讲义等差数列教师汇总

1.（15年陕西理科）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．2（15年湖南理科）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = . 【答案】32+n -.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和.3.（15年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和4.（15北京文科）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.5.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10． 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题． 6（15北京理科）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法等差数列等差数列――特殊的一次函数――本质特征为“均匀变化”和“平均数” （1）本质：一次函数和均匀变化，只能进行加减运算 （2）通项公式1a ，2a ，3a ，4a ，···1n n a a d --= 1， 2， 3， 4，···n －（n －1）＝1()111n n a a d d n n --==--，类比一次函数的斜率2121y yk x x -=-所以d 就是变化率，并且是一个均匀变化的，变化率恒定例如：①数列2,4,6,8,10,···这一个数列显然是均匀变化的，位置每增加一个，相应位置上的数就增加2，故变化率即公差为2，是一个常数，也就是说变化率是恒定的；而当位置增加2个时，相应的数就增加4，也就是增加了2个变化率，同理，当位置增加3个时，相应的数就增加6，也就是增加了3个变化率···②数列1,3,5,7,9,···这个数列也是均匀变化的，位置每增加一个，相应位置上的数就增加2，所以变化率也是一个常数，是恒定不变的.而当位置增加2个时，相应的数就增加4，也就是增加了2个变化率，位置增加3个时，相应的数就增加6，也就是增加了3个变化率···③数列5,10,15,20,25,···这个数列也是均匀变化的，位置每增加一个，相应位置上的数就增加5，即变化率为常数5，是一个定值.而当位置增加2个时，相应位置上的数就增加10，也就是增加了2个变化率，位置增加3个时，相应位置上的数就增加15，也就是增加了3个变化率由此可见，位置增加了几个，变化率即公差d 也就增加了几个，也可以说是两个数之间差了几个数就差几个公差d ，而n a 与1a 之间差了n －1个数，所以就差了n －1个公差d ，故等差数列的通项公式n a －1a ＝（n －1）d ，即n a ＝1a +（n －1）d ＝dn+1a －d 就相当于函数y=kx+b ，其中k ＝d ，b ＝1a －d.同理，n a 与m a 之间差了n －m 个数，所以就差了n －m 个公差d 同，所以有()n m a a n m d =+-还可以理解为位置相同，项数相同例如：数列n a ＝n ，当1423a a a a +=+即1+4＝2+3时对应的位置也满足1+4＝2+3；当2534a a a a +=+即2+5＝3+4时对应的位置也满足2+5＝3+4例如：数列n a ＝3n+2，当1423a a a a +=+即5+14＝8+11时对应的位置也满足1+4＝2+3；当2534a a a a +=+即8+17＝11+14时对应的位置也满足2+5＝3+4故在等差数列{}n a 中，若位置满足m+n=p+q ，则相应的项就满足q p n m a a a a +=+ （3）前n 项和公式 ①()12n n n a a S +=例如：做匀加速直线运动的物体的末速度0t v v at =+是关于时间t 的一次函数，速度是均匀变化的，所以平均速度02tv v v +=n S ＝平均数⨯个数＝12na a +⨯n ＝()12n n a a + ②()112n n n S na d -=+事实上，()()()123111121n n S a a a a a a d a d a n d =+++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦ ＝()11231na n d ++++⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦这里边又含有一个均匀变化1,2,3,4,···，n －1，它们的和等于平均数乘以个数，即()()1112n n +-⨯- 所以()112n n n S na d -=+又()22111222n n n d d S na d n a n An Bn -⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭，类比()2f x ax bx =+（x N *∈） 例如：函数()223f x x x =-，当x N *∈时，函数f(x)也就是数列 而()()23f x g x x x==-，当x N *∈叶，函数g(x)也是数列，而且是均匀变化的，所以是一个等差数列.③设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，则232,,m m m m m S S S S S --，···也成等差数列 例如：123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，101112a a a ++···因为14710,,,a a a a 每两个数之间都差3项，所以都差3个公差d ，它们也构成了一个等差数列；同理，25811,,,a a a a 差的项数相同，所以差的公差d 也相同，也构成了一个等差数列；36912,,,a a a a 也构成了一个等差数列，而等差数列的和仍然是等差数列.④()2121n n S n a -=-由等差数列的前n 项和等于平均数乘以个数以及相差几项就差几个公差d ，可知()()()1212121212122n n nn n a a a a S n n n a --++=⨯-=⨯-=- 4.例题分析（1）[2013·广东卷]在等差数列{n a }中，已知38a a +＝10，则573a a +＝________． 解读题目：①看到“等差数列{n a }”想两句话：一次函数和均匀变化（角标相同，项数相同） ②38a a +＝10：当位置满足3+8＝11时，对应的项满足38a a +＝10.故有若m+n ＝11，则10m n a a +=③求573a a +的值：因为573a a +＝5557a a a a +++，位置满足5+5+5+7＝22＝211⨯，所以对应的项满足573a a +＝5557a a a a +++＝2（38a a +）＝20. 分析题目：对谁运算――对位置n 进行运算运算法则――位置n 与该位置相应的项之n a 间的关系 运算结果――该位置对应项的值n a解析题目：在等差数列{n a }中，因为38a a +＝10且3+8＝11 又573a a +＝5557a a a a +++且5+5+5+7＝22 所以573a a +＝2（38a a +）＝20.（2）[2013年高考课标Ⅰ卷（文）]已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.分析：对谁运算：位置n 运算法则：()112n n n S na d -=+ 运算结果：解方程 (Ⅰ)3123S a a a =++＝0，平均数为2a ，∴32a ＝0，即2a ＝0同理，512345S a a a a a =++++＝－5，平均数为3a ，∴53a ＝－5，即3a ＝－1∴d ＝3a －2a ＝－1－0＝－1 ∴()22n a a n d =+-＝2－n(Ⅱ)由(I)知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----注意：应用通分的逆运算从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111-+-++)2-1113232112nn n n-=---（.（3）[2013浙江]在公差为d 的等差数列{}n a 中, 已知1a =10, 且1a , 222a +,35a 成等比数列.(Ⅰ) 求d,n a ;(Ⅱ) 若d< 0, 求123||||||||n a a a a +++⋅⋅⋅+. 分析：对谁运算：正整数n 运算法则：n a ＝1a +（n －1）d 运算结果：解方程(Ⅰ) 由题意得35a ·1a ＝()2222a +，即2340d d --=故d=-1或d=4.所以n a =－n+11, n ∈N*或n a =4n+6, n ∈N*. (Ⅱ) 设数列{n a }的前n 项和为n S因为d< 0, 由(Ⅰ) 得d=－1, n a =－n+11, 则 当n ≤11时,123||||||||n a a a a +++⋅⋅⋅+|=n S =212122n n -+当n ≥12时, 123||||||||n a a a a +++⋅⋅⋅+=－n S +211S =212111022n n -+ 综上所述, 21232121,1122||||||||121110,1222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎨⎪-+≥⎪⎩（分段函数，情况不同结果不同）（4）[2012江西理]设数列{n a },{n b }都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=__________.分析：对谁运算：位置n运算法则：n a ＝1a +（n －1）d ，m b ＝1b +（m －1）d ’ 运算结果：解方程 3是1和5的平均数∴1532a a a +=，1532b b b +=（差几项差几个公差d ） ∴()()1155151533222a b a b a a b b a b ++++++=+=（等差数列+等差数列＝等差数列） 故55a b +=()()33112a b a b +-+＝35.（5）[2013四川理科]数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且*1()n n n b a a n N +=-∈.若则32b =-，1012b =，则8a（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 分析：对谁运算：位置n 运算法则：n b ＝1b +（n －1）d 运算结果：解方程由｛n b ｝为等差数列（一次函数），且32b =-，1012b =∴可得对应直线上的两个点（3，－2）和（10,12），故可确定该直线的斜率即等差数列的公差d ＝()122103---＝2，故由直线的点斜式方程可得n b ＝2n-888776211()()()a a a a a a a a ∴=-+-++-+7611b b b a =++++1714117()732b b a a a a +=+=+==（累加法） （6）[2013广东]等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．分析：对谁运算：正整数n 运算法则：()112n n n S na d -=+，n a ＝1a +（n －1）d 运算结果：解方程由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =注意：平均数（7）[2012高考]已知等差数列{}n a 的前5项和为105,且2052a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中不大于27m的项的个数记为m b .求数列{m b }的前m 项和m S .分析：对谁运算：正整数n 运算法则：n a ＝1a +（n －1）d 运算结果：解方程(Ⅰ)由前5项和为105可知，35a =105，即3a =21=1a +2d 注意平均数 又2052a a =，故1a +19d=2（1a +4d ） 联立方程得1a =7，d=7所以数列{}n a 的通项公式是n a =7+（n-1）7=7n (Ⅱ) 由277m n a n =≤,得217m n -≤,即217m m b -=.∵211217497m m m m b b ++-==,∴{}m b 是公比为49的等比数列,∴()()7149749114948m m m S -==--. （8）[2013·山东卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .分析：对谁运算：正整数n 运算法则：d n a a n )1(1-+= 运算结果：解方程(Ⅰ) 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1，解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(Ⅱ) 由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *.所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ， 两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ，整理得R n ＝194－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝194－3n ＋14n －1.（9）[2012·广东]已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 分析：对谁运算：正整数n 运算法则：d n a a n )1(1-+= 运算结果：解方程设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝a 1＋d 2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，1＋2d ＝＋d2－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝±2. 由于等差数列{a n }是递增的等差数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.（10）[全国大纲理]设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，求{}n a 的通项公式.分析：对谁运算：正整数n运算法则：d n a a n )1(1-+=运算结果：解方程 不妨令n n a b -=11，则由已知得11=-+n n b b ，且11111=-=a b 故数列{}n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列n n b n =-+=∴)1(1，即n a n=-11 n a n 11-=∴ （11）[2013辽宁数学（理）]下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题: {}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为(A) 12,p p (B) 34,p p (C) 23,p p (D) 14,p p 分析：对谁运算：正整数n运算法则：d n a a n )1(1-+=运算结果：运算设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1p 正确；如果312n a n =-，则满足已知，但2312n na n n =-并非递增，所以2p 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n =+，是递减数列，所以3p 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4p 正确,选D.（12）[2010·安徽高考文科]设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( )（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 分析：对谁运算：正整数n运算法则：1--=n n n S S a ，2≥n运算结果：运算887644915a S S =-=-=（13）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(Ⅰ)求a 1的值；(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 分析：对谁运算：正整数n运算法则：1--=n n n S S a ，2≥n 运算结果：解方程(Ⅰ)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 2－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13.因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而a 1＝1.(Ⅱ)由题设条件知，n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1，2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1. ∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，于是a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2， 因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n ， 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )． 又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n }是以3为首项，3为公比的等比数列． 故a n ＋2n ＝3n ，即a n ＝3n －2n .(Ⅲ)∵a n ＝3n －2n ＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1，∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n 1－13<32. （14）[2013大纲版全国卷理科]等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式.分析：对谁运算：正整数n运算法则：()12n n n a a S += 运算结果：解方程设{}n a 的公差为d.由232S a =得2223a a =，故2a ＝0或2a ＝3. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S = 又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+ 故()()()2222242a d a d a d -=-+ 若2a ＝0，则d ＝0，此时n S ＝0，不合题意； 若2a ＝3，则d ＝0或d ＝2.因此{}n a 的通项公式为n a ＝3或n a ＝2n －1.（15）[2013大纲版全国卷文科]等差数列{}n a 中，71994,2a a a == （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 分析：对谁运算：正整数n运算法则：()11n a a n d =+-运算结果：解方程（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d =+- 由719942a a a =⎧⎨=⎩，得111641828a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩，解得1a ＝1，12d =. 所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （II ）因为22211n b n n n n ==-(+)+， 所以2222222122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注意：加减消元。