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《比例》正比例和反比例PPT教学课件
六年级下册 第3单元
比例
-.
比例的意义和各部分名称
结合图形，观察表格， 你发现了什么？
竹竿长（m）
8
影子长（m）
4
12
…
6
…
规律：在同一时刻、同一地点，竹竿长和影子长的比列相等。
比较发现写出等式
因为8：4和12:6这两个的比值都是1，所以这两个比可 以用等号连接起来，写成一个等式，即8:4=12:6或 8/4=12/6
练一练
应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比 可以组成比例，并写出组成的比例。
归纳总结
1.在一个比例中，两个外项的积=两个内项的积，这叫做比例的 基本性质。
2.拓展延伸：比和比例的区别和联系。
名称
比
意义
表示两个数相除
项数
两项
基本性质
联系
比的前项和后项同时乘或除以相同的数 （0除外），比值不变
一个比例由两个相等的比组成，即比是比 例的一部分
比例
表示两个比相等的式子
四项
两个外项的积等于两个内项的积
练一练
⑴写出下图中图A，图B两个正方形的边长与边长的比以及周长 与周长的比，这两个比能组成比例吗？
⑵写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能 组成比例吗？
方法突破
把等积式改写成比例式，可以改写成多个比例式，在改写是必须要满 足：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项。
练一练
由表是调制蜂蜜水时，与同伴交流。
3:2＝15:10 2:3＝10:15 10:2＝15:3 2:10＝3:15
比例的基本性质
写出几个比例，仔细观察，你会有新的发现。
12×4＝6×8 6×2＝4×3 3×10＝2×15 10×3＝2×15 淘气的发现你同意吗？再写出几个比例验证一下。 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
比例
-.
比例的意义和各部分名称
结合图形，观察表格， 你发现了什么？
竹竿长（m）
8
影子长（m）
4
12
…
6
…
规律：在同一时刻、同一地点，竹竿长和影子长的比列相等。
比较发现写出等式
因为8：4和12:6这两个的比值都是1，所以这两个比可 以用等号连接起来，写成一个等式，即8:4=12:6或 8/4=12/6
练一练
应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比 可以组成比例，并写出组成的比例。
归纳总结
1.在一个比例中，两个外项的积=两个内项的积，这叫做比例的 基本性质。
2.拓展延伸：比和比例的区别和联系。
名称
比
意义
表示两个数相除
项数
两项
基本性质
联系
比的前项和后项同时乘或除以相同的数 （0除外），比值不变
一个比例由两个相等的比组成，即比是比 例的一部分
比例
表示两个比相等的式子
四项
两个外项的积等于两个内项的积
练一练
⑴写出下图中图A，图B两个正方形的边长与边长的比以及周长 与周长的比，这两个比能组成比例吗？
⑵写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能 组成比例吗？
方法突破
把等积式改写成比例式，可以改写成多个比例式，在改写是必须要满 足：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项。
练一练
由表是调制蜂蜜水时，与同伴交流。
3:2＝15:10 2:3＝10:15 10:2＝15:3 2:10＝3:15
比例的基本性质
写出几个比例，仔细观察，你会有新的发现。
12×4＝6×8 6×2＝4×3 3×10＝2×15 10×3＝2×15 淘气的发现你同意吗？再写出几个比例验证一下。 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
正比例函数课件
正比例函数课件
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
THANKS
感谢观看
日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
THANKS
感谢观看
日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
人教版《正比例函数》PPT完美课件
人教版 · 数学· 八年级（下）
第19章 一次函数 19.2.1 正比例函数 第2课时 正比例函数的图象和性质
学习目标
1.会画正比例函数的图象。 2.能根据正比例函数图象的规律探究正比例函数的 性质。
回顾旧知
正比例函数 一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
∵点Q(－m，m＋3)在这个函数图象上，∴m＋3＝(－2)×(－m)，解得m＝3
4 些点连接起来，得到一条经过原 思考 画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
13．已知正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是(
)
k>2
D.
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y … 6 4 2 0 -2 -4 -6 …
y=-4x y
9
4
1 -4-3-2-1O 1 2 3 4
x
如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值对应坐标的点，将这 些点连接起来，得到一条经过原 点和第二、第四象限的直线，它 就是函数 y=-4x 的函数图象.
巩固新知
1. 正比例函数 y = (k-2)x 的图象如图所示，则 k 的取值范围
是（ D ）.Leabharlann yk-2<0
经过第二、第四象限
O
x
A. k>0
B. k<0
C. k>2
D. k<2
7．已知在正比例函数y＝(k－1)x的图象中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是(
)
（1）正比例函数必须满足两个条件：①比例系数k是常数，且k≠0.
第19章 一次函数 19.2.1 正比例函数 第2课时 正比例函数的图象和性质
学习目标
1.会画正比例函数的图象。 2.能根据正比例函数图象的规律探究正比例函数的 性质。
回顾旧知
正比例函数 一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
∵点Q(－m，m＋3)在这个函数图象上，∴m＋3＝(－2)×(－m)，解得m＝3
4 些点连接起来，得到一条经过原 思考 画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
13．已知正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是(
)
k>2
D.
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y … 6 4 2 0 -2 -4 -6 …
y=-4x y
9
4
1 -4-3-2-1O 1 2 3 4
x
如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值对应坐标的点，将这 些点连接起来，得到一条经过原 点和第二、第四象限的直线，它 就是函数 y=-4x 的函数图象.
巩固新知
1. 正比例函数 y = (k-2)x 的图象如图所示，则 k 的取值范围
是（ D ）.Leabharlann yk-2<0
经过第二、第四象限
O
x
A. k>0
B. k<0
C. k>2
D. k<2
7．已知在正比例函数y＝(k－1)x的图象中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是(
)
（1）正比例函数必须满足两个条件：①比例系数k是常数，且k≠0.
小学数学正比例课件PPT
学习方法反思
02
部分学生过于依赖记忆，而忽视了对知识点的理解和运用，导
致在解决问题时无法灵活ห้องสมุดไป่ตู้用正比例关系。
后续学习计划
03
加强对正比例应用方面的学习和练习，提高解决问题的能力。
教师点评与建议
01
课堂表现评价
大部分学生在课堂上积极参与讨论和练习，表现出对正比例知识的浓厚
兴趣。
02
知识点掌握反馈
通过测试和作业反馈，发现部分学生在正比例应用方面存在不足，需要
表达式与图象关系
当k>0时，图象在第一、三象限； 当k<0时，图象在第二、四象限。
斜率与比例系数
正比例函数图象的斜率等于比例系 数k。
04
解决实际问题：应用正 比例知识
典型例题解析
路程与时间问题
通过具体例题，让学生理 解路程、时间与速度之间 的关系，掌握正比例的应 用。
购物问题
结合实际购物场景，让学 生运用正比例知识解决价 格与数量之间的关系。
标成倍数关系。
描点连线
用尺子和铅笔将选取的点描出 来，并用平滑的曲线连接各点
。
认识正比例表达式
01
02
03
定义
形如y=kx（k为常数， k≠0）的函数叫做正比例 函数。
比例系数
正比例函数中的常数k叫 做比例系数。
表达式特点
自变量x的次数为1，且系 数k不为0。
图象与表达式之间的联系
图象特点
正比例函数的图象是一条经过原 点的直线。
公式表示
v=s/t，其中v表示速度，s表示路程，t表示时间。当s一定时，v与t成反比；当v 一定时，s与t成正比。
正比例定义及性质
人教版初中数学《正比例函数》_课件
【获奖课件ppt】人教版初中数学《正 比例函 数》_ 课件1- 课件分 析下载
【获奖课件ppt】人教版初中数学《正 比例函 数》_ 课件1- 课件分 析下载
总结
知1－讲
(1)根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成 函
数解析式的形式． (2)判断一个函数是否为正比例函数的依据：看两 个 变量的比是不是常数，即是不是形如y＝kx(k是常 数，k≠0)的函数．
总结
知1－讲
一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫 做正比例函数，其中k叫做比例系数.
【获奖课件ppt】人教版初中数学《正 比例函 数》_ 课件1- 课件分 析下载
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知1－讲
例1 写出下列问题的函数关系式，并判断哪些是正比例函数
知1－讲
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分
别为：
(1) l＝2πr；
(2)m＝7. 8V；
(3)h＝0.5n；
(4)T＝－2t.
正如函数y＝300t一样，上面这些函数都是常
数与
自变量的积的形式.
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润，
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知1－讲
解：(1)C＝2πr，是正比例函数．
(2)Q＝30－
1 5
t，不是正比例函数．
(3)s＝4t，是正比例函数．
正比例函数(第一课时)课件
中应用
直线运动问题
路程、速度和时间的关系
当物体做匀速直线运动时，路程与时间成正比例关系，即s=vt，其中s表示路 程，v表示速度，t表示时间。
相遇和追及问题
当两个物体在同一直线上运动时，它们之间的相对速度等于两物体速度之和或 之差。因此，相遇问题和追及问题可以通过正比例函数来求解。
题目：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系式为s = 60t，求当t = 2时，汽车行驶的路程s。 解答过程
2. 将v = 60和t = 2代入上式，得到s = 60 × 2 = 120 。
分析：本题主要考察正比例函数在实际问题中的应用。 根据题意，速度v = 60千米/小时，时间t = 2小时，我 们需要求出路程s。 1. 根据正比例函数的定义，我们有s = vt。
比例系数 k 决定了直线的斜率，即 k = tanα (α 为直线与 x 轴正方向的夹角)。
函数图像是一条经过原点的直线。
性质：正比例函数具有以下性质
当 x > 0 时，y 与 x 同号；当 x < 0 时 ，y 与 x 异号。
图像特征
图像形状
01
正比例函数的图像是一条直线。
图像位置
02
该直线经过坐标原点 (0,0)。
结合实际问题进行求解
01
仔细阅读题目，理解题 意，将实际问题抽象成 数学模型。
02
根据题意列出方程或方 程组，注意方程两边的 量要对应。
03
解方程或方程组，求出 未知数的值，并对结果 进行验证和取舍。
04
将求得的未知数的值代 回原方程进行检验，确 保答案的正确性。
06
典型例题分析与解答过程展示
直线运动问题
路程、速度和时间的关系
当物体做匀速直线运动时，路程与时间成正比例关系，即s=vt，其中s表示路 程，v表示速度，t表示时间。
相遇和追及问题
当两个物体在同一直线上运动时，它们之间的相对速度等于两物体速度之和或 之差。因此，相遇问题和追及问题可以通过正比例函数来求解。
题目：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系式为s = 60t，求当t = 2时，汽车行驶的路程s。 解答过程
2. 将v = 60和t = 2代入上式，得到s = 60 × 2 = 120 。
分析：本题主要考察正比例函数在实际问题中的应用。 根据题意，速度v = 60千米/小时，时间t = 2小时，我 们需要求出路程s。 1. 根据正比例函数的定义，我们有s = vt。
比例系数 k 决定了直线的斜率，即 k = tanα (α 为直线与 x 轴正方向的夹角)。
函数图像是一条经过原点的直线。
性质：正比例函数具有以下性质
当 x > 0 时，y 与 x 同号；当 x < 0 时 ，y 与 x 异号。
图像特征
图像形状
01
正比例函数的图像是一条直线。
图像位置
02
该直线经过坐标原点 (0,0)。
结合实际问题进行求解
01
仔细阅读题目，理解题 意，将实际问题抽象成 数学模型。
02
根据题意列出方程或方 程组，注意方程两边的 量要对应。
03
解方程或方程组，求出 未知数的值，并对结果 进行验证和取舍。
04
将求得的未知数的值代 回原方程进行检验，确 保答案的正确性。
06
典型例题分析与解答过程展示
《正比例函数》课件优秀(完整版)1
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出它是不是正比例函数．
呢？ （4）冷冻一个0°C的物体，使它每
（3）每个练习本的厚度为， 小结 ：
（（52） ）y认=真-4x观+察3；自变从量和函常量数运用关什么系运算看符号，连接关起来键的？是这些比常量例可以系取哪数些值k？，比例系数k一确定，
（3）一个长方体的长为2cm，宽为，高为xcm ，体积为ycm3.
（2） （单；位：cm）随练习本的本数n的
（3）y=2x2 ；
变化而变化． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
（3）每个练习本的厚度为， （4）y2=4x；
h0.5n 从方程角度看，如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．
函数关系式是常量与自变量的乘积． 如果y=kx+k-3，是y关于x的正比例函数，则k=__________. 如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.
• 问题探究：在 l 2πr 、 m7.8V 、h0.5n 和 T2t 中 :
（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量 分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？
（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接 起来的？这些常量可以取哪些值？
（3）这几个函数表达式有何共同特征？请你用语言 加以描述．
随（冷3）冻每时个间练t（习单本位的：厚m度in为），的变化而变
列必（y=式须33）x表 知y是示道=2比正下两x2比列个例；例问变系函题量数数中x、yk与y一的x的一确函对定数对，关应系值正，即比并可例指确出定函它k数．是就不是确正定比；例函必数须．知道两个变量x、y的一对对应值即可确定k．
4.从方程角度看： 随冷冻时间t（单位：min）的变化而变
呢？ （4）冷冻一个0°C的物体，使它每
（3）每个练习本的厚度为， 小结 ：
（（52） ）y认=真-4x观+察3；自变从量和函常量数运用关什么系运算看符号，连接关起来键的？是这些比常量例可以系取哪数些值k？，比例系数k一确定，
（3）一个长方体的长为2cm，宽为，高为xcm ，体积为ycm3.
（2） （单；位：cm）随练习本的本数n的
（3）y=2x2 ；
变化而变化． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
（3）每个练习本的厚度为， （4）y2=4x；
h0.5n 从方程角度看，如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．
函数关系式是常量与自变量的乘积． 如果y=kx+k-3，是y关于x的正比例函数，则k=__________. 如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.
• 问题探究：在 l 2πr 、 m7.8V 、h0.5n 和 T2t 中 :
（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量 分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？
（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接 起来的？这些常量可以取哪些值？
（3）这几个函数表达式有何共同特征？请你用语言 加以描述．
随（冷3）冻每时个间练t（习单本位的：厚m度in为），的变化而变
列必（y=式须33）x表 知y是示道=2比正下两x2比列个例；例问变系函题量数数中x、yk与y一的x的一确函对定数对，关应系值正，即比并可例指确出定函它k数．是就不是确正定比；例函必数须．知道两个变量x、y的一对对应值即可确定k．
4.从方程角度看： 随冷冻时间t（单位：min）的变化而变
正比例PPT课件
一种量变化， 一种量变化，另一种量也随 着变化， 着变化，数学中把这两种量 叫做两种相关联的量 。
复习
已知路程和时间，怎样求速度？ 速度 = 路程÷时间 已知总价和数量，怎样求单价？ 单价 = 总价÷数量 已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？ 工作效率 = 工作总量÷工作时间
数 学淳Βιβλιοθήκη 县城关镇城关学区 姚亚琴请大家回顾一下， 请大家回顾一下，通过这节课的学 习，你有什么收获？你还有什么疑 你有什么收获？ 问吗？ 问吗？
2月29日 月 日
P21 练一练 第1、2题 、 题
谢谢观赏
一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶 的时间和路程如下，把下表填写完整。 的时间和路程如下，把下表填写完整。
从中你发现了什么规律？ 从中你发现了什么规律？
时间/时 时间 时
路程/千米 路程 千米
1 90
2
3
4
5
6
7
8 720
180 270 360
450 540 630
路程和时间是两个相关联的量:时间增加， 路程和时间是两个相关联的量 时间增加，路程 时间增加 也增加；时间减少，路程也减少。 也增加；时间减少，路程也减少。 路程与时间的比值（速度）一定。 路程与时间的比值（速度）一定。
判断下面每题中的两种量是不是成正 比例，并说明理由。 比例，并说明理由。
每袋大米的质量一定， 每袋大米的质量一定，大米的总质 量和袋数。 量和袋数。 一个人的身高和年龄。 一个人的身高和年龄。 宽不变，长方形的周长与长。 宽不变，长方形的周长与长。 分值一定，分子和分母。 分值一定，分子和分母。 抄一篇课文， 抄一篇课文，抄完的字数和剩下的 字数。 字数。
1 2 3 4
复习
已知路程和时间，怎样求速度？ 速度 = 路程÷时间 已知总价和数量，怎样求单价？ 单价 = 总价÷数量 已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？ 工作效率 = 工作总量÷工作时间
数 学淳Βιβλιοθήκη 县城关镇城关学区 姚亚琴请大家回顾一下， 请大家回顾一下，通过这节课的学 习，你有什么收获？你还有什么疑 你有什么收获？ 问吗？ 问吗？
2月29日 月 日
P21 练一练 第1、2题 、 题
谢谢观赏
一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶 的时间和路程如下，把下表填写完整。 的时间和路程如下，把下表填写完整。
从中你发现了什么规律？ 从中你发现了什么规律？
时间/时 时间 时
路程/千米 路程 千米
1 90
2
3
4
5
6
7
8 720
180 270 360
450 540 630
路程和时间是两个相关联的量:时间增加， 路程和时间是两个相关联的量 时间增加，路程 时间增加 也增加；时间减少，路程也减少。 也增加；时间减少，路程也减少。 路程与时间的比值（速度）一定。 路程与时间的比值（速度）一定。
判断下面每题中的两种量是不是成正 比例，并说明理由。 比例，并说明理由。
每袋大米的质量一定， 每袋大米的质量一定，大米的总质 量和袋数。 量和袋数。 一个人的身高和年龄。 一个人的身高和年龄。 宽不变，长方形的周长与长。 宽不变，长方形的周长与长。 分值一定，分子和分母。 分值一定，分子和分母。 抄一篇课文， 抄一篇课文，抄完的字数和剩下的 字数。 字数。
1 2 3 4
正比例和反比例课件
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01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：两个量之间的比值是常数时，它们成正比例 性质：当两个量成正比例时，它们的比值是常数，它们的图象是一条直线 实例：路程和时间成正比例，它们的比值是速度 应用：在现实生活中，很多事物之间都存在正比例关系，如速度、时间、路程等
比值一定：当两个量的比值一定时，它们成正比例关系 乘积是常数：当两个量的乘积是常数时，它们成反比例关系 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线 实际应用：在现实生活中，正比例关系可以用来描述许多事物的变化规律
验证解的正确性：在得到解后，需要进行验证，确保解的正确性和合理性。
物理学中的应用： 解释物理现象和规 律，如速度、加速 度与时间的关系
经济学中的应用： 分析成本、收益与 数量的关系，预测 市场趋势
生物学中的应用： 研究生物体生长、 繁殖与环境因素的 关系
地理学中的应用：探 索地理现象之间的相 互关系，如气候、地 形与人口分布
参加数学竞赛：参 加数学竞赛可以锻 炼自己的数学思维 和解题能力，同时 也可以增强对正比 例和反比例知识的 理解和掌握。
添加标题
反比例的数学表达：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数），则称x和y成反比例关系。
反比例在生活中的应用
反比例在生产中的应用
反比例在科学实验中的应用
反比例在数学中的应用
定义不同：正比例是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；反比例是两种相 关联的量中，一种量变化，另一种量也随着变化，但积一定
数学建模：通过建立正比例模型，可以表示两个量之间的比例关系
求解方法：通过代入法或消元法等方法求解正比例方程
应用：正比例关系在生活和生产中广泛存在，如速度与时间的关系、路程与速度的关系 等
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：两个量之间的比值是常数时，它们成正比例 性质：当两个量成正比例时，它们的比值是常数，它们的图象是一条直线 实例：路程和时间成正比例，它们的比值是速度 应用：在现实生活中，很多事物之间都存在正比例关系，如速度、时间、路程等
比值一定：当两个量的比值一定时，它们成正比例关系 乘积是常数：当两个量的乘积是常数时，它们成反比例关系 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线 实际应用：在现实生活中，正比例关系可以用来描述许多事物的变化规律
验证解的正确性：在得到解后，需要进行验证，确保解的正确性和合理性。
物理学中的应用： 解释物理现象和规 律，如速度、加速 度与时间的关系
经济学中的应用： 分析成本、收益与 数量的关系，预测 市场趋势
生物学中的应用： 研究生物体生长、 繁殖与环境因素的 关系
地理学中的应用：探 索地理现象之间的相 互关系，如气候、地 形与人口分布
参加数学竞赛：参 加数学竞赛可以锻 炼自己的数学思维 和解题能力，同时 也可以增强对正比 例和反比例知识的 理解和掌握。
添加标题
反比例的数学表达：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数），则称x和y成反比例关系。
反比例在生活中的应用
反比例在生产中的应用
反比例在科学实验中的应用
反比例在数学中的应用
定义不同：正比例是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；反比例是两种相 关联的量中，一种量变化，另一种量也随着变化，但积一定
数学建模：通过建立正比例模型，可以表示两个量之间的比例关系
求解方法：通过代入法或消元法等方法求解正比例方程
应用：正比例关系在生活和生产中广泛存在，如速度与时间的关系、路程与速度的关系 等
正比例ppt课件
线性函数
在数学中，线性函数是正比例函数的 一种特例，其中y与x成正比。
面积与边长的关系
当矩形面积一定时，边长与边长成正 比，即边长增加或减少，另一边长也 会相应地增加或减少。
物理中的正比例
电阻与电流的关系
在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比。但实际上，电流与电压成正比 ，而电阻是恒定的，因此电流与电压成正比。
总结词
路程与速度成正比
详细描写
当路程与速度成正比时，速度越大，行走的路程越远。 例如，如果一个人的速度是5公里/小时，他需要走2小时 才能走完10公里的路程。如果他的速度增加到10公里/ 小时，他只需要1小时就能走完这10公里的路程。
谢谢您的凝听
THANKS
密度与质量的关系
总结词
密度与质量成正比
详细描写
密度（ρ）和质量（m）之间的关系 可以用公式 ρ = m/V 来表示，其中 V 是体积。当物体的体积保持不变时 ，密度和质量成正比。这意味着，物 体的质量越大，其密度也越大。
路程与速度的关系
总结词
路程与速度成正比
详细描写
路程（s）和速度（v）之间的关系可以用公式 s = v × t 来表示，其中 t 是时间。当时 间保持不变时，路程和速度成正比。这意味着，速度越大，在相同时间内所经过的路程
正比例的特点
比值恒定
正比例关系的两个量的比 值始终保持不变，即 y/x=k（k为常数）。
同步变化
当一个量增加或减少时， 另一个量也按相同的方向
和相同的比例变化。
线性关系
正比例关系表现为一条直 线，当x增大时，y也增大 ，当x减小时，y也减小。
正比例与反比例的区分
正比例
两个量的比值保持恒定，当一个 量增加时，另一个量也按相同的 比例增加。
在数学中，线性函数是正比例函数的 一种特例，其中y与x成正比。
面积与边长的关系
当矩形面积一定时，边长与边长成正 比，即边长增加或减少，另一边长也 会相应地增加或减少。
物理中的正比例
电阻与电流的关系
在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比。但实际上，电流与电压成正比 ，而电阻是恒定的，因此电流与电压成正比。
总结词
路程与速度成正比
详细描写
当路程与速度成正比时，速度越大，行走的路程越远。 例如，如果一个人的速度是5公里/小时，他需要走2小时 才能走完10公里的路程。如果他的速度增加到10公里/ 小时，他只需要1小时就能走完这10公里的路程。
谢谢您的凝听
THANKS
密度与质量的关系
总结词
密度与质量成正比
详细描写
密度（ρ）和质量（m）之间的关系 可以用公式 ρ = m/V 来表示，其中 V 是体积。当物体的体积保持不变时 ，密度和质量成正比。这意味着，物 体的质量越大，其密度也越大。
路程与速度的关系
总结词
路程与速度成正比
详细描写
路程（s）和速度（v）之间的关系可以用公式 s = v × t 来表示，其中 t 是时间。当时 间保持不变时，路程和速度成正比。这意味着，速度越大，在相同时间内所经过的路程
正比例的特点
比值恒定
正比例关系的两个量的比 值始终保持不变，即 y/x=k（k为常数）。
同步变化
当一个量增加或减少时， 另一个量也按相同的方向
和相同的比例变化。
线性关系
正比例关系表现为一条直 线，当x增大时，y也增大 ，当x减小时，y也减小。
正比例与反比例的区分
正比例
两个量的比值保持恒定，当一个 量增加时，另一个量也按相同的 比例增加。
《正比例》课件
02
正比例的应用
生活中的正比例例子
购物时，商品的单价一定，购买 的数量与花费的钱数成正比例。
速度一定时，行驶的距离与时间 成正比例。
三角形面积一定时，底边长度与 高成正比例。
数学中的正比例应用
在几何学中，线段的长度与其对应的 角度成正比例。
在概率论中，随机事件的概率与其发 生的可能性成正比例。
描述
当两个量x和y成正比时， 它们的比值x/y是一个常 数，这个常数被称为比例 常数。
公式
如果x和y成正比，则存在 一个常数k，使得x/y=k。
举例
如果y=2x，那么x和y的比 值是1:2，比例常数是2。
当两个量成正比时，它们的增减趋势相同
描述
如果一个量增加，另一个 量也以相同的比例增加； 如果一个量减少，另一个 量也以相同的比例减少。
举例
正比例的例子有y=2x，反比例的例 子有xy=6（如x=3时y=2，x=6时 y=1）。
04
正比例的证明
通过图像证明正比例
图像法证明
通过绘制两个比例数的图像，可以 直观地展示正比例关系。在坐标系中 ，当两个比例数成正比时，它们的图 像将形成一条直线。
斜率证明
在图像上，两个成正比的比例数之间 的直线的斜率是恒定的。如果两个比 例数不成正比，那么它们之间的直线 的斜率会发生变化。
《正比例》ppt课件
目 录
• 正比例的定义 • 正比例的应用 • 正比例的性质 • 正比例的证明 • 正比例的练习题
01
正比例的定义
什么是正比例
01
描述两个量之间的变化关系，当 一个量变化时，另一个量也按相 同的比例变化。
02
可以用数学表达式表示为： y/x=k，其中x和两个量之间的图像，从而判断它们是否成正比。如 果数据点大致分布在一条直线上，那么可以认为这两个量之间存在正比关系。
正比例函数的概念数学PPT课件
（1）正方形的边长为x cm，周长为y cm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这一年
（12个月）的总收入为y元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为
x cm ，体积为y cm3.
y=3x 是正比例函数
02
练 一 练
LEARNING
OBJECTIVES
感谢您的聆听
EIGHT
GRADE
MATHEMATICS
COURSEWARE
八年级下 册
VOLUME
II
体积V（单位：cm3）的变化而变化．
m=7.8v
01
归纳
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，
其中k叫做比例系数．
比例系数
y = kx (k≠0的常数)
自变量
思考 为什么强调k是常数， k≠0呢？
因为当k=0时，正比例函数y=0×x,即y=0,
这不能准确表达自变量与函数的关系，失去了解析式的意义
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km）之间的函数关
系式，并指出y是x的什么函数；
解： y=5×15x÷100，
即
.
y是x的正比例函数.
01
生例3
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费多少？
解：当x=220时，
即该汽车行驶220 km所需油费165元．
01
练一练
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是
否是正比例函数，
要从化简后来判
断！
例1
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这一年
（12个月）的总收入为y元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为
x cm ，体积为y cm3.
y=3x 是正比例函数
02
练 一 练
LEARNING
OBJECTIVES
感谢您的聆听
EIGHT
GRADE
MATHEMATICS
COURSEWARE
八年级下 册
VOLUME
II
体积V（单位：cm3）的变化而变化．
m=7.8v
01
归纳
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，
其中k叫做比例系数．
比例系数
y = kx (k≠0的常数)
自变量
思考 为什么强调k是常数， k≠0呢？
因为当k=0时，正比例函数y=0×x,即y=0,
这不能准确表达自变量与函数的关系，失去了解析式的意义
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km）之间的函数关
系式，并指出y是x的什么函数；
解： y=5×15x÷100，
即
.
y是x的正比例函数.
01
生例3
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费多少？
解：当x=220时，
即该汽车行驶220 km所需油费165元．
01
练一练
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是
否是正比例函数，
要从化简后来判
断！
例1
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0.4＝0.8 ＝(比1.2值＝相0等.4 )
12 3
⑶竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。 竹竿高度与竿影长度的比值相等，所以
竹竿的高与竿影的长成正比例。
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
我会判断
判断两个相关Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
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下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变 化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了 什么。
边长 /cm
周长 /边cm长 /cm
面积 /cm2
1 2 34
8 12 16
4 1
2
34
4 9 16
1
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？
边长 /cm
1234
周/c周变长m长化随而着变4 边化8长。的12
1 6
4 ＝4 1
8 ＝4 2
12＝4 3
16＝4 4
周长与边长的
比值不变。
边长 /cm
1234
/面cm积面变2 积化随而1 着变4边化长。9的
1、观察下面图表，回答问题：
数量 1
2
3
4
5
6
7
（kg)
总价 22
44
66
88
11 132 154
(元）
( 数量)和( 总价 )是两种相关联的量，(总价 ) 随着( 数量 )的变化而变化的，(比值(也就是单价) ) 一定，
因此，数量和总价是( 成正比例 )的量
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
1 6
1＝1 4＝2
1
2
9＝3 16＝4
3
4
面积与边长 的比值不相等。
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一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与 时间如下。把下表填写完整，你从表中发现了什 么？
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8
路程 /km
90 180 270 360 450 540 630 720
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
1.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实 验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。
竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8
竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2
⑴说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 ⑵写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？
谢谢大家！
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成
不
我会举例
正 比
例
的
成 正 比 例 的
例
例
子
子
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3.判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。 ⑴ 每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。 ⑵ 一个人的身高和年龄。 ⑶ 宽不变，长方形的周长与长。
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正方形的面积和边 长不成正比例。
圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么 想的?与同桌交流。
圆的面积公式: S＝r2
圆的面积 3.14 12.56 28.26
半径
1
2
3
圆的面积随着半径的变化而变化。
3.14 ＝3.14 1
12.56 ＝ 6.28 2
1234
边长 /cm
1234
周/c周变长m长化随而着变4 边化8长。的12
1 6
/面cm积面变2 积化随而1 着变4边化长。9的
1 6
4 ＝4 1
8 ＝4 2
1＝1 4＝2
1
2
12＝4 16＝4
3
4
正方形的周长与边长
9＝3 16＝4
3
4
正方形的面积与边
的比值一定。
长的比值不相等。
正方形的周长和 边长成正比例。
90＝180＝ 270＝90
路程与时间的比值是一定的。
12 3
像这样，路程和时间两个量，时间变化， 所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间 的比值（也就是速度）一定，我们就说路程 和时间成正比例。
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正方形的周长与边长、面积与边长成正比例吗？
边长 /cm
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判断下列各题哪些成正比例，哪些不成正比例？
√
每袋牛奶质量一定，牛 奶袋数和总质量
√
长方形的长一定， 宽和面积
×
看一本书，已看的页
数和未看的页数
×
小明的年龄和身高
√
× 白糖单价一定，白糖数量
和总价
一袋米，已经吃了 的和剩下的米的重
量
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空白演示
在此输入您的封面副标题
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青蛙数 嘴巴数 眼睛数 腿数
1
1
2
4
2
2
4
8
3
3
6
12
…
…
…
…
n
n
2n 4n
1、想想，哪些量在发生变化?
2、嘴巴数、眼睛数、腿数是如何随青蛙数的变化而 变化的?
因为圆的面积与半径的比值不相等。
所以圆的面积与半径不成正比例。
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乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。
乐乐的年龄/岁 6 7 8 9 10 11 爸爸的年龄/岁 32 33 34 35 36 37
他们的年龄成正比例吗？为什么？ 因为乐乐的年龄与爸爸年龄的比值不相等， 所以，他们的年龄不成正比例。
12 3
⑶竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。 竹竿高度与竿影长度的比值相等，所以
竹竿的高与竿影的长成正比例。
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我会判断
判断两个相关Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
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下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变 化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了 什么。
边长 /cm
周长 /边cm长 /cm
面积 /cm2
1 2 34
8 12 16
4 1
2
34
4 9 16
1
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周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？
边长 /cm
1234
周/c周变长m长化随而着变4 边化8长。的12
1 6
4 ＝4 1
8 ＝4 2
12＝4 3
16＝4 4
周长与边长的
比值不变。
边长 /cm
1234
/面cm积面变2 积化随而1 着变4边化长。9的
1、观察下面图表，回答问题：
数量 1
2
3
4
5
6
7
（kg)
总价 22
44
66
88
11 132 154
(元）
( 数量)和( 总价 )是两种相关联的量，(总价 ) 随着( 数量 )的变化而变化的，(比值(也就是单价) ) 一定，
因此，数量和总价是( 成正比例 )的量
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1 6
1＝1 4＝2
1
2
9＝3 16＝4
3
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面积与边长 的比值不相等。
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一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与 时间如下。把下表填写完整，你从表中发现了什 么？
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8
路程 /km
90 180 270 360 450 540 630 720
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1.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实 验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。
竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8
竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2
⑴说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 ⑵写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？
谢谢大家！
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成
不
我会举例
正 比
例
的
成 正 比 例 的
例
例
子
子
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3.判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。 ⑴ 每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。 ⑵ 一个人的身高和年龄。 ⑶ 宽不变，长方形的周长与长。
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正方形的面积和边 长不成正比例。
圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么 想的?与同桌交流。
圆的面积公式: S＝r2
圆的面积 3.14 12.56 28.26
半径
1
2
3
圆的面积随着半径的变化而变化。
3.14 ＝3.14 1
12.56 ＝ 6.28 2
1234
边长 /cm
1234
周/c周变长m长化随而着变4 边化8长。的12
1 6
/面cm积面变2 积化随而1 着变4边化长。9的
1 6
4 ＝4 1
8 ＝4 2
1＝1 4＝2
1
2
12＝4 16＝4
3
4
正方形的周长与边长
9＝3 16＝4
3
4
正方形的面积与边
的比值一定。
长的比值不相等。
正方形的周长和 边长成正比例。
90＝180＝ 270＝90
路程与时间的比值是一定的。
12 3
像这样，路程和时间两个量，时间变化， 所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间 的比值（也就是速度）一定，我们就说路程 和时间成正比例。
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正方形的周长与边长、面积与边长成正比例吗？
边长 /cm
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判断下列各题哪些成正比例，哪些不成正比例？
√
每袋牛奶质量一定，牛 奶袋数和总质量
√
长方形的长一定， 宽和面积
×
看一本书，已看的页
数和未看的页数
×
小明的年龄和身高
√
× 白糖单价一定，白糖数量
和总价
一袋米，已经吃了 的和剩下的米的重
量
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青蛙数 嘴巴数 眼睛数 腿数
1
1
2
4
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…
…
…
…
n
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1、想想，哪些量在发生变化?
2、嘴巴数、眼睛数、腿数是如何随青蛙数的变化而 变化的?
因为圆的面积与半径的比值不相等。
所以圆的面积与半径不成正比例。
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乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。
乐乐的年龄/岁 6 7 8 9 10 11 爸爸的年龄/岁 32 33 34 35 36 37
他们的年龄成正比例吗？为什么？ 因为乐乐的年龄与爸爸年龄的比值不相等， 所以，他们的年龄不成正比例。