第八知识块 平面解析几何初步、圆锥曲线与方程(第1课时-第5课时) (5)

第5课时 空间直角坐标系
一、填空题
1．在空间直角坐标系中，若点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |的长度为
________．
解析：依题意得B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13. 答案：13
2．已知ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为
________．
解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中
点O ⎝⎛⎭⎫72，4，－1，设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋2
2，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．
答案：(5,13，－3)
3．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M (0,1,2)，
则该正方体的棱长为________．
解析：由已知，AM ＝32＋22＝13，则正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线长为AC 1
＝2AM ＝213，设正方体的棱长为a ，∴3a 2＝AC 2
1＝52，∴a ＝2393.
答案：239
3
4． 正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2，3)，则正方体的棱长为
________． 解析：设棱长为a ，则3a ＝42＋(－4)2＋42，∴a ＝4.
答案：4
5．已知点A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的射影的长度为
________．
解析：求线段AB 在坐标平面yOz 上的射影长，可先求A 、B 两点在yOz 上的射影，然后再用两点间距离公式，A (3,5，－7)在yOz 上的射影是A ′(0,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 上的射影是B ′(0,4,3)，
故|A ′B ′|＝(0－0)2＋(5－4)2＋(－7－3)2＝101.
答案：101
6．已知点A (1，a ，－5)、B (2a ，－7，－2)(a ∈R)，则AB 的最小值是________． 解析：AB ＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5(a ＋1)2＋54≥3 6.
答案：3 6
7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)由计算机随机产生一个有序三元实数组(x ，y ，z )满足
|x |≤2，|y |≤1，|z |≤1，记事件“x 2＋y 2＋z 2≤1”为A ，则P (A )＝________.
解析：建立空间直角坐标系，则满足条件|x |≤2，|y |≤1，|z |≤1的点(x ，y ，z )构成棱长分别为4、2、2的长方体；满足条件x 2＋y 2＋z 2≤1的点(x ，y ，z )构成以坐标原点为球
心，半径为1的球，且球在长方体内部．长方体的体积为4×2×2＝16，球的体积为4π
3
，
所以P (A )＝4π316＝π
12.
答案：
π12
二、解答题
8．已知空间直角坐标系O —xyz 中的点A (1,1,1)，平面α过点A 并且与直线OA 垂直，动
点P (x ，y ，z )是平面α内的任一点，求点P 的坐标满足的条件． 分析：由OA ⊥α知，△OAP 是直角三角形，三角形的三边应满足|OP |2＝|OA |2＋|AP |2，故利用两点间的距离公式进行化简求解．
解：在Rt △OAP 中，|OP |2＝|OA |2＋|AP |2，∴x 2＋y 2＋z 2＝3＋(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2， ∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2－2x ＋y 2－2y ＋z 2－2z ＋6，∴x ＋y ＋z －3＝0，
即x ＋y ＋z －3＝0为点P 的坐标满足的条件．
9．点P 到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，求P 到原点的距离．
解：由已知，P 点的三个坐标的绝对值均为3，(不必写出P 点的坐标)，由两点间距离公式，得d
＝32＋32＋32＝3 3.
10．如上图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中 点，点A 的坐标为
⎝⎛⎭
⎫
32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°
，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．
解：如上图，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°， ∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin 30°＝3
2
， OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32，
∴AD ＝
⎝⎛⎭⎫32－02＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋⎝⎛⎭⎫0－322＝
104＝10
2
.
1．已知点A (2,4,6)与点B 的中点坐标为M (3,6，m )，且点M 到xOy 面的距离为8，求M 点
和B 点的坐标．
解：设点B 的坐标为(x ，y ，z )，∵点M 到xOy 平面的距离为8，∴m ＝8或m ＝－8.
当m ＝8时，点M 的坐标为(3,6,8)，由中点坐标公式，可得⎩⎪⎨⎪⎧
3＝x ＋2
2
，
6＝y ＋4
2，
8＝z ＋62，
即
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝4，y ＝8，z ＝10，
即B 点坐标为(4,8,10)；当m ＝－8时，点M 坐标为(3,6，－8)，
由中点坐标公式，可得⎩⎪⎨⎪⎧
3＝
x ＋22
，6＝y ＋4
2，
－8＝z ＋62，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝4，y ＝8，z ＝－22.
即B 点坐标为(4,8，－22)．
2．已知点A (1,2,4)，B (0,4,1)，则在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 构成以AB 为斜边的直
角三角形？若存在，求出点P 坐标；否则，说明理由． 解：假设存在这样的点P ，∵P 在x 轴上，∴可设P 点的坐标为(x,0,0)， 若使△PAB 构成以AB 为斜边的直角三角形，
则有PA 2＋PB 2＝AB 2，根据距离公式，可得AB 2＝(1－0)2＋(2－4)2＋(4－1)2＝14， PA 2＝(x －1)2＋(0－2)2＋(0－4)2＝(x －1)2＋20，PB 2＝(x －0)2＋(0－4)2＋(0－1)2＝x 2＋17，
则(x －1)2＋20＋x 2＋17＝14，方程显然无解，∴这样的点P 不存在．。