讲稿26、27动能定理

前进速度
解：
v 。求：系统动能。
R
v
两轮的动能
1 2 11 3 2 2 v 2 T1=2[ m1v + m1R ( ) ]= m1v 2 22 R 2
履带底边不动，两侧边构成一个平面运动的圆环。
1 1 2 1 1 2 1 1 2 v 2 2 T2 = ( m)(2v) + ( m)v + ( mR )( ) =mv 2 4 2 2 2 2 R
2
例7.(习题13-16) 均质杆AB长l,质量m1,墙光滑。圆盘半径R,质量m2, 平面粗糙，系从θ=45°有静止开始运动。求此时A点的加速度。
vA vA l vC = ω= T1=0 l sinθ 2 2sinθ 1 11 1 2 11 2 2 vA 2 2 2 T2 = m2vA + m2 R ( ) + m1vC + m1l ω 2 22 R 2 212 1 2 3 1 1 = vA ( m1 + m2 2 ) 2 2 3 sin θ
1 2 ∴ =T1+T2 = (3m1+2m)v T 2
§13-3. 动能定理 一、质点的动能定理
dv m =F dt dv m × r =F × r d d 两边同乘 d r dt
mvd v=δW
2
2vd v = vd v+vd v = d (v·) = dv v
dT=δW T－ 1=W1、2 2 T
4 脱离时： FN =0, ∴ cosθ = 7
T2 = 2mv =m(Rθ) 2 W =2mgR(1 cosθ ) － 2 ∴ Rθ =2g (1 cosθ) － Rθ= g sinθ T1=0,
由质心运动定理：
例9. 质量为m的两小环套在光滑的大环上，初始两小环静止于大环 顶部，无初速释放，此时出现一有趣的现象：大环将上升。大环 半径R，质量不计。求大环开始上升时的θ=？ o 解： 1 2 2
注意： ⑴ T≠W ⑵
1 2 d ( mv )=δW 2
p 、 L 、T 都是描述运动状态的物理量, 但 p 、 是矢量，T 是标量。 L
二、质点系的动能定理 质点系内第i个质点，质量mi ,速度
vi
1 2 d ( mivi )=δWi 2
n 1 2 ∑ ∑ ( mvi )= δWi d 2 i=1 i=1 n 1 2 ∑ d[∑ mvi )]= δWi ( i=1 2 i=1
z
1 2 ∴T = J z ω 2
3.平面运动刚体的动能
ω ri ● mi
v
1 2 T = J Pω 2
J P = JC +md
2
1 2 2 1 2 1 2 T = 2 ( JC +m d )ω = 2 JC ω + 2 m(d ω)
C●
ω
●
1 2 1 2 ∴T = mvc + JC ω 2 2
P
例2. 履带质量m,均质圆盘车轮质量m1,半径R,两轮间距离πR,坦克
d rc = vc dt = 0
Fs
⑵
ω
vo
A
⑵
A点有位移，Fs做正功
Fs
v
5.约束力的功
理想约束力的功等于零 理想约束包括：不可伸长的柔绳、光滑面、铰链、轴承 6.定轴转动刚体上外力的功
δW = F cosθ · =F cosθ · · ds R dφ
z
FRcosθ =M z (F )
∴δW = M Z (F ) · dφ
第十三章 动能定理 动能定理描述了作用于物体上的力所作的功与物 体动能变化之间的关系. 内容： 1.力的功 2.质点、刚体的动能 3.动能定理 4.功率方程、机械能守恒 5.普遍定理的综合应用
§13-1. 力的功
一、元功、功
1.元功
M
ds
θ
F
dr
δW =F·r d
F = Fx i + Fy j+ Fz k
dric θ drc dφ
● ●
Mi
Fi •dric =Fi cosθ · i · φ=M C (Fi ) dφ CM d
C
∴δW = ∑Wi =∑ i •d rc +∑ C (Fi ) dφ = FR •drc +M C dφ δ F M
W1、=∫ R •d r +∫ C d φ F M 2
C1 φ1 C2 φ2
∑ 1、=∑ i g(zi1 zi2 ) W2 m －
mzc =∑ i zi m
∑ 1、=mg(zc1 zc2 ) W2 －
2.弹性力的功 弹簧刚度k, 原长lo, 变形量δ。
F = kδ
r F =－ ( r lo )( ) k － r
O
A1
A
dr
r•d r δW = F •d r = k ( r lo )( － － ) r
δW =F· · θ ds cos
d r = dxi+ dy j+ dzk
单位：J
δW =Fxdx+Fy dy+Fz dz
2.功
M2 M1
W1、=∫ Fcosθ ds 2
s
W1、= ∫(Fxdx+Fy dy+Fz dz) 2
二、合力的功
R=∑Fi
( δW = R•d r = (∑ i ) • d r=∑Fi •d r )=∑Wi F δ
O O
O1 O
r r
A
1
1 2 2 WAB =mgr+ k (δ1－δ2 ) 2
2 A
δ1=r
δ2 =( 2 1)r －
2
B
vA
FN
B
B处：
kr ∴vB = v +2gr +2( 2 1) － m
2
F
vB mg F =k ( 2 1)r － 圆弧段： an = r m 2 kr F cos45 +FN－ =man mg ∴ FN =3mg+ vA + (5 2 3) － r 2
合力的元功等于力系中各力的元功的代数和。
W1、= ∫ •d r =∑ F •d r =∑ i1、 R W 2 ∫ 2
M1 M1
M2
M2
合力在有限路径上的功等于力系中各力在同一路径上的功 的代数和。
三、常见力的功 1.常力的功 M1（x1, y1, z1)
M2（x2, y2, z2)
M2 M1
z
●
M2
n
n
n
dT =∑ i δW
i=1 n
T－ 1=∑ i δW 2 T
i=1
例3. 质量m的套筒沿光滑导轨运动，导杆曲边半径r, 弹簧原长lo=r, 刚度系数k,套筒在A处时具有速度 v A 。求:⑴vB=? ⑵B点约束力 解：
TB TA=WAB － 1 2 1 2 TB = mvB TA = mvA 2 2
例1. 半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动，轮轴上绕有软绳，轮 轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F。 求：轮心C运动x距离时，力F所作的功。
解：
将力F向轮心简化 产生力偶 MC=Fr 轮的转动角度
O
2r
C
r
F
x φ= 2r
x
x 1 ∴W =Fx M C = Fx － 2r 2
§13-2. 动能
一、质点的动能 质点M的质量m, 速度
F
R
M

θ
v
∴W = M Z (F ) · φ
力偶的功
δW = Mdφ
W = Mφ
7.平面运动刚体上外力的功 平面运动刚体上外力的功，等于刚体上所受各力作功的代 数和 平面运动刚体上外力的功，也等于力系向质心简化所得的 力与力偶作功的代数和
F
δWi = Fi •d ri =Fi •d rc +Fi •d ric
例5. 均质圆柱体质量m，中心O铰接一质量为m的均质直杆OA，放 在倾角为α的斜面上，轮子纯滚动，OA杆的A端与斜面间无摩擦， 系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。 解：
T1=0
rω=vo
A O C
1 2 1 2 2 1 2 5 2 T2 = mvo + mr ω + mvo = mvo 2 4 2 4
C
解：
T1=0
vB′ 0 =
A B
1 vC′ 2 1 1 2 vC′ 2 1 2 T2 = m( ) + ml ( ) = mvC′ 2 2 212 l 6 l 3l W =mg +mg =2mgl 2 2
－ 1=W1、 T2 T 2
v B′
B´
C´
vC ′
1 2 mvC′ 2mgl = 6
∴ C′ 12gl v=
1 1 2 r•d r = d ( r•r )= d (r )=r•dr 2 2
r
F
θ
A2
k k 2 2 ∴δW =－ ( r lo )dr =－ d ( r lo ) =－ d (δ ) k － － 2 2
k k 2 2 2 ∴W1、=∫F •d r =－ d (δ ) = (δ1－δ2 ) ∫2 2 2 A1 A1
A2 A2
3.摩擦力的功
Fs = f FN ′
M2 M1
动摩擦力
M1
v
M2
δW = Fds cosθ =－ Fds
W1、= ∫ Fds =－fFN (s2 s1) － － 2
A B
Fs
动滑动摩擦力总是做负功， 且与路程有关。
v
AB之间的摩擦力Fs做正功（静摩擦力）
⑴
4.纯滚动摩擦力的功 ⑴
ω
v