江苏省南京市高三数学综合训练 练习3 苏教版
高三数学第三次模拟考试试题苏教版
高三年级第三次模拟考试数学试题【考试时间：120分钟分值：160分】参考公式：样本数据12,,,nx x x的方差2211()niis x xn==-∑，其中11niix xn==∑；一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答进程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1、集合{}3,6A=，{}3,9B=，则A B=▲．2、若复数1(4),()z a a i a R=++-∈是实数，则a=▲．3、若是22sin3α=，α为第一象限角，则sin()2πα+=▲．4、已知正六棱锥ABCDEFP-的底面边长为1cm，高为1cm，则棱锥的体积为▲3cm．5、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同窗在样本中，那么还有一个同窗的学号应为▲．6、已知某一组数据8,9,10,11,12，则其方差为▲．7、阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为▲．8、若)(xfy=是概念在R上周期为2的偶函数，当[]1,0∈x时，12)(-=xxf，则函数3()()logg x f x x=-的零点个数为▲．9、若命题“Rx∃∈，使得2(1)10x a x+-+≤”为假命题，则实数a的范围▲．10、在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tan C ＝43，则过点C ，以A ，H 为核心的双曲线的离心率为 ▲ ． 11、设等比数列{}n a 的公比1q ≠，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，n T 表示数列{}n a 的前n 项的乘积，()n T k 表示{}n a 的前n 项中除去第k 项后剩余的1n -项的乘积，即()(),,nn kT T k n k N k n a *=∈≤，则当11a =，2q =，数列()()(){}12n n nn n S T T T T n +++的前n 项的和是 ▲ ．12、已知)(),(x g x f 都是概念在R 上的函数，()0,()()()()g x f x g x f x g x ''≠>,()(),x f x a g x =⋅（01a a >≠且）,(1)(1)5,(1)(1)2f f g g -+=- 在有穷数列)10,,2,1}()()({ =n n g n f 中，任意取正整数k （110k ≤≤），则前k 项和不小于1615的概率是 ▲ ．13、设A ,B ,C 为单位圆O 上不同的三点，则点集{(,)|,A x y OC xOA yOB ==+02,02}x y <<<<所对应的平面区域的面积为 ▲ ．14、函数21()23ln 2f x x tx x =-+，2()3x tg x x +=+，函数()f x 在,x a x b ==处取得极值（0a b <<）， ()g x 在[,]b a --上的最大值比最小值大13，若方程()f x m =有3个不同的解，则函数152m y e +=的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解承诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分14分) 在ABC ∆中，c b a ,,别离是∠A 、∠B 、∠C 的对边, c b a ,,知足222b a c ac =+-(Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ)在区间(0,)B 上任取θ，求cos 12θ<<的概率；（Ⅲ）若AC ＝，求ΔABC 面积的最大值.16、(本小题满分14分)直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； (Ⅱ)求三棱锥C AB A 11-的体积．17、(本小题满分14分)工厂生产某种零件，天天需要固定本钱100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若天天生产的零件能全数售出，每件的销售收入()P x （元）与当天生产的件数x （*x N ∈）之间有以下关系：()23183,01035201331,10x x P x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ,设当天利润为y 元.（Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ)要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总本钱）18、(本小题满分16分) 设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且知足33a 是18a 与5a 的等差中项；等差数列{}n b 知足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围;（Ⅲ）对每一个正整数k ，在ka 和1k a +之间插入kb 个2，取得一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求知足12m m T c +=的所有正整数m .19、(本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，椭圆C 左右核心别离为21,F F ，上极点为E ，21F EF ∆为等边三角形.概念椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若圆1C 的方程为2(2)x a +＋2y ＝2a ，圆1C 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆1C 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 转变时，以ST 为直径的圆2C 是不是通过圆1C 内必然点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点,若点H 、J 的“伴随点”别离是L 、Q,且以LQ 为直径的圆通过坐标原点O.椭圆C 的右极点为D ，试探讨ΔOHJ 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.20、(本小题满分16分)已知函数2()ln(1),()f x ax x a R =++∈． （Ⅰ）设函数(1)y f x =-概念域为D ①求概念域D ；②若函数41()[()ln(1)]()h x x f x x x x =+-++2(0)cx f '++在D 上有零点，求22a c +的最小值； (Ⅱ) 当12a =时，2()(1)(1)(1)2g x f x bf x ab x a '=-+---+，若对任意的],1[e x ∈，都有2()2g x e e ≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）（Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．高三年级第三次模拟考试数学试题（附加题）（满分40分，考试时间30分钟）21、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤A、[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．B、[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵213122A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵B；（Ⅱ）若直线l通过矩阵B变换后的直线方程为730x y-=，求直线l的方程.C、[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程是2cosρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，成立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1,55x ty a t⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=+（t为参数）.若直线l与圆C 相交于P,Q两点，且455PQ=.（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；（Ⅱ）求实数a的值.D 、[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++（Ⅰ）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 22、（本小题满分10分） 已知12310,,,,A A A A 等10所高校举行的自主招生考试，某同窗参加每所高校的考试取得通过的概率均为12.（Ⅰ）若是该同窗10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率； （Ⅱ）假设该同窗参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同窗决定按12310,,,,A A A A 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就再也不参加其它高校的考试，试求该同窗参加考试所需费用ξ的散布列及数学期望. 23、（本小题满分10分） 已知,m n 为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx +≥+；（Ⅱ）对于6n ≥，已知11(1)32n n -<+，求证：1(1)()32n mm n -<+， (1,2,,)m n =；（Ⅲ）求出知足等式345(2)(3)n n nn n n n +++++=+的所有正整数n .高三年级第三次模拟考试参考答案1、{}3,6,9 2、4 3、13 4、 5、20 6、2 7、 8、2 9、(1,3)- 10、2 11、21n - 12、710 13、2514、4(27,)e 15、解：(Ⅰ）由222b ac ac =+-得3B π=-------------------4分；(Ⅱ)由cos 1θ<<，得(0,)4πθ∈，--------------6分所以cos 12θ<<的概率为34-------------8分（Ⅲ）由b =，22212b a c ac ac ==+-≥.4ABC S ac ∆=≤面积的最大值为分16、(Ⅰ）略；--------------8分(Ⅱ)三棱锥C AB A 11-的体积为16．--------------14分17、解：(1) 当0＜x ≤10时，y ＝x(83－x2)－100－2x ＝－x3＋81x －100； 当x ＞10时，y ＝x(－)－2x －100＝－2x －＋420.① 当0＜x ≤10时，y ′＝81－x2，令y ′＝0，得x ＝9 ------- .(9分) 当x ∈(0,9)时，y ′＞0；当x ∈(9,10)时，y ′＜0. ∴ 当x ＝9时，ymax ＝386；(10分)② 当x ＞10时，y ′＝－－2，令y ′＝0，得x ＝11. ------- (12分) 当x ∈(10,11)时，y ′＞0；当x ∈(11，＋∞)时，y ′＜0. ∴ 当x=11时，ymax ＝387.(14分) ∵ x ∈N*，∴ 综合①②知：当x ＝11时，y 取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．------- (14分)18、解： （1）由题意31568a a a =+，则2468q q =+，解得24q =或22q =因为q 为正整数，所以2q =， 又12a =，所以*2()n n a n N =∈------3分2n b n=。
江苏南京市高三年级第三次模拟考试数学试题附含答案解析
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。
【试题】江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
【试题】江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝ ． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．第4题第6题5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式eax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD BC ，则sinBsinC 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ， F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝5，现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，2)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知为a ，b 非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝ ． 答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<， ∴A U B ＝(1，4)． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 答案：2 考点：复数 解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数，∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 答案：60考点：分层抽样 解析：12512006030012001000⨯=++．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．答案：10 考点：伪代码解析：第一步：i ＝1，S ＝1；第一步：i ＝2，S ＝3； 第一步：i ＝3，S ＝6；第一步：i ＝4，S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．考点；三角函数的图像与性质 解析：首先222[()]33πππω=--，解得ω＝1， 又222326k k πππϕπϕπ+=+⇒=-+，k Z ∈，∵22ππϕ-<≤， ∴6πϕ=-，故()2sin()6f x x π=-，所以()2sin()226f πππ=-=．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ． 答案：122n +-考点：等比数列的前n 项和公式，等差中项解析：∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==-- 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a =，则c =，离心率e ＝2c a ==． 9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 答案：83考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥A —B 1CD 1是以V ＝38123⨯=． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ． 答案：[2，4]考点：函数与不等式 解析：首先2, 0()2, 0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，解得11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA u u u r ⊥OB ⇒u u u r D 轨迹为：22max 13x y d +=⇒=⇒d 1＋d 2的最大值为6．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ． 答案：[﹣2，+∞)考点：函数与不等式（恒成立问题） 解析：当0x ≤时，显然成立，b R ∈； 当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln ()ax bx e x ax b b x ex f x +≤⇒≤+⇒≥-=1()ex f x x -'=，易知：max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-； 综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．答案：94-考点：平面向量数量积解析：A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD =u u u r u u u r又2BD DC =u u u r u u u r，故12233AD AB AC AP mAB mAC AB AC λμ=+⇒=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩u u u r u u u r u u u r ， 则7184PB AB AP AB AC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故11719()()84844PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为． 答案：38考点：解三角形综合解析：22222213222a bcbc AD a a +=+=+≤ 22113sin sin sin 228bc a B C A ⇒≤⇒≤=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面P AD ．因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ．又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ．因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3，所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3．(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，BEA COD xy所以2α＋β的值为7π4．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为5危险），其中OB ＝2013tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD 55海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)．(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0．因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险． 答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k | 12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12．由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50 5105－50 550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． 18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)． (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． 19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意． 综上，a 的取值范围为(2，4)．方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4．因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)． 所以，a 的取值范围为(2，4)．(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点．因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0，所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论． 解：（1）由题意知，112n n n a a +=，所以12n n na a +=， 所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n n a -=（2）因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立．因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0， 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意． 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k k kkk a p p a p p p-+-+==+++，k N *∈， 所以2111111(1)()1111n n nn S p p p p p p -=+-++++++++L ， 又因为1p >，所以110p->， 所以2111111(1)()n n n n n S p p p p p p p-<<+-++++L ， 即11(1)n n n n S p p p p<<+-， 因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<， 设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<， 所以存在等差数列{}n c 满足题意．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0．(2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2，所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：曲线C ：(x ﹣1)2＋y 2＝1，直线l ：0x +=圆心C(1，0)到l 的距离设为d ，12d =故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为112++，即32+．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．证明：因为a ，b 为非负实数，3322)a b a b ab +-+=+55]-若a b ≥≥，从而55≥，得55]0-≥，若a b <<，从而55<，得55]0->，综上，3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC故以A 为原点，{AB uuu r ，AC u u u r ，1AA u u ur }为正交基底建立空间直角坐标系设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C(0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )，1B C u u u r ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC u u u u r＝(0，4，a )因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r ，即2160a -=，又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B(3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r(0，0，4λ)，(0,1)λ∈， 则P(3，0，4λ)，则CP u u u r＝(3，﹣4，4λ)AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又AC I AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB uuu r＝(3，0，0) 设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos ,CP AB α=<>=u u u r u u u r，设平面BA 1C 的法向量为n r＝(x ，y ，z )，平面AA 1C 的法向量为AB uuu r ＝(3，0，0)由（1）知：1AC u u u r＝(0，4，﹣4)，BC uuu r ＝(﹣3，4，0)，AC u u u r ＝(0，4，0)， 1340440n BC x y n AC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，令3y =，则n r ＝(4，3，3) 设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>=r u u u r ，因为αβ=，则22298sincos 1162517αβλ+=+=+，无解，故侧棱BB 1上不存在符合题意的点P ．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35， 所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=； （2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5nn n C +⨯前n+1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55nn n C ++⨯⨯ 前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55nn n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55nn n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555nn n n nn n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+L 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n nn n n n n nC C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯L 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯L 1011112122333()[()()]5555n n n nn n n n nC C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯L 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯L01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n n n n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯L 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n nn n n n C C C +++++++=⨯-- 11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-， 所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．。
江苏省南京市高三数学综合训练题
2008届高三数学综合训练题1．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是___________cm 3．2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是________个．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．4．已知P 为抛物线x 2＝14y 上的点，点P 到x 轴的距离比它到y 轴的距离大3，则点P 的坐标是____________．5．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为（0，1），则椭圆方程是__________ ． 6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }． （1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．7．在锐角△ABC 中，sin A ＝35，tan(A －B )＝－ 12．求tan B 及cos C 的值．8．A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点，已知AB ＝BC ＝a ，∠APB ＝90︒，∠BPC＝45︒ ，∠PBA ＝θ．求：（1）tan θ 的值 ；（2）PA →·PC →．P ABC主视图 左视图 （第1题图） 寿命（h ） （第2题图）9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos B cos C ＝－ b2a ＋c ．（1）求角B 的度数；（2）若b ＝19，a ＋c ＝5，求a 和c 的值．10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．11．如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA ．求证：（1）平面AMD ∥平面BPC ；（2）平面PMD ⊥平面PBD ．12．已知点A (－3，1)在椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左准线上．过A 点、斜率为－ 52的光线，经直线y ＝－2反射后经过椭圆的左焦点F ． （1）求椭圆的方程；（2）点P 是直线y ＝－2上的一个动点，求以AP 为直径且经过点F 的圆的方程．13．已知B 2，B 1分别是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F 是C 的右焦点，FB 1＝2，F 到C 的左准线的距离是733．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ，B 2P 与x 轴分别交于点M ，N ．求证：→OM ·→ON 是定值．14．如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为Ｍ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．15．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700 x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000（单位：万元）．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )． （1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？EAB CD A 1B 1C 1D 1 （第10题图）ABC DPM（第11题图）（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 16．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t （百万元），可增加销售额约为－t 2＋5t （百万元）（0≤t ≤5）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x （百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益＝销售额－投放）．17．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？18．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )． （1）如果a ＝l ，求f (x )的极小值；（2）如果a ≥l ，g (x )＝|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．19．设函数f (x )＝2ln x －x 2．（1）求函数f (x )的单调递增区间；（2）设a ∈R ，讨论关于x 的方程f (x )＋2x 2－5x －a ＝0的解的个数．20．已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x ． （1）求函数f (x )的值域；（2）设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，记F (x )的最大值为g (m )，求g (m )的表达式．21．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝2a n 2＋2 a n ，其中n 为正整数． （1）设b n ＝2a n ＋1，证明：数列{b n }是“平方递推数列”，且数列{lg b n }为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”{b n }的前n 项之积为T n ，即T n ＝（2a 1＋1）（2a 2＋1）…（2a n ＋1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式； （3）记c n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{c n }的前n 项之和S n ，并求使S n ＞2008的n 的最小值．22．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．23．已知数列{a n }满足：a 1＝a ，a n +1＝⎩⎨⎧a n ―3，(a n ＞3，n ∈N *)，4－a n ，(a n ≤3，n ∈N *)．（1）若a ＝202，求数列{a n }的前30项和S 30的值；（2）求证：对任意的实数a ，总存在正整数m ，使得当n ＞m （n ∈N *）时，a n +4＝a n 成立．2008届高三数学综合训练题参考答案1．4．2．650．3．x ＝－1或5x ＋12y －31＝0．4．(1，4)或(－1，4)．5．x 212＋ y 24＝1．6．由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．（1）∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．（2）∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．∵A ⊂∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．7．在锐角△ABC 中，∵sin A ＝35，∴cos A ＝45，tan A ＝34．∴tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan(A －B )1＋tan A tan(A －B )＝34－(－12)1＋34×(－12)＝2．∵sin Bcos B ＝tan B ＝2，∴sin B ＝2cos B ．又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴cos 2B ＝15．∵B 为锐角，∴cos B ＝55，sin B ＝255．∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(45×55－35×255)＝2525．8．（1）设BP ＝x ，∵∠APB ＝90︒ ，AB ＝a ，∠PBA ＝θ，∴x ＝a cos θ ．又△BPC 中，BC ＝a ，∠BPC ＝45°，∠BCP ＝θ－45︒ ， a sin45︒ ＝x sin(θ－45︒ )，∴a sin45︒＝a cos θsin(θ－45︒ )．∴sin45︒cos θ＝sin(θ－45︒)， sin45︒ cos θ＝sin θcos45︒ －cos θsin45︒．sin θ＝2cos θ．∴tan θ＝2．（2）∵tan θ＝2＞0，∴θ为锐角，sin θ＝25．又在Rt △ABP 中，AP ＝AB sin θ＝2 a5．因为PA ⊥PB ，所以PA →·PC →＝PA →·(PB →＋BC →)＝PA →·PB →＋PA →·BC →＝PA →·BC →＝－AP →·BC →＝－|AP →|·|BC →|cos(90︒－θ)＝－ 2 a 5⋅ a ⋅(25)＝－45a 2．(2)另解：∵tan θ＝2＞0，∴sin θ＝25，cos θ＝15．△BPC 中，BC ＝a ，PB ＝AB cos θ＝a 5，∴PC 2＝a 2＋(a 5)2－2a ×a 5×cos (π－θ)＝85a 2，所以PC ＝225a ．则PA →·PC →＝|PA →|·|PC →|·cos(90︒＋45︒)＝2 a 5×225a ×(－ 22)＝－45a 2．9．（1）由题设，可得cos B cos C ＝－ sin B2sin A ＋sin C，则－sin B cos C ＝2cos B sin A ＋cos B sin C ．sin B cos C ＋cos B sin C ＋2cos B sin A ＝0，sin(B ＋C)＋2cos B sin A ＝0，sin A ＋2cos B sin A ＝0．因为sin A ≠0 ，所以cos B ＝－ 12，所以B ＝120o ．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴19＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos120o ，∴ac ＝6．又a ＋c ＝5，可解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2．10．（1）证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ．由条件得ABCD 为正方形，故O 为AC 中点．因为E 为CC 1中点，所以OE ∥AC 1．因为OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/平面BDE ．所以AC 1∥平面BDE ．（2）连接B 1E ．设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ＝2a ，BB 1＝2a ．所以BE 2＋B 1E 2＝BB 12．所以B 1E ⊥BE ．由正四棱柱得，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE ．所以BE ⊥平面A 1B 1E ．所以A 1E ⊥BE ．同理A 1E ⊥DE ．所以A 1E ⊥平面BDE ．11．（1）证明：因为PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，所以PB ∥MA ．因PB ⊂平面BPC ，MA ⊂/平面BPC ，所以MA ∥平面BPC ．同理DA ∥平面BPC ，因为MA ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，MA ∩AD ＝A ，所以平面AMD ∥平面BPC ．（2）连接AC ，设AC ∩BD ＝E ，取PD 中点F ，连接EF ，MF ．因ABCD 为正方形，所以E为BD 中点．因为F 为PD 中点，所以EF ∥=12PB ．因为AM ∥=12PB ，所以AM ∥=EF ．所以AEFM 为平行四边形．所以MF ∥AE ．因为PB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥AE ．所以MF ⊥PB ．因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ．所以MF ⊥BD ．所以MF ⊥平面PBD ．又MF ⊂平面PMD ．所以平面PMD ⊥平面PBD ． 12．（1）由题意，得A 关于直线y ＝－2的对称点为A '(－3，－5)．由k AF ＝－ 52，得k A ’F ＝52．∴A 'F 的方程为y ＋5＝52(x ＋3)，即y ＝52x ＋52．∵A 'F 过点F (－c ，0)，∴c ＝1．∵a 2c ＝3，∴a 2＝3，b 2＝2．∴椭圆的方程是x 23＋y 22＝1．（2）设P (m ，－2)．由题意，得→FA ·→FP ＝0，即－2m －2－2＝0．∴m ＝－2．∴P (－2，－2)．∴以AP 为直径的圆的方程是( x ＋ 52 )2＋( y ＋ 12)2＝52．13．（1）设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得，FB 1＝a ＝2，c ＋a 2c ＝733，所以a＝2，c ＝3，b ＝1．所以所求的椭圆方程为x 24＋ y 2＝1．（2）设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，直线B 1P ：y ＋1y 0＋1＝x x 0．令y ＝0得x ＝x 0y 0＋1，即M (x 0y 0＋1，0)．直线B 2P ：y －1y 0－1＝x x 0，令y ＝0得x ＝－ x 0y 0－1，即N (－ x 0y 0－1，0)∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1．∵x 024＋y 02＝1，∴1－y 02＝x 024，∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1＝4．EA B CD A 1 B 1C 1D 1O A BC DP M FE即−→OM ⋅−→ON 为定值．14．（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧a 2c ＝4，a 2c－c ＝3．∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．∴b ＝3．所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y 23＝1．（2）由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝12PM ．∴PF ≠PM ．①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．②若FM ＝PM ，设P (x ，y )(x ≠±2)，则M (4，y )．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16－8x＋x 2，又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2．∴9＋3－34x 2＝16－8x ＋x 2，∴74x 2－8x ＋4＝0．∴7x 2－32x ＋16＝0．∴x ＝47或x ＝4．∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47．∴P (47，±3157)．综上，存在点P (47，±3157)，使得△PFM 为等腰三角形．15．（1）P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000 (x ∈N *，且1≤x ≤20)，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275 (x ∈N *，且1≤x ≤19)． (2) P ’(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)；∴当0＜x ＜12时，P (x )＞0，当x ＞12时，P (x )＜0，∴当x ＝12时，P (x )有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． （3）∵MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.∴1≤x ≤19时，MP (x )是减函数，其实际意义是随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘相比，在减少．16．（1）设投入t （t 百万元）的广告费后增加的收益为f (t )（百万元），则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)，所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（2）设用技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的资金为(3－x )（百万元），则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－ 13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g '(x )＝－x 2＋4．令g '(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去）．又当0≤x ＜2时，g '(x )＞0，当2＜x ≤3时，g '(x )＜0．故g (x )在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．17．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ．因为h ＞0，所以0＜R ＜33V 2π．设总造价为y ，则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa (32R 2＋Rh )＝a (32πR 2＋V R －23πR 2)＝a (56πR 2＋V R )．y '＝a (53πR －VR 2)＝5π aR 3－3a V 3R 2，令y '＝0得R＝33V5π，当R ∈(0，33V5π）时，y '＜0，y 为减函数；当R ∈(33V 5π，33V2π)时，y '＞0，y 为增函数．所以当R ＝33V5π时，y 有最小值． 答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R ＝33V5π时，造价最低． 18．（1）∵当a ＝1时，f ′ (x )＝3x 2－3，令f ′ (x )＝0，得x ＝－1或x ＝1．当x ∈(－1，1)时，f ′ (x )＜0，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′ (x )＞0． ∴f (x )在(－∞，－1)单调递增，在(－1，1)上单调递减，在 (1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝－2．（2）因为g (x )＝|f (x )|＝| x 3－3ax |在[－1，1]上为偶函数，所以只求在[0，1]上最大值．当a ≥1时，f ′ (x )＝3(x ＋a )(x －a )．列表如下：∵a ≥1，∴a ≥1．当x ∈(0，1)时，f ′ (x )＜0．∴f (x )在(0，1)上单调递减，f (x )＜f (0)＝0． ∴当x ∈(0，1)时，g (x )＝－f (x )＝－x 3＋3ax ．∴g ′ (x )＝－f ′ (x )＞0．∴g (x )在(0，1)上单调递增．∴当x ∈[0，1]时，F (a )＝g (1)＝3a －1．19．（1）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′ (x )＝2(1x －x )＝2(1＋x )(1－x )x．∵x ＞0，则使f ′ (x )＞0的x 的取值范围为(0，1)，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)． （2）∵f (x )＝2ln x －x 2．∴f (x )＋2x 2－5x －a ＝0⇔a ＝2ln x ＋x 2－5x ．令g (x )＝2ln x ＋x 2－5x ，∴g ′ (x )＝2x ＋2x －5＝(2x －1)(x －2)x．∵x ＞0∴g (x )在(0，12)，(2，＋∞)上单调递增，在(12，2)上单调递减．∵g (12)＝－2ln2－94，g (2)＝2ln2－6，∴x ∈(0，12)时，g (x )∈(－∞，－2ln2－94)；x ∈(12，2)时，g (x )∈(2ln2－6，－2ln2－94)；x ∈(2，＋∞)时，g (x )∈(2ln2－6，＋∞)．∴当a ∈(－2ln2－94，＋∞)∪(－∞，2ln2－6)时，方程有一解；当a ＝－2ln2－94或a ＝2ln2－6时，方程有两解；当a ∈(2ln2－6，－2ln2－94)时，方程有三解．20．（1）要使f (x )有意义，必须1＋x ≥0且1－x ≥0，即－1≤x ≤1．∵[f (x )]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f (x )≥0，∴f (x )的值域是[2，2]．（2）设f (x )＝t ，则1－x 2＝12t 2－1，∴F (x )＝m (12t 2－1)＋t ＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]．由题意知g (m )即为函数h (t )＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]的最大值，∵直线t ＝－ 1m 是抛物线h (t )＝12mt 2＋t －m 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当m ＞0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t ＝－ 1m＜0知h (t )在[2，2]上单调递增，故g (m )＝h (2)＝m ＋2；②当m ＝0时，h (t )＝t 在[2，2]上单调递增，有g (m )＝h (2)＝m ＋2＝2； ③当m ＜0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，若t ＝－ 1m ∈(0，2]，即m ≤－ 22时，g (m )＝h (2)＝2；若t ＝－ 1m ∈(2，2]，即m ∈(－ 2 2，－12]时，g (m )＝h (－ 1m )＝－m －12m ；若t ＝－ 1m ∈(2，＋∞)，即m ∈(－12，0)时，g (m )＝h (2)＝m ＋2．综上所述，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2，m ＞－12，－m －12m ，－22＜m ≤－12，2，m ≤－ 22．21．（1）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．（2）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg5，∴2a n ＋1＝52n－1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5⋅(1－2n )1－2＝(2n －1)lg5．∴T n ＝52n －1．（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg52n －1lg5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴S n ＝2n －[1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1]＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2[1－⎝⎛⎭⎫12n]＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n． 由S n ＞2008得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞2008，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，当n ≤1004时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＜1005，当n ≥1005时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，∴n 的最小值为1005．22．(1)∵点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)．∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13． ∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)．解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )．23．(1) ∵a ＝202＝3×9＋(202－27)，当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3，∴a 1，a 2，a 3，…，a 10，是首项为202、公差为―3的等差数列． ∵a 10＝202－27∈(1，3)，当a n ≤3时，a n +1＝4－a n ， ∴当n ≥10时，a n ∈(1，3)，且a n +1＋a n ＝4．∴S 30＝( a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12)＋…＋(a 29＋a 30) ＝10·202－135＋4×10＝2002－95． (2) ∵当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3．(Ⅰ)当a ＞3时，不妨设a ＝3k ＋p (k ∈N *，0≤p ＜3)，由a n +1＝a n ―3，得a 1，a 2，a 3，…，a k +1成等差数列，a k +1＝p ∈[0，3)． ①当p ＝0时，则有a k +2＝4，a k +3＝1，a k +4＝3，a k +5＝1，…∴存在正整数m ＝k ＋2，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，则a n +4＝ a n 成立．②当0＜p ＜1时，则有a k +2＝4－p ∈(3，4)，a k +3＝1－p ∈(0，1)，a k +4＝3＋p ∈(3，4)， a k +5＝p ∈(0，1)，…，∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +4＝ a n 成立． ③当p ＝1时，则有a k +2＝3，a k +3＝1，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，则a n +4＝ a n 成立． ④当1＜p ＜3时，则有a k +2＝4－p ∈(1，3)，a k +3＝p ∈(1，3)，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，则a n +4＝a n 成立． (Ⅱ)当a ＝3时，a 2＝1，由(2) (Ⅰ) ③知命题成立． (Ⅲ)当0＜a ＜3时，由(2) (Ⅰ) ②③④知命题成立．(Ⅳ)当a＝0时，由(2) (Ⅰ) ①知命题成立．(Ⅴ)当a＜0时，则a2＝4－a＞3，由(2) 知命题成立．综上得：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n＞m(n∈N*)时，a n+4＝a n成立．。
精品解析：江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ． 3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ．7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ． 8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ．9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ． 10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ． 12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE的值；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作 两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求b a的值； （2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． 南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点 (3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD ． （1）若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ； （2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．。
南京市2022届高三年级第三次模拟考试数学试题参考答案 (1)
易得A(1，0，0)，C(0，2 ，0)，
D(1，3 ，0)，P(0，0， )，
所以 ＝(0，2 ，－ )， ＝(－1，0， )，
＝(0，3 ，0)．5分
设 ＝λ ＝(0，2 λ，－ λ)，λ∈[0，1]，
则 ＝ ＋ ＝(－1，2 λ， － λ)．6分
因为x1≠t，所以x1＝－t③．11分
由①②③，得3t2＋4t－20＝0，解得t1＝2，t2＝－ ．
所以，点P的坐标为(2，－3)或(－ ，－ )．12分
所以∠PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角．
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90º，所以∠PEC＝90º，即PE⊥CE．2分
又PE⊥AE，AE∩CE＝E，AE平面AECD，CE平面AECD，所以PE⊥平面AECD．
因为CD平面AECD，所以PE⊥CD．4分
（2）方法1
由（1）得PE⊥平面AECD，AE⊥EC，
由(*)式得e ＝，代入(**)式得m＝＝．
因为x0∈(1，2)，且函数y＝在(1，2)上递减，
所以m＝∈(2，3)．10分
方法1
由(*)式得(x0－1)e ＝x02e －3，代入(**)式得m＝＝x0e ．
因为x0∈(1，2)，且函数y＝xex在(1，2)上递增，所以m＝x0e ＞e．12分
方法2
所以切线PA的方程为y－ ＝ (x－1)，即y＝ x－ ．
联立方程组 解得x＝ ，y＝ ，即P( ， )．3分
所以AP＝ |1－ |＝ ．4分
方法2
设切线PA的方程为y－ ＝k(x－1)，即y＝kx－k＋ ．
联立方程组 消元y，得x2－4kx＋(4k－1)＝0．
苏教版高三数学综合练习
第7题图1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U 2. 复数4312i i++的虚部为 .3. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则该样本的方差是 .4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，则及格人数是 800 ；第4题图5. 下列命题中 （ ）① 三点确定一个平面；② 若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直于一条直线的两条直线平行； ④ 底面边长为2的正四棱锥的表面积为12.正确的个数为 （ 1 ）6. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差.______=d 327.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于3608. 已知椭圆2215xym+=的离心率5e =，则m 的值为253或39. 把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为1sin(),26y x x π=+∈R10.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内的随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为 112π-11. 已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4= a b ，则12x y+的最小值为9412.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ， 表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为 6 .13. 等比数列{}n a 中，181,2,a a ==函数128()()()()f x x x a x a x a =--- ，则'(0)f =16 。
14. 已知函数 ()f x 的定义域为R ，且对任意Zx ∈，都有()(1)(1)f x f x f x =-++。
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(含解析)
3 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO． 2
（1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
3
19．（本题满分 16 分）
已知函数
f
(x)
=
x2
ex − ax + a
的离心率为
．
9．若正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A—B1CD1 的体积为
．
1
10．已知函数
f
(x)
=
x
f
+ 2, x (−x),
0 x
0
，
g
(
x)
=
f
(x − 2) ，若 g(x −1) 1 ，则实数 x
的取值
范围为
．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝2 上两个动点，且 OA ⊥ OB ，若 A，
(a R)，其中
e
为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）若函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (2) f (a) ，求 a 的取值范围；
（3）证明：对任意 a (2，4)，曲线 y = f (x) 上有且仅有三个不同的点，在这三点处
的切线经过坐标原点．
20．（本题满分 16 分）
)部分图象如图所示，则
f(
)
2
2
2
的值为
．Leabharlann 7．已知数列an 为等比数列，若 a1 = 2 ，且 a1 ，a2 ，a3 − 2 成等差数列，则an 的前 n 项
江苏省南京市高三数学第三次模拟考试苏教版
南京市2015届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x1，x2，…，xn 的方差s2＝1n i ＝1∑n (xi －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nxi ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知复数z ＝2i1－i －1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次 训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员 是 ▲ ． 6．记不等式x2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：－y23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中，ABC ＝120，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD·BE 的值为 ▲ ． 10．记等差数列{an}的前n 项和为Sn ．若Sk －1＝8，Sk ＝0，Sk ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ．甲 乙 89 7 8 93 1 0 6 9 7 8 9 （第5题图）N S ←40 开始k ←1k ←k ＋1 S ≤0 Y输出k结束S ←S －2k （第4题图）11．若将函数f(x)＝∣sin(x －6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数的最小值是 ▲ ．12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f(x)＝x2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t]，都有f(x)∈[－a ，a]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ． （1）求角A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围． 16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ， E 为PA 的中点．（1）求证：BE ∥平面PCD ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记AOP ＝， ∈(0，π)． （1）当 ＝23 时，求点P 距地面的高度PQ ； （2）试确定 的值，使得MPN 取得最大值．（第16题图）P A B CD E BO P18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F1、F2，右准线 l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF2＝m ． （1）已知点(62，1)在椭圆C 上，求实数m 的值； （2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ， 若AM → ＝λAP →，BM →＝BQ →，求证：λ＋为定值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x2－x ＋t ，t ≥0，g(x)＝lnx ． （1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；（2）直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由． 20．（本小题满分16分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n 项的和为Sn ，且对任意的m ，n ∈N*， 都有(Sm ＋n ＋S1)2＝4a2ma2n ． （1）求a2a1的值；（2）求证：{an}为等比数列；（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an ，p(p ≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p 项的和分别为Tp ，Rp ，且Tp ＝Rp ，求证：对任意正整数k(1≤k ≤p)，ck ＝dk ．南京市2015届高三年级第三次模拟考试xy AOBMPQ（第18题图）F 2F 1l数学附加题 2015.05 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE· CD ＝BD· CE ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ：x －y ＋2a ＝0． （1）求实数a 的值； （2）求A2．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆C ：＝ 4 cos 与直线l ：＝4 (∈R)交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x2－2xy ＋y2≥2y ＋3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA 平面ABCD ，AD ∥BC ，ABAD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝PA＝2．PA DO（第21A 题图）（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； （2）求二面角A －PD －C 的余弦值． 23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合Pn ＝{1，2，3，…，n} (n ≥3，n ∈N*)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f(n)． （1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n 的式子表示）．南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2015.05 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．9 11．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2} 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ， 即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从而sinB ＝2sinBcosA ． ………………………… 4分 因为sinB ≠0，所以cosA ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分 （2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(2π3－B)＝sinB ＋sin 2π3cosB －cos 2π3sinB＝32sinB ＋32cosB ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ． 因为E 为PA 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ． 因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ．所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分 因为BE 平面PCD ，CF 平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分 （2）因为AB ＝PB ，E 为PA 的中点，所以PA ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以PA ⊥CF ． ………………………… 9分 因为PA ⊥PD ，PD 平面PCD ，CF 平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以PA ⊥平面PCD ． ………………………… 12分 因为PA 平面PAB ，所以平面PAB 平面PCD ． ………………………… 14分 17．解：（1）由题意，得PQ ＝50－50cos ． 从而，当 ＝23 时，PQ ＝50－50cos 23＝75．即点P 距地面的高度为75m ． ………………………… 4分 （2）（方法一）由题意，得AQ ＝50sin ，从而MQ ＝60－50sin ，NQ ＝300－50sin ．又PQ ＝50－50cos ，所以tan NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin 1－cos ，tan MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin5－5cos ．………………………… 6分从而tan MPN ＝tan(NPQ －MPQ)＝tan NPQ －tan MPQ1＋tan NPQ tan MPQ ＝6－sin 1－cos －6－5sin5－5cos 1＋6－sin 1－cos × 6－5sin5－5cos ＝12(1－cos )23－18sin －5cos． ………………………… 9分令g( )＝12(1－cos )23－18sin －5cos ，∈(0，π)，则g ()＝12×18(sin ＋cos －1)(23－18sin －5cos )2 ，∈(0，π)．由g()＝0，得sin＋cos－1＝0，解得 ＝ 2．PAB C DEF（第16题图）………………………… 11分 当 ∈(0，2)时，g ( )＞0，g( )为增函数；当 ∈(2，)时，g( )＜0，g( )为减函数，所以，当 ＝ 2时，g( )有极大值，也为最大值．因为0＜MPQ ＜NPQ ＜2，所以0＜MPN ＜2，从而当g( )＝tan MPN 取得最大值时，MPN 取得最大值．即当 ＝ 2时，MPN 取得最大值． ………………………… 14分（方法二）以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x2＋(y －50)2＝502，即x2＋y2－100y ＝0，点M(60，0)，N(300，0)． 设点P 的坐标为 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0． 从而tan NPQ ＝NQ PQ ＝300－x0y0 ，tan MPQ ＝MQ PQ ＝60－x0y0 ． ………………………… 6分 从而tan MPN ＝tan(NPQ －MPQ)＝tan NPQ －tan MPQ1＋tan NPQ tan MPQ ＝300－x0y0 － 60－x0y01＋300－x0y0 × 60－x0y0 ＝24y010y0－36x0＋1800．由题意知，x0＝50sin ，y0＝50－50cos，所以tanMPN ＝＝12(1－cos )23－18sin －5cos． ………………………… 9分（下同方法一）18．解：（1）设椭圆C 的方程为 x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝m ＋1，b2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x2m ＋1＋y2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12 (舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分 （2）①设点T(x ，y)．由TATF1＝2，得(x ＋2)2＋y2＝2[(x ＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． ………………… 6分由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝2，x2m ＋1＋y2m＝1， 得y2＝m2－m ． 因此0≤m2－m ≤m ，解得1≤m ≤2． 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分 ②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则AM ＝(x0＋2，y0)，AP ＝(x1＋2，y1)． 由AM ＝AP ， 得 ⎩⎨⎧x0＋2＝(x1＋2)，y0＝y1．从而⎩⎨⎧x0＝x1＋2(－1)，y0＝y1．………………………… 12分因为x022＋y02＝1，所以[x1＋2(－1)]22＋(y1)2＝1．即2(x122＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．因为 x122＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x1＝－3－12，所以x0＝－32．同理可得x0＝－＋32． ………………………… 14分 因此－32＝－＋32，所以＋＝6． ………………………… 16分 （方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直线AM 的方程为y ＝y0x0＋2(x ＋2)．将y ＝y0x0＋2(x ＋2)代入x22＋y2＝1，得(12(x0＋2)2＋y 20)x2＋4y 20x ＋4y 20－(x0＋2)2 ＝0(*)． 因为x022＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4y 20x －3x 20－4x0＝0． 因为x0x1＝－3x 20＋4x02x0＋3，所以x1＝－3x0＋42x0＋3．同理x2＝3x0－42x0－3． ………………………… 14分因为AM ＝AP ，BM →＝BQ →，所以＋＝x0＋2x1＋2＋x0－2x1－2＝x0＋2－3x0＋42x0＋3＋2＋x0－23x0－42x0－3－2＝(x0＋2)(2x0＋3)x0＋2＋(x0－2)(2x0－3)－x0＋2＝6．即λ＋为定值6． ………………………… 16分 19．解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x ＋t ＋lnx ，得h' (x)＝2x －1＋1x ，x ＞0． 因为2x ＋1x ≥22x·1x ＝22，所以h' (x)＞0，从而函数h(x)是增函数． ………………………… 3分（2）记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，x12－x1＋t)，(x2，lnx2)，由f'(x)＝2x －1，得l 的方程为y －(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x －x1)，即y ＝(2x1－1)x －x12＋t ． 由g'(x)＝1x ，得l 的方程为y －lnx2＝1x2(x －x2)，即y ＝1x2· x ＋lnx2－1．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x1－1＝1x2，－x12＋t ＝lnx2－1．(*)消去x1得lnx2＋(1＋x2)24x22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分 令F(x)＝lnx ＋(1＋x)24x2－(t ＋1)，则F'(x)＝1x －1＋x 2x3＝2x2－x －12x3＝(2x ＋1)(x －1)2x3，x ＞0． 由F'(x)＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x)＜0，当x ＞1时，F'(x)＞0，所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)min ＝F(1)＝－t ． ………………………… 9分 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分 当t ＞0时，F(1)＜0，由于F(et ＋1)＞ln(et ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分 令k(x)＝lnx ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x)＝1x －1x2＝x －1x2≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减， 故当0＜x ＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx ＞1－1x ， 从而lnx ＋(1＋x)24x2 －(t ＋1)＞(12x －12)2－t ．所以F(12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1； 当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2． ………………………… 16分20．解：（1）由(Sm ＋n ＋S1)2＝4a2na2m ，得(S2＋S1)2＝4a 22，即(a2＋2a1)2＝4a 22． 因为a1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即a2a1＝2． ………………………… 3分 证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S3＋S1)2＝4a2a4，即(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4， 令m ＝n ＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4． 所以a4＝4a2＝8a1．又因为a2a1＝2，所以a3＝4a1． ………………………… 6分 由(Sm ＋n ＋S1)2＝4a2na2m ，得(Sn ＋1＋S1)2＝4a2na2，(Sn ＋2＋S1)2＝4a2na4． 两式相除，得(Sn ＋2＋S1)2(Sn ＋1＋S1)2＝a4a2，所以Sn ＋2＋S1Sn ＋1＋S1＝a4a2＝2．即Sn ＋2＋S1＝2(Sn ＋1＋S1)， 从而Sn ＋3＋S1＝2(Sn ＋2＋S1)．所以an ＋3＝2an ＋2，故当n ≥3时，{an}是公比为2的等比数列． 又因为a3＝2a2＝4a1，从而an ＝a1·2 n －1，n ∈N*． 显然，an ＝a1·2 n －1满足题设，因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(Sm ＋n ＋S1)2＝4a2na2m 中，令m ＝n ，得S2n ＋S1＝2a2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S2n ＋1＋S1＝2a2na2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S2n ＋2＋S1＝2a2n ＋2． ③ ②－①，得a2n ＋1＝2a2na2n ＋2－2a2n ＝2a2n(a2n ＋2－a2n)， ④ ③－②，得a2n ＋2＝2a2n ＋2－2a2na2n ＋2＝2a2n ＋2(a2n ＋2－a2n)， ⑤ 由④⑤得a2n ＋1＝a2na2n ＋2． ⑥ ………………………… 8分⑥代入④，得a2n ＋1＝2a2n ；⑥代入⑤得a2n ＋2＝2a2n ＋1， 所以a2n ＋2a2n ＋1＝a2n ＋1a2n ＝2．又a2a1＝2，从而an ＝a1·2 n －1，n ∈N*． 显然，an ＝a1·2 n －1满足题设，因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，an ＝a1·2 n －1．因为|cp|＝|dp|＝a1·2p －1，所以cp ＝dp 或cp ＝－dp ． 若cp ＝－dp ，不妨设cp ＞0，dp ＜0，则Tp ≥a1·2p －1－(a1·2p －2＋a1·2p －3＋…＋a1)＝a1·2p －1－a1·(2p －1－1)＝a1＞0． Rp ≤－a1·2p －1＋(a1·2p －2＋a1·2p －3＋…＋a1)＝－a1·2p －1＋a1·(2p －1－1)＝－a1＜0．这与Tp ＝Rp 矛盾，所以cp ＝dp ． 从而Tp －1＝Rp －1．由上证明，同理可得cp －1＝dp －1．如此下去，可得cp －2＝dp －2，cp －3＝dp －3．…，c1＝d1．即对任意正整数k(1≤k ≤p)，ck ＝dk ． ………………………… 16分南京市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以ABD ＝AEB ． 又因为BAD ＝EAB ，所以△BAD ∽△EAB ． 所以BD BE ＝AB AE ． ………………………… 5分 同理，CD CE ＝AC AE .．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ．因此BD BE ＝CD CE ，即BE· CD ＝BD· CE ． ………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M0(x0，y0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l 上点M(x ，y)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax0＋y0x0＋ay0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax0＋y0，y ＝x0＋ay0．………………………… 3分 代入l 方程得(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋2a ＝0，即(a －1)x0－(a －1)y0＋2a ＝0．因为(x0，y0)满足x0－y0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分 （2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A2＝⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解： 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得 圆C 的直角坐标方程 x2＋y2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程 y ＝x ． ………………………… 4分 由⎩⎨⎧x2＋y2－4x ＝0，y ＝x ， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2．所以A(0，0)，B(2，2)．从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x2＋y2＝2x ＋2y ． ………………………… 7分将其化为极坐标方程为：2－2(cos ＋sin )＝0，即＝2(cos ＋sin )．…………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y)＋(x －y)＋1(x －y)2＋2y ≥33 (x －y)(x －y)1(x －y)2＋2y ＝2y ＋3＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解：（1）因为PA 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以PA AB ，PA AD ．又AD AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．根据条件得AD ＝3．所以B(1，0，0)，D(0，3，0)，C(1，233，0)，P(0，0，2)．从而BD ＝(－1，3，0)，PC ＝(1，233，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为 ，则cos ＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|BD PC ∣BD ∣∣PC ∣|＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738． 即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分（2）因为AB 平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为 AB ＝(1，0，0)． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n PC ，n PD ，PC ＝(1，233，－2)，PD ＝(0，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分 设二面角A －PD －C 的大小为，PA B C D x y z则cos ＝cos ＜AB ，n ＞＝AB · n ∣AB ∣×∣n ∣＝(1，0，0)·(2，23，3)1×5＝25． 即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分23．解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2； ………………………… 2分（2）设A0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n3}，A1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}，A2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k ．k ＝1，2时，f(n)＝(C 1k )3＝k3；k ≥3时，f(n)＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k3－32k2＋k ．从而 f(n)＝118n3－16n2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A0∣＝k －1，∣A1∣＝∣A2∣＝k ．k ＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；k ＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f(n)＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k3－3k2＋52k －1；从而 f(n)＝118n3－16n2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分③当n ＝3k －2时，∣A0∣＝k －1，∣A1∣＝k －1，∣A2∣＝k ．k ＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2；k ＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f(n)＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k3－92k2＋5k －2；从而 f(n)＝118n3－16n2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． 所以f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧118n3－16n2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n3－16n2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n3－16n2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．…………………… 10分。
江苏省南京市2024高三冲刺(高考数学)苏教版测试(综合卷)完整试卷
江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题双曲线的离心率e的可能取值为（）A．B．C．D．3第(2)题如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（）A．平面B．平面平面C．平面D．平面内存在与平行的直线第(3)题甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.A．18B．24C．36D．48第(4)题如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中环的概率为（）A．B．C．D．第(5)题设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．第(6)题在中，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(8)题已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．为增函数C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为D．第(2)题已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（）A．数列有最小项，且有最大项B．使的项共有项C．满足的的值共有个D．使取得最小值的为4第(3)题某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（）A．该圆台轴截面ABCD的面积为B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．该圆台有内切球，且半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.第(2)题已知复数满足，则______第(3)题在锐角△ABC中，，D点在线段BC上，且BD=2DC，，则△ABC的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.方案A：逐个抽血化验；方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）第(2)题如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．(1)证明：平面；(2)若，，且，，求二面角的余弦值．第(3)题已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.(1)求证：；(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.第(4)题某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品”(1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率；(2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望.第(5)题种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天颗某种种子浸泡后的发芽数，如下表：日期3月12日3月13日3月14日3月15日3月16日昼夜温差（）发芽数（颗）(1)从3月12日至3月16日中任选天，记发芽的种子数分别为，，求事件“,均不小于”的概率；(2)请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出关于的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（2）中的回归方程是否可靠？。
江苏省南京市2024高三冲刺(高考数学)苏教版考试(综合卷)完整试卷
江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知全集，集合，则集合（）A．B．C．D．第(2)题在室温下，某型号硅二极管的伏安特性曲线可用公式来表示，其中I是导通电流，规定时视为二极管关断，否则视为二极管开通，U是加在二极管两端的电压．若在室温下，分别在该型号二级管两端加正向电压（即）和反向电压（即），则此时二极管的状态分别为（）A．开通、开通B．关断、关断C．开通、关断D．关断、开通第(3)题已知向量，，若在方向上的投影向量为，则实数m的值为（）A．B．1C．D．2第(4)题设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“l m且l n”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A．20B．27C．32D．40第(6)题已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（）A．B．C．D．第(7)题若二面角为，直线，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列满足，且，等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（）A．－36B．－54C．－81D．－108第(2)题在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A．若，则的外接圆的面积为B ．若，且有两解，则b的取值范围为C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．若，且，O为的内心，则的面积为第(3)题若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，1680年卡西尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：（）．若斐波那契数列满足，则下列结论正确的是（）A．k可以是任意正奇数B．k可以是任意正偶数C．若k是奇数，则k的最大值是999D．若k是偶数，则k的最大值是500三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若双曲线的渐近线与圆相切，则_______．第(2)题已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为______．第(3)题命题“，”的否定为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题记函数的导函数为，已知，.(1)求实数的值；(2)求在的值域.第(2)题已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同.(1)从1号箱中不放回地依次取2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；(2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率.第(3)题某高科技研发公司生产某种过滤材料，该过滤材料主要质量指标是对直径为的漂浮固体颗粒的过滤效率达到0.95以上．当前市场供应紧缺．该公司要扩大产能，在原来A生产线的基础上，增设B生产线，为了监控该过滤材料生产线的生产过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取该过滤材料检测过滤效率公司规定过滤效率大于0.970的产品为一等品，并根据检验员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价，下面是检验员某一天抽取的20个该过滤材料的过滤效率值：生产线过滤效率序号12345678910过滤效率生产线过滤效率序号12345678910过滤效率（1）根据检验员抽测的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关？生产线产品是一等品产品不是一等品总计总计（2）在这20件产品中，从两条生产线生产的产品中各随机抽取1件，求恰有一件为一等品的概率．附，其中第(4)题《黄帝内经》中十二时辰养生法认为，子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，往往沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10.1%9.2%211.1%47.4%334.6%31.6%448.6%11.8%5 5.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数中位数与晚睡人群睡眠指数中位数分别在第几组，并说明理由；(2)据统计，睡眠指数在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数在区间内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．第(5)题已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．。
江苏省南京市2024高三冲刺(高考数学)苏教版模拟(综合卷)完整试卷
江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设全集，集合，则下列关系中正确的是A．B．C．D．第(2)题已知集合，，则子集的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(3)题已知，，，则（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c第(4)题如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为A．B．C．D．第(5)题设函数的图象关于直线对称，则的值为A．B．C．D．第(6)题过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（）A．2B．4C．6D．8第(7)题如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（）A．B．1C．D．2第(8)题已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．B．2C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（不含端点），过三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（）A．正方体被平面所截得的截面形状为梯形B．存在一点，使得点和点到平面的距离相等C．正方体被平面所截得的截面的面积随着线段的长度的增大而增大D ．当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，是的中点第(2)题早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（）A．的最小值是B．的最小值为3C．的最大值为3D．的最小值是2第(3)题已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（）A．B．有3个零点C．的对称中心是D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知两个正四棱锥与均内接于球，满足和，则球的体积为__________．第(2)题在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，则角的大小为___________.第(3)题已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数．(1)对以下两个数表，，写出，，，的值；111111111111111111111111111(2)若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：；(3)当时，求的最小值．第(2)题某产品生产厂家的月生产能力不超过一千件．根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的规律：每生产产品（百件）其总成本为万元，其中固定成本2万元，并且每生产一百件产品的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．而销售收入满足，假定该产品的产销平衡，那么根据上述统计规律，求：（1）使工厂有盈利，产量应控制在什么范围？（2）生产多少件产品时，盈利最多？最多盈利是多少？第(3)题某普通高中共有36个班，每班40名学生，每名学生都有且只有一部手机，为了解该校学生对两种品牌手机的持有率及满意度情况，校学生会随机抽取了该校6个班的学生进行统计, 得到每班持有两种品牌手机人数的茎叶图以及这些学生对自己所持手机的满意度统计表如下：（Ⅰ）随机选取1名该校学生，估计该生持有A品牌手机的概率；（Ⅱ）随机选取1名该校学生，估计该生持有A或品牌手机且感到满意的概率；（Ⅲ）两种品牌的手机哪种市场前景更好?（直接写出结果，不必证明）第(4)题已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明．第(5)题今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．。
江苏省南京市(新版)2024高考数学苏教版模拟(综合卷)完整试卷
江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知，数列中，，，为数列的前项和，，则（）A．3B．4C．5D．6第(3)题已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．第(4)题已知等差数列的前n项和为，且，则的值为（）A．24B．21C．16D．14第(5)题命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题根据近五年的资料显示，某村庄月光照量（小时）的统计数据（注：月光照量指的是当月的阳光照射总时长）以及在适合温度下，月光照量与草莓花芽分化的概率的关系，表格如下：（小时）月份数271815草莓花芽分化的概率0.900.950.80该村庄现有一批草莓，根据上表，试估计在适合温度下，草莓花芽分化的概率为（）A．0.85B．0.89C．0.91D．0.95第(7)题安排A，B，C，D，E，F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，则安排方法共有（）种A．60B．61C．62D．63第(8)题已知集合，，则（）．A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（）A．直线与圆相离B ．当为两定点时，满足的点有2个C．当时，的最大值是D．当为圆的两条切线时，直线过定点第(2)题已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题某校举行学习党史知识比赛，甲、乙两个班各有10名同学参加，根据成绩绘制茎叶图如下，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某产品生产厂家的市场部在对家商城进行调研时，获得该产品售价(元/件)和销售量(万件)之间的四组数据如表所示.售价(元/件)销售量(万件)为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量与售价之间的线性回归方程为：，若售价为元/件，则销售量约为___________万件.第(2)题已知，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则对应数阵中的数是__________．第(3)题直线截圆得到的劣弧所对的圆心角为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点.(1)求证: 平面;(2)求平面与平面所成角的大小.第(2)题某企业生产经营的某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：x（万元）24568y（万元）3040605070(1)求x与y的相关系数（精确到0.01）；(2)当广告费支出每增加1万元时，求销售额平均增加多少万元．附：相关系数回归方程的最小二乘估计公式为，；．第(3)题已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；(2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．第(4)题如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为DC中点，以AE为折痕把折起，使得点D到达点P的位置，且二面角P－AE－C的余弦值为．(1)证明：；(2)求直线PE与平面PBC所成的角．第(5)题在中，角的对边分别为，，，且．(1)求的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：，为锐角；条件②：；条件③：．。
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南京市2010届高三数学综合训练3一、填空题 1. ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”的 条件．2. 化简：)2tan 1tan 21(2tan 2tan 12θθθθ⋅-⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= ． 3. 在正数数列}{n a 中，11=a ，且点*),2)(,(1N n n a a n n ∈≥-在直线02=-y x 上，则前n 项和n S 等于 ． 4. 若一个等差数列的第3,2,1项分别为xx x 1,65,11+，那么这个数列的第101项为 ． 5. 若关于x 的不等式11<-x ax的解集是}21|{><x x x 或，则实数a 的取值范围是 ． 6. 已知)2,0(,sin 21)(π∈-+=x x xx f ，则)(x f 的单调增区间是 ． 7. 已知数列}{n a 满足232132n na a a a n =++++ ，则数列}{n a 的通项公式为 ． 8. 某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者, 则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_______(结果用最简分数表示9. 已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 2,2≤+≤+，则ab的取值范围是 ． 10. 已知0,0>>y x ，且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 ． 11. 在ABC ∆中，若7,4==b c ，BC 边上的中线AD 的长为5.3，则=a ．12. 已知一个直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，则其中最小内角的正弦值是 ．13. 若直线kx y =是曲线x x x y 2323+-=上的一点处的切线，则实数k = ．14. 若不等式012≥++ax x 对于一切)21,0(∈x 成立，则a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（1）已知135)4sin(=-x π，且40π<<x ，求)4cos(2cos x x+π的值．（2）已知71tan ,21)tan(-==-ββα，且),0(,πβα∈，求βα-2的值．16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．17. 已知b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，求实数b a , 的值．ABCMPD18. 已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点。
（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由19. 已知}{n a 为等差数列，公差0≠d ，}{n a 的部分项n k k k a a a ,,,21 恰为等比数列，若17,5,1321===k k k ， （1）求n k ； （2）求n nk k k k ++++ 32132．20. 设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上下各留cm 8的空白，左右各留cm 5的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果]43,32[∈λ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？21.选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．22.选修 4- 4 ：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos()13πρθ-=，M , N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M , N 的极坐标； （2）设M , N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．数学试卷答案1. 充要2. 43. 12-n4.326 5. 21=a 6. )35,3(ππ 7. n n a n 12-=8. 75 9. )23,32( 10. 223+ 11. 9 12. 251+-13. 2或41- 14. ),25[+∞-15. （1）135)4sin()]4(2cos[)4cos(=-=--=+x x x ππππ，44040πππ<-<∴<<x x1312)4(sin 1)4cos(2=--=-∴x x ππ∴169120)4(2sin )22sin(2cos =-=-=x x x ππ 原式=1324135169120=（2）21)tan(=-βα ∴34)(tan 1)tan(2)(2tan 2=---=-βαβαβα ∴])(2tan[)2tan(ββαβα+-=-1tan )(2tan 1tan )(2tan =--+-=ββαββα31])tan[(tan =+-=ββαα ，71tan -=β，而),0(,πβα∈ πβππα<<<<∴2,4002<-<-∴βαπ432πβα-=-∴16.解析：（Ⅰ）证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，AB = 所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高， 又PAD △是边长为4的等边三角形．因此4PO ==在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB5=， 此即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD的面积为2425S ==．故1243P ABCD V -=⨯⨯= 17. ax ax x f 123)(2-='，令0)(='x f ，得0=x 或4=x（1）当0<a 时，由b a f b a f b f +-=+-=-=16)2(,7)1(,)0(，可知b f =)0(为最小值，b a f +-=16)2(为最大值，即⎩⎨⎧=+--=31629b a b ，解得⎩⎨⎧-=-=229a b（2）当0=a 时，不符合题意（3）当0>a 时，b f =)0(为最大值，b a f +-=16)2(为最小值⎩⎨⎧-=+-=29163b a b ，解得⎩⎨⎧==23a b综上所述，29,2-=-=b a 或3,2==b a 18.解法一：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+即222284(,),1414k kS k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k∴-故161||33k MN k=+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，14k =此时BS的方程为6420,(,),||55x y s BS +-=∴=要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于4，所以T 在平行于BS 且与BS距离等于4的直线l 上。
设直线':10l x y ++=4=解得32t =-或52t =-19.（1）设等比数列n k k k a a a ,,,21 的公比为q17,5,1321===k k k 25171a a a =⋅∴即2111)4()16(d a d a a +=+，得212d d a = 0≠d d a 21=∴，315==a a q11132,)1()1(1--⨯=⋅=+=-+=n n k k n n k d q a a d k d k a a n n *,1321N n k n n ∈-⨯=∴-（2）n nk k k k ++++ 32132)132()132(2)132(110-⨯⨯++-⨯⨯+-⨯=-n n )21()33231(2110n n n +++-⨯++⨯+⨯⨯=- 设11033231-⨯++⨯+⨯=n n n S ，则n n n S 33231321⨯++⨯+⨯= ，两式相减得：213)21(333312121-⨯-=⨯-++++=--n n n n n n S413)412(+⨯-=∴n n n S ∴n nk k k k ++++ 32132=2)1(213)21(+-+⨯-n n n n20. 设画面的高为xcm ，则宽为xcm λ，则48402=x λ，设纸张面积为S ，则有 160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ 676058210445000)58(10445000=⋅⋅+≥++=λλλλ当且仅当λλ58=，即85=λ时，S 取最小值，此时高cm x 884840==λ，宽cm x 55=λ如果]43,32[∈λ，则上述等号不成立。
下证函数)(λS 在]43,32[上单调递增：设433221≤<≤λλ，则)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S853221>≥λλ 05821>-∴λλ ，又021<-λλ 0)()(21<-∴λλS S ，故)(λS 在]43,32[上单调递增，因此对]43,32[∈λ，当32=λ时，)(λS 取得最小值。