数列复习课

am an a p aq
变式：在等差数列中，若m+n=2p，则:
am an 2a p
在等比数列{an}中， （1）若 m＋n＝s＋t，则 am· an＝as· at(m ，n， * s，t∈N )．
（2）在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，则 2 * am· an＝ak(m，n，k∈N )．
20
【例2】
已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， 求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数 列{an}的通项公式． (3)若an>0，a5a6＝9 ，求 的值。
log3 a1 log3 a2
log3 a10
例5．求和：
1 1 1 1 2 2 3 3 4
1 n (n 1)
1 1 1 n (n 1) n n 1 1 1 1 1 ( ) (2n 1) (2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 n 1 n n n 1
.
前N项和 2 S n An Bn
A叫做a与b的等差中项。 ab A 2
a12 31， 例1 在等差数列 an 中，已知a5 10， 求, a1 , d , a20 , an
2、a,b之间插入n个数的公差为多少？

3 若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；
例2等差数列{an}中已知a10＝23， （1）若a25＝－22，问此数列从第几项开 始为负？ （2）若数列从第17项起各项均为负，求 公差d的取值范围。
三、判断、证明方法
1.定义法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列
an kn b
Sn An Bn
2
注: 三个数成等差数列, 可设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
3.等差数列的性质 (1)、在等差数列中，若m+n=p+q，则:
am an a p aq
变式：在等差数列中，若m+n=2p，则:
am an 2a p
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(3)当 n 为偶数时， 偶数项之和与奇数项之和的比等于 S偶 等比数列的公比，即 ＝q. S奇
例题分析
6
例2.求和．
Sn x x x
2 3
x
n
例3.已知
bn n 2
n
，求{ bn}的前n项和Sn.
例4．求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋… ＋(an－n) .
奇偶并项求和
例2.求和．
Sn 1 3 5 7
(1) (2n 1)
n
两个技巧：
题型三 a，b之间插入n个数成等比数列，q=
蓝皮 P37：例 1 在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比 数列，求这 3 个数． 解 设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意得243，a2，a3，a4,3
成等比数列． 1 5－1 设公比为q，则3＝243· q ，解得q＝± 3. 1 当q＝3时，a2＝81，a3＝27，a4＝9； 1 当q＝－3时，a2＝－81，a3＝27，a4＝－9.
A.97 B.95 C.93 D.91
C
例５.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和 为83，求此三个数.
解：设此三个数分别为x-d，x，x+d， 则 (x-d)+x+(x+d)=15 (x-d)2+x2+(x+d)2=83 解得x＝5，d＝±2. ∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.
思考：四个数成等差数列该如何假设？
数列复习课
an am d =an+1-an d nm 公差 — 等差数列 an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d 通项 — 几何意义— 等差数列各项对应的点都 在同一条直线上 . 等差中项— 若a、 A 、 b成等差数列，则
如果一个数列从第2项起， 每一项与 定义— 它前一项的差 等于同一个常数 . . . . ..
因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.
22
8 27 跟踪训练 2 在 和 之间插入三个数，使这五个数成 3 2 等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
216
解析 设这个等比数列为{an}，公比为q，
8 27 a5 81 4 a1＝3，a5＝ 2 ，则q ＝a ＝16， 1
例2、已知 an 为等差数列,前10项的和为 S10 100, 前100项的和 S100 10,求前110项的和 S110 .
重要性质：
的应用： a1 an a2 an1
讨论： （1）若一个等差数列前3项和为34,后3项和 为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. （2）设等差数列{ an}的前n项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0 指出 S1 , S2 , S3 ,S12 ,中哪一个最大，说明理由
9 ∴q2＝4.
∴a2· a3· a4＝a1q· a1q · a1q
2 3
83 93 3 6 ＝a1· q ＝( ) ×( ) ＝63＝216. 3 4
23
等比数列前n项和性质 (1)数列{an}为等比数列⇔Sn＝－Aqn＋A (A≠0,q≠0,n∈N*)． (2)等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数 列,即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列
二. 例题讲解
S n 是其前n项和， 例1、已知数列 an , 是等差数列，
求证：⑴ S6 , S12 S6 , S18 S12 成等差数列； (2) Sk , S2k Sk , S3k S2k (k N ) 成等差数列
例2. 已知一个等差数列的前10项的和 是310，前20项的和是1220，求其前 n 项和的公式.
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
3 ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2
2.已知等差数列{an}的公差d＝1，且 a1+a2+a3+· · · +a98=137 ,那么 a2+a4+a6+· · · +a98的值等于（ ）
2
(2)设
bn 的前n项和. bn an , 求数列
例5 一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 等差数列{an}, S偶、S奇分别为该数列的 结论: 所有偶数项之和与所有奇数项之和 （1）若{an}共有2n项， 则S2n=n(an+an+1)( an,an+1为中间项)， 并且S偶-S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1 (2) 若{an}共有2n-1时， 则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项) S奇-S偶=an
课堂练习
1. 已知两个等差数列 {an} 和 {bn} 的前 n 项和分别 为 an An 7n 45 An和Bn，且 ，则使得 b 为整数 Bn n3 n 的正整数n的个数是（ D ） A． 2 B．3 C． 4 D． 5
2.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若
OB ＝a1 OA＋a 200 OC
课堂练习
（1）2，x，8成等比数列，则x=_______; （2）2 , x , 8 , -16 成等比数列，则x=______.
18
等比数列的通项公式:
通项公式一:
an a1 q
通项公式二:
n 1
(a1 , q 0)
an am q
n m
(a1 , q 0)
19
在等差数列中，若m+n=p+q，则:
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
例3：
两个等差数列，它们的前n项和之比 5n 3 为 , 求这两个数列的第九项的比 2n 1 性质：
若{an}{bn}为等差数列，它们的前n
项和为Sn，Tn则
S 2 n 1 a n T2 n1 b n
例4．数列an 的前n项和 S n 100n n (n N ) (1) an 是什么数列?
A．100 B. 101
，且A、B、C三
A） 点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ C.200 D.201
等比中项： 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等 比中项。
a, G, b成等比数列 G 2 a b(a b 0)
提问：(1)-1和10是否存在等比中项，为什么？ (2)如果a、b有等比中项，它们应满足什么条件？