《向量的几何表示》教案

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教师资格证面试试讲-10《向量的几何表示》-逐字稿

教师资格证面试试讲-10《向量的几何表示》-逐字稿

《向量的几何表示》逐字稿各位评委老师大家好,我是今天的1号考生,今天我试讲的题目是《向量的几何表示》。

下面开始我的试讲。

一、类比概念,引入课题正式上课前,老师想问大家一个问题,实数在数轴上是如何表示的呢?有的同学说是用点表示的,完全正确,那向量又该如何表示呢?带着这个问题我们一起来学习今天的新课---《向量的几何表示》。

二、类比实数概念,知识新授1、实例引入概念下面我们一起来看下PPT上的这幅图片,在物理学中是如何表示力的呢?谁来给我们说一下?好,物理课代表来说吧。

他说这幅图是用带箭头的线段来表示力的,箭头指示力的方向,线段是按比例来画的,线段的长度表示力的大小。

大家觉得他解释的对不对?你们都认为是对的啊,很好,而且解释的也很全面,在他的叙述中,我们发现带方向的这条线段起到了关键作用,在数学上,我们把它叫做有向线段。

2、向量与有向线段的区别与联系那这条线段应该如何表述呢?能否像实数一样就用一个点来表示呢?你们异口同声的说不能,那为什么呢?好,你来说下理由吧。

他说线段是有端点的,需要两个点来表述。

那老师现在在这条有向线段上标上端点A和B,这个有向线段应该如何表述呢?有同学说是AB,又有同学说是BA,哪个是对的呢?举手的这位同学你来说,他说应该是BA,因为这条线段是有方向的,从B指向A,所以要说BA。

很好,大家都很聪明啊,一下子就注意到了问题的关键点,以B为起点,A为终点的话记为BA,同时在BA上面要画一个这样的箭头,表明它的方向。

表述有向线段的时候必须表示清楚它的三要素:起点、方向、长度,当这三个要素确定后,终点也就随之确定了,大家明白了吗?明白了,那也就是说我们可以用这样的有向线段来表示向量了,那我们是否可以说有向线段就是向量,向量就是有限线段呢?有些孩子摇头了,那理由呢?想好了举手!好,你来说。

他说有向线段有三要素,即起点、长度和方向,向量只有大小和方向两个要素,与起点无关。

你们赞同吗?大家都同意啊,很好,这位同学对于概念抓的很细致,表述也特别清楚,真厉害!3、向量的其他概念现在我们已经学会了如何用有向线段来表示向量,书上还给出了另一种向量的记法,用a,b···也可以表示向量,书上的向量用的是印刷体的黑体字母a表示向量,没有箭头.但是我们书写的字母不是印刷体,在表示向量时,必须打上箭头。

向量的教案5篇

向量的教案5篇

向量的教案5篇(实用版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

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2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示

2.1.1  向量的物理背景与概念及向量的几何表示

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标:1. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路: (一) 一、情景设置:如图,老鼠由A 向西北逃窜,猫在B 处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.分析:老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习:(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。

(二)(教材P74面的四个图制作成幻灯片)请同学阅读课本后回答:(7个问题一次出现) 1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量?3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ,这是它们是不是平行向量? 这时各向量的终点之间有什么关系?(三)探究学习1、数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;ABCDA(起点)B(终点)a③用有向线段的起点与终点字母:AB;④向量AB的大小―长度称为向量的模,记作|AB|.3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. (四)理解和巩固:例1 书本75页例1.例2判断:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)课堂练习:书本77页练习1、2、3题三、小结:1、描述向量的两个指标:模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示;3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示

苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示

2.1向量的概念及表示●三维目标1.知识与技能(1)理解、掌握向量的概念.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念.2.过程与方法在理解向量等有关概念的基础上,充分联系实际,培养学生解决生活实际问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习,使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生对现实生活中的真善美的识别能力.(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点:向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示.难点:向量的概念和共线向量的概念.●教学建议1.关于向量概念的教学教学时,建议教师从向量的物理背景出发,借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念,并指出向量具有“数”和“形”的双重特征.2.关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时,建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念;结合向量的两要素给出相等向量的定义;强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量.由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础,为增加学生对上述概念的感性认识,学习时建议教师对该知识点进行适当训练.●教学流程创设问题情境,引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念,引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练,使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握利用有向线段表示向量的方法,并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练,使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念.2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义.(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km,行驶速度的大小为120 km/h,方向是正南.(2)起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.1.上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么?【提示】它们的大小和方向都是确定的.2.上述实例中的速度和力,如何表示?【提示】可以用有向线段表示,也可以用字母表示.1.向量的概念向量:既有大小,又有方向的量叫向量.2.向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模),记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时,用黑体小写字母a ,b ,c …表示向量,在手写时用带箭头的小写字母a →, b →, c →…表示向量.也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB →,CD →. 3.与向量有关的概念(1)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.(2)单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. (3)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (4)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫相反向量.(5)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等; (2)若a =b ,b =c ,则a =c ;(3)若AB →=CD →,则点A 与点C 重合,点B 与点D 重合; (4)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ; (5)若向量a =b ,则a ∥b ; (6)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .【思路探究】 从概念的理解出发,结合具体实例进行判断.【自主解答】 (1)不正确.向量有大小和方向两个要素,单位向量的模一定是1,但方向不一定相同,所以单位向量不一定相等.(2)正确.∵a =b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同;又∵b =c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .(3)不正确.这是因为AB →=CD →时,应有|AB →|=|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同,但不一定有A 与C 重合,B 与D 重合.(4)不正确.“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的.(5)正确.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等.(6)不正确.对于非零向量命题正确,但当b =0时,满足a ∥b ,b ∥c ,但a 与c 不一定共线.1.在判断与向量有关的命题时,既要立足向量的数(即模的大小),又要考虑其形(即方向性).2.涉及共线向量或平行向量的问题,一定要明确所给向量是否为非零向量. 3.对于判断命题的正误,应该熟记有关概念,理解各命题,逐一进行判断,对于错误命题,只要举一反例即可.下列说法:①方向相同或相反的向量是平行向量;②零向量的长度是0;③长度相等的向量叫相等向量;④共线向量是在一条直线上的向量.其中正确的命题是________.(填序号)【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量,所以①不正确;长度相等,方向相同的向量才叫相等向量,所以③不正确;共线向量也叫平行向量,它们不一定在一条直线上,也可能在平行直线上,所以④不正确;零向量的长度为0,所以②正确.【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →,BC →,CD →; (2)求|AD →|.【思路探究】 解答本题应首先确定指向标,然后再根据行驶方向确定有关向量,进而求解.【自主解答】 (1)如图.(2) 由题意,易知AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →共线,即AB ∥CD. 又∵|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形.∴|AD →|=|BC →|=200(千米).用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模),选择合适的比例关系作出向量.在如图2-1-1的方格纸中,画出下列向量.图2-1-1(1)|OA →|=3,点A 在点O 正西方向; (2)|OB →|=32,点B 在点O 北偏西45°方向.【解】 取每个方格的单位长为1,依题意,结合向量的表示可知,相应的向量如图所示:相等向量与共线向量图2-1-2如图2-1-2所示,在△ABC 中,三边长均不相等,D ,E ,F 分别是BC ,AC ,AB 的中点,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 这6点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与EF →共线的向量; (2)与EF →长度相等的向量; (3)与EF →相等的向量.【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量;(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等;(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量.【自主解答】 (1)∵E ,F 分别是AC ,AB 的中点,∴EF ∥BC , ∴与EF →共线的向量为FE →,BD →,DB →,DC →,CD →,BC →,CB →.(2)∵D ,E ,F 分别是BC ,AC ,AB 的中点,∴BD =DC =12BC ,EF =12BC.∵AB ,BC ,AC 均不相等,∴与EF →长度相等的向量为FE →,BD →,DB →,DC →,CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →,CD →.1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.图2-1-3如图2-1-3,D ,E ,F 分别是△ABC 各边上的中点,四边形BCMF 是平行四边形,请分别写出:(1)与CM →模相等且共线的向量; (2)与ED →相等的向量; (3)与BF →相反的向量.【解】 (1)DE →,ED →,BF →,FB →,FA →,AF →,MC →. (2)FB →,AF →,MC →. (3)FB →,AF →,ED →,MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确: (1)向量就是有向线段; (2)AB →=BA →;(3)若向量AB →与向量CD →平行,则线段AB 与CD 平行; (4)若|a |=|b |,则a =±b ;(5)若AB →=DC →,则ABCD 是平行四边形. 【错解】 以上说法都正确.【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.因此,有向线段是向量的一种表示方法,不能说向量就是有向线段.(2)AB →与BA →的长度相等,但方向相反,故当AB →是非零向量时,AB →与BA →不相等. (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,故若AB →与CD →平行,则线段AB 与CD 可能平行,也可能共线.(4)由|a |=|b |,仅能说明两向量的模相等,但方向却不能确定,故(4)不正确.而(5)中,A ,B ,C ,D 可能落在同一条直线上,故(5)不正确.【防范措施】 首先,要清楚向量的两要素:大小和方向;其次,要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解,考虑问题要全面,注意零向量的特殊性.【正解】 以上说法都不正确.1.如果有向线段AB 表示一个向量,通常我们就说向量AB →,但有向线段只是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.1.下列说法正确的是________. ①若|a |=0,则a =0; ②若|a |=|b |,则a =b ;③向量AB →与向量BA →是相反向量; ④若a ∥b ,则a =b .【解析】 ①不正确,若|a |=0,则a =0;由于相等向量的长度相等且方向相同,故②④不正确;③显然正确.【答案】 ③图2-1-42.如图2-1-4所示,E ,F 分别为△ABC 的边AB ,AC 的中点,则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来).【解析】 ∵E ,F 分别为AB ,AC 的中点,∴EF ∥BC , ∴适合条件的向量为FE →,BC →,CB →. 【答案】 FE →,BC →,CB →3.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是________. ①AB →与CD →共线;②AC →与BD →相等;③AD →与CB →是相反向量;④AB →与CD →的模相等.【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥CD ,AB =CD ,故①,④正确; AC =BD ,但AC →与BD →的方向不同,故②不正确; AD =CB 且AD ∥CB ,AD →与CB →的方向相反,故③正确. 【答案】 ②4.在直角坐标系中,画出下列向量,使它们的起点都是原点O. (1)|a |=2,a 的方向与x 轴正方向成60°,与y 轴正方向成30°;(2)|a |=4,a 的方向与x 轴正方向成30°,与y 轴正方向成120°. 【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示:一、填空题1.若a 为任一非零向量,b 为单位向量,下列各式:①|a |>|b |;②a ∥b ;③|a |>0;④|b |=±1;⑤a |a |=b .其中正确的是________.(填序号)【解析】 |a |不一定大于1,|b |=1,∴①④不正确;a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量,所以②⑤不正确;a 为非零向量,显然有|a |>0. 只有③正确. 【答案】 ③2.若a =b ,且|a |=0,则b =________. 【解析】 ∵a =b ,且|a |=0,∴a =b =0. 【答案】 0图2-1-53.如图2-1-5所示,四边形ABCE 为等腰梯形,D 为CE 的中点,且EC =2AB ,则与AB →相等的向量有________.【解析】 易知四边形ABDE 为平行四边形,则AB →=ED →, 又∵D 是CE 的中点,则ED →=DC →. 【答案】 DC →,ED →4.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进1003米,则此人位移的方向是________.【解析】 如图所示,此人从点A 出发,经点B ,到达点C ,则tan ∠BAC =1003100=3,∴∠BAC =60°,即位移的方向是东偏南60°,即南偏东30°.【答案】 南偏东30°5.给出以下4个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 的方向相反;④|a |=0或|b |=0,其中能使a 与b 共线成立的是________.【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反.①a =b ,两向量方向相同;②|a |=|b |两向量方向不确定;④|a |=0或|b |=0即为a =0或b =0 ,因为零向量与任一向量平行,所以④成立.综上所述,答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2-1-66.如图2-1-6,已知正方形ABCD 边长为2,O 为其中心,则|OA →|=________. 【解析】 正方形的对角线长为22, ∴|OA →|= 2. 【答案】27.四边形ABCD 满足AD →=BC →且|AC →|=|BD →|,则四边形ABCD 的形状是________. 【解析】 由四边形ABCD 满足AD →=BC →可知,四边形ABCD 为平行四边形. 又|AC →|=|BD →|,即平行四边形ABCD 对角线相等,从而可知四边形ABCD 为矩形. 【答案】 矩形8.设O 是正方形ABCD 的中心,则①AO →=OC →;②AO →∥AC →;③AB →与CD →共线;④AO →=BO →.其中,所有表示正确的序号为________.【解析】 如图,正方形的对角线互相平分,∴AO →=OC →,①正确;AO →与AC →的方向相同,所以AO →∥AC →,②正确;AB →与CD →的方向相反,所以AB →与CD →共线,③正确;尽管|AO →|=|BO →|,然而AO →与BO →的方向不相同,所以AO →≠BO →,④不正确.【答案】 ①②③二、解答题图2-1-79.设在平面上给定了一个四边形ABCD ,如图2-1-7所示,点K ,L ,M ,N 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证:KL →=NM →.【证明】 ∵N ,M 分别是AD ,DC 的中点,则NM →=12AC →,同理KL →=12AC →,故KL →=NM →.图2-1-810.如图2-1-8所示菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于O 点,∠DAB =60°,分别以A ,B ,C ,D ,O 中的不同两点为起点与终点的向量中,(1)写出与DA →平行的向量;(2)写出与DA →模相等的向量.【解】 由题意可知,(1)与DA →平行的向量有:AD →,BC →,CB →;(2)与DA →模相等的向量有:AD →,BC →,CB →,AB →,BA →,DC →,CD →,BD →,DB →.11.一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点,再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点,最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点,求飞机从D 点飞回A 点的位移.【解】 如图所示,由|AB →|=200 km ,|BC →|=100 2 km ,知C 在A 的正北100 2 km 处.又由|CD →|=50 2 km ,∠ACD =60°,知∠CDA =90°,所以∠DAC =30°,所以|DA →|=50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°,长度为50 6 km.如图,已知四边形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,AD 的中点,又AB →=DC →.求证:CN綊MA.【思路探究】 要证CN ∥MA 且CN =MA ,只需证四边形AMCN 是平行四边形,而四边形AMCN 是平行四边形,可以通过AN →=MC →得证.【自主解答】 由条件AB →=DC →可知AB =DC 且AB ∥DC ,从而四边形ABCD 为平行四边形,从而AD →=BC →.又M ,N 分别是BC ,AD 的中点,于是AN →=MC →,所以AN =MC 且AN ∥MC ,所以四边形AMCN 是平行四边形,从而CN =MA 且CN ∥MA ,即CN 綊MA.1.若AB →=DC →,且四点A ,B ,C ,D 不共线,则四边形ABCD 为平行四边形,反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则AB →=DC →.2.利用向量相等或共线证明平行、相等问题:(1)证明线段相等,只需证明相应向量的长度(模)相等.(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.在四边形ABCD 中,AB →=DC →,N 、M 分别是AD ,BC 上的点,且CN →=MA →,证明:四边形DNBM 是平行四边形.【证明】 ∵AB →=DC →,∴四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ,BC 平行且相等.又∵CN →=MA →,∴四边形CNAM 为平行四边形,∴AN ,MC 平行且相等,∴DN ,MB 平行且相等,∴四边形DNBM 是平行四边形.。

《向量在几何证明中的应用》 讲义

《向量在几何证明中的应用》 讲义

《向量在几何证明中的应用》讲义一、向量的基本概念在数学的广阔天地中,向量是一个极其重要的概念。

简单来说,向量是既有大小又有方向的量。

它可以用有向线段来表示,线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。

比如,一个物体在平面上的位移,力的作用方向和大小,速度的快慢和方向等,都可以用向量来描述。

向量通常用小写字母加上箭头来表示,如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)等。

向量的大小称为模长,记作\(|\vec{a}|\)。

如果向量的模长为 1,则称为单位向量。

两个向量的方向相同或相反,且模长相等,就称这两个向量相等。

二、向量的运算1、加法向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则:将两个向量首尾相连,从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是这两个向量的和。

平行四边形法则:以两个向量为邻边作平行四边形,从公共起点出发的对角线所表示的向量就是这两个向量的和。

2、减法向量的减法是加法的逆运算。

\(\vec{a} \vec{b} =\vec{a}+(\vec{b})\),即将\(\vec{b}\)取反后与\(\vec{a}\)相加。

3、数乘一个实数\(k\)与向量\(\vec{a}\)相乘,得到的向量\(k\vec{a}\)的模长为\(|k|\times|\vec{a}|\),方向:当\(k > 0\)时,与\(\vec{a}\)同向;当\(k < 0\)时,与\(\vec{a}\)反向。

4、点乘(数量积)两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的数量积\(\vec{a}\cdot \vec{b} =|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times\cos\theta\),其中\(\theta\)为两个向量的夹角。

数量积的结果是一个标量。

它有着广泛的应用,比如可以用来计算向量的模长、判断向量的垂直关系等。

三、向量在几何证明中的优势向量为几何证明带来了新的思路和方法,具有以下显著优势:1、简洁直观通过向量的运算,可以将复杂的几何关系转化为简单的代数运算,使证明过程更加简洁明了。

人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1.2 向量的几何表示》优质课教案_12

人教A版高中数学必修4《二章 平面向量  2.1.2 向量的几何表示》优质课教案_12

2.1.2 向量的几何表示学习目标1.掌握向量的几何表示;2.理解向量的有关概念。

学习重点、难点1.向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示;2.向量的概念和共线向量的概念。

探究(一):向量的几何表示思考1:一条小船从A 地出发,向西北方向航行15km 到达B 地,可以用什么方式表示小船的位移?思考2:如图,以A 为起点、B 为终点的有向线段记作,一条有向线段由哪几个基本要素所确定?1.向量的有关概念 (1)向量的大小叫做向量的长度(模)。

表示为:___________(2)字母表示法为了书写的方便,除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外,向量也可以用黑体的单个小写字母a ,b ,c ,…,或,,表示,如图。

要注意手写体a ,b 与印刷体a ,b 的不同,向量的字母表示法有利于向量的代数运算。

思考4:向量的模可以为0吗?可以为1吗?可以为负数吗?2.两个特殊向量零向量:模为0的向量,记作。

单位向量:模为1个单位的向量。

思考5:A 起点B 终点思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?知识运用例1.______________________________称为向量;常用_________________表示,记为____________,又可用小写字母表示为____________。

例2.在下列命题中,正确的是()A.若|a|>|b|,则a>b;B.若a与b平行,b与c平行,则a与c不一定平行C.终点相同的两个向量不平行D.由于0方向任意,故0不与任一向量平行例3.判断下列各命题是否正确:(1)若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反。

()(2)若向量是单位向量,则也是单位向量。

()(3)以坐标平面上的定点A为始点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。

()(4)单位向量都相等()例4.把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形是_ _______________________________。

中职数学平面向量教案

中职数学平面向量教案

中职数学平面向量教案第一章:向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念,向量的表示方法(字母表示和箭头表示)通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法,箭头表示向量的方向和长度绘制向量图,让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法,二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示,以及坐标系中的向量表示第二章:向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算,同一直线上的向量加法,不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算,通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算,即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律,利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章:向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念,即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式,即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用,如判断两个向量的垂直关系,计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章:向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念,即向量的叉积结果为一个向量,其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式,即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积,方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用,如计算平行四边形的面积,求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章:向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念,即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合,即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性,即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章:向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用,如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用,如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章:向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念,即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解,即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解,解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解,即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解,解释坐标分解的性质和运算规律第八章:向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念,即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组,即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组,解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程,即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章:向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念,即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质,如向量加法、数乘运算的封闭性,线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间,即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律,以及子空间之间的关系第十章:向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用,如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用,如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用,如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示:重点关注向量的定义和几何表示方法,理解向量的方向和大小。

向量的几何表示(教学设计)

向量的几何表示(教学设计)

向量的几何表示教学设计教学目标1.能理解向量的概念,并能用两种方法表示向量;明确向量的长度(模)、零向量、单位向量的概念;掌握平行向量、共线向量和相等向量的概念,能根据图形判定向量是否平行(共线)、相等.2.培养学生数形结合的能力,学会用类比和分类讨论的方法解决问题的能力.3.培养学生学以致用的科学探索精神.教学重点1.向量概念的引入,会表示向量.2.理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念.教学难点1. “数”与“形”的结合思想2. 平行(共线)向量和相等向量区别和联系.教学课时:1【教学设计】本节内容主要内容是一些向量的概念,目的是使学生在区分相似概念的过程中更深刻的把握所学的知识,本节课以观看《奔跑吧》“拔河比赛”和一些实际问题引入概念.这样的导入即能吸引学生的注意力,又能帮助学生理解向量是既有大小又有方向的量。

向量不同于数量,数量是只有大小的量,而向量既有大小、又有方向.接着通过比较实数的表示方法引入向量的表示方法,教材中用有向线段来直观的表示向量,有向线段的长度叫做向量的模,有向线段的方向表示向量的方向.数量可以比较大小,而向量不能比较大小,记号“a>b”没有意义,而“︱a︱>︱b︱”才是有意义的.用例1来巩固向量的相关概念。

接下来讲解两个特殊向量的概念以及表示方法,引入平行向量和相等向量的相关概念,最后用例题加以巩固,讲解概念的过程中还穿插了练习,以讲带练的木大让学生能熟练掌握所学概念教学过程a说明:因为向量既有大小又有方向,所以两个向量不能比较大小;因为向量的模是个非负实数,所以两个课讲授新课向量的模可以比较大小。

故a ba b>>是有意义的是没有意义的,而。

例1.如图,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移,并求出A地至B,C两地的实际距离(精确到1km).(二)、两个特殊向量(大小)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0. 零向量的方向是任意的。

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《向量的物理背景与概念及向量的几何表示》教案
一、 教学目标:
1. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
二、 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
三、 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
四、 学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
五、 教学思路:
一、情景设置:
如图,老鼠由A 向西北逃窜,猫在B 处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上
都是有方向、有长短的量.
引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?
二、新课学习:
(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。

(二)请同学阅读课本后回答:(7个问题一次出现)
1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向)
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? A B C D
6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
(三)探究学习
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示; ②用字母a、b等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ;④向量AB 的大小―长度称为向量的模,记作|AB |.
3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.
六、 向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同
的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有
向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
(四)理解和巩固:
例1判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)
(2)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)
(3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)
A(起点) B
(终点)
A
七、小结:
1、描述向量的两个指标:模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示;
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

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