高三数学-2016届高三上学期期初数学试卷

2015-2016学年高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=．2．函数y=log2（2x﹣x2）的增区间为．3．设复数z=，则=．4．执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=．5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．若θ为锐角，且，则sinθ=．8．若直线y=kx是y=lnx的切线，则k=．9．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如上，则y的表达式是．10．已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为．11．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．12．已知公差不为0的正项等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则S5等于．13．过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．14．已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．16．如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDF；（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．18．已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在处取得极值．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．三、附加题（一）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，共计20分．【A．选修4-1：几何证明选讲】21．如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．求证：∠DAP=∠BAP．【B．选修4-2：矩阵与变换】22．设a＞0，b＞0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E：=1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【C．选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ﹣）=a截得的弦长为2，求实数a的值．【D．选修4-5：不等式选讲】24．（2013•宣武区校级模拟）已知a，b是正数，求证：a2+4b2+≥4．（二）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．26．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．2015-2016学年高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．函数y=log2（2x﹣x2）的增区间为（0，1）．【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由﹣x2+2x＞0可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数y=log2（﹣x2+2x）的单调增区间，只要求t=﹣x2+2x在0＜t＜2的单调增区间．【解答】解：由﹣x2+2x＞0，得0＜x＜2，即定义域为x∈（0，2）．设t=﹣x2+4x（0＜x＜2），则当x∈（0，1）时，t为增函数；又y=log2t（0＜t＜2）也为增函数，故函数的单调递增区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．3．设复数z=，则=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】首先把复数z化简，然后运用=|z|2计算即可．【解答】解：z==．所以．故答案为2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．4．执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．【考点】程序框图．【专题】计算题．【分析】由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．【解答】解：蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，其体积为1．而棱长为3的正方体的体积为27．故所求概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【考点】特称命题．【专题】计算题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0∴x2+（1﹣a）x+1=0有两个不等实根∴△=（1﹣a）2﹣4＞0∴a＜﹣1，或a＞3故答案为：（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．7．若θ为锐角，且，则sinθ=．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，求得sinθ=sin[（θ﹣）+]的值．【解答】解：∵θ为锐角，且，∴cos（θ﹣）==，∴sinθ=sin[（θ﹣）+]=sin（θ﹣）cos+cos（θ﹣）sin=+=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．8．若直线y=kx是y=lnx的切线，则k=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，当x=1时，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴故答案为：．【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如上，则y的表达式是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先利用函数的周期确定ω的值，进一步利用最值确定A和K的值，最后确定Φ的值，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的图象，则：T=π进一步求出ω=2．解得：A=，K=1当x=时，函数达到最大值，由于，|φ|＜Φ=所以：【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求A、ω、和Φ的值10．已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的基本运算可得与的坐标，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可．【解答】解：由题意=（﹣3λ﹣1，2λ），=（﹣1，2）∵与垂直，∴=（﹣3λ﹣1）（﹣1）+2λ×2=7λ+1=0，解得，故答案为：【点评】本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题．11．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为（﹣2，1）．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a 的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）【点评】本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2﹣a2）＞f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题．12．已知公差不为0的正项等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则S5等于30．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设正项等差数列{a n}的公差为d≠0，由于lga1，lga2，lga4也成等差数列，可得2lga2=lga1+lga4，化为a1=d，又a5=10，可得a1+4d=10，联立解出，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：设正项等差数列{a n}的公差为d≠0，∵lga1，lga2，lga4也成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，∴=a1a4，∴，化为a1=d，又a5=10，∴a1+4d=10，联立解得a1=d=2，则S5==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a 和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．14．已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是m＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇函数．【专题】压轴题．【分析】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围．再根据在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）==，构造新函数h（x）=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．【解答】解：∵M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}∵N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，所以可得N={b|1＜b≤2}∴D=M∩N=（1，]∵是定义在R上的奇函数∴f（0）=0可得n=0∴f（x）=，又在D内没有最小值∴f（x）==，定义在R上的奇函数在D内没有最小值，所以分母恒为正，即m必须为正数，若m＞0，令h（x）=，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+∞）上是增函数，当≥时，即m≥时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意当1＜＜时，即1＜m＜时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）＞h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合题意综上讨论知，m的取值范围是m＞，故答案为m＞【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【考点】半角的三角函数；余弦定理的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先根据角A的范围和正弦值求出余弦值，然后根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行化简，最后代入角A的余弦值即可．（2）先根据三角形的面积公式求出b与c的乘积，然后将数据代入余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA即可求出b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和、倍角公式、三角形的面积公式以及余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，不容易记忆，一定要强化记忆，这样才能做到做题时的游刃有余．16．如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDF；（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）欲证AE∥平面BFD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BFD内一直线平行，设AC∩BD=G，连接FG，根据中位线定理可知FG∥AE，而AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，满足定理所需条件；（2）欲证平面DBF⊥平面BCE，根据面面垂直的判定定理可知在平面DBF内一直线与平面BCE垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线AE⊥平面BCE，而FG∥AE，则直线FG⊥平面BCE，而直线FG⊂平面DBF，满足定理条件．【解答】证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG．由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；（2）∵∠AEB=90°，∴AE⊥BE．又∵直线BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．又BC∩BE=B，∴直线AE⊥平面BCE．由（1）知，FG∥AE，∴直线FG⊥平面BCE．又直线FG⊂平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（Ⅱ）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30两种情况化简得w （t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，；（Ⅱ）因为；①当1≤t＜15时，当且仅当，即t=5时取等号②当15≤t≤30时，，可证w（t）在t∈[15，30]上单调递减，所以当t=30时，w（t）取最小值为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元．【点评】考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．18．已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）由题意得到c=，tan30°==，可得b、a值，即得椭圆的方程．（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入的解析式化简得恒为定值，故有，从而解出m值．【解答】解：（I）由题意可得c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，故椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即y=kx﹣k．代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1•x2=．∵=（m﹣x1，﹣y1）•（m﹣x2，﹣y2）=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）=（m2+k2）+（1+k2）﹣（m+k2）（）=恒为定值，∴，∴m=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由恒为定值，得到，是解题的关键和难点．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题．【分析】（I）将已知等式用等差数列{a n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n•3n﹣1=（2n+1）•3n﹣1T n=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n﹣2T n=3+2•3+2•32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n•3n．【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在处取得极值．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）因为函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），可把（﹣1，2）点坐标代入，得到一个关于b，c的等式，再因为函数在处取得极值，所以函数在处的导数为0，由此又得到一个关于b，c的等式，两个等式联立，就可解出b，c．（Ⅱ）利用导数求最大值，因为f（x）为分段函数，所以可按x的范围，分段求导数，找到极大值，再比较区间[﹣1，e]上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，由题意得：，即，解得：b=c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=①当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2），解f′（x）＞0得0＜x＜；解f′（x）＜0得﹣1＜x＜0或＜x＜1∴f（x）在（﹣1，0）和上单减，在（0，）上单增，由f′（x）=﹣x（3x﹣2）=0得：x=0或x=，∵f（﹣1）=2，f（）=．f（0）=0，f（1）=0，∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f′（x）=alnx，当a≤0时，f′（x）≤0；当a＞时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．∴当a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．【点评】本题考查了应用导数求极值，最值，属于导数的应用，为高考必考内容．三、附加题（一）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，共计20分．【A．选修4-1：几何证明选讲】21．如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．求证：∠DAP=∠BAP．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题．【分析】利用同弧上的圆周角与弦切角相等，推出∠APB=90°，利用AD⊥CP，推出∠DAP=∠BAP．【解答】证明：因为CP与圆O 相切，所以∠DPA=∠PBA．…2分因为AB为圆O直径，所以∠APB=90°，所以∠BAP=90°﹣∠PBA．…6分因为AD⊥CP，所以∠DAP=90°﹣∠DPA，所以∠DAP=∠BAP．【点评】本题考查圆的切线与圆的内接三角形的关系，考查逻辑推理能力．【B．选修4-2：矩阵与变换】22．设a＞0，b＞0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E：=1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设点P（x，y）为圆C上一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′），得P′（ax，by）在椭圆E上，化简所得方程与圆C为同一方程，比较系数可得a，b的值；（2）设A﹣1=，由逆矩阵定义建立关于n、m、p、q的方程组，解之可得n、m、p、q的值，从而得到逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）则═，所以．…2分因为点P′（x′，y′）在椭圆E：上，所以，这个方程即为圆C方程．…6分因为a＞0，b＞0，所以a=2，b=．…8分（2）由（1）得A=，设A﹣1=，得AA﹣1===．．∴m=，n=p=0，q=，可得A﹣1=…10分【点评】本题已知单位圆在矩阵A的作出下变换成的图形，求变换的矩阵A，着重考查了圆的方程、椭圆的标准方程和逆变换与逆矩阵等知识，属于基础题．【C．选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ﹣）=a截得的弦长为2，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【专题】选作题．【分析】先将圆与直线的极坐标方程化为普通方程，并求出r及圆心到直线的距离，利用即可求出答案．【解答】解：∵圆C：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2．∵直线l：ρsin（θ﹣）=a，展开得，∴，即直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离d==|1+a|．因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2﹣d2=．即4﹣（1+a）2=3，化为a2+2a=0，解得a=0，或a=﹣2．故实数a的值为0，或﹣2．【点评】本题考查了极坐标方程化为普通方程直线与圆相交弦长问题，正确化简及充分利用是解题的关键．当然也可以利用弦长公式去求．【D．选修4-5：不等式选讲】24．（2013•宣武区校级模拟）已知a，b是正数，求证：a2+4b2+≥4．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，先证明a2+4b2≥4ab，再利用基本不等式，即可证得结论．【解答】证明：因为a，b是正数，所以a2+4b2≥4ab（当且仅当a=2b时，取等号）．…2分所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4（当且仅当ab=时取等号，亦即a=1，b=时，取等号）．即a2+4b2+≥4．…10分【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．（二）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得•=0，•=0，即可证得结论；（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．【解答】（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），∴=（，0，），=（0，1，0），=（﹣1，0，1）．∴•=0，•=0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP=B，所以AE⊥平面PBC．（2）解：设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0．因为=（﹣1，2，0），=（0，3，﹣1），所以．令x=2，则y=1，z=3．所以=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量．…8分因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．所以cos＜，＞==．根据图形可知，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．…10分【点评】本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键．26．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．【考点】二项式定理的应用；数学归纳法．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）通过对x取1，2求出a0及S n（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明．注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，S n＞（n﹣2）2n+2n2；当n=2，3时，S n＜（n﹣2）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，S n＞（n﹣2）2n+2n2【点评】本题考查赋值法是求系数和的重要方法；考查数学归纳法证明与自然数有关的命题．。