4.4.1 解直角三角形的应用
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第1课时)教学设计
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。
本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。
2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。
从而激发学生的学习兴趣，引入新课。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。
然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ． （1）若∠A=60°，求BC 的长； （2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决． 【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532， 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
4.4解直角三角形的应用(1)
解 欢欢能计算出河宽.
C
C
如图，∠ CAD=450， ∠CBD=300,AB=200米,
设CD=x米, 在Rt△ACD中, ∠ CAD=450,
∴ AD=CD=x.则BD=200+X, D
在Rt△BCD中,∠CBD=300,则tFra biblioteknB= CD 即
BD
3 x 3 x 200
解得 x 100 3 100
在RtΔADC中 ∠CAD=290 AC=30m
tanCAD DC AC
即 tan 2 90
DC 30 tan29o 16.5m
DC 30
∴BD=BC+CD≈30.9+16.5≈47m
答：大厦高BD约为47m.
C
46 A
30m
C
29
A
D
4、 下午，欢欢来到河边,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的 一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿河岸边向前走200米到 达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC与河岸边的夹角为30０,问 欢欢能否计算出河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.
所以河宽为 (100 3 100)米.
45
AD
C
30
B
45 30
D
AB
如图，建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m
的D处观察旗杆顶部A的仰角是54°，观察底部B
的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
解析：在等腰三角形BCD中，∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
A
在Rt△ACD中
sin290≈0.48,cos290≈0.87,tan290≈0.55(结果精确到1m ) B
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
《4.4解直角三角形的应用》作业设计方案-初中数学湘教版12九年级上册
《解直角三角形的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在帮助学生巩固解直角三角形的基本知识和应用方法，提高解决实际问题的能力，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识和兴趣。
二、作业内容作业内容围绕解直角三角形的应用展开，主要包括以下几个方面：1. 理解并掌握直角三角形的定义及其性质，如直角三角形的三边关系、勾股定理等。
2. 学会应用解直角三角形的方法解决实际问题，如利用直角三角形求解高度、距离等。
3. 练习题包括但不限于以下内容：- 判断题目中给出的图形是否为直角三角形，并说明理由。
- 根据已知条件，利用勾股定理求解未知边长。
- 结合实际生活场景，设置应用题，如测量建筑物的高度、计算影子长度等。
4. 拓展延伸：让学生思考解直角三角形的方法在其他领域的应用，如地理、物理等。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 解答过程需清晰明了，步骤完整，答案准确。
3. 对于练习题，学生需根据题目要求，绘制相应的图形，并在图形上标注必要的边长和角度。
4. 作业需按时提交，教师将根据完成情况和正确性进行评价。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况、解题思路和答案准确性进行评价。
2. 对于解题过程中出现的问题，教师将给予指导和纠正。
3. 鼓励学生在解题过程中提出自己的见解和思考，以培养其创新能力和思维能力。
4. 对优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极学习。
五、作业反馈1. 教师将根据作业评价结果，对学生的学习情况进行总结和分析。
2. 对于普遍存在的问题和误区，教师将在课堂上进行讲解和指导。
3. 对于学生的疑问和困惑，教师将及时给予解答和帮助。
4. 通过作业反馈，让学生了解自己的学习状况，明确下一步的学习目标和方向。
六、附加建议1. 学生在完成作业过程中，可与同学进行讨论和交流，互相帮助解决问题。
2. 家长可适当辅导孩子完成作业，但需注意不要代替孩子完成作业。
3. 教师可适当布置拓展性作业，以培养学生的创新思维和实践能力。
【素材】4.4解直角三角形的应用
4.4解直角三角形的应用课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、正确理解解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．要理清这个概念的涵义：（1）隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件.（2）已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形.因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形大小，更无法求其边长了，即不能解三角形.2、掌握解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C= 90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．（1）三边之间的关系（即勾股定理）：a2+b2=c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B = 90°；（3）边角之间的关系：sin A=ac=cos B，cos A=bc=sin B，tan A=ab.（4）面积关系：S△ABC=12ab=12ch（h是斜边上的高）=12ab sin C=12a csin B=12bc sin A（同学们自己可以证明）3、解直角三角形的解法分类及方法：（1）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（2）已知两边解直角三角形.4、掌握与解直角三角形相关的几个概念：（1）仰角、俯角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角（如图）.（2）方向角：如图所示，在平面上过观测点O ，画一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点O 出发的视线与铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O 的方向角（或称为象限角），例如，图中点A 的方向角为北偏东30°，点B 的方向角为南偏西45°（或称为西南方向）.注意：①方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏（东、西）；②观测点不同，所得的方向角不同（如图所示，从点O 出发观测点A 的方向角为北偏东30°，而从点A 观测点O 的方向角为南偏西30°），但各个观测点的南北方向线是互相平行的.（3）坡度问题的相关概念：如图，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lh i =.坡度一般写成1︰m 的形式，如1︰3；坡面与水平面之间的夹角记作α（叫做坡角），那么αtan ==l h i .名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：航海问题例1、如图，一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C(灯塔B 距离A 处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点，观测到灯塔B 恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C 周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?【解题思路】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．【解】在Rt △ABD 中，716284AD =⨯=（海里），∠BAD=90°－65°45′=24°15′. ∵cos24°15′=AD AB ， ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒(海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).在Rt △ACE 中，sin24°15′=CE AC，∴CE=A C·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).∵17.54＜18.6，∴有触礁危险.【方法归纳】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用子长学校 赵霞一.数学思想的运用:解直角三角形应用中,把实际问题转化为数学问题(数学建模)；理解题目给出的示意图或自己画出示意图，找出要解的直角三角形，或通过添加适当的辅助线构造出直角三角形，把实际问题中的条件转化为直角三角形中的元素(化归思想、数形结合思想)；从实际问题中抽象出方程模型(方程思想),通过解方程求出答案。
二.应用举例：解直角三角形应用中,测高是一个重要方面.利用地面上两个观测点的距离及每个观测点对标志高度顶端的仰角,用三角比可求出标志高度。
这类问题一般有两种情况：一种是两个观测点在标志高度的同侧，另一种是观测点在标志高度的异侧，如下图：图1 图2对于图1，利用BD-BC=a ；对于图2，利用BC+BD=a ，只要将BC 、BD 分别用AB 及βα、角角的余切表示，分别代入这两个式子，设AB=x ，可用方程思想解决问题。
例1 如图3，某人在地面上点C 处观察塔AB 的顶端A 的仰角为45°，在点D 处观察塔AB 的顶端A 的仰角为30°，（此时点C 、D 在塔AB 的同侧，且点E 、C 、D 三点在同一直线上）已知点C 、D 之间的距离为10米，测角仪高为1.5米。
求塔高AB (结果精确到0.1米) 。
图3变式题：如图4，把原题中点D 与点C 的距离改为25.26 米，此时点C 、D 在塔AB 的异侧，且点E 、C 、D 三点在同一直线上，其它条件不变，求塔高AB(结果精确到0.1米)。
图4对于测高问题，根据观测点的位置选择不同及两个观测点的距离（或标志物之间距离）不同，会有不同的问题情景，再比如：1.利用在一个建筑物上的某个观测点，测得标志高度的最高点与最低点的仰（或俯）角及两个标志（建筑物）的水平距离，通过添加辅助线，构造直角三角形，把实际问题中所给条件转化为直角三角形的元素，用三角比可求出标志高度。
这类问题一般有两种情况：一种是观测点位置高于标志高度，另一种是观测点位置不高于标志高度，如下图：图5 图6对于图5，利用DE-CE=DC ；对于图6，利用CE+DE=DC ，只要将CE 、DE 分别用BD 及βα、角角的正切表示，分别代入这两个式子，可求出标志高度。
解直角三角形的应用
i
B
C l
AB 2 BC 2 3.22 0.42 3.1749(米).
BC 0.4 1: 7.938. AC 3.1749 BC 0.4 tan A 0.12599, AC 3.1749 ' A 7 1.
' 答：残疾人通道的坡度约为1：7.938,坡角约为 7 1.
解直角三角形的
应用
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；c (2)两锐角之间的关系: (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
我们在生活中会见到 很多斜坡,有的斜坡比较 陡，有的比较平缓. 这只是我们的直观认识, 我们怎么来定量的表示坡 的陡缓程度呢?
如右图,坡面的铅垂高度 h 和水平宽度l 的比叫做坡
h 面的坡度（或坡比）, 记作i, 即i . l 坡度通常写成1: m的形式, 如i 1:1.5.
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 . 坡度i与坡角 之间的关系从右图可以得出 : h i tan . l
例题7 如图,一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD,路基顶宽BC为2.8米,路基高为1.2米，斜坡AB的 坡度为i=1:1.6 . (1)计算路基的下底宽(精确到0.1米). (2)求坡角 (精确到1°).
4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册
感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据 题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形．【例题】【例1】 如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45°,∠A ＝60°,CD ＝4m,BC ＝(2264-)m,则电线杆AB 的长为 ．【例2】 如图,在四边形ABCD 中,AB=24-,BC -1,CD=3,∠B=135°,∠C ＝90°,则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定注：因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除．在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为BC 边上一点,tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x xx 的一个较大的根?求CD 的长．【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0．5米 ,车厢底部距离地面1．2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求：(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?注：在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力．练习巩固1．如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=31,BC=10,则AB 的长为 ． 2．如图,在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若tan ∠AEH=34,四边形EFGH 的周长为40cm,则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图,旗杆AB,在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°,向旗杆前北进10m,达到D,在D 处测得A 的仰角为45°,则旗杆的高为 ．4．上午9时,一条船从A 处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B 处,从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根,且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0,则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根,且tanA —tanB=2,求p 、q 的值．8．如图,某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆,测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°,在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米,则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CBD ＝30,则DCAD = ．10．如图,正方形ABCD 中,N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点,且∠NMB=∠MBC,则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中,AB=26-,BC=2,△ABC 的面积为l,若∠B 是锐角,则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c,且c a =,若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2,则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图,△ABC 为等腰直角三角形,若AD=31AC,CE=31BC,则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 上一点,AE ⊥AF,点E 在CB 的延长线上,EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时,△AEF 的面积为10,问当tan ∠DAF=32时,△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力．据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示；如果测D、C间距离,用n表示；如果测角,用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．。
4.4解直角三角形的应用课件
中考 试题
例 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、
45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B 在同一直线上，求AB两点的距离．
解 ∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
i=1:2
解 用 α 表示坡角的大小，由题意可得
tanα
=
1 2
=
0.5.
因此 α≈26.57°.
你还可以用其 他方法求出BC吗？
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°， AC=240m，
因此 sinα = BC BC .
i=1∶2
AC 240
从而 BC 240 sin26.57 １07.3（m）．
A7. 2 海里
D
B.1.4 2 海里
C.7海里
D.14海里
练习
1. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l 为10m，坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度 和坡角 α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）.
α D
解 设CB中点为D ，则由图可知 AD⊥BC.
在Rt△ABD中， AD=h=3.5m， BD = 1 BC = 5m.
∴∠BCD=90°-45°=45°，∠ACD=90°-30°=60°， ∵CD⊥AB，CD=100米， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD=100米， 在Rt△ACD中， ∵CD=100米，∠ACD=60°， ∴AD=CD•tan60°=100× =100 （米）， ∴AB=AD+BD=100 +100=100（ +1)（米）． 答：AB两点的距离是100（ +1）米．
4.4解直角三角形的应用(1)
120 3 120 3(m). BC BD CD 40 3 120 3 160 3 277.1(m).
答：这栋楼高约为277.1m.
B αD β
C
巩固练习
3、已知一直角三角形的两边为3和4，求第三边的长。
C
C
3
4
A
4
B
解：AC AB 2 BC 2
42 32 5
解：过A作AC⊥BM,垂足为C,
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
∴AC=
1 A2B =
x 24210 = 120（km)
∴A城会受到沙尘暴影响。
北
M
A● C
东 B
课后作业
A、必做题 1、已知 A中B，C ∠C=90°, 三角函数值。
sin, 求A∠A11的23其它锐角
2、 已知Rt ABC， C 90， a 2, b 2 2, 解这个直角三角形 。
Ｂ、选做题 3、如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，你能求出哪些结论。
Ａ
B 45°
75° C
5
解： 过点A作AD垂直BC， 垂足为D
A 10
在RtADC中，sin C AD 4
AC 5
30° B
C D
AD AC sin C 10 4 8 5
在RtADB中， B 30
AB 2AD 16
巩固练习
2、 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部 的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m）.
c
c
b
sin B b , cosB a , tan B b A
4.4解直角三角形的应用(1)
60°45°
D 40m
C
1.如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D•处 分别用测角仪器测得塔顶A的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）
分析：设塔高为x米，根据条件 ∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米， 在直角三角形ABC中，根据∠C＝ 30°，即taAnBC＝可求.
A
D′
C′
B′
D
C
B
解析：如图，由题意可知，
∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，
D′C′=50m.所以 ∠D′AB′=60°，
∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 D′
AB′=xm
Q tan DAB DB , tan CAB CB
D
x
x
A
C′Leabharlann B′CBDB x tan 60, CB x tan 30
x tan 60 x tan 30 50
x
50
25 3 43.3(m)
tan 60 tan 30
x 43.3 1.5 44.8 45(m)
如图，建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角是60°，观察底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
4.4 解直角三角形的应用
第1课时 与俯角、仰角有关的应用问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方 的夹角叫做俯角.
做一做
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水 平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
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图4-25
2.如图, 某厂家新开发的一种电动车的 大灯A射出的光线AB, AC与地面MN所形成 的夹角∠ABN,∠ACN分别为8°和15°,大灯 A 与地面的距离为1m,求该车大灯照亮地面的 宽度 BC ( 不考虑其他因素 , 结果精确到 0.1m). A 解 过点D作AD⊥MN于点D,则AD=1
视线
通过仰角、俯角的学习，你能把前面 引入的问题转化为数学问题吗？画图说明. 如图4-16, BD 表示点B 的海拔, AE表示点A的海拔, AC⊥BD, 垂足为点C. 先测 量出海拔AE, 再测出仰角 ∠BAC, 然后用锐角三角函数 的知识就可求出A,B两点之间 的水平距离AC．
∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m， AC⊥BD， ∠BAC = 40°， ∴ 在Rt△ABC中，
一 建; 二 找; 三 解;
结 束
D N
3. 建筑物BC上有一旗杆AB, 由距BC40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角54°, 观察底部B的 仰角为45°, 求旗杆高度(精确到0.1m) 解 在等腰三角形BCD中,∠ACD=90°， BC=DC=40m AC 在Rt△ACD中, tan ADC DC A AC tan ADC DC B tan 54 40 1.38 40 55.2
在Rt△ABD中,
BD= 在Rt△ACD中, AD AD 1 CD= tanACD tan15 0.2679 3.7 BC=BD-CD=7.1-3.7=3.4 该车大灯照亮地面的宽度BC为3.4m.
AD AD 1 7.1 tanABD tan 8 0.1405
M B
C
∴AB=AC－BC =55.2－40 =15.2 (m) 答：棋杆的高度为15.2m.
D
45° . 什么是仰角？什么是俯角？ 2. 本节学习以后，能说说解直角三角 形常见的两种基本图形吗？ A A B D C B C D
3．用解直角三角形的知识解决实际 问题的一般步骤：
BC BD - AE tanBAC = = = tan 40 0 AC AC 3500 - 1600 0.8391,即AC 2264 （m ) AC
因此, A, B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
范例分析 例1 如图4－17, 在离上海东方明珠塔 底部1000m的A处, 用仪器测得塔顶的仰角 ∠BAC 为25°, 仪器距地面高AE 为1.7m. 求 上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1 m). 分析 在直角三角形中,已知一角 和它的邻边, 求对边利用该角的 正切即可.
4.4.1. 解直角三角形的应用 知识回顾
在解直角三角形的过程中，一般要用到 的一些关系： 1. 三边之间的关系是什么？ a2+b2=c2 2. 两锐角之间的关系呢? ∠A+∠B=90°. 3. 边角之间的关系呢？ A
A的邻边 b cos A 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
B αD A β
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m.
C
练习 1. 如图,一艘游船在离开码头A后,以和河岸 成30°,角的方向行驶了500m到达B处,求B处 与河岸的距离.
?
解 从点B作河岸线(看成直线段)的垂线， 垂足为C， 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, AB=500m. ∴ ∴ BC =500 sin 30 250 (m). 答：B处与河岸的距离约为250m．
解 在Rt△ABC中,∠BAC＝25°, AC＝1000 m， 因此
从而 BC≈1000×tan25°≈466.3(m)．
因此, 上海东方明珠塔的高度 BD＝466.3＋1.7＝468(m)． 答:上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
例2 热气球的探测器显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯角 为60°, 热气球与高楼的水平距离为120m, 你知 道 这栋高楼有多高吗?(结果精确到0.1m仰角 ). 水平 线 B 分析
A的对边 a sin A 斜边 c
b
C a
c
B
动脑筋 某探险者某天到达如图 所示的点A 处时，他准备估 算出离他的目的地——海拔 为3 500 m 的山峰顶点B处 的水平距离. 他能想出一个 可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相 信你也行.
． B
． A
在进行测量时，从下向上看，视线与 水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视 线与水平线的夹角叫做俯角. 视线 铅 直 线 仰角 俯角 水平线
分别在两个直角三角形中， 利用仰角俯角的正切，求出 BD、CD即可.
α A β D
俯角 C
解 如图, α= 30°, β = 60°, AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30 3 120 40 3 3 CD AD tan 120 tan 60