安徽省马鞍山市2014届高三第二次教学质量检测 数学文试题

安徽省马鞍山市2014届高三第二次教学质量检测 数学文试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交． 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑． 1．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{1,3,4,5,6,7,9}P =，集合{3,4,5,6}Q =．则下图中的阴影部分表示的集合为（▲）A ．{2,8}B ．{1,7,9}C ．{3,4,56}，D ．{1345679}，，，，，，答案：B命题意图：本题考查集合的基本运算，简单题．2．设i 是虚数单位，则复数11ii -+=（▲）A ． 1-B ．1C ．i -D ． i答案：C命题意图：本题考查复数的基本运算，简单题．3．“0a >”是“||0a >”的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A命题意图：本题考查简易逻辑，简单题．4．执行如下图所示的程序框图，若输入,a b 的值分别为3log 4和4log 3,则输出S =（▲）A ．0B ．1C ．2D ．1-答案：C命题意图：本题考查程序框图，简单题．5．若双曲线2215y x k +=与抛物线212x y =有相同的焦点，则k 的值为（▲）A ．4B ．4-C ．2D ．2-答案：B命题意图：本题考查双曲线的定义及计算，简单题．6. 设0,0x y >>，且26x y +=，则93x y+有 （▲）A ．最大值27B ．最小值27C ．最大值54D ．最小值54 答案：D命题意图：本题考查基本不等式应用，指数函数的性质，简单题． 7. 下列命题中错误的是（▲）A. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ= ，那么l γ⊥B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 如果平面α⊥平面β，l αβ= ，过α内任意一点作l 的垂线m ，则m β⊥答案：D命题意图：本题考查空间线面位置关系，简单题．8. 函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移3π后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能是（▲） A.6π-B ．3π-C ．6πD ．3π答案：A命题意图：本题考查三角函数图形变换，简单题．9．在△ABC 中，已知向量AB与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅= ，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则△ABC为（▲）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 答案：A命题意图：本题考查向量的数量积运算及应用，中等题．10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当(0,)x ∈+∞时，恒有()()xf x f x '<-.若()()g x xf x =，则满足(1)(12)g g x >-的实数x 的取值范围是（▲）A ．(0,1)B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞答案：B命题意图：本题考查导数的应用，函数的性质，较难题．第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． 11．已知函数()f x 满足：,(2)(2)x R f x f x ∀∈+=-，且当()2[0,4)x f x x ∈=时，，则(2014)f = ▲ ．答案：４命题意图：本题考查函数的周期性，简单题．12．为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了50名学生，得到如下2×2列联表：已知2( 3.841)0.05P K ≥≈，2( 5.024)0.025P K ≥≈. 根据表中数据，得到2250(1320107)4.84423272030K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.则认为选修文科与性别有关系的可能性不低于 ▲ ．答案：95%.解析 ∵24.844K ≈，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，选修文科与性别有关系的可能性不低于95%. 命题意图：本题考查独立性检验，列联表，简单题．13．若实数,x y 满足20,,,x y y x y x m -≤⎧⎪≤⎨⎪≥-+⎩且2z x y=+的最小值为4，则实数m 的值为 ▲ ．答案：3命题意图：本题主要考查线性规划，中等题．提示：当2z x y =+过20x y -=与y x m =-+的交点时，z 取得最小值．即42x y =+、20x y -=、y x m =-+共点．14．将全体正整数按右图规律排成一个三角形数阵，若数2014在图中第m 行从左往右数的第n 位．则(,)m n 为 ▲ ． 答案：(63,3)命题意图：本题考查等差数列，规律探求．中等题．15．如果三棱锥A BCD -的底面BCD 是正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影是△BCD 的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论： ① 正三棱锥所有棱长都相等；② 正三棱锥至少有一组对棱（如棱AB 与CD ）不垂直；③ 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值； ④若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于12π．⑤ 若正三棱锥A BCD -的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40︒，过点B 的平面分别交侧棱AC ，AD 于,M N ．则△BMN周长的最小值等于．以上结论正确的是 ▲ （写出所有正确命题的序号）． 答案：③，④，⑤命题意图：本题综合考查空间线面关系，类比、转化思想，较难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域答题． 16． (本小题满分12分)已知向量3(sin )4a x = ，，(cos 1)b x =- ，，函数()f x =2(a ＋b )·b ． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且1b c ==，5()2f A =．求ABC ∆外接圆的半径．命题意图：本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题. 【解析】12 3 6 5 4 7 8 9 10 ..........第14题图(Ⅰ) ()f x =2(a +b )·b 12(sin cos )(cos ,1)4x x x =+-⋅-，212sin cos 2cos 2x x x =++1sin 21cos 22x x =+++3)42x π=++………………………………………………………4分 22T ππ== ………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3())42f x x π=++，又5()2f A =35)422A π++=sin(2)4A π+=又∵A 是△ABC 的内角， ∴3244A ππ+=⇒4A π=…………………………………………………8分由余弦定理：2222cos 815a b c bc A =+-=+-=a ⇒=…………………………………………………………………10分由正弦定理2sin 2sin a aR R A A =⇒===………………………12分17．（本小题满分12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：(Ⅰ) 完成下面的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；频率/组距(Ⅱ) 试由上图估计该单位员工月平均工资； (Ⅲ) 若从月工资在[)2535，和[)4555，两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．命题意图：本题考查频率分布直方图、样本特征数、古典概型，简单题． 【解析】(Ⅰ)如图（4分）(Ⅱ)()200.1300.2400.3500.2600.1700.143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=百元即该单位员工月平均工资估计为4300元.…………………………………………8分(Ⅲ)由上表可知：月工资在[)2535，组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在[)4555，组的有四名女工，分别记作A,B,C,D.现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：（甲，乙），（甲，A ），（甲，B ），（甲，C ），（甲，D ）， （乙，A ），（乙，B ），（乙，C ），（乙，D ）， （A ，B ），（A ，C ），（A ，D ）， （B ，C ），（B ，D ）， （C ，D ）其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ）共7组， ∴所求概率为715P =……………………………………………………………………12分18． (本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD ，CDEF 都是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AG ⊥平面ABCD ，且AG=1．0.030.020.01O 频率/组距15 25 35 45 55 65 75月工资（Ⅰ）若P 是BC 的中点，证明AP ∥平面BFG ； （Ⅱ）求四面体ABEG 的体积．命题意图：本题综合考查空间线、面的位置关系，体积的计算，中等题． 【解析】（Ⅰ）取BF 中点Q ，连PQ 、GQ ，则PQ ∥CF ，且PQ=12CF=AG=1，∵CDEF 是正方形，DE ⊥平面ABCD ， ∴ CF ⊥平面ABCD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ， 又AG ⊥平面ABCD ，∴PQ ∥AG ，APQG 为矩形， ∴AP ∥GQ∵QG ⊂平面BFG ，AP ⊄平面BFG ，∴AP ∥平面BFG………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵AG ⊥平面ABCD ，∴AG ⊥AD ， 又ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD 从而AD ⊥平面ABG又DE ⊥平面ABCD ，∴AG ∥DE∴112323ABEG E ABG D ABG V V V AB AG AD --===⨯⨯⨯⨯=…………………………12分19．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，且121n n a S +=+，*n N ∈. (Ⅰ) 当实数t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下，设31log n n b a +=，数列{}n nb a 的前n 项和n T ，证明94n T <．命题意图：本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式，错项相减、不等式证明等，中等题． 【解析】(Ⅰ)方法1：由题意得112121(2)n n n n a S a S n +-=+=+≥，两式相减得1112)23(2)n n n n n n n a a S S a a a n +-+-=-=⇒=≥（……………………………2分所以当2n ≥时，{}n a 是以3为公比的等比数列．要使*n N ∈时，{}n a 是等比数列，则只需212131a t t a t+==⇒= ……………………4分方法2：由题意，1a t =，212121a S t =+=+，3212212()12(31)163a S a a t t =+=++=++=+ 要使{}n a 为等比数列，则有：22213(21)(63)a a a t t t =⇒+=+⇒22244163210t t t t t t ++=+⇒--=解得1t =或12t =-（12t =-时，20a =，不合题意，舍去）1t =时，3q =，13n n a -=，1131(31)213132n nn n n n S S a +-==-⇒+==-符合题意．所以1t =………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得知13n n a -=，31log n n b a n +==…………………………………………6分111()33n n n n b n n a --==⋅………………………………………………………………7分2311111123()4()()3333n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯ ① 23111111112()3()(1)()()333333n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②-②得2312111111()()()()333333n nn T n -=+++++-⨯ …………………………9分 11()13()1313nnn -=-⨯-…………………………………………………11分故99319()()44234n n T n =-+<．. …………………………………………………13分20．（本小题满分13分）已知椭圆C的两个焦点分别为1(F，2F ,短轴的两个端点分别为12 B B ,；且112F B B △为等腰直角三角形.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若直线l 与椭圆C 交于点M N ，，且OM ON ⊥，试证明直线l 与圆222x y +=相切.命题意图：本题考查椭圆的方程与性质、直线与二次曲线的位置关系，较难题．【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.根据题意知2222243a a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩, 解得26a =,23b =…………………………………………4分故椭圆C 的方程为22163x y +=. …………………………………………………………5分(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,易知OMN ∆为等腰直角三角形，设点00( )M x x ，，代入椭圆方程易得0x =，即直线l方程为x =,符合题意； ……………………………6分 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+.由22163y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，消去y 得：222(21)4(26)0k x kmx m +++-=. 设1122( )( )M x y N x y ，，，,则 21212224262121km m x x x x k k --+==++， ①从而2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ ②……………………8分因为OM ON ⊥,所以0OM ON ⋅=,即 12120x x y y += 将①②代入得：2212121212(1)()x x y y k x x km x x m +=++++222221[(1)(26)(4)(21)]021k m km km m k k =+-+-++=+ 化简得：222221(366)0366021mk k mk k k --=⇒--=+，故2221m k =+（）…………………………………………………………………………10分另一方面，点O 到直线l的距离为d ====；……………12分故直线l 与圆222x y +=相切. ………………………………………………………………13分21.（本题满分13分）已知0a >，函数2()22ln f x ax ax x =-+，()()2g x f x x =-．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ) 讨论()g x 的单调性；(Ⅲ) 当1a >时，若函数1()()5h x g x a =++有三个不同的零点，求实数a 的取值范围．命题意图：本题考查导数的几何意义、导数的应用，分类讨论、数形结合思想，较难题． 【解析】(Ⅰ)当1a =时，2()22ln f x x x x =-+， 222(1)()22x x f x x x x -+'=-+=设切线方程为(1)(1)y f k x -=-， ∵(1)2k f '==，(1)1f =- ，代入切线方程，化简得：23y x =-………………………………………………3分(Ⅱ)2()()22(1)2ln g x f x x ax a x x =-=-++ 212(1)()222(1)2()22(1)a x x ax a x a g x ax a x x x ---++'=-++==，(0)x >∵0,0x a >> ，由1(1)()0x x a --=121,1x x a ⇒== ………………………………4分①当01a <<时，11a > 在区间1(0,1),(,)a +∞上()0g x '>，在区间1(1,)a 上()0g x '< ∴函数()g x 的单调递增区间是1(0,1),(,)a +∞，单调递减区间是1(1,)a …………………………………………………………6分 ②当1a >时，101a <<，在区间1(0,),(1,)a +∞上g ()0x '>，在区间1(,1)a 上()0g x '<∴函数()g x 的单调递增区间是1(0,),(1,)a +∞，单调递减区间是1(,1)a .……….……………………. ……………. …………7分③当1a =时，()0g x '≥恒成立，故函数()g x 的单调递增区间是(0,)+∞，没有单调递减区间…………………………………………………………………………………8分 (Ⅲ)∵()h x 与()g x 的单调性相同，当1a >，由(Ⅱ)②可知：函数1()()5h x g x a =++有三个不同的零点等价于[()]0[()]0h x h x >⎧⎪⎨<⎪⎩极大极小………………10分又1[()]()[()](1)h x hah x h⎧=⎪⎨⎪=⎩极大极小，……………………………………………………………12分∴11()32ln01(1)30ha ah aa⎧=+>⎪⎪⎨⎪=+-<⎪⎩∴32321a ea ea⎧<<⎪⇒<<<…………………13分第11 页共11 页。