高考数学(理科)一轮精品课件2.10 函数模型及其应用
2025届高中数学一轮复习课件《函数模型及其应用》PPT
第27页
题型 函数模型解决实际问题的多维研讨 维度 1 构建二次函数模型 典例 3(2024·河北张家口模拟)新能源汽车环保、节能，以电代油，减少碳排放，既符 合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到 2025 年中国的汽车 总销量将达到 3 500 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公 司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台 13 500 元，到第 x 年年末(x∈N*)每台设备的累 计维修保养费用为(300x2＋3 200x)元，每台充电桩每年可给公司收益 8 000 元．( 19≈4.36) (1)每台充电桩第几年年末开始获利； (2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大．
2
所以
t＝log0.80.4＝llgg 00..48＝lg lg
45＝2llgg22－－llgg55＝2llgg22－－11－－llgg22＝23llgg 22－－11≈23××00..330011－－11＝ 5
－－00..309987≈4.103，最接近 4 h．故选 B.
解析
高考一轮总复习•数学
典例 2(2024·山东济南一中月考)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾 取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成
熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L＝32.44＋20lg D＋20lg F，
其中 D 为传输距离，单位是 km，F 为载波频率，单位是 MHz，L 为传输损耗(亦称衰减)，
高考一轮总复习•数学
第28页
解：(1)设每台充电桩在第 x 年年末的利润为 f(x)元， 则 f(x)＝8 000x－(300x2＋3 200x)－13 500＝－300x2＋4 800x－13 500， 令 f(x)>0，解得 8－ 19<x<8＋ 19， 此表达式，回答了“第几年年末开始获利”，语言表达→代数表达，估算求整数解． 又 19≈4.36，∴3.64<x<12.36， ∵x∈N*，∴每台充电桩从第 4 年年末开始获利． (2)设 g(x)为每台充电桩在第 x 年年末的年平均利润， 则 g(x)＝fxx＝－300x＋13 x500＋4 800.
高考数学一轮复习 第10节 函数模型及其应用课件
示为图中的Leabharlann ()解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图像知应选B.
答案：B
3．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，
后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利 (
A．25元 B．20.5元
)
C．15元
D．12.5元
解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5 元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元． 答案： D
料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩
形最大面积为______________．(围墙厚度不计)
200－x 解析：设矩形的长为x m，宽为 m， 4 200－x 1 则S＝x· ＝ (－x2＋200x)． 4 4 当x＝100时，Smax＝2 500 m2.
答案： 2 500 m2
1．解函数应用题的步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的
4．(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金 为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利 息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是
________． 答案：y＝a(1＋r)x，x∈N+
5．有一批材料可以建成200 m的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围 成一块矩形场地，中间用同样的材
其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投 资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建 一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收 159 119 2 益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－ 160 (60－x) ＋ 2 (60－x)万 元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？
《2.10第十节 函数模型及其应用》 教案
教学过程一、课堂导入有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气二、复习预习1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？3.涵数与方程的关系三、知识讲解考点1 几种常见的函数模型考点2 三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．四、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎨⎧－(t －10)2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝c －r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分) 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费最小时r＝320c－2.⇨(12分)五、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m2500×(1＋1%)10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m2)．解析：选B由题意3．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在H2附近时，体积变化较快；h小于H2时，增加越来越快；h大于H2时，增加越来越慢．答案：②5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6【拔高】6．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋50 0003，得x＝1003时，y min＝50 0003，即核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．课程小结常见函数模型的理解(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”．注意：指数函数y＝a x(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大得惊人，因此常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随x n中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．(5)“对勾”函数模型，形如f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．31 / 31。
高三数学一轮复习 2.10 函数模型及其应用课件 理 新课标
由二次函数的性质得，经过8.5 min，放水停止,
共出水34×8.5=289(L)，289÷65≈4.45.
故至多可供4人洗浴. 答案：(1)y=0.95m5x0 ,x∈N*
(2)对数函数模型
(3)
利用函数刻画实际问题 【方法点睛】 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最 小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的 缓急等)相吻合即可.
每年最多
每件产品 可生产的
销售价
件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产 A产品的原材料价格决定,预计m∈［6,8］,另外,年销售x件B产 品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能 在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相 应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划.
(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函
数值先减小，后增大(a＞0).
f1(x), x D1
(6)分段函数模型：y f2 (x), x D2 ,其特点是每一段自变量变
fn (x)，x Dn
(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k≠0),将点(0.1,1)代入可得
k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入y=( 1 )t,a得a= 1 .
2021版新高考数学一轮课件：第2章 第10讲 函数模型及其应用
• ∴100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)， • ∴当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A．
4．(必修 1P107AT2 改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业 一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为___1_8____万件．
• (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； • (4)还原：将数学问题还原为实际问题． • 以上过程用框图表示如下：
1．函数 f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0， ab]内单调递减，在区间[ ab， ＋∞)内单调递增．
2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD ) A．函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大 B．“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快 的形象比喻 C．幂函数增长比直线增长更快 D．不存在 x0，使 ax0<x0a<logax0
[解析] 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142， 当 x＝18 时，L(x)有最大值．
• 题组三 考题再现
• 5．(2015·北京，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该
车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量/升 加油时的累计里程/千米
2015年5月1日
12
35 000
• •
3aA．l．og(23必(0x0修＋只11P)B，1．04设例30这50改只种编动)物某第种2动年物有繁10殖0只量，y只到与第A时8间年x它年们的将关发系展为到y＝(
函数模型及其应用+课件-2025届高三数学一轮复习
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
高三数学函数模型及应用PPT优秀课件
双基回顾
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑 步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是： D
2.某种放射性元素，100年后只剩原来 质量的一半，现有这种元素1克，三年 后剩下：D
2.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、 概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、 方程、不等式等数学模型；最终求解数学模 型使实际问题获解.
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今 后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y（亿）；
（1）求y与x的函数关系式y=f(x)； （2）求函数y=f(x)的定义域； （3）判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出
高考数学(理)一轮复习课件：1-10函数模型及其应用
∵R(x)在[0，210]上是增函数， 1 ∴x＝210时，R(x)有最大值，为－ (210－220)2＋1680 5 ＝1660. ∴当年产量为210吨时，可以获得最大利润，最大利 润为1660万元．
[规律总结] 在实际问题中优化、面积、利润、产量 等问题常与二次函数有关，可建立二次函数模型，常利用 配方法借助于对称轴和单调性求最值问题． 对于实际问题，一定要注意函数的定义域．
x 8000 当且仅当 ＝ ，即x＝200时取等号． 5 x ∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年总利润为R(x)万元， x2 则R(x)＝40x－y＝40x－ ＋48x－8000 5 x2 ＝－ ＋88x－8000 5 1 ＝－ (x－220)2＋1680(0≤x≤210)． 5
B. y＝100lnx D. y＝100·2x
答案：A
解析：∵在(0，＋∞)上，总存在一个x0，使x>x0时， 有ax>xn>logax(a>1)．∴排除B、C， 1 又∵e>2，∴ ex的增长速度大于100· 2x的增长速 100 度．
4. 某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h) 的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取 正值，则下午3时的温度为( A. 8℃ C. 112℃
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成 本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多 少？
[思路点拨]
[解] (1)由题意知0<x≤210， y 每吨平均成本为 (万元)． x y x 8000 则 ＝ ＋ －48≥2 x 5 x x 8000 · －48＝32， 5 x
高考数学一轮专题复习 第二章 第10讲 函数模型及其应用课件
解：①根据题意，得
S＝（－2t＋200）12t＋30，1≤t≤30，t∈N 45（－2t＋200），31≤t≤50，t∈N
＝－t2＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N， －90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.
②a.当 1≤t≤30，t∈N 时， S＝－(t－20)2＋6 400， ∴当 t＝20 时，S 的最大值为 6 400； b．当 31≤t≤50，t∈N 时，S＝－90t＋9 000 为减函数， ∴当 t＝31 时，S 的最大值为 6 210. ∵6 210＜6 400， ∴当 t＝20 时，日销售额 S 有最大值 6 400.
B．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业
一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x
＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该
企业一个月应生产该商品数量为( B )
A．36 万件
B．18 万件
∵xy≥300，∴x(40－x)≥300， ∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
考点一 考点二
一次函数与二次函数模型(高频考点) 函数 y＝x＋ax(a>0)模型
考点三
指数函数模型
考点一 一次函数与二次函数模型(高频考点)
高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导 数等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命 题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
2．理解解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
高考数学一轮总复习 2.10 函数模型及其应用精品课件 理 新人教版
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速
度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个 x0,使 x>x0 时
有
ax>xn>logax .
第四页，共30页。
梳理(shūlǐ)
自测
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
解得 24-16 2≤a≤4,
所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.
(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十三页，共30页。
16
14-
-a=(14-x)+
16
14-
-
探究
(tànjiū)
突破
方法提炼
1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增
D
A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)
60t,0 ≤ t ≤ 2.5,
B.x= 150,2.5 < t ≤ 3.5,
150-50t,3.5 < t ≤ 6.5
60t,0 ≤ t ≤ 2.5,
C.x=
150-50t,t > 3.5
60t,0 ≤ t ≤ 2.5,
依题意,函数为分段函数.求出每一段上的解析式即可.
有 400 千克不需要保管).
(1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内
总的保管费用 y1(元)关于 x 的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y(元)
高三数学一轮复习 2.10函数模型及其应用课件
地表示这些数据的规律(guīlǜ)，其中最接近的一个是
________．
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
①y＝2x；
②y＝log2x；
③y＝12(x2－1) ；
④y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为(jiào wéi)
函数模型的建立以及函 数模型中的最值问题， 命题的热点是二次函数 的最值或利用基本不等 式求解最值，如2012年 江苏高考T17,2010年高
考T14等． 2.考查(kǎochá)题型以解答
题为主.
第二页，共50页。
[归纳(guīnà) 知识整合] 1．几种常见(chánɡ jiàn)的函数模型
函数模型
第十七页，共50页。
Байду номын сангаас
(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略(hūlüè)其大小)，其 飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮 弹可以击中它？请说明理由． [自主解答] (1)令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0，由实 际意义和题设条件知 x＞0，k＞0， 故 x＝12＋0kk2＝k2＋01k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 千米．
第八页，共50页。
4．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售， 后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________ 元． 解析(jiě xī)：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝ 112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元． 答案：12.5
第九页，共50页。
第一页，共50页。
高三数学(人教版理)一轮课件：函数模型及其应用 pptx8
当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)=-40���0��� 00-16x+7 360.
-6������2 + 384������-40,0 < ������ ≤ 40,
年利润为(1 980-200a)万美元. y2=-0.05(x-100)2+460(1≤x≤120,x∈N+),
∴当x=100时,y2取得最大值460,即投资生产乙产品的最大年利润
为460万美元.
-14-
考点1 考点2 考点3 考点4
(3)为研究生产哪种产品年利润最大,我们采用作差法比较: 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元,生产乙 产品的最大年利润为460万美元, (1 980-200a)-460= 1 520-200a,且6≤a≤8, 当1 520-200a>0,即6≤a<7.6时,投资生产甲产品200件可获得最 大年利润; 当1 520-200a=0,即a=7.6时,生产甲产品200件或生产乙产品100 件均可获得最大年利润; 当1 520-200a<0,即7.6<a≤8时,投资生产乙产品100件可获得最 大年利润.
考点1
考点2
考点3 考点4
考点 2
分 段 函 数模型
-15-
例2(2017江苏如东一中月考)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅 游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多 于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数 75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
-4-
知识梳理 考点自测
形如 f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(-∞,- a]和[ a,+∞)内单调递增,在[- a,0]和(0, a]上单调 递减. (2)当 x>0 时,x= a时取最小值 2 a, 当 x<0 时,x=- a时取最大值-2 a.