春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用——证明问题课时作业新人教B版必修5

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高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)

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3。

2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。

(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。

２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。

高中数学第3章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修

[再练一题] 1.设 a>0，b>0，试比较a＋2 b， ab，
a2＋2 b2，1a＋2 1b的大小，并说明理由. 【导学号：18082044】
【解】
∵a>0，b>0，∴1a＋1b≥
2， ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋24ab＋b2 ≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，
(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.
【自主解答】 (1)∵a，b，c 互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即 p>q.
(2)只有当 x>0 时，才能由均值不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b
2.均值不等式 ab≤a＋2 b (1)均值不等式成立的条件：_a_>_0_，__b_>_0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b__时取等号. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为__a_b_； (2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不__小__于__它们的几何平均数.
阶
阶
段
段
一
三
3.2 均值不等式
学
阶段二
业分层测
评
1.了解均值不等式的证明过程. 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点) 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)

《均值不等式及其应用》PPT教学课件等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)

＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2 ＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
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课时分层作业
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[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元．因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4

2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式(第1课时)均值不等式学案新人教B版

第1课时均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二均值不等式常见推论 1．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 2．常见推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ．( √ ) 2．n ∈N ＋时，n ＋2n≥22．( √ )3．x ≠0时，x ＋1x≥2．( × )4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b ．( √ )题型一常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ．引申探究 1．求证a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)．证明方法一a ＋b2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a ·b ]＝12·(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立．方法二由例1知，a 2＋b 2≥2ab ．∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ，即a ＋b ≥2ab ，a ＋b2≥ab ．2．证明不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．证明由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识． (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和均值不等式ab ≤a ＋b2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：21a ＋1b≤ab .证明 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴1a ＋b ≤12ab ，∴2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ．又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1b， ∴21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．题型二用均值不等式证明不等式例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋x y≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明 (1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，y x>0， ∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0，∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．题型三用均值不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )．若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2．依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思感悟均值不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是( )A ．R 0，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q ．② 综合①②，有P <Q <R ．演绎：从一般到特殊典例 (1)当x ＞0，a ＞0时，证明x ＋ax≥2a ；(2)当x ＞－1时，证明x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.证明 (1)∵x ＞0，a ＞0，∴a x＞0．由均值不等式可知，x ＋a x ≥2x ·ax＝2a ．当且仅当x ＝a 时，等号成立．(2)x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋2＋x ＋＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5． ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0． ∴(x ＋1)＋4x ＋1≥24＝4， ∴(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥9，即x 2＋7x ＋10x ＋1≥9．当且仅当x ＝1时，等号成立．[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．在本例中，“一般”指均值不等式a ＋b2≥ab ．当我们对a ，b 赋予特殊值．如令a ＝x ，b ＝a x ，就有x ＋ax≥2a ；① 再令①中的x ＝x ＋1，a ＝4，就有x ＋1＋4x ＋1≥24．均值不等式的应用关键就是给a ，b 赋予什么样的值．1．若0<a a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab ． ∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a ．故b >a ＋b2>ab >a ．2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．2xx 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2答案 C解析对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立；对于C ，x 2＋1≥2x ，∴2xx 2＋1≤1成立．故选C ． 3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A ．a ＋d2>bc B ．a ＋d2<bc C ．a ＋d 2＝bcD ．a ＋d2≤bc答案 A解析因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2＝b ＋c2>bc ．4．lg9×lg11与1的大小关系是( ) A ．lg9×lg11>1 B ．lg9×lg11＝1 C ．lg9×lg11<1 D ．不能确定答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0， ∴lg 9×lg 11<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 9＋lg 1122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg(9×11)22＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 9922<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 10022＝1，即lg 9×lg 11<1．5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a ．其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b>2abD ．b a ＋ab≥2答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( )A ．ab 2＜1a ＋1bB ．ab ≤a 2＋b 22C ．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 答案 A解析当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确．4．设f (x )＝ln x ,0<a pD ．p ＝r >q 答案 B解析因为0<a ab ．又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q ．而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立；(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立． 6．下列说法正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋4sin 2x min ＝4B ．若a <0，则a ＋4a≥－4C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a <0，b <0，则b a ＋a b≥2 答案 D解析对于A ，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0,1]．令t ＝sin 2x ，则y ＝t ＋4t，函数y 在(0,1]上单调递减，所以y ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x ≥5，当sin 2x ＝1时，等号成立．对于B ，若a <0，则－a >0，－4a>0．∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ≤－4，当且仅当a ＝4a，即a ＝－2时，等号成立．对于C ，若a ∈(0，1)，b ∈(0，1)，则lg a <0，lg b <0，不等式不成立．对于D ，a <0，b <0，则b a >0，a b>0， ∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ． 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b a ≥2．其中恒成立的不等式是________．答案 ①②解析由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确． 9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b ) (b －c )与a －c2的大小关系是____________________________．答案(a －b ) (b －c )≤a －c2解析因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b ) (b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________．(用“＞”连接) 答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n ．三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ．证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9．证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)．方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．13．设0<a <12 答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2．14．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。

高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式课件新人教B版必修5

解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4，当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立．答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立，则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn，且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小．【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b

2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版

A．m＝1
B．m＝±1
C．m＝－1
D．m＝0
【解析】m2＋1－2m＝(m－1)2≥0，当且仅当 m＝1 时，等号成立．
【答案】A
2．已知 x>0，则 y＝3x＋4x有( )
A．最大值 4 3
B．最小值 4 3
C．最大值 2 3
D．最小值 2 3
【解析】∵x>0，∴y＝3x＋4x≥2 3x·4x＝4 3，当且仅当 3x＝4x，即 x＝233时，等号成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9. 【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值．解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．

【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.2均值不等式20171206411

(3)若实数
a,b
满足1
��
+
2 ��
=
��,则 ab 的最小值为 2 2. (
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1��+21�� ≤
��
≤
��+�� 2
≤
��2+2 ��2成立.
()
答案:(1)× (2)× (3) (4)
3.2 均值不等式
-1-
1.1.1 正弦定理
首首页页
课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等号成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a+2b ≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及需注意的问题.
课前篇自主预习
课堂篇合作学习
-2-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
首页
课课前前篇篇自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(��+2��)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(��+2��)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差法即可证明.
探究三
探究四
探究五
首页思维辨析
课前篇自主预习
当堂检测
课堂篇合作学习

均值不等式教学课件ppt

均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨

高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修

式模型,再使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
1.将本例
3
中所证的不等式左边改为“��2
+
��2 ��
+
��2�� ”,其他均不变,
又将如何证明呢?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
证明:∵a,b,c,��2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
变式训练 1 已知 x<2,求函数 f(x)=x+��4-2的最大值. 解:∵x<2,∴2-x>0,
∴f(x)=x+��4-2=-
(2-��)
+
4 2-��
+2
≤-2
(2-��)
4 2-��
+2=-2,
一
二
三
二、均值定理
【问题思考】
1.填空:
(1)如果 a,b>0,那么��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立.这也叫基本不等式.
(2)对任意两个正实数 a,b,数��+2��叫做 a,b 的算术平均值,数 �� 叫做 a,b 的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术
,
��+�� 2
,
��, 1��+21��,b 的大小.

(新课标)高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式第3课时均值不等式的应用——最值问题课时作

不等式的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第3章不等式3.2 均值不等式第3课时均值不等式的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．已知正数x、y满足错误!＋错误!＝1，则xy有错误!（ C ）A．最小值错误!B．最大值16C．最小值16 D．最大值错误!［解析］∵x〉0，y>0，∴错误!＋错误!≥2错误!＝4错误!，又∵错误!＋错误!＝1，∴4错误!≤1,∴错误!≤错误!,∴xy≥16，故选C．2．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为错误!（ D )A．错误! cm2B．4 cm2C．3错误! cm2D．2错误! cm2[解析］设一段为a cm,另一段为b cm，则a＋b＝12,两个三角形的面积和为错误!(错误!）2＋错误!（错误!）2＝错误!［(错误!)2＋（错误!)2］≥错误!·错误!＝2错误!，当且仅当a＝b＝6时取等号，故选D．3．若x＞0，y＞0,且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是导学号 27542724（ B ）A．错误!≤错误!B．错误!＋错误!≥1C．错误!≥2D．错误!≥1[解析]取x＝1,y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．具体比较如下:∵0<x＋y≤4∴错误!≥错误!故A不对；∵4≥x＋y≥2xy，∴错误!≤2，∴C不对；又0＜xy≤4，∴错误!≥错误!∴D不对；1＋错误!＝错误!≥错误!＝错误!,x∵错误!≥错误!,∴错误!＋错误!≥1。

高二数学高效课堂资料课题：3.2均值不等式(第二课时)

高二数学高效课堂资料教案：课题：3.2均值不等式编写人：秦连升第二课时教学目标：熟练运用均值不等式求最值，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．教学重点难点：均值不等式求最值的方法技巧。

教学方法：启发诱导，合作探究，多媒体.教学过程一、导入新课(复习导入)1.均值不等式的内容是什么？2.怎样证明不等式若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab？二者有何区别？二、形成概念如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．深化概念均值不等式有广泛的应用，在应用时有口诀“和定积最大，积定和最小”，但在具体应用时要注意“不正、不定”怎样处理的问题，那就是要“化正、化定”的方法与技巧。

四、应用【例1】(1)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．【解析】：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，y max＝1.(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22，当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2时，y min＝a－b22.点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.【例2】当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.五、随堂练习1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．1【答案】1．B解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．2．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值．【答案】2.解：∵x＞0，∴x＋1x≥2·x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．∴当x＝1时，x＋1x的值最小，最小值是 2.六、课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．七、作业习题3—2A组2、3、7；习题3—2B组3、4.学案：课题：3.2均值不等式编写人：秦连升第二课时学习目标：熟练运用均值不等式求最值，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．使用说明：先仔细阅读教材必修五P69—P71，用红色笔进行勾画；再回答导学案中预习导学设计的问题.限时完成预习案，书写规范,找出自己的疑惑准备课上讨论质疑.一、预习指导问题1.均值不等式的内容是什么？问题2.怎样证明不等式若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab？二者有何区别？问题3.均值不等式有几个变形？能用于解决什么问题？二、典型例题【例1】(1)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．【解析】：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，y max＝1.(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22，当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2时，y min＝a－b22.点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.【例2】当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.三、随堂练习1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．12．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值．四、课后作业习题3—2A组2、3、7；习题3—2B组3、4.。

2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式(第2课时)均值不等式的应用学案

第2课时均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a >0，b >0当且仅当a ＝b 时，以上三个等号同时成立．知识点二用均值不等式求最值用均值不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是否是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．y ＝x ＋1x的最小值为2．( × )2．因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2．( × ) 3．由于sin 2x ＋4sin 2x≥2sin 2x ·4sin 2x ＝4，所以sin 2x ＋4sin 2x的最小值为4．( × ) 4．当x >0时，x 3＋2x ＝x 3＋1x ＋1x ≥2x 2＋1x ＝2x ＋1x≥22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x min ＝22．( × )题型一利用均值不等式求最值命题角度1 求一元解析式的最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (3)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时，取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2处取得最小值4．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2x －4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6． (3)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92．当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92．反思感悟在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练1 函数y ＝2x ＋2x(x ＜0)的最大值为________．答案－4解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－2x ＝－2x ，即x ＝－1时等号成立．命题角度2 求二元解析式的最值例2 (1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________； (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案 (1)18 (2)233解析 (1)∵xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，设xy ＝t (t ＞0)，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，∴t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y 且2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故xy 的最小值为18．(2)根据题意，1＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝34(x ＋y )2，所以43≥(x ＋y )2，所以x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时等号成立．反思感悟均值不等式连接了和“x ＋y ”与积“xy ”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化．跟踪训练2 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1，∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝1＋4＋y x＋4xy．∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，4xy＞0，∴y x＋4x y≥2y x ·4x y ＝4，∴5＋y x ＋4xy≥9．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4xy，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝9．题型二均值不等式在实际问题中的应用例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x＋10809≥29x ·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2．则⎝⎛⎭⎪⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎪⎫9x 2＋900x 2＋10809＝9(x 1－x 2)＋900⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2．∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少．反思感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 B解析由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N ＋，分别把n ＝2，3代入y ＝n ＋8n，易知n ＝3时，y 最小．故最适宜的教室应在3楼．一种常见的函数模型y ＝x ＋ax(a ＞0)典例某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n )，试写出f (n )的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？解 (1)由题意得，f (n )＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )＋0.9n ＝14.4＋0.2n n ＋2＋0.9n ＝0.1n 2＋n ＋14.4．(2)设该车的年平均费用为S 万元，则有S ＝1n f (n )＝1n (0.1n 2＋n ＋14.4)＝n 10＋14.4n＋1≥2 1.44＋1＝3.4，当且仅当n 10＝14.4n，即n ＝12时等号成立，此时S 取得最小值3.4．故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．[素养评析] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例(2)中所涉及的y ＝x ＋ax(a ＞0)就是一个应用广泛的函数模型．1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5 D ．x ＝－5答案 C解析 ∵x ＞2，∴x －2＞0． ∴9x －2＋(x －2)≥29x －2x －＝6，当且仅当x －2＝9x －2，即x －2＝3，x ＝5时取等号．故选C ． 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x ＞0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤－23，则y ＝3－3x －1x≤3－23，故选D ．3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1 答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34．∵x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1．4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案 B解析由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1．因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．设a ，b ，c ∈R ，ab ＝2，且c ≤a 2＋b 2恒成立，则c 的最大值是( ) A ．12B ．2C ．14D ．4 答案 D解析 ∵ab ＝2，∴a 2＋b 2≥2ab ＝4．又c ≤a 2＋b 2恒成立，∴c ≤4．故选D ．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、选择题1．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1答案 C解析 ∵y ＝x ＋4x中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1，又∵y ＝sin x ＋4sin x 在(0，1]上单调递减，∴最小值为5；由于e x ＞0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e－x＝4，当且仅当e x＝2时取等号，∴其最小值为4，∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22．2．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．14答案 A解析 ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1．∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．4．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18答案 C解析因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C ． 5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3B ．72C ．4D ．92答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．二、填空题6．(2018·天津)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立． 7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5) (x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4) (t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1．∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5) (x ＋2)x ＋1取得最小值9．8．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．答案 14解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14，即S 的最大值为14．9．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2 解析由a ，b ＞0，a ＋b2≤a 2＋b 22，所以a ＋b ≤2a 2＋b 2．所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时“＝”成立，所以所求最大值为32．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1600x≥24x ·1600x＝160，当且仅当4x ＝1600x，即x ＝20时取等号．三、解答题11．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}． (1)求实数a ，b 的值； (2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b1－x，求函数f (x )的最小值．解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4．(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x1－x＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立， ∴f (x )的最小值为9．12．已知x ＞0，y ＞0,2xy ＝x ＋4y ＋a .(1)当a ＝6时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值．解 (1)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝6时，2xy ＝x ＋4y ＋6≥4xy ＋6，即(xy )2－2xy －3≥0，∴(xy ＋1)(xy －3)≥0， ∴xy ≥3，∴xy ≥9，当且仅当x ＝4y ＝6时，等号成立，故xy 的最小值为9．(2)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝0时，可得2xy ＝x ＋4y ．两边都除以2xy ，得12y ＋2x＝1， ∴x ＋y ＋2x ＋12y ＝x ＋y ＋1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋2x ＋1＝72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2y x ≥72＋2x 2y ·2y x ＝112，当且仅当x 2y ＝2y x ，即x ＝3，y ＝32时，等号成立，故x ＋y ＋2x ＋12y 的最小值为112． 13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36 ＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n ＋20＝8 (当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．14．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C 解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立．15．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M ，0∈MB ．2∉M ，0∉MC ．2∈M ，0∉MD ．2∉M ，0∈M 答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1．当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝k 2＋2－2k 2＋3k 2＋1＝k 2＋2－k 2＋＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2k 2＋5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号)．∴2∈M ，0∈M ．。

高中数学第三章不等式3.2均值不等式课堂探究学案

教学资料范本高中数学第三章不等式3.2均值不等式课堂探究学案编辑：__________________时间：__________________3.2 均值不等式课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x <0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2．由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x <0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2．因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x－1≥2xx－1，所以函数f (x )的最小值是2xx－1．由于2x x－1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x >1时，有x －1>0，则函数f (x )＝x ＋1x－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x－1)＋1x－1＋1≥2(x－1)×1x－1＋1＝3．因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab＝a＋b 2．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x＋1x≥2x×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2．很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52．因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ＞0． (2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．(3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一利用均值不等式求最值【例1】 (1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x－2的最大值．分析：(1)利用“1”的代换，即将1x ＋1y 等价转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ×1或2x＋y x ＋2x＋y y 即可；(2)将x ＋4x－2等价转化为－⎝⎛⎭⎪⎫2－x＋42－x ＋2即可．解：(1)1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx ≥3＋22x y ·y x＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎨⎧yx＝22x＋y＝1⇒⎩⎨⎧x＝12＋2，y＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为3＋22． (2)∵x <2，∴2－x >0，∴f (x )＝x ＋4x－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2 ≤－2(2－x )⎝⎛⎭⎪⎫42－x ＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立． ∴x ＋4x－2取得最大值－2．反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型二利用均值不等式比较大小【例2】若a ≥b ≥0，试比较a ，a2＋b22，a＋b 2，ab ，21a ＋1b，b 的大小．分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．解：∵a ≥b ≥0，∴a2＋b22≤a2＋a22＝a ． ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22．又a>0，b>0，则a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝a＋b2．∵1a＋1b2≥1a·1b，∴ab≥21a＋1b．∵21a＋1b－b＝b(a－b)a＋b≥0，∴21a＋1b≥b．∴a≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b≥b．反思：均值不等式a＋b≥2ab(a，b∈R＋)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a，b∈R＋)，揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．证明：∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．又∵a，b，c都是正实数，∴a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0．∴(a＋b )(b＋c )(a＋c )8≥abc ．∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：→→解：∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ，又x ＞0，y ＞0，a ＞0，∴y x ＋ax y ≥2y x ·axy＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4，∴正实数a 的最小值为4．反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x ≥2＋2log5x·5log5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋25．错因分析：a ＋b ≥2ab的前提条件是a ，b ＞0，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0．∴5log5x＜0．∴不能直接使用均值不等式．正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0．∴(－log 5x )＋⎝⎛⎭⎪⎫－5log5x ≥2(－log5x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－5log5x ＝25． ∴log 5x ＋5log5x≤－25． ∴f (x )≤2－25．当且仅当log 5x ＝5log5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－25．【例6】求f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值为3．错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．正解：f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1．令t ＝x2＋3(t ≥3)，则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1．所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1．。

高中数学第三章不等式3.2均值不等式2课件新人教B版必修5

2019/9/14
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
2019/9/14
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编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
1
2
6
变式1、求函数 f (x)
相x应的
x4x值2 2。(x

0)的最大值以及
解：
x2
1
1
f (x)
x4
2

x2
2 x2

2
2
2 4
x 4 2, f (x)max
2 4
变式2、求函数 f (x) x2 x 4 (x 1)
的最大值以
x x1
及相应的值。
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x

2,
y

4,
xy

32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x, y值。

第3章-3.2-第2课时均值不等式的应用

2 1 ∴f(x)≤2＝1，当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时等号成立．
(1)应用均值不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中， “正数”条件往往易从题设中获得解决， “相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此， “定值” 条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
x y 当且仅当 4· y＝x，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值． 2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解． 3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.
教学教法分析课前自主导学课堂互动探究
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第 2 课时均值不等式的应用
●三维目标 1．知识与技能巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【解】
a 由题意知，12＝11＋，解得 a＝9. 11－2
9 所以函数 f(x)＝x＋ . x －2 9 9 又 f(x)＝x＋＝x－2＋＋2 x－2 x－2 ≥2 9 x－2× ＋2＝8(x＞2)． x－2

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2017春高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式第2课时均值不等式的应用——证明问题课时作业新人教B 版必修5基础巩固一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是导学号 27542692( C )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b[解析] ∵a 、c 均为正数，且a ≠c ，∴a 2＋c 2>2ac ，又∵a 2＋c 2＝2bc ，∴2bc >2ac ， ∵c >0，∴b >a ，排除A 、B 、D ，故选C ．2．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则导学号 27542693( D )A ．a 11＝b 11B ．a 11>b 11C ．a 110，b n >0，a 1＝b 1，a 21＝b 21， ∴a 11＝a 1＋a 212＝b 1＋b 212≥b 1b 21＝b 11，等号成立时，b 1＝b 21，即此时{a n }、{b n }均为常数列，故选D ．3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a 2－a2a ＋b＝0，∴v >a .4．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是导学号 27542695( A )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 2R 1＋R 2＝R 1－R 22R 1＋R 2>0，所以R A >R B ．5．已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为导学号 27542696( B ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18[解析] ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0，又lg a ＋lg b ＝6，∴lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品导学号 27542697( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立．二、填空题7．已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是6.导学号 27542698[解析] 2x ＋3y ≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6.8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是233.导学号 27542699[解析] ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1. 又∵xy ≤(x ＋y2)2，∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1，即34(x ＋y )2≤1.∴(x ＋y )2≤43. ∴－233≤x ＋y ≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).导学号 27542700[解析] ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a 、b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．10．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.导学号 27542701[解析] ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≤a 2＋b 2，∴(a ＋1)＋(b ＋1)≤a ＋2＋b ＋2，又∵a ＋b ＝1，∴3≤a ＋2＋b ＋2，∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.能力提升一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有导学号 27542702( C )A ．P ＝QB ．P ≥QC ．P ≤QD ．P >Q[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有导学号 27542703( D )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[解析] ∵x ≥52，∴x －2＞0，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝12×x 2－4x ＋5x －2＝12×x －2＋1x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋1x －≥1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立． 3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么导学号 27542704( D ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.∴x <2xy <x ＋y2<y .故选D ． 4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab >2ab a ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2； ④ab ＋2ab>2，其中恒成立的序号为导学号 27542705( D )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，∴2aba ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1_760元.导学号 27542706[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4xm ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320×2x ×4x＝1 760. 当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是3.导学号 27542707[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AB 方程为x 3＋y4＝1， ∵x 、y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3.三、解答题7．若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.导学号 27542708[解析] 证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy≥1＋2x ＋y 22＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1， ∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy ) ＝5＋2(y x ＋x y)≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .导学号 27542709[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .。