备战2018年高考数学回扣突破30练第27练不等式选讲理 Word版含答案

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2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“不等式” Word版含解析

“不等式”双基过关检测一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知a <0，－1<b <0，那么( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1<b <0，∴b <b 2<1，又a <0，∴ab >ab 2>a ，故选D. 2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab . ∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b .3．(2016·武汉调研)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋ab≥2解析：选D ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.6．(2017·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则 1x ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4. ∴1x ＋1y ≥2xy＝1.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5,3)时，z 取得最小值3－10＝－7.故选A.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入z ＝y －2x 得z 的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.故选A.8．(2017·东北育才中学模拟)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 二、填空题9．(2017·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2016·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案：1515212．(2017·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2016·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.。

2018年高三数学高考冲刺应用题专项训练试题含答案

2018 年高三数学高考冲刺应用题专项训练试题含答案..1. 某种商品每件进价12 元，售价 20 元，每天可卖出48件。

若售价降低，销售量可以增加，且售价降低 x(0x8) 元时，每天多卖出的件数与x2x 成正比。

已知商品售价降低 3 元时，一天可多卖出36 件。

..（ 1）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数；（ 2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？2. 某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量f(x) （万件）与月份 x的近似关系为： f ( x)1x(x 1)(35 2x)( x N *, 且 x 12)150（1）写出明年第 x 个月的需求量 g(x) （万件）与月份 x 的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？ ..（2）如果将该商品每月都投放市场P 万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问 P 至少为多少万件？3. 7 月份，有一款新服装投入某市场销售，7 月 1 日该款服装仅销售出 3 件， 7 月 2 日售出6 件， 7 月 3 日售出 9 件， 7 月 4 日售出 12 件，尔后，每天售出的件数分别递增 3 件直到日销售量达到最大（只有 1 天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减 2 件，到 7 月 31 日刚好售出 3 件。

（1）问 7 月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到 200 件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于 20 件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由。

4.如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而沿岸边自 A 跑到距离B最近的 D处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行速为 6 米 / 秒，在海中的行进速度为 2 米 / 秒，⑴分析救生员的选择是否正确；⑵在 AD上找一点C，是救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出最短时间。

高考数学压轴专题广州备战高考《不等式选讲》单元汇编及答案解析

【高中数学】数学复习题《不等式选讲》知识点练习一、141．不等式230x x -<的解集为（）A ．{}03x x << B ．{}3003x x x -<<<<或C ．{}30x x -<<D ．{}33x x -<<【答案】B 【解析】【分析】将不等式表示为230x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集. 【详解】将原不等式表示为230x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或03x <<.因此，不等式230x x -<的解集为{}3003x x x -<<<<或，故选：B.【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.2．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（）A B ．13C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =．故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．3．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.4．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．5．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。

2018届广东省高三理科数学专题突破训练：不等式精品

广东省2018届高三数学理专题突破训练—不等式一、选择题 1、（2014广东高考）若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（）A ．8 B.7 C.6 D.5 2、（2012广东高考）已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（）A.12B.11C.3D.1- 3、（2011广东高考）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A． B． C ．4D ．34、（广州市海珠区2018届高三摸底考试）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤020x y y x确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为A ．81B ．41 C ．43D ．875、（惠州市2018届高三第二次调研考试）已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =( )A.14B. 12C ．1D ．26、（韶关市十校2018届高三10月联考）若实数y x ,满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为（） A. 2； B ．2-； C.49-； D. 947、（广东省实验中学2018届高三第一次阶段考）已知0<a<b<l ．则（） A.11b a> B.11()()22a b < C.22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b>8、（中山市第一中学等七校2018届高三第一次联考）已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM +的取值范围是（）A []51，B []52，C []21，D []50，答案：1、【解析】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫---⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=， 2、B3、解析：（C ）．z y =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z 取得最大值，max 24z ==4、【答案】D 解析：平面区域1Ω，为三角形AOB ，面积为12×2×2＝2，平面区域2Ω，为四边形BDCO ，其中C （0，1），由2=01y x x y --⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1322，，⎛⎫- ⎪⎝⎭则故选：D ．5、【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数2z x y =+的几何意义为直线l ：2y x z =-+在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点(1,2)B a -时，目标函数2z x y =+的最小值为1，则1221,2a a -==。

专题27 不等式选讲丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共24页)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲目录题型一：含绝对值不等式的解法...........................................................1题型二：不等式的最值...........................................................................8题型三：含绝对值不等式的成立问题....................................................9题型四：含绝对值函数的图像及其应用..............................................10题型五：不等式证明.. (17)(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】见解析【解析】当0x <时，原不等式可化为122x x -+->，解得13x <-；当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +->，即1x <-，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +->，解得1x >.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞)分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +．由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >．所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++-=++-≥++-=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++-=-++<当03a <<时，()3f =165a a -+<，解得152a +>当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得52a +>综上所述，a 的取值范围为15521(,22+．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围【答案】(1)11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a 的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712xx ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】(1)因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．(2)解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由(1)知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}13x x -≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤.(Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+≥当12x =时等号成立.所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥.①当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解.当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若0,0a b >>,且11a b+=．(1)求33a b +的最小值;(2)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由．【答案】解析:(111a b=+³,得2ab ³,且当a b ==故33a b +³=,且当a b ==∴33a b +的最小值为．(2)由623a b =+³,得32ab £,又由(1)知2ab ³,二者矛盾,所以不存在,a b ,使得236a b +=成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．(Ⅰ)求实数a ，b 的值；+的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =-，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b，再利用柯西不等式可得的最大值．解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =(Ⅱ)=≤4==1=，即1t =时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++³+-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++,所以a b c 4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222118497a b c ++³．当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．(2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】(1),33a a ⎛⎫⎪⎝⎭(2)2解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a ,所以211||222ABC S AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．【答案】(1)[2,2]-；(2)8．解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-(2)作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= ．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】(1)详解解析；(2)7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--．(I )画出(x)y f =的图像；(II )求不等式(x)1f >的解集．【答案】(I )见解析(II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =-时，得13x =或5x =故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x -<的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】(1)()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知,,,a b c d 为实数,且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线l 的普通方程为22222()()()ac bd a b c d +++≤．因为224a b +=,2216c d +=,所以2()64ac bd +≤,因此8.ac bd +≤2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤；(2)若2b c =，则113a c+≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤；(2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以1143a c ≥+，由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++，当且仅当124a c =，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；(2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ．(1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．【答案】(1)[0，43]；(2)见解析．解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②．解①求得1≤x ≤43，解②求得0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14-≤x ≤34，∴N =[14-，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4-5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]．解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥++29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=-+≥．(江苏苏州褚小光)证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=．8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ．(I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．【答案】选修45-：不等式选讲解析：(I )因为12(1)(x 2)3x x x ++-≥+--=．当且仅当12x -≤≤时，等号成立．所以()f x 的最小值等于3，即3a =．(II )由(I )知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正实数，所以22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥⨯+⨯+⨯=++++=++即2223q p r ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >>(Ⅱ)>a b c d -<-的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为2a b =++，2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得22>>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>+>，则22+>+，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明:(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证解析：由abb a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a b ab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b+-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b ++-≥，即55()()4a b a b ++≥．(2)解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：(反证法)假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a b aa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。

高三数学《不等式选讲》专题复习题含答案

高三数学《不等式选讲专题复习题》含答案典型题一【母题原题1】【2018「新课标1,理23］已知月行=|支+1|-|四-4.(1)当口 = 1时，求不等式》1的解集；(2)若尤E(OJ；时不等式『(X)Ax成立，求a|的取值范围.工解析】分析二1代人函数解析式，求得/5)二|工七11 —口-1|,利用零点分段符解析式化为'—乙x M —L代工)二2工-1《工< L a然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式又外8 1的解集为骁|工> ；)J ，2.XV1.⑵根据题中所给的IE GU),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式FCOAX可以化为时分情况讨论即可求得姑果.r—乙X£—L详解：a)当a= 1时，rw= k + ii - |X-II,即= 2x-i<x< iL 25之1.故不等式100 > 1的解量为毯w > H◎)当苒E寸I1+ 1| - I做一1| A1成立等价于当了曰〔0/冲tl© -II <工成立.若& w 口，贝虺3 E GU对陋-l|>b若比2―1|<1的解集为口《工匕巳所以;之和故口<口且2.综上,口的取值范围为@司，点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号, 之后进行分类讨论，求得结果 .【母题原题2】【2017「新课标1,理23］已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+ 1|+|x-1|.⑴当a=1时，求不等式f(x)福(x)的解集；(2)若不等式f(x)到x)的解集包含卜-1,1］,求a的取值范围.【解析】(1 )当u=l时不等式加冰M痔价于好工+,+11 +gT9 ①当爪-1时⑪式化为由3x4口无解；当4a口时XD式化为壮-工-25人而-1勺aL：当I>1时。

高考数学二轮复习专题九选做大题专题对点练27 不等式选讲文-人教版高三全册数学试题

专题对点练27 不等式选讲(选修4—5) 1.(2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值X围.2.(2018全国Ⅲ,文23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.3.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.求证:(1)ab+bc+ac≤;(2)≥1.4.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值X围.专题对点练27答案1.解 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值X围为(0,2].2.解 (1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.3.证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c.所以≥1.4.解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1), 故△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值X围为(2,+∞).。

2018年高考数学理二轮复习讲学案：考前回扣6 不等式含答案精品

回扣6 不等式1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )＞0(<0)⇔f (x )g (x )＞0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.4．基本不等式 (1)a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件． 5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．(2016·全国Ⅰ)若a ＞b ＞1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析对于A ：由于0<c <1，∴函数y ＝x c在R 上单调递增，则a ＞b ＞1⇒a c＞b c，故A 错；对于B ：由于－1<c －1<0，∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞)上单调递减，∴a ＞b ＞1⇔ac －1<bc －1⇔ba c<ab c，故B 错；对于C ：要比较a log b c 和b log a c ，只需比较a ln c ln b 和b ln c ln a ，只需比较ln c b ln b 和ln ca ln a，只需比较b ln b 和a ln a ．构造函数f (x )＝x ln x (x ＞1)，则f ′(x )＝ln x ＋1＞1＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此f (a )＞f (b )＞0⇒a ln a ＞b ln b ＞0⇒1a ln a <1b ln b，又由0<c <1，得ln c <0， ∴ln c a ln a ＞ln cb ln b⇒b log a c ＞a log b c ，C 正确；对于D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln c ln a 和ln cln b，而函数y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故a ＞b ＞1⇔ln a ＞ln b ＞0⇔1ln a <1ln b ，又由0<c <1，得ln c <0，∴ln c ln a ＞ln c ln b⇔log a c ＞log b c ，故D 错，故选C. 2．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－∞，－3)C ．(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案 C解析由题意可知，2kx 2＋kx －38＜0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＜0，代入求得－3＜k ＜0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]．3．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3 答案 B解析依题意m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b，10＋3b a ＋3ab≥16，故m ≤16，m 的最大值为16.4．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m ＋4n的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析因为向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，a ⊥b ，所以m ＋2(n －1)＝0，即m ＋2n ＝2. 所以2m＋4n≥22m·4n＝22m ＋2n＝222＝4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m＝4n，m ＋2n ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝12时，等号成立，所以2m＋4n的最小值为4，故选C. 5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≤0，3x －y ≥0，x －2y ≤0的解集记为D ，z ＝y ＋1x ＋1，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，z ≥1; p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，z ≥1； p 3：∀(x ，y )∈D ，z ≤2; p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，z ＜0.其中为真命题是( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3答案 D解析作出可行域如图所示，因为z ＝y ＋1x ＋1的几何意义是可行域内的点与点A (－1，－1)连线的斜率，可知与C 连线斜率最小，与B 连线斜率最大，联立方程可得C (2,1)，B (1,3)，所以z 的最小值为23，最大值为2，所以选项p 2，p 3正确，故选D.6．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .故选C.7．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为( ) A ．－23 B.13C ．2D ．3 答案 D解析作出可行域如图所示．因为z ＝y －1x ＋3＝y －1x －(－3)，经过点(－3,1)的直线斜率最大的是直线x －y ＋5＝0与直线x ＋y ＝0的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52与该点的连线，故z max ＝52－1－52＋3＝3，故选D. 8．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，且目标函数z ＝ax －y 取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于( ) A ．－2B ．－32C ．－12 D.12答案 C解析由题意可知，因为z ＝ax －y ，所以y ＝ax －z ，故直线y ＝ax －z 的截距为－z ，作出平面区域如图阴影部分所示，故a ＝－12，故直线y ＝－12x －z ，所以当直线y ＝－12x －z 过点(－1,1)时，目标函数的最小值z min ＝－12×(－1)－1＝－12，故选C.9．(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案 C解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上的动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.故选C.10．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1答案 D 解析 ∵tt 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 11．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y＝1，若2x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是________，当m 取到最大值时，x ＝__________ . 答案 (－∞，8] 2解析 2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4x y＋yx＋4≥8，由2x ＋y ≥m 恒成立，得m ≤8；当m 取到最大值时满足 ⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2y ＝1，4x y ＝y x ，∴x ＝2.12．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12，则关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．答案 {x |－3＜x ＜－2}解析由已知，－b a ＝56，c a ＝16，且a ＜0，则b ＝－56a ，c ＝16a ，故不等式cx 2－bx ＋a ＞0可化为x 2＋5x ＋6＜0，解得－3＜x ＜－2.13．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0关于直线ax ＋by －3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋2b的最小值为________．答案 3解析由题意圆x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0关于直线ax ＋by －3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，即圆心(1,2)在直线ax ＋by －3＝0(a ＞0，b ＞0)上，即a ＋2b ＝3(a ＞0，b ＞0)，所以1a ＋2b ＝a ＋2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝13＋43＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋2a b ≥53＋43＝3，当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝1时取等号．14．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2，则该容器的最低总造价是________元．答案 160解析由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．15．解关于x 的不等式x 2＋ax －2x －1≤x ＋1.解原不等式可化为x 2＋ax －2x －1－(x ＋1)≤0，即ax －1x －1≤0，当a ＝0时，有－1x －1≤0，所以x ＞1，当a ≠0时，①当a ＜0时，有x －1ax －1≥0，且1a ＜1，所以x ≤1a或x ＞1； ②当0＜a ＜1时，有x －1a x －1≤0，且1a ＞1，所以1＜x ≤1a；③当a ＝1时，有x －1x －1≤0，所以x ∈∅， ④当a ＞1时，有x －1ax －1≤0，且1a ＜1，所以1a≤x ＜1. 综上，当a ＜0时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a ∪(1，＋∞)，当a ＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤1，1a ，当a ＝1时，原不等式的解集为∅，当a ＞1时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，1.16．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为 v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ＜20，13(200－x )，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ＜20，13x (200－x )，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。

不等式选讲-高考数学备考关键问题指导高端精品(2018版)(Word版含答案)

专题八不等式选讲【高考考场实情】不等式选讲为高考选考内容之一。

一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。

【考查重点难点】主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。

【存在问题分析】（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数4)(2++-=ax x x f ，11)(-++=x x x g ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；【名师点睛】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当1-<x 时，原不等式的解集为{}41≤≤-x x ；当11≤≤-x 时，原不等式的解集为{}21≤≤-x x ；当1>x 时，原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤--21712171x x ，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-，求a 的取值范围．【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-”等价转化为“不等式)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含]1,1[-”的含义不理解.【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数21)(--+=x x x f . （Ⅱ）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（Ⅱ）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+ 由已知得2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，22111()3()(1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g ，当21<<-x 时，22355()31()244=-+-=--+≤g x x x x ，当2≥x 时，1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g ，综上述得45)(max =x g ，故m 的取值范围为]45,(-∞.【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为max ()f x ≥)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的是同一个数；错点二，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为“min ()m g x ≤”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在x 使得不等式()2f x x x m ≥-+成立，等价于存在x 使得不等式212x x x x m +---+≥成立，等价于2max (12)x x x x m +---+≥即可. （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法. 【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知2,0,033=+>>b a b a ，证明：（Ⅰ）4))((55≥++b a b a ；（Ⅱ）2≤+b a ．（Ⅱ）因为33223()33a b a a b ab b +=+++()()()()ab a b a b a b a b =+≤=+2323+3+3+2++244所以()3+8≤a b，因此a+b ≤2.【名师点睛】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；【解析】法一：因为0a >，所以12,11(),112.x a x a a f x ax a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩法二：因为111x x a x a x a a a a++-=++-≥+，又0a >所以1()2f x a a≥+≥. 【名师点睛】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解. 【解决问题对策】（一）强化绝对值不等式的求解训练【指点迷津】高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注. 【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数()214f x x x =+--．（I ）解不等式()2f x >；【解析】（Ⅰ）1521()334254x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩，，，，，．≤≥当12x ≤-时，原不等式可化为52x -->，解得7x <-，此时原不等式的解是7x <-；当142x -<<时，原不等式可化为332x ->，解得53x >，此时原不等式的解是543x <<；当4x ≥时，原不等式可化为52x +>，解得3x >-，此时原不等式的解是4x ≥；综上可知，原不等式的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞U（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.【指点迷津】不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【变式一】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．若存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f xg x ≥成立，求a 的取值范围．【解析】存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，等价于存在]1,1[-∈x 使得不等式242x ax -++≥成立，即存在]1,1[-∈x 使得220x ax --≤，等价于]1,1[-∈x 时0)2(min 2≤--ax x . 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-0481212a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->02112a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<02112a a解得22≤≤-a 或2>a 或2-<a 所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．是否存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由．【解析】由242x ax -++≥的解集为[]1,1-，即220x ax --≤的解集为[]1,1-，得220x ax --=的两根为-1,1，即⎩⎨⎧=--=-+021021a a 方程无解，所以不存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-.（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用【指点迷津】均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注. 【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【例题8】已知函数()21f x x =-，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()1f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤求证： ()1f x <. 【解析】（Ⅰ）()1f x x <+等价于|21|1x x -<+，即210211x x x -⎧⎨-<+⎩≥或210121x x x -<⎧⎨-<+⎩求得02x <<，故不等式()1f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）1|1|3x y --≤Q ，1|21|6y +≤， ∴()|21|f x x =-=|2(1)(21)|x y y --++|2(1)||21|x y y --++≤112136⋅+<≤ 【新题好题训练】 1．设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）令，由得，解得．∴.（Ⅱ）由不等式，的，令，要使，则，整理得，∴，解得.∴实数的取值范围．点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．2．已知,a b R +∈且221a b +=．（1）求a b +的最大值M ；（2）若不等式32x t x x -≥-+-对任意22,1x M M ⎡⎤∈+⎣⎦成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析.试题解析：（12a b+≥，得a b +≤a b =取最大值，M ∴=（2）由（1）得[]2,3x ∈，∴()()32321x x x x -+-=--+-=．故由题意得1x t -≥对[]2,3x ∈恒成立，1t x ∴≤-或1t x ≥+对[]2,3x ∈恒成立，∵当[]2,3x ∈时， ()min 11x -=， ()max 14x +=， ∴1t ≤或4t ≥故实数t 的取值范围][(),14,-∞⋃+∞为． 3．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x =+-，若x R ∀∈， ()f x λ≥成立，且*N λ∈. （1）求λ的值；（2）若,p q R ∈，且0p >， 0q >， 2p q λ+=，求112p q+的最小值. 【答案】（1）1λ=（2）4试题解析：（1）由()1f x x x =+-的最小值为1，根据()f x λ≥对x R ∀∈恒成立可知1λ≤，又∵*N λ∈则1λ=.（2）由（1）可知21p q +=，由()1111222p q p q p q ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 22242q p p q =++≥+=，当且仅当22q p p q =， 2p q =且21p q +=，即12p =， 14q =时112p q+有最小值为4.4．已知0,0,0a b c >>>.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4. (1)求a b c ++的值；(2)求111a b c++的最小值. 【答案】（1）4；（2）94.【解析】试题分析：（1）由()()()f x x a x b c a b c a b c ≥+--+=++=++,结合函数()f x 的最小值为4，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得()1111111344a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据基本不等式即可求得111a b c++的最小值. 试题解析：(1) ()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++ , 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，()f x ∴的最小值为,4a b c a b c ++∴++=.(2)法一（基本不不等式处理理）：()1111111344a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19344⎛≥+= ⎝. 当4,,3b ac a c b a b c a b a c b c ===⇒===.等号成立. 法二（柯⻄西不不等式处理理）： ()2111111994a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥=⇒++≥ ⎪⎝⎭. 5．选修4-5：不等式选讲已知函数()224f x x x =-++. （1）解不等式： ()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，试求2018201810071007m n +++的最小值.【答案】(1) 12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭(2)4试题解析：（1） ()224f x x x =-++32,2,{6,22, 32,2,x x x x x x --<-=+-≤≤+>可得当2x <-时， 3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解；当22x -≤≤时， 634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤；当2x >时， 3234x +≥-+，得13x ≥，可得2x >. ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.（2）根据函数()32,2,{ 6,22,32,2,x x f x x x x x --<-=+-≤≤+>,可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =，4m n +=，∴100710072018m n +++=. ∴2018201810071007m n +++ 100710071007100710071007m n m n m n ++++++=+++ 10071007210071007n m m n ++=++++4≥=，当且仅当2m n ==时，取得最小值为4.6．选修4-5：不等式选讲已知3a b c ++=，且,,a b c 都是正数.（1）求证： 11132a b b c c a ++≥+++；（2）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式22222x mx a b c -++≤++对所有满足题设条件的正实数,,a b c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）[]2,2m ∈-【解析】（1）第（1）问，利用基本不等式证明11132a b b c c a ++≥+++. (2)第（2）问，由题得22x mx -++≤，再转化成210x mx -+≥恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）因为3a b c ++=，且,,a b c 都是正数，所以()()()11111116a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ ()11333222662b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1a b c ===时，取等号，所以11132a b b c c a ++≥+++得证.7．已知不等式23x x a +≥－.（1）当0a =，解该不等式；（2）a 取何值时，该不等式成立.【答案】（1）1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(],2a ∞∈-. 【解析】试题分析：(1)当0a =时，原不等式为230x x +-≥.两边平方，通过一元二次不等式求解；(2)令()23F x x x =+-,依题意，得()max F x a ≥.由绝对值三角不等式可得()F x 2222222x x x x x x x =+--≤+--=-≤.即可得到a 的范围.试题解析：(1)当0a =时，原不等式为230x x +-≥.23x x +≥.22449x x x ++≥,2240x x --≤.1x 12-≤≤.∴该不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)令()23F x x x =+-,依题意，得()max F x a ≥.()F x 2222222x x x x x x x =+--≤+--=-≤ .当且仅当0x =时，上述不等式等号同时成立.()2max F x ∴=.∴当(]a ,2∞∈-时，该不等式成立.8．已知()()2366f x x a a =-+-+. (1)解关于a 的不等式()10f >；(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值．【答案】（1）{|33a a -<<+；（2）3{3a b =±=-.试题解析：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－a <3＋∴原不等式的解集为{a |3－a <3＋(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于()61+3=3{ 613=3a ab ----⨯-解得3{3a b =±=-. 9．已知函数()3137f x x x =-++.（1）若不等式()23f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设0,0a b >>，且3a b +=，求证：【答案】(1) 25a -≤≤；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．（2）利用基本不等式转化证明即可．10．已知函数.(1)求不等式的解集； (2)若函数的最小值记为，设,且有证明：. 【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）由(1)可知函数的最小值为，即，，展开多项式，利用基本不等式可得结论.试题解析：(1) 求不等式等价于且；且；且，分别求解不等式组，再求并集即可得到满足不等式的解集为.(2)证明：由(1)可知函数的最小值为，即.所以,当且仅但时，等号成立，即所以得证.。

广东省广州市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟

高考数学三轮复习冲刺模拟试题27不等式、计数原理与二项式定理一、选择题1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．答案：C2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为()A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎨⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z max ＝3×3＋2＝11.答案：B3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2，我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．答案：B4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1， x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎨⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎨⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．答案：B6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是()A ．[1，4]B ．[1，5]C ．[45，4]D ．[45，5]解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D.答案：D7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C8．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案：B二、填空题9．如果(3x 2－2x 3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：由T r ＋1＝C r n(3x 2)n －r·(－2x 3)r＝C r n ·3n －r ·(－2)r ·x 2n －5r ， ∴2n －5r ＝0，∴n ＝5r2(r ＝0，1，2，…n )，故当r ＝2时，n min ＝5. 答案：510．某实验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3 kg 的药品袋数为x ，购买每袋2 kg 的药品袋数为y ，花费为z 元，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥100≤x ≤50≤y ≤5x ∈Z ，y ∈Z ，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z ＝12x ＋10y 对应的直线过整数点(2，2)时，目标函数z ＝12x ＋10y 取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：4411．在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1，5块区域颜色相同，则有C14C13C12＝24种不同的着色方法；若2，4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．答案：48。

《不等式选讲》历年高考真题专项突破.doc

《不等式选讲》历年高考真题专项突破整理人：毛锦涛命题角度1．含有绝对值不等式的解法1．已知函数 f （x）=|2x﹣1|+|2x+a| ，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式 f （x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f （x）≤g（x），求a 的取值范围．2．已知函数 f （x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式 f （x）≥ 3 的解集；（2）若f （x）≤|x﹣4| 的解集包含[1 ，2] ，求a 的取值范围．3．设函数f （x）=|x﹣a|+3x ，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式 f （x）≥3x+2 的解集（Ⅱ）若不等式 f （x）≤0 的解集为{x|x ≤﹣1}，求a 的值．4．已知函数 f （x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式 f （x）≤ 6 的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1| ，当x∈R时，f （x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．5．已知函数f （x）=|x﹣2|﹣|x﹣5| ．（1）证明：﹣3≤ f （x）≤3；（2）求不等式 f （x）≥x2﹣8x+15的解集．命题角度2．含有绝对值的函数的图像与应用6．已知函数 f （x）=|x+1|﹣2|x﹣a| ，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式 f （x）＞1 的解集；（Ⅱ）若 f （x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．7．设函数f （x）=|2x﹣4|+1 ．（Ⅰ）画出函数y=f （x）的图象：（Ⅱ）若不等式 f （x）≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围．8. 已知函数f（x）=| x+1|﹣| 2x﹣3| ．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式| f（x）| ＞1 的解集．命题角度3．不等式的证明与最值9．设函数f （x）=|x+ |+|x﹣a| （a＞0）．（Ⅰ）证明：f （x）≥2；（Ⅱ）若 f （3）＜5，求a 的取值范围．10．若a＞0，b＞0，且+ = ．（Ⅰ）求a3+b3 的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．11．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+ ；（2）+ ＞+ 是|a﹣b| ＜|c﹣d| 的充要条件．12．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．13．已知函数f （x）=|x﹣|+|x+ | ，M为不等式f （x）＜2 的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b| ＜|1+ab| ．14.设a＞0，| x-1| ＜a3，| y-2| ＜a3，求证：|2x+y-4| ＜a.15. 若函数 f (x) x 1 2 x a 的最小值为5，则实数a=_______.16．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f （x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．（1）求a+b+c 的值；（2）求a2+ b2+c2 的最小值．（柯西不等式）17. 已知关于x的不等式x a b的解集为x 2 x 4 ．（I）求实数a，b的值；（II）求at 12 bt 的最大值．（柯西不等式）2017 年03 月30日小毛的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．（2013?新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数 f （x）=|2x﹣1|+|2x+a| ，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式 f （x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f （x）≤g（x），求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式 f （x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x ﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y= ，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0 的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f （x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x ≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a ≤，故a 的取值范围为（﹣1，] ．2．（2012?新课标）已知函数 f （x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式 f （x）≥ 3 的解集；（2）若f （x）≤|x﹣4| 的解集包含[1 ，2] ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥ 3 即|x﹣3|+|x﹣2| ≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x ≤ 1 或x≥4}．（2）原命题即 f （x）≤|x﹣4| 在[1 ，2] 上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1 ，2] 上恒成立，等价于|x+a| ≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1 ，2] 上恒成立．故当1 ≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a 的取值范围为[﹣3，0] ．3．（2011?新课标）设函数 f （x）=|x﹣a|+3x ，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式 f （x）≥3x+2 的解集（Ⅱ）若不等式 f （x）≤0 的解集为{x|x ≤﹣1}，求a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f （x）≥3x+2 可化为|x﹣1| ≥2．由此可得x≥ 3 或x≤﹣1．故不等式 f （x）≥3x+2 的解集为{x|x ≥ 3 或x≤﹣1}．（Ⅱ）由 f （x）≤0 得|x﹣a|+3x ≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x }由题设可得﹣=﹣1，故a=24．（2016?新课标Ⅲ）已知函数 f （x）=|2x﹣a|+a ．（1）当a=2时，求不等式 f （x）≤ 6 的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1| ，当x∈R时，f （x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f （x）=|2x﹣2|+2 ，∵f （x）≤6，∴|2x﹣2|+2 ≤6，|2x﹣2| ≤4，|x﹣1| ≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f （x）≤ 6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1| ，∴f （x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a ≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a ≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1| ≥＞0，∴（a﹣1）2≥2，（3﹣a）2≥（3﹣a）解得2≤a＜3，∴a 的取值范围是[2 ，+∞）．5．（2011?辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知函数 f （x）=|x﹣2|﹣|x﹣5| ．（1）证明：﹣3≤ f （x）≤3；（2）求不等式 f （x）≥x2﹣8x+15的解集．。

高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》真题汇编及解析

高考数学《不等式选讲》课后练习一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.4．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.5．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数．【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6，再根据函数的最小值为n ，∴n=6．则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣2r ，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15，故选：C ．【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．6．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。

2018版高考数学江苏文考前三个月配套课件专题7 解析几何第27练精品

体验高考
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1.(2015·广东改编)已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝ ____3____.
解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
解析答案
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2.(2015·福建改编)已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，短轴的
解析答案
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(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：AN·BM为定值.
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高考必会题型
题型一利用椭圆的几何性质解题例 1 如图，焦点在 x 轴上的椭圆x42＋by22＝1 的离心率 e＝12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求P→F·P→A的最大值和最小值.
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以A→B·N→M＝0，故 MN⊥AB.
解析答案
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解析答案
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4.(2016·北京)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 23，A(a,0)，B(0， b)，O(0,0)，△OAB 的面积为 1. (1)求椭圆C的方程；解由已知ac＝ 23，12ab＝1. 又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝1，c＝ 3. ∴椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
解析答案
(2)过P(3,1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l 的方程.
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高考题型精练
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1.(2016·课标全国乙改编)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为___12_____. 解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝14×2b＝12b.

2018年全国高考数学模拟考试考前必做基础30题（解析版）

1页2018年全国高考数学模拟考试考前必做基础30题（解析版）1．已知集合，，则（） A.B.C.D.【答案】D2．已知全集是实数集，右边的韦恩图表示集合与的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（部分所表示的集合可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为，由题，所以，故选择D ． 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（的最小值是（） A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．由解得，故点．∴．故选B．）4．已知函数，则不等式的解集是（的解集是（．． D． CA． B【答案】D5．在平面直角坐标系中，已知双曲线：，过的左顶点引的一条渐进线的平行）轴围成的三角形的面积（线，则该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积（．． D． CA． B【答案】C6．已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（的大小关系为（） A. B. C.D.【答案】D 【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，，∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（积等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中，，，所以外接球的直径为，所以该多面体的外接球的表面积为8．如图，分别以为圆心，正方形的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入个质点，则该点落在阴影部分的概率为（个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设正方形的面积为，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为故所求的概率为9．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（的最小值为（） A ． B ． C ． D ．【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A ．1111．执行如图所示的程序框图，当输出的．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为的值为( ) ( )A. -2B. -1C.D. 【答案】B【解析】若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，符合题意；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；综上选B.12．已知向量．已知向量，且，则等于等于______________________________．．【答案】1313．在正项等比数列．在正项等比数列中，中，是的两个根，则____________________．．【答案】【解析】因为为等比数列，所以，又，所以，填．1414．已知．已知，其中是实数，是实数，虚数单位，那么____________________．．【答案】【解析】，根据复数相等的充要条件可知，.1515．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时）．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为，乙班数据的中位数为，那么的位置应填的位置应填______________________________，，的位置应填的位置应填______________________________．．【答案】 3 8【解析】甲班平均数，解得；乙班共6个数据，中位数应为，解得.1616．若．若的展开式中的系数为8080，则，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知．已知是单位向量，且与夹角为6060°，则°，则等于等于______________________________．．【答案】3【解析】1818．函数．函数的最大值为，它的最小正周期为.（1）求函数的解析式；的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由已知最小正周期为，所以，解得.因为的最大值为，所以，所以的解析式为.1919．已知．已知中，角所对的边分别是,且.(1)(1)求角求角的大小；的大小； (2)(2)设向量设向量，边长，当取最大值时，求边的长边的长..【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线．已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．（1）求圆心的直角坐标；的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．引切线，求切线长的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.2121．某钢厂打算租用．某钢厂打算租用，两种型号的火车车皮运输900吨钢材，吨钢材，，两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元万元//个和2.4万元万元//个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且型车皮不多于型车皮7个，分别用，表示租用，两种车皮的个数两种车皮的个数. .（Ⅰ）用，列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用，两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金. .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分别租用、两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万.【解析】（Ⅰ）由已知，满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.的中点，，分别为棱与的中点，，．如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，中，22．如图，在各棱长均为更靠近，且.上的动点，其中，为线段上的动点，其中，平面；）证明：（1）证明：所成角的余弦值..（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）见解析（2）（2）解：取的中点，的中点，则，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，易知是平面的一个法向量，∴ ，解得.∴，，，， ∴ ，∴异面直线与所成角的余弦值为2323．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，张印有“一等奖”的卡片，张印张印有“二等奖”的卡片，有“二等奖”的卡片， 3 3 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖元，元，抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金元，抽中“新年快乐”无奖金..（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回..假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止片全部抽完才停止. . 记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片张卡片..①记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；的值；②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望的分布列和数学期望..【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）（2）①②由题意可知可取的值为，，，，则；；因此的分布列为的数学期望是2424．如图所示的几何体是由以等边三角形．如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面为的中点的中点,,面．(1)(1)求求的长；的长；(2)(2)求证：面求证：面面；(3)(3)求平面求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连接,则为梯形的中位线，又,所以所以四点共面,因为面，且面面所以所以四边形为平行四边形，所以（2）由题意可知平面面；又且平面所以面，因为所以面又面，所以面面；.设平面的法向量为，所以由得所以所以，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形中，，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．（1）证明：平面平面；的余弦值．（2）若为中点，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为且，可得为等腰直角三角形，则，又，且平面，，故平面，又平面，所以平面平面.（Ⅱ）以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在轴上，设.由题设条件可得下列坐标：，，，，，.，，由于，所以，解得，则点坐标为由于，，设平面的法向量，由及得2626．某乐队参加一户外音乐节，准备从．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱首进行演唱.. （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望的概率分布及数学期望..【答案】(1) (2)【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为，则（2）由题意可得：.,.2727．四棱锥．四棱锥中,底面是边长为的菱形的菱形,,侧面底面,6060°°,, 是中点中点,,点在侧棱上.（Ⅰ）求证（Ⅰ）求证:: ;（Ⅱ）是否存在,使平面平面？若存在？若存在,,求出求出,,若不存在若不存在,,说明理由说明理由..若不存在,,说明理由说明理由..求出..若不存在？若存在,,求出（Ⅲ）是否存在,使平面若存在【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,因为侧面底面,且平面底面,所以底面.以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.则,因为为中点,所以. 所以,所以平面的法向量为.因为,设平面的法向量为,则,即.令,则,即.所以.由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.（Ⅲ）设由（Ⅱ）可知.设,则,又因为,所以,即.所以在平面中, ,所以平面的法向量为,又因为平面,所以,即,解得.所以当时, 平面．如图，是直角斜边上一点，．28．如图，（I ）若，求角的大小；的大小；（II II）若）若，且，求的长．的长．【答案】（I ）；（II ）2.2929．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了生产的大量产品中各抽取了 40 40件产品作为样本，件产品作为样本，检测某一项质量指标值，检测某一项质量指标值，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，用样本估计总体的思想，从甲、从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•的分布列和数学期望• 【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好. （3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，21页所以的分布列为：的数学期望. 3030．已知曲线．已知曲线的参数方程是(为参数为参数))，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积的面积((为坐标原点为坐标原点). ). 【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为， ∴的面积为.。

高考数学二轮复习专题九选做大题专题突破练26 不等式选讲文

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题专题突破练26 不等式选讲(选修4—5)1.(2018全国卷2,23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.2.已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.3.(2018云南昆明二模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≤x的解集;(2)当x≥时,f(x)+x2>1,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.5.(2018广西三模,23)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|-2.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≥a2-a-2在R上恒成立,求实数a的取值范围.6.(2018河北唐山三模,23)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-3|.(1)求不等式f(x)≥0的解集;(2)设g(x)=f(x)+f(-x),求g(x)的最大值.7.(2018河南郑州三模,23)已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.(1)证明:2a+b=2;(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.8.(2018山东潍坊一模,23)设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a>0),g(x)=x2+x.(1)当a=1时,求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)已知f(x)≥,求a的取值范围.参考答案专题突破练26不等式选讲(选修4—5)1.解 (1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).2.证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,当a=b时取等号,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.3.解 (1)当a=1时,不等式f(x)≤x,即为|x+1|-|x-1|≤x,等价于解得-2≤x≤-1或-1<x≤0或x≥2.故不等式f(x)≤x的解集为[-2,0]∪[2,+∞).(2)当x≥时,f(x)+x2>1⇔|ax-1|<x2+x,由|ax-1|<x2+x,得-x+-1<a<x++1.当x≥时,x++1的最小值为3,-x+-1的最大值为,故a的取值范围是,3.4.解 (1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立.故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围是.5.解 (1)当x≤-1时,不等式等价于1-x-x-1-2≥1,解得x≤-;当-1<x<1时,不等式等价于1-x+x+1-2≥1,不等式无解;当x≥1时,不等式等价于x-1+x+1-2≥1,解得x≥.综上,不等式f(x)≥1的解集为.(2)f(x)=|x-1|+|x+1|-2≥|x-1-(x+1)|-2=0,∵关于x的不等式f(x)≥a2-a-2在R上恒成立,∴a2-a-2≤0恒成立,解得-1≤a≤2.∴实数a的取值范围是[-1,2].6.解(1)由题意得|x-1|≥|2x-3|,所以|x-1|2≥|2x-3|2.整理可得3x2-10x+8≤0,解得≤x≤2,故原不等式的解集为.(2)显然g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,所以只研究x≥0时g(x)的最大值.g(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|-|2x-3|+|x+1|-|2x+3|,所以x≥0时,g(x)=|x-1|-|2x-3|-x-2=所以当x=时,g(x)取得最大值-3,故x=±时,g(x)取得最大值-3.7.(1)证明∵-a<,∴f(x)=显然f(x)在-∞,-上单调递减,在,+∞上单调递增,所以f(x)的最小值为f=a+=1,即2a+b=2.(2)解因为a+2b≥tab恒成立,所以≥t恒成立,(2a+b)=5+≥5+2=, 当且仅当a=b=时,取得最小值,所以t≤,即实数t的最大值为.8.解 (1)当a=1时,不等式g(x)≥f(x)即x2+x≥|x+1|+|x-1|,当x<-1时,x2+x≥-2x,x2+3x≥0,∴x≥0或x≤-3,∴此时x≤-3,当-1≤x≤1时,x2+x≥2,x2+x≥0,∴x≥1或x≤-2,∴此时x=1,当x>1时,x2+x≥2x,x2-x≥0,∴x≥1或x≤0,此时x>1,∴不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.(2)f(x)=|ax+1|+|x-a|=若0<a≤1,则f(x)min=f(a)=a2+1,∴a2+1≥,解得a≥或a≤-,∴≤a≤1,若a>1,则f(x)min=f-=a+>2>,∴a>1.综上所述,a≥.。

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第27练不等式选讲【理】
一.题型考点对对练
1.（与含绝对值不等式的解法）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数解，求实数的取值范围.
（2）等价于，等价于，而
，若存在实数解，则，即实数的取值范围是.
2.（求解与绝对值不等式相关的最值问题）已知函数，且不等式
的解集为，，.
（1）求，的值；
（2）对任意实数，都有成立，求实数的最大值.
【解析】（1）若，原不等式可化为，解得，即；
若，原不等式可化为，解得，即；
若，原不等式可化为，解得，即；
综上所述，不等式的解集为，所以，.
（2）由（1）知，，所以，
故，，所以，即实数的最大值为2.
3.（证明不等式）已知为正实数，且
（1）解关于的不等式；
（2）证明：
4.（利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法）已知函数，且
的解集为．
（1）求的值；
（2）若都是正实数，且，求证：．
【解析】（I）依题意,即,∴
（II）方法1:∵，∴
，当且仅当,即
时取等号
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得，当且仅当,即时取等号.
5.（利用不等式性质比较大小）设不等式的解集为，、．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由．
二.易错问题纠错练
6.（不等式证明方法选择不当至错）已知函数．
(1) 解不等式；
(2) 若，，求证：．
【解析】（1）原不等式即为．当时，则，解得
；
当时，则，此时不成立；当时，则，解得．
所以原不等式的解集为或．
（2）要证，即，只需证明．
则有
．
因为，，则，所以
，原不等式得证．
【注意问题】首先利用分析法将要证明的不等式进行等价变形，然后作差结合不等式的特点和题意证得等价变形后的结论即可证得原不等式成立.．
7.（混淆不等式有解与不等式恒成立至错）已知函数（，
）的值域为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若存在，使得，求实数的取值范围．
【注意问题】依题意有．
三.新题好题好好练
8.（1）求不等式的解集；
（2）若正实数满足，求证：．
【解析】（1）当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；当时，
，解得，舍去．综上，．故原不等式的解集为
．
（2）证明：要证，只需证，即证，即证，而，所以成立，所以原不等式成立．
9.已知函数，若的最小值为2.
（1）求实数的值；
（2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值.
，解得或（舍）；②当时，
即时，，则当时，
，解得（舍）或，③当时，即，，此时，不满足条件，综上所述，或；（2）由题意知，，∵
当且仅当时取“”，∴，所以的最小值为18
10.已知函数．
（1）若的最小值为2，求的值；
（2）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），当且仅当取介于和之间的数时，等号成立，故的最小值为，；
（2）由（1）知的最小值为，故，使成立，即
，
，.
11.已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值为6，即.（或者），所以，
由柯西不等式可得
因此.
12.已知函数.
(1) 若，求实数的取值范围;
(2) 若R , 求证：.
【解析】(1) 因为，所以. ①当时，得，解得，所以; ②当时，得，解得，所以; ③当时，得，解得，所以; 综上所述，实数的取值范围是.
(2) 因为R , 所以
.。

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