课外练习3完全平方公式_乘法公式-优质公开课-北京版7下精品
北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习
第一章整式的乘除第6节完全平方公式课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人得分一、单选题1．4张长为m ，宽为n （m ＞n ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m +n ）的正方形，图中空白部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2，若3S 1＝2S 2，则m ，n 满足的关系是（ ）A ．m ＝4.5nB ．m ＝4nC ．m ＝3.5nD ．m ＝3n2．下列运算正确的是（ ） A ．(m 2)3=m 6B ．(mn )3=mn 3C ．(m +n )2＝m 2+n 2D ．m 6÷m 2=m 33．如果229(3)x bx x -+=-，则b 的值为（ ） A ．-3B ．3C ．6D ．-64．我国宋代数学家杨辉发现了()na b +（0n =，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，()8a b +展开式的系数和是（ ） A ．64 B ．128C ．256D ．612评卷人 得分二、填空题 5．已知：2a b +=，34ab =，则22a b +=_________，a b -=______．6．如图，长方形ABCD的周长为24，以它的四条边为边长向外作正方形，如果这四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD 的面积为________．7．已知（x ﹣2020）2+（x ﹣2022）2＝18，则（x ﹣2021）2的值是___． 8．已知：x +y ＝12，则代数式3x 2+y 2的最小值为___． 评卷人 得分三、解答题 9．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ． （1）用含a ，b 的代数式分别表示1S 、2S ； （2）若15a b +=，20ab =，求12S S +的值；（3）当1240S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．10．化简求值：()()()()22322x y x x y x y x y +-+++-，其中14x =，2y =．11．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．（1）①计算：S甲＝，S乙＝；①用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲S乙．（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．①该正方形的边长是（用含m的代数式表示）；①小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．12．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值．13．如图，有长为m ，宽为n 的长方形卡片()A mn ，边长为m 的正方形卡片B ，边长为n 的正方形卡片C ，将卡片C 按如图1放置于卡片A 上，其未叠合部分（阴影）面积为1S ，将卡片A 按如图2放置于卡片B 上，其未叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）1S =________，2S =________；（用含m 、n 的代数式表示） （2）若1218S S +=，则图3中阴影部分的面积3S =________； （3）若6m n -=，10mn =，求图4中阴影部分的面积4S ．14．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m ，n 的代数式表示) 方法1：______ 方法2：______（2）根据()1中结论，请你写出下列三个代数式之间的等量关系；代数式：2()m n +，2()m n -，mn _________________________（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知8a b +=，7ab =，求a b -和22a b -的值．15．观察与计算： 152＝225＝1×2×100+25； 252＝625＝2×3×100+25； 352＝1225＝3×4×100+25； …猜想与计算：852＝_________，1052＝ ；发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 ； 说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性． （提示：可以用10a +5表示末位数字是5的数）16．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉高新区某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与农耕劳作。
七年级数学下册北师大版《完全平方公式》课件
预习反馈
1.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算((3)(4) )
（1）a ba c （3）ab 3x 3x ab
（2）x y y x （4） m nm n
2. 运用完全平方公式计算：
（1） (4m n)2 解： 16m2 8mn n2
（2） ( y 1)2
2
解： y2 y 1 4
（3) 992
解： (100 1)2 1002 200 1 9801
预习反馈
3.若x2 4x k (x 2)2， 则k = 4
4.计算(x-y) 2-(y+2x)( y-2x)．
解： (x y)2 ( y 2x)(y 2x) x2 2xy y2 ( y2 4x2 ) x2 2xy y2 y2 4x2 5x2 2xy
典例精析
例一、计算 (1) （a+3b）2-(3a+b)2
解：＝a2 +6ab+ 9b2-(9a2 +6ab+ b2 ） ＝ a2 +6ab+ 9b2-9a2 -6ab- b2 ＝ -8a2 +8b2
随堂检测
1．下列运算正确的是 ( B )
A．a3+ a2＝2 a5
B．(-2 a3)2＝4 a6
(2). (a 3b)2 (a2 ) -( 6ab)+(9b2)。 (2) .(x+2a2)2 =(x2 +4a2x+ 4a4 )。
(a b)2 a2 2ab b2 (3). 492 =( 50-1 ) 2 =(2399 )。
课堂探究
探究（一）：完全平方公式小结
完全平方和公式运算法则：两数和（或差）的平方，等于它们 的 平方和 ，加上（或减去）它们的 积的两倍 。
完全平方公式(第1课时)北师大数学七年级下册PPT课件
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
探究新知 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a, b有什么 关系？它的符号与什么有关？
2.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：因为x+y=8, 所以(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
因为x-y=4,所以(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 所以xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 公式
注意
常用 结论
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
探究新知
知识点 1 完全平方公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm +bn
（x ＋ 3)( x＋3） =x2 ＋3x ＋3x ＋9 =x2＋6x ＋9
探究新知
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ ( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9 = m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9， ( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ．
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方公式 -七年级数学下册课件(北师大版)
两数差的完全平方公式：
b ab
b2
a
(a+b)²
(a－b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2 a2 2ab b2
ab
例3 计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2； (2)(a－b)2·(a＋b)2； (3)(x＋y )(－x＋y )(x 2－y 2)．
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；
11 利用完全平方公式计算：
(1)(x＋y )2－4(x＋y )(x－y )＋4(x－y )2；
解：(1)原式＝x 2＋2xy＋y 2－4(x 2－y 2)＋4(x 2－2xy＋y 2) ＝x 2－6xy＋9y 2.
(2)
60
1 60
2
;
(3)2 0162－4 032×2 015＋2 0152.
知识点 3 完全平方公式的应用
例5 已知a 2＋b 2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平 方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a 2＋b 2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a 2＋b 2－2ab＝13－2×6＝1.
9 若x＋y＝10，xy＝1，则x 3y＋xy 3的值是
___9__8___．
10 如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片 拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为( D )
A．(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2 B．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2 C．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
所以y＝－1，x＝－1.
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
-识别应用场景：学生在解决实际问题时，需能够识别哪些问题可以用乘法公式来解决，哪些问题需要其他方法。
-计算准确性：学生在运用乘法公式进行计算时，需注意细节，避免出现计算错误。
举例：在讲解平方差公式时，解释为何a² - b²可以分解为(a+b)(a-b)，引导学生理解公式背后的逻辑关系。在解决实际问题时，指导学生如何识别问题中的关键信息，选择合适的乘法公式进行求解。
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
一、教学内容
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
1.完全平方公式：a² = (a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²
2.平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
3.立方和公式：a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公论加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天在讲解乘法公式这一章节时，我发现学生们对于完全平方公式和平方差公式的推导和应用掌握得还不错，但在立方和公式的理解上似乎有些困难。在今后的教学中，我需要针对这个情况做出一些调整。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
北师大版七年级数学下《完全平方公式》
例题讲解
⑵ (a+b+3)(a-b-3)
解：原式=[a+(b+3)][a-(b+3)] = a2-(b+3)2 =a2-(b2+6b+9) =a2-b2-6b-9
跟踪练习一
计算下列各题. ⑴ （x-2)(x+2) - (x+3)2
⑵ (a+b+3)(a+b-3)
例题讲解
例2、已知x2+mx+9是完全平方式，求m 的值.
1.6 完全平方公式(2)
复习回顾
1、完全平方公式是什么？
复习回顾
两数和的平方ห้องสมุดไป่ตู้
（a+b）2＝ a2 +2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平 方和，加上这两数积的2倍.
复习回顾
两数差的平方
（a － b）2＝ a2 － 2ab + b2
两数差的平方，等于这两数的平 方和，减去这两数积的2倍.
完全平方公式的数学表达式：
（a ± b）2＝ a2 ± 2ab + b2 口诀
首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方 完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
复习回顾
2.填空.
⑴（ x + 3）2=（ x）2+2·x·3+（3 ）2 ⑵ （3x - 2y）2=（3x）2-2（3x）（2y）+（2y）2
2、已知 a ，求
a的2 值a12.
随堂测试
解答下列各题 (1)1022 ； (2) (x − 2y)2
(3) (2x+5y)2 ⑷ (n +1)2 − （n-2）2 ⑸已知x2+2kx+16是完全平方式，则k= .
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》优质公开课课件 (2)
=(
)
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: ⑴ (x+2y)2=x2+ 2·x·2y + (2y)2 =x2+4xy+4y2
(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2
又∵a+b=5,ab=4,∴(a+b)2=25；2ab=8
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
=25-8
∴
=17
你能算出（a-b)2的值吗？
• 4题答案：
• (1) (y-6)²=y²-2y×6+6²=y²-12y+36 • (2) (-1+½y) ²=(-1) ²+2×(-1)(½y)+ (½y) ²
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 7:22:45 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
猜想 (a+b)2= a2+2ab+b2 (a -b)2= a2 - 2ab+b2
你能证明你的猜想吗？ 动手算一算
完全平方公式(第二课时)课件 2022-2023学年北师大版数学七年级下册
A．2 cm2 B．2a cm2C．4a cm2 D．（a2﹣1） cm2
2．若（x+m）2=x2﹣6x+n，则m、n的值分别为（ C ）
A．3，9 B．3，﹣9 C．﹣3，9 D．﹣3，﹣9
ZYT
课堂检测
基础巩固题
3.利用完全平方公式计算：
(1) 0.982
(2) 10012
解：(1) 原式 = （ 1 − 0.02）2
的值．
解：因为a＋b＝7， 所以(a+b)2＝49. 所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.
(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.
解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
ZYT
典例精析
请你用所学的公式解释自己关于老人给糖果问题的结论. 第一天a个孩子，给出去的糖果a×a=a2. 第二天b个孩子，给出去的糖果b×b=b2. 第二天(a+b)个孩子，给出去的糖果 (a+b)2=a2+2ab+b2.
方法总结：要把其中两项看 成一个整体，再按照完全平 方公式进行计算.
ZYT
典例精析
例4 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
=(x2－4y2)2 =x4－8x2y2＋16y4.
方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.
典例精析 例4 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2
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课堂检测
能力提升题
3.若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为1 ．
七年级数学北师大版下册初一数学--第一单元 《完全平方公式》第一课时参考课件
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2； 首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用 完全平方公式进行多项式乘法的关键.
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加 上(减去)这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
例题解析
1 2
注意 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 − 12x + 9 ;
1.8 完全平方公式（一）
回顾 & 思考☞
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和 符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变 成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式； 当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空： 1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2 2) a2+ (-2ab)+b2=(a - b)2 3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2 5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2 7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?
《完全平方公式》(第2课时)示范公开课教学PPT课件【部编北师大版七年级数学下册】
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(x+9)(x－9)=x2－9
(2)(a+3b)2－(3a+b)2计算结果是( C )
A．8(a－b)2 B．8(a+b)2 C．8b2－8a2 D．8a2－8b2
随堂练习
(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是( B )
A．－25x4－16y4 B．－25x4+40x2y2－16y4
复习回顾
一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减 少了多少平方厘米？ 提示：原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方 形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a －2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a －4，所以面积减少了(4a－4)平方厘米．
（2）(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9
（3）(x+5)2–(x-2)(x-3) =(x2+10x+25)-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19
典型例题
例3.（1）若a2+b2=2，a+b=1，则ab的值为( B )
随堂练习
5．已知：x2－2x+y2+6y+10=0，求x+y的值． 解：∵x2-2x+1+y2+6y+9=0， ∴（x-1）2+（y+3）2=0， ∵x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3．
【全版】数学七年级下北师大版完全平方公式课件推荐PPT
例3 计算：(3)(a+b+3)(a+b-3)
(x+3)2-x2
a，b怎样确定？
11
1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809
12
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算：
与前两天他们得到的糖果总数哪个
多？多多少？为什么？
(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab 8
学一学
例2 利用完全平方公式计算：
(1) 1022 ;
(2) 1972 .
观察&思考
完全平方公式(a 差.
把 1022 改写成 (a+b)2 还 是(a−b)2 ?
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
.完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2的左边的底数是两数的和或差.
来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，…… 七年级下北师大版第一章整式的运算
把 1972 改写成 (a+b)2 根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?
=10000+400+4
(2x-y)2-4(x-y)(x+2y) 学 有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。
还是
如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公式中的“b”换成“p”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子?
北师大版数学七年级下册《完全平方公式》整式的运算3
北师大版数学七年级下册
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感谢所有辛勤付出的人民教师
活动1 探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p_2+_2_p_+_1； (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __p_2-_2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
拓展：已知x+y=8，xy=12,求x2+y2的值.
小结：完全平方公式. 作业：习题 15.3 第2、4、5、6、8、9题.
); 能否用去括号
);
法则检查添括 号是否正确?
);
(4) a + b + c = a – ( ).
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z ).
3.如图,一块直径为a+b的圆形 钢板,从中挖去直径分别为a与 b的两个圆,求剩下的钢板的面 积.
(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;
(4)(x+y)2－(x－y)2;
例 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解:(1)1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2×100×2 + 22 = 10000 +400 +4 = 10404；