初等数论(二)函数[x]
初等数论期末复习
数论教案§1整数的整除 带余除法1 整数的整除设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a 当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b?a.例1判断下列各题是否b|a(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b ?a.例3 利用计算器求余数:(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n 是任意3个整数,而且222a b n -=,证明n 是偶数.例5设a 是任一奇数,试证明8|21a -. 例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明 对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是2a =92q 或 2a =92q ±6q+1=3(32q ±2q)+1.即2a ≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习 设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数 1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最大公因数:没有专门的符号. 定义设12,,,n a a a L ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是12,,,n a a a L 的公因数,12,,,n a a a L 的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)n a a a L .如果12(,,,)n a a a L =1,则称12,,,n a a a L 互质。
初等基本函数知识点总结
初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。
这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。
在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。
常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。
在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。
一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。
4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。
初等数论二-夏子厚
N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an1xn1
dn1t
(2)
第二节 多元一次不定方程
• 注：定理2说明了求解n元一次不定方程 的方法：先解方程组(2)中的第二个方程， 再解方程组(2)中的第一个方程，于是， 解n元一次不定方程就化为解n 1元一 次不定方程。重复这个过程，最终归结 为求解二元一次不定方程。
第二节 多元一次不定方程
• 定理2 设a，b，c是整数，若方程ax by
= c有解(x0, y0)，则它的一切解具有
•
x
y
x0 y0
b1t a1t
， tZ
(2)
•
的形式，其中
a1
a (a, b)
，b1
b (a, b)
。
第一节 二元一次不定方程
• 证明 容易验证，由式(2)确定的x与y满足方 程(1)。下面证明，方程(1)的解都可写成式(2) 中的形式。
，tZ，于是由x ，但区间的长度是
0，y 0 N ，故此区
a
b
ab
间内的整数个数为[ N ]或[ N ] 1。 ab ab
第一节 二元一次不定方程
例4：证明：二元一次不定方程 ax by =N
(a, b) = 1，a＞1，b＞1,当N＞ab a b
时有非负整数解，但是N= ab a b时则 不然。（不再给予证明）
t 1 3u x t 2v
• z 2 u
y
v
u，vZ
第二节 多元一次不定方程
• 从上式中消去t，得到
x 1 3u 2v
•
y
v u, vZ。 (6)
z 2 u
• 要使x 1，y 1，z 1，则应有
• 3u 2v 0，
初等数论第2版习题答案
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t < )(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k ≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
(完整版)初等数论第2版习题答案
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
大学高数知识点总结
大学高数知识点总结大学高数知识点总结一、代数：1、函数及其图象：定义域、值域、增函数、减函数、奇函数、偶函数、有界函数、无界函数、相交函数、无穷小量的概念、函数的极限及其性质。
2、不等式：一元不等式与多元不等式的性质、解不等式的方法以及在几何中的应用。
3、导数：函数的导数的定义、性质、计算、利用导数解析函数的最值问题；高阶导数的概念以及利用它确定函数图象的单调性。
4、曲线的积分：曲线的面积、积分的定义、计算方法、利用积分求曲线面积、平面曲线的积分、特殊函数的积分。
5、复数：复数的概念、运算规则、虚部抽象概念、复数函数、复数解析函数及其图象、利用几何性质解决复数问题。
6、三角函数：三角函数的概念、函数表达式、图象、关系式、函数的性质、函数的变换、求解三角函数的方法、应用。
7、统计：概率的概念、抽样理论、统计分布、误差分析、检验理论。
二、初等数论：1、素数及其分解：素数的概念、素数的分解法、素数的基本性质、素数的充要条件。
2、同余理论：同余方程的概念、同余方程的解法、同余方程的性质、模的概念及其性质。
3、欧几里德算法：求最大公约数、求最小公倍数、求逆元、斯特林公式、欧几里得定理及其应用。
4、置换：置换的概念、置换的性质、置换的构成、置换的表示法、置换的应用。
5、图论：图的概念、图的构成、图的性质、图的表示法、图的生成算法、图的应用。
三、几何：1、几何形体：正n边形、正多边形、空间几何体、椭圆、圆锥、圆柱、圆台等几何形体的性质及其应用。
2、切线、切面：曲线的切线、曲面的切面、曲线的法线方向、曲面的法线方向、曲线的曲率、曲面的曲率及其定义。
3、投影：正射投影、透视投影、锥体投影等投影的概念及其应用。
4、立体视角：立体视角的概念、立体视角的定义及其应用。
四、空间几何：1、几何性质：投影的性质、平面的性质、空间的性质、直线的性质、平行线的性质、平面的性质、直线的性质、平行线的性质、面的性质、曲线的性质、曲面的性质、四边形的性质等。
初等数论潘承洞答案
初等数论潘承洞答案【篇一：初等数论与中学数学】摘要：《初等数论》是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课，主要研究整数的性质，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
近年来，数论在中学数学中的运用越来越多，特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛。
本文主要介绍初等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教学的相关问题。
关键词：初等数论中学数学数学竞赛中学数学教学正文：一、初等数论在中学数学中的应用在中学数学中，整数是最为常用的一种数之一，而初等数论是研究整数最基本的性质，与算术密切相关的一门学科，初等数论可以说是算术问题的延深。
初等数论中的整除性质，抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题，由此可见初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的。
（一）中学数学中与初等数论相关的几个问题1、整除问题在小学的时候我们就知道，要知道一个数能不能被令一个数整除，可以用长除法来判断，但当被除数位数较多的时候，计算量增大，问题就变得非常麻烦了。
但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化。
1.1整除的概念及其性质定义1（整除）设a、b是整数，b≠0，如果存在整数q,使得a=bq 成立，则称b整除a,或a能被b整除，记作：b∣a。
定理1 （传递性）b∣a，c∣b =〉c∣a定理3 m∣a1，……，m∣an,q1,q2,……qn∈z=〉m∣(a1q1+a1q2+……+anqn)定理4 设a与b是两个整数，b0,则存在唯一的两个整数q和r,使得a=bq+r,0≤rb (1)并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得的余数；（2）式称为带余数除法。
1．2下面举几个例子：例1 证明3∣n(n+1)(2n+1),这里的n是任意整数。
证法一：根据题意，n可以写成n=3q+r,这里r=0,1,2,q为整数，对取不同的值进行讨论，得出结论。
证法二：根据整数定义，任何连续三个整数的乘积必是3的倍数。
初等数论(二)函数[x]
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, 但是 2m 2 不能整除 1 3
2 m 1
） 。
L 个格点。则有
[ f (k )] [ (h)] L [a] [b]
k 1 h 1
[a]
[b ]
例 4.设 n 为自然数，证明：
[ 1] [ 2 ] [ 3 ] ... [ n 2 ]
1 n(4n 2 3n 5) 。 6
例 5.方程 [ x] [2 x] [4 x] [8 x] [16 x] [32 x] 12345 是否有解？ 例 6.证明：对于所有的 n N , 有 [ x] x
例 3. 设 函 数 y f ( x) 为 严 格 的 增 函 数 ， 它 的 反 函 数 为
x ( y), f (0) 0, f (a) b, a, b 都 是 整 数 。 曲 线 O (0,0) 到 B(a, b) 的这一段弧上（包括端点 B,不包含 O）有
y f (3 n 1 x x ... x [nx]. n n n n
例 7.证明： 2
初等数论第二章2
况不能发生。 况不能发生。
第二节 方程 x2 + y2 = z2
(ⅱ) 2 ⅱ
| a，2b. 此时 由式 及式(12), 有 及式 / ， 此时, 由式(11)及式
x02 = 2ab，(a, 2b) = 1，a > b > 0. ， ， (13)
利用引理可知，存在正整数 ， 利用引理可知，存在正整数u，v1，使得 x0=uv1, a=u2, 2b=v12, (u,v1)= 1, u>0, v1 > 0. 由2b = v12推出 2v12，2v1，v1 = 2v， ， 因此，存在整数 ， ， 因此，存在整数u，v，使得 a =u2, b =2v2, (u, v)= 1，u> 0, v> 0. ， (14)
x0 y0 z0 也是方程(10)的解 的解。 ( , , 也是方程 的解。 ) 2 d d d
因此， 的最小性， 因此，由z0的最小性，可知 d = (x0, y 0) = 1，(x02, y02) = d 2 = 1。 ， 。 显然x 有不同的奇偶性.不妨设 不妨设2 显然 02与y02有不同的奇偶性 不妨设 x0,2 y/ . | 0
第二节 方程 x2 + y2 = z2
由定理2，存在正整数 ， ， 由定理 ，存在正整数a，b，使得 (a, b) = 1，a > b > 0， ， ， 其中a与b有不同的奇偶性，并且 其中 与 有不同的奇偶性， 有不同的奇偶性 x02 = 2ab，y02 = a2 − b2，z0 = a2 + b2. ， 下面按照a与 的奇偶性 考察两种情况。 的奇偶性， 下面按照 与b的奇偶性，考察两种情况。 (12) (11)
与式(5)是矛盾的 式 (1)，式 (4)与式 是矛盾的 ， 因此 ， 结论 ⅲ) ， 与式 是矛盾的，因此，结论(ⅲ 成立。证毕。 成立。证毕。
初等数论函数[x]和{x}
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{x} r , 0 1 m
[ x] x 即有 [ m ] [ m ]
n!的标准分解
定理：设p(n!)表示p在n!的标准分解中的指数， 则有
n p(n!)= [ p i ] i 1
先来看一个例子 例:15!中2的个数为11个.
15 15 15 [ ] [ ] [ ] 11 2 4 8
§5、函数[x]和{x}
定义1：设x是实数，用[x]表示不超过[x]的最 大整数，称它为x的整数部分。 又称{x}=x-[x]为x的小数部分。 例[2.4]=2，{-2.4}=0.6,[-2.4]=-3 性质：1、由定义有恒等式x=[x]+{x} 2、 [x] ≤ x<[x]+1 ,由定义不超过和最大即得 3、[x]+[y]≤ [x+y],{x}+{y} ≥ {x+y}， 例[2.5]+[2.6] ≤ [5.1]
n [ ] p,2p,… p p, 其为 [ ] p
[
n ] p2
p
n ([ 2 ])! p
n 再在1,2,3,… [ 2 ] 中作同样讨论，依次类推有 p
n p(n!)= [ i ] i 1 p
推论1：n为正整数，则有 n!
p
pn
i 1
[
n p
i
]
推论2：n为正整数，1 k n-1,则有 n! k Cn N k!(n k )! 证：对任意p, n!, k!, (n-k)!的标准分解中p的 指数分别为 n k n k 由性质
,从而证明了结论.
注： 要证明a|b，只要证明对任意素数p，a中 p的幂指数不超过b中p的幂指数即可，用p(a) 表示a中p的幂指数，则a|b 的充要条件是 p(a) ≤p(b)
初等数论_第二章__同_余教案
(ⅰ){0, 1, 2,,m1}是模m的最小非负完全剩余系；
(ⅱ) 或
是模m的绝对最小完全剩余系。
例如，集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。
定理1整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是
证明过程。
定理1下面的三个叙述是等价的：
(ⅰ)ab(modm)；
(ⅱ)存在整数q，使得a=bqm；
(ⅲ)mab。
证明留作习题。
对给定的整数b和模m，所有对模m同余b的整数的集合是
{b+km}）（k为整数）。
根据带余除法，a=q1mr，0r<m。全体整数按整数m为标准分为m类。
定理2同余具有下面的性质：
解由
42n+13n+2=442n93n=416n93n
43n93n= 133n0 (mod 13)
得证。
。
例6设p是素数，a是整数，则由a21(modp)可以推出
a1或a1(modp)。
解由
a21(modp)pa21 = (a1)(a1)，
所以必是
pa1或pa1，
即a1(modp)或a1(modp)。
[7(1)164]26=(74)26
=326= 3(35)53(7)5=37(72)2
2129(mod 50)，
即所求的余数是29。
例3设n的十进制表示是 ，若792n，求x，y，z。
解因为792 =8911，故
792n8n，9n及11n。
我们有
8n8 z= 6，
以及
9n913xy45z= 19xy9xy1，(5)
初等数论第一章第8节 函数[x]和{x}
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定理3
在n !的质因数分解式中, 质数p的指数是
∞ n n n n [ ] + [ 2 ] + [ 3 ] + L = ∑ [ r ]. p p p r =1 p
n n n 证明 :[ ] + [ 2 ] + [ 3 ] + L 是个有限数的和. p p p n 因为当p k > n时,[ k ] = 0, 可知以后各项均为0, 所以它是一个有限的和. p n 因为p为质数, 所以在n !中共有[ ]个数是p的倍数, p n 在这些p的倍数中有[ 2 ]个是p 2的倍数, p n 在这些p 2的倍数中有[ 3 ]个是p 3的倍数,L p
例8 解方程x + 4{x} = 2[ x].
[ x] 解 : x = [ x] + {x},∴[ x] + {x} + 4{x} = 2[ x], 即{x} = Q . 5 [ x] Q 0 ≤ {x} < 1,∴ 0 ≤ < 1,∴ 0 ≤ [ x] < 5,∴[ x] = 0,1, 2,3, 4. 5 [ x] 6[ x] 6 12 18 24 x = [ x] + {x} = [ x] + = ,∴ x = 0, , , , . 5 5 5 5 5 5
第八节 函数[x]和{x}
定义
• 设x是实数,以[x]表示不超过x的 最大整数,称它为x的整数部分, 又称{x}为x的小数部分.
定理1
设x与y是实数, 则 (1)若0 ≤ x < 1, 则[ x] = 0; (2)[ x] ≤ x < [ x] + 1, x − 1 < [ x] ≤ x, 0 ≤ {x} < 1; (3) x ≤ y ⇒ [ x] ≤ [ y ]; (4)若m ∈ Z , 则[m + x] = m + [ x]; (5)[ x] + [ y ] ≤ [ x + y ],{x + y} ≤ {x} + { y};
初三数学函数与初等数论优秀教案范本
初三数学函数与初等数论优秀教案范本教案一：函数的概念与基本性质一、教学目标：1. 理解函数的概念；2. 掌握函数的定义和表示方法；3. 理解函数的自变量、因变量、定义域和值域的概念；4. 掌握函数的基本性质。
二、教学重点与难点：1. 函数的概念与定义；2. 函数的自变量、因变量、定义域和值域的概念。
三、教学准备：1. 教学课件；2. 函数的相关练习题；3. 小黑板、彩色粉笔。
四、教学过程：Step 1 引入新知1. 引导学生回顾直角坐标系的相关知识，并让学生思考某个点在直角坐标系中的位置如何表示。
2. 引导学生思考现实生活中是否存在两个量之间的关系，并让学生举例说明。
Step 2 函数的概念1. 通过引导学生的思考，引出函数的概念：函数是指从一个集合到另一个集合的一种规则，用来表示两个变量之间的关系。
2. 引导学生理解函数的自变量和因变量的概念，并通过具体例子说明函数的定义域和值域的概念。
Step 3 函数的表示方法1. 介绍函数的表示方法：y=f(x)或者y=g(x)，其中f(x)和g(x)表示函数的表达式。
2. 通过具体例子，让学生掌握函数的表示方法。
Step 4 函数的基本性质1. 引导学生思考函数的基本性质，包括奇偶性、单调性、周期性等，并通过图示和具体例子让学生理解和掌握这些性质。
2. 引导学生思考函数与方程的关系，并通过实例让学生理解函数方程与解的关系。
五、教学总结与拓展1. 总结本节课所学内容；2. 鼓励学生进行思考，提出相关问题并讨论；3. 布置相关练习题作业，扩展学生的应用能力。
教案二：初等数论的基本概念与性质一、教学目标：1. 理解初等数论的基本概念；2. 掌握正整数的因数、倍数和约数的概念；3. 掌握最大公约数和最小公倍数的计算方法；4. 理解素数与合数的概念。
二、教学重点与难点：1. 正整数的因数、倍数和约数的概念；2. 最大公约数和最小公倍数的计算方法。
三、教学准备：1. 教学课件；2. 初等数论的相关练习题；3. 小黑板、彩色粉笔。
初等数论
初等数论初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论函数[x]和{x}
,从而证明了结论.
注： 要证明a|b，只要证明对任意素数p，a中 p的幂指数不超过b中p的幂指数即可，用p(a) 表示a中p的幂指数，则a|b 的充要条件是 p(a) ≤p(b)
例3 : 设c不能被素数平方整除，若a2|b2c，则 a|b
证：由已知p(c)≤1，且p(a2)≤p(b2c) ∴ 2p(a)≤2p(b)+p(c) ∴ p(a)≤p(b)+ 即 p (a ) ≤ p ( b ) ∴ a|b
m
{x} r , 0 1 m
[ x] x 即有 [ m ] [ m ]
n!的标准分解
定理：设p(n!)表示p在n!的标准分解中的指数， 则有
n p(n!)= [ p i ] i 1
先来看一个例子 例:15!中2的个数为11个.
15 15 15 [ ] [ ] [ ] 11 2 4 8
证：若p >n,则p †n!, 即p(n!)=0, 成立。
n p
n 若 p n ,则由性质知在1，2，…n中，p的倍数有 [ ] p 个， n [ ] n [ ] p, 其积为 p ([ ])! 为p,2p,… p p
n n 同理若 p [ ]，则 1，2，3,…,[ ] 中，p的倍数是 p p
[ p ], [ p ], [
i 1 i i 1 i i 1
p
i
],
即有k!(n-k)!|n! , 从而证明了结论。
n k nk [ i ] [ i ] [ i ], p i 1 p i 1 p i 1
推论3：n为正整数，设f(x)是一个n次的整系 f ( k ) ( x) (k ) 数多项式, f ( x) 是它的k阶导数，则 k! 是一个n-k次整系数多项式。 证：显然 是n-k次整系数多项式， (k ) f ( x) 中 x i 的 设 f ( x) an x a1x a0 ,则 k! 系数为 bi ak i (k i)! 为整数，所以结论成立。
初等数论课件严士健
第一章整数的可除性教学目的和要求（1）深刻理解整除、最大公因数、最小公倍数、质数的概念，正确理解带余数除法（Euclid算法）和算术基本定理的意义及作用。
（2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大公因数，掌握幼拉脱斯展纳Eratosthenes筛法造质数表的原理。
（3）熟练掌握整除、质数、最大公因数和最小公倍数的基本性质，理解并掌握函数[x]、{x}的概念和基本性质，会求n!的标准分解式（n较小）。
本章重点是整除的概念和性质，整除理论是初等数论的基础，学好本章可为学习后继章节打下良好的基础。
习题要求P4：1，2，3 ；P9：1，2；P14：1,2；P19：5；P23：1,2,3。
第一节整除的概念·带余数除法定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数q，使得a = bq成立，则称b整除a或a被b整除，此时a是b的倍数，b是a的因数（约数或除数），并且记作：b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：b|/a。
定理1下面的结论成立：(1) a∣b，b∣c⇒a∣c；（传递性）(2) m∣a，m∣b⇒m∣(a±b)(3) m∣a i，i = 1, 2, , n⇒m∣a1q1+a2q2+ +a n q n，此处q i∈Z（i = 1, 2, , n）。
（证明留给学生自己）注：① a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；② b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；③ b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0。
④因式分解 a n -b n =(a-b )M 1, n ∈Z a n +b n =(a+b )M 2, 2n定理1(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b >0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得 a = bq + r ，0 ≤ r < b 。
高一都学啥数学知识点
高一都学啥数学知识点高一学习的数学知识点主要包括初等数论、函数与方程、一次函数与二次函数、数列与数学归纳法、平面几何、立体几何和概率统计等内容。
下面将逐一介绍这些数学知识点。
一、初等数论初等数论是数学的基础，它主要研究自然数的性质和规律。
在高一阶段，学生将学习到整除性质、素数与合数、最大公因数与最小公倍数等相关概念和定理。
通过初等数论的学习，学生能够深入了解自然数的性质，并且培养出一定的逻辑思维能力。
二、函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容之一。
在高一阶段，学生将学习到一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式等内容。
通过对函数与方程的学习，学生能够掌握解方程的方法和技巧，培养出分析和解决实际问题的能力。
三、一次函数与二次函数一次函数与二次函数是数学中常见的函数类型。
通过对一次函数和二次函数的学习，学生将会掌握线性函数和二次函数的性质以及图像的形状和变化规律。
同时，学生还会学习到函数的平移、缩放和反射等变换方式。
四、数列与数学归纳法数列是数学中具有一定规律的数的排列。
高一阶段，学生将学习到等差数列和等比数列的概念、性质和求和公式等内容。
同时，学生还会学习到数学归纳法的基本原理和运用方法，培养出归纳和推理问题的能力。
五、平面几何平面几何是数学中研究平面上图形性质和变换的学科。
在高一阶段，学生将学习到点、线、角、三角形、四边形、圆等图形的性质和判定方法。
通过平面几何的学习，学生能够掌握几何图形的基本性质和推理方法，以及解决实际问题的能力。
六、立体几何立体几何是数学中研究三维空间中图形性质和变换的学科。
高一阶段，学生将学习到立体图形的视图、面体的体积和表面积等内容。
通过立体几何的学习，学生能够理解三维空间中各种立体图形的性质和特点，并能够利用这些知识解决实际问题。
七、概率统计概率统计是数学中研究随机事件和数据分析的学科。
在高一阶段，学生将学习到概率的基本概念、概率的计算方法以及统计学中的数据分析和描述方法等内容。
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初等数论（2）--函数[]x
函数[]x 表示实数x 的整数部分，即，不大于x 的最大整数。
例如：[2.5]2,[ 2.5]3=-=-。
应该注意的是：0x <时，|[]|||.x x ≥
函数{}x 表示实数x 的小数部分或尾数部分。
例如：
{1.2}0.2;{2.5}0.5(30.5 2.5)=-=-+=。
一般地有：
[]{}x x x =+。
x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数。
一般讲，有
[]x x x ≤≤⎡⎤⎢⎥。
当x Z ∈时，有[]x x x ==⎡⎤⎢⎥。
当x Z ∉时，有
[]1x x =+⎡⎤⎢⎥。
一般讲，有
[][]1x x x ≤<+。
例1.
解方程：3
3[]3x x -=。
例2. 设q p ,为互质的自然数。
证明： 2)1)(1()1(...2--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡p q q p q q p q p
上述例子是下面这个例子的特殊情况。
例 3.设函数)(x f y =为严格的增函数，它的反函数为
b a b a f f y x ,,)(,0)0(),(===ϕ都是整数。
曲线
)(x f y =的从)0,0(O 到),(b a B 的这一段弧上（包括端点
B,不包含O ）有L 个格点。
则有
][][)]([)]([]
[1][1b a L h k f b h a k ∙=-+∑∑==ϕ
例4.设n 为自然数，证明：
)534(6
1][...]3[]2[]1[22+-=++++n n n n 。
例5.方程[][2][4][8][16][32]12345x x x x x x +++++=是否有解？ 例6.证明：对于所有的,n N ∈有
1231[]...[].n x x x x x nx n n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
例7.证明：((2121112
1,(21,m m m m ++++⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦但是22m +不能整除(211m +⎡⎤⎢⎥⎣⎦）。