浙江省嘉兴高三高考模拟试题数学(理科)附答案

嘉兴高三三模数学理科试卷一．选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分）1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,4}U A B ===，则()U A C B I ( ) A ．｛1，3｝ B ．｛2，4｝ C ．｛1，2，3，5｝ D ．｛2，5｝ 2．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．123．已知等比数列{}n a 中，12345640,20a a a a a a ++=++=，则前9 项之和等于（ ）A ．50B ．70C ．80D ．904．已知m a 、都是实数，且0a ≠，则“{,}m a a ∈-”是“||m a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．右图所示的程序框图中的输出结果是 ( )A ．2B ．4C ．8D ．166．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列正确的是( ) A ．若m ∥,n α∥α，则m ∥n B ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β C ．若m ∥,n α∥β，则α∥β D ． 若,m n αα⊥⊥，则m ∥n7．设向量,a b r r 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=r r r r r r ，则|2|a b +r r＝( )A ．2B ．23C ．4D ．438．设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．3[1,]2B ．1[,1]2C ．[1,2]D ．1[,2]29．在正实数集上定义一种运算*：当a b ≥时，a *3b b =；当a b <时，a *2b b =， 则满足3*27x =的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或2D ．3或3310．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）(A) 2(B)3(C) 2 (D)5正视图3 22 侧视图俯视图2开始 S =1,k=1 结束 是 否S =S ×2 输出S k =k+1输入n=3 k ≤n二．填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分） 11．曲线sin cos y x x =+在点(,1)2π处的切线斜率为 ▲ .12．已知复数1322z i =-+,满足210az bz ++=(a,b 为实数),则a b += ▲ . 13. 平面上两定点A,B 之间距离为4,动点P 满足2PA PB -=,则点P 到AB 中点的距离的最小值为 ▲ .14. 随机变量X 的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若12EX =，则DX 的值是 ▲ ．15．已知圆22:2O x y +=，圆22:(1)(3)1M x y -+-=，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是▲ .16．已知关于x 的方程22||90x a x a ++-=只有一个实数解，则实数a 的值为 ▲ . 17. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 ． ▲ ．三．解答题（本题共5题，满分72分）18．（本题满分14分）已知1(sin ,)2m A =u r 与(3,sin 3cos )n A A =+r 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.19．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足113,33(*)nn n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足3n n n b a -=.（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）设3123452n n a a a a S n =+++++L ，求满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值.20．（本题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ∆是正三角形，且2AD DE AB ==.（1）设M 是线段CD 的中点，求证：AM ∥平面BCE ； （2）求直线CB 与平面ABED 所成角的余弦值.21．（本题满分15分）如图，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和圆222:(1)5C x y ++=都相切，F 是1C 的焦点.（1）求m 与a 的值；（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点作抛物线1C 的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以,FA FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线1C 于,P Q 两点，求NPQ ∆的面积S 的取值范围.22。

（本题满分15分）已知函数()ln f x x x x =+． （1）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；（2）若k ∈Z ，且()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当4n m >≥时，证明()()mnn m mn nm >．参考答案：1－10 AABBC DBDDA 11. －1 12. 2 13. 1 14.51215. 1或－7 16. 3 17. 721 18．解：（1）因为m //n ,所以3sin (sin 3cos )02A A A ⋅+-=.所以31cos 23sin 2022A A -+-=，即31sin 2cos 212A A -=，即 ()πsin 216A -=. …………………4分因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. 故ππ262A -=，π3A =.……………7分 （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-.又31sin 2ABC S bc A ∆==， …………………9分而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立） …………11分所以331sin 432ABC S bc A ∆===. ………………………12分当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.…14分19.（1）证明：由3n n n b a -=得3n n n a b =，则1113n n n a b +++=。

代入133n n n a a +-=中，得111333n n nn n b b +++-=，即得113n n b b +-=。

所以数列{}n b 是等差数列。

………………6分 （2）解：因为数列{}n b 是首项为11131b a -==，公差为13等差数列，则121(1)33n n b n +=+-=，则13(2)3n n n n a b n -==+⨯。

………………8分从而有132n n a n -=+，故21312133113333452132n n n n n a a a a S n ---=++++=++++==+-L L 。

…………11分 则223113131n n n nn S S -==-+，由2111284n n S S <<，得111128314n <<+。

即33127n<<，得14n <≤。

故满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值为2，3，4。

………………14分20（I ）证明：取CE 中点N,连接MN,BN则MN ∥DE ∥AB 且MN=21DE=AB∴四边形ABNM 为平行四边形∴AM ∥BN ………....4分 ∴AM ∥平面BCE ………………………....6分 （Ⅱ）解：取AD 中点H,连接BH ，∵ACD ∆是正三角形， ∴CH ⊥AD …....8分 又∵⊥AB 平面ACD ∴CH ⊥AB ∴CH ⊥平面ABED ....10分∴∠CBH 为直线 CB 与平面ABED 所成的角………....12分设AB=a,则AC=AD=2a , ∴BH=2a BC=5acos ∠CBH=51052==BC BH ………………....14分HDEBAN DEB A21.22。

（1）解：因为()ln 2f x x '=+，所以()12f '=，函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程21y x =-；…………3分（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．…………4分 令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，……………………4分 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………………5分因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，…6分 所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．…………7分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．………………………8分 （3）由（2）知，()ln 1x x xg x x +=-是[)4,+∞上的增函数，……………9分所以当4n m >≥时，ln ln 11n n n m m mn m ++>--．…………………10分 即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+．整理，得()ln ln ln ln mn n m m mn m n n n m +>++-．………………11分 因为n m >， 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+．…………………12分 即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mn m mn n n m m n >．………………13分所以()()mnn m mn nm >．………………………14分。