自考高等数学(工本)考试重点

全国2011年10月《高等数学（工本）》考试重点
1. 空间两点间的距离公式2
1221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=
向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b b a a a a
==
.1︒z z y y x
x
b a b a b
a b a ++=⋅
2︒b a ⊥的充要条件是：0=⋅b a .
3︒b
a b a b a =
∧
)cos(
向量的数量积公式：
k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k
j i
b a x y y x z x x z y z z y z
y
x
z y x
)()()(-+-+-==⨯
b
a b a ⨯=
ϕsin .3︒b a //的充要条件是0=⨯b a
4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线 平面方程公式),,(o o o o
z y x M },,{C B A n = 点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A
直线方程公式： },,{n m l S
= ，),,(o o o o z y x M 点向式：n
z z m y y l x x o
o o -=-=-
偏导数公式：
),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===
x
v v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂
y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂
设
),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===
dx
dv v z dx du u z dx dz ∂∂+
∂∂=
.3︒设0),,(=z y x F
Fz
Fy y z Fz Fx x z -=∂∂-=∂∂
全微分公式：设
),,(y x f z =dy y
z dx x
z dz ∂∂+∂∂=
10. 二重积分计算公式：
⎰⎰=D
kA
kd σ（
A 为D 的面积）
⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰==)
()
()
()
(1212),(),(),(y y c d
D
x x b a
dx
y x f dy dy y x f dx d y x f ϕϕϕϕσ
⎰⎰
⎰
⎰=D
rdr
r r f d d y x f )
()
(12)sin ,cos (),(θϕθϕβα
ϑϑϑσ
11. 三重积分计算公式：
利用直角坐标系计算，
Ω为⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )()(),(),(2121 ⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰=Ω
)
,()
,()
()
(2121),,(),,(y x z y x z x y x y b
a
dz
z y x f dy dx d z y x f σ
利用柱面坐标计算：
Ω为⎪⎩
⎪
⎨⎧===z y r y r x ϑ
ϑ
sin cos
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰=Ω
)
,()
,()
()
(21212
1
),sin ,cos (),,(ϑϑϑϑϑϑ
ϑϑr z r z r r dz
z r r f rdr dx dv z y x f
利用球面坐标计算：
Ω为⎪⎩
⎪
⎨⎧===ϕϕϑϕϑcos sin sin sin cos r y r y r x
⎰⎰⎰
Ω
dv z y x f ),,(⎰⎰⎰=)
,(),(2)
()(21
21
sin )cos ,sin sin ,sin cos (ϑϕϑϕϑϕϑϕβαϕϕϕϑϕϑϕϑr r dr
r r r r f d d
12. 重积分的应用公式： 曲顶柱体的体积：
⎰⎰=D
dxdy y x f V ,
),(曲面),(:
y x f z =∑
设V 为
Ω的体积：
⎰⎰⎰Ω
=dv
V
设
∑为曲面),(y x f z =
曲面的面积为σ
d f f S D
y x ⎰⎰++=221
13. 对弧长的曲线积分 （1）若L ：
b x a x f y ≤≤=),(，则
⎰
⎰+=b
a
L
dx
x x x f dl y x f )(1)](,[),(2ϕϕ
（2）若L ：βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==t t y t x
,)
()(
则
⎰⎰
'
+'=βα
ψϕψϕdx
t t t t f dl y x f L
)()()](),([),(22 （3）当
1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为
⎰=L
dl
S 。

14. 对坐标的曲线积分
（1）
终点
起点)()()
(:)](,[),(b B a A x y L dx x x P dx y x P AB b
a
L A B
ϕϕ==⎰⎰
（2）
[]终点
起点)()()()(:)]()(),(),(βαψϕϕψϕβα
B A t y t x L dt t t t P dx y x P AB L A B
⎩⎨
⎧=='=⎰⎰
格林公式：
Qdy
Pdx dxdy y P
x Q L
D
+=∂∂-∂∂⎰⎰⎰)(
其中L 是沿正向取的闭区域的边界曲线。

16. 姻亲的种类（P66） 17. 对面积的曲面积分
⎰⎰⎰⎰++=∑
Dxy
y
x dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)]
,(,,[),,(
∑=)
,(:y x z z
18. 对坐标的曲面积分
⎰⎰⎰⎰±=∑
Dxy dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(
下侧取负号
上侧取正号∑=),(:y x z z
(1)一阶线性微分方程：
)()(x Q y x p y =+'
通解
]
)([)()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-
(2)二阶常系数线性齐次微分方程 公式：
0=+'+''qy y p y 特征方程：02=++q pr r
21r r ≠实根：通解为x
r x r e c e c y 2
121+=
21r r =实根：通解为x r e c c y 1
)(21+=
i
r βα±=21，：通解为)sin cos (21x c c e y x ββα+=
(3) 二阶常系数线性非齐次微分方程
公式：
ax m e x P qy y p y )(=+'+''
通解为
*y y y += y 为对应齐次方程的通解
x m k e x Q x y α)(*= *y 为所求方程的一个特解
0=k ：a 不是特征方程的根
1=k ：
a 是特征方程的单根
2=k ：a 是特征方程的重根
22. 数项级数的审敛法 审敛准则公式：比值判别法：
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=∞><=∑∑∑∞=∞
=∞
=+∞→不定
级数发散
级数收敛
级数111
1
,1),(1,1lim
n n n n n n n
n n u u u q u u
比较判别法： 1）设
n n v u ≤，而
∑∞
=1
n n
v
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
收敛。

2）设
n n v u ≥，而
∑∞
=1
n n
v
发散，则
∑∞
=1
n n
u
发散。

23. 幂级数以及函数的幂级数展开式 幂级数的收敛半径和收敛区间 公式：收敛半径
1
lim
+∞→=n n n a a R 收敛区间：1）[-R,R]2）[-R,R ）3）（-R ，R]
设
发散，右边开收敛，右边闭
∑∞
==1
:n n
n R
a R x
发散，左边开
收敛，左边闭
）
（∑∞
=--=1
:n n
n R a R x
R
x x R x x R x x R x x x x a n n
n -=-=-+==--∑∞
=00001
0)令（
幂级数的展开式
公式： +∞<<∞-++++
+=x n x x x e n
x
!
!212
+∞
<<∞--+-
=x x x x x x !
7!5!3sin 7
53
+∞
<<∞--+-=x x x x x
!
6!4!21cos 6
42
1
14
32)1ln(4
32≤<--+-
=+x x x x x x
1
1111
32<<-+++=-x x x x x。