第七章 习题解答

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第7章习题解答

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z 2 = z 1 + 130
2 z z ) 2 + 100 z ( z ) = 0 1 - ( 1 + 130 1 + 82 1 + 130
2 - 260 z z ´ 130 = 0 1 - 130 + 182 1 + 82
78 z ´ 130 - 130 2 = -48 ´ 130 = -6240 1 = 82 z 1 = -80 z 2 = z 1 + 130 = 130 - 80 = 50 f = 40cm
p 3 . 14 - 8 2 l 2 ´ 6328 ´ 10 - 3 ④ q= = = 2 . 315 ´ 10 rad pw0 3 . 14 ´ 0 . 0174
(5)有一个平凹腔,凹面镜曲率半径 R=5m,腔长 L=1m,光波长l=0.5mm,求①两镜 面上的基模光斑半径②基模高斯光束的远场发散角 解:①
2、双凹腔两反射镜面曲率半径分别为 R1=100cm、R2=82cm,腔长 L=130cm,求等价共焦 腔的焦参数。 解:
z1 +
f 2 = - R 1 z 1
z 1 +
f 2 = -100 z 1
2 2 z 100 z 1 + 1 + f = 0
w 0 =
f l
p
=
0 . 4 R l
p
(2)对称双凹腔长为 L,反射镜曲率半径 R=2.5L,光波长为l,求镜面上的基模光斑半 径。 解:
L L 2 f 2 = ( 2 R - L ) = (2 ´ 2 . 5 L - L ) = L 4 4 f = L
2 z 2
f
2

教材第七章习题解答

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第七章化学平衡习题解答1.回答下列问题(1)反应商和标准平衡常数的概念有何区别? (2)能否用r m G θ∆来判断反应的自发性?为什么? (3)计算化学反应的K θ有哪些方法?(4)影响平衡移动的因素有哪些?它们是如何影响移动方向的? (5)比较“温度与平衡常数的关系式”同“温度与反应速率常数的关系式”,有哪些相似之处?有哪些不同之处?举例说明。

(6)酸碱质子理论如何定义酸和碱?有何优越性?什么叫共轭酸碱对?(7)当往缓冲溶液中加入大量的酸和碱,或者用很大量的水稀释时,pH 是否仍保持不变?说明其原因。

(8)对于一个在标准状态下是吸热、熵减的化学反应,当温度升高时,根据勒夏特列原理判断,反应将向吸热的正方向移动;而根据公式∆r G m θ=∆r H m θ-T ∆r S m θ判断,∆r G m θ将变得更正(正值更大),即反应更不利于向正方向进行。

在这两种矛盾的判断中,哪一种是正确的?简要说明原因。

(9)对于制取水煤气的下列平衡系统:22C(s)+H O(g)CO(g)+H (g) ;r m H Θ∆。

问:① 欲使平衡向右移动,可采取哪些措施?② 欲使正反应进行得较快且较完全(平衡向右移动)的适宜条件如何?这些措施对K θ及k(正)、k(逆)的影响各如何?(10)平衡常数改变时,平衡是否必定移动?平衡移动时,平衡常数是否一定改变?【解答】(1)反应商是在一定温度下,任意给定态时,生成物的相对压力(或者相对浓度)以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力(或相对浓度)以化学计量系数为幂的乘积。

在一定温度下,当反应达到平衡时,生成物的相对压力(或者相对浓度)以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力(或相对浓度)以化学计量系数为幂的乘积是一个常数,称为标准平衡常数,是量纲为一的量。

标准平衡常数的数值只是温度的函数。

(2)只能用r m G θ∆判断在标准态下的反应的自发性。

任意给定态时,反应的自发进行的方向只能由r m G ∆来判断。

最新(完美版)第七章习题答案_数值分析

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第七章习题解答2、试确定系数a ,b 的值使220[()cos ]ax b x dx p+-ò达到最小解:设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx p=+-ò确定a ,b 使(,)I a b 达到最小,必须满足0,0I Ia b ¶¶==¶¶即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx xxdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx p p p p p p p pp p p p p ììì+=-+-=+=ïïïïïïÞÞíííïïï+=+-=+=ïïïîîîòòòòòòòò解得:0.6644389, 1.1584689a b »-»5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解:作变量代换,将区间[-1, 3]变为[-1, 1],令21x t =+,即12x t -=则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-££对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==å,其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j j P f j C F t P t dt j P P -+===ò20121()=1,()=t,()=(31)2P t P t P t t - 则有:1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t tdt t tdt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=òòòòòò 01251145()()()()4864S t P t P t P t \=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式*01222151111451()()()()()()2428264251114511=()((3()1))4826422135+82243512x x x x S t S t S P P P x x x x ----===++--++-+=7、确定一条经过原点的二次曲线,使之拟合下列数据ix123iy0.2 0.5 1.0 1.2并求平方误差2d解:设2012()1,(),()x x x x x j j j ===由题,拟合函数须过原点 则令001122()()()()f x C x C x C x j j j =++,其中00C =,即212()f x C x C x =+ 12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y f f æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G f f f f f f f f æöæö==ç÷ç÷èøèø 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y f f æöæö==ç÷ç÷èøèø得法方程GC F = 121436 6.1369815.3C C æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø解方程得:120.61840.0711C C »»-2()0.61840.0711f x x x \=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j YC Y Y Y df f f ==-=-´+´=å8、已知一组数据ix1 2 3iy3 2 1.5试用拟合函数21()S x a bx =+拟合所给数据解:令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x j j ==01()()()f x a x b x j j =+则123113111114,219213y A F y y æöæö÷ç÷çæöç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷ç÷ç÷ç÷èøèøT T a A A A F b æö\=ç÷èø,即331422514983a b æöç÷æöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøç÷èø解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+=从而有21()0.30950.0408S x x =+补充题:用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ,并估计误差 解:作变量替换1(1)2x t =+,将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n p+=+=+ 0120.933001270.50.0669873x x x ===利用这些点做插值商表i xi y一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则:20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-£==+其中(3)3max ()M f x = 由于1(1)2x t =+,即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=Î281()243R x \£=。

无机化学(周祖新)习题解答 第七章

无机化学(周祖新)习题解答 第七章

第七章分子结构和晶体习题解答(7)思考题1.举例说明下列概念的区别:离子键与共价键、共价键与配位键、σ键和Л键、极性键和非极性键、极性分子与非极性分子、分子间力与氢键。

1.离子键是得到电子的阴离子与失去电子的阳离子的强烈静电吸引作用;共价键是原子间通过共用电子对(或电子云重叠)而形成的相互吸引作用,无阴、阳离子;配位键也是共价键中的一种,只不过共用的一对电子有一个原子提供。

σ键是各自电子云用密度最大的一头相互重叠,以使重叠体积最大,两原子间形成共价键时首先肯定以σ键成键,但两原子间只能形成σ键一次。

Л键是在原子间已形成一根σ键后,其余原子轨道以“肩并肩”在侧面重叠的成键方式,其重叠体积比σ键要小,但两原子间根据各自的单电子数可形成几个Л键。

极性键是两不同原子间形成共价键时,由于两原子的电负性不同,吸引公用电子对的作用不同,使某一端带有部分正电荷,另一端带有部分负电荷,这就是极性键;若两相同的原子间形成共价键,由于彼此电负性相同,吸引共用电子对的能力相同,公用电子对不偏向任何一个原子,两原子不带“净”电荷,没有“正”或“负”的一端,即非极性键。

极性分子是整个分子中正、负电荷重心不重合,使分子一端带部分正电荷,为正极,另一端带部分负电荷,为负极。

分子之间由于偶极间的相互作用力为分子间力。

氢键是氢原子与电负性大、半径小的原子形成共价键后,由于氢原子唯一的电子被其他原子吸引到离氢原子核较远的地方,氢原子几乎成了“裸露”的质子,有很强的正电场,吸引另一电负性大、半径小的原子的孤对电子,形成了一种作用力,这个作用力本质上还是分子间作用力,但比一般的分子间力强。

2.离子键是怎样形成的?离子键的特征和本质是什么?为什么离子键无饱和性和方向性?2.离子键是失电子的金属阳离子和德电子的非金属阴离子通过静电引力形成的。

离子键的特征是无方向性、无饱和性。

其本质是正、负点电荷间的静电引力。

点电荷产生的电场向空间各个方向均匀传播,每一个在其电场中的异号电荷都会受到它的吸引作用,在理论上它可吸引无数个异号电荷,所以离子键无饱和性;由于点电荷产生的电场向空间各个方向的传播是均匀的,只要距离相等,不管在哪个方向,受到的作用里是一样的,这就是离子键的无方向性。

第七章习题解答

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计算图示各系统的动能:(1)偏心圆盘的质量为,偏心距OC m e =,对质心的回转半径为C ρ,绕轴O 以角速度0ω转动(图a )。

(2)长为l ,质量为的匀质杆,其端部固结半径为,质量为的匀质圆盘。

杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动(图b )。

(3)滑块A 沿水平面以速度移动,重块B 沿滑块以相对速度下滑,已知滑块A 的质量为,重块B 的质量为(图c )。

1v 2v 1m 2m (4)汽车以速度沿平直道路行驶,已知汽车的总质量为0v M ,轮子的质量为m ,半径为R ,轮子可近似视为匀质圆盘(共有4个轮子)(图d )。

解:(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上,轮的半径为r ,质量为。

缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物,沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升,如图所示。

重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。

绳索的质量不计,鼓轮可看成为匀质圆柱体,开始时系统静止。

求鼓轮转过ϕ角时的角速度。

解:为一自由度理想约束系统。

取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象,受力图如下图所示。

鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理,有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物,如图所示。

第7章+静电场+习题和思考题

第7章+静电场+习题和思考题
S
1 E d S 根据高斯定理
0
q
S内
i
S
Q
q q
习题图7-1
第七章 习题解答 第七章 习题解答
C 3. 关于电场线,以下说法哪个正确。 (A)电场线上各点的电场强度大小相等; (B) 电场线是一条曲线,曲线上的每一点的切线方向都与该点 的电场强度方向平行; (C) 匀强电场中开始处于静止的电荷,在电场力的作用下运动 的轨迹必与一条电场线重合; (D) 在无电荷的电场空间,电场线可以相交。 答 :电场线上任意点的切线方向为该点处电场强度的方向; 电场线密度表针该点处电场强度的大小;电场为有源场,任 意电场线不相交;在均匀场中,电场强度处处相等;电荷在 均匀电场中静止开始运动,其运动轨迹必沿与一条电场线运 动。
解: (1) (0,a)处点电荷在 O 点产生的电场方向从 O 点指 向 y 轴正向;(0,-a)处点电荷在 O 点产生的电场方向从 O 点 指向 y 轴负向;(2a,0)处点电荷在 O 点产生的电场方向从 O 点指向 x 轴正向。 (2)
Eao 2Q Q j j 2 2 40 a 20a 1
1 2Q Q j j 2 2 40 a 20a
y
E ao
a
2Q
Q
a
O
2Q
a 2a
x
E2ao
Q Q i i 2 2 40 ( 2a) 160a 1
第七章 习题解答 第七章 习题解答
(3)
Eo Eao Eao E2ao Q Q Q j ( j) i 2 2 2 20a 20a 160a
第七章 习题解答 第七章 习题解答 球心电势
U E dl

(完整版)大学物理学(课后答案)第7章

(完整版)大学物理学(课后答案)第7章

第七章课后习题解答一、选择题7-1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同,分子的平均平动动能也相同,则它们[ ](A) 温度,压强均不相同 (B) 温度相同,但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度,压强都相同 (D) 温度相同,但氦气压强小于氮气的压强分析:理想气体分子的平均平动动能32k kT ε=,仅与温度有关,因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时,温度也相同。

又由理想气体的压强公式p nkT =,当两者分子数密度相同时,它们压强也相同。

故选(C )。

7-2 理想气体处于平衡状态,设温度为T ,气体分子的自由度为i ,则每个气体分子所具有的[ ](A) 动能为2i kT (B) 动能为2iRT(C) 平均动能为2i kT (D) 平均平动动能为2iRT分析:由理想气体分子的的平均平动动能32k kT ε=和理想气体分子的的平均动能2ikT ε=,故选择(C )。

7-3 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体,其分子数密度n 相同,而方均根速率之比为()()()1/21/21/222::2A B Cv v v =1:2:4,则其压强之比为A B C p :p :p[ ](A) 1:2:4 (B) 1:4:8 (C) 1:4:16 (D) 4:2:1=,又由物态方程p nkT =,所以当三容器中得分子数密度相同时,得123123::::1:4:16p p p T T T ==。

故选择(C )。

7-4 图7-4中两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线。

如果()2p O v 和()2p H v 分别表示氧气和氢气的最概然速率,则[ ](A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =分析:在温度相同的情况下,由最概然速率公式p ν=质量22H O M M <,可知氢气的最概然速率大于氧气的最概然速率,故曲线a 对应于氧分子的速率分布曲线。

复变函数习题七解答

复变函数习题七解答

第七章部分习题解答1.求23z w =在z=i 处的伸缩率和旋转角,问23z w =将经过点z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成w 平面上哪一个方向?并作图。

解 由题()z z w 63'2='=,从而()()2i 6a r gi 'a r g π==w ,()6|i 6|i '==w ,当i =z 时,()332-==i w ,即i =z ,3-=w ,且旋转2π。

2.求映射z w i =下,下列图形映射成什么图形? (1)以i 1=z ,12-=z ,13=z 为顶点的三角形。

(2)闭圆域:1|1|≤-z 。

解(1)在z w i =下,i 1=z ,12-=z ,13=z ,被映成11-=w ,i 2-=w ,i 3=w ,即将三角形映成三角形。

(2)在z w i =下,01=z ,i 12+=z ,23=z ,被映成01=w ,i 12+-=w ,i 23=w ,由保圆性知11≤-z 被映成1i ≤-z 。

3.求把上半平面0Im >z 映射为单位圆1||<w 的分式线性映射(),z f w =并满足条件: (1)().1)1(,0i =-=f f (2)()().0i 'arg ,0i ==f f解(1)所求分式线性映射应有下列形式.,i λλθ--=z z e w 由()()11,0i =-=f f得w=i zw=i zi i,-==k λ,故.i ii+--=z z w(2)由(),0i =f 知i i i +-=z z e w θ,由()0'arg =z f 得2πθ=,故ii i+-=z z w4.求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射,并满足条件:(1)().11,021=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f (2)221'arg ,021π=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . 解(1)所求分式线性映射为z z e w i ααϕ--=1,由,021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知21=α由()11=-f , 得πϕ=,故212--=z z ω.(2)由021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知21=a ,从而有(),34',23',212i 212i i ϕϕϕe w z e w z z e w z =-=--==由,221'arg π=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 知,2πϕ=故z z w --=212i.5.把点i i,,1-=z 分别映射成点1,0,1-=w 的分式线性映射把单位圆1||<z 映射成什么?并求出这个映射。

第七章习题解答

第七章习题解答

习 题 七1. 判断下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:(1) 在向量空间V 中,σ (ξ)=ξ+α,α是V 中一固定的向量;(2) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,(233221x x x x +; (3) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,2(13221x x x x x +-; (4) 把复数域看作复数域上的向量空间,σ (ξ)=ξ.解 (1)当0=α时,σ是线性变换;当0≠α时,σ不是线性变换; (2)σ不是线性变换; (3)σ是线性变换; (4)σ不是线性变换;2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明,σ是V 的一个线性变换的充要条件是:存在F 中的一个数a ,使得对任意ξ∈V ,都有σ (ξ)=a ξ .证明:充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换,如果σ k -1ξ≠0, 但σ k ξ=0,求证ξ, σξ, …, σ k -1ξ (k >0)线性无关. 证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:Λ++-ξσξσk k l l 110+0221=--ξσk k l由已知得:Λ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: Λ+σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ作用得:Λξσξσk k l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有:Λ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中,σ (f (x ))=f '(x ), τ (f (x ))=xf (x ), 证明,στ -τσ=ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ -τσ=ι.5. 在向量空间R 3中,线性变换σ, τ如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1, x 2, x 1+x 2)τ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2-x 3, 0, x 3-x 1-x 2)(1) 求στ, τσ, σ2;(2) 求σ+τ, σ -τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+ ),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2+x 3, x 2+x 3,-x 3)证明,σ是可逆变换,并求σ-1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A .显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1001100111A 所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换,试证,(1)如果σ, τ都与ρ可交换,则στ, σ2也都与ρ可交换(若对任意α∈V ,都有στ (α)=τσ (α),就说σ与τ可交换);(2)如果σ+τ, σ-τ都与ρ可交换,则σ, τ也都与ρ可交换.证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明,数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的.Λ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明,可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组.证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换,Λ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令Λ++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: Λ+11αk +0=m m k α.由已知Λ,,21αα,m α 线性无关,所以:Λ==21k k =0=m k .故Λ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关. 10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵;(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0,k ∈F ); (3) 求σ在{ε1, ε1+ε2, ε3}下的矩阵.解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a aa a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka aa k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a a a a a a a a a a a a a a 11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 2+x 3, x 1-4x 2, 3x 1),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)下的矩阵;(2) 利用(1)中结论,求σ在基α1=(1, 1, 1),α2=(1, 1, 0),α3=(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ(2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ,τ如下σ (X )=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111, τ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ).试求σ+τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆?若可逆,求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+021*********)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ=12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ=121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A .同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1100110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*********10021211B . 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间,并且V =W 1⊕W 2证明,σ是可逆变换的充要条件是V =σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令Λ,1α,r α是1W 的一个基. 令Λ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: Λ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则Λ),(1ασ,)(r ασ,Λ)(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£(Λ),(1ασ,)(r ασ).=)(2W σ£(Λ)(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V =σ ( W 1)⊕ σ ( W 2). 充分性:将必要性的过程倒过去即可. 14. 设R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 1-x 2, x 2-x 3, x 2+x 3)求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)及基η1=(1, 1, 0), η2=(0, 1, 1),η3=(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110110012A .σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1100110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011.15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X , ∀X ∈M 2(F ).求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵,其中E 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001, E 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=302003021000010A . 16. 证明,与n 维向量空间V 的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得.17. 给定R 3的两个基α1=(1, 0, 1), α2=(2, 1, 0), α3=(1, 1, 1);和 β1=(1, 2,-1), β2=(2, 2, -1), β3=(2, -1, -1). σ是R 3的线性变换,且σ(αi )=βi ,i =1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵; (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵; (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101110221.所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 18. 设α1=(-1, 0, -2), α2=(0, 1, 2), α3=(1, 2, 5),β1=(-1, 1, 0), β2=(1, 0, 1), β3=(0, 1, 2),ξ=(0, 3, 5)是R 3中的向量,σ是R 3的线性变换,并且σ(α1)=(2, 0, -1), σ(α2)=(0, 0, 1),σ(α3)=(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵; (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标; (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标.解:令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1,β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T .又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-= 321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 ,β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2,x 2+x 3,x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变?(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , -a , 0)| a ∈R }. 解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,证明下列条件等价: (1) σ (V )=V ; (2) ker σ={0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σKer .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+2x 2-x 3, x 2+x 3, x 1+x 2-2x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换,W 是σ的一个不变子空间,证明,W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证.23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换,{α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn }是V 的基. 证明,如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基,那么{σ (αr +1),…, σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr +1)+ l r +2σ (αr +2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr +1+…+ l n αn )=0, l r +1αr +1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr +1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr +1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr +1),…, σ (αn )). 从而结论成立.24. 对任意α∈R 4,令σ (α)=A α,其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201求线性变换σ的核与象.解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ,τ 是向量空间V 的线性变换,且σ+τ=ι,στ=τσ=θ. 这里ι是V 的恒等变换,θ 是V 的零变换. 证明:(1) V =σ(V )⊕τ (V ); (2) σ(V )=Ker τ. 证明: (1) ∀ξ∈ V , ξ=ι (ξ)=(σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V =σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ+τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中,定义线性变换τ为:对任意f (x )∈F n [x ],τ(f (x )) =x f '(x )-f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数.(1)求Ker τ及Im τ;(2)证明,V =Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f '(x )-f (x ) = 0 其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2 + … + (n a n -a n )x n = 0有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020n a a a M , 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ). (2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121101365求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换,证明 (1) σ的本征值一定不为0;(2) 如果λ是σ 的本征值,那么λ1是σ-1的本征值. 证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立. 补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2 ⊆ Ker σ3 ⊆… (2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n ., σ n (ξ)=0, σ (σ n (ξ))=0 即σ n +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σ n +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σ n +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n .2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明,存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )=0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A2n 线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=n n Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=n n x k ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ-1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以Λ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以Λ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故Λ),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1Λ=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2=σ. 证明: (1) Ker σ ={ξ-σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V =Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ.[提示:证(3)的必要性,利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ)()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以0)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2=ι. 证明, V =W 1⊕W 2, 这里W 1={ξ∈V |σ(ξ)=ξ},W 2={η∈V |σ(η)=-η}.[提示:∀α∈V ,α=21(α+σ(α))+21(α-σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V =W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ=τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说,V λ={ξ∈V |σ(ξ)=λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示:证(2)时,考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ={ξ∈R n |ξ T A ξ=0}是R n 的n -r 维子空间.[提示:利用习题三第33题的结论,可得W 是齐次线性方程组BX =0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T=,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A TTTT==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ,τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2=σ,τ2=τ. 证明,(1) Im σ=Im τ 当且仅当 στ=τ, τσ=σ; (2) Ker σ=Ker τ 当且仅当 στ=σ, τσ=τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. (2)必要性:设Ker σ=Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。

理论力学(胡运康)第七章作业答案

理论力学(胡运康)第七章作业答案
aC
aτ e
a
n a
aC 方向投影 :
n τ aa cos 60° + aτ sin 60 ° = a a e + aC
2 2 v 600 n aa = a = = 1200mm/s 2 OA 300
aen
α1
2 aτ = α ⋅ AB = 1000 3 mm/s e 1
aC = 2ω 1 vr = 2 × 3 × 300 = 1800mm/s 2
第7章 习题解答
1
7-1求轮边缘处水流对轮的vr
ve vr va
【解】 动点: M,动系: 轮
r r r va = ve + v r
va = 15 m s
nπ ve = R ⋅ = 6.28m s 30
x : va sin60 o = ve + vrx
⇒ v rx = 6.7 m s
y : − va cos60 o = 0 + vry
300
解 动点A,动系:BC
r r r va = ve + vr
ve = ω1 ⋅ AB = 3 OA = 300 3mm/s 3
va = ve / cos 30° = 600mm/s vr = va sin 30° = 300mm/s
12
aτ a ar
300
r n rτ r n r τ r r aa + aa = ae + ae + ar + aC
ω ω1 = ve / O1 D = 2
18
a
n ae
t e
r n r n rτ r r aa = ae + ae + ar + aC

水力学教材习题解答习题解答7

水力学教材习题解答习题解答7

第 七 章 习 题 解 答7-1 梯形断面壤土渠道,已知通过流量Q = 10.5 m 3/s ,底宽b = 8.9 m ,边坡系数m = 1.5,正常水深h 0= 1.25 m ,糙率 n = 0.025,求底坡i 和流速v 。

解: A = 1.25×(8.9+1.5×1.25) = 13.47 m 2,χ= 8.9+2×1.25×25.11+= 13.41 m , R = A /χ=1.005 m ,C = 1.0051/6/0.025 = 40.03 m 1/2·s , K = ACR 1/2=540.57 m/3si = (Q /K )2 = 0.000377,v = Q /A = 0.78 m/s7-2 有一灌溉干渠,断面为梯形,底宽b = 2.2 m ,边坡系数m = 1.5,实测得流量Q = 8.11 m 3/s 时,均匀流水深h 0 = 2 m ,在1800m 长的顺直渠段水面落差Δh = 0.5 m ,求渠道的糙率n 。

解:i = J = J P = △h /L =1/3600,A = 2×(2.2+1.5×2 ) = 10.4 m 2, χ= 2.2+2×2×25.11+= 9.41 m , R = A /χ= 1.105 mn = AR 2/3i 1/2/Q = 0.02287-3 一石渠的边坡系数m = 0.1,糙率n = 0.020,底宽b = 4.3 m ,水深h = 2.75 m ,底坡i = 1/2000,求流量和流速。

解:A = 2.75×(4.3+0.1×2.75 ) = 12.58 m 2,χ= 4.3+2×2.75×21.01+= 9.83 m R = A /χ= 1.28 m ,v = n i R 32=1.318 m/s , Q = vA =16.58 m 3/s7-4 直径为d 的圆形管道中的明槽均匀流动,试根据式(7-2-5)导出Q/Q 1~h/d 的关系式(Q 1为h/d = 1时的流量),并论证当充满度h/d 为多大时Q/Q 1达到最大值。

(7.12)--第7章部分习题解答

(7.12)--第7章部分习题解答

第7章 习题解答7-1估计fcc 结构以{111}、{100}和{110}作表面(T =0 K )的表面能。

设升华热为L S (J/mol),点阵常数为a 。

解:升华热相当于把晶体所有结合键断开的能量,现忽略次近邻键,认为升华热只由最近邻键所贡献。

设U b 为平均键能,每摩尔有N 0(亚佛加德罗常数)个原子,fcc 结构的配位数为12,最近邻键对数是12N 0/2,所以2120b S U N L = 即06N L U Sb =晶体表面能的式子是∑∑⋅===j q j j q q j j j n q )(A)()(S S 2121ϕϕργV E fcc 结构中每个晶胞含4个原子,所以原子体积43a V a =。

(1)对于{111}为表面,单位法线矢量3]111[=n ,它割断最近邻的键矢量为2]101[a 、2]110[a 和2]011[a 。

故表面能为2)(A S 3332]}011[]110[]101{[]111[233421N a L U a a a 2U V Sb 23b==++⋅=⋅=∑j q j j n q ϕγ(2)对于{110}为表面,单位法线矢量]110[=n /2,它割断最近邻的键矢量为2]101[a 、2]011[a 、]110[a 、2]101[a 和]110[a ,因为(110)面的面间距为4]110[a ,2]110[a 穿过两个(110)面,所以对于[110]方向的键矢量为4]110[a 。

表面能为2)(A S 1225225]}110[21]110[]101[]011[]101{[]110[2224221N a L U a a a U V S b 23b ==+-+-++⋅=⋅=∑j q j j n q ϕγ(3)对于{100}为表面,单位法线矢量]100[=n ,它割断最近邻的键矢量为2]101[a 、2]011[a 、]110[a 和]101[a 。

故表面能为02)(A S 324]}101[]101[]110[]101{[]100[2421N a L U a a a 2U V S b 23b ==-+-++⋅=⋅=∑j q j j n q ϕγ另外,我们可以用简单的比较直观的方法计算。

习题解答第7章

习题解答第7章
5. 一阶电路的全响应 V,若初始状态不变而输入增加一倍,则全响应 变为D。
A. ; B. ;
C. ; D.
解:由求解一阶电路的三要素法 可知在原电路中 V, V。当初始状态不变而输入增加一倍时,有
V
二、填空题
1.换路前电路已处于稳态,已知 , , , . 时,开关由 掷向 ,则图7—3所示电路在换路后瞬间的电容电压 V, V。
作用时的响应为
作用时的响应为
总的零状态响应为
8.图7—14所示电路中,激励为单位冲激函数 A,求零状态响应 。
解:设激励为 ,用三要素法求电路的单位阶跃响应。
,

电流的单位阶跃响应为
根据单位冲激响应和单位阶跃响应的关系,可得电路中的 :
9.图7—15所示电路中, , ,求 时的响应 。
解:应用叠加原理求解此题.
第七章(一阶电路)习题解答
一、选择题
1.由于线性电路具有叠加性,所以C。
A.电路的全响应与激励成正比;
B.响应的暂态分量与激励成正比;
C.电路的零状态响应与激励成正比;
D.初始值与激励成正比
2.动态电路在换路后出现过渡过程的原因是A。
A.储能元件中的能量不能跃变;
B.电路的结构或参数发生变化;
C.电路有独立电源存在;
解: 由 时刻电路得:

换路后,电容 , 构成纯电容的回路(两电容并联),电容电压发生强迫跃变,此时应由电荷守恒原理求解换路后瞬刻的电容电压。由 得:
……①
…… ②
由以上两式解得
2.图7—4所示电路的时间常数 .
解:将储能元件开路,独立电源置 后,可得求戴维南等效电阻的电路如图7—4(a)所示。由于电路中含有受控源,因此需用外加电压法求戴维南等效电阻 .由图7—4(a)得

吸收习题解答

吸收习题解答

第七章吸收习题解答(总17页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七章 吸 收7-1 总压 kPa ,温度25℃时,1000克水中含二氧化硫50克,在此浓度范围内亨利定律适用,通过实验测定其亨利系数E 为 MPa , 试求该溶液上方二氧化硫的平衡分压和相平衡常数m 。

(溶液密度近似取为1000kg/m 3) 解:溶质在液相中的摩尔分数:50640.01391000501864x ==+ 二氧化硫的平衡分压:*34.13100.0139kPa=57.41kPa p Ex ==⨯⨯ 相平衡常数:634.1310Pa 40.77101.310PaE m P ⨯===⨯7-2 在逆流喷淋填料塔中用水进行硫化氢气体的吸收,含硫化氢的混合气进口浓度为5%(质量分数),求填料塔出口水溶液中硫化氢的最大浓度。

已知塔内温度为20℃,压强为×105 Pa ,亨利系数E 为。

解:相平衡常数为:6548.910321.711.5210E m P ⨯===⨯ 硫化氢的混合气进口摩尔浓度:15340.04305953429y ==+若填料塔出口水溶液中硫化氢达最大浓度,在出口处气液相达平衡,即: 41max 0.0430 1.3410321.71y x m -===⨯7-3 分析下列过程是吸收过程还是解吸过程,计算其推动力的大小,并在x - y 图上表示。

(1)含NO 2 (摩尔分率)的水溶液和含NO 2 (摩尔分率) 的混合气接触,总压为,T=15℃,已知15℃时,NO 2水溶液的亨利系数E =×102 kPa ;(2)气液组成及温度同(1),总压达200kPa (绝对压强)。

解:(1)相平衡常数为:51311.6810Pa 1.658101.310Pa E m P ⨯===⨯ *1 1.6580.0030.00498y m x ==⨯=由于 *y y >,所以该过程是吸收过程。

第7章习题解答哈工大习题册

第7章习题解答哈工大习题册

第7章 频率特性和谐振现象习题解答7.1 求图(a)所示RC 并联电路的输入阻抗)j (ωZ ,大致画出其幅频特性和相频特性,确定通带、阻带和截止频率。

(a)Z (b)--图题7.1解:由阻抗并联等效公式得:36336310/(j 10)10(j )101/(j 10)1j 10Z ωωωω---==Ω++ 阻抗模及幅角分别为:233)10(110)j (ωω-+=Z , )10arctan()(3ωωθ--=令2/1)j (c =ωZ ,求得截止角频率rad/s 103c =ω,故通带及阻带分别为: 通带=ω0~rad/s 103,阻带=ωrad/s 103~∞。

幅频特性和相频特性如图(b)和(c)所示。

7.2 求图示电路的网络函数,它具有高通特性还是低通特性?2图题7.2解: RC 并联的等效阻抗RCRC R C R Z RC ωωωj 1j /1j /+=+=RCRCZ L Z U U H +==ωωj /)j (12RL LC RC L R R /j 11)j 1(j 2ωωωω+-=++=幅频特性222)/()1(1)j (R L LC H ωωω+-=当0→ω时, 1)j (=ωH ;当∞→ω时,0)j (=ωH所以它具有低通特性。

7.3求图示电路的转移电压比21(j )/H U U ω=,当1122R C R C =时,此网络函数有何特性?2图 题7.3解:设1111111j j 1//C R R R C R Z ωω+==, 2222222j j 1//C R R R C R Z ωω+==由分压公式得:12122U Z Z Z U += )j 1()j 1()j 1()j (11222111212C R R C R R C R R U U H ωωωω++++== 当R 1C 1=R 2C 2时,得212)j (R R R H +=ω,此网络函数模及辐角均不与频率无关。

7.4设图示电路处于谐振状态,其中S 1A I =,150V U =,1100C R X ==Ω。

模拟电子技术第七章习题解答

模拟电子技术第七章习题解答

第七章基本放大电路7.1 试判断题7.1图中各电路能不能放大交流信号,并说明原因。

解:a、b、c三个电路中晶体管发射结正偏,集电结反偏,故均正常工作,但b图中集电极交流接地,故无交流输出。

d图中晶体管集电结正偏,故晶体管不能正常工作,另外,交流输入信号交流接地。

因此a、c两电路能放大交流信号,b、d两电路不能放大交流信号。

7.2 单管共射放大电路如题7.2图所示,已知三极管的电流放大系数50=β。

(1)估算电路的静态工作点;(2)计算三极管的输入电阻ber;(3)画出微变等效电路,计算电压放大倍数;(4)计算电路的输入电阻和输出电阻;(5)如果输入信号由内阻为1kΩ的信号源提供,计算源电压放大倍数;CC+o-题7.2图C CC(a)题7.1图(6)去掉负载电阻,再计算电路的电压放大倍数、 输入电阻和输出电阻。

解:(1)A A R U U I B BE CC B μ40104103007.01253=⨯≈⨯-=-=- mA A I I B C 210210405036=⨯=⨯⨯==--βV I R U U C C CC CE 61021031233=⨯⨯⨯-=-=-(2)Ω=+=+=9502265030026300C be I r β(3)放大电路的微变等效电路如图所示 电压放大倍数7995.03||350||-=-=-=be L C u r R R A β(4)输入电阻:Ω≈⨯==950950||10300||3be B i r R r输出电阻 Ω==k R r C 30 (6)15895.0|350-=-=-=beC u r R A β输入电阻:Ω≈⨯==950950||10300||3be B i r R r输出电阻 Ω==k R r C 307.3 单管共射放大电路如题7.3图所示。

已知100=β (1)估算电路的静态工作点;(2)计算电路的电压放大倍数、输入电阻和输出电阻 (3)估算最大不失真输出电压的幅值;(4)当i u 足够大时,输出电压首先出现何种失真,如何调节R B 消除失真?解:电路的直流通路如图所示,CCBQ E BEQ BQ B U I R U I R =+++)1(β+u o -CC +u o -题7.3图A mA R R U U I EB BEQ CC BQ μβ435.010130015)1(=⨯+≈++-≈由此定出静态工作点Q 为mA I I BQ CQ 3.4==β,V R R I U U E C C CC CEQ 3.4)5.02(3.415)(≈+⨯-=+-=(2)Ω=⨯+=9053.426100300be r 由于R E 被交流傍路,因此16690.05.1100||-=⨯-=-=be L C u r R R A βΩ≈==k r R r be B i 9.0905.0||300||Ω==k R R C O 2(3)由于U CEQ =4.3V ,故最大不饱和失真输出电压为 V U U CEQ 6.37.03.47.00=-=-=' 最大不截止失真输出电压近似为V R I U L CQ 4.65.13.40=⨯='⋅='' 因此,最大不失真输出电压的幅值为3.6V 。

第七章习题解答

第七章习题解答

习 题 七1. 判断下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:(1) 在向量空间V 中,σ (ξ)=ξ+α,α是V 中一固定的向量;(2) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,(233221x x x x +;(3) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,2(13221x x x x x +-; (4) 把复数域看作复数域上的向量空间,σ (ξ)=ξ. 解 (1)当0=α时,σ是线性变换;当0≠α时,σ不是线性变换; (2)σ不是线性变换; (3)σ是线性变换; (4)σ不是线性变换;2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明,σ是V 的一个线性变换的充要条件是:存在F 中的一个数a ,使得对任意ξ∈V ,都有σ (ξ)=a ξ .证明:充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换,如果σ k -1ξ≠0, 但σ k ξ=0,求证ξ, σξ, …, σk -1ξ (k >0)线性无关.证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:++-ξσξσkk l l 110+0221=--ξσk k l由已知得: ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: +σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ 作用得:ξσξσkk l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中,σ (f (x ))=f '(x ), τ (f (x ))=xf (x ), 证明,στ -τσ=ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ -τσ=ι.5. 在向量空间R 3中,线性变换σ, τ如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1, x 2, x 1+x 2)τ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2-x 3, 0, x 3-x 1-x 2)(1) 求στ, τσ, σ2;(2) 求σ+τ, σ -τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2+x 3, x 2+x 3,-x 3) 证明,σ是可逆变换,并求σ-1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001100111A所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换,试证,(1)如果σ, τ都与ρ可交换,则στ, σ2也都与ρ可交换(若对任意α∈V ,都有στ (α)=τσ (α),就说σ与τ可交换);(2)如果σ+τ, σ-τ都与ρ可交换,则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明,数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明,可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1,ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵;(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0,k ∈F );(3) 求σ在{ε1, ε1+ε2, ε3}下的矩阵. 解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a aa a a a a a a a a a a a11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 2+x 3, x 1-4x 2, 3x 1),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)下的矩阵;(2) 利用(1)中结论,求σ在基α1=(1, 1, 1),α2=(1, 1, 0),α3=(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ (2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ,τ如下σ (X )=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111, τ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ). 试求σ+τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆?若可逆,求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+021202011111)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*******1210021211B. 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间,并且V =W 1⊕W 2证明,σ是可逆变换的充要条件是V =σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£( ),(1ασ,)(r ασ). =)(2W σ£( )(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V =σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 1-x 2, x 2-x 3, x 2+x 3)求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1) 及基η1=(1, 1, 0), η2=(0, 1, 1),η3=(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110012A . σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011. 15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X , ∀X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵,其中E 11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001, E 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=30200302100001A . 16. 证明,与n 维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得. 17. 给定R 3的两个基α1=(1, 0, 1), α2=(2, 1, 0), α3=(1, 1, 1);和 β1=(1, 2,-1), β2=(2, 2, -1), β3=(2, -1, -1). σ是R 3的线性变换,且σ(αi )=βi ,i =1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵; (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵; (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110221. 所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 18. 设α1=(-1, 0, -2), α2=(0, 1, 2), α3=(1, 2, 5),β1=(-1, 1, 0), β2=(1, 0, 1), β3=(0, 1, 2),ξ=(0, 3, 5)是R 3中的向量,σ是R 3的线性变换,并且σ(α1)=(2, 0, -1), σ(α2)=(0, 0, 1),σ(α3)=(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵; (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标; (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标. 解:令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T . 又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-=321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2,x 2+x 3,x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变?(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , -a , 0)| a ∈R }.解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,证明下列条件等价: (1) σ (V )=V ; (2) ker σ={0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+2x 2-x 3, x 2+x 3, x 1+x 2-2x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换,W 是σ的一个不变子空间,证明,W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证. 23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换,{α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn }是V 的基. 证明,如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基,那么{σ (αr +1),…,σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr +1)+ l r +2σ (αr +2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr +1+…+ l n αn )=0, l r +1αr +1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr +1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr +1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr +1),…, σ (αn )).从而结论成立.24. 对任意α∈R 4,令σ (α)=A α,其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ,τ 是向量空间V 的线性变换,且σ+τ=ι,στ=τσ=θ. 这里ι是V 的恒等变换,θ 是V 的零变换. 证明:(1) V =σ(V )⊕τ (V ); (2) σ(V )=Ker τ.证明: (1) ∀ξ∈ V, ξ=ι (ξ)=(σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V =σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ+τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中,定义线性变换τ为:对任意f (x )∈F n [x ],τ(f (x )) =x f '(x )-f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数. (1)求Ker τ及Im τ;(2)证明,V =Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f'(x )-f (x ) = 0其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2+ … + (n a n -a n )x n= 0 有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020na a a, 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ).(2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121101365 求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换,证明 (1) σ的本征值一定不为0; (2) 如果λ是σ 的本征值,那么λ1是σ-1的本征值.证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立.补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2⊆ Ker σ3⊆…(2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n., σ n(ξ)=0, σ (σ n(ξ))=0 即σn +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σn +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σn +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n.2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明,存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )=0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2n线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=nn Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=nn xk ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ-1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2=σ. 证明: (1) Ker σ ={ξ-σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V =Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ.[提示:证(3)的必要性,利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2=ι. 证明, V =W 1⊕W 2, 这里W 1={ξ∈V |σ(ξ)=ξ},W 2={η∈V |σ(η)=-η}.[提示:∀α∈V ,α=21(α+σ(α))+21(α-σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V =W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ=τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说,V λ={ξ∈V |σ(ξ)=λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示:证(2)时,考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ={ξ∈R n |ξ T A ξ=0}是R n 的n -r 维子空间.[提示:利用习题三第33题的结论,可得W 是齐次线性方程组BX =0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ,τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2=σ,τ2=τ. 证明,(1) Im σ=Im τ 当且仅当 στ=τ, τσ=σ; (2) Ker σ=Ker τ 当且仅当 στ=σ, τσ=τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. (2)必要性:设Ker σ=Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。

高等代数第7章习题解

高等代数第7章习题解

第七章习题解答习题7.11、 在4R 中,设11022213(,,,),(,,,)αβ=-=--,计算:(1)α与β的内积;(2)α与β的长度;(3)α与β的距离;(4)α与β的夹角; 解:(1)22064αβ⋅=++-=-; (2)||||αβ====(3)||αβ-==(4)9cos ||||αβθαβ⋅===-=-所以9,arccosαβπ<>=-2、求齐次线性方程组20x y +=的所有解,说明其任一解与向量(1,2)的关系。

解这个方程组的通解为21x k y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,记2112(,),(,)αβ=-=,则0αβ⋅=,所以这两个向量正交。

3、证明:在2R 中,以坐标原点为起点,单位圆周上的点为终点的向量是单位向量。

证明:以坐标原点为起点,单位圆周上的点为终点的向量的长度为1,所以以坐标原点为起点,单位圆周上的点为终点的向量是单位向量。

4、证明定理7.1.2定理内容:(1)()()k k αβαβ⋅=⋅;(2)()αβγαβαγ⋅+=⋅+⋅; (3)00α⋅=;(4)1111()s tsti ij j i j i j i j i j x y x y αβαβ====⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑证明:设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n a a a b b b c c c αβγ=== ,那么 (1)1122()()()()n n k a kb a kb a kb αβ⋅=+++1122()()n n k a b a b a b k αβ=+++=⋅ (2)111222()()()()n n n a b c a b c a b c αβγ⋅+=++++++11112222()()()n n n n a b a c a b a c a b a c =++++++11221122()()n n n n a b a b a b a c a c a c =+++++++αβαγ=⋅+⋅(3)1200000n a a a α⋅=+++= (4)略5、证明度量矩阵是可逆矩阵。

第7章习题解答

第7章习题解答

第7章思考题及习题7参考答案一、填空1. AT89S52单片机任何一个端口要想获得较大的驱动能力,要采用电平输出。

答:低2.检测开关处于闭合状态还是打开状态,只需把开关一端接到I/O端口的引脚上,另一端接地,然后通过检测来实现。

答:I/O端口引脚的电平3. “8”字型的LED数码管如果不包括小数点段共计段,每一段对应一个发光二极管,有和两种。

答:7,共阳极,共阴极4. 对于共阴极带有小数点段的数码管,显示字符“6”(a段对应段码的最低位)的段码为,对于共阳极带有小数点段的数码管,显示字符“3”的段码为。

!答:7DH,B0H5. 已知8段共阳极LED数码显示器要显示某字符的段码为A1H(a段为最低位),此时显示器显示的字符为。

答:d6. LED数码管静态显示方式的优点是:显示闪烁,亮度,比较容易,但是占用的线较多。

答:无,较高,软件控制,I/O口7. 当显示的LED数码管位数较多时,一般采用显示方式,这样可以降低,减少的数目。

答:动态,成本,I/O端口8. LCD 1602是型液晶显示模块,在其显示字符时,只需将待显示字符的由单片机写入LCD 1602的显示数据RAM(DDRAM),内部控制电路就可将字符在LCD上显示出来。

答:字符,ASCII码-9. LCD 1602显示模块内除有字节的RAM外,还有字节的自定义,用户可自行定义个5×7点阵字符。

答:80,显示数据,64,字符RAM,810.当按键数目少于8个时,应采用式键盘。

当按键数目为64个时,应采用式键盘。

答:独立,矩阵11.使用并行接口方式连接键盘,对独立式键盘而言,8根I/O口线可以接个按键,而对矩阵式键盘而言,8根I/O口线最多可以接个按键。

答:8,6412.LCD 1602显示一个字符的操作过程为:首先,然后,随后,最后。

答:读忙标志位BF,写命令,写显示字符,自动显示字符13.由于微型打印机TPµP-40A/16A是一种外设,因此单片机与微型打印机的的命令与数据传送,必须采用方式。

力学答案——漆安慎,07章

力学答案——漆安慎,07章

v' = ω r =
vG = v B = ω AB = 10 × 1.5 = 15m / s ,方向指向右下方,与水
平方向成 45º;
2000×2π 60
× 1.5 = 314m / s
⑵桨尖相对地面的速度:v = v '+ v机地 ,飞机相对地面的速度与 螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的, v机地 = 所以, v =

dm
3 L3

ρ0
L
L
0
x 3 dx = 3 4 L
证明:⑴取图示坐标,在坐标 x 处取一线元, dm = 对 y 轴的转动惯量为: dI =
m l
m l
dx ,它
x l/2
x 2 dx ,
-l/2
y dx
⑵ρ =
h −x ρ 0 (1 − L ) = ρ 0 (1 − LL )=
x
整个细杆对 y 轴的转动惯量:
n1 =
0.909 v 2πR
=
0.909×166×103 2×3.14×0.26
= 9.24 × 10 4 rev / h = 1.54 × 10 3 rev / min
7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。 ⑴圆 锥体为匀质;⑵密度为 h 的函数:ρ=ρ0(1-h/L),ρ0 为正常数。 解:建立图示坐标 o-x,据对称性分析, L 质心必在 x 轴上,在 x 坐标处取一厚为 dx o r a x 2 的质元 dm=ρπr dx,∵r/a=x/L,r=ax/L h ∴ dm=ρπa2x2dx/L2 ⑴圆锥体为匀质,即ρ为常数, 总质量: m = dm =
1 且与杆垂直的轴线的转动惯量等于 12 ml ;⑵用积分法证明:质量 2
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int main(void) {
int Status; Xil_Out8(XPAR_SEG_0_BASEADDR+0x4,0x0); //使 GPIO_IO 通道输出 Xil_Out8(XPAR_SEG_0_BASEADDR+0xc,0x0); //使 GPIO2_IO 通道输出 Status = TmrCtrIntrExample(&InterruptController,
4. intel80x86 微处理器在实模式下中断类型码为 8 的中断向量存放在中断向量表的哪个地 址空间? 解答:N=8,N*4=0x20, 中断类型码为 8 的中断向量存放在中断向量表的物理地址为 0x20~0x23 的 4 个字节地址空间
5. 简述 intel80x86 微处理器与 Microblaze 微处理器进入中断服务程序过程的异同。 解答:intel80x86 微处理器进入中断服务程序是由 CPU 根据中断类型码查找中断向量表 或中断描述符表获取中断服务程序的入口地址来实现的,该过程由硬件实现 Microblaze 微处理器进入中断服务程序是总的中断服务程序查找其自身预设的数据结构 中保存的中断服务程序句柄,通过调用该句柄来实现,该过程由软件实现
9. 已知某按键的连接电路如图 7- 35 所示,试采用 AXI GPIO 并行接口中断方式读入按键状 态,将其状态保存在字节变量 button 中。画出基于 MicroBLAZE 微处理器 AXI 总线的电 路原理图并基于 standalone 提供的库函数编写控制程序。
解答: 电路原理框图如下:
2) voidTimerCounterHandler(void *CallBackRef, u8 TmrCtrNumber) {
Xil_Out32(XPAR_LEDS_8BITS_BASEADDR,LedBits);//产生中断时,输出 LED 显示值 LedBits=~LedBits;//将 LED 各位取反 }
6. 简述 Intel80x86 与 MicroBlaze 识别中断源的异同。 解答:Intel80x86 通过中断类型码来识别不同种类的中断源 MicroBlaze 识别中断源需要通过读取中断控制器的中断请求寄存器,逐个查询才能识别。
7. 修改例 7. 3 的程序,利用定时器实现 100ms 的延时,控制 8 位 LED 灯同时闪烁显示。 解答:定时器实现 100ms 的延时,假定采用减计数,定时器需初始化为:10,000,000. 8 位 LED 灯同时闪烁显示也就是在时钟的中断服务程序里每次将原来输出的值全部取反 之后再输出,而不是移位。因此针对程序例 7.3 仅需要修改两处: 1)#define RESET_VALUE 10000000//计数 10M 个时钟脉冲的初始值
i=0; pos=0xf7; } }
staticintTmrCtrSetupIntrSystem(XIntc* IntcInstancePtr, XTmrCtr* TmrCtrInstancePtr, u16DeviceId, u16IntrId, u8TmrCtrNumber)
{ int Status; Status = XIntc_Initialize(IntcInstancePtr, INTC_DEVICE_ID);//初始化中断控制器数据结构 if (Status != XST_SUCCESS) { return XST_FAILURE;
Status = TmrCtrSetupIntrSystem(IntcInstancePtr, TmrCtrInstancePtr, DeviceId, IntrId, TmrCtrNumber);
if (Status != XST_SUCCESS) { return XST_FAILURE;
} XTmrCtr_SetHandler(TmrCtrInstancePtr, TimerCounterHandler,
图 7- 2 按键电路连接
Irq AXI总线
AXI Interrupt 总
线 接 口 MicroBlaze
AXI总线接口
AXI INTC Intr0
AXI总线接口
GPIO
Interrupt
控制程序如下: #include"xparameters.h"//The hardware configuration describing constants #include"xgpio.h" //GPIO API functions #include"xintc.h"//Interrupt Controller API functions #include"stdio.h" voidInitialize();//初始化函数(包含中断初始化) voidDelay_50ms();//延时函数 voidPushBtnHandler(void *CallBackRef);//按键的中断函数 XGpioBtns;//定义GPIO外设变量 XIntcintCtrl;//定义一个XINTC外设变量 intpshBtn;//作为中断标志 charbuffer;//存储Btns的状态值 intmain() {
第七章习题解答
1. 中断控制器应该具有哪些功能? 解答: 中断控制器应具有以下功能:中断请求信号的保持与清除,中断源的识别,中断允许控 制,中断优先级设置。
2. 什么是中断类型码?什么是中断向量? 解答:中断类型码:中断源的编码;中断向量:中断服务程序的入口地址
3. 简述 intel80x86 微处理器在实模式下进入中断处理的过程。 解答:中断请求——中断响应(获取中断类型码、入栈保护断点、现场)——根据中断 类型码查找中断向量表获得中断服务程序入口地址从而进入中断处理
staticintTmrCtrSetupIntrSystem(XIntc* IntcInstancePtr, XTmrCtr* InstancePtr, u16DeviceId, u16IntrId, u8 TmrCtrNumber);//定时器中断系统初始化函数
void TimerCounterHandler(void *CallBackRef, u8 TmrCtrNumber);//定时器中断服务程序 XIntcInterruptController; /* 实例化中断控制器 */ XTmrCtrTimerCounterInst; /* 实例化定时器 */ u32 LedBits;//LED 显示器的显示位置标识 charsegcode[4]={0x8c,0x88,0x92,0x92}; char pos=0xf7; //初始化位码 inti;
voidTimerCounterHandler(void *CallBackRef, u8 TmrCtrNumber) {
Xil_Out8(XPAR_SEG_0_BASEADDR,pos); //输出位码 Xil_Out8(XPAR_SEG_0_BASEADDR+0x8,segcode[i]);//输出段码 pos=pos>>1; i++; if(i==4){
TmrCtrInstancePtr);//注册定时器中断服务程序 XTmrCtr_SetOptions(TmrCtrInstancePtr, TmrCtrNumber, XTC_INT_MODE_OPTION|XTC_AUTO_RELOAD_OPTION| XTC_DOWN_COUNT_OPTION); //设置定时器 0:允许中断、自动装载、减计数 XTmrCtr_SetResetValue(TmrCtrInstancePtr, TmrCtrNumber, RESET_VALUE); //设置定时器初始值到 TLR XTmrCtr_Start(TmrCtrInstancePtr, TmrCtrNumber); //首先设置 LOAD 标志为 1,然后在清除 load 标志的同时,设置定时器使能标志 ENT=1 while (1) { }//死循环等待时钟中断 return XST_SUCCESS; }
解答: 电路原理框图如下:
图 7- 1 7 段数码管连接电路
Irq AXI总线
AXI Interrupt 总
线 接 口 MicroBlaze
AXI总线接口
AXI INTC Intr0
AXI总线接口
Interrupt timer
AXI总线接口
O2_IO
假定 GPIO 与 7 段数码管之间的引脚连接与例 6.6 相同,定时器延时时间为 50ms,以保 证 4 个 7 段数码管能够在 0.2S 内全部显示一遍。控制程序如下:
} Status = XIntc_Connect(IntcInstancePtr, IntrId,
(XInterruptHandler)XTmrCtr_InterruptHandler, (void *)TmrCtrInstancePtr); //将定时器主中断服务程序注册到相应 Intr 引脚对应的中断向量 if (Status != XST_SUCCESS) { return XST_FAILURE; } Status = XIntc_Start(IntcInstancePtr, XIN_REAL_MODE); //设置中断控制器接受硬件中断,并发出中断请求 if (Status != XST_SUCCESS) { return XST_FAILURE; } XIntc_Enable(IntcInstancePtr, IntrId);//使能定时器对应 Intr 的中断请求 microblaze_register_handler((XInterruptHandler)XIntc_InterruptHandler, IntcInstancePtr); //将中断控制器的总中断服务程序注册到 0X0000 0010 地址处 microblaze_enable_interrupts(); //使能微处理器的中断控制位 return XST_SUCCESS; }
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