2020中考数学几何探究归纳题精选20道

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【初中数学】中考数学20道“几何难题”

【初中数学】中考数学20道“几何难题”经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）1、如下图做GH⊥AB，连接EO。

2020届中考数学知识点《几何探究》强化练习卷含答案

几何探究1．（2019安徽）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB =∠BPC =135°．（1）求证：△PAB ∽△PBC ；（2）求证：PA =2PC ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 12=h 2·h 3．证明：（1）∵∠ACB =90°，AB =BC ， ∴∠ABC =45°=∠PBA +∠PBC ，又∠APB =135°， ∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ，又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ， ∴PA PB ABPB PC BC==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴2PB PA PB ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE APDP PC==，即322h h =， ∴h 3=2h 2， ∵△PAB ∽△PBC ，∴122h ABh BC==，∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即：h 12=h 2·h 3．2．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （-3，0），C （-3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交⊙E 于点D ，连接OD ．（1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ．①当tan∠ACF17时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；②求BGCF的最大值．解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°，∴∠BDA=90°，∵OA=OB，∴OD=OB=OA，∴∠OBD=∠ODB，∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，即∠EBO=∠EDO，∵CB⊥x轴，∴∠EBO=90°，∴∠EDO=90°，∵点D 在⊙E 上， ∴直线OD 为⊙E 的切线．（2）①如图2，当F 位于AB 上时，过F 作F 1N ⊥AC 于N ，∵F 1N ⊥AC ，∴∠ANF 1=∠ABC =90°， ∴△ANF ∽△ABC ， ∴11NF AF AN AB BC AC==， ∵AB =6，BC =8，∴AC 2268==+=10，即AB ∶BC ∶AC =6∶8∶10=3∶4∶5，∴设AN =3k ，则NF 1=4k ，AF 1=5k ， ∴CN =CA -AN =10-3k ，∴tan ∠ACF 1411037F N k CN k ===-，解得：k 1031=， ∴150531AF k ==，1504333131OF =-=，即F 1（4331，0）．如图3，当F 位于BA 的延长线上时，过F 2作F 2M ⊥CA 于M ，∵△AMF 2∽△ABC ，∴设AM =3k ，则MF 2=4k ，AF 2=5k ， ∴CM =CA +AM =10+3k ， ∴tan ∠ACF 2411037F M k CM k ===+，解得：25k =， ∴AF 2=5k =2，OF 2=3+2=5，即F 2（5，0），故答案为：F 1（4331，0），F 2（5，0）． ②方法1：如图4，∵CB 为直径，∴∠CGB =∠CBF =90°， ∴△CBG ∽△CFB ， ∴BG BC CGBF CF BC==， ∴BC 2=CG ·CF ，CF 2BC CG=，∵CG 2+BG 2=BC 2， ∴BG 2=BC 2-CG 2，∴222224222(64)64BG BC CG CG CG BC CF CG --⋅==，∴BG CF =令y =CG 2（64-CG 2）=-CG 4+64CG 2=-[（CG 2-32）2-322]=-（CG 2-32）2+322， ∴当CG 2=32时，232y =最大值，此时CG321()642BG CF ==最大值．方法2：设∠BCG =α，则sin αBG BC =，cos αBCCF=， ∴sin αcos αBGCF=， ∵（sin α-cos α）2≥0，即：sin 2α+cos 2α≥2sin αcos α， ∵sin 2α+cos 2α=1，∴sin αcos α12≤，即12BG CF ≤， ∴BG CF 的最大值12=． 3．（2019重庆A 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ，AF ⊥BC ，垂足为F ，BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，点P 是AD 上一点，连接CP ．（1）若DP =2AP =4，CP 17=CD =5，求△ACD 的面积．（2）若AE =BN ，AN =CE ，求证：AD 2=+2CE ．解：（1）作CG ⊥AD 于G ，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，∴17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即PG=1，∴GC=4，∵DP=2AP=4，∴AD=6，∴S△ACD12=⨯AD×CG12=⨯6×4=12．（2）证明：连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，在△NBF和△EAF中，NBF EAFBFN EFA AE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBF≌△EAF，∴BF=AF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，在△ANE和△ECM中，MEC EAF AN ECANE ECM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANE≌△ECM，∴CM=NE，又∵NF2=NE22=MC，∴AF=+EC，∴AD=+2EC．4．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE 关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，∴∠DFC=∠C=60°，∴∠DFC=∠A，∴DF∥AB．（2）存在，如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2∴DF=2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，∴MD，∴S△ABF的最小值12=⨯6×（32）36，∴S最大值12=⨯2×3（36）36．（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，∴DF =DC =2，∠EFD =∠C =60°， ∵GD ⊥EF ，∠EFD =60°， ∴FG =1，DG 3=3= ∵BD 2=BG 2+DG 2， ∴16=3+（BF +1）2， ∴BF =1， ∴BG =， ∵EH ⊥BC ，∠C =60°，∴CH 2EC =，EH 3=3=， ∵∠GBD =∠EBH ，∠BGD =∠BHE =90°， ∴△BGD ∽△BHE ，∴DG EH BG=，262ECEC =-， ∴EC =1， ∴AE =AC -EC =713-5．（2019宁夏）如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =4，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ ⊥BC ，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有△QBM ∽△ABC ；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB=90°，∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，∴△QBM∽△ABC．（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，∴四边形BMNQ为平行四边形．（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∵△QBM∽△ABC，∴QB QM BMAB AC BC==，即345x QM BM==，解得，QM43=x，BM53=x，∵MN∥BC，∴MN AMBC AB=，即53353xMN-=，解得，MN=5259-x，则四边形BMNQ的面积12=⨯（5259-x+x）43⨯x3227=-（x4532-）27532+，∴当x4532=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为7532．6．（2019江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°，故答案为：60°．（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB，故答案为：=．②证明：如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，∵EF=EA，∠FAE=60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA=FE，在△AFN和△EFM中，AFN EFMFNA FME FA FE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上．（3）如图，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠AGF=60°，∴∠FGE=∠AGE=30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AH=GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，∴BC=GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB=AN=NE，∴GE=3AB，∴BCAB3．7．（2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE．（2）①证明：∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由（1）可得△PDE≌△QCE，∴CQ=PD=x，∴BQ=BC+CQ=1+x，∵点E、F分别是PQ、PB的中点，∴EF是△PBQ的中位线，∴EF12=BQ12x+=，由①知AP=EF，即1-x12x+ =，解得x13 =，∴PD13=，AP23=，在Rt△PDE中，DE12 =，∴PE13 ==∴AP≠PE，∴四边形AFEP不是菱形．8．（2019陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）解：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8．（3）可以，如图所示，连接BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°3m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为32．9．（2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE 的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；S≤t的取值范围（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）∵点A （6，0）， ∴OA =6， ∵OD =2，∴AD =OA -OD =6-2=4， ∵四边形CODE 是矩形， ∴DE ∥OC ，∴∠AED =∠ABO =30°，在Rt △AED 中，AE =2AD =8，ED 222284AE AD --=3∵OD =2，∴点E 的坐标为（2，3（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ′3ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ， ∴∠E ′FM =∠ABO =30°，∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′2222'(2)3MF ME t t =-=-=，∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 3⨯23t =，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D ′=2×3=3∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′233t∴S =t 2t 的取值范围是：0<t <2；②当S =O 'A =OA -OO '=6-t ，∵∠AO 'F =90°，∠AFO '=∠ABO =30°，∴O 'F ='A 3=6-t ）， ∴S 12=（6-t ）3⨯（6-t ）3=解得：t =6，或t =62+∴t =6；当S 3O 'A =6-t ，D 'A =6-t -2=4-t ，∴O 'G =6-t ），D 'F 3=4-t ），∴S 12=6-t ）34-t ）]×3 解得：t 52=，S ≤3t 的取值范围为52≤t ≤62-．10．（2019北京）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧．例如，图1中DE 是△ABC 的一条中内弧．（1）如图2，在Rt △ABC 中，AB =AC =D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC 的中点．①若t12=，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC22=D，E分别是AB，AC的中点，∴BC22sinACB===4，DE12=BC12=⨯4=2，∴弧12DE=⨯2π=π．（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t 12=时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （12，1），设P （12，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m ≥1， ∵OA =OC ，∠AOC =90°，∴∠ACO =45°，∵DE ∥OC ，∴∠AED =∠ACO =45°，作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG =EF 12=，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求， ∴m 12≤，综上所述，m 12≤或m ≥1． ②如图4，设圆心P 在AC 上，∵P 在DE 中垂线上，∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM 32=， ∴P （t ，32）， ∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠AOB =90°，∴AE 2221(2)41t t ==+=+∵PD =PE ，∴∠AED =∠PDE ，∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP，∴AP=PD=PE12=AE，由三角形中内弧定义知，PD≤PM，∴12AE32≤，AE≤3241t+≤3，解得：t2≤∵t>0，∴0<t≤。

2020年中考数学三轮题型专练：几何探究题专项练习(含答案)

2020中考数学三轮题型专练：几何探究题专项练习（含答案）1. 如图①，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝α，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD . (1)求证：AC ＝AD ；(2)点G 为线段CD 延长线上一点，将GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E . ①如图②，若α＝β，AH ⊥BC 于点H ，求证：△DEG ∽△AHB ； ②如图③，若β＝2α，DG ＝kAD ，求S △DEGS △BCD的值．(用含k 的代数式表示) 第1题图(1)证明：如解图①，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵AD ∥BC ，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴AB ＝AD . ∵AB ＝AC ，∴AC ＝AD .第1题解图①(2)①证明：由题意可得：∠AHB ＝90°.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝α.∴∠BAC ＝180°－2α. 由(1)得AB ＝AC ＝AD .∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝90°－α，∴∠GDE ＝∠BDC ＝90°－α， ∵∠G ＝β＝α＝∠ABH ， ∴∠G ＋∠GDE ＝90°. ∴∠DEG ＝∠AHB ＝90°， ∴△DEG ∽△AHB ；②解：如解图②，过A 作AH ⊥BC 于点H ，作∠DGE 的平分线GF ，交DE 于F ，由①知∠GDE ＝90°－α， ∵∠DGE ＝β＝2α，∴∠DGF＝α，∴∠ABC＝∠DGF＝α，∠DFG＝180°－∠GDF－∠DGF＝90°，∴△DFG∽△AHB.又∵GF为∠DGE的平分线，∴GF为DE的中垂线，∵AB＝AD，GD＝kAD，∴S△DFGS△AHB＝GD2AB2＝GD2AD2＝k2，又∵S△ABC＝S△BCD，S△ABC＝2S△AHB，S△DEG＝2S△DFG，∴S△DEGS△BCD＝k2.第1题解图②2.已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F.(1)如图①，若AB＝23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长；(2)如图②，当点A、E、P不在一条直线上时，猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段)，并加以证明；(3)若AB＝23，设BP＝x，以QF为边的等边三角形的面积y，说明等边三角形的面积y随x的变化情况．第2题图解：(1)∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠ABE＝60°.∵∠ABC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB＝30°，∴BE＝EP＝AE＝23，∴点E为AP的中点，∴∠FEP＝90°，∴在Rt△FEP中，EF＝EP·tan30°＝2，∴EF＝2；(2)EF＝BF，理由如下：∵∠BAP＝∠BAE－∠EAP＝60°－∠EAP，∠EAQ＝∠QAP－∠EAP＝60°－∠EAP，∴∠BAP＝∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ，AP ＝AQ ， ∴△ABP ≌△AEQ (SAS)． ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°.∴∠BEF ＝180°－∠AEQ －∠AEB ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵∠EBF ＝90°－60°＝30°， ∴∠BEF ＝∠EBF ， ∴EF ＝BF ；(3)如解图，过点F 作FD ⊥BE 于点D . ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝2 3.由(2)得∠EBF ＝30°，在Rt △BDF 中，BD ＝ 3.∴BF ＝BDcos30°＝2.∴EF ＝BF ＝2. ∵△ABP ≌△AEQ ， ∴QE ＝BP ＝x .∴QF ＝QE ＋EF ＝x ＋2.∴以QF 为边的等边三角形的面积y ＝12(x ＋2)·32(x ＋2) ＝34(x ＋2)2 ＝34x 2＋3x ＋ 3. ∵BP ＝x ，x >0，∴y 随x 的增大而增大．第2题解图3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D .(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系； (2)如图②，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F ，连接CE ，BE ，若∠ABE ＝60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F .若AC ＋AB ＝3AE ，求∠BAC 的度数．第3题图解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过D 作DE ⊥AB 交AB 于点E ，如解图①所示， ∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DE ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL)， ∴AC ＝AE ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，即△BDE 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DE ＝EB ，则AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD ；第3题解图①(2)AB ＝AC ＋CE ；证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ，在△ACE 和△AHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AH ∠CAE ＝∠BAE AE ＝AE， ∴△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ，∴BE ＝HE ，又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE ；第3题解图②(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示，同理可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32， ∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.第3题解图③4. 4. 在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，延长AB 至点D ，使BD ＝BC ，E 是直线BC 上一点，F 是直线AC 上一点，连接DE 、EF ，且∠DEF ＝∠DBC . (1)如图①，若∠D ＝∠EFC ＝15°，AB ＝3，求AC 的长；(2)如图②，当∠BAC ＝45°，点E 在线段BC 的延长线上，点F 在线段AC 的延长线上时，求证：EF ＝DE ；(3)如图③，当∠BAC ＝90°，点E 在线段CB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上时，求CF BE的值．第4题图(1)解：在△BDE 中，∠D ＋∠DBE ＋∠BED ＝180°，∵∠BED ＋∠DEF ＋∠FEC ＝180°，∠DEF ＝∠DBC ，∠D ＝∠F ＝15°， ∴∠D ＝∠FEC ＝∠F ＝15°， ∴∠ACB ＝∠F ＋∠CEF ＝30°，∴∠ABC ＝2∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB ＝3，∠ACB ＝30°，∴AC ＝BC 2－AB 2＝（23）2－（3）2＝3；(2)证明：如解图①，连接CD ，作EM ⊥EB 交AF 于点M ，记AF 交DE 于点O . ∵∠BAC ＝45°，∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ＝∠EMC ＝45°， ∴EM ＝EC ， ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝45°， ∴∠DCE ＝∠EMF ＝135°，∵∠DEF ＝∠DBC ＝90°，∠FCD ＝∠DCA ＝90°， ∴∠OEF ＝∠OCD ， ∵∠EOF ＝∠COD ，∴∠OFE ＝∠ODC ，即∠EFM ＝∠EDC ，在△EMF 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠EDC ∠EMF ＝∠DCE ，EM ＝EC∴△EMF ≌△ECD (AAS)， ∴EF ＝DE ；第4题解图①(3)解：如解图②中，连接CD 、DF ，作NE ⊥CE 交AD 的延长线于点N ，在线段CE 上取一点M ，使得FM ＝FE .∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°， ∵DB ＝BC ，∴∠DBC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD ＝30°，∴∠DBC ＝∠DEF ＝120°，∠DCA ＝∠DCB ＋∠ACB ＝60°， ∴∠DEF ＋∠DCF ＝180°， ∴E 、F 、C 、D 四点共圆， ∵∠DCE ＝∠ECF ，∴DE ︵＝EF ︵，∴DE ＝EF ＝FM ，∵∠NEB ＝90°，∠NBE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠N ＝∠ACM ＝30°，∵∠DBC ＝∠BDE ＋∠DEB ＝120°，∠DEF ＝∠DEB ＋∠FEM ＝∠DEB ＋∠FME ＝120°，∴∠NDE ＝∠FMC ，在△EDN 和△FMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠FCM ∠NDE ＝∠FMC DE ＝FM， ∴△EDN ≌△FMC (AAS)， ∴NE ＝CF ，在Rt △NEB 中， ∵∠NEB ＝90°，∠N ＝30°， ∴NE ＝3BE ， ∴CF ＝3BE . ∴CF BE＝ 3.第4题解图②5. 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在直线CD 上(不与点C 、D 重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于H ，连接AH ，PH .(1)如图①，若点P 在线段CD 上，求证：AH ＝PH ； (2)如图②，若点P 在线段CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；(3)若点P 在线段DC 的延长线上，且∠AHQ ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，求线段DP 的长．第5题图(1)证明：如解图①，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°，又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC，∴△HDP ≌△HQC (SAS)，∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图①(2)解：(1)中的结论仍然成立；证明：如解图②，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°，又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDC ＝∠HQD ＝45°， ∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC ，PD ＝CQ∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图②(3)解：如解图③，由(1)知，AH ＝PH ，∵∠AHD ＝∠CHD ，第5题解图③∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°.∴∠HPA＝45°，∵∠AHQ＝120°，∴∠AHD＝∠CHD＝30°，∴∠QHP＝∠CHD＝∠CHP＝30°，∵∠HCP＝∠HDC＋∠CHD＝45°＋30°＝75°，∴∠CPH＝180°－∠HCP－∠CHP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠APD＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，∴DP＝2 3.6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.(1)图中相似三角形共有________对；(2)证明：AM2＝MN·MP；(3)若AD＝6，DC∶CP＝2∶1.求BN的长．第6题图(1)解：6.【解法提示】有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD∽△CDB，∴共6对相似三角形．(2)证明：∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，∴△ADM∽△NBM，∴AMMN＝DMBM；∵AB∥DC，∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，∴△PDM∽△ABM，∴PM AM ＝DM BM ， ∴AM MN ＝PM AM，∴AM 2＝MN ·MP ； (3)解：∵AD ∥BC ，∴∠PCN ＝∠PDA ，又∵∠P ＝∠P ， ∴△PCN ∽△PDA ， ∴PC PD ＝NC AD， ∵DC ∶CP ＝2∶1，∴PC PD ＝NC AD ＝13. 又∵AD ＝6， ∴NC ＝2，∴BN ＝BC －CN ＝6－2＝4.7. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，过AC 上一点D 作DE ∥AB ，交BF 的延长线于点E ，AG ⊥BE ，垂足为点G ，连接BD 、AE . (1)求证：△ABC ∽△BGA;(2)若AF ＝5，AB ＝8，求FG 的长；(3)当AB ＝BC ，∠DBC ＝30°时，求DE BD的值．第7题图(1)证明：∵∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点， ∴BF ＝12AC ＝AF,∴∠FAB ＝∠FBA,∵AG ⊥BE, ∴∠AGB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠AGB ， ∴△ABC ∽△BGA ； (2)解：∵AF ＝5,∴AC ＝2AF ＝10，BF ＝5， ∵△ABC ∽△BGA ， ∴AB AC ＝BG AB，∴BG ＝AB 2AC ＝8210＝325，∴FG ＝BG －BF ＝325－5＝75； (3)解：如解图，延长ED 交BC 于点H ，则DH ⊥BC,∴∠DHC ＝90°，∵AB ＝BC ，F 为AC 的中点，∴∠C ＝45°，∠CBF ＝45°，∴△DHC 、△BEH 是等腰直角三角形，∴DH ＝HC ，EH ＝BH ，设DH ＝HC ＝a ，∵∠DBC ＝30°，∴BD ＝2a ，BH ＝3a ，∴EH ＝3a ，∴DE ＝(3－1)a,∴DEBD ＝3－12. 第7题解图8. 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”.(1)如图①，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝40°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直角顶点C 在直线DE 上，分别过点A ，B 作AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E . 求证：△ADC ∽△CEB .(3)如图③，AD ∥BC ，DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD 交DP 于点P ，过点P 作AB ⊥AD 于点A ，交BC 于点B . 求证：点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．第8题图(1)解：点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点.理由如下：∵∠DEC ＝40°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝140°，∵∠A ＝∠B ＝40°，∴∠ADE ＋∠AED ＝140°，∴∠ADE ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC ，∴E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点；(2)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(3)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°，∵DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD ，∴∠CDP ＋∠DCP ＝12(∠ADC ＋∠BCD )＝90°， ∵DA ⊥AB ，∴CB ⊥AB ，∴∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°，∵∠ADP ＝∠CDP ，∴△ADP ∽△PDC ，同理△BPC ∽△PDC ， ∴△ADP ∽△PDC ∽△BPC ，即点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．9. 在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，点D 、E 分别在AB 、AC 上． (1)如图①，若AD ＝c ，△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长；(2)如图②，若DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转α，得到△AMN ，连接BM 、CN ，求证：△ABM ∽△ACN ；(3)在(2)的图形中，若△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝2，DE 是△ABC 的中位线，如图③，请直接写出BMCN的值．第9题图(1)解：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴分两种情况：①若∠ADE ＝∠ABC ，则△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴ AE ＝AC ·AD AB ＝bc a； ②若∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝AE AB ，∴AE ＝AB ·AD AC ＝ac b； (2)证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ， ∵△AMN 是由△ADE 旋转得到的，∴AM ＝AD ，AN ＝AE ，∴AM AB ＝AN AC ，∵∠BAM ＝∠CAN ＝α，∴△ABM ∽△ACN ；(3)解：BM CN ＝233. 【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，∴BC ＝1，AC ＝3，由(2)知△ABM ∽△ACN ，∴BM CN ＝ABAC ＝23＝233.10. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”．(1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ；(2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ；(3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由．第10题图(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴△PBM 和△PCN 是等边三角形，∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC .在△PMC 和△PBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)；(2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ，∴∠BPM ＝∠CPN ，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ，∴∠BPN ＝∠MPC ，在△PMC 和△PBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)，∴BN ＝CM ；(3)解：是．证明：如题图④，由(2)易知∠ACB ＝∠PNC ＝∠ABC ＝∠PBM ＝∠PMB ， ∴∠MPB ＝∠NPC ，在△PMC 和△PBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝ ∠BPN ， PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)，∴BN ＝CM .。

2020中考数学重难点题型——12道几何探究题解析 (扫描版)

一、方程类
易错1：方程思想概念不清晰！
易错2：一元一次方程和一元二次方程
的概念以及解的情况
易错3：易忽略一元二次方程方程根的存在性
二、函数类
易错4：分析一次函数和二次函数的定义以及与X轴的交点情况
易错5：利用数学结合思想
分析抛物线最值和开口方向问题
易错6：利用数学结合思想
分析抛物线与坐标轴的交点情况
易错7：双曲线形成的简单三角形的面积与反比例系数之间的关系问题
易错8：数形结合，抛物线与坐标轴交点
韦达定理的运用
三、圆类
易错9：优弧和劣弧分类讨论
易错10：求两平行弦之间的距离分类讨论。

2020年九年级中考数学压轴专题几何探究题(含答案)

2020中考数学压轴专题几何探究题（含答案）1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．第1题图(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由．(3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积．解：(1)矩形；(答案不唯一)(2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ，∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ，∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ，∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC，△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD .第1题解图①(3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′，∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ，则D ′F AC ＝ED ′AE，设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ，在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2，整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝92，∴AE ＝172，∴D ′F 4＝92112，∴D ′F ＝3617，S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝17417；第1题解图②②当∠D ′BC ＝90°时，如解图③所示，过点D ′作D ′E ⊥AC ，交AC 于点E ， ∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得AE ＝AD′2－ED′2＝42－32＝7，∵S 四边形AD ′BC ＝S △AED ′＋S 矩形ECBD ′＝12AE ·ED ′＋EC ·BC ＝372＋12－37＝12－372.综上所述，当凸四边形AD 为等邻角四边形时，它的面积为17417或12－372.第1题解图③2. (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b .填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含有a ，b 的式子表示)； (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图②所示，分别以AB ，AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第2题图(1)解：CB的延长线上，a＋b；【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.(2)解：①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB 的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.(3)解：AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是(2－2，2)．【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，P A＝PN，∴∠APN＝90°，由(1)得出当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如解图②)，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是(2－2，2)．第2题解图3.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm.点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形；(2)解：存在．理由如下：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴AD＝BE，又∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△BDE＝BD＋BE＋DE＝BD＋AD＋CD＝AB＋CD，∵AB＝4为定值，∴当CD最小，即CD⊥AB时，△BDE的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CD最小，即CD⊥AB时，易得CD＝23，∴△BDE的最小周长为23＋4；(3)解：存在．理由如下：如解图，过点C作CF⊥OM于点F，则CF＝23，∴BD＝||t－6，t－10，BE＝AD＝||DE＝CD＝CF2＋DF2＝12＋（t－8）2，①当∠DEB＝90°时，BD2＝BE2＋DE2，即(t－10)2＝(t－6)2＋12＋(t－8)2，第3题解图解得t1＝2，t2＝6(不合题意，舍去)；②当∠EBD＝90°时，DE2＝BD2＋BE2，即12＋(t－8)2＝(t－10)2＋(t－6)2，解得t3＝6，t4＝10(两者均不合题意，舍去)；③当∠BDE＝90°时，BE2＝BD2＋DE2，即(t－6)2＝(t－10)2＋12＋(t－8)2，解得t5＝14，t6＝10(舍去)．综上所述，存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形，此时t＝2或14.4.如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图①)，△ABD不动．(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图②)，证明：MB＝MC；(2)若将图①中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图③)，判断并直接写出MB、MC的数量关系；(3)在(2)中，若∠CAE的大小改变(图④)，其他条件不变，则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．第4题图（1）证明：如解图①，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，第4题解图①∴ AD ＝AE ， AB ＝AC ， ∠BAD ＝∠CAE ，又∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE (三线合一)， ∴∠MAD －∠BAD ＝∠MAE －∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAM ＝∠CAM AM ＝AM， ∴△ABM ≌△ACM (SAS )， ∴MB ＝MC ；第4题解图②(2)解：MB ＝MC ；【解法提示】如解图②，延长DB 、AE 相交于点E ′，延长EC 交AD 于点F ， ∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，又∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点， ∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ， ∴∠BCM ＝∠BAD ，又∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠MBC ＝∠BCM ， ∴MB ＝MC .(3)解：MB ＝MC 还成立．理由如下：如解图③，延长BM 交CE 于点F ，第4题解图③∵CE ∥BD ， ∴∠MDB ＝∠MEF ， ∠MBD ＝∠MFE ，又∵M 是DE 的中点， ∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MBD ＝∠MFE ∠MDB ＝∠MEF MD ＝ME， ∴△MDB ≌△MEF (AAS)， ∴MB ＝MF ＝12BF ，又∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°， ∴MC ＝12BF ，∴MB＝MC.5.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点(与点A，C不重合)，连接BE.(1)将射线BE绕点B顺时针方向旋转45°，交直线AC于点F.①依题意补全图①；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的数量关系，只需证AE，AM，EM的数量关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；(一种方法即可)(2)如图②，若将直线．．AC于点F.小研完成作图后，发现直线AC上存在三．．BE绕点B顺时针旋转135°，交直线条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．第5题图解：(1)①补全图形，如解图①；图① 图②第5题解图②AE 2＋FC 2＝EF 2；证明：如解图②，过B 作MB ⊥BF 于点B ，使BM ＝BF ，连接AM 、EM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∠1＝∠2＝45°，AB ＝BC ，∵∠3＝45°，∴∠MBE ＝∠3＝45°，在△MBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠MBE ＝∠3BE ＝BE，∴△MBE ≌△FBE (SAS )，∴EM ＝EF ，∵∠4＝90°－∠ABF ，∠5＝90°－∠ABF ，∴∠4＝∠5，在△AMB 和△CFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠4＝∠5AB ＝CB，∴△AMB ≌△CFB (SAS)，∴AM ＝FC ，∠6＝∠2＝45°，∴∠MAE ＝∠6＋∠1＝90°，在Rt △MAE 中，AE 2＋AM 2＝EM 2，∴AE 2＋FC 2＝EF 2；(2)AF 2＋EC 2＝EF 2.【解法提示】如解图③，过B 作MB ⊥BE ，使BM ＝BE ，连接ME 、MF 、AM ，∵直线BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线AC 于点F ，∴∠FBE ＝45°，∴∠MBF ＝90°－45°＝45°，∴∠FBE ＝∠MBF ，在△MBF 和△EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBF ＝∠FBE ，BF ＝BF∴△MBF ≌△EBF (SAS)，∴MF ＝EF ，∵∠MBA ＝90°－∠ABE ，∠EBC ＝90°－∠ABE ，∴∠MBA ＝∠EBC ，在△AMB 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBA ＝∠EBC AB ＝CB，∴△AMB ≌△CEB (SAS )，∴AM ＝EC ，∠BAM ＝∠BCE ＝45°，∴∠MAE ＝∠BAM ＋∠BAC ＝90°，∴∠MAF ＝90°，在Rt △MAF 中，AF 2＋AM 2＝MF 2，∴AF 2＋EC 2＝EF 2.第5题解图③6.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F.(1)依题意补全图形；(2)小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE＝DF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE＝DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE＝DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE＝DF；…请你参考上面的想法，帮助小华证明DE＝DF(选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．解：(1)补全图形，如解图①；第6题解图(2)想法1：证明：如解图②，过点D作DG∥AB，交AC于点G，∵点D是BC边的中点，∴DG＝12AB，∴△CDG是等边三角形，∴∠EDB＋∠EDG＝120°，∵∠FDG＋∠EDG＝120°，∴∠EDB＝∠FDG，∵BD＝DG，∠B＝∠FGD＝60°，∴△BDE≌△GDF，∴DE＝DF；想法2：证明：如解图③，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，∵点D是BC边的中点，AB＝AC，∴直线AD是△ABC的对称轴，∴△ADE≌△ADP，∴DE＝DP，∠AED＝∠APD，∵∠BAC＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°，∵∠APD＋∠DPF＝180°，∴∠AFD＝∠DPF，∴DP＝DF，∴DE＝DF；第6题解图想法3：证明：如解图④，连接AD，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN，∵∠A＝60°，∴∠MDE＋∠EDN＝120°，∵∠FDN＋∠EDN＝120°，∴∠MDE ＝∠FDN ，∴Rt △MDE ≌Rt △NDF ，∴DE ＝DF ；(3)当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 【解法提示】①当点F 在AC 边上时，如解图⑤，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ， ∵∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋NC －FN ＝2BM ＝BD ＝12AB ；图⑤ 图⑥第6题解图②当点F 在AC 的延长线上时，如解图⑥，过D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，∵∠B ＝∠DCN ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE －CF ＝BM ＋EM －(FN －CN )＝2BM ＝BD ＝12AB ，综上所述，当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 7. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为ABAC ＝AO 2－BO 2.第7题图(1)在图①中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则ABAC＝________，OCOA＝________；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB AC、BA BC的值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13A A O，已知ABAC＝14，BN BA＝10，求△ABC的面积．解：(1)0 ，7；【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝AB2＋AC2＝10，在Rt△ABC中，AO是BC边上的中线，∴AO＝BO＝5，∴AB AC＝AO2－BO2＝0，如解图①，取AC的中点D ，连接OD ，则OD ∥AB ，OD ＝12AB ＝4，CD ＝12AC ＝3，∴OC OA ＝OD 2－CD 2＝16－9＝7.第7题解图(2)如解图②，作底边BC 上的中线AE ，由题意可知AE 是∠BAC 的平分线、BC 边上的高． ∵AB ＝ΑC ＝4，∠BAC ＝120°，∴在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12×4＝2，BE ＝32×4＝23， ∴AB AC ＝AE 2－BE 2＝22－(23)2＝－8.过点B作AC边上中线BM，过点M作MN⊥BC于点N，∴AM＝CM＝1×4＝2.2在Rt△MNC中，∠MNC＝90°，∠C＝30°，×2＝1，CN＝22－12＝ 3.∴MN＝12∵BC＝2BE＝43，∴BN＝BC－CN＝43－3＝33，BM2＝12＋(33)2＝28.∴BA BC＝BM2－AM2＝28－22＝24；(3)如解图③，过点B作△ABN的AN边上中线BM，∵在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13AO，第7题解图③∴AM＝MN＝NO，AO⊥BC，即AO＝3NO.∵AB A AC ＝14，BNBA ＝10，∴ AO 2－BO 2＝14，即(3ON )2－BO 2＝9ON 2－BO 2＝14，①∵BM 2－MN 2＝OM 2＋BO 2－MN 2＝(2ON )2＋BO 2－ON 2＝3ON 2＋BO 2＝10，②由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧9ON 2－BO 2＝143ON 2＋BO 2＝10， ∴ON 2＝2，即ON ＝2，BO ＝2，∴BC ＝4，AO ＝32，∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×4×32＝6 2. 8. 问题发现：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG .(1)△ABC和△DCF面积的关系是________；(请在横线上填写“相等”或“不相等”)(2)拓展探究：若∠C≠90°，(1)中的结论还成立吗？若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；(3)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CD JI、正方形DA LK；运用(2)中的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．第8题图解：(1)相等；【解法提示】∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°＝∠ACB.∴12AC·BC＝12DC·CF，∴S△ABC＝S△DFC.(2)成立．理由如下：如解图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P，过点D作DQ⊥FC于点Q，∴∠APC＝∠DQC＝90°.∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠PCD＝90°，∠DCQ＋∠PCD＝90°，∴∠ACP＝∠DCQ.第8题解图在△APC 和△DQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠DQC ∠ACP ＝∠DCQ AC ＝DC，∴△APC ≌△DQC (AAS)，∴AP ＝DQ .又∵S △ABC ＝12BC ·AP ，S △DFC ＝12FC ·DQ ， ∴S △ABC ＝S △DFC ；(3)图中阴影部分的面积和有最大值．理由如下：由(2)中的结论可知：S △K D J ＝S △ADC ，S △FBG ＝S △ABC ，S △AE L ＝S △ABD ，S △CH I ＝S △BDC ，∴S 阴影＝S △K DJ ＋S △FBG ＋S △AEL ＋S △CHI ＝S △ADC ＋S △ABC ＋S △ABD ＋S △BDC ＝2S 四边形ABCD .设AC ＝m ，则BD ＝10－m ，∵AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12m ·(10－m )＝－12m 2＋5m ＝－12(m －5)2＋252. ∵－12<0，∴S四边形ABCD有最大值，最大值为252.＝25，∴S阴影＝2×252∴阴影部分的面积和有最大值，最大值为25.9.问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F 三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．第9题图解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第9题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CF A，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；(3)如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第9题解图②由△DEF 是正三角形得到∠ADG ＝60°，(或者∠ADG ＝∠1＋∠ABD ＝∠2＋∠ABD ＝60°.)∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b . ∴在Rt △ABG 中，c 2＝(a ＋12b )2＋(32b )2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.10. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值； (2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′：①求证：CD ＝B ′D ；②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第10题图(1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ，∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16；∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ，∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ，即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ；∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°，∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52， ∴ BD ＝BC －CD ＝32； (3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32， ∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第10题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大，∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4，即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.。

2020中考数学几何探究专项训练(倒数第二大题)

1.如图，△ABC 与△CDE 是等边三角形，连接AD ，取AD 的中点P ，连接BP 并延长至点M ，使PM=BP ，连接AM ，EM ，AE ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转.（1）如图1，当点D 在BC 上，点E 在AC 上时，则△AEM 的形状为；（2）将△CDE 绕点C 顺时针旋转至图2的位置，请判断△AEM 的形状，并说明理由；（3）若CD=21BC ，将△CDE 由图1位置绕点C 顺时针旋转α（0°≤α＜360°），当ME=3CD 时，请直接写出α的值.图1 图2 备用图2.在△ABC 和△ADE 中，BA=BC ，DA=DE ，且∠ABC=∠ADE=α，点E 在△ABC 的内部，连接EC ，EB 和BD ，并且∠ACE+∠ABE=90°.（1）如图1，当α=60°时，线段BD 与CE 的数量关系为，线段EA ，EB ，EC 的数量关系为；（2）如图2当α=90°时，请写出线段EA ，EB ，EC 的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点E 在线段CD 上时，若BC=52，请直接写出△BDE 的面积.3.如图，△ABC 中，AB=BC，BD ⊥AC 于点D，∠FAC=∠ABC ，且∠FAC 在AC 下方．点P，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE，，1）若∠ABC=60°，BP=AQ，①如图1，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系；②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；，2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．4.已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．5.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．6.问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．7.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F，，1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为，，2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°，α，45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由：，3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=，8.在△ABC 中，∠ABC=90°，，1）如图1，分别过A，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M，N ，求证：△ABM ∽△BCN，，2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C，tan ∠PAC=，求tanC 的值；，3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin ∠BAC=，，直接写出tan ∠CEB 的值．9.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM ＝∠ACB ，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE ＝BD ，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，直接写出∠ADE 的度数；（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB ＝6，求CF 的最大值．10.问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为BE=CE．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论BE=DE．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C 点的坐标．11.. ，1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________，，2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB，AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．，3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：．（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：．（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB=2，CD=BC，请求出DG的长（写出求解过程）．。

2020年九年级中考数学几何压轴之几何探究题(含答案)

∴ △ABD≌△ CAF(AAS)；归纳证明 :∵∠ 1=∠ 2=∠ BAC,∠1=∠BAE＋ ∠ ABE, ∠ BAC=∠ BAE＋∠ CAF,∠2=∠FCA＋∠ CAF, ∴ ∠ABE=∠ CAF,∠BAE=∠FCA, 在 △ABE 和△CAF 中,
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2. 特例探究 :如图 ①,已知在△ABC 中,AB=BC,
∠ ABC=90°,D 为 AC 边的中点 ,连接 BD,判断△ABD 是什么三角形,并说明理由;
归纳证明 :如图 ②,已知在△ABC 中,AB=BC,∠ ABC=90°,把 Rt△DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的
中点上,DE 交 AB 于 M,DF 交 BC 于 N,连接 BD．证明:DM=DN；
拓展应用 :在图 ②中,AC=4,其他条件都不发生变化 ,请直接写出 Rt△DEF 与△ABC 的重叠部分
的面积．
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第 2 题图
特例探究 :解:△ABD 是等腰直角三角形．
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2020 中考数学几何压轴之几何探究题（含答案）
1. 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1,固定△ABC 不动,将△DEF 进行如下操作:
(1)操作发现如图①,△DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动),连接 DC、CF、FB,四边形 CDBF 的形状在不断变化,但它的面积不变化,请求出其面积； (2)猜想论证如图②,当 D 点移到 AB 的中点时,请你猜想四边形 CDBF 的形状,并说明理由； (3)拓展研究如图③,将△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点,然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF,使 DF 落在 AB 的边上,此时 F 点恰好与 B 点重合,连接 AE,求 sinα 的值.

2020中考数学几何综合探究专题练习（含答案）

2020中考数学几何综合探究专题练习例题1.如图，在等腰梯形仙CD中，AD//BC,AB=DC=5O,AD=75,BC=135,点F从点3出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动，点。

从点。

出发沿线段CB方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK±BC,交折线段CD-ZM-AB于点E,点P、。

同时开始运动，当点F与点C重合时停止运动，点。

也随之停止，设点P、。

运动的时间是，秒(r>0)(1)当点P到达终点C时，求I的值，并指出此时3Q的长；(2)当点P运动到AD上时，I为何值能使PQ。

？(3)设射线好扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD,D4上时，S与t的函数关系式；(不必写出f的取值范围)【答案】⑴7=5。

+；+50=35（$）时，点p到达终点。

,此时，QC=35x3=105,所以3Q的长为135—105=30.⑵如图1,PQ//DC,又曷〃8C,则四边形FQC£＞为平行四边形，从而PD=QC,由QC=3t,BA+AP=5ti?5得50+75-5r=3r,解得t=—,8125经检验：当r时，有PQ//DC.⑶①当点E在CD上运动时，如图2,分别过点A、。

作AFXBC于点F,DHLBC于点H,则四边形为矩形，且AABF^ADCH,从而FH=AD=Y5,于是BF=CH=30,..Z)H=*=40.又QC=3t,从而QE=QC tanC=3t—=4t(注：用相似三角形求解亦可)CH19■■S=S AQCE=-QE.QC=6t2.②当点E在ZM上运动时，如图1,过点。

作DH.LBC于点H,由①知DH=40,CH=30,又QC=3t,从而ED=QH=QC-CH=3t-3OS=S梯形“庞=!（网+四）质=120—600•4例题2.如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边3C, C£>上的点，CE = 1, CF = 一,直线EF 交 3垂足分别为M , N ,设加的延长线于G,过线段FG 上的一个动点H 作HML4G, HNLAD,HM = x,矩形钢切V 的面积为y (1) 求v 与x 之间的函数关系式；(2) 当x 为何值时，矩形雄HN 的面积最大，最大面积为多少？4 【答案】(1)・.・正方形ABCD 的边长为4, CE = 1, CF = — 3BE = 3CF CF 又 AG//CF, AFEC^AGEB, ——=——，BG = 4BG BE义 HM//BEA AHMG^AEBG, —BG BE4 4:.MG =—x, AM =8——x 3 39y =尤 84 9 / \%2 + 8x （0 <x<4）4 4 9(2)V y = --x 2+8x = --(x-3)+12.•.当x = 3时，矩形面积最大，最大面积为12例题3.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,O), B(30,2), C(0, 2),动点Z)以每秒1个单位的速度从点。

2020年中考数学复习：几何专项练习题(含答案)

2020年中考数学复习：几何专项练习题一、选择题1.如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm ，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为（）A.6cmB.4cmC.cmD.cm2.如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B 与点D 重合，点A ，B （D ），E 在同一条直线上，将△ABC 沿DE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B ，D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（）A B C D 二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E 是两直角三角形公共斜边AC 的中点．D 、B 分别为直角顶点，连接DE 、BE 、DB ，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB 的度数为_______．(6-()64.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动cm．三、解答题5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F.（1）EF+AC =AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图，AF1平分∠B A1C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，试猜想F1E1，A1C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A1 E1=3，C1 E1=2时，求BD的长.21216.如图，等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当Q 运动到A 点时，P 、Q 停止运动.设Q 点运动时间为t 秒，点P 运动的轨迹与PQ 、AQ 围成图形的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD 内的点，△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合．（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE ∥BF ；（2）如图2，若点F 为正方形ABCD 对角线AC 上的点，且AF ：FC=3：1，BC=2，求BF 的长．8.将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图1摆放，连DF ．∠DMC=_____；∠DMC 的值，并证明你的结论；3∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.DMDC交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．12、在中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP 1=，S =，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图1 备用图13、已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是上一动点（B 不与点M 、N 重合），ABCD Y 90o90o 90o43x 11P FC V y y xx ¼MN∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.14、已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．15、已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当=1 时，CF=______cm ，（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；（3）当= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，y x y PQC△CEBECEBECEBE16、在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝，，CD=，求线段CP 的长．（用含的式子表示）17、已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．（1）求证：∽；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．3=BC xx //AM BN AB D C AM BN D A C B E AB E A B EC DE ⊥a AB DE AD ==+ADE ∆BEC ∆E AB CD BC AD =+m AE =BEC ∆m m BEC∆18、已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）参考答案一、选择题 1.【答案】C. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】15°.4.三、解答题5.【答案与解析】（1）证明：如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ． ∵AF 平分∠BAC ， ∴EF=MF ，又∵AF=AF ，ABCD E BD E EF BD ⊥BC F DF G DF EG CG ，EG CG BEF ∆B 45︒DF G EG CG ，BEF ∆B 图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA∴Rt △AMF ≌Rt △AEF ， ∴AE=AM ，∵∠MFB=∠ABF=45°， ∴MF=MB，MB=EF ， ∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB ．（2）E 1F 1，A 1C 1与AB 三者之间的数量关系：E 1F 1+A 1C 1=AB 证明：如图2，连接F 1C 1，过点F 1作F 1P ⊥A 1B 于点P ，F 1Q ⊥BC 于点Q ， ∵A 1F 1平分∠BA 1C 1，∴E 1F 1=PF 1；同理QF 1=PF 1，∴E 1F 1=PF 1=QF 1，又∵A 1F 1=A 1F 1，∴Rt △A 1E 1F 1≌Rt △A 1PF 1， ∴A 1E 1=A 1P ，同理Rt △QF 1C 1≌Rt △E 1F 1C 1， ∴C 1Q=C 1E 1，由题意：A 1A=C 1C ，∴A 1B+BC 1=AB+A 1A+BC -C 1C=AB+BC=2AB ， ∵PB=PF 1=QF 1=QB ，∴A 1B+BC 1=A 1P+PB+QB+C 1Q=A 1P+C 1Q+2E 1F 1，即2AB=A 1E 1+C 1E 1+2E 1F 1=A 1C 1+2E 1F 1， ∴E 1F 1+A 1C 1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=x ， ∵A 1E 1=3，QC 1=C 1E 1=2，Rt △A 1BC 1中，A 1B 2+BC 12=A 1C 12，即（3+x ）2+（2+x ）2=52， ∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1， ∴E 1F 1=1，又∵A 1C 1=5，121212126.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t2=t2-t+18.综上，.7.【答案与解析】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC中，BC2=22=4∴BF2+FC2=BC2∴∠BFC=90°…（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°∴AE ∥BF …（4分）（2）解：∵Rt △ABC 中，AB=BC=2，由勾股定理，得∵AF ：FC=3：1，∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90° ∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90° 在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2∵BE=BF8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF ，∵四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG ，BD=BC ，∴△BFD ∽△BGC ，22而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M ，∴B 、E 、D 三点在同一条直线上，而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴△BFD ∽△BGC ，而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；9．【答案与解析】（1）CE ⊥BD ．（2）延长CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，AB=AD ， ∴∠ACE=，∠ABD=，∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延长线于点H ．∵∠∠E ′NA=∠AGC ′=90°，∴∠NE ′A+∠NAE ′=90°，∠NAE ′+∠C ′AG=90°，∴∠NE ′A=∠C ′AG ，∵AE ′=AC ′∴△ANE ′≌△C ′GA （AAS ），∴AN=C ′G ．同理可证△BNA ≌△AHD ，AN=DH ．∴C ′G=DH ．在△C ′GM 与△DHM 中，∠C ′GM=∠DHM=90°，∠C ′MG=∠DMH ，C ′G=DH ，∴△C ′GM ≌△DHM ，∴C ′M=DM ，01802CAE -∠01802BAD -∠10．【答案与解析】如图1，延长DM交FE于N，图1∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．11、【答案】（1）作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足为E 、F ∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°， ∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；（2）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，由（1）可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC=（180°-∠APB ）=∠MON=∠BOP ，又∵∠BPC=∠OPB （公共角），∴△PBC ∽△POB ，∴，即PB 2=PO •PC=3PC 2，∴ （3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB ，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB ）=30°，又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，∴∠ABO=（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △OBH 中，BH=OB=1，OH=， 1212PB PC PO PB=3PB PC=1212123在Rt △PBH 中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=+1．12、【答案与解析】（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线与直线的交点为．∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，∴．∵，， ∴． ∴． ∴． ∵，∴， ∴．31FG CD 1FG CD H 1EC EP 、E 1EF EG 、111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，1190G EF PEF ∠=-∠°1190PEC PEF ∠=-∠°11G EF PEC ∠=∠11G EF PEC △≌△11G FE PCE ∠=∠EC CD ⊥190PCE ∠=°190G FE ∠=°FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴．∴．∴．②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形是平行四边形，∴．∵， ∴．可得．由（1）可得四边形为正方形．∴． ①如图2，当点在线段的延长线上时，∵， ∴． 90EFH ∠=°90FHC ∠=°1FG CD ⊥12G G CD ABCD B ADC ∠=∠461tan 3AD AE B ===，，45tan tan 3DE EBC B =∠==，4CE =EFCH 4CH CE ==1P CH 1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△D G 1P 1 H C BAE F∴． ②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时， ∵， ∴． ∴． ③当点与点重合时，即时，不存在．综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． 13、【答案】（1）是．证明：连接OB ，如图①，212(4)2y x x x =->1P CH C H 、1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△212(04)2y x x x =-+<<1P H 4x =11PFG △y x x 212(4)2y x x x =->212(04)2y x x x =-+<<FG 1 P 1 CAB E D H∵BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴∠BAO=∠BCO=90°， ∵∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形．∴AB ∥OC ，AB=OC ，∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点，∴AE ∥GC ，AE=GC ，∴四边形AECG 为平行四边形．∴CE ∥AG ，∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形；（2）解：如图②，∵口EPGQ 是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ，∴， AD AE BE BC得y 2=2x 2，又∵OA 2+AB2=OB 2，即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，14、【答案与解析】（1）证明：∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形．（2）解：在等边中， ∴ ∴ ∴∴ MBC △60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠AMB DMC △≌△AB DC =ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ BM BP=∵∴∴∴（3）解：为直角三角形，∵∴当取最小值时，∴是的中点，而∴∴∴为直角三角形.15、【答案与解析】（1）CF=6cm；（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，PC x MQ y==，44BP x QC y=-=-，444x yx-=-2144y x x=-+PQC△()21234y x=-+y2x PC==P BC MP BC⊥，60MPQ=︒∠，30CPQ=︒∠，90PQC=︒∠PQC△图1∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴ ． ∵ =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62，解得 k=MA=． ∴ DM=． ∴ sin ∠DAB ′=； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62，解得 m=AN=． ∴ B ′N=． ∴ sin ∠DAB ′=．（3）①当点E 在BC 上时，y=； FCAB CE BE =CEBE 13252135=AM DM 1529253='AN N B 18x x 1+图2②当点E 在BC 延长线上时，y=． 16、【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下：AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴ ，∴，．18x 18x-ΘCP CD DQ AQ =44CP x x =-24x CP x ∴=-+②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ， ∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC ，则△AQD ∽△ACF ．∴CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴, ∴, ． 17、【答案】（1）证明：∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴∽．（2）证明：如图，过点作，交于点，∵是的中点，容易证明． CD DQ AQ 4+4x x =24x CP x ∴=+EC DE ⊥︒=∠90DEC ︒=∠+∠90BEC AED ︒=∠=∠90B A ︒=∠+∠90EDA AED EDA BEC ∠=∠ADE ∆BEC ∆E EF BC //CD F E AB )(21BC AD EF +=在中，∵ ，∴ ． ∴ ． ∴ ．（3）解：的周长，．设，则．∵ ，∴ ．即．∴ ．由（1）知∽，∴ ． ∴ 的周长的周长． ∴ 的周长与值无关．18、【答案与解析】（1）（2）（1）中结论没有发生变化，即．证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．在与中，∵，∴．∴．DEC Rt ∆CF DF =CD EF 21=)(21BC AD +CD 21=CD BC AD =+AED ∆DE AD AE ++=m a +=m a BE -=x AD =x a DE -=︒=∠90A 222AD AE DE +=22222x m x ax a +=+-am a x 222-=ADE ∆BEC ∆的周长的周长BEC ∆∆ADE BEAD =m a a m a --=222a m a 2+=BEC ∆⋅+=m a a 2ADE ∆a 2=BEC ∆m CG EG =CG EG =AG G MN AD ⊥M EF N DAG ∆DCG ∆AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，DAG DCG ∆∆≌AG CG =在与中，∵， ∴．∴在矩形中，在与中，∵，∴．∴．∴（3）（1）中的结论仍然成立．DMG ∆FNG ∆DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，DMG FNG ∆∆≌MG NG =AENM AM EN =Rt AMG ∆Rt ENG ∆AM EN MG NG ==，AMG ENG ∆∆≌AG EG =EG CG =M N图2A B CDE F GG图3FE A B CD。

2020年九年级数学中考常考300道几何题汇编(含答案)

三角形知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。

关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。

应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+C 、a b L b a +>>+262D 、b a L b a 23+>>-分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（）A 、1＜AB ＜29 B 、4＜AB ＜24C 、5＜AB ＜19D 、9＜AB ＜19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。

略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE∴∠D ＝21∠ABC ，∠E ＝21∠ACB ∴∠D ＋∠E ＝21（∠ABC ＋∠ACB ）＝530∴∠DAE ＝1800－（∠D ＋∠E ）＝1270探索与创新：【问题一】如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上。

（1）点P 是△ABC 内任一点，求证：∠P ＞∠A ；（2）试判断在△ABC 外，又和点A 在直线l 的同侧，是否存在一点Q ，使∠BQC ＞∠A ，并证明你的结论。

nm•ll问题一图CBACBA分析与结论：（1）连结AP ，易证明∠P ＞∠A ；（2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O ，易知弦BC 所对且顶点在弧A m B ，和弧A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此点Q 应在弓形A m B 和A n C 内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。

江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题含答案解析

江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题【题型解读】几何探究题为江西近10年的必考题型，题位在解答题最后两道题中的一道．考查类型有：(1)操作探究问题(3次)；(2)旋转探究问题(3次)；(3)新定义探究问题(2次)；(4)动点探究问题(2次)；主要设问有：(1)求线段长；(2)判断图形的形状；(3)求角度；(4)判断两条线段的数量和位置关系并证明．类型一操作探究问题1.如图，在正方形ABCD中，点E、F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE.为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程：●初步体验如图①，连接BD，若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分．●规律探究(1)在图①中，(BE＋DF)2＋EF2＝________AB2；(2)如图②，若BE≠DF，其他条件不变，(1)中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由．●拓展应用如图③，若AB＝4，∠DPB＝135°，2BP＋2PD＝46，求PD的长．第1题图2. 如图①，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上的一动点，Q 是上的一动点，连接PQ.发现：当∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：(1)如图②，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；(2)如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点恰好落在OA的延长线上，求阴影部分的面积；探究：如图④，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．第2题图3. 综合与实践问题情境：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条ABCD ，其中AD ＝BC ＝1，AB ＝CD ＝5.然后在纸条上任意画一条截线段MN ，将纸片沿MN 折叠，MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ，如图②所示：深入探究： (1)若∠1＝70°，求∠MKN 的度数；(2)试判断△MNK 的形状；若改变折痕MN 的位置，△MNK 的形状是否发生变化，请说明理由；拓展应用：(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN 的面积最小值为12，求此时∠1的度数；(4)小明继续动手操作，发现了△MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD (含端点)上，落点记为点E ，这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于点F ，然后展开铺平，连接BE 、EF .(1)操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个______三角形； ②当折痕经过点A 时，cos ∠BEF 的值为________； (2)深入探究：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23，①当△BEF是等边三角形时，求出BE的长度；②在任意折叠中，△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出EF的长；若不存在，请说明理由．第4题图5. 如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作∠MAN＝45°，AM、AN分别交BC于点M、N.【操作】(1)将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到△ACQ，请在图①中画出△ACQ；(不写画法)【探究】(2)在(1)中所作图的基础上，连接NQ，①求证：MN＝NQ；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由；【拓展】如图②，在等腰△DEF中，∠EDF＝45°，DE＝DF，点P是EF边上任意一点(不与点E，F重合)，连接DP，以DP为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分别交DE、DF于点K、L，连接GH，分别交DE、DF于点S、T，(3)线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是________；(4)设DK＝a，DE＝b，求DP的值．(用a、b表示)第5题图6．现有三角形纸板ABC, AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，将该三角形纸板放在足够大的圆中移动，⊙O交直线AB 于点D，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE.(1)操作发现：如图①，当⊙O经过A、C两点，且圆心O在△ABC内部时，连接CD、CE，①试判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②求AE＋AD的值；(2)数学思考：如图②，当⊙O经过A、C两点，且圆心O在△ABC外部时，连接CD、CE，求AE－AD的值；(3)问题解决：如图③，点F为CA延长线上一点，且AC＝3AF.当⊙O经过A，F两点，且圆心O在△ABC外部时，连接DF，EF，①猜想AE、AD之间的数量关系，并证明；②连接CE ，是否存在△AEC 为直角三角形？若存在，请直接写出⊙O 的半径；若不存在，请说明理由．第6题图类型二旋转探究问题1. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值；(2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′： ①求证：CD ＝B ′D ； ②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图①，在△ABC中，AC＝BC＝22，∠ACB＝90°，点D、E分别是AC、BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，旋转角为α，连接AD′、BE′.(1)如图①，若0°＜α＜90°.①求证：AD′＝BE′；②当AD′∥CE′时，求BE′的长；(2)如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；(3)如图③，将△CDE绕点C旋转一周，在旋转过程中，若AD′与直线BE′相交于点P，M为AB的中点，那么在整个旋转过程中，求PM扫过的图形面积．第2题图3. 如图①，边长为6的等边△ABC中，点D在AB边上(不与点A，B重合)，点E在BC边上(不与点B，C重合)．第一次操作：将线段DE绕点E顺时针旋转，当点D落在三角形上时，记为点F；第二次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在三角形上时，记为点G；依次操作下去….(1)如图②中的四边形DEFG是经过三次操作后得到的，且DE⊥EC.①四边形DEFG的形状为________；②若BE＝CF，求线段DE的长；(2)若经过两次操作可得到△DEF如图③.①请判断△DEF的形状为________，此时AD与BE的数量关系是________；②以①中的结论为前提，设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y与x的函数关系式；(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．第3题图4. 已知△ABC与△DEF均为透明的完全一样的等腰直角三角板，且AC＝BC＝2，∠C＝∠E＝90°.在数学活动课上，小颖同学用这两块三角板进行探究活动．操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点B(如图①)，然后将△DEF绕点D顺时针旋转，直至点E落在CB的延长线上时结束操作，在此过程中，射线ED与射线CA交于点N，射线CB与DF相交于点M，连接MN(如图②，图③)．(1)如图②，若AB∥MN，求证：△ADN≌△BDM；(2)如图②，在以上操作过程中，求证：AN·BM的值不会发生变化；(3)①如图③，在以上操作过程中，ND始终平分∠ANM吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由；②设AN＝m，请直接写出△DMN的面积(用含m的式子表示)．第4题图5. 如图①，把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开，将△BCD平移得到△DEF，使得BC边与AD 边重合，如图②所示，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当ED边与AB边重合时，旋转停止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设ED、EF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图③所示．(1)图②四边形ABCF的形状是________，连接BF，则BF＝________；(2)在旋转过程中，∠CEF＋∠CHE的度数为________；(3)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图③所示的情况说明理由)；(4)当x为何值时，△AGH是等腰三角形？(直接写出答案，不必说明理由)第5题图6.将两张完全相同的平行四边行纸片按如图①所示放置(其中点E在BC上，点A在BG上，AB＝BE＝4，BC＝BG＝23＋2，∠B＝60°，▱ABCD固定不动，将▱GBEF绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<360°)．(1)如图①，连接AF，求AF的长．(2)如图②，当▱GBEF绕点B旋转到点F与点D重合时，AD与BG相交于点M，BC与ED相交于点N，求证：四边形BMDN是菱形．(3)如图③，在旋转过程中，当旋转角α为多少度时，以点C，G，D，F为顶点的四边形是正方形？是矩形？请给予证明．第6题图类型三新定义探究问题1. 如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若△PBC与△CAB相似，那么就称点P为△ABC的黄金点．(1)在下列三角形中，一定没有黄金点的是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形(2)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，试说明点E是△ABC的黄金点；(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4.①若点P1是△ABC的黄金点，求AP1的长；②若点P1是△ABC的黄金点，点P2是△P1BC的黄金点，点P3是△P1P2C的黄金点，点P4是△P1P2P3的黄金点，…，以此类推，请求出△P2016P2017P2018的周长.第1题图2. 我们知道若线段上的一个点把这条线段分割为两部分，其中一部分与全长之比等于5－12时，则这个点称为黄金分割点．类比三角形中线的定义，我们规定：连接一个顶点和它对边的黄金分割点的线段叫做这个三角形的黄金线．(1)如图①，已知CD 是△ABC 的黄金线(AD >BD )，△ABC 的面积为4，则△BCD 的面积为________； (2)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ＝1，过B 点作BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点D ，求证：BD 是△ABC 的黄金线；(3)如图③， BE 、CD 是△ABC 的黄金线(AD >BD ，AE >CE )，BE 、CD 相交于点O . ①设△BOD 与△COE 的面积分别为S 1、S 2，试猜想S 1、S 2的数量关系，并说明理由；②求ODCD的值．第2题图3．如果在两个相似但不全等的三角形中，其中一个三角形的一边等于另一个三角形的一边，那么，我们称这两个三角形为梦幻三角形，例如：(如图①所示)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，(如图②所示)△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1，且△ABC ∽△A 1B 1C 1，c ＝a 1，那么我们将△ABC 与△A 1B 1C 1称为梦幻三角形．(1)若△ABC 与△A 1B 1C 1为梦幻三角形，且相似比为k (k ＞1)，求证：a ＝kc ；(2)如图③，在△ABC 中，∠ACB ＝80°，∠B ＝60°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，求证：△CBD 与△ABC 为梦幻三角形；(3)如图④，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点C 作CF ⊥PD 于点F ，与AD 相交于点E ，且△ACE 与△ADC 刚好构成梦幻三角形．①若AE ·AD ＝36，BC ＝8，求线段AD 的长；②若CDAB＝m ，请直接写出PC 与PD 的数量关系(用含m 的式子表示，不必说明理由)．第3题图4.阅读理解如图①，在正n 边形A 1A 2A 3…A n 的边A 2A 3上任取一不与点A 2重合的动点B 2，并以线段A 1B 2为边在线段A 1A 2上方作一正n 边形A 1B 2B 3…B n ，把正n 边形A 1B 2B 3…B n 叫正n 边形A 1A 2A 3…A n 的准位似图形，点A 3称为准位似中心．特例论证(1)如图②，已知正三角形A 1A 2A 3的准位似图形为正三角形A 1B 2B 3，试证明：随着点B 2的运动，∠B 3A 3A 1的大小始终不变．数学思考(2)如图③，已知正方形A 1A 2A 3A 4的准位似图形为正方形A 1B 2B 3B 4，随着点B 2的运动，∠B 3A 3A 4的大小是否始终不变？若不变，请求出∠B 3A 3A 4的大小；若改变，请说明理由．归纳猜想(3)在图①的情况下：①试猜想∠B 3A 3A 4的大小是否会发生改变？若不改变，用含n 的代数式表示出∠B 3A 3A 4的大小(不要求证明)；若会改变，请说明理由；②∠B 3A 3A 4＋∠B 4A 4A 5＋∠B 5A 5A 6＋…＋∠B n A n A 1＝________.(用含n 的代数式表示)第4题图类型四动点探究问题1.在四边形OABC 中，AB ∥OC ，∠OAB ＝90°， ∠OCB ＝60°，AB ＝2，OA ＝2 3.(1)如图①，连接OB ，请直接写出OB 的长度；(2)如图②，过点O 作OH ⊥BC 于点H .动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P 运动的时间为t 秒，△OPQ 的面积为S (平方单位)．①求S 与t 之间的函数关系式；②设PQ 与OB 交于点M ，当△OPM 为等腰三角形时，试求出△OPQ 的面积S 的值．第1题图2. 如图，点O 为正方形ABCD 的中心，AB ＝2，点E 为AB 上的一动点，DF ⊥DE 于点D ，DF 与BC 的延长线相交于点F . OM ⊥DE 于点M , ON ⊥DF 于点N .(1)求证：DE ＝DF ；(2)在点E 的运动过程中，OM 2＋ON 2是否是一个定值，如果是，请求出 OM 2＋ON 2的值，若不是，请说明理由；(3)如图②，若DE 与AC 相交于点P ，DF 的延长线与AC 的延长线相交于点Q ，求证：AP CQ ＝DPDQ.第2题图3. 如图①，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的动点，P为AB边上的动点，连接DP，以DP为边构造△DEP，∠DPE＝90°，PD＝PE.(1)如图②，若点P与点A重合，①求证：CD＝BE；②猜想BD、CD与PD之间的数量关系，并说明理由；(2)如图③，若BP＝2AP时，AC＝62，设DP2＝y，BD＝x.①求y关于x的函数关系式；②连接CP，请问是否存在△CDP为等腰三角形？若存在，请求出△DPE的面积；若不存在，请说明理由．第3题图4. 如图，在锐角△ABC中，AB＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，连接DE.(1)如图①，①当DE∥BC时，则cos∠B的值为________；②当DE⊥AC时，求sin∠B的值；(2)设△ACD的面积为S，求S－AC2的最大值；(3)如图②，M、F为线段AB上的两动点，在运动的过程中，EF始终与CM平行，延长FE到点P，随着∠B 的变化，是否存在∠DEP＝k∠A(k为正整数)？若存在，请直接写出tan∠MCA的取值范围；若不存在，请说明理由．第4题图江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题答案全解全析类型一操作探究问题1. 解：●初步体验证明：如解图①，连接BD 交EF 于点O ，连接DE 、BF ，第1题解图∵BE ＝DF ，BE ∥DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴EF 与BD 互相平分． ●规律探究 (1) 2；(2)(1)中的数量关系不会发生变化．理由如下：如解图①，过点D 作BE 的垂线，与BE 的延长线交于点M ，连接BD ，第1题解图①∵BE ∥DF ，EF ⊥BE ，DM ⊥BM ， ∴EF ∥DM ，∴四边形EFDM 是矩形，∴DF ＝EM ，EF ＝DM ，BM ＝BE ＋DF ， ∵在正方形ABCD 中，∴BD ＝2AB ，∵BD 2＝BM 2＋DM 2，∴(BE ＋DF )2＋EF 2＝2AB 2. ●拓展应用如解图②，过点P 作EP ⊥DP ，过点B 作BE ⊥EP ，第1题解图②∵∠DPB ＝135°， ∴∠EPB ＝45°，即△EBP 为等腰直角三角形， ∴PB ＝2BE ，∵2BP ＋2PD ＝46，∴2·2BE ＋2PD ＝46， ∴BE ＋PD ＝26，设PE ＝BE ＝x ，则有(BE ＋PD )2＋x 2＝ 2AB 2，即(26)2＋x 2＝32，解得x ＝±22(负值舍去)， ∴PD ＝26－BE ＝26－2 2. 2. 解：发现：90°，102；【解法提示】∵点Q 在AB ︵上，点P 在OB 上，∴当PQ 取最大值时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时∠POQ ＝90°，PQ ＝OA 2＋OB 2＝10 2.思考：(1)如解图①，连接OQ ，则OP ＝12OB ＝12OQ ，∵QP ⊥OB ， ∴cos ∠QOP ＝OP OQ ＝12∴∠QOP ＝60°，∴l BQ ︵＝60180π×10＝103π ；第2题解图①(2)由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102，在Rt △B ′OP 中，OP 2＋(102－10)2＝(10－OP )2，解得OP ＝102－10， S 阴影＝S 扇形AOB －2S △AOP ＝90360π×102－2×12×10× (102－10)＝25π－1002＋100；探究：如解图②，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，OO ′与PQ 交于点M ，则OM ＝O ′M ，OO ′⊥PQ ，O ′P ＝OP ＝6，第2题解图②∵点O ′是B ′Q ︵所在圆的圆心， ∴O ′C ＝OB ＝10，∵折叠后的B ′Q ︵恰好与半径OA 相切于C 点， ∴O ′C ⊥AO ， ∴O ′C ∥OB ，∴四边形OCO ′B 是矩形，在Rt △O ′BP 中，O ′B ＝62－42＝2 5在Rt △OBO ′中，OO ′＝102＋（25）2＝230， ∴OM ＝12OO ′＝12×230＝30，即点O 到折痕PQ 的距离为30.3. 解：深入探究：(1)∵折叠前的四边形ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM ＝∠KMN ＝∠1＝70°，∴∠MKN ＝40°；(2)△MNK 为等腰三角形；不发生变化；理由如下：∵AM ∥DN ， ∴∠1＝∠MNK ，∵将纸片沿MN 折叠， ∴∠1＝∠KMN ， ∴∠MNK ＝∠KMN ， ∴KM ＝KN ，∴△MNK 始终为等腰三角形；拓展应用：(3)如解图①，当△KMN 的面积最小值为12时，KN ＝KM ＝BC ＝1，∴KM ⊥KN ，第3题解图①∵∠NMB ＝∠KMN ，∠KMB ＝90°， ∴∠1＝∠NMB ＝45°，同理将纸条向下折叠时，∠1＝∠NMB ＝135°， ∴∠1＝45°或∠1＝135°； (4)分两种情况：情况一：如解图②，将矩形纸片对折，使点B 与D 重合，此时点K 也与D 重合，第3题解图②设MK ＝MB ＝x ，则AM ＝5－x ，在Rt △AMK 中，由勾股定理得12＋(5－x )2＝x 2，解得x ＝2.6，∴MK ＝NK ＝2.6，(由(2)可得) ∴S △MNK ＝12×1×2.6＝1.3；情况二：如解图③，将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕即为AC ，第3题解图③设MK ＝AK ＝CK ＝x ，则DK ＝5－x . 同理可得MK ＝NK ＝2.6， ∵MD ＝1，∴S △MNK ＝12×1×2.6＝1.3，∴△MNK 的面积最大值为1.3. 4. 解：(1)①等腰；【解法提示】由折叠的性质可知BF ＝EF ，∴△BEF 为等腰三角形．②22；【解法提示】由折叠的性质可知∠BEF ＝∠EBF ＝45°， ∴cos ∠BEF ＝22； (2)①当△BEF 是等边三角形时，则∠ABE ＝30°， ∵AB ＝3，∴cos ∠ABE ＝AB BE ＝32，∴BE ＝2；②根据题意可得矩形ABCD 的面积为6；第一种情况：当点F 在边BC 上时，此时可得S △BEF ≤12S 矩形ABCD ，即当点F 与点C 重合时，S △BEF 存在最大值，最大值为3；由折叠可知CE ＝CB ＝23，即EF ＝ 23；第二种情况：当点F 在边CD 上时，如解图，过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，第4题解图∵S △EKF ＝12KF ·AH ≤12HF ·AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF ·BH ≤12HF ·BH ＝12S 矩形BCFH ，∴S △BEF ≤12S 矩形ABCD ＝3，即当点F 为CD 中点时，△BEF 的面积最大，此时，点E 与点A 重合，△BEF 面积最大为3， ∴EF ＝AD 2＋DF 2＝（23）2＋（32）2＝512，综上所述，当△BEF 的最大面积为3时，EF 的长为23或512. 5. (1) 解：如解图①，△ACQ 即为所求；第5题解图①(2)①证明：由旋转可得，△ABM ≌ △ACQ ，∴AM ＝AQ ，∠BAM ＝∠CAQ ， ∵∠MAN ＝45°，∠BAC ＝ 90°， ∴∠BAM ＋∠NAC ＝45°， ∴∠CAQ ＋∠NAC ＝45°，即∠NAQ ＝45°，在△MAN 和△QAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AQ ∠MAN ＝∠QAN ，AN ＝AN∴△MAN ≌△QAN (SAS )， ∴MN ＝NQ ；② 解：MN 2＝BM 2＋NC 2；理由如下：由①中可知，MN ＝NQ ，MB ＝CQ ，又∵∠NCQ ＝∠NCA ＋ACQ ＝∠NCA ＋∠ABM ＝45°＋45°＝90°， ∴在Rt △NCQ 中，NQ 2＝CQ 2＋NC 2，即MN 2＝BM 2＋NC 2； (3)解：ST 2＝GS 2＋TH 2；【解法提示】如解图③，连接SP 、PT ，用(2)中的方法可证△DGS ≌△DPT ，△GSP ≌△PTH ， ∴GS ＝PT ，TH ＝SP ，由题意易知GH ⊥PD ，△SPT 为直角三角形， ∴ST 2＝PT 2＋SP 2＝GS 2＋TH 2.(4)解：如解图③，∵DE ＝DF ，DG ＝DP ，∠EDF ＝∠GDP ＝45°，第5题解图③∴∠DPK ＝∠DEP ，又∵∠PDK ＝∠EDP ， ∴△DPK ∽△DEP ， ∴DP DE ＝DKDP，即DP 2＝DK ·DE ， ∵DK ＝a , DE ＝b ，∴DP ＝ab.6. 解： (1)①CD ＝CE ，理由如下： ∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，∴∠CED ＝∠CAB ＝45°，又∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°， ∴CD ＝CE ；②由题意可得∠ECD ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ECA ＝∠BCD ，又∵AC ＝BC ＝6，CD ＝CE ， ∴△ECA ≌△DCB ， ∴AE ＝BD ，∴AE ＋AD ＝BD ＋AD ＝AB ，在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝62，即AE ＋AD 的值为62； (2)∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，又∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∠ECA＝∠DCB，∠CEA＝∠ADC∴∠EAC＝∠B＝45°，∴△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，∴AE－AD＝BD－AD＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝62，即AE－AD的值为62；(3)①AD－AE＝22，证明如下：第6题解图①∵DE是⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，如解图①，过点F作FM⊥AF于点F，交AD于点M，∴∠DFM＝∠EF A，又∵∠MAF＝∠CAB＝45°，∴∠AMF＝45°，∴AF＝MF，又∵∠FDM＝∠FEA，∴△FDM≌△FEA(AAS)，∴AE＝DM，∴AD－AE＝AD－DM＝AM，由AC＝3AF，AC＝6可得AF＝2，在Rt△AMF中，由勾股定理可得AM＝22，即AD－AE的值为22；②存在，⊙O的半径为5.6或17.【解法提示】由①可得CF＝8，如解图②，当∠ECA＝90°时，△AEC为直角三角形，可证EC＝AC＝6，在Rt△ECF中，由勾股定理可得EF＝10，在Rt△EDF中，由勾股定理可得DE＝102，即⊙O的半径为52，如解图③，当∠AEC＝90°时，△AEC为直角三角形，过点E作EH⊥AC于点H，可得EH＝AH＝3，∴FH＝5，第6题解图在Rt△EHF中，由勾股定理可得EF＝34，在Rt △EDF 中，由勾股定理可得DE ＝217，即⊙O 的半径为17.类型二旋转探究问题1. (1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ， ∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16； ∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ， ∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ，即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ； ∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°， ∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52 ，∴ BD ＝BC －CD ＝32；(3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点， ∴CM ＝12AC ＝32，∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第1题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大， ∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4，即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.2. (1)证明：①∵AC ＝BC ，D , E 分别是 AC ，BC 的中点， ∴CD ＝CE ，由旋转可得∠D ′CE ′＝∠DCE ＝90°，CD ＝CD ′，CE ＝CE ′， ∴∠ACD ′＝∠BCE ′，CD ′＝CE ′， ∴△ACD ′≌ △BCE ′， ∴AD ′＝BE ′；②解：∵AD ′∥CE ′，∴∠AD ′C ＝∠E ′CD ′＝90°，∵AC ＝2CD ′，∴∠CAD ′＝30°， ∴ AD ′＝cos 30°×AC ＝32×22＝6，由①得BE ′＝AD ′＝ 6 ；第2题解图①(2)解：根据题意可得CD ′＝CE ′＝ 2 ，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，CD ′＝CE ′＝ 2 ， ∴D ′E ′＝2，如解图①，作CK ⊥BE ′于点K .可得KD ′＝E ′K ， ∴CK ＝12D ′E ′＝1，∴sin ∠CBE ′＝CK BC ＝122＝24；(3)解：如解图②，连接PM ，由(1)得△ACD ′≌ △BCE ′，第2题解图②∴∠P AC ＝∠E ′BC ，AD ′＝BE ′，又∠P AC ＋∠ACB ＝∠PBC ＋∠APB ， ∴∠APB ＝∠ACB ＝90°，设AD ′＝x ，则BD ′＝x －2，在△ABD ′中可得AD ′2＋BD ′2＝AB 2，即x 2＋(x －2)2＝42，解得x 1＝7＋1，x 2＝－7＋1 (舍去)， ∴BD ′＝7－1， ∴S △BD ′M ＝S △ABD′2＝（7＋1）（7－1）4＝32，由轴对称性可得PM 扫过的图形面积为：180π×22360－32×2＝2π－3.3. 解： (1)①正方形；【解法提示】由旋转性质可知DE ＝EF ＝FG ＝DG ， ∴四边形DEFG 为菱形， ∴DG ∥BC . 又∵DE ⊥EC ，∴四边形DEFG 为正方形． ②∵四边形DEFG 为正方形， ∴DG ∥BC .∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠C . ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.∴△ADG 为等边三角形．∴AD ＝ DG ＝DE .又∵BD ＝DE sin ∠B ＝DE sin 60°＝233DE ，∴BD ＋AD ＝233DE ＋DE ＝6.解得DE ＝1823＋3＝123－18.(2)①等边三角形，相等；②据题意可得△ADF ≌△BED ≌△CFE ，AD ＝x ，BD ＝6－x ，如解图①，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，可得DG ＝sin ∠B ·BD ＝32(6－x )， y ＝S △ABC －3S △BDE ＝12×33×6－3×x 2×32(6－x )，化简得y ＝334x 2－932x ＋9 3.图①图②第3题解图(3)如解图②，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是6，它可能为正多边形，边长为2. 4. (1)证明：据题意可得∠CAB ＝∠CBA ，AD ＝BD ， ∴∠NAB ＝∠MBA ，又∵AB ∥MN ，AC ＝BC ， ∴AC AN ＝BC BM，即AN ＝BM ， ∴△ADN ≌△BDM (SAS )；(2)证明：据题意可得AD ＝BD ＝2，由(1)得∠NAB ＝∠MBA ＝135°，∠EDM ＝ 45°，∴∠AND ＋∠ADN ＝∠EDB ＋∠BDM ＝45°， ∴∠AND ＝∠BDM ， ∴△ADN ∽△BMD ， ∴AD BM ＝ANBD，即AN ·BM ＝AD ·BD ＝2·2＝2， ∴AN ·BM 的值不会发生变化；(3)解：①平分．证明：由(2)可得∠ADN ＋∠BDM ＝45°， ∴∠MDN ＝∠DAN ＝135°，又∵△ADN ∽△BMD ，∴AN BD ＝ND DM ，又∵AD ＝BD ， ∴AN AD ＝ND DM， ∴△ADN ∽△DNM ，∴∠AND ＝∠DNM ，即ND 始终平分∠ANM ； ②S △DMN ＝m 2＋2m ＋22m；【解法提示】由(2)可得：AN ·BM ＝2，AN ＝m ， ∴BM ＝2m，如解图，分别过点D 作AC 、MN 、CM 的垂线，垂足分别为H 、H ′、H ″ ，第4题解图∵ND 平分∠ANM ，且DH ⊥CA ，DH ′⊥MN 在Rt △ABC 中，DH ∥BC ，AD ＝BD 可得DH ′＝DH ＝BC2＝1，同理DH ″＝1，∴S △DMN ＝S △CMN －S △ADN －S △ABC －S △DMB ＝12·CN ·CM －12·AN ·DH －12·AC ·BC －12·BM ·DH ″＝12×(2＋m )×(2＋2m )－12×m ×1－12×2×2－12×2m ×1 ＝m 2＋2m ＋22m.∴△DMN 的面积为m 2＋2m ＋22m.5. 解：(1)平行四边形；25；【解法提示】依题意可知，正方形ABCD 沿对角线剪开后为第5题解图①两个等腰直角三角形，当ED 边与AB 边重合时，AB ＝DF ，BC ＝EF ，∴四边形ABCF 是平行四边形，设AD 与BF 交于点O ，如解图①，可知AO ＝DO ＝12AD ＝1，∴BO ＝AB 2＋AO 2＝5，∴BF ＝2 5.(2)45°或135°；【解法提示】当△EFD 转到如解图②所示的位置时，∠CEF ＋∠CHE ＝∠ACB ＝45°；当△EFD 旋转到如解图③所示的位置时，∠CEF ＋∠CHE ＝180°－∠C ＝135°，综上可知，∠CEF ＋∠CHE 的度数为45°或135°.第5题解图(3)由题意知∠DEF ＝∠ACB ＝∠B ＝45°， ∴∠DAC ＋∠CAH ＝45°，∠AHB ＋∠CAH ＝∠ACB ＝45°， ∴∠DAC ＝∠AHB ，∴△AGC ∽△HAB , ∴AC HB ＝GCAB ，∴2y ＝x 2，∴y ＝4x(0≤x ＜22)； (4)当x 为2或2时，△AGH 是等腰三角形．【解法提示】由题意可得△AGC ∽△HGA .∴要使△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．第5题解图分三种情况讨论，①如解图④，当CG ＝AG ，此时CG ＝2， ②如解图⑤，当CG ＝AC ，此时CG ＝2，③如解图⑥，当AG ＝AC ，此时ED 与AB 重合，不合题意，舍去．综上所述，当x ＝2或2时，△AGH 是等腰三角形．6. (1)解：如解图①，连接DF ，过点F 作FH ⊥AD 于点H .第6题解图①∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是平行四边形． ∴AK ∥BE ，AB ∥EK .∴四边形ABEK 是平行四边形． ∵AB ＝BE ，∴四边形ABEK 是菱形．∴DK ＝FK ＝23＋2－4＝23－2，∠FKD ＝∠AKE ＝∠B ＝60°，∴△FKD 是等边三角形． ∵FH ⊥AD ，∴KH ＝12DK ＝3－1，FH ＝3－3，在Rt △AFH 中，AH ＝4＋3－1＝3＋3， ∴AF ＝AH 2＋FH 2＝（3＋3）2＋（3－3）2＝24＝2 6.(2)证明：∵四边形ABCD 和四边形GBEF 是平行四边形， ∴BM ∥DN ，DM ∥BN ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵∠A ＝∠G ，∠AMB ＝∠GMD ，AB ＝GD . ∴△ABM ≌△GDM (AAS )． ∴BM ＝DM .∴四边形BMDN 是菱形．(3)解：①如解图①，当旋转角α为30°时，四边形CGDF 是正方形(此时也是矩形)．第6题解图②证明：∵BG ＝BC ，∠ABG ＝∠α＝30°， ∴∠GBC ＝60°－30°＝30°， ∴∠BGC ＝∠BCG ＝75°， ∴∠GCO ＝∠CGO ＝45°， ∴OG ＝OC ，∠GOC ＝90°，如解图②，过点G 作GN ⊥BC 于点N ，在Rt △BNG 中，∠GBC ＝30°， ∴GN ＝12BG ＝3＋1，BN ＝3GN ＝3＋ 3.∴NC ＝BC －BN ＝23＋2－(3＋3)＝3－1. ∴GC ＝GN 2＋NC 2＝（3＋1）2＋（3－1）2＝8＝22，∴OG ＝OC ＝CG 2＝222＝2，∴OD ＝OF ＝4－2＝2， ∴OD ＝OC ＝OG ＝OF ， ∴四边形CGDF 是矩形， ∵GF ⊥CD ，∴四边形CGDF 是正方形；②如解图③，当旋转角α为300°时，四边形CGFD 是矩形．第6题解图③证明：∵∠α＝300°，∴点E 与点A 重合，∠CBG ＝120°. ∵BC ＝BG ，∴∠BCG ＝∠BGC ＝30°. ∴∠GCD ＝120°－30°＝90°.∵四边形ABCD 和四边形GBEF 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AB ∥GF ，AB ＝CD ，AB ＝GF ， ∴CD ∥GF ，CD ＝GF ，∴四边形CGFD 是平行四边形， ∵∠GCD ＝90°，∴四边形CGFD 是矩形．类型三新定义探究问题1. 解： (1)C ；(2)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴CD ＝12AB ，∴CD ＝BD ，∴∠BCE ＝∠ABC ， ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°， ∴∠BEC ＝∠ACB ， ∴△BCE ∽△ABC ，∴点E 是△ABC 的黄金点；(3)①据题意可得∠P 1CB ＝60°，∠BP 1C ＝90°，AC ＝43， ∴P 1C ＝cos ∠P 1CB ·BC ＝cos 60°·BC ＝2，如解图，过点P 1作P 1D ⊥AC 于点D ，连接AP 1，可得∠P 1CD ＝30°， ∴P 1D ＝12P 1C ＝1，CD ＝ 3 ，∴ AD ＝AC －CD ＝33，在Rt △AP 1D 中，根据勾股定理可得AP 1＝（33）2＋12＝27；第1题解图②据题意可得△P 1BC ∽△CAB ， ∴C △P 1BC C △CAB＝BC AB ＝12，同理可得C △P 2CP 1C △P 1BC ＝P 1C BC ＝12，即 C △P 2CP 1C △CAB＝P 1C AB ＝14， ∴C △P 2016P 2017P 2018C △CBA＝P 2017P 2018AB ＝122016，可得△CAB 的周长为12＋43， ∴△P 2016P 2017P 2018的周长为3＋3220142. (1)解： 6－25；【解法提示】∵CD 是△ABC 的黄金线(AD ＞BD )， ∴AD AB ＝5－12， ∵S △ABC ＝4， ∴S △ADC ＝5－12×4＝25－2， ∴S △BCD ＝S △ABC －S △ADC ＝6－25； (2)证明：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵过点B 作BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点D ， ∴∠CBD ＝∠A ＝36°，∠BDC ＝∠C ＝72°， ∴AD ＝BD ＝BC ， ∴△BCD ∽△ABC ， ∴CD BC ＝BDAC ，即1－AD BC ＝1－BC BC ＝BC 1，解得BC ＝5－12， ∴AD ＝5－12， ∴AD AC ＝5－12， ∴D 点是AC 的黄金分割点， ∴BD 是△ABC 的黄金线； (3)解：①S 1＝S 2.理由如下：如解图，连接ED ，第2题解图据题意得：AD AB ＝AEAC ＝5－12，∴S △ABE S △ABC ＝S △ACD S △ABC＝5－12，∴S △ABE ＝S △ACD ，∴ S △COE ＝S △BOD ，即S 1＝S 2；②由①得AD AB ＝AE AC，又∵∠A 为公共角， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴∠DEA ＝∠BCA ,DE BC ＝AEAC ＝5－12， ∴DE ∥BC ，∴△ODE ∽△OCB ， ∴OD OC ＝DEBC ＝5－12， ∴OD CD ＝5－15＋1＝（5－1）24. 3. (1)证明：根据题意可得△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k ＞1)， ∴aa 1＝k ，即a ＝ka 1，又∵c ＝a 1， ∴a ＝kc ；(2)证明：根据题意得∠A ＝40°， ∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，即∠BCD ＝∠A ，又∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ，又∵BC 是公共边，∴△CBD 与△ABC 为梦幻三角形；(3)解：①∵△ACE 与△ADC 刚好构成梦幻三角形， ∴△ACE ∽△ADC ， ∴AC AD ＝AEAC，即AC 2＝AE ·AD ＝36， ∴AC ＝6，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，又∵BC ＝8，∴由勾股定理可得AB ＝10，如解图，连接OD ，又∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠ACD ＝45°， ∴∠AOD ＝90°，∴∠OAD ＝∠ADO ＝45°，∵OD ＝5， ∴AD ＝52； ②PCPD＝2m ；第3题解图【解法提示】根据题意可得AD ＝22AB ， ∴CD AD ＝CD 2AB2＝2·CD AB ＝2m ， ∵PD 是⊙O 的切线， ∴∠ODP ＝90°， ∴∠ADP ＝45°，即∠ADP ＝∠PCD ，又∵∠P ＝∠P ，∴△ADP ∽△DCP ，且DP 为两三角形的公共边， ∴PC PD ＝CDDA＝2m . 4. (1)证明：∵△A 1A 2A 3与△A 1B 2B 3都是正三角形， ∴A 1A 2＝A 1A 3，A 1B 2＝A 1B 3，∠A 2A 1A 3＝∠B 2A 1B 3＝60°， ∴∠A 2A 1B 2＝∠A 3A 1B 3，∴△A 2A 1B 2≌△A 3A 1B 3(SAS )， ∴∠B 3A 3A 1＝∠A 2＝60°；∴随着点B 2的运动，∠B 3A 3A 1的大小始终不变，为60°. (2)解：∠B 3A 3A 4的大小不变．如解图，在边A 1A 2上取点D ，使A 1D ＝A 3B 2，连接B 2D .第4题解图∵四边形A 1A 2A 3A 4与四边形A 1B 2B 3B 4都是正方形， ∴A 1B 2＝B 2B 3，∠A 1B 2B 3＝∠A 1A 2A 3＝90°， ∴∠A 3B 2B 3＋∠A 1B 2A 2＝90°， ∠A 2A 1B 2＋∠A 1B 2A 2＝90°， ∴∠A 3B 2B 3＝∠A 2A 1B 2， ∴△A 3B 2B 3≌△DA 1B 2， ∴∠B 2A 3B 3＝∠A 1DB 2， ∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1D ＝A 3B 2， ∴A 2B 2＝A 2D .又∵∠A 1A 2A 3＝90°，∴△DA 2B 2为等腰直角三角形， ∴∠A 1DB 2＝135°， ∴∠B 2A 3B 3＝135°， ∵∠A 4A 3A 2＝90°， ∴∠B 3A 3A 4＝45°，∴∠B 3A 3A 4的大小始终不变，为45°； (3)解：①∠B 3A 3A 4的大小不会发生改变，始终为180°n ；②90°（n －1）（n －2）n.【解法提示】∠B 3A 3A 4＋∠B 4A 4A 5＋B 5A 5A 6＋…＋∠B n A n A 1＝180°n ×1＋180°n ×2＋180°n ×3＋…180°n ×(n －2)＝180°n ×[1＋2＋3＋…＋(n －2)]＝90°(n －1)（n －2）n.类型四动点探究问题1. 解：(1)OB ＝4；(2)①∵AB ＝2，OB ＝4，∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝60°，又∵∠OCB ＝60°，∴△BOC 为等边三角形， ∴OH ＝OBcos 30°＝4×32＝23， ∴OP ＝OH －PH ＝23－t ，如解图①，过P 点作PE ⊥OA ，垂足为点E ，第1题解图①则EP ＝OPcos 30°＝3－32t ， ∴S ＝12·OQ ·EP ＝12·t ·(3－32t )＝－34t 2＋32t (0<t <23)；②若△OPM 为等腰三角形：(ⅰ)若OM ＝PM ，如解图②，则∠MPO ＝∠MOP ＝∠POC ，第1题解图②∴PQ ∥OC ，过点P 作PK ⊥OC 于点K ， ∴OQ ＝PK ＝OP 2，即t ＝3－t2，解得：t ＝233，此时S ＝－34×(233)2＋32×233＝233； (ⅱ)若OP ＝OM ，如解图③，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°，第1题解图③∴∠OQP ＝∠OMP －∠QOM ＝75°－30°＝45°，此时EQ ＝EP ，即t －(3－12t )＝3－32t ，解得：t ＝2，此时S ＝－34×22＋32×2＝3－3；(ⅲ)若OP ＝PM ，∠POM ＝∠PMO ＝∠AOB ，则PQ ∥OA ，此时点Q 在AB 上，不满足题意，舍去．综上所述，当△OPM 为等腰三角形时，△OPM 的面积为233或2.2. (1)证明：根据题意得AD ＝CD ，∠ADC ＝∠DCF ＝∠DAB ＝90°，又∵DF ⊥DE 于点D ， ∴∠ADE ＝∠CDF ， ∴△ADE ≌△CDF ， ∴DE ＝DF ；(2)解： OM 2＋ON 2 的值为定值；理由：∵OM ⊥DE 于点M , ON ⊥DF 于点N ， ∴四边形DMON 为矩形， ∴DN ＝OM ，如解图①，连接OD ，可得OM 2＋DM 2＝OD 2，即OM 2＋ON 2＝OD 2，第2题解图①∵点O 为正方形ABCD 的中心，AB ＝2，∴OD ＝2，即OM 2＋ON 2＝OD 2＝2； (3)证明：由正方形的性质可得∠DAC ＝45°，如解图②，过点Q 作C ′Q ⊥AQ 于点Q ，QC ′与DC 的延长线相交于点C ′，第2题解图②可得∠C ′＝45°，即∠DAC ＝∠C ′，CQ ＝C ′Q ，又∠ADE ＋∠EDC ＝∠QDC ′＋∠EDC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠QDC ′， ∴△ADP ∽△C ′DQ ， ∴AP C ′Q ＝AP CQ ＝DPDQ. 3. (1)①证明：据题意可得∠EAB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°， ∴∠EAB ＝∠CAD ，又AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABE ≌△ACD ， ∴CD ＝BE ；②解：猜想：CD 2＋BD 2＝2PD 2.理由：据题意可得∠ABC ＝∠C ＝45°，由①可得∠ABE ＝∠C ＝45°，即∠EBD ＝90°，∴BE 2＋BD 2＝PE 2＋PD 2，即CD 2＋BD 2＝2PD 2；(2)解：①据题意可得BP ＝42，如解图，过点P 作PF ∥AC ，PF 与BC 相交于点F ，第3题解图可得BF ＝BP sin 45°＝42×22＝8，由(1)可得△PBE ≌△PFD ，∴DF ＝BE ，∠ABE ＝∠PFD ＝45°，∴∠EBD ＝90°，∴BE 2＋BD 2＝PE 2＋PD 2，∴DF 2＋BD 2＝2PD 2，即2y ＝x 2＋(8－x )2，化简得y ＝x 2－8x ＋32；②存在；理由如下：据题意可得BC ＝12，CD ＝12－x ，AP ＝22，在Rt △ACP 中，可得：CP ＝（62）2＋（22）2＝45，当CD ＝DP 时，△CDP 为等腰三角形，此时，可得 y ＝12－x ，即x 2－8x ＋32＝(12－x )2，解得x ＝7，∴y ＝x 2－8x ＋32＝72－8×7＋32＝25，∴S △DPE ＝252；当CP ＝CD 时，△CDP 为等腰三角形；此时，可得12－x ＝45，解得x ＝12－45，∴y ＝x 2－8x ＋32＝(12－45)2－8×(12－45)＋32＝160－645，∴S △DPE ＝160－6452＝80－325，综上，△DPE 的面积为252或(80－325)． 4. 解：(1)① 23；【解法提示】∵E 是AC 的中点，∴当DE ∥BC 时，D 为AB 的中点，即BD ＝12AB ＝4，又∵CD ⊥AB ，∴cos ∠B ＝BD BC ＝46＝23. ②∵点E 是AC 的中点，∴当DE ⊥AC 时，DE 为AC 的垂直平分线，∴CD ＝AD ，设CD ＝AD ＝x ，则BD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：(8－x )2＋x 2＝62，解得x 1＝4＋2，x 2＝4－2，∴sin ∠B ＝CD BC ＝4＋26或4－26； (2)∵CD ⊥AB ，∴ S －AC 2＝AD ·CD 2－(AD 2＋CD 2)＝－(AD 2＋CD 2－2AD ·CD )－3AD ·CD 2， ∴ S －AC 2＝－(AD －CD )2－3AD ·CD 2， ∴当AD ＝CD 时，S －AC 2的值最大，最大值为－3AD ·CD 2，由(1)可知：－3AD ·CD 2＝－3×（4－2）22＝122－27； (3)34＜tan ∠MCA ＜377. 【解法提示】当∠ABC 为直角时，根据勾股定理可得AC ＝10，此时可得 tan ∠A ＝BC AB ＝68＝34. 当∠ACB 为直角时，根据勾股定理可得AC ＝27 ，此时可得tan ∠A ＝BC AC ＝627＝377. ∵△ABC 是锐角三角形，∴34＜tan ∠A ＜377. 由题意可知∠DEP ＝∠DEC ＋∠CEP ＝2∠A ＋∠CEP ，又∵∠DEP ＝k ∠A ，且k 为正整数，∴k ＝3，即∠CEP ＝∠AEF ＝∠A ，又∵EF 始终与CM 平行，∴∠MCA ＝∠AEF ＝∠A ，∴ 34＜tan ∠MCA ＜377.。

《几何综合探究题中考27题》(共55题)2022年中考专练附答案(北京专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题15几何综合探究题中考27题（共45题）一．解答题（共5小题）1．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE ＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF=12BC，五年中考真题∴CF ＝BF ＝b ， ∵CE ＝AE ＝a ，∴EF =√CF 2+CE 2=√a 2+b 2；（2）AE 2+BF 2＝EF 2．证明：过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，则∠AED ＝∠BMD ，∠CBM ＝∠ACB ＝90°， ∵D 点是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，在△ADE 和△BDM 中， {∠AED =∠BMD ∠ADE =∠BDM AD =BD， ∴△ADE ≌△BDM （AAS ）， ∴AE ＝BM ，DE ＝DM ， ∵DF ⊥DE ， ∴EF ＝MF ， ∵BM 2+BF 2＝MF 2， ∴AE 2+BF 2＝EF 2．2．（2019•北京）已知∠AOB ＝30°，H 为射线OA 上一定点，OH =√3+1，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足∠OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD=√3a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH=12MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH=√3a+a=√3+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB ＝30°∴∠OMP ＝180°﹣∠AOB ﹣∠OPM ＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP ＝∠OPN（3）OP ＝2时，总有ON ＝QP ，证明如下：过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，如图2 ∴∠NCP ＝∠PDM ＝∠PDQ ＝90° ∵∠AOB ＝30°，OP ＝2 ∴PD =12OP ＝1∴OD =√OP 2−PD 2=√3 ∵OH =√3+1 ∴DH ＝OH ﹣OD ＝1 ∵∠OMP ＝∠OPN∴180°﹣∠OMP ＝180°﹣∠OPN 即∠PMD ＝∠NPC 在△PDM 与△NCP 中 {∠PDM =∠NCP ∠PMD =∠NPC PM =NP∴△PDM ≌△NCP （AAS ） ∴PD ＝NC ，DM ＝CP设DM ＝CP ＝x ，则OC ＝OP +PC ＝2+x ，MH ＝MD +DH ＝x +1 ∵点M 关于点H 的对称点为Q ∴HQ ＝MH ＝x +1∴DQ ＝DH +HQ ＝1+x +1＝2+x ∴OC ＝DQ在△OCN 与△QDP 中 {OC =QD∠OCN =∠QDP =90°NC =PD∴△OCN ≌△QDP （SAS ）∴ON＝QP3．（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM=√2AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵{DF =DC DG =DG， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ）， ∴GF ＝GC ；（2）BH =√2AE ，理由是：证法一：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE ， ∵AD ＝AB ， ∴DM ＝BE ，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC ＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG ＝45°， ∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH ＝∠AED +∠1＝90°，DE ＝EH ， ∴∠1＝∠BEH ，在△DME 和△EBH 中， ∵{DM =BE∠1=∠BEH DE =EH， ∴△DME ≌△EBH （SAS ）， ∴EM ＝BH ，Rt △AEM 中，∠A ＝90°，AM ＝AE ， ∴EM =√2AE ， ∴BH =√2AE ；证法二：如图3，过点H 作HN ⊥AB 于N ， ∴∠ENH ＝90°，由方法一可知：DE ＝EH ，∠1＝∠NEH ，在△DAE 和△ENH 中，∵{∠A=∠ENH ∠1=∠NEH DE=EH，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=√2HN=√2AE．4．（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠P AC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC ＝∠B ＝45°，∠P AB ＝45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ ，作ME ⊥QB ，由AAS 证明△APC ≌△QME ，得出PC ＝ME ，△MEB 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ ＝45°+α；理由如下： ∵∠P AC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠P AB ＝45°﹣α， ∵QH ⊥AP ， ∴∠AHM ＝90°，∴∠AMQ ＝180°﹣∠AHM ﹣∠P AB ＝45°+α；（2）PQ =√2MB ；理由如下：连接AQ ，作ME ⊥QB ，如图所示： ∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ， ∴∠QAC ＝∠P AC ＝α， ∴∠QAM ＝45°+α＝∠AMQ ， ∴AP ＝AQ ＝QM ，在△APC 和△QME 中， {∠MQE =∠PAC ∠ACP =∠QEM AP =QM，∴△APC ≌△QME （AAS ）， ∴PC ＝ME ，∵△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ =√22MB ， ∴PQ =√2MB ．方法二：也可以延长AC 到D ，使得CD ＝CQ ．则易证△ADP ≌△QBM ．∴BM ＝PD =√2CD =√2QC =√22PQ ，即PQ =√2MB ．5．（2016•北京）在等边△ABC 中，（1）如图1，P ，Q 是BC 边上的两点，AP ＝AQ ，∠BAP ＝20°，求∠AQB 的度数；（2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与点B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP ＝AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ． ①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P ，Q 运动的过程中，始终有P A ＝PM ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明P A ＝PM ，只需证△APM 是等边三角形；想法2：在BA 上取一点N ，使得BN ＝BP ，要证明P A ＝PM ，只需证△ANP ≌△PCM ；想法3：将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°，得到线段BK ，要证P A ＝PM ，只需证P A ＝CK ，PM ＝CK … 请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A ＝PM （一种方法即可）．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ ＝∠AQP ，由邻补角的定义得到∠APB ＝∠AQC ，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q 关于直线AC的对称点为M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代换得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）如图2，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证P A＝PM，只需证P A＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A＝PM）∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠P AC＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠P AM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK一年模拟新题一．解答题（共40小题）1．（2020•丰台区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD=√3PB成立，并证明．【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；（2）当α的值为60度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD=√3PB成立．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC ＝30°，AB ＝AC ，根据题意可知：AC ＝AD ， ∴AD ＝AB ， ∴∠ABD ＝∠ADB ， ∵∠CAD ＝90°， ∴∠DAB ＝120°，∴∠ABD ＝∠D ＝∠BAC ＝30°， ∴AP ＝BP ，在Rt △APD 中，∠ADB ＝30°， ∴PD ＝2AP ， ∴PD ＝2PB ；（2）当α＝60（或120°）时，PD =√3PB 成立，情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∴DF ∥BE ， ∴△DFP ∽△BEP ， ∴DF BE=PD PB，在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝AB ＝2BE ，在Rt △ADF 中，∠CAD ＝60°， ∴AD =2√33DF ， ∵AD ＝AC ＝AB ， ∴2BE =2√33DE ， ∴√3BE ＝DF ， ∴PD =√3PB ．情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，∴DF ∥BE ， ∴△DFP ∽△BEP ， ∴DF BE=PD PB，在Rt △ABE 中，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝AB ＝2BE ，在Rt △ADF 中，∠F AD ＝60°， ∴AD =2√33DF ， ∵AD ＝AC ＝AB ， ∴2BE =2√33DE ，∴√3BE＝DF，∴PD=√3PB．2．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE=12∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AF，如图1，根据已知条件得到∠3＝∠1+∠2．根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠F AE＝∠3＝∠1+∠2．根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接F A，FE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF，如图1，∵∠3=12∠BAC，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠F AE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠F AE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接F A，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．3．（2020•朝阳区三模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点P在线段BA的延长线上，作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，点D关于直线AB的对称点为E，连接PE并延长PE到点F，使EF＝AC，连接CF．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝CF；（3）若AC＝2，点Q在直线AB上，写出一个AQ的值，使得对于任意的点P总有QD＝QF，并证明．【分析】（1）依照题意，补全图形即可；（2）通过证明四边形DCFP是矩形，可得PD＝CF，由等腰直角三角形的性质可得AD＝PD＝CF；（3）通过证明△DAQ≌△FCQ，可得QD＝QF．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵PD⊥AC，∴∠PDA＝90°，∴∠DP A＝90°﹣∠P AD＝45°＝∠DAP，∴AD＝DP，∵点D关于直线AB的对称点为E，∴∠FP A＝∠DP A＝45°，∴∠DPF＝90°，又∵∠PDA＝90°＝∠ACF，∴四边形DCFP是矩形，∴PD＝CF，∴AD＝PD＝CF；（3）AQ=√2，理由如下：如图2，连接CQ，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2√2，∠B＝∠CAB＝45°，∵AQ=√2，∴AQ＝BQ，又∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴CQ＝AQ＝BQ，∠QCA＝∠CAQ＝45°，∴∠DAQ＝∠QCF＝135°，又∵AD＝CF，∴△DAQ≌△FCQ（SAS），∴FQ＝DQ．4．（2020•北京二模）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点（不与点A，D重合），点F在边DC上，且AE＝DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BEF为等边三角形；（3）用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）易证△ABD为等边三角形，∠BDF＝60°，由SAS证得△ABE≌△DBF，得出BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，则∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝60°，即可得出结论；（3）取FG中点H，连接DH，由等腰三角形的性质得出∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，由三角函数得出GF=√3DG，易证△BCD为等边三角形，B、D、G三点在同一条直线上，求出BG﹣CF＝2DG，即可得出√3（BG﹣CF）＝2GF．【解答】（1）解：补全图形，如图1所示：（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠BDF＝60°，∴∠ABD＝∠BDC＝60°，AB＝BD，在△ABE和△DBF中，{AB=BD∠A=∠BDF=60°AE=DF，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠EBD+∠ABE＝∠ABD＝60°，∴△BEF为等边三角形；（3）解：BG、GF、CF的数量关系为：√3（BG﹣CF）＝2GF，理由如下：取FG中点H，连接DH，如图2所示：∵AE＝DF＝DG，∠FDG＝120°，∴∠DFG＝∠DGF＝30°，DH⊥GF，∴GF＝2GH＝2DG•cos30°＝2DG×√32=√3DG，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝60°，∵∠FDG＝120°，∴∠BDC+∠FDG＝180°，即B、D、G三点在同一条直线上，∴BG＝BD+DG＝CD+DG＝CF+DF+DG＝CF+2DG，∴BG﹣CF＝2DG，∴√3（BG﹣CF）＝2√3DG＝2GF．5．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN=12（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线P A设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN=12（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．6．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A 为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为20°．【分析】（1）由旋转即可补全图形；（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠F AD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM=12（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，{∠BAE=∠CADAB=AC∠ABE=∠ACD=60°，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠F AD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠F AD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠F AD＝60°﹣2α，∴∠ACF=12（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．7．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG=√2DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG=√2DF．（写出一种方法即可）【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）如图，连接DE，DG，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性质得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示；（2）如图，连接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG=√2DG=√2DF．8．（2020•东城区二模）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 是△ABC 外一点，点D 与点C 在直线AB 的异侧，且点D ，A ，C 不共线，连接AD ，BD ，CD ．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB ＝30°时，画出图形，直接写出AD ，BD ，CD 之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB ＝45°时，利用图2，继续探究AD ，BD ，CD 之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB =α2时，进一步探究AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【分析】（1）先判断出∠BDE ＝90°，再根据勾股定理得出BD 2+DE 2＝BE 2，即BD 2+AD 2＝BE 2，再判断出△ABE ≌△ACD （SAS ），得出BE ＝CD ，即可得出结论；（2）同（1）方法得出DE 2+BD 2＝BE 2，进而得出2AD 2+BD 2＝BE 2，同（1）的方法判断出BE ＝CD ，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出DE 2+BD 2＝BE 2，再判断出DF ＝2AD •sin α2，即可得出结论．【解答】解：（1）AD 2+BD 2＝CD 2，理由：如图1，过AD 为边在AD 上侧作等边三角形ADE ，连接BE ，则AD ＝DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ＝60°， ∵∠ADB ＝30°，∴∠BDE ＝∠DBA +∠ADE ＝90°，在Rt △BDE 中，根据勾股定理得，BD 2+DE 2＝BE 2， ∴BD 2+AD 2＝BE 2， ∵∠DAE ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAD ， ∵AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE=12（180°﹣∠DAE）＝90°−12α，∵∠ADB=12α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE 2+BD 2＝CD 2，过点A 作AF ⊥DE 于F ，则DE ＝2DF ， ∴∠DAF ＝90°﹣∠ADE =12α，在Rt △ADF 中，sin ∠DAF =DF AD ， ∴DF ＝AD •sin ∠DAF ＝AD •sin α2，∴DE ＝2DF ＝2AD •sin α2，即：（2AD •sin α2）2+BD 2＝CD 2．9．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．【解答】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．10．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE=√2CN．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在Rt△ANE中，∴AE=√2CN．11．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA=√2BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA=√2BE．理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=√2BE，∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA=√2BE．12．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．【分析】（1）①根据题意作出图形即可求解；②根据等量关系可证∠CDB＝∠MAC；（2）如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，根据SAS可证△ACH≌△DCB，再根据全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】.解：（1）①如图1所示：②证明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3时，对于任意一点C，总有AB+BD＝3．证明：如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等边三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．13．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是AE⊥DF；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝45°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG＝AB，∠BAG ＝90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根据∠BAG＝90°及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根据∠BCG＝90°及等量代换，角的和可得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC ＝∠BCF ＝90°， ∴AB ∥FG ， ∵AF ∥BG ，∴四边形ABGF 是平行四边形， ∴AF ＝BG ，∠BGC ＝∠BAF ， ∵点B 关于直线AD 的对称点为E ，∴AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ＝90°，∠BAD ＝∠EAD ， ∵AB ＝BC ， ∴AE ＝BC ，∴Rt △AEF ≌Rt △BCG （HL ）， ∴∠EAF ＝∠CBG ， ∵∠BCG ＝90°， ∴∠BGC +∠CBG ＝90°， ∴∠BAF +∠EAF ＝90°，∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠EAF ＝90°， ∵∠BAD ＝∠EAD ， ∴∠EAD +∠EAF ＝45°，即∠DAF ＝45°．故答案为：45．14．（2020•武汉模拟）已知，在△ABC 和△EFC 中，∠ABC ＝∠EFC ＝90°，点E 在△ABC 内，且∠CAE +∠CBE ＝90°（1）如图1，当△ABC 和△EFC 均为等腰直角三角形时，连接BF ， ①求证：△CAE ∽△CBF ； ②若BE ＝2，AE ＝4，求EF 的长；（2）如图2，当△ABC 和△EFC 均为一般直角三角形时，若AB BC=EF FC=k ，BE ＝1，AE ＝3，CE ＝4，求k 的值．【分析】（1）①先判断出∠BCF ＝∠ACE ，再判断出CE AC=CF BC，即可得出结论；②先判断出∠CBF ＝∠CAE ，进而判断出∠EBF ＝90°，再求出BF ＝2√2，最后用勾股定理求解即可得出结论；（2）先判断出∠BCF ＝∠ACE ，再判断出CEAC=CF BC，进而判断出△BCF ∽△ACE ，进而表示出BF =√k +1，再表示出EF =√k +1，最后用勾股定理得，BE 2+BF 2＝EF 2，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形， ∴∠ECF ＝∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝∠ACE ，∵△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形， ∴CE =√2CF ，AC =√2CB ， ∴CE CF =AC CB =√2，∴CE AC=CF BC，∴△BCF ∽△ACE ；②由①知，△BCF ∽△ACE ， ∴∠CBF ＝∠CAE ，AE BF=AC BC=√2，∴BF =√22AE =√22×4＝2√2， ∵∠CAE +∠CBE ＝90°， ∴∠CBF +∠CBE ＝90°，即：∠EBF ＝90°，根据勾股定理得，EF =√BE 2+BF 2=√(2√2)2+22=2√3；（2）如图（2），连接BF ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =ABBC =k ，同理，tan ∠ECF ＝k ， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠ECF ， ∴∠ACB ＝∠ECF ， ∴∠BCF ＝∠ACE ，在Rt △ABC 中，设BC ＝m ，则AB ＝km ，根据勾股定理得，AC =√AB 2+BC 2=m √k 2+1；在Rt △CEF 中，设CF ＝n ，则EF ＝nk ，同理，CE ＝n √k 2+1 ∴CF BC =nm ，CEAC =n√k 2+1m√k 2+1=n m，∴CF BC=CE AC，∵∠BCF ＝∠ACE ， ∴△BCF ∽△ACE ， ∴∠CBF ＝∠CAE ， ∵∠CAE +∠CBE ＝90°， ∴∠CBF +∠CBE ＝90°，即：∠EBF ＝90°， ∵△BCF ∽△ACE ， ∴AE BF=AC BC =√k 2+1，∴BF =1√k +1AE =3√k +1，∵CE ＝4， ∴n √k 2+1=4， ∴n =√k +1， ∴EF =4k√k +1，在Rt △EBF 中，根据勾股定理得，BE 2+BF 2＝EF 2，∴12+（3√k 2+1）2＝（4k√k 2+1）2，∴k =√63或k =−√63（舍），即：k 的值为√63．15．（2020•丰台区模拟）如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），连接DE 、点C 关于直线DE 的对称点为C ′，连接AC ′并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′的中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP 、BP 、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC ，若正方形的边长为√2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．【分析】（1）证明∠CDE ＝∠C 'DE 和∠ADF ＝∠C 'DF ，可得∠FDP '=12∠ADC ＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP ≌△DAP '（SAS ），得BP ＝DP '，从而得△P AP '是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C 'G ，确定△ACC ′的面积中底边AC 为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C '在BD 上时，C 'G 最大，其△ACC ′的面积最大，并求此时的面积．【解答】解：（1）由对称得：CD ＝C 'D ，∠CDE ＝∠C 'DE ，在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝C 'D ， ∵F 是AC '的中点，∴DF ⊥AC '，∠ADF ＝∠C 'DF ，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'=12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP=√2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠P AP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵{BA=DA∠BAP=∠DAP′AP=AP′，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'=√2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C=12AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC=√2，∴AC=√(√2)2+(√2)2=2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D=√2，OD=12AC＝1，∴C'G=√2−1，∴S△AC'C=12AC•C'G=12×2(√2−1)=√2−1．16．（2020•朝阳区模拟）在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝α，∠BCD＝β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF=12α，∠ECF=12β，连接BE，EF，FD．（1）如图1，当α＝β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系（直接写出即可）．【分析】（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．证明M，D，T共线，再证明FM＝FT．DM＝DT即可解决问题．（2）结论：EF2＝BE2+DF2．将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．证明∠FDM＝90°，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）结论：∠ABE+∠ADF＝90°．理由：∵AB＝AD，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．∵∠EAF=12×90°＝45°，∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠F AM＝∠F AE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可证：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共线，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD⊥MT，∴∠FDM＝90°，∴∠ADM+∠ADF＝90°，∵∠ADM＝∠ABE，∴∠ABE+∠ADF＝90°．（2）结论：EF2＝BE2+DF2．理由：∵AD＝AB，CD＝CB，∴将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．∵∠EAF=12×∠DAB=12α，∴∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF=12α，∴∠F AM＝∠F AE，∵AM＝AE，AF＝AF，∴△AFM≌△AFE（SAS），∴EF＝FM，同法可证：EF＝FT，∴FM＝FT，∵∠ADM+∠CDT＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠MDT＝90°+90°＝180°，∴M，D，T共线，∵DM＝BE，DT＝BE，∴DM＝DT，∴FD⊥MT，∴∠FDM＝90°，∴FM2＝DM2+DF2，∵FM＝EF，DM＝BE，∴EF2＝BE2+DF2．17．（2020•丰台区模拟）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接P A，PQ，记BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如图1，当Q为BC中点时，求∠P AC的度数；②直接写出P A、PQ的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠P AC＝∠P AD＝30°；②作辅助线，证明△PCD'≌△PCQ，可得P A＝PQ；（2）存在k=√2，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△P AD≌△PQC（SAS）．可得结论．【解答】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，∵∠ACM＝60°，∴△ADC为等边三角形．∴∠DAC＝60°．。

2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题(含答案)

2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题类型一动点探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为________．第1题图2. (2019锦江区二诊)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于______．第2题图3. (2019金牛区二诊)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是对角线AC上的动点，EH⊥AD，垂足为H，以EH为边作正方形EFQH，连接AF，则∠AFE的正弦值为________．第3题图4. 如图，两个全等的三角形△ABC和△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，点E在BC边上从点B向点C移动(点E不与B、C重合)，在运动过程中，DE始终经过点A，EF与AC相交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE的长为__________．第4题图5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为________．第5题图6. (2018成都黑白卷)如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，点D 为AB ︵的中点，点M 、N 分别是CD 、AC 上的动点，则MA ＋MN 的最小值为________．第6题图7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点，连接BE ，MN 是BE 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连接EM 、EN .过点E 作EF ⊥AD 于点F ，已知AB ＝1，BC ＝2.若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为________．第7题图8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，已知AB ＝1，BC ＝3，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为________．第8题图9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，且∠CAM ＋∠CBA ＝45°，则BM 的长为________．第9题图10. (2019锦江区一诊)如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为(0，2)．点D 是线段OC上的一个动点，连接AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF.当点D与点C 重合时，所作矩形ADEF的面积为6.在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为________．第10题图类型二平移探究题1. 如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE向右平移得到△DCF，连接AF.若四边形AEFD为菱形，AF＝45，BE∶EC＝3∶2，则AD长为________．第1题图2．如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A.将△AEO沿AO方向向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′.当A′B＋BE′取得最小值时，则EE′的长是________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，D是AB延长线上一点，过点B在AD上方作射线BE，使得∠DBE＝45°.将△ABC沿射线BE平移，得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，连接A′B，C′B，则A′B＋C′B的最小值是________ .第3题图4. (2018成都黑白卷)如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠BAD＝45°，∠ABD＝75°，点E为线段BD边上一动点，连接AE，第一步：将△AED剪下平移到△BGC处；第二步：将△ABE剪下平移到△DCF处；第三步：将△BGC沿BC的中垂线翻转180°后得到△CG′B；第四步：将△CFD沿DC的中垂线翻转180°后得到△DF′C，连接F′G′；当点E在BD上移动时，F′G′的最小值为________．第4题图类型三旋转探究题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD 绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，在旋转过程中，CF的最大长度是________．第1题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12.点D 在边AC 上(不与A ，C 重合)，连接BD ，F 为BD 中点．若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，则线段CF 长度的最大值是________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点G ，F 在BC 边上(均不与端点重合)，DG ∥EF .将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°，将△CEF 绕点E 逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN ，则四边形MGFN 周长l 的取值范围是________．第3题图4. (2019高新区二诊)如图，△ABC ，△EFG 分别是边长为2和233的等边三角形，D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转一周时，点M 经过的路径长为________．第4题图5. 如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形(∠ACB ＝∠DCE ＝90°)．保持△ABC 固定不动，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，连接AD 、AE 、BD ，直线AE 与BD 相交于点H ，点P 、M 、N 分别是AD 、AB 、DE 的中点，若AC ＝4，CD ＝2，则在旋转过程中，△PMN 的面积的最大值为________．第5题图类型四折叠探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AB的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在的直线折叠到△EGF的位置，连接GD，则GD的最小值是______．第1题图2. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点)，且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的最大值和最小值的和是______．第2题图3. (2019淮安)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝________．第3题图4. (2019金牛区二诊)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在△ABC 内有一点P ，已知∠1＝∠2＝∠3，将△BCP 以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连接AD ，将△APD 的面积记为S 1，将△BPE 的面积记为S 2，则S 2S 1的值为________．第4题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE ，使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为________．第5题图6. (2019都江堰区一诊)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC ＝4AM ，设BD ＝m ，那么∠ACD 的正切值是______．(用含m 的代数式表示)第6题图7. (2019成华区二诊)已知一个矩形纸片ABCD ，AB ＝12，BC ＝6，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 落在C ′处，DC ′，EC ′分别交AB 于点F ，G ，若GE ＝GF ，则sin ∠CDE 的值为________．第7题图8. (2019成都黑白卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，若BE ＝AD ＝10，平行四边形ABCD 的面积为60，则FG ＝ ________．第8题图9. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是______．第9题图10. 如图，四边形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB＝6，AD＝CD＝3，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值为______．第10题图参考答案类型一动点探究题1. 9 【解析】如解图，由题意可知，点G 在以点B 为圆心，1为半径的14圆弧上运动．作点C 关于AD 的对称点C ′，连接C ′B 交AD 于点H ，交以点B 为圆心，1为半径的圆于点G ，由两点之间线段最短，此时C ′B 的值最小，最小值为BC 2＋CC ′2＝62＋82＝10，∵GH ＋CH ＝GH ＋C ′H ＝BC ′－BG ＝9，∴GH ＋CH 的最小值为9.第1题解图2. 925【解析】如解图，∵点D 为BC 边上一动点，∴AD 的最小值为AD 1，最大值为AD 2，∵在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝52－32＝4，∵S △ABC ＝AB ·AC 2＝BC ·AD 12，解得AD 1＝125，∵AD 2为最大值4，∴最小面积与最大面积之比＝(125∶4)2＝925.第2题解图3. 513【解析】∵四边形EFQH 是正方形，∴∠EHA ＝90°，设HE ＝HQ ＝x ，AH ＝y ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，∴HE ∥CD ，AD ∥EF ，∴△AHE ∽△ADC ，∴HE CD ＝AH AD ，即x 5＝y 7，设x ＝5k ，则y ＝7k ，∵四边形EFQH 是正方形，∴HQ ∥EF ，∴∠AFE ＝∠QAF ，在Rt △AQF 中，AF ＝（5k ）2＋（12k ）2＝13k ，∴sin ∠AFE ＝sin ∠QAF ＝QF AF ＝5k 13k ＝513. 4. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE CA ＝AC BC ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝BC －EC ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 5. 22或2－1 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.①当AF ＝CF 时，∠F AC ＝∠C ＝45°，∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝22；②当CF ＝CA ＝2时，BF ＝BC －CF ＝22－2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝2－1；③当AF ＝AC 时，点F 与点B 重合(舍去)．综上所述，BD 的长为22或2－1. 6. 6 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠ABC ＝45°，OA ＝OC ＝2，∴∠AOC ＝90°，∴AC ＝2OA ＝22，在CB 上取一点A ′，使CA ′＝CA ，∵∠ACB ＝60°，∴△A ′CA 为等边三角形，过点A ′作A ′N ′⊥AC 于点N ′，∵点D 为AB ︵的中点，∴CD 为∠ACB 的平分线，∴点A 与点A ′关于直线CD 对称，连接A ′M ，∴A ′M＝AM ，即AM ＋MN ＝A ′M ＋MN ，根据直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，∴A ′N ′的长即为MA ＋MN 的最小值，∵A ′C ＝AC ＝22，∠ACB ＝60°，∴A ′N ′＝A ′C ·sin60°＝22×32＝6，即MA ＋MN 的最小值为 6.第6题解图7. 13或5－255【解析】如解图①，当∠AME ＝90°时，易知四边形AMEF 是矩形，且四边形BMEN 是正方形．∵ME ∥BC ，∴AM ME ＝AB BC ＝12，∴AM ＋BM ＝AM ＋2AM ＝1，则EF ＝AM ＝13；如解图②，当∠AEM ＝90°时，易证△AEM ∽△ABC ，∴AE ME ＝AB CB ＝12，∴ME ＝2AE ，则BM ＝ME ＝2AE ，AM ＝5AE ，∴AB ＝AM ＋BM ＝2AE ＋5AE ＝1，解得AE ＝5－2.又∵EF ∥CD ，∴EF AE ＝CD AC ＝15，∴EF ＝55(5－2)＝5－255.综上，若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为13或5－255.图① 图②第7题解图 8. 43或1或1－63 【解析】如解图①，当AE ＝AF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝AE ＝3－a .在Rt △ABE中，由AE 2＝AB 2＋BE 2得(3－a )2＝12＋a 2，解得a ＝43；如解图②，当AE ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝3－a ，由AF ＝2BE ，得3－a ＝2a ，解得a ＝1；如解图③，当AF ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝EF ＝3－a .由∠F AE ＝∠FEA ＝∠AEB 可得AB ＝AG ＝1，易知EG ＝BE ＝a ，∴FG ＝3－2a .在Rt △AFG 中，由AF 2＝AG 2＋FG 2得(3－a )2＝12＋(3－2a )2，解得a ＝1－63或a ＝1＋63(不符合题意，舍去)．综上，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为43或1或1－63.图① 图② 图③第8题解图 9. 135或175【解析】①当M 在线段BC 上时，如解图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，∵∠CAM ＋∠CBA ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠BAM ＝45°.∵AC ＝2，BC ＝3，∴AB ＝13.∵Rt △BHM ∽Rt △BCA ，∴MH AC ＝BH BC＝BM BA .设MH ＝2x ，则2x 2＝BH 3＝BM 13，∴BH ＝3x ，BM ＝13x ，在Rt △AHM 中，AH ＝MH ＝2x ，∵AB ＝BH ＋AH ＝13，∴5x ＝13，x ＝135，BM ＝13x ＝135；②当M 在BC 延长线上时，如解图，则∠CAM ′＋∠CBA ＝45°，又∵∠CAM ＋ ∠CBA ＝45°，∴∠CAM ＝∠CAM ′.又∵AC ⊥BM ′，∴CM ＝CM ′.由①得CM ＝BC －BM ＝25，∴BM ′＝175；③当M 在CB 的延长线上时，不存在∠CAM ＋∠CBA ＝45°.综上所述，BM 的长为135或175.第9题解图10. y ＝113x 【解析】当点D 与点C 重合时，如解图，过F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接OF ，∵S △ABC ＝12S 矩形 AOCB ＝12S 矩形ADEF ＝3，∴S 矩形AOCB ＝6，∵A 点坐标为(0，2)，∴OA ＝2，∴OC ＝3，∵∠F AD ＝90°，易得△FGA ∽△AOD ，∴FG AO ＝AG DO ，即FG AG ＝AO DO ＝23，设|FG |＝2a ，|AG |＝3a 由勾股定理得OF ＝OG 2＋FG 2＝（2＋3a ）2＋（2a ）2＝13a 2＋12a ＋4，令t ＝13a 2＋12a ＋4，∴t ＝13a 2＋12a ＋4＝13(a ＋613)2＋4，∴当a ＝－613时，t 有最小值．∴|FG |＝|2×(－613)|＝1213，|AG |＝|3×(－613)|＝1813，点F 的横坐标为1213，纵坐标为1813＋2＝4413，设OF 解析式为y ＝kx (k ≠0)，求得k ＝113，故函数的解析式为y ＝113x .第10题解图类型二平移探究题1. 5 【解析】∵四边形AEFD 为菱形，∴AE ＝EF ，∵将△ABE 向右平移得到△DCF ，∴BE ＝CF ，AB ＝CD ，∵BE ∶EC ＝3∶2，设BE ＝3k ，EC ＝2k ，∴BC ＝EF ＝5k ，∴AE ＝5k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝90°，∴AB ＝AE 2－BE 2＝4k ，∴AB 2＋BF 2＝AF 2，即(4k )2＋(8k )2＝(45)2，∴k ＝1，∴AD ＝BC ＝5.2. 67 【解析】∵OA ＝2，OB ＝4，∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°，∴△OAE ∽△OBA ，∴OA OB ＝OE OA ，即24＝OE 2，解得OE ＝1，如解图，过点A 作AB ′⊥OA ，并使AB ′＝BE ＝3.易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′＝BE ′，∴A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋B ′A ′.当点B 、A ′、B ′在同一条直线上时，A ′B ＋B ′A ′最小，即此时A ′B ＋BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′，∴AA ′OA ′＝AB ′OB ＝34，∴AA ′OA ＝37，AO ＝2，∴AA ′＝37×2＝67，∴EE ′＝AA ′＝67.第2题解图3. 25 【解析】如解图，作射线CC ′，AA ′，AA ′交BC ′于点O ，过点C 作CF ∥AB 交AA ′于F ，连接BF ，由平移性质得AA ′∥BE ∥CC ′，∵∠EBD ＝45°，∴∠F AB ＝∠C ′CF ＝45°，∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴易得四边形ABFC 是正方形，∴∠FCB ＝45°，∴∠C ′CB ＝90°，∵A ′C ′＝BF ，∠A ′OC ′＝∠FOB ，∠C ′A ′O ＝∠BFO ＝45°，∴△A ′OC ′≌△FOB ，∴BO ＝C ′O ，∴CO ＝C ′O ＝BO ，延长FC 到G ，使得CG ＝CF ，连接A ′G ，则CO 是△FGA ′的中位线，∴A ′G ＝2CO ＝BC ′，∴BC ′＋BA ′＝BA ′＋A ′G ，∴当点B 、A ′、G 在同一条直线上时，BG 取得最小值，那A ′B ＋C ′B 取得最小值．∵在Rt △GFB 中，BF ＝AC ＝2，FG ＝2CF ＝4，∴BG ＝25，∴A ′B ＋C ′B 的最小值为2 5.第3题解图 4. 32＋62 【解析】由翻转可得△BG ′C ≌△CGB ≌△DEA ，∴CG ′＝AE ，∠BCG ′＝EAD ，同理可得CF ′＝AE ，∠DCF ′＝∠BAE ，∴∠BCG ′＋∠DCF ′＝∠EAD ＋∠BAE ＝45°，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴∠G ′CF ′＝∠G ′CB ＋∠BCD ＋∠DCF ′＝90°.∴△G ′CF ′为等腰直角三角形，由勾股定理可得F ′G ′＝2CG ′＝2AE ，当AE ⊥BD 时，AE 的值最小，即此时F ′G ′的值最小，∵△AED ≌△BGC ，△ABE ≌△DCF ，且∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴∠BGC ＝∠AED ＝90°，∠DFC ＝∠AEB ＝90°，∴BG ∥DF ，又∵BG ＝AE ＝DF ，∴四边形BGFD 为矩形，如解图，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝∠ABM ＝45°，AB ＝6，∴AM ＝BM ＝6×22＝3，∵∠ABD ＝75°，∴∠DBM ＝∠ABD －∠ABM ＝75°－45°＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴在Rt △DBM 中，BD ＝BM sin60°＝2，MD ＝BM tan60°＝1，∴AD ＝AM ＋MD ＝1＋3，∵S △BAD ＝12BD ·AE ＝12AD ·BM ，即2AE ＝(1＋3)×3.∴AE ＝3＋32，∴F ′G ′的最小值为32＋62.第4题解图类型三旋转探究题1. 10＋2 【解析】如解图，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝210.∵M 为AB 中点，∴CM ＝12AB ＝10，∵将线段AD 绕点A 按顺时针方向旋转，点D 的对应点是点P ，∴AP ＝AD ＝4，∵M 为AB 中点，F 为BP 中点，∴FM ＝12AP ＝2.当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝10＋2.第1题解图2. 4＋35 【解析】如解图①，当AD ＝13AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12，且BC ＝6，∴AC ＝12，AB ＝6 5.∵M 为AB 中点，∴CM ＝35，∵AD ＝13AC ，∴AD ＝4.∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴FM ＝12AD ＝2，∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝2＋35；如解图②，当AD ＝23AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，同理可得CF 的最大值为4＋35，综上，线段CF 的长度的最大值为4＋3 5.第2题解图3. 7＜l ＜17 【解析】如解图，过点A 作AH ∥DG ，∵DG ∥EF ，∴DG ∥EF ∥AH ，∵点D 为AB 的中点，将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°后到△ADM 的位置，∴BG ＝AM ，MG ∥AH 且MG ＝AH ，同理CF ＝AN ，NF ∥AH 且NF ＝AH ，∴四边形MGFN 是平行四边形，∴MN ＝GF ＝AM ＋AN ＝BG ＋CF .在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴由勾股定理得BC ＝5，即MN ＋GF ＝5，在△ABH 中，由三角形的三边关系可得AB －BH ＜AH ＜AB ＋BH ，同理AC －CH ＜AH ＜AC ＋CH ，两式相加得AB ＋AC －(BH ＋CH )＜2AH ＜AB ＋AC ＋(BH ＋CH )，∴4＋3－5＜2AH ＜4＋3＋5，即2＜2AH ＜12，l ＝MG ＋GF ＋NF ＋MN ＝2AH ＋BC ，∵BC ＝5，2＜2AH ＜12，∴7＜l ＜17.第3题解图4. 4π3【解析】如解图，连接AD 、DG .∵△ABC 和△EFG 均是等边三角形，D 分别是BC 和EF 的中点，∴BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，∴∠ADC ＝∠GDF ＝90°，∴∠ADG ＝∠CDF ，∵AD CD＝DG DF＝tan60°，∴△ADG ∽△CDF ，∴∠DAG ＝∠DCF ，∴∠AMC ＝90°，∴点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，且来回共两个三分之一圆，∴点M 运动的路径长为4π3.第4题解图5. 92【解析】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＋∠BCE ＝∠BCE ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠HBA ＋∠HAB ＝∠HBC ＋∠CBA ＋∠HAB ＝∠CBA ＋∠CAB ＝90°，∴BD ⊥AE .∵P ，M 分别是AD ，AB的中点，∴PM ∥BD ，且PM ＝12BD ，同理，PN ∥AE ，且PN ＝12AE ，∴PM ⊥PN ，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.第5题解图类型四折叠探究题1. 73－3 【解析】如解图，由EG ＝EB ＝3，可得当点G 在DE 上时，此时GD 的值最小，根据折叠的性质，△EBF ≌△EGF ，∴EG ⊥GF ，EG ＝EB ，∵E 是AB 边的中点，AB ＝6，∴AE ＝EG ＝3，∵AD ＝8，∴Rt △ADE 中，DE ＝82＋32＝73，∴GD ＝73－3.第1题解图2. 8 【解析】设折痕为PQ ，点P 在AB 边上，点Q 在BC 边上．如解图①，当点Q 与点C 重合时，AE 最小，根据翻折对称性可得EC ＝BC ＝10，在Rt △CDE 中，CE 2＝ED 2＋CD 2，即102＝(10－AE )2＋62，解得AE ＝2，即x ＝2；如解图②，当点P 与点A 重合时，AE 最大，根据翻折对称性可得AE ＝AB ＝6，即x ＝6，所以x 的最大值和最小值的和是8.图① 图②第2题解图 3. 43 【解析】如解图，连接PB 交CH 于点E .在Rt △BCH 中，BC ＝2，BH ＝12AB ＝32，∵△PCH 是由△BCH 折叠得到的，∴PB ⊥CH ，BE ＝PE ，PH ＝HB .∴∠HPB ＝∠HBP .∵AH ＝BH ，∴AH ＝PH .∴∠P AH ＝∠APH .∴∠APH ＋∠BPH ＝12(∠P AB ＋∠APB ＋∠ABP )＝90°.∴AP ∥CH ，∴tan ∠HAP ＝tan ∠BHC ＝BC BH ＝43.第3题解图 4. 12 【解析】如解图，连接BD ，延长CP 交BD 于点F ，由翻折可知CF ⊥BD ，BF ＝DF ，∠BPF ＝∠DPF ，∵∠1＝∠2＝∠3，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＋∠ACP ＝∠2＋∠ACP ＝90°，∠2＋∠PBC ＝∠3＋∠PBC ＝45°，∴∠APC ＝90°，∠DPF ＝45°，DF ＝FB ＝PF ，∴△APC ≌△CFB ，∴AP ＝CF ，CP＝BF ＝PF ，∴AP ＝BD ，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴S 2S 1＝12.第4题解图5. 1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 长为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F .此时AF 的值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∵AC ＝4，∴AD ＝5，∵FD ＝3，∴F A ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF DA ＝DH DC ＝HF CA ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.第5题解图6. 10m －253【解析】如解图，作AH ⊥BC 于点H ，MG ⊥BC 于点G ，连接EM 、MD 、BM ，∵AB ＝AC ，BC ＝8，AH ⊥BC ，∴CH ＝4，∵AC ＝4AM ，∴CM ∶AC ＝3∶4，∵AH ∥MG ，∴CG HC ＝CM AC ＝34，即CG 4＝34，解得CG ＝3，∴BG ＝5，∴DG ＝m －5，由翻折的性质可知MD ＝BD ＝m ，在Rt △MGD 中，依据勾股定理可知：MG ＝MD 2－GD 2＝m 2－（m －5）2＝10m －25，∴tan ∠ACD ＝tan ∠ACG ＝MG CG ＝10m －253.第6题解图 7. 1010 【解析】设CE ＝x ，则BE ＝6－x .根据折叠的对称性可知DC ′＝DC ＝12，C ′E ＝CE ＝x .在△FC ′G 和△EBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ′＝∠B ＝90°∠FGC ′＝∠EGB GF ＝GE，∴△FC ′G ≌△EBG (AAS)．∴FC ′＝BE ＝6－x .∴DF ＝12－(6－x )＝6＋x .连接FE ，在Rt △FC ′E 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ′＝BE EF ＝EF，∴Rt △FC ′E ≌Rt △EBF (HL)．∴FB ＝EC ′＝x .∴AF ＝12－x .在Rt △ADF 中，AD 2＋AF 2＝DF 2，即36＋(12－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝4.∴CE ＝4.在Rt △CDE 中，DE 2＝DC 2＋CE 2，则DE ＝410.∴sin ∠CDE ＝CE DE ＝1010. 8. 2 【解析】∵将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，∴AE ＝EF ，∠AEB ＝∠FEB ，∴∠AEB ＝12(180°－∠DEF )，∵E 为AD 边的中点，∴AE ＝DE ，∴DE ＝EF ，∴∠EDF ＝∠EFD ，∴∠EDF ＝12(180°－∠DEF )，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴BE ∥DG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥BG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴DE ＝BG ，DG ＝BE ＝10，∵四边形ABCD 是平行四边形，且面积等于60，AE ＝DE ，∴S △ABE ＝14S ▱ABCD ＝15，如解图，连接AF 交BE 于H ，则AH ⊥BE ，AH ＝HF ，∵BE ＝10，∴AH ＝3，∴AF ＝6，∵BE ∥DG ，∴AF ⊥DG ，∴DF ＝AD 2－AF 2＝8，∴FG ＝DG －FD ＝2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接AN ，∵∠ABM ＝∠MBN ＝30°，∠BNM ＝∠BAM ＝90°，∴∠BMG ＝∠BNM －∠MBN ＝90°－30°＝60°，∴∠MBG ＝∠ABG －∠ABM ＝90°－30°＝60°，∴∠BGM ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠MBG ＝∠BMG ＝∠BGM ＝60°，∴△BMG 为等边三角形，∵点N 是MG 的中点，∴BN ⊥MG ，∵BG＝BM ＝AB cos ∠ABM ＝433，∴BN ＝BG ·sin60°＝433×32＝2，根据题意易知E 点和H 点关于BM 对称，∴PH ＝PE ，∴P 与Q 重合时，PN ＋PH 的值最小，此时PN ＋PH ＝PN ＋PE ＝EN ，∵EN ＝BN 2－BE 2＝22－（2÷2）2＝3，∴PN ＋PH ＝3，∴PN ＋PH 的最小值是 3.第9题解图10. 35－6【解析】如解图①，设A的对应点为P1，连接ED，过P1作PP1⊥ED于点P，∴在Rt△P1PD 中，DP1＞DP，∴当点A的对应点P落在线段ED上时，此时PD有最小值，即当EP取最大值时，PD有最小值，而点E在线段AB上，∴当点E与点B重合时，如解图②，即EP最大，从而此时PD取得最小值，在Rt△ADB中，BD＝AB2＋AD2＝35，∵PB＝AB＝6，∴DP＝BD－BP＝35－6.图①图②第10题解图。

2020中考数学专题汇编几何最值含解析

几何最值一、选择题 1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（） A ． 2 ＋1B ． 2 ＋12C ．2 2 ＋1D ．2 2 —12{答案} B{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋12，因此本题选B ．2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝12，有下列结论：①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋372.其中，正确结论的序号为（）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③{答案} D{解析}设AQ ＝x ，则BP ＝52—x①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝534，∴DE ＝34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而332≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝32，∴都存在，∴②正确；DQ PCB ANMHG AB CD EFF E DQ PC B AFE ABC P QDD Q C B(P)AE③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝34×32－12⋅x ⋅34－12×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为31316；③正确； ④如图，将D 沿AB 方向平移12个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝32－14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋392，④错误.3．(2020·荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动，A (0，2)，B (0，4)，连接AC 、BD ，则AC ＋BD 的最小值为( ) A ．25 B ．210 C ．62 D ．35{答案}B{解析}如图#，过点B 作BB′∥x 轴(点B′在点B 的左侧)，且使BB′＝2，则B′(－2，4)；作A 关于x 轴的对称点A′，则A′(0，－2)；连结A′B′交x 轴于点C ；在x 轴上向右截取CD ＝2，则此时AC ＋BD 的值最小，且最小值＝A′B′＝2226+＝210．故选B ．4．（2020·南通）△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 为BC 的中点，直线l 经过点D ，过B 作BF ⊥l 于F ，过A 作AE ⊥l 于E ．求AE ＋BF 的最大值为A ．6B ．22C ．23D ．32{答案}AxO y 图6D C B A x O y 图#DC BA B′ A′{解析}过点A 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △AHB 中，∠ABC ＝60°，得BH ＝1，AH，在Rt △AHC 中，∠ACB ＝45°，得AC．当直线l 与AB 相交时，延长BF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，可得AE ＋BF ＝AE ＋FM ＝BM ，在Rt △AMB 中，BM ＜AB ，当直线l ⊥AB 时，最大值为2；当直线l 与AC 相交时，过点C 作CH ⊥l 于点H ，由点D 为BC 中点可证明△BFD ≌△CHD ，BF ＝CH ，延长AE ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，可得AE ＋BF ＝AE ＋CK ＝AE ＋EN ＝AN ，在Rt △ACN 中，AN ＜AC, 当直线l ⊥AC 时；所以AE ＋BF．5．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE △周长的最小值为（）．A. 5B. 6C. 7D. 8{答案}B{解析}连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∵点B 与点D 关于AC 对称， ∵BF =DF ，∵BFE △的周长=BF +EF +BE =DE +BE ，此时周长最小， ∵正方形ABCD 的边长为4， ∵AD =AB =4，∵DAB =90°， ∵点E 在AB 上且1BE =， ∵AE =3， ∵DE5=，∵BFE △的周长=5+1=6，故选：B.6.（2020·永州）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A.5B.15-C.15- D. 2【答案】B【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l的距离5d ===，C 半径为1，∴PQ1，故选：B.二、填空题7．（2020·绵阳）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为．{答案}2{解析}延长AD 、BC 交于点P ，作MH ⊥PB 于H . ∵AB ∥CD ，∴PD AD ＝PCBC，∠ABC ＝∠DCP ＝60°.∵AD ＝BC ＝CD ＝4，∴PD ＝PC ，∴△PDC 为等边三角形，∴PD ＝PC ＝CD ＝4，∠P ＝60°. 由∠AMD ＝90°，可知点M 在以AD 为直径的⊙E 上，且在四边形ABCD 内的一个动点，根据垂线段最短可知E 、M 、H 三点共线时MH 最小.在Rt △PEH 中，EP ＝6，∠P ＝60°，∴EH ＝EP ·sin60°＝∴MH 的最小值＝EH －EM ＝2.8．（2020·扬州）如图，在▱ABCD 中，∠B =60° ，AB =10，BC =8，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得DF =14DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 .（第18题图） {答案}{解析}本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段MDCB A最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A 作AM ⊥BC 于M ，设EG 、DC 交于H ．∵在Rt △AMB 中，∠B =60° ，AB =10，s i n ∠B =2AM AB =，∴AM =，▱EFGC 中，∵DF =14DE ，∴ED =45DF ，又EF =GC ，∴45ED GC =，∵EF ∥CG ，∴△EHD △GHC ，∴45DH ED EH HC CG HG ===，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E 在AB 上如何运动，H 始终是定点，H 又在EG 上，它到AB 的最短距离就是HN ，S ▱ABCD =AM BC HN AB ⨯=⨯，∴AM BC NH AB ⨯===E 运动到与N 重合（见答图2），EG 最短，此时，HG =54NH =EG 的最小值= HG +NH =．因此本题答案为．（第18题答图1）（第18题答图2）9．（2020·鄂州）如图，已知直线4y =+与x 、y 轴交于A 、B 两点，O 的半径为1，P 为AB 上一动点，PQ 切O 于Q 点．当线段PQ 长取最小值时，直线PQ 交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P到直线a 的距离的最大值为______________．{答案}{解析}本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．先找到PQ 长取最小值时P 的位置即为OP ⊥AB 时，然后画出图形，由于PM 即为P 到直线a 的距离的最大值，求出PM 长即可．解：如图，在直线4y =+上，x ＝0时，y ＝4，y ＝0时，x ，∴OB ＝4，OA∴tan OA OBA OB ==∠， ∴∠OBA ＝30°，由PQ 切O 于Q 点，可知OQ ⊥PQ ，∴PQ由于OQ ＝1，因此当OP 最小时PQ 长取最小值，此时OP ⊥AB ，∴122OP OB ==，此时PQ BP ， ∴12OQ OP =，即∠OPQ ＝30°，若使P 到直线a 的距离最大，则最大值为PM ，且M 位于x 轴下方，过P 作PE ⊥y 轴于E ，12EP BP ==3BE ==，∴431OE =-=，∵12OE OP =，∴∠OPE ＝30°，∴∠EPM ＝30°＋30°＝60°，即∠EMP ＝30°，∴2PM EP ==故答案为：10．（2020·宜宾）如图，四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，AD ＝3，AB ＝5，BC ＝2，P 是边AB 上的动点，则PC +PD 的最小值是 5．【解答】解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BC，∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，∴△ADP∽△BC′P，∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′∴PB＝AP，∵AP+BP＝AB＝5，∴AP＝5，BP＝2，∴PD＝＝＝3，PC′＝＝＝2，∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，∴PC+PD的最小值是5，故答案为5．11．（2020·东营）如图，在Rt△AOB中，OB=A=30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．{答案}{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．连接OP 、OQ ，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ ,∴当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短.∵在Rt △AOB中，OB=A=30°，∴43AB，6AO ，∴21OA ×OB=21OP ×AB ，即623343OP ，∴223122PQ．12．（2020·毕节）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP ＋PE 的最小值是_________．{答案}，{解析}本题考查正方形的性质，线段最短问题．解：∵正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点， ∴BE ＝2．∵点P 是对角线BD 上的动点，连接PC ，则PC ＝PA ．连接EC 交BD 于点P ，此时AP ＋PE ＝AC ＋PE ＝EC 有最小值，最小值EC ．故答案为13.（2020·永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点A()4,3P ，M ，N 分别是,OA OB 边上的动点，连接,,PM PN MN ，则PMN 周长的最小值是_________．【答案】【详解】分别作出点P 关于OA 和OB 的对称点1P 和2P ，则2P （4，-3），连接1P 2P ，分别与OA 和OB 交于点M 和N ，此时，1P 2P 的长即为PMN 周长的最小值．由60AOB ∠=︒可得直线OA 的表达式为y=2x ，设1P (x,y)，由1P 2P 与直线OA 垂直及1P 2P 中点坐标在直线OA 上可得方程组：3·214342?22y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩解得：05x y =⎧⎨=⎩则1P (0，5)，由两点距离公式可得：12PP ==即PMN周长的最小值三、解答题14．（2020·扬州）如图1.已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA =OB =OC =OD =2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F . （1）求证：OC ∥AD ；（2）如图2，若DE =DF ，求AE AF 的值；（3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE 的值.（第27题图1）（第27题图2）{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1（2）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB ＝90°，再利用互余关系得出∠AOF ＝90°，从而求得AD 的长，最后由△ADE ∽△AOF 求得AE AF的值；（3）如答图2，以O 为圆心，OA 为半径作圆，延长BC 与AD 交于点H . 过E 作EQ ⊥CD 于Q . 先证△ACB ≌△ACH 得AB =AH =4，BC =HC ，于是DC =CB =CH ，再由△HCD ∽△HAB 得到HD 与BC 的关系式，最后，设BC =x ，四边形ABCD 的周长为y ，通过二次函数的最值求得BC 的长，从而可借助余弦函数求得DE 的长.∴∠AOF ＝90°，AD =AOF ＝∠ADB ＝90°，∠DAC =∠OAC ，∴△ADE ∽△AOF ，∴2AE AD AF AO ===（第27题答图1）（第27题答图2）（第27题答图3）（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB和△ACH中，∠ACB ＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB= AH=4，BC=HC，又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=12HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴HC HDHA HB=，即42BC HDBC=，∴HD=12BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-12BC2+BC+BC=-12x2+2x+8=()21262x--+，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），AD=CD=BC，∴AD CD BC==，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴DQ=12CD=1，在Rt△DQE中，DQDE=COS∠CDE，1DE=32，∴DE=233.15.（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是∠NAB＝∠MAC，NB与MC的数量关系是NB＝CM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．16.（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【解答】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．17.（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的大小为60°．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，∴MN≤2，∴△MNP的面积＝＝，∴△MNP的面积的最大值为．18.（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵点F是DE的中点，∴CF＝DE＝AD；（2）AG＝BC，理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝＝a，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴＝2，∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG＝BH∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝2a，∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BD＝PD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴PD＝PD+AP，∴PD＝m，∴BD＝PD＝m，由（1）可知：CE＝BD＝m．19.（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC 的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC ＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．【解答】解：（1）如图①，∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，∴∠ACE+∠FBC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；（2）如图②，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BFC+α+β＝180°，∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，∴MN＝NK，∠MNK＝60°，∴△MNK是等边三角形，∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，∴OK＝NQ，MO＝MQ，∴△MOQ是等边三角形，∴∠QOM＝60°，∴∠NOQ＝30°，∵OK＝NQ，∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，∴NQ＝OQ＝，∴线段OK长度的最小值为．.。

2020年中考数学重难点题型六几何探究题

题型六几何探究题(必考1道，9或12分)类型一动点(不定点)探究问题(2019.22，2018.22)1. (2019广西北部湾经济区改编)如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点(点E 与点A ，B 不重合)，连接CE ，过点B 作BF ⊥CE 于点G ，交AD 于点F .(1)①∠AFB 与∠CEB 的数量关系为________； ②AE 与DF 的数量关系为________；(2)如图②，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC ＝DG ；(3)如图③，在(2)的条件下，过点C 作CM ⊥DG 于点H ，分别交AD 、BF 于点M 、N ，求MNNH的值．第1题图2. (2019江西)在图①，②，③中，已知▱ABCD ，∠ABC ＝120°，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且∠EAG ＝120°.(1)如图①，当点E 与点B 重合时，∠CEF ＝________°； (2)如图②，连接AF .①填空：∠F AD ________∠EAB (填“＞”，“＜”，“＝”)； ②求证：点F 在∠ABC 的平分线上；(3)如图③，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BCAB 的值．第2题图3. (2018 江西)在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随着点P 的位置变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．第3题图4.(2019江西模拟)已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的动点，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作一个等腰直角三角形CDE，连接E B.(1)如图①，若点D恰好是AB的中点，则ED和EB的数量关系是________；(2)如图②，若点D是线段AB上任意一点，(1)中ED和EB的数量关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的数量关系，并说明理由；(3)如图③，其他条件不变，已知AB＝4，当点D在直线AB上运动，且△BCE恰好为等边三角形时，求出符合条件的AD的长．第4题图5.(2019江西样卷一)已知，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝8，点P是对角线BD上的一个动点，连接AP，以AP为边在AP的右侧作等边△APE.第5题图①(1)①如图①，当点P运动到与点D重合时，记等边△APE为等边△AP1E1，则点E1到BC的距离是________；②如图②，当点P运动到点E落在AD上时，记等边△APE为等边△AP2E2.则等边△AP2E2的边长AE2是________；(2)如图③，当点P运动到与点B重合时，记等边△APE为等边△AP3E3，过点E3作E3F∥AB交BD于点F，求E3F的长；(3)①在上述变化过程中的点E1，E2，E3是否在同一直线上？请建立平面直角坐标系加以判断，并说明理由；②点E的位置随着动点P在线段BD上的位置变化而变化，猜想关于所有点E的位置的一个数学结论，试用一句话表述：________________________________________________________________________.第5题图类型二旋转探究问题(2017.23，2016.22，2014.23，2010.25)1. (2019河南)在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP .(1)观察猜想如图①，当α＝60°时，BDCP 的值是______，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是______；(2)类比探究如图②，当α＝90°时，请写出BDCP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由；(3)解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，求出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．第1题图2. (2019自贡)(1)如图①，E是正方形ABCD边AB上的—点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①线段DB和DG的数量关系是________；②写出线段BE、BF和DB之间的数量关系；(2)当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图②，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图③，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，求出线段GM 的长度．第2题图3. (2019江西样卷二)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB 上，连接DE ，且DE ＝AE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，则EFAD ＝________，sin ∠ADE ＝________；探究证明(2)在(1)中，如果将点D 沿CA 方向移动，使CD ＝13AC ，其余条件不变，如图②，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值；若不变，请说明理由；拓展延伸(3)如图③，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝α，点D 在边AC 的延长线上，E 是AB 上任意一点，连接DE ，ED ＝nAE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转90°至点F ，连接EF ，求EFAD 和sin ∠ADE 的值分别是多少？(请用含有n ，α的式子表示)第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，A (0，3)、B (3，0)、C (－3，0)． (1)∠CAB ＝________°；(2)如图①，过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线MN于点H，证明：P A ＝PH；(3)在(1)的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G为BQ的中点，如图②，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．第4题图5. (2019江西黑白卷)如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM＝BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．(1)观察猜想在图①中，当点D 在BC 上，点E 在AC 上时，AE 与AM 的数量关系是________，∠MAE ＝________； (2)探究证明将△CDE 绕点C 顺时针旋转至图②的位置，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展应用若CD ＝12BC ，将△CDE 由图①位置绕点C 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，当ME ＝3CD 时，请求出α的值．第5题图6. (2019江西定心卷)如图①，B、C、D三点在同一直线上，且∠B＝∠ACE＝∠D，这样的图形我们称为“一线三等角”模型．探究证明(1)求证：△ABC∽△CDE；特例探索(2)如图②，在正三角形ABC中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，连接MA，将MA绕点M顺时针旋转60°得线段MN，连接CN，点P是BC延长线上一点．求证：点N在∠ACP的平分线上；(3)如图③，若将图②中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，将MA绕点M顺时针旋转90°得线段MN，点P是BC延长线上一点，试判断：点N是否在∠DCP的平分线上，说明理由；拓展应用(4)如图，若将图③中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n”，其他条件不变，请你猜想：当∠A n－2MN为________时，点N在∠A1A n P的平分线上．第6题图类型三新定义探究问题(2017.23，2016.22，2015.24)1. (2017江西)我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”．△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②、图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________；猜想论证(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；第1题图拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．第1题图④2. (2019达州)箭头四角形模型规律如图①，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B.因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．第2题图①模型应用(1)直接应用：①如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________；第2题图②如图③，∠ABE、∠ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝________；③如图④，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线(i＝1，2，3，…，2017，2018)，它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018.已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝________度；(2)拓展应用：如图⑤，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BA D.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝O D.求证：四边形OBCD是菱形．第2题图⑤3. (2019天水)如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥B D.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2；(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．第3题图4. (2019江西模拟)规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．第4题图(1)问题猜想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN绕点A顺时针旋转150°得到正方形AM′P′N′，连接BM′，DN′交于点O，则BM′与DN′的数量关系为________，位置关系为________；(2)类比探究：如图②，将图①中的正方形换成菱形，∠BAD＝∠MAN＝60°，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；(3)拓展延伸：如图③，将图①中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2∶1的矩形，旋转角换成α(90°＜α＜180°)，其他条件不变，请求出BM′与DN′的数量关系和位置关系．5. (2019江西样卷一)定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在△ABC 与△AED 中，BA ＝BC ，EA ＝ED ，且△ABC ∽△AED ，所以称△ABC 与△AED 为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB ，DC ，则称DCEB为“关联比”．第5题图下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：【特例感知】(1)当△ABC 与△AED 为“关联等腰三角形”，且α＝90°时， ①在图①中，若点E 落在AB 上，则“关联比”DCEB ＝________；②在图②中，探究△ABE 与△ACD 的关系，并求出“关联比”DCEB 的值；【类比探究】 (2)如图③，①当△ABC 与△AED 为“关联等腰三角形”，且α＝120°时，“关联比”DCEB ＝________；②猜想：当△ABC 与△AED 为“关联等腰三角形”，且α＝n °时，“关联比”DCEB ＝________；(直接写出结果，用含n 的式子表示) 【迁移运用】(3)如图④，△ABC 与△AED 为“关联等腰三角形”．若∠ABC ＝∠AED ＝ 90°，AC ＝4，点P 为AC 边上一点，且P A ＝1，点E 为PB 上一动点，求点E 自点B 运动至点P 时，点D 所经过的路径长．第5题图④类型四操作探究问题(2014.23，2013.23，2012.24，2011.25)1. (2019江西模拟)【问题与情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图①，现有矩形纸片ABCD ，AB ＝4 cm ，AD ＝3 cm.连接BD ，将矩形ABCD 沿BD 剪开，得到△ABD 和△BCE .保持△ABD 位置不变，将△BCE 从图①的位置开始，绕点B 按逆时针方向旋转，旋转角为α(0°≤α≤360°)．第1题图①【操作发现】(1)在△BCE 旋转过程中，连接AE ，AC ，则当α＝0°时，ACAE的值是________； (2)如图②，将图①中的△BCE 旋转，当点E 落在BA 延长线上时停止旋转，求出此时ACAE 的值；【实践探究】(3)如图③，将图②中的△BCE 继续旋转，当AC ＝AE 时停止旋转，求出此时α的度数，并求出△AEC 的面积；(4)将图③中的△BCE 继续旋转，则在某一时刻AC 和AE 还能相等吗？如果不能，则说明理由；如果能，请在图④中画出此时的△BCE ，连接AC ，AE ，并求出△AEC 的面积的值．第1题图2. (2019江西黑白卷)某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：●操作发现在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 和AC 为腰，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE ，其中F 是DE 的中点，连接AF ，则下列结论正确的是____________(填序号即可)；①AF ＝12BC ；②AF ⊥BC ；③整个图形是轴对称图形；④DE ∥BC ；●数学思考在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为腰，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE ，其中F 是DE 的中点，连接AF ，则AF 和BC 有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为腰，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE ，其中F 是DE 的中点，连接AF , 试判断AF 和BC 的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由.第2题图3. (2019连云港改编)问题情境：如图①，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点(不与点B 、C 重合)，垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N .则线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系为__________；问题探究：在“问题情境”的基础上，(1)如图②，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F .求∠AEF 的度数；(2)如图③，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P ′处．若正方形ABCD 的边长为4，AD 的中点为S ，求P ′S 的最小值；问题拓展：如图④，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B ′C ′恰好经过点A ，C ′N 交AD 于点F .分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H .若AG ＝52，请直接写出FH 的长．图①图②图③图④第3题图4. (2019岳阳)操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C ′处．点P 为直线EF 上一动点(不与E 、F 重合)，过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线，垂足分别为点M 和N ，以PM 、PN 为邻边构造平行四边形PMQN .(1)如图①，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图②，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，则平行四边形PMQN的周长为________；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图④，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．(不要求写证明过程)第4题图参考答案类型一动点(不定点)探究问题1. (1)解：①∠AFB ＝∠CEB ；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥CE 于点G ，∴∠A ＝90°，∠EGB ＝90°，∴∠AFB ＋∠FBA ＝90°，∠CEB ＋∠GBE ＝90°.∴∠AFB ＝∠CEB .②AE ＝DF ；【解法提示】由①可知，∠AFB ＝∠CEB ，又∵∠A ＝∠CBE ，AB ＝BC ，∴△ABF ≌△BCE .∴AF ＝BE .∵AB ＝AD ，∴AE ＝DF .(2)证明：如解图①，延长AD 到点Q ，使得DQ ＝DF ，连接QC ，由(1)可得，△ABF ≌△BCE ， ∵E 是AB 中点， ∴DF ＝BE . ∴DQ ＝BE .又∵∠QDC ＝∠EBC ＝90°，BC ＝DC ， ∴△DQC ≌△BEC .∴△DQC 可看作由△BEC 绕点C 顺时针旋转90°而得， ∴CQ ⊥CE .过点D 作DP ⊥CG 于点P ，则DP ∥CQ ∥FG . ∵DF ＝DQ ， ∴CP ＝GP ，∴DP 是线段CG 的垂直平分线． ∴DC ＝DG ；第1题解图①(3)解：设正方形ABCD 的边长是4，则BE ＝2， ∴在△CBE 中，CE ＝22＋42＝2 5. 易得△BCG ∽△ECB ， ∴CG CB ＝BCEC. ∴CG ＝BC 2CE ＝4×425＝855.如解图②，过点D 作DP ⊥CG 于点P ，由(2)可得点P 是CG 中点， ∴在△CDP 中， DP ＝42－（455）2＝855，则S △DCG ＝12×855×855＝325.第1题解图②又∵S △DCG ＝12DG ·CH ，DG ＝DC ＝4，∴ CH ＝165.易得△CHG ∽△CGN ，△CDM ∽△CHD ，则CN CG ＝CG CH ，CM CD ＝CD CH， ∴CN ＝CG 2CH ＝4，CM ＝CD 2CH＝5.∴MN ＝CM －CN ＝1，NH ＝CN －CH ＝4－165＝45，∴MN NH ＝54. 2. 解：(1)60； (2)①＝；②证明：如解图①，当BE ＞AB 时，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，FM ⊥AB 交BA 的延长线于点M .在四边形FMBN 中，∠FMB ＝∠FNB ＝90°，∠B ＝120°，∴∠MFN ＝60°.又∵四边形AEFG 是菱形，∠EAG ＝120°， ∴AF 平分∠EAG ，AE ＝EF .∴∠F AE ＝60°，△AEF 是等边三角形． ∴∠AFE ＝60°.∴∠MFN －∠AFN ＝∠AFE －∠AFN . 即∠MF A ＝∠NFE . 在△FMA 和△FNE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FMA ＝∠FNE ，∠MF A ＝∠NFE ，F A ＝FE ，∴△FMA≌△FNE(AAS)．∴FM＝FN.∴点F在∠ABC的平分线上；第2题解图①如解图②，当BE＝AB时，∵∠ABC＝120°，∴∠EAB＝∠AEB＝30°.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠F AE＝∠FEA＝60°，AE＝EF.∴△AEF为等边三角形，∠F AB＝∠FEB＝90°.∴AF＝EF.∴点F在∠ABC的平分线上；当BE＜AB时，类似地，可证点F在∠ABC的平分线上．特别地当点E与点B重合时，点F在∠ABC 的平分线上．综上所述，点F在∠ABC的平分线上；第2题解图②【一题多解】如解图③，当点E与点B不重合时，在射线AD上截取AP＝AB，连接PB，PF.∵四边形AEFG是菱形，∴AF平分∠EAG，AE＝EF.∵∠ABC＝∠EAG＝120°，BC∥AD，∴∠BAD＝∠F AE＝60°.∴△AEF为等边三角形，且∠F AP＝∠EAB.第2题解图③在△APF和△ABE中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE ，∠F AP ＝∠EAB ，AP ＝AB ，∴△APF ≌△ABE (SAS )． ∴∠FP A ＝∠EBA ＝120°. 又∵AP ＝AB ，∠DAB ＝60°， ∴△APB 为等边三角形． ∴∠APB ＝∠PBA ＝60°. ∴∠FP A ＋∠APB ＝180°. ∴F ，P ，B 三点在同一直线上．又∵∠PBA ＝60°，∴点F 在∠ABC 的平分线上；当点E 与点B 重合时， ∴∠AEF ＝12∠ABC ＝60°，∴BF 平分∠ABC .综上所述，点F 在∠ABC 的平分线上．(3)∵四边形AEGH 和四边形AEFG 都是平行四边形， ∴AE ∥HG ，AE ∥GF . ∴HG 和GF 重合．又∵GE 是菱形AEFG 的对角线，∠EAG ＝120°， ∴GE 平分∠FGA ，∠FGA ＝60°， ∴∠FGE ＝12∠FGA ＝30°.又∵GE ∥HB ， ∴∠H ＝∠FGE ＝30°.在△ADH 中，∵∠DAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°. ∴AH ＝AD . 在△GAD 中，∵∠ADG ＝30°，∠DGA ＝60°， ∴∠DAG ＝90°，∠H ＝∠GAH ＝30°. ∴GD ＝2AG ，HG ＝AG . ∴HD AE＝3.第2题解图④∵四边形AEFG 是菱形， ∴AG ＝AE ，AE ∥HD . ∴∠EAB ＝∠H ＝30°. ∴∠AEB ＝30°. ∴AB ＝EB .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC . ∴∠B ＝∠DAH . ∴△AHD ∽△BAE ， ∴AD BE ＝HD AE ＝3. 即BC AB＝3. 3. 解：(1)BP ＝CE ，CE ⊥AD ；【解法提示】如解图①，连接AC ，∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∵∠BAC ＝∠P AE ＝60°，∴∠BAP ＝∠CAE ，在△BAP 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAP ＝∠CAE ，AP ＝AE ，∴△BAP ≌△CAE (SAS )，∴BP ＝CE ，∵△BAP ≌△CAE ，∴∠ACE ＝∠ABP ＝12∠ABC ＝30°，∵∠ACD ＝60°，∴∠ECD ＝30°，∴CE 为△ACD 的角平分线，∵CA ＝CD ，由三线合一知CE ⊥AD .第3题解图①(2)仍然成立，选图②，理由如下：如解图②，连接AC ，设CE 交AD 于H 点，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∵BA ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴BA ＝CA ，∵△APE 为等边三角形，∴AP ＝AE ，∠P AE ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAP ＝∠CAE ，在△BAP 和△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAP ＝∠CAE ，AP ＝AE ，∴△BAP ≌△CAE (SAS )，∴BP ＝CE ，∠ACE ＝∠ABP ＝30°， ∵AC 和BD 为菱形的对角线， ∴∠CAD ＝60°，∴∠AHC ＝90°，即CE ⊥AD ，第3题解图②或选图③，理由如下：如解图③，连接AC ，设CE 交AD 于点H ，同理得△BAP ≌△CAE (SAS )， BP ＝CE ，CE ⊥AD ；第3题解图③(3)如解图④，连接AC 交BD 于点O ，连接CE 交AD 于点H ，由(2)可知，CE ⊥AD ，CE ＝BP ，在菱形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴EC ⊥BC ，∵BC ＝AB ＝23，BE ＝219， ∴在Rt △BCE 中，CE ＝（219）2－（23）2＝8， ∴BP ＝CE ＝8，∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，AC ⊥BD ，∴BD ＝2BO ＝2AB ·cos30°＝6，AO ＝12AB ＝3，DP ＝BP －BD ＝8－6＝2，∴OP ＝OD ＋DP ＝5，在Rt △AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27， S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S 正△APE ＝12DP ·AO ＋34·AP 2 ＝12×2×3＋34×(27)2＝8 3.第3题解图④4. 解：(1)ED ＝EB ；【解法提示】在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，∠B ＝45°，∴∠CDB ＝90°，∠DCB ＝45°，∴CD ＝BD .∵△CDE 是等腰直角三角形，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，CE ＝DE ，∴点E 在BC 上，∴∠EDB ＝∠B ＝45°，∴ED ＝EB .(2)成立．证明：如解图①，设AB 的中点是O ，连接CO ，EO ，则CO 平分∠ACB ，∠A ＝∠ABC ＝45°，CO ⊥AB ，第4题解图①∴∠ACO ＝∠BCO ＝45°，OC ＝OA ＝OB ， ∴△ACO 是等腰直角三角形． ∴CACO＝ 2. ∵△CDE 是等腰直角三角形， ∴∠DCE ＝45°，CDCE＝ 2. ∴CA CO ＝CD CE. ∵∠ACO ＝∠DCE ＝45°， ∴∠ACD ＝∠OCE . ∴△ACD ∽△OCE . ∴∠COE ＝∠A ＝45°，∴∠EOB ＝∠COB －∠COE ＝45°. 又∵OC ＝OB ，OE ＝OE ，在△COE 和△BOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ，∠COE ＝∠BOE ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△BOE (SAS )． ∴BE ＝CE . ∴ED ＝EB ；(3)设点O 为AB 的中点，连接CO ，则CO ＝OB ＝OA ＝12AB ＝2，∴BC ＝2OC ＝2 2. ∵△BCE 是等边三角形， ∴CE ＝BC ＝2 2.∵△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝2CE ＝4.在Rt △COD 中，CD ＝4，CO ＝2， ∴OD ＝2 3.当点D 在AB 的延长线上时，如解图②，AD ＝OA ＋OD ＝2＋23；当点D 在BA 的延长线上时，如解图③，AD ＝OD －OA ＝23－2. 综上可得，AD 的长为23＋2或23－2.图②图③ 第4题解图5. 解：(1)① 63；②165； (2)如解图①，过点E 3作E 3H ⊥AB 于点H ，延长HE 3交BD 于点M .在矩形ABCD 中， ∵△ABE 3是等边三角形，∴AH ＝HB ＝12AB ＝3，E 3H ＝3，∴HM ＝12AD ＝4.∵E 3F ∥AB ， ∴E 3F HB ＝E 3MHM ，即E 3F 3＝4－34.∴E 3F ＝34；第5题解图①(3)①以B 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．由(1)①②，(2)所求，得E 1(4，63)，E 2(165，23)，E 3(3，3)，第5题解图②设经过E 1，E 3的直线解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，依题意，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝3，4k ＋b ＝63，解得⎩⎨⎧k ＝53，b ＝－14 3.∴y ＝53x －14 3.把E 2(165，23)代入直线解析式，得y ＝53x －143＝53×165－143＝23， ∴点E 2在直线E 1E 3上，即E 1，E 2，E 3在同一条直线上； ②所有点E 都在同一条线段(或直线)上．类型二旋转探究问题1. 解：(1)1，60°；【解法提示】∵∠ACB ＝60°，∠APD ＝60°，AC ＝BC ，AP ＝PD ，∴△ACB 与△APD 都是等边三角形，∴AC ＝AB ，AP ＝AD ，而∠CAP ＝∠CAB －∠P AB ＝∠P AD －∠P AB ＝∠BAD ，∴△APC ≌△ADB (SAS )．∴BD ＝CP ，∴BDCP ＝1；∵△APC ≌△ADB ，∴∠ACP ＝∠ABD ，如解图①，延长CP 与BD 的延长线交于点I ，∴∠CIB ＝180°－∠PCB －∠CBD ＝180°－(60°－∠ACP )－(60°＋∠ABD )＝60°＋∠ACP －∠ABD ＝60°，∴直线BD 与直线CP 相交所成较小角的度数为60°.图①图② 第1题解图(2)2，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°. 理由如下：∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ， ∴∠CAB ＝45°，ABAC＝ 2.同理可得：∠P AD ＝45°，ADAP ＝2，∴AB AC ＝ADAP，∠CAB ＝∠P AD . ∴∠CAB ＋∠DAC ＝∠P AD ＋∠DAC . 即∠DAB ＝∠P AC . ∴△DAB ∽△P AC . ∴BD CP ＝ABAC＝2，∠DBA ＝∠PCA . 如解图②，设BD 交CP 于点G ，BD 交CA 于点H . ∵∠BHA ＝∠CHG ， ∴∠CGH ＝∠BAH ＝45°；(3)分两种情况：如解图③，可设CP ＝a ，则BD ＝2a .设CD 与AB 交于点Q ，则PQ ＝CP ＝a .可证∠DQB ＝∠DBQ ＝67.5°，则DQ ＝BD ＝2a ，易得AD ＝2PD ＝2a ＋2a ，∴AD CP＝2＋2；如解图④，可设AP ＝DP ＝b ，则AD ＝2b ，由EF ∥AB ，∠PEA ＝∠CAB ＝45°，可证∠ECD ＝∠EAD ＝22.5°，易得CD ＝AD ＝2b ，CP ＝2b ＋b ，∴AD CP＝2－ 2. 综上所述，AD CP的值为2＋2或2－ 2.图③图④第1题解图2. 解：(1)①DB ＝DG ；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBC ＝45°，∵∠GDF 是由∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°得到，点G 在BC 的延长线上，∴∠BDG ＝90°，∴∠G ＝90°－∠DBG ＝45°＝∠DBG ，∴DB ＝DG .②BE ＋BF ＝2BD ；【解法提示】由①知△BDG 是等腰直角三角形，且BD ＝DG ，∴BG ＝2BD .在△BDE 和△GDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDE ＝∠GDF ，BD ＝GD ，∠DBE ＝∠G ，∴△BDE ≌△GDF (ASA )，∴BE ＝GF ，∴BE ＋BF ＝GF ＋BF ＝BG ＝2BD ；(2)①BE ＋BF ＝3BD ；证明：如解图，过点D 作DH ⊥BG 于点H ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝60°，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∵将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°得到∠GDF ，且点F 在BC 的延长线上， ∴∠GDB ＝120°，∴∠G ＝∠DBC ＝30°，∴DG ＝BD ，在Rt △BDH 中，∠HBD ＝30°，∴BH ＝BD ·cos ∠DBH ＝32BD ， ∵BD ＝DG ，DH ⊥BG ，∴BG ＝2BH ＝3BD ，在△GDF 和△BDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠BDE ，DG ＝DB ，∠DGF ＝∠DBE ，∴△GDF ≌△BDE (ASA )，∴BE ＝GF ，∴BE ＋BF ＝GF ＋BF ＝BG ，∴BE ＋BF ＝3BD ；第2题解图②∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ∥BE ，∴∠DCM ＝∠EBM ，∠CDM ＝∠BEM ，∴△CDM ∽△BEM ， ∴CM BM ＝CD BE＝2， ∵BC ＝AB ＝2，∴BM ＝23，在△ABD 中，AB ＝AD ＝2，∠A ＝180°－∠ADC ＝120°，∴BD ＝3AB ＝23，在△BDF 中，BD ＝DF ，∠BDF ＝120°，∴BF ＝3BD ＝6，∵△BDE ≌△FDG ，∴GF ＝BE ＝1，∴BG ＝BF ＋GF ＝7，∴GM ＝BG －BM ＝7－23＝193. 3. 解：(1)63，12； (2)不变．理由：如解图①，过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，则△ADG 为直角三角形， ∵∠DAG ＝30°，DE ＝AE ，设DG ＝x ，∴∠ADE ＝30°，AD ＝3x ，∠DEG ＝∠DGE ＝60°，∴DE ＝DF ＝x ，sin ∠ADE ＝12. ∵∠EDF ＝90°，∴EF ＝2x ， ∴EF AD ＝2x 3x ＝63；第3题解图①(3)如解图②，过点E 作EG ⊥AD 于点G ，设AE ＝x ，则DE ＝nx .第3题解图②∵∠BAC ＝α，∴AG ＝cos α·x ，EG ＝sin α·x .∴DG ＝（nx ）2－（sin α·x ）2＝n 2－sin 2α·x .∴AD ＝cos α·x ＋n 2－sin 2α·x ，∵∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，∴EF ＝2DE ＝2nx .。

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