我的教案———向量的实际背景与概念
高中数学(平面向量的实际背景及基本概念)教案6 新人教A版必修4 教案
向量的物理背景与概念一教学目标1 知识与技能（1）了解向量产生的物理背景，理解位移的概念；（2）理解向量的概念，向量的几何意义，能用向量表示点的位置；（3）初步理解零向量，相等向量，共线向量的意义2 过程与方法（1）通过向量概念的形成过程体会由实例引入概念的方法；（2）由实例体验用向量表示点的位置的方法3 情感，态度，价值观：通过本节的学习，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，从而激发学生学习数学的兴趣二教学重点与难点1 教学重点————向量的概念；2 教学难点————对向量概念的理解三教学方法采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
四教学过程练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.例题2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中:(1)试找出与FE共线的向量；(2)确定与FE相等的向量；(3)OA与BC相等吗？若不相等，则它们之间有什么关系？例题分析：例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：（1）平行向量的方向一定相同（2）不相等的向量一定不平行（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）存在与任何向量都平行的向量吗（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上．例2：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，(1)找出与向量 DE相等的向量；(2)找出与向量 DF共线的向量．学生讨论后回答，教师订正讲解学生自主完成，然后回答，其他学生纠正师：如何找相等向通过习题的设置巩固向量的相关概念将问题给学生，让学生去归纳小结7 用向量表示点的位置利用向量可以确定一点相对与另一点的位置例题3：天津位于北京东偏南50度，114km，用向量表示天津相对于北京的位置。
平面向量的实际背景与基本概念
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）
平面向量的实际背景及基本概念 说课稿 教案 教学设计
向量的实际背景及基本概念一、教学目标知识与技能了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
过程与方法通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
二．重点难点重点理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.三、教材与学情分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程（一）导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问如何从数学的角度揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.（二）新知探究、提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动 教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设A 为起点、B 为终点,我们就说线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB .起点要写在终点的前面.已知AB ,线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度,记作|AB |.有向线段包含三个要素 起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是1°起点是A,终点是B 的有向线段,对应的向量记作 AB .这里要提醒学生注意AB 的方向是由点A 指向点B,点A 是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写 印刷用黑体a,书写用a )3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作 (或 a ).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a ＞b 就没有意义,而 a > b 有意义.讨论结果 ①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a → 表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB 、.注意手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素起点、方向、长度.向量与有向线段的区别向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b, OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.（三）应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 m)图5分析本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解AB表示A地至B地的位移,且AB≈232 m;(AB长度×8 000 000÷100 000)AC表示A地至C地的位移,且AC≈296 m.(AC长度×8 000 000÷100 000) 点评位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练1. 一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图6解根据题意画出示意图,如图6所示. =100 m, BC=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC为正三角形.∴=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1) ABCD 中,AB 与CD 是共线向量;(2)单位向量都相等.活动 教师引导学生画出平行四边形,如图7. 因为AB//CD,所以AB ∥CD .由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解 (1)正确; (2)不正确. 点评 本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与、OC 、OB 、OA 相等的量.活动 本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教 书中要求判断OA 与,OB 与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解 OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC ===FO .点评 向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练2.本例变式一 与向量长度相等的向量有多少个？ (11个)本例变式二是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题入手考虑,假若a与b 不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案C点评对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.六、课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。
2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。
3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。
2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。
3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。
4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。
5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。
6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。
7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。
2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。
3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。
四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。
2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。
3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。
五、教学资源：1. 教案、PPT课件。
2. 几何图形和物理情境的图片或视频。
3. 练习题和案例分析题。
4. 小组讨论和报告的评价标准。
六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。
2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。
七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。
2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。
3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。
4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。
教案 第2章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量1．向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．3．向量的有关概念1．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC →|＝ ．3 [三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形，所以|BC →|＝22－12＝ 3.]4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 (填序号)．(1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →；(3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD →＝BC →，OB →≠OD →，AC →≠BD →，AO →＝OC →.]【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是 ．③ [①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]和终点，可以写出 个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)12 [可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →.](2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米.1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向；(2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向；(4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．本例条件不变，写出与向量BC →相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC →相等的向量有AO →，OD →，FE →.2．本例条件不变，写出与向量BC →长度相等的共线向量．[解] 与BC →长度相等的共线向量有：CB →，OD →，DO →，AO →，OA →，FE →，EF →.3．在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤D[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是 ．④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如图所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。
平面向量的实际背景及基本概念》教学设计
平面向量的实际背景及基本概念》教学设计本节课的教学法应采用引导发现法和讨论相结合的方式。
在引导学生逐步理解向量的概念和运算性质的基础上，通过不同的例题和实例，让学生自己发现向量的特点和规律。
同时，教师应该及时引导学生讨论和交流，促进学生之间的互动和合作，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
三、教学过程设计1.导入（5分钟）通过实际生活中的例子，引出向量的概念和作用，让学生初步了解向量的实际背景和重要性。
2.概念讲解（15分钟）讲解向量的概念、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，重点讲解平面向量的几何表示和向量的运算性质。
3.例题讲解（20分钟）通过不同的例题，让学生掌握向量的运算方法和应用技巧，同时引导学生思考和讨论，提高学生的解决问题的能力。
4.练与讨论（15分钟）让学生自主完成一些练题，并在教师的引导下进行讨论和交流，促进学生之间的互动和合作，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
5.总结（5分钟）对本节课的重点内容进行总结，并展示向量的实际应用和重要性，让学生深入理解向量在现实生活中的作用。
四、教学反思本节课的教学重点是向量的概念和运算性质，通过引导学生发现和讨论，让学生深入理解向量的特点和规律，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
同时，通过实际生活中的例子，让学生认识到向量在现实生活中的应用和重要性，培养学生对数学的兴趣和热爱。
教师在教学过程中应及时引导学生思考和讨论，促进学生之间的互动和合作，提高学生的研究效果和成绩。
有一个系统的认识，可以加深研究印象。
为了巩固研究效果，老师可以布置适当的作业。
作业可以帮助学生巩固所学知识，同时也可以为老师提供学生的研究反馈。
在板书设计方面，老师可以按照以下内容进行设计：一、向量的定义及几何表示；二、向量的相关概念；三、平行向量的定义（从向量的方向关系进行引入）；四、相等向量的定义；五、共线向量与平行向量的关系（可以通过课件展示来进行说明）。
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
平面向量的实际背景及基本概念教学设计( )
第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。
向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。
向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。
向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。
在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。
在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。
本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。
通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。
二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。
4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。
向量的实际背景及概念
向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。
本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。
二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。
三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。
还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。
学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。
平面向量的实际背景及基本概念教案
为起点、B 为终点的有向线段记作 AB，起点写在终点前面
B(终点)
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
表示: AB
A(起点)
（1）用有向线段的起点和终点字母表示向量 （2）用小写字母表示 a , b , c , . . . （3）坐标表示
书本练习 P77 练习 1 三、向量的有关概念
1、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度（或称模）,记作|AB|. 2、两个特殊向量：
长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0. |0|=0. 长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量.
注：①零向量是长度为零的向量，大小为 0，有方向，约定其方向任意。 ②单位向量是长度为 1 一个单位的向量，对一个具体的向量来说，其单位向量方向是
确定的,跟其方向一致。 讨论：数量是可以比较大小的，向量能比较大小吗？ 向量既有大小，又有方向，本身不能比较大小，但是其长度（模）可以比较大小
5.小结与布置作业
七、板书设计
定义：大小、方向 表示：有向线段 概念：平行（共线）向量
相等向量 相反向量
定义画图
练习画图
一、课题：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
二、教学目标
1.知识与技能 了解向量的实际背景； 理解向量的含义、几何表示、向量的模； 理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线
向量
2.过程与方法 体会数形结合、化归等思想方法； 提高观察、类比、分析、概括等能力
3.情感态度与价值观 通过联系实际生活，认识到学习向量是实际的需要，提高学习数学的积极性，形成积极
思考：1、时间、路程、功是向量吗？
2、温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 让学生理解平面向量的实际背景，感受向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示、向量的运算等。
3. 培养学生的抽象思维能力，提高学生运用向量解决问题的能力。
二、教学内容：1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、几何学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的基本概念：(1) 向量的定义：线段上的点称为向量的始点，线段的另一端称为向量的终点，线段的长度称为向量的模。
(2) 向量的表示：用箭头表示向量，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。
(3) 向量的运算：加法、减法、数乘、点积、叉积等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的实际背景，向量的基本概念，向量的表示方法。
2. 教学难点：向量的运算，向量的几何意义。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的实际背景和基本概念。
2. 采用案例分析法，分析向量在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的参与度。
五、教学过程：1. 引入新课：通过力的表示、位移的表示等实例，引导学生了解向量的实际背景。
2. 讲解向量的基本概念：讲解向量的定义、表示方法，并进行示例演示。
3. 向量的运算：讲解向量的加法、减法、数乘等运算方法，并进行示例演示。
4. 向量的几何意义：通过图形展示向量的几何意义，引导学生理解向量在几何中的应用。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学内容。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对向量实际背景的理解程度，以及对向量基本概念的掌握情况。
2. 课堂练习环节，收集学生的练习成果，评估学生对向量运算的熟悉程度。
3. 课后作业的完成情况，以检验学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学策略的调整：1. 根据学生的学习反馈，针对性地加强向量实际背景的讲解，提高学生对向量的认识。
平面向量的实际背景及基本概念(教学设计)
2.1 平面向量的实际背景及基本概念（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念：掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；理解相等向量与共线向量的含义.二、过程与方法：通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景；渗透数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．[教学重点]向量的概念，向量的几何表示．[教学难点]向量的概念．[教学要求]向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。
了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量和运用向量解决实际问题都是十分重要的。
[教学过程]一、创设情境，新课引入问题 1：我们已经知道位移是既有大小，又有方向的量。
请再举出一些这样的量．学生思考讨论，举出物理学中既有大小，又有方向的量，例如力，包括重力G、浮力F、拉力F等。
在学生讨论的基础上，抽象概括出向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量，称为数量（或标量）。
教师提问，学生回答，并再次强调向量的两要素。
有学生总结判断方法。
课堂练习1：判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）质量；（4）路程；（5）面积；（6）电流强度.二、师生互动，新课讲解：向量的表示1．几何表示：用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记作向量AB，注意起点在前，终点在后。
2．字母表示：印刷体可用黑体小写字母,,a b c表示向量，手写时写成带箭头的小写字母，如a。
3．图示表示：4．向量的模向量的长度称为向量的模，如向量AB的模记作||AB，向量a的模记作||a。
零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。
思考：两个向量能否比较大小？两个向量的模能否比较大小？5．平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
《平面向量的实际背景及基本概念》参考教案
《平面向量的实际背景及基本概念》参考教案一、教学目标1. 让学生了解平面向量的实际背景，感受向量在实际问题中的应用价值。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、模长、方向等。
3. 学会用坐标表示平面向量，并理解其几何意义。
二、教学内容1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，通过物理、几何等实际问题，让学生感受向量在描述运动、力、角度等方面的作用。
2. 平面向量的定义及表示方法：讲解向量的定义，引导学生理解向量是具有大小和方向的量。
介绍平面向量的表示方法，包括几何表示和坐标表示。
3. 向量的模长：定义向量的模长，让学生掌握求解向量长度的方法，并理解模长的几何意义。
4. 向量的方向：介绍向量的方向，讲解如何用角度或方向角表示向量的方向。
5. 坐标表示：讲解平面向量的坐标表示方法，让学生学会用坐标表示向量，并理解其几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的实际背景，向量的基本概念，向量的模长和方向，坐标表示。
2. 教学难点：向量的坐标表示及其几何意义。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的基本概念和性质。
2. 借助多媒体课件，展示向量的图形，增强学生对向量概念的理解。
3. 结合实际例子，引导学生运用向量解决实际问题。
4. 开展小组讨论，让学生探讨向量坐标表示的方法和几何意义。
五、教学过程1. 引入向量的概念：通过讲解物理中的力和速度等实际问题，引导学生了解向量的实际背景。
2. 讲解向量的定义及表示方法：介绍向量的定义，讲解几何表示和坐标表示，让学生掌握向量的基本表示方法。
3. 向量的模长：讲解向量长度的求解方法，让学生理解模长的几何意义。
4. 向量的方向：讲解如何用角度或方向角表示向量的方向，引导学生理解向量方向的概念。
5. 坐标表示：讲解向量的坐标表示方法，让学生学会用坐标表示向量，并理解其几何意义。
六、教学练习1. 让学生通过练习题，巩固向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、模长、方向等。
平面向量的实际背景及概念
3.零向量: 长度为零的向量
4.单位向量: 长度为1个单位的向量
5.平行向量:
1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行
6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
7.共线向量: 平行向量就是共线向量
相等的有7个 长度相等的有15个
到方格中有一 A B,个 以向 图量 中 起点和 向终 量点 ，作 其A中 B相与 等的 少A个B长？度与相等的共线 多向 少量 个
一、向量 的定义
用小写字母表示
一．几何表示:用有 向线段表示
○ 既有大小又有方 向的量叫做向量 1. 向量的表示
一．用表示向量的
有向线段的起点
和终点字母表示
注意:印刷体与手写 的区别
三、相关概念
） 向 量 A B 大 小 称 为 向 量 的 长 度 （ 也 叫 模 ） ， 记
答：如图：轨迹是 o 以o为圆心，半径 为1的圆。
思考：把所有单位向量的起点集中 于一点o，问它们终点的轨迹是什 么？
规定:零向量与任 一向量平行。
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平 行向量.
平行向量也叫共线向量
四、例题
一．下列命题正确的是
1. 共线向量都相等 ① 单位向量都相等 ② 平行向量不一定是共线向量 ③ 零向量与任一向量平行
一．方向相同或相反的向量是平行向量.
B
二．零向量是 . 三．长度相等的向量叫做相等向量. 四．共线向量是在一条直线上的向量.
例2．如图，设 是正六
边形
的中心，分
别写出图中与向
量 、 、 相等的向
量．
小：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
《向量的物理背景与概念》教案
向量的物理背景与概念一、课题：向量二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）； 2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；2．向量的几何表示。
四、教学过程： （一）问题引入：老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？ （二）新课讲解：1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母表示：a说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。
有向线段的三要素：起点、方向和长度； （2）向量AB 的长度（或称模）：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记作||AB ． 3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义： （1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即||1AB =； （2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：////a b c ； （4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。
即：a b =； （5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。
平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a ； （2）零向量与零向量相等，记作00=；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：例1 如图1，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量。
B （终点）A （起点）1）解：OA CB DO ==EF =；OB DC EO AF ===； OC AB ED FO ===．例2 如图2，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC 的三等分点，且||AD 2=，||5BC =，求||EF ．解：分别取BE ，CF 的中点分别记为M ，N ，由梯形的中位线定理知：1||(||)2MN EF BC =+1111||()(||||)2222EF AD MN AD EF BC =+=++∴3159||(2)4224EF =+= ∴||3EF =．例 3 在直角坐标系xoy 中，已知||5OA =，OA 与x 轴正方向所成的角为30，与y 轴正方向所成的角为120，试作出OA ． 解：五、课堂练习：P77，练习六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等 向量的意义。
向量的实际背景与概念
平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何
表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和
数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识
客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？ A B C D。
人教版高中数学教案-平面向量的实际背景及基本概念
2. 1平面向量的實際背景及基本概念教材分析：向量這一概念是由物理學和工程技術抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學和工程技術的重要工具，向量之所以有用，關鍵是它具有一套良好的運算性質，通過向量可把空間圖形的性質轉化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關問題。
向量不同於數量，它是一種新的量，關於數量的代數運算在向量範圍內不都適用。
因此，本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數量的區別，然後又重新給出了向量代數的部分運算法則，包括加法、減法、實數與向量的積、向量的數量積的運算法則等。
之後，又將向量與座標聯繫起來，把關於向量的代數運算與數量(向量的座標)的代數運算聯繫起來，這就為研究和解決有關幾何問題又提供了兩種方法——向量法和座標法。
本章共分五大節。
第一節是“平面向量的實際背景及基本概念”，內容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。
本節從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發，抽象出向量的概念，並重點說明了向量與數量的區別，然後介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區別與聯繫、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。
教學目標：1、瞭解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；並會區分平行向量、相等向量和共線向量.2、通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別.3、通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力.教學重點：理解並掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯繫.學法：本節是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學生可根據在原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念，結合圖形實物區分平行向量、相等向量、共線向量等概念.教 具：多媒體或實物投影儀，尺規授課類型：新授課教學過程：一、情景設置：如圖，老鼠由A 向西北逃竄，貓在B 處向東追去，設問：貓能否追到老鼠？（畫圖）結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.分析：老鼠逃竄的路線AC 、貓追逐的路線BD 實際上都是有方向、有長短的量.引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？二、新課學習：（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（二）請同學閱讀課本後回答：（可製作成幻燈片）1、數量與向量有何區別？2、如何表示向量？3、有向線段和線段有何區別和聯繫？分別可以表示向量的什麼？4、長度為零的向量叫什麼向量？長度為1的向量叫什麼向量？5、滿足什麼條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什麼關係？7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O ，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什麼關係？（三）探究學習1、數量與向量的區別：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.2.向量的表示方法：A B C D B （終點）a①用有向線段表示；②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；③用有向線段的起點與終點字母：AB；④向量AB的大小――長度稱為向量的模，記作|AB|.3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，儘管大小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區別.②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規定0與任一向量平行.說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；‧‧‧‧（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，並且與有向線‧‧‧‧‧‧.段的起點無關7、共線向量與平行向量關係：‧‧‧‧‧‧平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的‧‧‧‧‧.起點無關）說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區別於兩平行線的位置關係；（2）共線向量可以相互平行，要區別於在同一直線上的線段的位置關係.（四）理解和鞏固：例1 書本86頁例1.例2判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什麼向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什麼向量？（零向量）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什麼向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什麼？（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例3下列命題正確的是（）A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形 的四頂點C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行解：由於零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由於數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以Ｄ不正確；對於C ，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應選C.例4 如圖，設O 是正六邊形ABCDEF 的中心，分別寫出圖中與向量OA 、OB 、OC 相等的向量. 變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（FE DO CB ,,）課堂練習：1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.①向量AB 與CD 是共線向量，則A 、B 、C 、D 四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD 是平行四邊形當且僅當AB ＝DC⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0；⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，並不要求兩個向量AB、AC在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向並不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖AC與BC共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2．書本88頁練習三、小結：1、描述向量的兩個指標：模和方向.2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.3、向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點.四、課後作業：書本88頁習題2.1第3、5題2.1平面向量的實際背景及基本概念課前預習學案一、預習目標通過閱讀教材初步瞭解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；並會區分平行向量、相等向量和共線向量.二、預習內容（一）、情景設置：如圖，老鼠由A 向西北逃竄，貓在B 處向東追去，設問：貓能否追到老鼠？（畫圖）結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.分析：老鼠逃竄的路線AC 、貓追逐的路線BD 實際上都是有方向、有長短的量.引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？（二）、新課預習：1、向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量2、請同學閱讀課本後回答：（可製作成幻燈片）1) 數量與向量有何區別？2) 如何表示向量？3) 有向線段和線段有何區別和聯繫？分別可以表示向量的什麼？4) 長度為零的向量叫什麼向量？長度為1的向量叫什麼向量？5) 滿足什麼條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6) 有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什麼關係？7) 如果把一組平行向量的起點全部移到一點O ，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什麼關係？三、提出疑惑A B C D同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容一、學習目標1、通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別.2、通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力.二、學習過程1、數量與向量的區別？-2.向量的表示方法？①②③④向量AB 的大小――長度稱為向量的模，記作 。
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平行向量
作业：
P77，第1题；P78，第1题.
谢 谢 观 赏！
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
说明： (1) 综合①、②才是平行向量的完整定义； (2) 向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
（三）练习
例1.下列各量中是向量的是(
A.密度
B.体积
) C.重力
D.质量
例2.下列说法正确的是（
） A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小
自学检测：
（一）向量的概念 我们把既有大小又有方向的 量叫做向量
（二） 数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以 进行代数运算、比较大小；向量有方向， 大小，双重性，不Байду номын сангаас比较大小. a A(起点) B (终点)
（三） 向量的表示方法： ①用有向线段表示；
②用字母a、b(黑体，印刷体)等表示；
平面向量的
实际背景 基本概念 几何表示
人教Ａ版必修４§2.1.1
本章是一个新的知识结构，本 节是本章的入门课，概念较多，但 难度不大.同学们可根据在物理中 的位移、力等物理概念来学习向量 的概念.所以放轻松状态，抬起你 们沉重的脑袋吧！重在入门哦！
数学诗：《我的向量》 给你一个方向，你就是我的向量；给你一 个坐标系，你就在我心中飞翔；给你一组基底， 带着我扬帆起航；平行飞行，却又共线追逐； 繁复的几何关系，变成纯代数的情殇；优美的 动态结构，没有人情冷暖世态炎凉。哪怕山高 路远，哪怕风雨苍茫，不管起点在哪儿，你始 终在水一方。啊！我的向量，你是一股无穷的 力量，融进了我的身体，在我心中，静静流 淌……
例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
不一定
零向量
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
不一定
零向量
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
2.1.1向量的物理背景与基本概念
在物理学中，我们知道有很 多类似于位移的量，这种量有方 向和大小，称为矢量。 那么，在数学中，也用到了 有方向和大小的量。
学科联系：物理中的矢量
在研究物体的受力分析时，其中的力都是有 大小与方向的.
F
G 图1
图2
图1中，物体所受重力方向竖直向下； 图2中，弹簧弹力水平向右.
例3. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
例2. 判断：
(1) 平行向量是否一定方向相同？
不一定
(2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
③用有向线段的起点与终点字母： AB
；
向量 AB 的大小——长度称为向量的模，
记作 AB
.
（四） 有向线段：
具有方向的线段就叫做有向线段， 三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点 无关，只要大小和方向相同，这两个向 量就是相同的向量； (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素 起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不 同的有向线段.
（五） 零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量, 叫单位向量.
（六）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等 向量,记作a＝b. 相等向量具有传递性，即如果a＝b，且b＝c， 那么a＝c．
（七）平行向量定义：
(1)数量与向量有何区别？
(2)如何表示向量？
(3)有向线段和线段有何区别和联系？分别
可以表示向量的什么？ (4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？
阅读教材，回答下列问题：
(5)满足什么条件的两个向量是相等向量？ 单位向量是相等向量吗？ (6)有一组向量，它们的方向相同或相反， 这组向量有什么关系？ (7)如果把一组平行向量的起点全部移到一 点O，这是它们是不是平行向量？这时 各向量的终点之间有什么关系？
请同学们指出哪些量既有大小又有方 向？ 哪些量只有大小没有方向？
有大小与方向：力，位移，速度等.
有大小，没有方向：路程，年龄，温 度等.
生活情景
结论： 猫的速度再快也 没有用，因为方 向错了！
试问：猫能否追到老鼠？
学习目标：
1、了解向量的实际背景
2、掌握向量的几何表示 3、理解向量的基本概念
阅读教材，回答下列问题：