第07讲 函数的定义域与值域(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第7讲：函数的定义域与值域一、课程标准1、会求一些简单函数的定义域2、会求一些简单函数的值域.二、基础知识回顾 1、常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}.2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导；三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝ln （2x －x 2）x －1的定义域为( ) A . (0，1) B . (1，2)C . (0，1)∪(1，2)D . (－2，0)∪(1，2) 【答案】C .【解析】 为使函数有意义，必须且只须22010.x x x ⎧-⎨-⎩＞，≠解得0<x<1或1<x<2，故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2)．故选C .2、函数的y ＝－x 2－6x －5值域为( ) A . [0，＋∞) B . [0，2] C . [2，＋∞) D . (2，＋∞) 【答案】B【解析】 设μ＝－x 2－6x －5()μ≥0，则原函数可化为：y ＝μ. 又∵μ＝－x 2－6x －5＝－()x ＋32＋4≤4，∴0≤μ≤4，故μ∈[]0，2， ∴函数y ＝－x 2－6x －5的值域为[]0，2.故选B .3、函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1，2)，B (3，0)，函数g (x )＝x ·f (x )，那么函数g (x )的值域为( )A ．[0，2]B.⎣⎡⎦⎤0，94C.⎣⎡⎦⎤0，32D ．[0，4]【答案】B【解析】 由题图可知，直线OA 的方程是y ＝2x ；因为k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3， 所以g (x )＝x ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3. 当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2，此时函数g (x )的值域为[0，2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，函数g (x )取得最大值94；当x ＝3时，函数g (x )取得最小值0.此时函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94. 综上可知，函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94.故选B.4、下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y = B ．y lgx = C ．3y x = D ．tan y x =【答案】AC【解析】对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意；对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ-+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．5、(2019泰州期末）函数y ＝1－x 2的定义域是________． 【答案】. [－1，1]【解析】要使函数式有意义，则有1－x 2≥0，即x 2－1≤0，解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]． 6、(2019苏州三市、苏北四市二调）（D28,6. 函数y ＝4x －16的定义域为________． 【答案】 [2，＋∞)【解析】由4x －16≥0，得4x ≥16＝42，解得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)． 7．【2020江苏扬州中学月考】函数y =_______．【答案】(,2]-∞【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2xy =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞．8．【2020江苏南京学期初联考】函数y 的定义域为______． 【答案】1[,)2+∞【解析】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数y =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．四、例题选讲考点一、求函数的定义域例1、1．【2020江苏“丹靖沭”10月联考】函数2()log (31)f x x =-的定义域为____． 【答案】()13+∞，【解析】由310x ->，解得13x >，所以定义域为1(,)3+∞． 变式1、【2020江苏镇江上学期期中考试】函数()lg(3)2f x x x 的定义域是______________．【答案】[)2,3-【解析】由题意得3020x x ->⎧⎨+≥⎩ 解得：23x -≤<，故答案为：[)2,3-．变式2、【2020江苏高邮开学考试】函数()f x =______ 【答案】(1，3]【解析】要使函数()f x =()41log 10210x x ⎧--≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x <≤，即函数()f x =(]1,3，故答案为(]1,3． 变式3、．【2020江苏常州高三上学期期中考试】已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤． 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．变式4、已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0【答案】C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2， ∴0<x <2，∴函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0，2)．求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 考点二、函数定义域中的参数问题例2、若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎭⎫0，34C.⎣⎡⎦⎤0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34【答案】 D【解析】∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ， ∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34.变式1、函数的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ．【解析】函数的定义域为R ，∴关于x 的不等式2kx 2﹣kx0恒成立，k ＝0时，不等式为0恒成立；k ≠0时，应满足△＝k 2﹣4×2k 0，解得0＜k ＜3，综上，实数k 的取值范围是[0，3）． 故答案为：[0，3）． 变式2、设函数f （x ）．（1）当a ＝5时，求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的定义域为R ，试求a 的取值范围． 【解析】（1）当a ＝5时，f （x ），由|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣5≥0， 得或或，解得：x ≥4或x ≤﹣1，即函数f （x ）的定义域为{x |x ≤﹣1或x ≥4}． （2）由题可知|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣a ≥0恒成立， 即a ≤|x ﹣1|+|x ﹣2|恒成立，而|x ﹣1|+|x ﹣2|≥|（x ﹣1）+（2﹣x ）|＝1， 所以a ≤1，即a 的取值范围为（﹣∞，1]．方法总结：已知函数定义域反求参数范围的问题，是关于函数定义域的逆向问题，求解的基本思路是：逆向问题正向解，即仍然从求函数的定义域入手思考，先将问题转化成含参数的不等式，然后通过对这个含参数的不等式的研究得出参数的取值范围． 考点三、求函数的值域 例3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]； (2)y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，∴y max ＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(方法2)(反表示法)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y 2－y .∵x ∈[3，5]，∴3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y≤32，即所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(2)(基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，∴y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．∵t ＋2t ≥2t·2t ＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 变式1、(2019·深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【答案】(1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)2 【解析】 (1)图象法 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2. 作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52. (3)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 变式2、函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________________． 【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞) 【解析】当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4， 当且仅当x ＝2时取等号；当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．变式3、 (1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________； (2)函数y ＝x －4－x 2的值域为________． 【答案】(1)2 (2)[－22，2]【解析】 (1)设1－x ＝t (t ≥0)，所以x ＝1－t 2.所以y ＝f (x )＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1即x ＝0时，y max ＝f (x )max ＝2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2， 所以设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ－4－4cos 2θ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，因为θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22，所以y ∈[－22，2]．变式4、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________． 【答案】 (－2，0)【解析】 思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数y ＝f(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1； 当a >－12时，f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2. 综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)． 令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0.方法总结： 1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，得出值域；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求 五、优化提升与真题演练1、已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤13，53B.⎣⎡⎦⎤－1，53C ．[－3，1] D.⎣⎡⎦⎤13，1【答案】A【解析】 由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3， 即f (x )的定义域为[－1，3]． 由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎡⎦⎤13，53，故选A.2、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）函数f (x )＝lg (5－x 2)的定义域是________． 【答案】 [－2,2]【解析】思路分析 被开方数lg(5－x 2)非负．由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2－4≤0，解得－2≤x ≤2.3、(2017常州期末） 函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．【答案】. (－2,1]【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2＞0，解得－2＜x ≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．4、(2018苏北四市期末）函数y ＝log 12x 的定义域为________．【答案】(0，1]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 12x≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x≤1，所以0<x≤1，即该函数的定义域为(0，1]． 5、(2018南京、盐城一模）设函数y ＝e x＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，2]【解析】因为e x>0 ，所以y ＝e x＋1e x －a≥2e x·1e x －a ＝2－a ，当且仅当e x ＝1，即x ＝0时取等号．故所求函数的值域A ＝[2－a ，＋∞)．又A ⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.6、（2016苏州期末）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤0，－x 2＋1， x >0的值域为________． 【答案】 (－∞，1]【解析】思路分析 先画出图像看看．分段画出f (x )的图像即可看出函数的值域为(－∞，1]．7、[2018·江苏高考]函数f (x )＝log 2x －1的定义域为 ． 【答案】[2，＋∞)【解析】 (1)为使函数有意义，必须且只须自变量x 满足log 2x －1≥0， 解得x ≥2.故原函数的定义域为[2，＋∞)．8、 已知函数y ＝f(x ＋2)的定义域为[1，2]，求函数y ＝f(2x ＋1)的定义域．【答案】⎣⎡⎦⎤1，32.【解析】∵函数y ＝f(x ＋2)的定义域为[1，2]，∴1≤x≤2，得3≤x ＋2≤4，即函数y ＝f(x)的定义域为[3，4]． 为使函数y ＝f(2x ＋2)有意义，必须且只须自变量x 满足3≤2x ＋1≤4，解得1≤x≤32.∴函数y ＝f(2x ＋1)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，32.9．已知函数f(x)＝2-1(12)3,121a x a x x -+⎧⎨⎩＜，，≥的值域为R ，则实数a 的取值范围是【答案】0≤a <12. 【解析】 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝2-1(12)3,121a x a x x -+⎧⎨⎩＜，，≥的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则120-a 1a -⎧⎨⎩＞，12a+3≥解得0≤a <12. 10、(一题两空)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，则f (x )的值域为________；若函数g (x )是二次函数，且函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．【答案】(－1，＋∞) [0，＋∞)【解析】因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f (x )的值域为(－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数，所以g (x )的值域是[0，＋∞)．11、求函数y ＝x ＋2x ＋1的值域．【解析】 (方法1)令2x ＋1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2－12.∴y ＝t 2－12＋t ＝12(t 2＋2t －1)＝12(t ＋1)2－1，t ∈[0，＋∞)，由二次函数的图像知，当t ∈[0，＋∞)时，y ＝12(t ＋1)2－1是单调递增函数，故当t ＝0时，y min ＝－12.∴函数y ＝x ＋2x ＋1的值域为1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞(方法2)由2x ＋1≥0得x ≥－12，即函数y ＝x ＋2x ＋1的定义域为易得函数y ＝x ＋2x ＋1在上单调递增，∴y min ＝y |x ＝－12＝－12，不存在最大值．∴函数y ＝x ＋2x ＋1的值域为.12、 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．【解析】(1)∵f(x)的值域是[0，＋∞)，即f min (x)＝0， ∴4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴a ＝－1或32.(2)若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，∴－1≤a≤32，∴g(a)＝2－a|a －1|＝222,1 1.32,1.2a a a a a a ⎧-+-⎪⎨-++⎪⎩≤≤＜≤当－1≤a≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋74，∴g(a)∈⎣⎡⎦⎤74，4；当1<a≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋94，∴g(a)∈⎣⎡⎭⎫54，2.∴函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎡⎦⎤54，4.1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞1,2⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭∞。