1.3.1 函数的基本性质-单调性

1.3.1 函数基本性质——单调性目标：函数单调性的讨论与证明一.函数的单调性. 1.增函数的定义设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果对于任意的∈21,x x I ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间I 上为增函数，相应的区间I 则称为函数的递增区间.直观上，函数)(x f 在区间I 上为增函数，就是在区间I 上小的x 对应小的y ，大的x 对应大的y ，函数值y ))((x f =随着x 的增大而增大. 所以如果函数)(x f 在区间I 上为增函数，那么在区间I 上函数的图象（从左到右）是不断地上升的.比如函数x y 2=在区间),(+∞-∞上为增函数，图象（从左到右）上升.比如函数x x f 1)(-=在区间),0(∞+上为增函数，图象（从左到右）上升.比如函数)0(2>++=a c bx ax y 在区间),[∞+-b 上为增函数，图象（从左到右）上升.2.减函数的定义设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果对于任意的∈21,x x I ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间I 上为减函数，相应的区间I 则称为函数的递减区间.直观上，函数)(x f 在区间I 上为减函数，就是在区间I 上小的x 对应大的y ，大的x 对应小的y ，函数值y ))((x f =随着x 的增大而减小. 所以如果函数)(x f 在区间I 上为减函数，那么在区间I 上函数的图象（从左到右）是不断地下降的.比如函数x y 2-=在区间),(+∞-∞上为减函数，图象（从左到右）下降.比如函数x x f 1)(=在区间),0(∞+上为减函数，图象（从左到右）下降.比如函数)0(2>++=a c bx ax y 在区间]2,(ab --∞上为减函数，图象（从左到右）下降.3.函数的单调性和单调区间.如果函数)(x f 在区间I 上为增函数或减函数，那么就说函数)(x f 在区间I 具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间.例1.函数)0(2>++=a c bx ax y 在区间]2,(ab --∞上为减函数、在区间),2[∞+-ab 上为增函数，也可以说成函数)0(2>++=ac bx ax y 在区间]2,(a b --∞上单调递减、在区间),2[∞+-ab 上单调递增. 而区间]2,(a b --∞和),2[∞+-ab 都是函数)0(2>++=a c bx ax y 的单调区间.4.增、减函数的图示.例2.下图是定义在]5,5[-上的 函数)(x f y =的图象，根据图 象说出函数)(x f y =的单调区 间，以及在每一个单调区间上 函数)(x f y =是增函数还是减 函数.注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭.5.函数单调性的讨论或证明（步骤——三步走）.借助于函数的图象，可以粗略地得到函数的单调区间，但严格的讨论或证明必须按定义的要求进行. 具体步骤如下： ①设∈21,x x I ，且21x x <.②计算)()(21x f x f -，并讨论其符号，以确定)()(21x f x f <或)()(21x f x f >.③根据①②作出结论.例3.证明函数xx x f 2)(-=在区间)0,(-∞上是增函数.二.函数的最大、最小值设函数)(x f y =的定义域为A .如果存在A x ∈0，使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，则称)(0x f 为函数)(x f y =的最大值（这时我们也说函数)(x f y =在点0x 处取得最大值），记为：)(0max x f y =.如果存在A x ∈0，使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，则称)(0x f 为函数)(x f y =的最小值（这时我们也说函数)(x f y =在点0x 处取得最小值），记为：)(0min x f y =.例4.求下列函数的最值.①.)2,3[,232-∈+-=x x x y . ②.]2,3(,232-∈+-=x x x y .③.]3,1[,1∈=x xy .关于函数的最大、最小值我们有如下的结论： 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上有定义.如果)(x f 是闭区间],[b a 上的增函数，则函数)(x f 在点a 处取得最小值 )(mina f y =；在点b 处取得最大值)(max b f y =.如果)(x f 是闭区间],[b a 上的减函数，则函数)(x f 在点a 处取得最大值 )(maxa f y =；在点b 处取得最小值)(min b f y =.例5.求函数]1,3[,722-∈+-=x x x y 的值域.三.课堂练习：32P 练习.四.复合函数的单调性给定函数)(u f y =，及函数)(x g u =，经复合后得到关于x 的复合函数)]([x g f y =，设当I x ∈时，内函数)(x g u =单调，且相应的值域区间为E （E ={u |)(x g u =，I x ∈}），如果外函数)(u f y =在E u ∈时也是单调的，那么复合函数)]([x g f y =作为x 的函数在I x ∈时也是单调的.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.例6.确定函数2312+-=x x y 的单调性.五.单调函数的有关结论.①增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数.常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数.②非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变.③奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性.④偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性.注意：一些常用的函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数等）.六.小结1.关于函数单调性的理解，要注意以下几点： ①.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.②.函数)(x f 在给定区间上的单调性，反映了函数)(x f 在这个区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此要证明函数)(x f 在],[b a 上是递增的，就必须证明对于区间],[b a 上任意的两个值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <成立.若要证明函数)(x f 在],[b a 上不是递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到两个特殊的21,x x ，当21x x <时，反而有)()(21x f x f ≥即可.③.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制. 比如函数 xy 1=在区间),0(),0,(∞+-∞上都是减函数，但不能说函数在整个定义域即),0()0,(∞+-∞ 内是减函数.2.注意求复合函数单调区间的步骤： ①.确定函数的定义域；②.将复合函数分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==； ③.分别确定这两个函数的单调区间.④.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.七.典型例题1.函数y = （ ） A.(,3]-∞- B.(,1]-∞- C.[1,)+∞ D.[3,1]--2.函数⎩⎨⎧<-≥+=001)(22x xx x x f 的单调性为 （ ）A.在),0(∞+上为减函数B.在)0,(-∞ 上为增函数，在),0(∞+上为减函数C.不能确定D.在),(∞+-∞ 上为增函数3.如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的12,[,]x x a b ∈，则下列结论中不正确的是 （ ）A.1212()()0f x f x x x ->- B.1212()[()()]0x x f x f x --> C.12()()()()f a f x f x f b <<< D.12120()()x x f x f x ->-4.作出函数9696)(22++++-=x x x x x f 的图象，并指出函数)(x f 的单调区间.5.确定函数|32|2--=x x y 的单调性.6.确定函数x x x f -+=1)(2的单调性.7.如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，求)2(f 的取值范围.8.设函数)(x f 为R 上的单调函数，求证方程0)(=x f 在R 上至多有一个实根.9.设)(x f 为定义在),0(∞+上的增函数，如果对于任意的),0(,+∞∈y x ， 都有)()()(y f x f x f -=.①.求证)()()(,0)1(y f x f y x f f +=⋅=. ②.若1)2(=f ，解不等式2)31()(≤--x f x f .10.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. ①.求证)(x F 是R 上的增函数；②.若0)()(21>+x F x F ，求证：221>+x x .11.若二次函数满足(1)()2f x f x x +-=，且. ①.求()f x 的解析式；②.若在区间[1,1]-上不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数2()||21f x ax x a =-+-，其中0,a a R ≥∈. ①.当1a =时，作函数()f x 的图象；②.设()f x 在区间[1,2]上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.八.补充练习1.函数)(x f 在)3,2(-上是增函数，则)5(-x f 的递增区间是 （ ） A.)8,3( B.)2,7(-- C.)3,2(- D.)5,0(2.函数)(x f 在定义域M 内为增函数，且0)(>x f ，则下列函数在M 内不是增函数的是 （ ） A.)(34x f y += B.2[()]y f x = C.)(13x f y += D.)(12x f y -=3.已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是 （ ） A.[1,)+∞ B.[0,2] C.(,2]-∞ D.[1,2]4.函数24)(2++=ax x x f 在)6,(-∞内递减，求实数a 的取值范围.5.求函数||)(2x x x f +-=的递减区间.6.确定下列函数)11(12<<--=x x ax y 的单调性.7.已知函数),1[,2)(2∞+∈++=x a x x x f . ①.当21=a 时，求函数)(x f 的最小值.②.若对于任意的0)(),,1[>∞+∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围.8.已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(∞+-上是增函数，求实数a 的取值范围.9.已知函数)(x f 是定义在*R 上的减函数，满足)()()(y f x f xy f +=，1)1(=f .①.求)1(f ；②.若2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围.10.函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，对于任意的x 、(0,)y ∈+∞，都有 ()()()1f x y f x f y +=+-，且(4)5f =. ①.求(2)f 的值②.解不等式(2)3f m -≤.11.是否存在实数λ，使得函数λλ-+-+=2)2()(24x x x f 在区间]2,(--∞上是减函数，而在区间)0,1[-上是增函数？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由.12.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m 、n 总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<. ①.试求(0)f 的值；②.判断()f x 的单调性并证明你的结论.。