）的关系如下：（1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？（2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20%的税收，其余自负盈亏.目前公园的工作人员维持在40人.要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各6分．S，且满足，已知等差数列中，公差，其前项和为n.（1）求数列的通项公式；（2）设由（）构成的新数列为，求证：当且仅当时，数列是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列，设（），数列的前T，现有数列，（），项和为n是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．已知函数，函数的图像与函数的图像关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围；（3）设函数，试用列举法表示集合.闵行区2009学年第一学期高三年级调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、填空题（每题4分）1.；2. 2；3. 2；4. ；5. ;6. 理且；文；7. ；8. 理；文；9. ；10. 理413；文2；11. 444；12. 理；文；13. 理1 ；文；14 .二、选择题（每题4分）15. ；16. C；17. ；18. C三、解答题（19题至23题）19.（本题满分14分）(理科)取CD中点F，连AF，E为PD中点，∴，∴（或其补角）的大小即为异面直线与所成的角的大小，(2分)底面，∴就是与底面所成角，即，且，由已知条件及平面几何知识，得：,，于是(8分)在中，由余弦定理得：(12分)∴，即异面直线与所成的角的大小为．(14分)另解：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，底面，∴就是与底面所成角，即，且，由已知条件及平面几何知识，得：∴ (4分)∴，(8分)∴，(12分)即异面直线与所成的角的大小为．(14分)（文科）取中点，连，为中点，∴，∴（或其补角）的大小即为异面直线与所成的角的大小. (2分)底面，∴就是与底面所成角，即，且，由已知条件及平面几何知识，得：，于是，(8分)在中，由余弦定理得(12分)∴=，即异面直线与所成的角的大小为．(14分)20.（本题满分14分）（1）∴，得（2分）由正弦定理，得，代入得：（3分），∴，（5分）为钝角，所以角. （7分）（2）（理科）（或：）（10分）由（1）知，∴（12分）故的取值范围是（14分）（文科），（10分）由（1）知，∴，（12分）故的取值范围是（14分）21.（本题满分16分）（1）设当天的旅游收入为L ，那么L=xt ，得（4分）当时,22121600125016005050000L t t =-+≤-⨯+⨯=（元）（5分）当时，， ∴当元时，（元）（6分）此时（人）（7分）故当天接待旅游人数为652人时旅游收入最多，收入为70416元. （8分）（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营，即每天的旅游收入上缴税收后不低于54000元，因显然不满足条件（10分）由()2365033750050200t t t ⇒-+≤<≤ （12分）得 . （14分）因此，故每天的游客人数应控制在520人到778人之间. （16分） 22.（本题满分16分）（1）∵等差数列中，公差， ∴34495144514453232324132-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅⇒⎩⎨⎧=+=⋅n a d a a a a a a a a a a n （4分）（2），，（6分）由得，化简得，∴（8分）反之，令，即得，显然数列为等差数列，∴ 当且仅当时，数列为等差数列. （10分）（3）（理科） ∴（12分）()()()()140.90.9140.910.1n nf n f n n n n +-=⋅⋅--=⋅⋅-⎡⎤⎣⎦∴当时，，当时，，当时，，∴，（14分）∴存在不小于13的整数，使对一切都成立，（16分） (文科) ∴（12分）而时∴在时为单调递减数列，此时（14分）∴存在不小于2的整数，使对一切都成立，（16分） 23.（本题满分18分）（理科）（1）由得，由已知可得（4分）（2）在上是单调递增的，又，（或设则，）所以函数在区间上为增函数，因此（6分）即所以 m 、n 是方程的两个相异的解. （8分）设，则（10分）所以为所求. （12分）另解：由可转化为函数图像与函数的图像有两个交点问题，数形结合求得：. （3）（14分）当且仅当时等号成立，(),3572,0517113312⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈-+++=+-+∴x x x x x （16分），有可能取的整数有且只有1，2，3. 当时，解得（舍去）；当时，解得（舍去）；当时，解得（舍去）.故集合（18分）（文科）（1）由已知得；（4分）（2）在上为单调递增函数，（6分）在区间，即. 是方程即方程的两个相异的解，（8分）这等价于，（10分）解得为所求. （12分）另解：可转化为函数图像与函数的图像有两个交点问题，数形结合求得：. （3）（14分）当且仅当时等号成立，(),3572,0517113312⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈-+++=+-+∴x x x x x （16分）恒成立，，所以为所求. （18分）。

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闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若2i a bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193xx=-的解为 .4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是（精确到0.01）. 6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ，则k = .9．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ，那么 =8a .10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==t y tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫⎝⎛a b 11，，则称成绩人数40 1 1 50 60 2 2 1 3 70 8090BC D E F这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022c o s 342<+-θx x 与不等式012s i n 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()fx -是()f x 的反函数，则方程1()fx x k -+=必有一根是 .13．函数()x b f x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 .14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅ .(C) AB AE ⋅.(D) AB AF ⋅ .16．已知A B C △中，AC =2B C =，则角A 的取值范围是 [答]（）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010 项和2010S = [答]（） (A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+yx上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结论正确的是 [答]（） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF . (C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值；（2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，P A 垂直于底面ABCD ，22P A A D A B B C ====，M N 、分别为P C P B 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ACDN MP（2）第几区内的火山灰总重量最大？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义()d AB =(1)若0x ≥，求动点(,P x 的轨迹C ；(2)已知直线11:12l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若)15，试求a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()31122log ,(,),(,)1f x M x y N x y x=-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2O P O M O N =+（O 为坐标原点）.（1）求证：12y y +为定值；（2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim49n nn n S S S Sn ++→∞-+的值；（3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64；6.36π；7.2221352009++++ ；8.3；9.8； 10.理22；文（0，2） 11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29. 二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C 三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分） x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x =-=（8分）（2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分）文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分）故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02P B A M ⋅=-⋅= （5分）所以AM PB ⊥. （7分）（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥，故PB ⊥平面A D M N ，即(2,0,2)P B =-是平面A D M N 的法向量.（9分）设B D 与平面A D M N 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =- ,设BD与PB 夹角为α，则1sin cos 2BD PB BD PBθα⋅====⋅ ，（12分）又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故B D 与平面A D M N 所成的角是6π. （14分）解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =，所以PB AN ⊥ （2分）由P A ⊥底面ABCD ，得P A A D ⊥，又90BAD ︒∠=，即B A A D ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面AD M N ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结D N ,BP ⊥ 平面A D M N ，故B D N ∠为BD 与面A D M N 所成角（9分）在R t A B D ∆中，B D == 在Rt PAB ∆中，PB ==12B N P B ==，在R t B D N ∆中, 21sin ==∠BDBN BDN ，又π≤∠≤BDN 0，（12分）故B D 与平面A D M N 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分）第1225米位于第25区，（4分）242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩，（13分）解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y =,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y =≥0可得P (x,)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分（4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥（6分）=====, （8分）解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分）(3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x m y c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P Q O T O T c c PP Q Q x x +=+．由28y xx my c ⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==．（14分）∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）．（16分）（文）解：（1）设A B 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=．（2分）因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P 则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y xx x =-<<≠-且）（4分）（2）AB l //，且A B 边通过点(00)，，故A B 所在直线的方程为y x =．此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分）又因为A B 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122A B C S A B h =⋅=△．（10分）（3）由（1）得1232m x x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．（12分）又因为B C 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．（14分）所以22222210(1)11ACABBCm m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，A C 边最长，（这时12640∆=-+>）此时A B 所在直线的方程为1y x =-．（16分）23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2O P O M O N =+，所以P 是M N 的中点，有121x x +=,12123312log log 11y y x x ∴+=+--12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分）（2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+= 121()()()n n S f f f n n n -=++ ① 121()()()n n S f f f n n n -=+++ ②①+②得12n n S -=（6分） 111149231limlim 49233n n n n S S n n S Sn n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分）（3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分）故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+ 对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T n m S n +>=++恒成立（16分）又2114(2)84n n n n =≤+++，所以m 的取值范围是1(,)8+∞ （18分）（文）（1）122nn n a a +=+，11122n n nn a a +-=+，（2分）11n n b b +=+，故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Snn n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nn n n n n n S 212222221210⋅--=⋅-+++=-- ，即 12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211limlim222nn n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n nn nT d a T ==--，1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++ 单调递增，即123113n d d d d d ++++≥=，（14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+ 对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分）∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾. ∴满足条件的实数t 不存在. （18分）。