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黑龙江省大庆市2017-2018学年高三数学一模试卷(文科) Word版含解析

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黑龙江省大庆市2017-2018学年高三一模数学文试题 Word版含解析

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黑龙江省大庆市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=( )A．{x|x＞0或x＜﹣1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}2．已知复数z=i﹣，（其中i是虚数单位），则=( )A．0 B．i C．﹣2i D．2i3．已知p：∀x∈R，cosx≤1，则( )A．￢p：∃x∈R，cosx≥1 B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1 D．￢p：∃x∈R，cosx＞14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．6 B．2C．3 D．35．将函数y=sinx的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( )A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（﹣）D．y=sin（﹣）6．已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（﹣3，4），=（0，2），则|×|的值为( )A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．87．已知抛物线x2=4y的准线经过双曲线﹣x2=1的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．38．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且，则tana6的值为( ) A．B．C．D．9．若x，y满足约束条件，则z=4x+3y的最小值为( )A．20 B．22 C．24 D．2810．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填( )A．n≤7 B．n＞7 C．n≤6 D．n＞611．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A．[﹣，0]B．C．[﹣]D．[﹣，0]12．不等式e x﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，e﹣1）B．（e﹣1，+∞）C．（﹣∞，e+1）D．（e+1，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为__________．14．设函数f（x）=sin（x+）（x∈R），若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为__________．15．奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（3）=__________．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．18．已知各项均为证书的数列{a n}前n项和为s n，首项为a1，且a n是和s n的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．已知某单位由50名职工，将全体职工随机按1﹣50编号，并且按编号顺序平均分成10组，先要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（Ⅰ）若第五组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的平均数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工中随机抽取两名职工，求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率．21．在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．22．已知函数f（x）=x3+2x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），且函数f（x）的导函数为f′（x），若曲线f（x）和g（x）都过点A（0，2），且在点A 处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，mg（x）≥f′（x）+2恒成立，求实数m的取值范围．黑龙江省大庆市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=( )A．{x|x＞0或x＜﹣1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：∵A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤2}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式的解法，是基础题．2．已知复数z=i﹣，（其中i是虚数单位），则=( )A．0 B．i C．﹣2i D．2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z=i﹣=i+i=2i，则=﹣2i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知p：∀x∈R，cosx≤1，则( )A．￢p：∃x∈R，cosx≥1 B．￢p：∃x∈R，cosx＜1C．￢p：∃x∈R，cosx≤1 D．￢p：∃x∈R，cosx＞1考点：的否定．专题：阅读型．分析：本题中所给的是一个全称，故其否定是一个特称，将量词改为存在量词，否定结论即可解答：解：p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称∴￢p：∃x∈R，cosx＞1，故选D．点评：本题考查了“含有量词的的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．6 B．2C．3 D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出几何体是一个三棱柱，求出它的底面积与高，即得体积．解答：解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S底面=×2×=，棱柱高为h=3；∴棱柱的体积为V棱柱=S底面h=×3=3；故选：D．点评：本题考查了根据三视图求几何体的体积的问题，解题的关键是由三视图得出几何体是什么几何体，从而作答．5．将函数y=sinx的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( )A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（﹣）D．y=sin （﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数y=sin （x﹣）的图象；再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式y=sin （x﹣），故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（﹣3，4），=（0，2），则|×|的值为( )A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8考点：平面向量的坐标运算．专题：新定义；平面向量及应用．分析：根据给出的两向量、的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．解答：解：由=（﹣3，4），=（0，2），所以，，cosθ==，因为θ∈[0，π]，所以sinθ==，所以=．故选C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，解答的关键是熟记两向量的数量积公式，是新定义中的基础题．7．已知抛物线x2=4y的准线经过双曲线﹣x2=1的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线的准线方程，就可得到双曲线的焦点坐标，求出c值，再根据双曲线的标准方程，求出a值，由e=，得到双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣∵抛物线x2=4y的准线过双曲线﹣x2=1的一个焦点，∴双曲线的一个焦点坐标为（0．﹣），∴双曲线中c=，∵双曲线﹣x2=1，∴a2=m2，a=m，m2+1=3，解得m=，∴双曲线的离心率e===．故选：B．点评：本题主要考查双曲线的离心率的求法，关键是求a，和c的值．8．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且，则tana6的值为( ) A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的前11项的和，根据前11项的和等于11倍的第六项，写出第六项的结果是，求出第六项的正切值是﹣，得到结果．解答：解：∵∴∴，故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查特殊角的正切值，是一个综合题目，这种题目是综合数列和三角的题目，是一种常见的组合，要引起注意．9．若x，y满足约束条件，则z=4x+3y的最小值为( )A．20 B．22 C．24 D．28考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：①画可行域②目标函数z为该直线纵截距三倍，增减性一致纵截距最大时z也最大反之亦然③平移目标函数解答：解：如图可行域为阴影部分，令z=0得直线l：4x+3y=0，平移l过点A（4，2）点时z有最小值22，故答案为B．点评：本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填( )A．n≤7 B．n＞7 C．n≤6 D．n＞6考点：循环结构．专题：阅读型．分析：框图中首先给累加变量S、替换变量a、和循环变量n赋值，由S=S+a和a=a+2看出，该算法是求以3为首项，以2为公差的等差数列前n项和问题，写出求和公式，根据输出的和S的值判断的情况．解答：解：当n=1时，S=0+3=3，a=3+2=5；当n=2时，S=3+5=8，a=5+2=7；当n=3时，S=8+7=15，a=7+2=9；当n=4时，S=15+9=24，a=9+2=11；当n=5时，S=24+11=35，a=11+2=13；当n=6时，S=35+13=48，a=13+2=15，当n=7时，S=48+15=63．此时有n=7＞6，算法结束，所以判断框中的条件应填n＞6，这样才能保证进行7次求和．故选D．点评：本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A．[﹣，0]B．C．[﹣] D．[﹣，0]考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答：解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．12．不等式e x﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，e﹣1）B．（e﹣1，+∞）C．（﹣∞，e+1）D．（e+1，+∞）考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式e x﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P⇔，x∈[0，2]，利用导数求出即可．解答：解：①当x=0时，不等式e0﹣0＞0对任意实数x恒成立；②当x＞0时，不等式e x﹣x＞ax可变形为，由不等式e x﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P⇔，x∈[0，2]．设，x∈（0，2]．g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x≤2时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．由此可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且f（1）=e．∴1+a＜e，∴a＜e﹣1．故选A．点评：把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个小组有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是4×4=16种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个小组，由于共有四个小组，则有4种结果，根据古典概型概率公式得到P==．故答案为：．点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．14．设函数f（x）=sin（x+）（x∈R），若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为2．考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知可知f（x1）是f（x）中最小值，f（x2）是值域中的最大值，它们分别是函数图象的最高点和最低点的纵坐标，它们的横坐标最少相差正弦函数的半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．解答：解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）和f（x2）分别是函数的最大值和最小值，∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T=，∴|x1﹣x2|的最小值为2，故答案为：2．点评：本题是对正弦函数性质的考查，明确三角函数的图象特征，以及f（x1）≤f（x）≤f（x2）的实质意义的理解是解决好这类问题的关键．15．奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（3）=﹣2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性、周期性即可得出．解答：解：∵奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，∴f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性，属于基础题．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是0＜m＜2．考点：抽象函数及其应用．专题：压轴题；新定义．分析：函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答：解：）∵函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根．由﹣x2+mx+1=⇒x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．18．已知各项均为证书的数列{a n}前n项和为s n，首项为a1，且a n是和s n的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得，利用公式即可求得通项公式；（Ⅱ）b n=4﹣2n，利用等差数列求和公式即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知，…当n=1时，；…当n≥2时，，两式相减得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，整理得：，…∴数列{a n}是以为首项，2为公比的等比数列．，…（Ⅱ）由得b n=4﹣2n，…所以，，所以数列{b n}是以2为首项，﹣2为公差的等差数列，∴．…点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义及性质，考查等差数列求和公式及运用公式法求数列的通项公式，属于基础题．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离．解答：解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．点评：本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．已知某单位由50名职工，将全体职工随机按1﹣50编号，并且按编号顺序平均分成10组，先要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．（Ⅰ）若第五组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的平均数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工中随机抽取两名职工，求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样，可得抽出的10名职工的号码，（Ⅱ）计算10名职工的平均体重，（Ⅲ）写出从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工的取法，从而可求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率．．解答：解：（I）由题意，第5组抽出的号码为22．因为2+5×（5﹣1）=22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码依次分别为：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47．（II）这10名职工的平均体重为：=×（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，（III）从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81），其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P=．点评：本题考查系统抽样，考查样本方差，考查列举法求基本事件，属于基础题．21．在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E的轨迹C的方程为，x．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，△=8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=，设MN的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，令x=0，得y P=，当k＞0时，∵2k+，∴0＜；当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞y P≥﹣=﹣．综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．22．已知函数f（x）=x3+2x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），且函数f（x）的导函数为f′（x），若曲线f（x）和g（x）都过点A（0，2），且在点A 处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，mg（x）≥f′（x）+2恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（I）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（II）令φ（x）=2me x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，求出导函数，令φ'（x）=0得x1=﹣lnm，x2=﹣2，通过对m的讨论，确定函数的单调性，可得最值，即可求出m的范围．解答：解：（I）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f'（0）=4，g'（0）=4，而f'（x）=x2+4x+a，g'（x）=e x（cx+d+c）故b=2，d=2，a=4，c=2…（Ⅱ）令φ（x）=2me x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则φ'（x）=2me x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（me x﹣1）因φ（0）≥0，则m≥1令φ'（x）=0得x1=﹣lnm，x2=﹣2…（1）若1≤m＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而x∈（﹣2，x1）时φ'（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时φ'（x）＞0，即φ（x）在（﹣2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，故φ（x）在[﹣2，+∞）的最小值φ（x1），故当x≥﹣2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．…（2）若m=e2，则φ'（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x≥﹣2时φ'（x）≥0，即φ（x）在[﹣2，+∞）单调递增，而φ（﹣2）=0，故当x≥﹣2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．（3）若m＞e2，则φ（﹣2）=﹣2me﹣2+2=﹣2e﹣2（m﹣e2）＜0，从而当x≥﹣2时，mg（x）≥f'（x）+2不可能恒成立．…综上：m的取值范围是[1，e2]…点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．。

黑龙江省大庆一中2017-2018学年高考数学三模试卷(文科) Word版含解析

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2017-2018学年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞14．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（）A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．205．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C． D．6．在区间[﹣5，4]上随机取一个数x，使不等式＞1成立的概率为（）A．B．C．D．7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）=（）A．1 B．e+1 C．e+3 D．311．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）二、填空题13．已知圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m的取值范围______．14．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是______．15．已知f（x）=ln（x+﹣a），若对任意的m∈R，均存在x0＞0使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是______．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=cosC，并且a=，则△ABC的面积为______．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（log2a n）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．+118．为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策．为了解适龄民众对放开生育二孩政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查．其中，持“支持生二孩”“不支持生二孩”和“保留意见”态度的人数如下表龄段有关？（2）在统计表中持“不支持生二孩”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线相交所得弦的中点的纵坐标为2．已知直线l：x=my+与抛物线C交于A，B两点，且=λ（1≤λ≤3）．（1）求抛物线C的方程；（2）求2+2的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线的方程为3x ﹣y ﹣3=0，求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若x=1是函数f （x ）的极值点，求实数a 的值；（Ⅲ）若﹣2≤a ＜0，对任意x 1，x 2∈（0，2]，不等式恒成立，求m 的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连续PB 交圆O 于点D ，若MC=BC ． （1）求证：△APM ∽△ABP ；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA |=1；当α=时，|OB |=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA |2+|OA |•|OB |的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，且f （x +2）≥1的解集A 满足[﹣1，1]⊆A ． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若a ，b ，c ∈（0，+∞），m 0为B 中的最小元素且++=m 0，求证：a +2b +3c ≥．2016年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1 【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞1故选：C4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（）A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．20【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．【解答】解：∵=（4，4），∴，∴=（﹣1，﹣5）．∴=2×（﹣1）﹣2×5=﹣12．故选A．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．96B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2．∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π．圆锥的侧面积为=4．∴几何体的表面积为96﹣4π+4． 故选：C ．6．在区间[﹣5，4]上随机取一个数x ，使不等式＞1成立的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式即可求得结果．【解答】解：不等式＞1可化为﹣1＞0，即＜0，解得﹣2＜x ＜1；又区间[﹣5，4]的长度为9，使得＞1成立的x 的范围是（﹣2，1），区间长度为3，由几何概型公式可得使得＞1成立的概率为P==．故选：D ．7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．【解答】解：当输入的值为n=6时，n不满足上判断框中的条件，n=3，i=2，n不满足下判断框中的条件，n=3，n满足上判断框中的条件，n=4，i=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n不满足上判断框中的条件，n=2，i=4，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=4，故选C．8．函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由函数的解析式，根据当x=0时，y=﹣，排除B、D；再根据当x=时，y=0，排除C，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=cos（2x﹣），由于当x=0时，y=sin（﹣）=﹣，故排除B、D．再根据当x=时，y=sin0=0，故排除C，故选：A．9．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故选C．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）=（）A．1 B．e+1 C．e+3 D．3【考点】抽象函数及其应用．【分析】由函数为单调函数可知f（x）﹣e x为常数，不妨设f（x）=e x+c，于是f（c）=e+1，从而解出c，得出f（x）的解析式．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的单调函数，不妨设f（c）=e+1，∴f（x）﹣e x=c，即f（x）=e x+c．∴f（c）=e c+c=e+1．∴c=1．∴f（x）=e x+1．∴f（ln2）=e ln2+1=3．故选：D．11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a，所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．因为∠F1MF2=90°，所以，即，即，因为，所以．故选：B ．12．已知函数f （x ）=（b ∈R ）．若存在x ∈[，2]，使得f （x ）+xf ′（x ）＞0，则实数 b 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，3）D ．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a 的取值范围．【解答】解：∵f （x ）=f （x ）=，x ＞0，∴f ′（x ）==，∴f （x ）+xf ′（x ）=﹣=，∵存在x ∈[，2]，使得f （x ）+xf ′（x ）＞0， ∴1+2x （x ﹣b ）＞0∴b ＜x +，设g （x ）=x +，∴b ＜g （x ）max ，∴g ′（x ）=1﹣=，当g ′（x ）=0时，解的x=，当g ′（x ）＞0时，即＜x ≤2时，函数单调递增，当g ′（x ）＜0时，即≤x ＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g （x ）取最大值，最大值为g （2）=2+=∴b ＜， 故选：B ．二、填空题13．已知圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m的取值范围[0，1] ．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标，根据圆心坐标，得到圆心到x，y轴的距离与半径的关系进行求解即可．【解答】解：由圆的标准方程得圆心坐标C（m﹣1，m），半径R=1，若圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则，即，即，则0≤m≤1，即实数m的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]14．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，则R=2，由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3．则AB=3，AB=2，PA=3，则该正三棱锥的表面积是：×2×3+3××2×=3+3．故答案为：．15．已知f（x）=ln（x+﹣a），若对任意的m∈R，均存在x0＞0使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】令t=x+﹣a，求出t的范围，于是函数y=lnt，根据对数函数的性质，求出a的范围即可．【解答】解：令t=x+﹣a，易知t∈[4﹣a，+∞）于是函数y=lnt，t≥4﹣a，显然当4﹣a≤0时便有t≥0恒成立，即a≥4，故答案为：[4，+∞）．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=cosC，并且a=，则△ABC的面积为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由cosA的值和平方关系求出sinA，利用诱导公式、内角和定理得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简：sinB=cosC，利用同角三角函数间的基本关系列出方程组，求出sinC与cosC的值，由正弦定理求出c的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：∵cosA=，A为三角形的内角，∴sinA===，∵sinB=cosC，且sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosC，则cosC+sinC=cosC，即sinC﹣cosC=0，由得，sinC=，cosC=，∴sinB=cosC=，又a=，由正弦定理得，则c===，∴△ABC的面积S===，故答案为：．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由题意和当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1进行化简，得到数列的递推公式，由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，由等比数列的通项公式求出{a n}的通项公式；（2）由（1）和对数的运算化简b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2，代入c n=a n b n化简后，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求T n．【解答】解：（1）∵S n=2（a n﹣1），∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1）=2（a n﹣a n﹣1），则a n=2a n﹣1，又a1=2，则数列{a n}是以2为首项、公比的等比数列，∴=2n；（2）由（1）得，b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2=（n+1）2﹣n2=2n+1，∴c n=a n b n=（2n+1）•2n，∴T n=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①则2T n=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②①﹣②得：﹣T n=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1=6+2×﹣（2n+1）•2n+1=（﹣2n+1）•2n+1﹣2，∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2．18．为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策．为了解适龄民众对放开生育二孩政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查．其中，持“支持生二孩”“不支持生二孩”和“保留意见”态度的人数如下表龄段有关？（2）在统计表中持“不支持生二孩”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验．【分析】（1）根据统计表计算K2，对照数表即可得出结论；（2）求出用分层抽样方法抽取5人时，80后、70后应抽取的人数，用列举法计算基本事件数以及对应的概率．【解答】解：（1）根据统计表计算得，K2==≈133＞6.635，有99.9%的把握认为“支持生二孩”与“不支持生二孩”与年龄段有关．（2）在统计表中持“不支持生二孩”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，则80后应抽取2人，记为A、B，70后应抽取3人，记为c、d、e，从这5人中任意选取2人，基本事件数为AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；至少有1个80后的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共8种，故所求的概率为P==．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）利用体积公式，即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1所以：而：，所以h=2…．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线相交所得弦的中点的纵坐标为2．已知直线l：x=my+与抛物线C交于A，B两点，且=λ（1≤λ≤3）．（1）求抛物线C的方程；（2）求2+2的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，利用点差法能求出抛物线C的方程．（2）求出F（1，0），M（﹣1，0），联立方程组，得y2﹣4my﹣4=0，由此利用韦达定理、向量知识、抛物线性质，结合已知条件能求出2+2的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差，得=2p（x1﹣x2），∴=，依题意，当m=1，即k AB=1时，线段AB的中点的纵坐标为2，∴=k AB==，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）知F（1，0），M（﹣1，0），联立方程组，消去x，得y2﹣4my﹣4=0，∴，且，又=，（1≤λ≤3），则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，代入①②，得消去y2，得﹣2，∵1≤λ≤3，∴2，则0≤m2，又M（﹣1，0），则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），则=（x1+1）2+=（my1+1）2+（my2+1）2+2（my1+my2+2）+2+=（m2+1）（）+4m（y1+y2）+8=16m4+40m2+16，而当0时，16，∴2+2的取值范围是[16，]．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅲ）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈（0，2]，不等式恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（1）=3，求出a，代入f（x）求出b即可；（Ⅱ）根据x=1是极值点求出a，检验即可；（Ⅲ）问题可化为，设，根据函数的单调性求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，…∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，∴1﹣a=3，f（1）=0，∴a=﹣2，，∴a=﹣2，．…（Ⅱ）∵x=1是函数f（x）的极值点，∴f′（1）=1﹣a=0，∴a=1；…当a=1时，，定义域为（0，+∞），，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，a=1．…（Ⅲ）因为﹣2≤a＜0，0＜x≤2，所以，故函数f（x）在（0，2]上单调递增，不妨设0＜x1≤x2≤2，则，可化为，…设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为（0，2]上的减函数，即在（0，2]上恒成立，等价于x3﹣ax﹣m≤0在（0，2]上恒成立，即m≥x3﹣ax在（0，2]上恒成立，又﹣2≤a＜0，所以ax≥﹣2x，所以x3﹣ax≤x3+2x，而函数y=x3+2x在（0，2]上是增函数，所以x3+2x≤12（当且仅当a=﹣2，x=2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O 的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD 是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II ）由（I ）可得C 1，C 2的方程分别为ρ=cos θ，ρ=2sin θ．可得2|OA |2+|OA |•|OB |=2cos 2θ+2sin θcos θ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），化为普通方程为（x ﹣a ）2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2a ρcos θ，即ρ=2acos θ，由题意可得当θ=0时，|OA |=ρ=1，∴a=．曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0），化为普通方程为x 2+（y ﹣b ）2=b 2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ，由题意可得当时，|OB |=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I ）可得C 1，C 2的方程分别为ρ=cos θ，ρ=2sin θ．∴2|OA |2+|OA |•|OB |=2cos 2θ+2sin θcos θ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，且f （x +2）≥1的解集A 满足[﹣1，1]⊆A ． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若a ，b ，c ∈（0，+∞），m 0为B 中的最小元素且++=m 0，求证：a +2b +3c ≥．【考点】其他不等式的解法；元素与集合关系的判断． 【分析】（1）因为f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，所以f （x +2）≥1等价于|x |≤m ﹣1，解此不等式，结合[﹣1，1]⊆A 知A 是非空集合，得到端点的不等式得到m 范围；（2）由（1）知m 0=2，所以，即，利用乘1法，将要证不等式左边变形为满足基本不等式的形式． 【解答】解：（1）因为f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，所以f （x +2）≥1等价于|x |≤m ﹣1， 由[﹣1，1]⊆A 知A 是非空集合，所以 1﹣m ≤x ≤m ﹣1， 结合[﹣1，1]⊆A 可得m ﹣1≥1⇒m ≥2， 即实数m 的取值范围是B=[2，+∞）．（2）由（1）知m 0=2，所以，∴．2016年10月5日。

黑龙江省大庆市2017-2018学年高三上学期第一次质检数学文试卷 Word版含解析

黑龙江省大庆市2017-2018学年高三上学期第一次质检数学文试卷 Word版含解析

2017-2018学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3} C．{0，1，2}D．{0，1}2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．534．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B．cm3C．3cm3D．3cm36．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．168．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α9．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．11．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）12．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（2017）=．16．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．20．（12分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e ﹣2．2016-2017学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3} C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（2010秋•长春校级期末）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【考点】等比数列的性质；数列递推式．【专题】计算题．【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．故选A．【点评】本题主要考查等比数列的性质的应用．解决本题的关键在于利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项．是对基础知识的考查，属于基础题．4．（2014•天津模拟）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B【点评】本题给出向量、的坐标，求向量的模，着重考查了平面向量平行的充要条件和向量模的公式等知识点，属于基础题．5．（2016•湖南模拟）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．6．（2016春•高安市校级月考）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】程序框图．【专题】数形结合；转化法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16 【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．16【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==（）（cos2θ+sin2θ）=1+9+≥10+2=16．当且仅当=时，取等号，∴y=的最小值为16．故选：D．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式和三角函数性质的合理运用．8．（2016•合肥一模）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：n∥a．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．9．（2016秋•成都校级月考）已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当P为点C时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，掌握所求表达式的几何意义是解题的关键．10．（2016•四川模拟）已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用直角三角形斜边上中线的性质，以及离心率公式和弦长的性质，考查运算能力，属于中档题．11．（2011•沙坪坝区校级模拟）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题．【分析】由已知条件判断出f′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出f（x）的单调性，利用单调性判断出f（a）与f（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），令F（x）=，则F′（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）≤0∴F′（x）≤0，∴F（x）=在（0，+∞）上单调递减或常函数∵对任意的正数a、b，a＜b∴≥，∵任意的正数a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：C．【点评】函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．12．（2016秋•重庆校级月考）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．【点评】本题考察了函数的图象，在求解零点问题中的应用．属于中档题．二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．（2016秋•大庆月考）圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心（﹣2，2），圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．14．（2012•安徽模拟）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数图象确定参数值的方法，属基础题15．（2016秋•大庆月考）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（2017）=﹣1．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和周期性求出f（2017）=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为4是周期函数，∴f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数的单调性、周期性问题，是一道基础题．16．（2016秋•大庆月考）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．【点评】本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（10分）（2015秋•通渭县期末）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n 项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2011•赣榆县校级模拟）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性、对称性等性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．19．（12分）（2016秋•南京月考）某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，利用列举法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．【点评】本题考查平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．（12分）（2013•鹰潭一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC ⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD 和△MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面APC，…（6分）解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴．又，∴．在△PBC中，，又∵MD⊥DC，∴，∴∴即点B到平面DCM的距离为．…（12分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法的使用．21．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．22．（12分）（2016春•沈阳校级期末）已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e ﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又e x＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律．。

黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(文)试题(扫描版,Word版答案)

黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(文)试题(扫描版,Word版答案)

数学答案（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13． 14．2 15． 16．三．解答题（本题共6大题，共70分）17（本小题满分10分）解：（I = ，解得. . ………………………2分 由于为三角形内角， ，则， ………………4分所以， . . . ………………………5分（II ）依题意， ，即，整理得. …………7分又，所以. ………………………10分另解：由于,2sin 2C=，解得, ……………7分 由于，所以， . . .. ………………………8分由，所以.由勾股定理，解得. . ………………………10分18．（本小题满分12分）解：（1）由题意知， ……………………………1分当时，； ……………………………2分当时，11112,222n n n n S a S a --=-=-， 两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，整理得：， …………………5分∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ， ………………………………6分 （Ⅱ）由得， ………………………………9分所以，*12()n n b b n N +-=-∈，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，. ………………………………12分19. （本小题满分12分）解：（I ）证明：过作的垂线交于，则1,2BF AD EF AB DE FC ===-==在中，，在中，.在中，因为，所以.由 平面，得，所以平面. …………………… 6分（II）三棱锥的体积111113A B C V AA S ∆=⋅=，在中，11AC 同理，1EC，1EA 因此. -------------------------- 10分设点到平面的距离为，则三棱锥的体积1113A EC V d S ∆∙∙＝,从而 --------------------------12分 20．（本小题满分12分）解： （I ）由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. -------------------------- 4分（II ）这10名职工的平均体重为：x －＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71------------------------7分（III ）从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P ＝710. --------------------------12分21. （本小题满分12分）解：（I ）设动点的坐标为,依题意可知,整理得,所以动点的轨迹的方程为,………………4分（II ）当直线的斜率不存在时,满足条件的点的纵坐标为； ………………………………5分当直线的斜率存在时,设直线的方程为.将代入并整理得, 2222(21)4220k x k x k +-+-=.A 1A设, ,则,设的中点为,则,2(1)21Q Q ky k x k =-=-+,所以. ……………………………8分由题意可知, 又直线的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令解得211212P ky k k k ==++ ……………………………10分当时,因为,所以;当时,因为,所以04P y >≥=-综上所述,点纵坐标的取值范围是 ……………………12分22. （本小题满分12分） 解：（I ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而2()4,()()xf x x x ag x e cx d c ''=++=++故2,2,4,2b d a c ==== ……………………………4分（2）令2()2(1)42x x me x x x ϕ=+---，则()2(2)242(2)(1)x x x me x x x me ϕ'=+--=+-因，则令得 ………………………………6分① 若，则，从而时；当时即在单调递减，在单调递增，故在的最小值 122211111111111()2(1)4422422(2)0x x me x x x x x x x x x x ϕ=+---=+---=--=-+≥ 故当时即恒成立。

黑龙江省大庆市2017届高三数学仿真模拟试题文

黑龙江省大庆市2017届高三数学仿真模拟试题文

黑龙江省大庆市2017届高三数学仿真模拟试题文分值：150分时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，，则（）A． B．C． D．2．已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A． B．5 C． D．3．命题，则的否定形式是（）A. ，则B.，则C. ，则D.，则4.已知向量，，则（）A. B. C. D.5．已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．06．若直线与直线平行，则的值为（）A. -1B. 1或-1C. 1D. 37．是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良” B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的指数值的中位数是90 D．从4日到9日，空气质量越来越好8．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C． 8 D．99.假设小明订了一份报纸，送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到，小明离家的时间在早上7：00—8：00之间，则他在离开家之前能拿到报纸的概率（）A. B. C. D.10.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）11. 函数,则（）。

2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(文科)答案(校对版)

2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(文科)答案(校对版)

肇庆市中小学教学质量评估 2018届高中毕业班第一次统一检测题文科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13．1514． 15． 22π+ 16． 1700三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 满意度评分的众数=6070652+= （2分） 因为()()0.010.02100.30.5,0.010.020.03100.60.5+⨯=<++⨯=>，所以满意度评分的中位数在[60,70)之间，设中位数为a ，则()600.030.50.3a -⨯=-，得66.7a ≈ （5分） （Ⅱ）（9分）()22802430101610.03 6.63540403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （11分）所以有99%的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取VD 的中点F ，连接,EF AF . （1分）在VCD ∆中，EF 是中位线，所以1//2EF CD ， （2分）又1//2AB CD ，所以//EF AB ， （3分） 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF . （4分） 又,BE VAD AF VAD ⊄⊂面面，所以//BE VAD 面. （6分） （Ⅱ）因为//,AB CD CD VD ⊥，所以AB VD ⊥， （8分） 又因为AB VA ⊥，VA VD V =，,VA VD 都在VAD 面内， 所以AB VAD ⊥面. （10分） 又AB ABCD ⊂面，所以面ABCD ⊥VAD 面. （12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型.（2分）（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，()()()81281108.8681.6iii ii w w y y d w w ==--===-∑∑， （6分） 56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=，所以100.668100.6y w =+=+（8分）（Ⅲ）(0.20.2100.620.12z y x x x =-=+-=-+，（9分） 13.66.8,46.242x ===即时，z 取得最大值. （11分） 所以当年宣传费46.24x =时，年利润的预报值最大. （12分）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接,SE BE . （1分） 因为SA SD =，所以AD SE ⊥. （2分）。

2018年黑龙江省大庆市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

2018年黑龙江省大庆市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

2018年黑龙江省大庆市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z =2i(1−i)（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z +z =( ) A.4i B.−4i C.4 D.−42. 已知集合A ={x|y =√x −1}，B ={x|y =ln(2x −x 2)}，则A ∩B =( ) A.(2, +∞) B.[1, 2) C.(0, 2) D.[1, 2]3. 已知向量a →=(√3,1)，b →=(0,−1)，c →=(k,√3)，若(a →−2b →)与c →互相垂直，则k 的值为（ ） A.−3 B.−1 C.1D.34. 已知命题p:∃x ∈R ，cosx >sinx ，命题q:∀x ∈(0, π)，sinx +1sinx >2，则下列判断正确的是（ ） A.命题p ∨q 是假命题 B.命题p ∧q 是真命题 C.命题p ∨(￢q)是假命题 D.命题p ∧(￢q)是真命题5. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0, b >0)两条渐近线的夹角为60∘，则该双曲线的离心率为（ ） A.2√33B.43C.2√33或2D.46. 已知函数f(x)={2x ,(x <1)f(x −1),(x ≥1) ，则f(log 29)的值为（ ）A.9B.92C.94D.987. 函数f(x)=xlog a |x||x|(0<a <1)图象的大致形状是( )A.B.C.D.8. 若直线y=2x上存在点(x, y)满足条件{x+y−3≤0x−2y−3≥0x≥m.，则实数m的最大值为（）A.−2B.−1C.1D.39. 圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A.67cm B.2cm C.3cm D.4cm10. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%，今共有粮a(a>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是（）A.75%，5254B.25%，5254C.75%，175D.25%，17511. 某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A.(6+2√2)π+12B.8(π+1)C.4(2π+1)D.(12+2√2)π12. 已知P 是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点，PA 、PB 是圆C:x 2+y 2−2y =0的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为（ ）A.3B.2C.1D.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为________．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为________．已知函数f(x)=x 2−ax 的图象在点A （1, f(1)）处的切线l 与直线x +3y −1=0垂直，记数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2018的值为________．已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC =90∘，AD =2，BC =1，P 是腰AB 上的动点，则|PC →+PD →|的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC =120∘，且 AB →⋅AC →=−152．(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若AB =5，求AD 的长．某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ．已知当年产量低于450kg 时，单位售价为12元/kg ，当年产量不低于450kg 时，单位售价为10元/kg ． (Ⅰ)求图中a 、b 的值；(Ⅱ)估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60∘，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．已知椭圆C 1:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与抛物线C 2:x 2=y +1有公共弦AB （A 在B 左边），AB =2，C 2的顶点是C 1的一个焦点，过点B 且斜率为k(k ≠0)的直线l 与C 1、C 2分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）． (Ⅰ)求C 1的方程；(Ⅱ)若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．已知函数f(x)=(x −a)lnax ，g(x)=x 2−(a +1a )x +1(a ∈R, a >1)． (Ⅰ)若函数f(x)在x =a 处的切线l 斜率为2，求l 的方程；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得当x ∈(1a , a)时，f(x)>g(x)恒成立．若存在，求a 的值；若不存在，说明理由． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ （θ为参数）．以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2． (Ⅰ)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值． [选修45：不等式选讲]已知f(x)=|x +2|−|x −a|(a ∈R, a >0)， (Ⅰ) 若f(x)的最小值是−3，求a 的值；(Ⅱ)求|f(x)|≤2的解集．参考答案与试题解析2018年黑龙江省大庆市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 C【考点】 复数的运算 【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】复数z =2i(1−i)=2i +2， ∴ z 的共轭复数为z =2−2i ， 则z +z =2+2i +(2−2i)=(4)2.【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，求出A ∩B 即可． 【解答】集合A ={x|y =√x −1}={x|x −1≥0}={x|x ≥1}=[1, +∞)， B ={x|y =ln(2x −x 2)}={x|2x −x 2>0}={x|0<x <2}=(0, 2)， ∴ A ∩B =[1, 2)． 3.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算 【解析】由(a →−2b →)与c →互相垂直，可得(a →−2b →)⋅c →=0，解出即可得出．【解答】a →−2b →=(√3,3)，∵ (a →−2b →)与c →互相垂直， ∴ (a →−2b →)⋅c →=√3k +3√3=0，解得k =−(3) 4.【答案】D【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”复合三角函数的单调性【解析】命题p：取x=0∈R，cosx>sinx成立，即可判断出真假．命题q：取x=π2时，sinπ2+1sinπ2=2，此时不成立，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p:∃x=0∈R，cosx>sinx，因此是真命题．命题q:∀x∈(0, π)，sinx+1sinx>2，是假命题，取x=π2时，sinπ2+1sinπ2=2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧(￢q)是真命题．故选D．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是60∘，求得ba的值，进而根据c=√a2+b2求得c，进而离心率可得．【解答】双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y＝±bax，渐近线斜率是±ba，而夹角是60∘，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30∘或60∘，即ba =tan30∘=√33或tan60∘=√3，若ba =√33，即13a2＝b2，c2＝a2+b2=43a2，e2=c2a2=43，e=2√33（负的舍去）；若ba=√3，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e=2√33，或e＝2．6.【答案】D【考点】函数的求值求函数的值【解析】由已知利用分段函数性质及对数函数性质能求出f(log29)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,(x<1)f(x−1),(x≥1)，∴f(log29)=f(log29−3)=2log29÷23=98．7.【答案】C【考点】奇函数函数单调性的判断与证明【解析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x>0时，f(x)＝log a x(0<a<1)是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，f(−x)=−f(x)，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；x>0时，f(x)=log a x(0<a<1)是单调减函数，排除A．故选C.8.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】作出约束条件中的前两个不等式表示的平面区域，求解直线y=2x与直线x−2y−3= 0的交点，得到交点的横坐标，结合直线y=2x上存在点(x, y)满足条件{x+y−3≤0x−2y−3≥0x≥m.，即可得到实数m的最大值．【解答】如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x +y −3≤0，x −2y −3≥0所表示的平面区域， 求出直线y =2x 与直线x −2y −3=0的交点A(−1, −2)，由图可知，要使直线y =2x 上存在点(x, y)满足条件{x +y −3≤0x −2y −3≥0x ≥m. ，则m ≤−(1)即实数m 的最大值为−(1) 故选：B ． 9.【答案】 C【考点】球的体积和表面积 【解析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 【解答】设球半径为r ，则由3V 球+V 水=V 柱可得3×43πr 3+πr 2×6=πr 2×6r ，解得r =(3)10.【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】设“衰分比”为x ，乙分得m 石，丁分得n 石，由题意列关于m ，n ，x 的方程组，求得m ，n ，x 的值，进一步得到甲所分得的粮食，则答案可求． 【解答】设“衰分比”为x ，乙分得m 石，丁分得n 石， 则{m +n =7536−n36=x m−36m =x，解得{m =48n =27x =0.25 ， ∴ 甲分得480.75=64石． 则a =64+36+75=175石． 11.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由图形可知，对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，计算表面积即可．【解答】三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：12×π×22+12×2π×2×2+12×π×2×2√2+4×2+12×4×2=2π+4π+2√2π+8+4=(6+2√2)π+12．12.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】S四边形PACB=PA⋅AC=PA=√CP2−CA2=√CP2−1，当CP⊥l时，四边形PACB的面积最小，由此能求出k的值．【解答】S四边形PACB=PA⋅AC=PA=√CP2−CA2=√CP2−1∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的最小面积√CP2−1=2，得|CP|min=√5，由点到直线的距离公式得：|CP|min=2=√5，∵k>0，∴解得k=(2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．【答案】60【考点】分层抽样方法【解析】用样本容量乘以学生人数所占的比例，即得应抽取学生人数．【解答】∵样本容量为160，学生人数所占的比例为1603200=120，∴应抽取学生人数为(3200−1000−1000)×120=60，【答案】6【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图求出结果．【解答】第1步：s=1，k=2；第2步：s=2，k=3；第3步：s=6，k=4；第4步：s=15，k=5；第5步：s=31，k=6；第6步：s=56，退出循环，此时k=(6)【答案】20182019【考点】数列的求和利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得a=−1，求出1f(n)=1n(n+1)=1n−1n+1，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f(x)=x2−ax的导数为f′(x)=2x−a，可得函数f(x)图象在点A（1, f(1)）处的切线斜率k=f′(1)=2−a，由切线l与直线x+3y−1=0垂直，可得2−a=3，解得a=−1，即有f(x)=x2+x=x(x+1)，故1f(n)=1n(n+1)=1n−1n+1，则S2018=1−12+12−13+⋯+12018−12019=1−12019=20182019．故答案为：20182019．【答案】3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由题意画出图形，把求|PC→+PD→|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．【解答】如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则PC→+PD→=PQ→=2PE→，要使|PQ→|取最小值，只需|PE→|取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，|PE→|取最小值，这时PE为梯形的中位线，即|PE →|min =12(|BC|+|AD|)=32，故|PQ →|min =3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】(Ⅰ)∵ AB →⋅AC →=−152，∴ AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =−12AB ⋅AC =−152， 即AB ⋅AC =15，∴ S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×15×√32=15√34．(Ⅱ)由AB =5得AC =3，延长AD 到E ，使AD =DE ，连结BE ， ∵ BD =DC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形， ∴ ∠ABE =60∘，且BE =AC =3，设AD =x ，则AE =2x ，在△ABE 中，由余弦定理得：4x 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cos∠ABE =25+9−2×5×3×12=19，解得x =√192，即AD 的长为√192．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】(Ⅰ)由向量数量积的定义可得AB ⋅AC =15，再由三角形的面积公式可得所求值； (Ⅱ)由AB =5得AC =3，延长AD 到E ，使AD =DE ，连结BE ，运用平行四边形的性质和余弦定理，解方程可得所求值． 【解答】(Ⅰ)∵ AB →⋅AC →=−152，∴ AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =−12AB ⋅AC =−152，即AB ⋅AC =15，∴ S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×15×√32=15√34．(Ⅱ)由AB =5得AC =3，延长AD 到E ，使AD =DE ，连结BE ， ∵ BD =DC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形，∴∠ABE=60∘，且BE=AC=3，设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理得：4x2=AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cos∠ABE=25+9−2×5×3×12=19，解得x=√192，即AD的长为√192．【答案】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得到：100(a+0.0015+b+0.004)=1，得100(a+b)=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010，b=0.00(35)(Ⅱ)由(Ⅰ)结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75，【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得到100(a+0.0015+b+0.004)=1，且300×100a+ 400×0.4+500×100b+600×0.15=455，由此能求出a，b．(Ⅱ)由频率分布直方图能估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得到：100(a+0.0015+b+0.004)=1，得100(a+b)=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010，b=0.00(35)(Ⅱ)由(Ⅰ)结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75，【答案】证明：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，−−−−1分由PA=PB=√2，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO=1，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−2分又AB=BC=2，∠ABC=60∘，知△ABC为等边三角形，∴CO=√3，−−−3分又由PC=2，得PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，−−−−−−−−−−−4分∴PO⊥平面ABC，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5分又∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−6分(Ⅱ)设点D到平面APC的距离为ℎ，由(Ⅰ)知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形，由V D−PAC=V P−ADC，得13S△PAC∗ℎ=13S△ADC∗PO，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分∵S△ADC =√34×22=√3，S△PAC=12×PA×√PC2−(12PA)2=√72，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−10分∴ℎ=S△ADC∗POS△PAC =√3×1√72=2√217，故点D到平面APC的距离为2√217．−−−−−−−12分【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，推导出PO⊥AB，PO⊥CO，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．(Ⅱ)设点D到平面APC的距离为ℎ，由V D−PAC=V P−ADC，能求出点D到平面APC的距离．【解答】证明：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，−−−−1分由PA=PB=√2，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO=1，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−2分又AB=BC=2，∠ABC=60∘，知△ABC为等边三角形，∴CO=√3，−−−3分又由PC=2，得PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，−−−−−−−−−−−4分∴PO⊥平面ABC，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5分又∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−6分(Ⅱ)设点D到平面APC的距离为ℎ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由V D−PAC =V P−ADC ，得13S △PAC ∗ℎ=13S △ADC ∗PO ，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分∵ S △ADC =√34×22=√3，S △PAC =12×PA ×√PC 2−(12PA)2=√72，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−10分 ∴ ℎ=S △ADC ∗PO S △PAC=√3×1√72=2√217，故点D 到平面APC 的距离为2√217．−−−−−−−12分【答案】（1）∵ 抛物线y =x 2−1的顶点为(0, −1)，即椭圆的下焦点为(0, −1)， ∴ c =1，由AB =2，知x B =1，代入抛物线得B(1, 0)，得b =1， ∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ C 1的方程为y 22+x 2=1．（2）依题意知直线l 的方程为y =k(x −1)， 与联立y 22+x 2=1消去y 得：(k 2+2)x 2−2k 2x +k 2−2=0，则x M ⋅x B =k 2−2k 2+2，得x M =k 2−2k 2+2，y M =−4kk 2+2，由{y =k(x −1)x 2=y +1 ，得x 2−kx +k −1=0， 由△=k 2−4(k −1)=(k −2)2>0，得k ≠2， 则x N ⋅x B =k −1，得x N =k −1，y N =k(k −2)， ∵ 点A 在以MN 为直径的圆外，即<AM →,AN →>∈[0,π2)，∴ AM →⋅AN →>0，又A(−1, 0)，∴ AM →⋅AN →=(x M +1,y M )⋅(x N +1,y N )=2k 2k 2+2⋅k +−4k 2(k−2)k 2+2=2k 2(4−k)k 2+2>0，解得k <4，综上知k ∈(−∞, 0)∪(0, 2)∪(2, 4)． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由抛物线y =x 2−1的顶点为(0, −1)，可得椭圆的下焦点为(0, −1)，c ，由AB =2，可得x B =1，代入抛物线得B(1, 0)，得b ，再利用a 2=b 2+c 2，即可得出椭圆C 1的方程．(Ⅱ)依题意知直线l 的方程为y =k(x −1)，分别与椭圆、抛物线的方程联立可得点M ，N 的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【解答】（1）∵ 抛物线y =x 2−1的顶点为(0, −1)，即椭圆的下焦点为(0, −1)， ∴ c =1，由AB =2，知x B =1，代入抛物线得B(1, 0)，得b =1， ∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ C 1的方程为y 22+x 2=1．（2）依题意知直线l 的方程为y =k(x −1)， 与联立y 22+x 2=1消去y 得：(k 2+2)x 2−2k 2x +k 2−2=0，则x M ⋅x B =k 2−2k 2+2，得x M =k 2−2k 2+2，y M =−4kk 2+2，由{y =k(x −1)x 2=y +1 ，得x 2−kx +k −1=0， 由△=k 2−4(k −1)=(k −2)2>0，得k ≠2， 则x N ⋅x B =k −1，得x N =k −1，y N =k(k −2)， ∵ 点A 在以MN 为直径的圆外，即<AM →,AN →>∈[0,π2)，∴ AM →⋅AN →>0，又A(−1, 0)，∴ AM →⋅AN →=(x M +1,y M )⋅(x N +1,y N )=2k 2k 2+2⋅k +−4k 2(k−2)k 2+2=2k 2(4−k)k 2+2>0，解得k <4，综上知k ∈(−∞, 0)∪(0, 2)∪(2, 4)．【答案】（1）因为f ′(x)=ln(ax)−ax +1，f′(a)=2， 所以lna 2=2，解得a =e 或a =−e （舍去）． 因为f(x)=(x −e)lnex ， 所以f(e)=0，切点为(e, 0)， 所以l 的方程为y =2x −2e ．（2）由f(x)>g(x)得，(x −a)lnax >x 2−(a +1a )x +1， (x −a)lnax >(x −a)(x −1a )，又x ∈(1a ,a)，所以lnax <x −1a ，lnax −x +1a <0． 令ℎ(x)=lnax −x +1a （x ∈(1a ,a)），则ℎ(x)=1x −1=1−x x，所以，当1a <x <1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； 当1<x <a 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以当x =1时，函数ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=lna +1a −(1) 故只需lna +1a −1<0(∗)．令φ(x)=lnx +1x −1，(x >1)，则φ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，所以当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)>φ(1)=(0)故不等式(∗)无解．综上述，不存在实数a，使得当x∈(1a−, a)时，f(x)>g(x)恒成立．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可得到结论．(Ⅱ)将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数最值之间的关系进行求解即可．【解答】（1）因为f′(x)=ln(ax)−ax+1，f′(a)=2，所以lna2=2，解得a=e或a=−e（舍去）．因为f(x)=(x−e)lnex，所以f(e)=0，切点为(e, 0)，所以l的方程为y=2x−2e．（2）由f(x)>g(x)得，(x−a)lnax>x2−(a+1a)x+1，(x−a)lnax>(x−a)(x−1a)，又x∈(1a ,a)，所以lnax<x−1a，lnax−x+1a<0．令ℎ(x)=lnax−x+1a （x∈(1a,a)），则ℎ(x)=1x−1=1−xx，所以，当1a<x<1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；当1<x<a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以当x=1时，函数ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=lna+1a−(1)故只需lna+1a−1<0(∗)．令φ(x)=lnx+1x −1，(x>1)，则φ′(x)=1x−1x2=x−1x2，所以当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)>φ(1)=(0)故不等式(∗)无解．综上述，不存在实数a，使得当x∈(1a−, a)时，f(x)>g(x)恒成立．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】(Ⅰ)由曲线C的参数方程为{x=√3cosθy=sinθ（θ为参数）可得x23+y2=1，∴曲线C的直角坐标方程为x23+y2=1．由ρsin(θ+π4)=√2，得ρ(sinθcosπ4+cosθsinπ4)=√2，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2， ∴ x +y =(2)∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =(2)(Ⅱ)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ)， 点Q 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−2|√2=|2cos(θ−π6)−2|√2．当cos(θ−π6)=−1时，d max =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2．解法2：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ， 由{x +y =mx 23+y 2=1，消去y 得4x 2−6mx +3m 2−3=0， 令△=(6m)2−4×4×(3m 2−3)=0， 解得m =±(2)∴ 直线l ′的方程为x +y =−2，即x +y +2=(0) ∴ 两条平行直线l 与l ′之间的距离为d =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ （θ为参数）利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin(θ+π4)=√2，得ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=√2，(II)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ)，点Q 到直线l 的距离为d =|2cos(θ−π6)−2|√2．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ，与椭圆方程联立消去y 得4x 2−6mx +3m 2−3=0，令△=0，解得m 即可得出． 【解答】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数）可得x 23+y 2=1，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．由ρsin(θ+π4)=√2，得ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=√2，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴ x +y =(2)∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =(2)(Ⅱ)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ)， 点Q 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−2|√2=|2cos(θ−π6)−2|√2．当cos(θ−π6)=−1时，d max =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2．解法2：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ， 由{x +y =mx 23+y 2=1 ，消去y 得4x 2−6mx +3m 2−3=0， 令△=(6m)2−4×4×(3m 2−3)=0， 解得m =±(2)∴ 直线l ′的方程为x +y =−2，即x +y +2=(0) ∴ 两条平行直线l 与l ′之间的距离为d =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2． [选修45：不等式选讲] 【答案】（1）解法1：∵ a >0， ∴ f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a)， 当−2≤x <a 时，−2−a ≤f(x)<a +2， ∴ 当x ∈R 时，−2−a ≤f(x)<a +2， 所以：f(x)min =−(a +2)=−3， 则：a =(1)（2）由(Ⅰ)知f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a)，(a >0) 当x <−2时，f(x)=−(a +2)<−2， |f(x)|>2，不等式|f(x)|≤2解集为空集． 当x ≥a 时，f(x)=a +2>2， 不等式|f(x)|≤2解集也为空集； 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2， 即：−2≤2x +2−a ≤2， 解得：a2−2<x <a2， ∵ a2−2>−2，a2<a ， ∴ 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2的解为a2−2<x <a2．综上得所求不等式的解集为{x|a2−2<x <a2}． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】(Ⅰ)直接利用分段函数的解析式求出结果． (Ⅱ)利用分类讨论思想求出结果． 【解答】（1）解法1：∵ a >0，∴ f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a) ，当−2≤x <a 时，−2−a ≤f(x)<a +2， ∴ 当x ∈R 时，−2−a ≤f(x)<a +2， 所以：f(x)min =−(a +2)=−3， 则：a =(1)（2）由(Ⅰ)知f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a) ，(a >0)当x <−2时，f(x)=−(a +2)<−2， |f(x)|>2，不等式|f(x)|≤2解集为空集． 当x ≥a 时，f(x)=a +2>2， 不等式|f(x)|≤2解集也为空集； 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2， 即：−2≤2x +2−a ≤2， 解得：a2−2<x <a2， ∵ a2−2>−2，a2<a ， ∴ 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2的解为a2−2<x <a2．综上得所求不等式的解集为{x|a2−2<x <a2}．。

黑龙江省大庆第一中学2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

黑龙江省大庆第一中学2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

大庆一中高三年级上学期期末考试数学(文科)试卷一、选择题 （每题5分,共60分）1.已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的虚部为( )A.110 B.110- C.10i D.10i -2.若集合{}2,2|>-==x x y y P ，{}Z x x x y x Q ∈-==,5|2，则=⋂Q P （ ）A ．{}4B ．{}5,4,3,2,1C ．{}50|≤<x xD ．φ3.为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ） A.向左平行移动21个长度单位 B.向右平行移动21个长度单位 C.向左平行移动1个长度单位 D.向右平行移动1个长度单位 4.{n a }是等差数列，442=+a a ，1053=+a a ，则10S =（ ） A. 138 B. 135 C. 95 D.235．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；③若βαγβγα//,,则⊥⊥；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是( )A. ①和②B. ①和③ C ． ①和④ D ． ③和④6.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程( )A. 227(3)()13x y -+-= B. 22(2)(1)1x y -+-=C. 22(1)(3)1x y -+-=D. 223()(1)12x y -+-=7.设变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( )A.7-B.4-C.1D.28.已知函数)42sin(3)(π-=x x f ，则下列结论正确的是( )A.若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-πB.函数()x f 的图象关于)0,8(π-对称C.函数()x f 的图象与)42cos(3)(π+=x x g 的图象相同 D.函数()x f 在]83,81[ππ-上递增 9.设13a =，111(2,)2n n a a n n N *-=+≥∈则数列{}n a 的通项公式是n a =( ) A. 1212n n -+ B. 1212n n -- C ．1212n n ++ D ．1212n n +-10.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折起，使平面BAC ⊥平面DAC ，则四面体 A －BCD 的外接球的体积为( )A . 12512π B. 1259π C. 1256π D. 1253π11.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点A ，点O 为坐标原点，点H 满足0FH OA ⋅= ，4OA OH =，则双曲线的离心率为（ ）12．已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈ 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[2,1]-B.[5,0]-C.[5,1]-D.[2,0]-二、填空题（每题5分，共20分）13=3b =，,a a b -=14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15.在等比数列{n a }中，n a >0，公比q ∈(0，1)，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5a 的 等比中项为2 ,求数列{n a }的通项公式 16.ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，且2()a b b c =+，则BA= 三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知函数()23sin 22f x x x =+． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭△ABC 的面积为 求a 的最小值．18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为1，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及其前n 项和n S ； （2）若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2n T <19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE D E ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6C D D A==，2AB =，3DE =. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为)1,0(-B ，且其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． （I ）求椭圆的方程；(II)是否存在斜率为)0(≠k k ，且过定点)23,0(Q 的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且BN BM =？若存在，求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.（Ⅰ）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 求a 的取值范围.请考生在第22、第23两个题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，点M 的极坐标为(4,)2π，圆C 以M为圆心，4为半径；又直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）（Ⅰ）求直线l 和圆C 的普通方程；（Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系．若相交，则求直线l 被圆C 截得的弦长．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式|2|||2(0)ax ax a a -+-≥>．（Ⅰ）当1a =时，求此不等式的解集；（Ⅱ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．大庆一中高三年级上学期期末考试数学(文科)试卷答案一、选择题（1）A （2）B （3）A （4）C （5）C （6）B （7）A （8）D （9）A （10）C （11）C （12）D 二、填空题（1314）4（15） 52n-/ 11162n -⎛⎫ ⎪⎝⎭/ 512n -⎛⎫⎪⎝⎭（16）12三、解答题17. 解：（1）∵f （x ）=sin 2x +sin 2x =+sin 2x =sin （2x -）+，∴2k π+≤2x -≤2k π+，k ∈Z ，解得：k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递减区间为：[k π+，k π+]，k ∈Z ． （2）∵f （）=，即：sin （2×-）+=，化简可得：sin （A-）=，又∵A ∈（0，π），可得：A-∈（-，）， ∴A-=，解得：A=，∵S △ABC =bcsin A=bc =3，解得：bc =12，∴a ==≥=2．（当且仅当b =c 时等号成立）．故a 的最小值为2．18.（1）解：∵等差数列{a n }的公差为1，且a 1，a 3，a 9成等比数列， ∴=a 1a 9，∴=a 1（a 1+8），解得a 1=1． ∴a n =1+（n -1）=n ， S n =．（2）证明：==2，∴数列{}的前n 项和为T n =2+…+=2＜2． ∴T n ＜2．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为 CD ⊥平面A D E ，AE ⊂平面A D E ，所以CD AE ⊥. 又因为A E D ⊥，CD DE D = ,所以AE ⊥平面C D .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………6分（Ⅱ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE .解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， 过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，所以//CDAB . 又因为3C D A B =，所以M F AB =，//FM AB ,所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . (12)20．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)y x a b a b +=>>,由已知得1b =.设右焦点为(,0)c ，由题意得3,c =∴= ……………………………2分 2223a b c ∴=+=.∴椭圆的方程为2213x y +=. ………………………………………………………4分（Ⅱ）直线l 的方程32y kx =+， 代入椭圆方程,得 2215(13)90.4k x kx +++=由0)31(158122>+-=∆k k 得1252>k ……………………………………6分 设点1122(,),(,),M x y N x y 则1229.13k x x k -+=+ 设M 、N 的中点为P ，则点P 的坐标为2293(,)2626k k k -++. ………………8分 ||||,BM BN = ∴点B 在线段MN 的中垂线上.2231261.926BPk k k kk ++∴=-=-+ 化简,得223k =. ……………………………10分 52.312k >∴=ABCED FM所以,存在直线l 满足题意，直线l 的方程为302x y -+=302y +-=…12分21 解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x h 恒成立， ……7分综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，01)()]([min≤-++==∴a e ae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e ，112-+≥∴e e a ； ……10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……12分综上可得所求a 的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ．22. （Ⅰ）解：因为直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）所以直线l0y -= ……3分 如图，设圆上任意一点为(,)P ρθ，则在POM ∆中，由余弦定理， 得2222cos PM PO OM PO OM POM =+-⋅∠， ∴2224424cos()2πρρθ=+-⨯⨯-．化简得8sin ρθ=，即圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=．（,ρθ为参数）． 因为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，所以22(4)16x y +-=即圆C 的普通方程为22(4)16x y +-=(亦可先求圆心直角坐标) ……6分 （Ⅱ）解：因为圆心M 的直角坐标是(0,4)，圆心M 到直线l 的距离24d =<， …8分 所以直线l 和圆C 相交．直线l 被圆C截得弦长== ……10分 23. （Ⅰ）解：当1a =时， 不等式为|2||1|2x x -+-≥.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1，2的距离之和大于 于2.∴52x ≥或12x ≤ ∴不等式的解集为51|22x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或. ……5分 注 也可用零点分段法求解．（Ⅱ）解：∵|2||||2|ax ax a a -+-≥-，∴原不等式的解集为R 等价于|2|2a -≥， ∴4a ≥或0a ≤，又0a >，∴4a ≥. (10)。

黑龙江省大庆第一中学2017-2018学年高三上学期第三阶段测试数学(文)试题 Word版含答案

黑龙江省大庆第一中学2017-2018学年高三上学期第三阶段测试数学(文)试题 Word版含答案

大庆一中2017-2018学年高三年级上学期第三阶段考试数学（文科）试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜x 2－3x －10＜0} B ＝{x ｜x ＞3}，则右图中阴影部分表示的集合为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2，5) C ．(3，5) D ．(5，＋∞)2.若322)2cos(=-απ，且)0,2(πα-∈，则=+)sin(απ( ) A ．31 B.32 C.-31 D.-32 3.已知函数()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤+=22212122x x x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-47f f （ ） A ．41 B ．7- C ．81 D ．214.若复数z 满足iii z -=+2，则复数z 的模为（ ）A ．10B ．10 C.4 D.3 5.若点P(1,-2)位于角α终边上，则sin 22cos 2αα+=（ ） A. 145-B. 75-C. 2-D.456.已知数列{}n a 是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )3132--．．B A 3231．．D C7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，A b a sin 2=，33=a ，5=c ，则=b （ ）A ．7B ．7C ．97D ．7或978.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若103231365log log log 9a a a a a +++= ，则等于（ ）A ．12B ．10 C．８ D ．5log 23+9．设函数()lg f x x =,若0a b <<，且()()f a f b =，则25z a b=+的最小值是( )A ．2B ． ．． 10.要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的( )A.横坐标缩短到原来的21 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度11.已知数列}{n a 满足)(11,211*∈+-==+N n a a a a n n n ，则该数列的前2017项的乘积=2017321a a a a （ ）A.2B.31C. 31D.—2二. 填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分） 13. 已知向量a 与b 的夹角是3π，且1,4a b ==，若(3+)a b a λ⊥，则实数λ=_______. 14．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为_____15. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()xf x f x '>，则不等式2(1)(1)(1)x f x f x -+>-的解集是_____________16.已知 a ∈ R ，若实数 x ， y 满足 y ＝－ x 2＋3ln x ，则( a －x ) 2＋( a ＋2－y ) 2的最小值是_________．三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生 表二：女生(1)1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公临界值表：K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .18.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22Af =且2a bc =，试判断ABC ∆ 的形状.1112.22.n nn n n n nn n n n n n a a a +++19.数列{a }满足a =1，a =（1）证明：数列{}是等差数列；（2）求数列{a }的通项公式；（3）设b =n(n+1)a ，求数列{b }的前n 项和S20.如右上图，三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4， 点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P －DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．21.在平面直角坐标系xoy 中,已知点(A B ,E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-. （1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N .若点P 在y 轴上,且PM PN = ，求点P 的纵坐标的取值范围.22.已知函数()(2)x f x ax e =-在1x =处取得极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 在[,1]m m +上的最小值；（3）求证：对任意12,[0,2]x x ∈,都有12()()f x f x e -≤大庆一中高三年级上学期第三阶段考试文科数学试题答案13.32—14. 18 15.(1,2) 16. 817.(1)设从高一年级男生中抽出m 人，则m 500＝45500＋400，m ＝25，则从女生中抽取20人，∴x ＝25－15－5＝5，y ＝20－18＝2. …………2分表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的2人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(A ，B )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，共10种．设事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，共6种．……………4分,∴P (C )＝610＝35，故所求概率为35. ………………5分(2)列联表如下：…………7分∵1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，而K 2＝－230×15×25×20＝45×152×5230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706， …………9分∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． …………10分18．解：﹙1﹚22()cos cos sin f x x x x x =+-cos2x x =+ …………2分2sin(2)6x π=+……………3分所以最小正周期π=T ,……………4分,]2,2[)(-∈x f ………………5分﹙2﹚由()22A f =，有()2sin()226A f A π=+=，所以sin() 1.6A π+= ………………6分 因为0A π<<，所以62A ππ+=,即3A π=. ……………………8分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，所以2()0b c -=.……………10分 所以,b c = 所以3B C π==.……………………………………………11分所以ABC ∆为等边三角形. ……………………………………………12分19．（1）由已知可得1122n n n nn a a a ++=+，即11221n n n n a a ++=+，即11221n nn n a a ++-=∴ 数列2n n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列 ……………………5分（2）由（1）知122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴21n n a n =+ ………………………8分 （3）由（2）知2n n b n =⋅ 231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ………………10分相减得：23112(12)22222212n nn n n S n n ++--=++++-⋅=-⋅-11222n n n ++=--⋅ …………………………12分∴1(1)22n n S n +=-⋅+ 20.(1)证明：如图，由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，故PE ⊥AC . …………1分因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC .因为AB ⊂平面ABC ，所以PE ⊥AB .……………4分,因为∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF .从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .……………6分,(2)解：设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2.从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝(23)2＝49，S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得 S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC .四边形DFBC 的面积S 四边形DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝79S △ABC ＝718x 36－x 2. ……………8分,由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P －DFBC 的高．在Rt △PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3 .……………10分, 所以V P －DFBC ＝13·S DFBC ·PE ＝13·718x 36－x 2·23＝7.故x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27. 因为x ＞0，所以x ＝3或x ＝3 3.所以BC ＝3或BC ＝3 3. ……………12分21.解：（1）设动点E 的坐标为(,)(x y x ≠,12=-,整理得221(2x y x +=≠ ,所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠ , ……4分（2）当直线l 的斜率不存在时,满足条件的点P 的纵坐标为0 ； ……………5分当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得,2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则2122421k x x k +=+,设MN 的中点为Q ,则22221Q k x k =+,2(1)21Q Q ky k x k =-=-+, 所以2222(,)2121k kQ k k -++ . …………8分 由题意可知0k ≠,又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令0x =解得211212P k y k k k==++……………10分当0k >时,因为12k k +≥所以0P y <≤=; 当0k <时,因为12k k +≤-所以04P y >≥=- 综上所述,点P纵坐标的取值范围是[44-…………………12分 22.解：(1)'()(2)(2)x x xf x ae ax e ax a e =+-=+-, ………………1分由已知得'(1)0f =，即(22)0xa e -=，解得1a =. ………………………3分当1a =时,()f x 在1x =处取得极小值,所以1a =. ………………………4分（2）()(2)x f x x e =-，'()(2)(1)x x x f x e x e x e =+-=-， 令'()0f x >得1x >，令'()0f x <得1x <，所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ……………………5分①当1m ≥时，()f x 在[,1]m m +上单调递增，min ()()(2)mf x f m m e ==-；②当01m <<时，11m m <<+，()f x 在[,1]m 上单调递减，在[1,1]m +上单调递增，min ()(1)f x f e ==-；③当0m ≤时，11m +≤，()f x 在[,1]m m +上单调递减，1min ()(1)(1)m f x f m m e +=+=-.综上，()f x 在[,1]m m +上的最小值min1(2)1()01(1)0m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩……………… 9分(3)由(1)知()()2xf x x e =-, '()(1)xf x x e =-.令'()0f x =，得1x =，因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-=， 所以，[0,2]x ∈时，max min ()0,()e f x f x ==-. ……………… 11分所以,对任意12,[0,2]x x ∈,都有12max min |()()|()()e f x f x f x f x -≤-=. ……………12分。

黑龙江省大庆中学2017届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

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2016-2017学年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合M={x|x 2＜4}，N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则集合M ∩N 等于（ ） A ．{x|x ＜﹣2} B ．{x|x ＞3} C ．{x|﹣1＜x ＜2} D ．{x|2＜x ＜3}3．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣），若存在a ∈（0，π），使得f （x+a ）=f （x+3a ）恒成立，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的定义域为（ ）A ．（﹣4，﹣1）B ．（﹣4，1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，1]5．下列说法正确的是（ ）A ．“a＞1”是“f（x ）=log a x （a ＞0，a ≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2+2x+3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x+3＞0” C ．“x=﹣1”是“x 2+2x+3=0”的必要不充分条件D ．命题p ：“∀x ∈R ，sinx+cosx ≤”，则￢p 是真命题6．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）m 3．A ．B ．C ．D ．7．阅读如图的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A．i＞5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＞88．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．179．对于函数f（x）=sin2x+sin2x（x∈R）有以下几种说法：（1）（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；（2）函数f（x）的最小正周期是2π；（3）函数f（x）在上单调递增．（4）y=f（x）的一条对称轴：其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.2511．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．212．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题（共有4个小题，每个小题五分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．14．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若，则双曲线的离心率是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．20．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M 是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．选修题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，同时i的幂运算，得到复数对应的点的坐标即可．【解答】解：复数===1+i．复数对应的点为（1，1）在第一象限．故选A．2．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】先化简两个集合，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来【解答】解：由题意集合M={x|x2＜4}═{x|﹣2＜x＜2}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}故选C3．已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法；函数恒成立问题．【分析】首先求出f（x+a）和f（x+3a），然后根据正弦的周期性求出a的值．【解答】解：f（x+a）=sin（2x+2a﹣）f（x+3a）=sin（2x+6a﹣）因为f（x+a）=f（x+3a），且a∈（0，π）所以2x+2a﹣+2π=2x+6a﹣∴a=即存在a=使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立．故选D．4．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．5．下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．【解答】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．6．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．【解答】解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．即V=7．阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＞8【考点】循环结构；程序框图．【分析】S=2，i=2，不满足条件，执行循环；依此类推，当S=16，i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16，从而得到判定框中应填．【解答】解：S=1+1=2，i=2，不满足条件，执行循环；S=2+2=4，i=3，不满足条件，执行循环；S=4+3=7，i=4，不满足条件，执行循环；S=7+4=11，i=5，不满足条件，执行循环；S=11+5=16，i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16故判定框中应填i＞5或i≥6故选：A8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．9．对于函数f（x）=sin2x+sin2x（x∈R）有以下几种说法：（1）（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；（2）函数f（x）的最小正周期是2π；（3）函数f（x）在上单调递增．（4）y=f（x）的一条对称轴：其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，分析函数的对称性，周期性和单调性，可得结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，当x=时，sin（2x﹣）=0，故（，）是函数f（x）的图象的一个对称中心，故（1）错误；函数f（x）的最小正周期是π，故（2）错误；由2x﹣∈，k∈Z得：x∈，k∈Z当k=0时，是函数f（x）的一个单调递增区间，故（3）正确．当时，sin（2x﹣）=1．故y=f（x）的一条对称轴，故（4）正确．故选：C10．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25【考点】回归分析的初步应用．【分析】先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．【解答】解：先求样本中心点，，由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意故选D．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B 的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选C．12．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【考点】函数单调性的性质；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A二、填空题（共有4个小题，每个小题五分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54 ．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．14．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④15．设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为1+．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意， =（1，0），=（，），=（cosα，sinα），利用三角恒等变换和平面向量的数量积，即可求出最大值．【解答】解：由题意||=||=||=1，、的夹角θ=60°，设=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），∴（++）•=•+•+c2=cosα+cosα+sinα+1=cosα+sinα+1=sin（α+）+1≤+1；∴当α=2kπ+，k∈Z，时取得最大值1+．故答案为：．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量加法法则，得到OM是△POF中PF边上的中线．由PF与圆x2+y2=a2相切得到OM⊥PF，从而可得△POF是等腰直角三角形，∠MFO=45°．最后在Rt△OMF利用三角函数的定义算出=，可得双曲线的离心率大小．【解答】解：∵，∴△POF中，OM是PF边上的中线．∵PF与圆x2+y2=a2相切，∴OM⊥PF，由此可得△POF中，PO=FO，∠MFO=45°，又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，∴sin∠MFO=，即=．因此，双曲线的离心率e=．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6①，∴2T n=6②，①﹣②可得﹣T n=6=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM⊂平面CME，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．20．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当a=时， =1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当a＞时，0＜＜1，当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．综上实数a的取值范围是a＞．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M 是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果（ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k==，k′==﹣，==﹣3．为定值；（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0可得x A=，y A=+m，同理解得x B=，y B=，x A﹣x B=k﹣=，y A﹣y B=k+m﹣（）=，k AB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k+，当且仅当k=时取等号．此时，即m=，符合题意．所以，直线AB的斜率的最小值为：．选修题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．2017年2月23日。

黑龙江省大庆市数学高三文数第一次模拟考试试卷

黑龙江省大庆市数学高三文数第一次模拟考试试卷

黑龙江省大庆市数学高三文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·辽宁模拟) 设集合A={x∈N|lgx≤1}，B={x|x2＜16}，则A∩B=（）A . （﹣∞，4）B . （0，4）C . {0，1，2，3}D . {1，2，3}2. （2分） (2017高二下·陕西期末) （1+i）（2+i）=（）A . 1﹣iB . 1+3iC . 3+iD . 3+3i3. （2分）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得(x-1)f(x)<0的x 的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·惠州模拟) 若、满足约束条件，则的最大值为（）A . 2B . 6C . 7D . 85. （2分）已经双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的准线方程为（）A .B .C .D .6. （2分）(2012·辽宁理) 在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018高一下·重庆期末) 数列中，，（），则（）A .B .C .D .8. （2分）若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A . 4B . 5C . 7D . 99. （2分） (2017高一上·唐山期末) 函数f（x）=2﹣x+1﹣x的零点所在区间为（A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）10. （2分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=， AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°11. （2分）已知函数的部分图象如图所示则f(x)的函数解析式为（）A .B .C .D .12. （2分）若直线和圆相交，则过点与椭圆的位置关系为（）A . 点P在椭圆C内B . 点P在椭圆C上C . 点P在椭圆C外D . 以上三种均有可能二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·苏州期末) 已知角的终边上的一点的坐标为，则________．14. （1分）(2020·阜阳模拟) 已知等差数列的前项和是，，且成等比数列，则 ________.15. （1分） (2017高二下·平顶山期末) 某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是________．16. （1分）(2018·徐汇模拟) 若一个球的体积为，则该球的表面积为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高一下·宜昌期末) 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为和（1）求和的值（2）已知，且，求的值18. （10分）(2017·南通模拟) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．19. （10分） (2017高二下·河北期中) 某校随机调查了110名不同性别的学生每天在校的消费情况，规定：50元以下为正常消费，大于或等于50元为非正常消费．统计后，得到如下的2×2列联表，已知在调查对象中随机抽取1人，为非正常消费的概率为．正常非正常合计男30女10合计110（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为消费情况与性别有关系？附临界值表参考公式：P（K2≥k0）0.1000.050.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828，其中n=a+b+c+d．20. （10分）(2019·十堰模拟) 已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点．点，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且．求的方程．21. （10分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）=ex（e=2.71828…），g（x）为其反函数．（1）求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；（2）设直线l与f（x），g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．22. （10分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线E的方程为y2=4x．M（1，﹣3），N（5，1），直线MN与抛物线相交于A，B两点，求∠AOB．23. （10分）(2018·银川模拟) 已知函数，集合 .（1）求；（2）若，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

黑龙江省大庆市2018届高三数学第一次阶段检测联考试题文

黑龙江省大庆市2018届高三数学第一次阶段检测联考试题文

2017-2018学年度上学期第一次阶段检测高三数学试题（文科）一. 选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求的。

1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230A B x x x =-=--<，则 AB =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ． {}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ． {}1,0,1,2,3- 2．设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）A ．12i -+ B.12i - C.32i + D.32i -3．函数)(x f 定义在),(+∞-∞上.则“曲线)(x f y =过原点”是“)(x f 为奇函数”的（ ）条件.A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ． 既不充分又不必要4. 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=5.在△ABC 中，AB=1，AC=3，D 是BC 的中点，则⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．不确定6.已知a ＞0，b ＞0且ab=1，则函数f （x ）=a x与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（ ）7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11S =,424S S =,则64S S 的值为( ) A.94 B. 32 C. 54D.48．.执行右边的程序框图,输出的S 值为 （ ） A.910 B.718 C.89 D.259.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ）A.-2 B ．-1 C ．1 D ．210. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（ ） A.y =x B.y =lg x C.y =2xD.y=11.如图是函数()2f x x ax b =++的部分图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)12.定义在R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知p ：3||<-a x （a 为常数）；q ：代数式)6lg(1x x -++有意义．（1）若1=a ，求使“q p ∧”为真命题的实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.19.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和n s 满足22-=n n a s . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T .20. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S 。

2018年高三最新 黑龙江省大庆市2018届高三第一次教学

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大庆市高三年级第一次教学质量检测试题数学 (文科)2018．2本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：(1)如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)(2)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B) (3)如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为 ()()kn k k n n P P C k P --=1(4)球的表面积公式： 2R R S π=。

(其中R 表示球的半径)(5)球的体积公式为： 334R V π=球。

(其中R 表示球的半径) 第1卷(选择题共60分)注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷纸上。

3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分。

满分60分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．(1)设集合 {}{}{}()B C A B A Z x x x I 12.1.2,2.1,,3 ，，则--==∈== (A) {}2.1.0 (B){－2，一1，1，2} (C){0，1} (D){}2.0 (2) 已知 4.4.2-=⋅==b a b a 则a 与b 的夹角为(A)300 (B)600 (C)1500 (D)1200 (3)如果 (),214tan ,43tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+παβα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πβ的值是 (A)2 (B)1110 (C) 112 (D) 52(4)在等比数列 {}n a 中，若 ,60,404321=+=+a a a a ，则87a a += (A)80 (B) 95 (C)100 (D)135(5)在下列命题中，真命题是 (A)直线m 、n 都平行于平面。

黑龙江省大庆市第四中学2017-2018学年高三下学期第四次校内检测数学(文)试题 Word版含答案

黑龙江省大庆市第四中学2017-2018学年高三下学期第四次校内检测数学(文)试题 Word版含答案

大庆四中2017-2018学年度高三年级第四次校内检测文科数学试题考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．．．．．．．．．．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、选择题：（本题共12小题，每题5分，满分60分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1． 已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，集合A B 为 （ ）A.{}0B.{}1C.{}0,1D.{}0,1,22.若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是 （ ） A ．i 21 B ．i 21- C ．21 D ．21-3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S = （ ） A ．52 B ． 78 C ．104 D ．2084.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得767粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷为 （ ） A ．41石 B ．56石 C ．67石 D ．85石 5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是 ( )A 6n =B 6n <C 6n ≤D 8n ≤6.已知变量,x y 满足条件221y x x y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩,且z ax y =+，若z 取最大时的最优解有无数个，则a = （ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．1-或2-7.已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列正确的是 （ ）A ．若n m ,平行于同一平面，则n m 与平行B ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥C ．若βα,不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若n m ,不平行，则n m 与不可能垂直于同一平面8.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 （ ）A ．263 B ． 83π+ C ． 143π D ．73π9．记111122ln ,ln ,ln 22a b c e e e e e e=-=-=-，其中e 为自然对数的底数，则,,a b c这三个数的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a >>D ．b a c >>10.已知下列结论①在△ABC 中，“a b >”是“cos 2cos 2A B <”的充要条件； ②在锐角△ABC 中，sin(sin )sin(cos )A B >；③在钝角△ABC 中，0AB BC ⋅>。

黑龙江省大庆一中学2017届高三考前冲刺模拟数学(文)试卷及答案

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大庆一中高三年级考前模拟测试数学（文科）试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}4,3,2,1=A ,集合{}6,5,4,3=B ,集合B A C ⋂=，则集合C 的真子集．．．的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的个数是（ ）①z = ②1z i =- ； ③的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 命题“[]1,0∈∀m ，21≥+xx ”的否定形式是（ ） A. []1,0∈∀m ，21<+x x B. []1,0∈∃m ，21≥+xx C. ()()+∞∞-∈∃,00,Y m ,21≥+x x D. []1,0∈∃m ，21<+xx4．已知ABC ∆中，=A 6π，=B 4π，a 1=，则b 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．25．在区间（0，4）上任取一实数x ，则22<x的概率是（ ） A ．43B ．21 C ．31 D ．41 6. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是（ ）A ． 0B ． 3-C ．23D ．3 7.{}n a 是公差不为0的等差数列，满足27262524a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）A ．10-B ．5-C ．0D ．58.已知()222,03,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若()2f a =，则a 的取值为（ ）A ．2B ． -1或2 C. 1±或2 D ．1或29.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与圆()()11322=-+-y x 相切，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B.5C.3 D.210. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A ． 4πB ．283πC ．443πD ． 20π11．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N m od ≡，例如()3m od 211≡．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．21B ．22C ．23D ．2412.若函数()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C. ()1,2 D ．()2,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、已知平面向量→a =（k ，3），→b =（1，4），若→→⊥b a ，则实数k ＝ .2311正视图俯视图214．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为22243，则C = .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .16．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->++--≤⎪⎭⎫⎝⎛-=1,3234311,2log 22x x x x x x f ，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为 . 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （Ⅱ）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥ 0．10 0．05 0．025 0．0100k2．706 3．841 5．024 6．63518.（本题满分12分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=AB=BC=2，且点O 为AC 中点． （Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥C 1﹣ABC 的体积． 19.（本题满分12分）已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （Ⅰ）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea >（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），射线OM 的极坐标方程为34πθ=． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()13++-=x x x f ，()a a x x x g -+-+=1.（Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.大庆一中高三年级考前模拟测试一数学（文）答案 一、选择题二、填空题13. ____-12_________ 14. _____6π_____________ 15.______91_________ 16. ______[]1-8-，___________ 三、解答题17．(本题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题设，，…（2分）即（1+d ）2=1+3d ，解得d=0或d=1…（4分） 又∵d ≠0，∴d=1，可以求得a n =n…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，=（1+2+3+…+n ）+（2+22+ (2)）=…（12分）18.解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为4035，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为7； （Ⅱ）()22401412684038412020221811K ⋅⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯ ，故没有95%以上的把握认为二者有关. 19.证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点，题号 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CC DADBCBABCC积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840∴A 1O ⊥AC ，…（2分） 又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABC=AC …（4分） 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC …（6分）（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离…（8分） 由（Ⅰ）知A 1O ⊥平面ABC 且，…（9分）∴三棱锥C 1﹣ABC 的体积：…（12分）20.解：（Ⅰ）设圆心5(,0)()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）． ·················· 2分 所以圆C 的标准方程为224x y +=． ···················· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ··· 5分 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ··········· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，2222224,(1)240(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩， ················ 7分 故2212122224,11k k x x x x k k -+==++， ······················ 8分 若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t--=-⇒+=⇒+=---- 221212222(4)2(1)2(1)()2020411k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． (12)21.解：(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . ····················· （4分） (2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e eh h e e ⋅=+-+-=-， 由ln 20.6931, 2.71828e ≈≈知ln 204e -<，故2ea >成立. （12分）22.解（1）∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，圆C 的普通方程为22220x y x y ++-=， ∴22cos 2sin 0ρρθρθ+-=， ∴圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.1x ty t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）消去t 后得1y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为1sin cos θθρ-=.（2）当34πθ=时，3||sin()44OP ππ=-=P的极坐标为3)4π，||2OQ ==，所以点Q的极坐标为3(,)24π，故线段PQ的长为2，23.解：（1）()22,34,1322,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩，当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥，当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{}|24x x x ≤-≥或.（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立， ∴3x x a a -++≥-恒成立，又3333x x a x x a a a -++≥---=--=+，∴3a a +≥-，解得32a ≥-，3,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，不等式()()f x g x ≥恒成立.。

黑龙江省大庆市实验中学2017-2018学年高三上学期开学数学试卷(文科) Word版含解析

黑龙江省大庆市实验中学2017-2018学年高三上学期开学数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{2}C．{﹣1，2}D．{1，2}2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）（2015湖北）“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（）A．k＜64？B．k≥64？C．k＜32？D．k≥32？5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．158．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．89．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=112．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5；不等式选讲]24．（2015河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{2}C．{﹣1，2}D．{1，2}【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即A={1，2}，∵B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={1，2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）（2015湖北）“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称的否定是全称即可得到结论．【解答】解：的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．4．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（）A．k＜64？B．k≥64？C．k＜32？D．k≥32？【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=64时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63，从而可判断M处的条件为：k≥64？【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0不满足条件，S=1，k=2不满足条件，S=3，k=4不满足条件，S=7，k=8不满足条件，S=15，k=16不满足条件，S=31，k=32不满足条件，S=63，k=64由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63．故可判断M处的条件为：k≥64？故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【分析】可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D．若α⊥β，b∥β，设α∩β=c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D错．故选C．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键．7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．15【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2=8，底面为（2+1）×1=，故几何体的表面积为8=11，故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．8．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．2 C．4 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y 的最大值．【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A（4，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，将A的坐标代入z=2x﹣y，得z=2×4﹣0=8，即目标函数z=2x﹣y的最大值为8．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，∴球的直径为4，∴球的表面积为4π×22=16π，故选：D．【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣【分析】由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则=（﹣）=﹣=（）2﹣1×=﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【分析】设椭圆的右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2=a2﹣c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得c=2，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为+=1．故选：C．【点评】本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a2，b2，属于中档题．12．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：D【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．【分析】直接利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：S△ABC=ABACsinA=××1×=．故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．注意熟练掌握正弦定理及其变形公式的灵活运用．14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．【分析】要求圆的标准方程，即要找到圆心坐标和半径，根据图形可知圆心坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出圆心到A的距离即为圆的半径，然后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），圆的半径r=|AC|==，则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=5【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为3+2．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0， +=（+）（2m+n）=3++≥3+2，当且仅当=时取等号， +的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是（，）．【分析】方法一：g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令令a==；讨论函数的取值即可，方法二：首先，画出函数y=|lnx |的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，4）上有三个零点，进行判断【解答】解：方法一：∵g （x ）=f （x ）﹣ax 在区间（0，4）上有三个零点， ∴|lnx |﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令a==；则当0＜x ＜1时，﹣的值域为（0，+∞）；当1≤x ＜4时，a=在[1，e ]上是增函数，0≤≤，在[e ，4）上是减函数，≤≤；故当a ∈（，）时，有三个不同的解．方法二：函数y=|lnx |的图象如图示： 当a ≤0时，显然，不合乎题意， 当a ＞0时，如图示当x ∈（0，1]时，存在一个零点， 当x ＞1时，f （x ）=lnx ， 可得g （x ）=lnx ﹣ax ，（x ∈（1，3]）g ′（x ）=﹣a=，若g ′（x ）＜0，可得x ＞，g （x ）为减函数，若g ′（x ）＞0，可得x ＜，g （x ）为增函数，此时f （x ）必须在（1，4）上有两个交点，∴，解得，≤a ＜，在区间（0，3]上有三个零点时，故实数a 的取值范围为（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和S 3=．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，求{b n }前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n 项和公式求得{b n }前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{b n }的公比为q ，则，从而q=2，故{b n}的前n项和．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题． 19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，AC ，BD 交于点O ，A 1O ⊥平面ABCD ，A 1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ； （2）求三棱锥A ﹣C 1CD 的体积．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；（2）根据三棱锥的条件公式，即可求三棱锥A ﹣C 1CD 的体积． 【解答】证明：（1）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ，∵A 1O ∩AC=0，∴BD ⊥平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C ，由已知A 1A=2，AC=2，又AO=OC ，A 1O ⊥AC ，∴A 1A=A 1C=2，A 1A 2=A 1C 2=AC 2， ∴A 1C ⊥A 1A ，∵B 1B ∥A 1A ，∴A 1C ⊥B 1B ， ∵BD ∩B 1B=B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． （2）连结A 1C 1，∵AA 1∥C 1C ，且AA 1=C 1C ，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形，∴A 1C 1∥AC ，三棱锥A ﹣C 1CD 的体积===×=．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程．（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S△OCD最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（6分）（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y﹣32k=0，y1+y2=，y1y2=32，，综上S△OCD最小值为．…（12分）【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求h（x）的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，求得单调区间和极值，进而得到最值；（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，以及指数函数的单调性即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=，得f（1）=，f′（x）=，所以k=f′（1）=0，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=．（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x＞0．所以h′（x）=﹣lnx﹣2．令h′（x）=0得，x=e﹣2．因此当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．所以h（x）在x=e﹣2处取得极大值，也是最大值．h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2．（Ⅲ）证明：因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=，x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于1﹣x﹣xlnx＜e x（1+e﹣2）．由（Ⅱ）知h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，只需证明x＞0时，e x＞1成立，这显然成立．所以1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜e x（1+e﹣2）．因此对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CEBE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x ﹣y +=0的距离d=＞1． ∴直线l 与曲线C 相离；（Ⅱ）由M 为曲线C 上任意一点，可设，则x +y=sin θ+cos θ=，∴x +y 的取值范围是．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题． [选修4-5；不等式选讲] 24．（2015河北）已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f （x ）的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

黑龙江省大庆2018届高考数学模拟试卷(文科)Word版含解析

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黑龙江省大庆2018届高考模拟试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限M=（）2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁UA．[1，2）B．（0，+∞） C．[2，+∞）D．（0，1]3．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）A．B．C．D．6．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则下列结论中正确的是（ ）A ． =2B ． =C ． =D ． =8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．用秦九韶算法计算多项式f （x ）=2x 6+5x 5+6x 4+23x 3﹣8x 2+10x ﹣3，当x=2时，V 3的值为（ ）A ．9B ．24C ．71D ．13410．已知不等式组，所表示的平面区域为D ，若直线y=ax ﹣2与平面区域D 有公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D ．[﹣，]11．给出下列三个结论：①设回归直线方程为=2﹣2.5x ，当变量x 增加1个单位时，y 平均增加2个单位；②若命题p ：∃x 0∈[1，+∞），，则￢p ：∀x ∈（﹣∞，1），x 2﹣x ﹣1≥0；③已知直线l 1：ax+3y ﹣1=0，l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是；其中正确结论的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13．已知，若，则等于．14．在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为．15．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于．16．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．18．（12分）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为A，B…G，H，从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求A，B至少有一个被抽到的概率．附表及公式．．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）求点B到面MA1C的距离．20．（12分）已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（10分）已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3．（1）求a+2b的最小值；（2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由．黑龙江省大庆2018届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=，则复数z所对应的点在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．M=（）2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁UA．[1，2）B．（0，+∞） C．[2，+∞）D．（0，1]【考点】1F：补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，M=[1，2），则∁U故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．3．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”，∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由二倍角公式可得cos（﹣2α），整体利用诱导公式可得cos（2）=﹣cos（﹣2α），代值可得．【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=﹣故选：A【点评】本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和诱导公式，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可计算求值得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．而S=++…+=（1﹣）+（）+…+（）1﹣=．故选：B．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】BA ：茎叶图；CB ：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案． 【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90； 设污损的数字为x ，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x ）=88.4+， 当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D ．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则下列结论中正确的是（ ）A ． =2B ． =C ． =D ． =【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴ =故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，得到几何体为四棱锥，依据图中数据计算体积．【解答】解：由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为=4；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．的值为（）9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，当x=2时，V3A．9 B．24 C．71 D．134【考点】EL：秦九韶算法．【分析】用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3=（（（（（2x+5）x+6）x+23）x﹣8）x+10）x﹣3，即可得出．【解答】解：用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3=（（（（（2x+5）x+6）x+23）x﹣8）x+10）x﹣3，当x=2时，v0=2，v1=2×2+5=9，v2=9×2+6=24，v3=2×24+23=71．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣，]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线y=ax﹣2恒过点A（0，﹣2），则直线与区域D有公共点时满足a≥kAB 或a≤kAC．而，，则a≥2或a≤﹣2，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．11．给出下列三个结论：①设回归直线方程为=2﹣2.5x ，当变量x 增加1个单位时，y 平均增加2个单位；②若命题p ：∃x 0∈[1，+∞），，则￢p ：∀x ∈（﹣∞，1），x 2﹣x ﹣1≥0；③已知直线l 1：ax+3y ﹣1=0，l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是；其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】利用回归直线方程判断①的正误；命题的否定判断②的正误；直线垂直的充要条件判断③的正误；【解答】解：①设回归直线方程为=2﹣2.5x ，当变量x 增加1个单位时，y 平均减少2.5个单位；所以①不正确；②若命题p ：∃x 0∈[1，+∞），，则￢p ：∀x ∈（﹣∞，1），x 2﹣x ﹣1≥0；不满足命题的否定形式；所以②不正确；③已知直线l 1：ax+3y ﹣1=0，l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是；因为a=0，b=0两条直线也垂直，所以③不正确； 故选：A ．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．12．已知函数f （x ）=|lnx|﹣1，g （x ）=﹣x 2+2x+3，用min{m ，n}表示m ，n 中的最小值，设函数h （x ）=min{f （x ），g （x ）}，则函数h （x ）的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m ，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出函数f （x ）和g （x ）的图象如图，两个图象的下面部分图象， 由g （x ）=﹣x 2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f （x ）=|lnx|﹣1=0，得x=e 或x=， ∵g （e ）＞0，∴当x ＞0时，函数h （x ）的零点个数为3个，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13．已知，若，则等于 5 ．【考点】93：向量的模．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据向量模的定义即可求出．【解答】解：∵ =（2，1），=（3，m），∴﹣=（﹣1，1﹣m），∵⊥（﹣），∴•（﹣）=﹣2+1﹣m=0，解得，m=﹣1，∴+=（5，0），∴|+|=5，故答案为：5．【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题．14．在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程方程有实数根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：要使方程有实数根，只需满足△=4m﹣8n≥0，即m≥2n，又m，n是从区间（0，1）上随机取两个数，则满足条件的m，n，如图所示，∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为P=；故答案为：【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关15．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于 4 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，如图所示：由PF为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出PF，则PH=PF﹣1 为所求．【解答】解：抛物线y2=4x焦点E（1，0），准线为l：x=﹣1，由于AB的中点为P，过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，PF交纵轴于点H，如图所示：则由PF为直角梯形的中位线知，PF====5，∴PH=PF﹣FH=5﹣1=4，故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．16．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得圆心C（2，0），推导出点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为（m，m+3），则﹣2≤2，由此能求出点P的横坐标的取值范围．【解答】解：由题意可得圆心C（2，0），∵点P在直线l：y=x+3上，圆C上存在两点A、B使得=3，如图，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r=2，∴点P到圆上的点的最小距离|PD|应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为（m，m+3），则﹣2≤2，化简可得2m2+2m﹣3≤0，解得≤m≤，∴点P的横坐标的取值范围是：故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•江西二模）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O 为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）由余弦定理可以得到，而由a+b≥2c即可得出﹣c2的范围，从而得出a2+b2﹣c2的范围，进一步便可得到，从而有，这便说明角C的最大值为；（2）时便可得出△ABC为等边三角形，从而可求得外接圆半径为1，并可求得，从而对两边平方便可得到x2+y2=xy+1≥2xy，这样便可得出xy的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，；∵a+b≥2c；∴；∴；∴；∵，当且仅当a=b时取“=”；∴；即；∴；∴角C的最大值为；（2）当角C取最大值时，∵；∴△ABC为等边三角形；∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：OD⊥AB，且；∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°；∴；∴对两边平方得，；∴1=x2+y2﹣xy；∴x2+y2=xy+1≥2xy，当且仅当x=y时取“=”；∴xy≤1；∴x•y的最大值为1．【点评】考查余弦定理，不等式的性质，基本不等式及不等式a2+b2≥2ab的运用，以及向量数量积的运算及计算公式，清楚三角形外接圆的概念．18．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）记常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学为A ，B…G，H ，从8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，求A ，B 至少有一个被抽到的概率．附表及公式．．【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BL ：独立性检验．【分析】（1）能否据此判断求出观测值K 2，判断是否有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关．（2）从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，找出含有病症的数目，然后求解概率．【解答】解：（1）由表中数据得K 2的观测值K 2=≈5.556＞5.024．所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有28种，AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，AG ，AH BC ，BD ，BE ，BF ，BG ，BH CD ，CE ，CF ，CG ，CHDE，DF，DG，DHFG，FH，GH其中A，B两人至少有一个被抽到的事件有AB，AC，AD，AE，AF，AG，AHBC，BD，BE，BF，BG，BH 13种，．【点评】本题考查独立检验的应用，古典概型的概率公式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）求点B到面MA1C的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，连接OM，OE，MD，推出四边形MDEO为平行四边形，得到DE∥MO，即可证明DE∥平面A1MC．（2）说明三角形A1MC是直角三角形，利用，求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线，∴=， =，∴，∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO．又∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC．（2）解：∵M是线段AB的中点，∴点B到面MA1C的距离，就是点A到面MA1C的距离，设为：h；正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB=4，可得AM=1，MA1==，CM=，A1C==2，可得三角形A1MC是直角三角形，，可得=，解得h=．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E 上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l 1，l 2不重合，则直线l 1，l 2的斜率均存在，设直线l 1：y=k （x ﹣1）+1，点A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）．直线l 2：y=﹣k （x ﹣1）+1．联立消去y ，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【解答】（1）解：设M （x ，y ）为椭圆E 上任一点，由，则椭圆E 的方程可化为，从而． 由于a ＞b ＞1，则当x=﹣1时，， 故椭圆E 的标准方程为． （2）证明：由于直线l 1，l 2不重合，则直线l 1，l 2的斜率均存在， 设直线l 1：y=k （x ﹣1）+1，点A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）． 易知直线l 2：y=﹣k（x﹣1）+1.，由得（1+2k 2）x 2+4k （1﹣k ）x+2（1﹣k ）2﹣4=0，由韦达定理有：，，则；同理可得，从而有|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2017•龙凤区校级模拟）已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将x=2代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将（0，﹣1）代入，可求a的值；（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x ∈[0，+∞），利用导数法求其最值后，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）解由x﹣1≠0得：函数f（x）=e x﹣1﹣的定义域为x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞），f（2）=e2﹣1﹣2a，，∴f'（2）=e2+a，∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线y﹣（e2﹣1﹣2a）=（e2+a）（x﹣2）将（0，﹣1）代入，得﹣1﹣（e2﹣1﹣2a）=﹣2e2﹣2a，解得：证明：（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，∵x∈（0，1）∪（1，+∞）时，恒成立，∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞）∵g（0）=0恒成立∴只需证：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立∵g'（x）=x•e x﹣1﹣a，g''（x）=（x+1）•e x＞0恒成立，∴g'（x）单调递增，∴g'（x）≥g'（0）=﹣1﹣a≥0∴g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立即在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上过某点的切线方程，难度中档．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（10分）（2017•龙凤区校级模拟）已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，即可求出|PQ|；（2）求出A，B，D的直角坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】（1）解：θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，∴|PQ|=2﹣2；（2）证明：由题意，A（﹣，1），B（，1），D（0，﹣2），设P（x，y），则|PA|2+|PB|2+|PD|2=（x+）2+（y﹣1）2+（x﹣）2+（y﹣1）2+x2+（y+2）2=3（x2+y2）+12=24，为定值．【点评】本题考查极坐标方程，考查两点间的距离公式，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•龙凤区校级模拟）若a＞0，b＞0且2ab=a+2b+3．（1）求a+2b的最小值；（2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）利用已知条件用b表示的a，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可．（2）利用基本不等式求出表达式的最小值，判断是否存在a，b即可．【解答】解：（1）由条件知a（2b﹣1）=2b+3＞0，．所以．≥2当且仅当2b﹣1=2，即，a=3时取等，所以a+2b的最小值为6．（2）因为，当且仅当，a=3时取等，所以a2+4b2≥18，故不存在a，b使得a2+4b2=17．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想，以及计算能力．。

黑龙江省大庆市数学高三文数一模试卷

黑龙江省大庆市数学高三文数一模试卷

黑龙江省大庆市数学高三文数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是（）A . 10B . －10C . －14D . 142. （2分）已知实数a，b满足（a+2i）•bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高二上·淮北月考) 已知点在双曲线的一条浙近线上，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·梅河口模拟) 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取黑色部分（7环到9环）的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·抚顺期末) 已知，那么的值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知数列中，，定义，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高一下·济南期中) 函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A . 2B . 0C .D . 68. （2分） (2019高三上·安徽月考) 已知向量在向量方向上的投影为3，则与的夹角为（）A .B .C . 或D . 或9. （2分）若变量x,y满足约束条件则的最大值为（）A . 4B . 3C . 2D . 110. （2分）(2018·长春模拟) 已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将△ 折成直二面角，则过四点的球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·达州模拟) 过双曲线右焦点的直线l被圆x2+（y+2）2=9截得弦长最长时，则直线l的方程为（）A . x﹣y+2=0B . x+y﹣2=0C . x﹣y﹣2=0D . x+y+2=012. （2分）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2017高一下·鹤岗期末) 底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M,N分别为CC1 ， BB1的中点，则点N到面A1BM的距离为________．14. （1分） (2018高二下·海安月考) 某射击选手连续射击枪命中的环数分别为：，，，，，则这组数据的方差为________．15. （1分）(2019高三上·杨浦期中) 定义在实数集上的偶函数满足，则 ________.三、双空题 (共1题；共2分)16. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知正项等比数列{an}的前n项积为πn ，已知am﹣1•am+1=2am ，π2m﹣1=2048，则m=________四、解答题 (共7题；共47分)17. （5分）(2020·阿拉善盟模拟) 如图，在中，，点在边上，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.18. （5分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．19. （2分） (2016高三上·宜春期中) 如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．20. （10分） (2016高二上·绍兴期中) 分别过椭圆E： =1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4 ，且满足k1+k2=k3+k4 ，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2 ，|CD|= ．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．21. （5分） (2017高二下·蚌埠期中) 设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．22. （10分）(2018·绵阳模拟) 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是 .（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.23. （10分）(2019·肇庆模拟) 已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共1题；共2分) 16-1、四、解答题 (共7题；共47分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

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2017-2018学年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4，5}，则（）A．A⊆B B．B⊂A C．A∩B={2，3}D．A∪B={1，4，5}2．若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）A． B．10 C．4 D．3．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}和{b n}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A．7 B．8 C．9 D．105．下列说法中不正确的个数是（）①“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②若“p∧q”为假，则p、q均为假；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件．A．O B．1 C．2 D．36．若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞07．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③D．②④8．已知向量=（，），=（cosx，sinx），=，且，则cos（x+）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．9．设变量x，y满足约束条件，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为（）A．8 B．4 C．2D．210．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（ ）A ．V=32，n=2B ．C ．D ．V=16，n=411．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙C ：x 2+（y ﹣1）2=5，点A 为⊙C 与x 轴负半轴的交点，过A 作⊙C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M ，若|OA |=|OM |，则直线AB 的斜率为（ ）A ．﹣2B ．C ．2D ．412．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x +a 的图象与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B ．（﹣，1） C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．抛物线y=﹣4x 2的准线方程是______． 14．若||=1，||=，，且，则向量与的夹角为______．15．设函数f （x ）=，且函数f （x ）为奇函数，则g （﹣2）=______．16．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=BC=1，AB=，AB ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在等比数列{a n }中，a 1+2a 2=1，a =2a 2a 5．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求数列{}的前n 项和S n ． 18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2acosC +c ﹣2b=0． （1）求∠A 的大小；（2）若a=1，求△ABC 周长的取值范围． 19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，△PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥平面PAD ；（2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）若AB=1，AD=2，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2．（1）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；（2）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1，是否存在实数m，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆E：过点（0，），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CD•CB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．（I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式：f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．2016年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4，5}，则（）A．A⊆B B．B⊂A C．A∩B={2，3}D．A∪B={1，4，5}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】根据A与B，找出A与B的交集，并集，即可做出判断．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={2，3}，A∪B={1，2，3，4，5}，1∉B，4，5∉A，故选：C．2．若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）A． B．10 C．4 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【解答】解：x+i=，∴x=﹣i=﹣1﹣3i，∴|x|=，故选：A．3．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得=，即，解得e2=，e=．故选：A．4．已知数列{a n}和{b n}都是等差数列，若a2+b2=3，a4+b4=5，则a7+b7=（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的通项公式．【分析】由数列{a n}和{b n}都是等差数列，得{a n+b n}为等差数列，由已知求出{a n+b n}的公差，再代入等差数列通项公式求得a7+b7．【解答】解：∵数列{a n}和{b n}都是等差数列，∴{a n+b n}为等差数列，由a2+b2=3，a4+b4=5，得d=．∴a7+b7=（a4+b4）+3×1=5+3=8．故选：B．5．下列说法中不正确的个数是（）①“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②若“p∧q”为假，则p、q均为假；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件．A．O B．1 C．2 D．3【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据含有量词的的否定判断．②根据复合与简单之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：①全称的否定是特称，∴“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．②若“p∧q”为假，则p、q至少有一个为假；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，正确．故不正确的是②．故选：B．6．若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x﹣的一个零点，∴f（x0）=0，又∵f′（x）=2x ln2+＞0，∴f（x）=2x﹣是单调递增函数，且x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）．故选：D．7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③D．②④【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m 在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假．所以真为①③．故选C．8．已知向量=（，），=（cosx，sinx），=，且，则cos（x+）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积和三角函数公式可得sin（x+），再由角的范围和同角三角函数基本关系可得．【解答】解：∵向量=（，），=（cosx，sinx），=，∴=cosx+sinx=2sin（x+）=，∴sin（x+）=，又∵，∴＜x+＜，∴cos（x+）=﹣=﹣，故选：A．9．设变量x，y满足约束条件，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为（）A．8 B．4 C．2D．2【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（2，6），由图易得目标函数在（2，6）取最大值8，即8=2ab+6，∴ab=1，∴a+b≥2=2，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为2．故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B11．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，点A为⊙C与x轴负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M，若|OA|=|OM|，则直线AB的斜率为（）A．﹣2 B．C．2 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，则CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．【解答】解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，由题意CM⊥AB，因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，根据题意，OA=OM=2，所以，=，所以sin∠OCM=，tan∠OCM=﹣2（∠OCM为钝角），而∠OCM与∠OAM互补，所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．故选：C．12．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B ．（﹣，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【考点】函数的图象．【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f （x ）与x 轴仅有一个交点，可转化成f （x ）极大值＜0或f （x ）极小值＞0即可．【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x +a 的导数为f ′（x ）=3x 2﹣2x ﹣1， 当x ＞1或x ＜﹣时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当﹣＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．即有f （1）为极小值，f （﹣）为极大值．∵f （x ）在（﹣∞，﹣）上单调递增，∴当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞；又f （x ）在（1，+∞）单调递增，当x →+∞时，f （x ）→+∞，∴当f （x ）极大值＜0或f （x ）极小值＞0时，曲线f （x ）与x 轴仅有一个交点． 即a +＜0或a ﹣1＞0，∴a ∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．抛物线y=﹣4x 2的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p 值，结合抛物线的开口方向可得方程．【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：14．若||=1，||=，，且，则向量与的夹角为 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出．【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵，且，∴•=（+）•=+=||2+||•||cosθ=0，即1+cosθ=0，即cosθ=﹣，∵0≤θ≤π∴θ=，故答案为：．15．设函数f（x）=，且函数f（x）为奇函数，则g（﹣2）=﹣6．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣2）=g（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22+2）=﹣6；故答案为：﹣6．16．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为3π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故答案为：3π．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在等比数列{a n}中，a1+2a2=1，a=2a2a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设数列{a n}的公比为q，从而由a=2a2a5及a1+2a2=1可解得q=，a1=，从而解得；（II）化简b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=﹣（1+2+3+…+n）=﹣，故=﹣2（﹣），从而求和．【解答】解：（I）设数列{a n}的公比为q，由a=2a2a5得（a1q2）2=2a1q•a1•q4，∴q=，由a1+2a2=1得a1=．故数列{a n}的通项公式为a n=．（II）b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=﹣（1+2+3+…+n）=﹣，∴=﹣=﹣2（﹣），∴S n=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosC+c﹣2b=0．（1）求∠A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理得c2+b2﹣a2=bc，可求cosA=，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值．（2）由（1）可求sinA，由正弦定理可得==，可求△ABC的周长l=2sin（B+）+1．由0，利用正弦函数的性质可求周长的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知2acosC+c﹣2b=0，由余弦定理得：2a•+c﹣2b=0，…整理得c2+b2﹣a2=bc，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．…（2）∵cosA=，∴sinA=，…由正弦定理得：==，…△ABC的周长：l=1+（sinB+sinC）=1+ [sinB+sin（B+）]=2sin（B+）+1．…∵0，∴＜B+＜，∴＜sin（B+）≤1，…因此2＜l≤3，故△ABC的周长的取值范围为：（2，3]．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）证明：平面PDC⊥平面PAD；（3）若AB=1，AD=2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（3）根据条件求出四棱锥的高，利用棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】解：（I）连结AC，则F也是AC的中点，又E是PC的中点，∴EF∥PA，又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．…（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，…又CD⊂平面PCD，∴平面PDC⊥平面PAD．…（III）取AD的中点H，连接PH，∵△PAD为等边三角形，∴PH⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊂平面PAD，∴PH⊥平面ABCD．…∵AD=2，∴PH=，=×=．…∴V P﹣ABCD20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2．（1）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；（2）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1，是否存在实数m，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的定义域、导数h′（x），由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值；（2）mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．从而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数m后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值【解答】解：（1）函数h（x）的定义域为（0，+∞），∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0．（2）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤，设t（x）=，则t′（x）=，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即t（x）min=t（1）=﹣1．∴存在实数m≤﹣，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数．21．已知椭圆E：过点（0，），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，运用判别式大于0和韦达定理，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得垂直平分线方程，求得与坐标轴的交点，可得三角形的面积，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得b=，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆E的方程为+=1；（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，此方程有两个不等实根，可得△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得3+4k2﹣m2＞0 ①．由根与系数的关系，可得线段AB的中点坐标（x0，y0）满足x0==﹣，y0=kx0+m=，∴AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+）．此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为（﹣，0），（0，﹣），由已知得||•||=．整理得m2=，k≠0 ②将②代入①得4k2﹣+3＞0，整理得（3+4k2）（4k2﹣8|k|+3）＜0，k≠0，解得＜|k|＜，所以k的取值范围为（﹣，﹣）∪（，）．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CD•CB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）要证CE2=CD•CB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CD•CB，代入CE即可得出CD的长．【解答】（1）证明：连接BE．∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°…∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO …∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，∴，∴CE2=CD•CB …（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=，∴CE=OC﹣OE=﹣1 …由（1）CE2=CD•CB得：（﹣1）2=2CD，∴CD=3﹣…选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．（I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=，即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0．由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．即x2+（y﹣）2=3．（II）由（1）知曲线C的圆心为（0，），半径r=．∴曲线C的圆心到直线l的距离d==．∴|AB|=2=2=2．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式：f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（2）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（1）f（x）=，当x≤﹣2时，由f（x）＞0得﹣x+3＞0，解得x≤﹣2，当﹣2＜x＜时，由f（x）＞0得﹣3x﹣1＞0，解得﹣2＜x＜﹣，当x≥时，由f（x）＞0得x﹣3＞0，解得x＞3，综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣或x＞3}；（2）∵f（x）+3|x+2|=|2x﹣1|+2|x+2|=|1﹣2x|+|2x+4|≥|（1﹣2x）+（2x+4）|=5，∴由题意可知|a﹣1|≤5，解得﹣4≤a≤6，故所求a的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}．2016年9月20日。

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