习题解答(第七章)
第7章习题解答
z 2 = z 1 + 130
2 z z ) 2 + 100 z ( z ) = 0 1 - ( 1 + 130 1 + 82 1 + 130
2 - 260 z z ´ 130 = 0 1 - 130 + 182 1 + 82
78 z ´ 130 - 130 2 = -48 ´ 130 = -6240 1 = 82 z 1 = -80 z 2 = z 1 + 130 = 130 - 80 = 50 f = 40cm
p 3 . 14 - 8 2 l 2 ´ 6328 ´ 10 - 3 ④ q= = = 2 . 315 ´ 10 rad pw0 3 . 14 ´ 0 . 0174
(5)有一个平凹腔,凹面镜曲率半径 R=5m,腔长 L=1m,光波长l=0.5mm,求①两镜 面上的基模光斑半径②基模高斯光束的远场发散角 解:①
2、双凹腔两反射镜面曲率半径分别为 R1=100cm、R2=82cm,腔长 L=130cm,求等价共焦 腔的焦参数。 解:
z1 +
f 2 = - R 1 z 1
z 1 +
f 2 = -100 z 1
2 2 z 100 z 1 + 1 + f = 0
w 0 =
f l
p
=
0 . 4 R l
p
(2)对称双凹腔长为 L,反射镜曲率半径 R=2.5L,光波长为l,求镜面上的基模光斑半 径。 解:
L L 2 f 2 = ( 2 R - L ) = (2 ´ 2 . 5 L - L ) = L 4 4 f = L
2 z 2
f
2
教材第七章习题解答
第七章化学平衡习题解答1.回答下列问题(1)反应商和标准平衡常数的概念有何区别? (2)能否用r m G θ∆来判断反应的自发性?为什么? (3)计算化学反应的K θ有哪些方法?(4)影响平衡移动的因素有哪些?它们是如何影响移动方向的? (5)比较“温度与平衡常数的关系式”同“温度与反应速率常数的关系式”,有哪些相似之处?有哪些不同之处?举例说明。
(6)酸碱质子理论如何定义酸和碱?有何优越性?什么叫共轭酸碱对?(7)当往缓冲溶液中加入大量的酸和碱,或者用很大量的水稀释时,pH 是否仍保持不变?说明其原因。
(8)对于一个在标准状态下是吸热、熵减的化学反应,当温度升高时,根据勒夏特列原理判断,反应将向吸热的正方向移动;而根据公式∆r G m θ=∆r H m θ-T ∆r S m θ判断,∆r G m θ将变得更正(正值更大),即反应更不利于向正方向进行。
在这两种矛盾的判断中,哪一种是正确的?简要说明原因。
(9)对于制取水煤气的下列平衡系统:22C(s)+H O(g)CO(g)+H (g) ;r m H Θ∆。
问:① 欲使平衡向右移动,可采取哪些措施?② 欲使正反应进行得较快且较完全(平衡向右移动)的适宜条件如何?这些措施对K θ及k(正)、k(逆)的影响各如何?(10)平衡常数改变时,平衡是否必定移动?平衡移动时,平衡常数是否一定改变?【解答】(1)反应商是在一定温度下,任意给定态时,生成物的相对压力(或者相对浓度)以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力(或相对浓度)以化学计量系数为幂的乘积。
在一定温度下,当反应达到平衡时,生成物的相对压力(或者相对浓度)以方程式中化学计量系数为幂的乘积除以反应物的相对压力(或相对浓度)以化学计量系数为幂的乘积是一个常数,称为标准平衡常数,是量纲为一的量。
标准平衡常数的数值只是温度的函数。
(2)只能用r m G θ∆判断在标准态下的反应的自发性。
任意给定态时,反应的自发进行的方向只能由r m G ∆来判断。
最新(完美版)第七章习题答案_数值分析
第七章习题解答2、试确定系数a ,b 的值使220[()cos ]ax b x dx p+-ò达到最小解:设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx p=+-ò确定a ,b 使(,)I a b 达到最小,必须满足0,0I Ia b ¶¶==¶¶即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx xxdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx p p p p p p p pp p p p p ììì+=-+-=+=ïïïïïïÞÞíííïïï+=+-=+=ïïïîîîòòòòòòòò解得:0.6644389, 1.1584689a b »-»5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解:作变量代换,将区间[-1, 3]变为[-1, 1],令21x t =+,即12x t -=则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-££对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==å,其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j j P f j C F t P t dt j P P -+===ò20121()=1,()=t,()=(31)2P t P t P t t - 则有:1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t tdt t tdt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=òòòòòò 01251145()()()()4864S t P t P t P t \=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式*01222151111451()()()()()()2428264251114511=()((3()1))4826422135+82243512x x x x S t S t S P P P x x x x ----===++--++-+=7、确定一条经过原点的二次曲线,使之拟合下列数据ix123iy0.2 0.5 1.0 1.2并求平方误差2d解:设2012()1,(),()x x x x x j j j ===由题,拟合函数须过原点 则令001122()()()()f x C x C x C x j j j =++,其中00C =,即212()f x C x C x =+ 12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y f f æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G f f f f f f f f æöæö==ç÷ç÷èøèø 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y f f æöæö==ç÷ç÷èøèø得法方程GC F = 121436 6.1369815.3C C æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø解方程得:120.61840.0711C C »»-2()0.61840.0711f x x x \=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j YC Y Y Y df f f ==-=-´+´=å8、已知一组数据ix1 2 3iy3 2 1.5试用拟合函数21()S x a bx =+拟合所给数据解:令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x j j ==01()()()f x a x b x j j =+则123113111114,219213y A F y y æöæö÷ç÷çæöç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷ç÷ç÷ç÷èøèøT T a A A A F b æö\=ç÷èø,即331422514983a b æöç÷æöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøç÷èø解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+=从而有21()0.30950.0408S x x =+补充题:用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ,并估计误差 解:作变量替换1(1)2x t =+,将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n p+=+=+ 0120.933001270.50.0669873x x x ===利用这些点做插值商表i xi y一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则:20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-£==+其中(3)3max ()M f x = 由于1(1)2x t =+,即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=Î281()243R x \£=。
无机化学(周祖新)习题解答 第七章
第七章分子结构和晶体习题解答(7)思考题1.举例说明下列概念的区别:离子键与共价键、共价键与配位键、σ键和Л键、极性键和非极性键、极性分子与非极性分子、分子间力与氢键。
1.离子键是得到电子的阴离子与失去电子的阳离子的强烈静电吸引作用;共价键是原子间通过共用电子对(或电子云重叠)而形成的相互吸引作用,无阴、阳离子;配位键也是共价键中的一种,只不过共用的一对电子有一个原子提供。
σ键是各自电子云用密度最大的一头相互重叠,以使重叠体积最大,两原子间形成共价键时首先肯定以σ键成键,但两原子间只能形成σ键一次。
Л键是在原子间已形成一根σ键后,其余原子轨道以“肩并肩”在侧面重叠的成键方式,其重叠体积比σ键要小,但两原子间根据各自的单电子数可形成几个Л键。
极性键是两不同原子间形成共价键时,由于两原子的电负性不同,吸引公用电子对的作用不同,使某一端带有部分正电荷,另一端带有部分负电荷,这就是极性键;若两相同的原子间形成共价键,由于彼此电负性相同,吸引共用电子对的能力相同,公用电子对不偏向任何一个原子,两原子不带“净”电荷,没有“正”或“负”的一端,即非极性键。
极性分子是整个分子中正、负电荷重心不重合,使分子一端带部分正电荷,为正极,另一端带部分负电荷,为负极。
分子之间由于偶极间的相互作用力为分子间力。
氢键是氢原子与电负性大、半径小的原子形成共价键后,由于氢原子唯一的电子被其他原子吸引到离氢原子核较远的地方,氢原子几乎成了“裸露”的质子,有很强的正电场,吸引另一电负性大、半径小的原子的孤对电子,形成了一种作用力,这个作用力本质上还是分子间作用力,但比一般的分子间力强。
2.离子键是怎样形成的?离子键的特征和本质是什么?为什么离子键无饱和性和方向性?2.离子键是失电子的金属阳离子和德电子的非金属阴离子通过静电引力形成的。
离子键的特征是无方向性、无饱和性。
其本质是正、负点电荷间的静电引力。
点电荷产生的电场向空间各个方向均匀传播,每一个在其电场中的异号电荷都会受到它的吸引作用,在理论上它可吸引无数个异号电荷,所以离子键无饱和性;由于点电荷产生的电场向空间各个方向的传播是均匀的,只要距离相等,不管在哪个方向,受到的作用里是一样的,这就是离子键的无方向性。
第七章习题解答
计算图示各系统的动能:(1)偏心圆盘的质量为,偏心距OC m e =,对质心的回转半径为C ρ,绕轴O 以角速度0ω转动(图a )。
(2)长为l ,质量为的匀质杆,其端部固结半径为,质量为的匀质圆盘。
杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动(图b )。
(3)滑块A 沿水平面以速度移动,重块B 沿滑块以相对速度下滑,已知滑块A 的质量为,重块B 的质量为(图c )。
1v 2v 1m 2m (4)汽车以速度沿平直道路行驶,已知汽车的总质量为0v M ,轮子的质量为m ,半径为R ,轮子可近似视为匀质圆盘(共有4个轮子)(图d )。
解:(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上,轮的半径为r ,质量为。
缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物,沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升,如图所示。
重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。
绳索的质量不计,鼓轮可看成为匀质圆柱体,开始时系统静止。
求鼓轮转过ϕ角时的角速度。
解:为一自由度理想约束系统。
取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象,受力图如下图所示。
鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理,有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物,如图所示。
第7章习题详细解答
第7章习题解答7—1判断题(对的打√,不对的打×)1。
数字电路分为门电路和时序逻辑电路两大类。
(× )2。
边沿触发器和基本RS触发器相比,解决了空翻的问题.(×)3. 边沿触发器的状态变化发生在CP上升沿或下降沿到来时刻,其他时间触发器状态均不变。
(√)4. 基本RS 触发器的输入端就是直接置0端和直接置1端。
(√)23 的计数器。
(×)5。
3位二进制计数器可以构成模为16。
十进制计数器最高位输出的周期是输入CP脉冲周期的10倍。
(√)7. 构成一个7进制计数器需要7个触发器。
(×)8.当时序电路存在无效循环时该电路不能自启动.( √)9。
寄存器要存放n位二进制数码时,需要n2个触发器。
(×)10.同步计数器的计数速度比异步计数器快。
(√)11。
在计数器电路中,同步置零与异步置零的区别在于置零信号有效时,同步置零还需要等到时钟信号到达时才能将触发器置零,而异步置零不受时钟的控制。
(√)12。
计数器的异步清零端或异步置数端在计数器正常计数时应置为无效状态。
(√)13。
自启动功能是任何一个时序电路都具有的。
(× )14。
无论是用置零法还是用置数法来构成任意N进制计数器时,只要置零或置数控制端是异步的,则在状态循环过程中一定包含一个过渡状态;只要是同步的,则不需要过渡状态。
(√)15。
用置零法或置位法可以设计任意进制的计数器.(×)7—2 由或非门组成的基本RS触发器如图7—38所示,已知R、S的电压波形,试画出与之对应的Q和Q的波形。
图7—38 题7-2图解:由或非门组成的基本RS触发器的特性表,可得该题的输出端波形如下图所示:或非门RS 触发器特性表 题7—2 波形图7—3由与非门组成的基本RS 触发器如图7-39所示,已知R 、S 的电压波形,试画出与之对应的Q 和Q 的波形。
图7-39 题7-3图解:由与非门组成的基本RS 触发器的特性表,可得该题的输出端波形如下图所示:与非门RS 触发器特性表 题7—3波形图7-4已知如图7-40所示的各触发器的初始状态均为0,试对应画出在时钟信号CP 的连续作用下各触发器输出端Q 的波形。
中级会计实务习题解答-第七章----长期股权投资
第七章长期股权投资第一节长期股权投资的初始计量考试大纲基本要求:(1)掌握同一控制下的企业合并形成的长期股权投资初始投资成本的确定方法;(2)掌握非同一控制下的企业合并形成的长期股权投资初始投资成本的确定方法;(3)掌握以非企业合并方式取得的长期股权投资初始成本的确定方法。
【例题1·单选题】下列投资中,不应作为长期股权投资核算的是( )。
A。
对子公司的投资B。
对联营企业和合营企业的投资C.在活跃市场中没有报价、公允价值无法可靠计量的没有控制、共同控制或重大影响的权益性投资D。
在活跃市场中有报价、公允价值能可靠计量的没有控制、共同控制或重大影响的权益性投资【答案】D【解析】重大影响以下、在活跃市场中有报价、公允价值能够可靠计量的权益性投资,应按金融工具准则的有关规定处理。
【例题2·单选题】2007年3月20日,甲公司合并乙企业,该项合并属于同一控制下的企业合并。
合并中,甲公司发行本公司普通股1000万股(每股面值1元,市价为2.1元),作为对价取得乙企业60%股权。
合并日,乙企业的净资产账面价值为3200万元,公允价值为3500万元。
假定合并前双方采用的会计政策及会计期间均相同.不考虑其他因素,甲公司对乙企业长期股权投资的初始投资成本为()万元。
(2008年考题)A.1 920 B.2100 C.3 200 D.3 500【答案】A【解析】甲公司对乙企业长期股权投资的初始投资成本=3200×60%=1920(万元)。
【例题3·单选题】甲公司以定向增发股票的方式购买同一集团内另一企业持有的A公司80%股权。
为取得该股权,甲公司增发2000万股普通股,每股面值为1元,每股公允价值为5元;支付承销商佣金50万元。
取得该股权时,A公司净资产账面价值为9000万元,公允价值为12000万元。
假定甲公司和A公司采用的会计政策相同,甲公司取得该股权时应确认的资本公积为( )。
第七章习题解答
习 题 七1. 判断下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:(1) 在向量空间V 中,σ (ξ)=ξ+α,α是V 中一固定的向量;(2) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,(233221x x x x +; (3) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,2(13221x x x x x +-; (4) 把复数域看作复数域上的向量空间,σ (ξ)=ξ.解 (1)当0=α时,σ是线性变换;当0≠α时,σ不是线性变换; (2)σ不是线性变换; (3)σ是线性变换; (4)σ不是线性变换;2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明,σ是V 的一个线性变换的充要条件是:存在F 中的一个数a ,使得对任意ξ∈V ,都有σ (ξ)=a ξ .证明:充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换,如果σ k -1ξ≠0, 但σ k ξ=0,求证ξ, σξ, …, σ k -1ξ (k >0)线性无关. 证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:Λ++-ξσξσk k l l 110+0221=--ξσk k l由已知得:Λ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: Λ+σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ作用得:Λξσξσk k l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有:Λ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中,σ (f (x ))=f '(x ), τ (f (x ))=xf (x ), 证明,στ -τσ=ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ -τσ=ι.5. 在向量空间R 3中,线性变换σ, τ如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1, x 2, x 1+x 2)τ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2-x 3, 0, x 3-x 1-x 2)(1) 求στ, τσ, σ2;(2) 求σ+τ, σ -τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+ ),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2+x 3, x 2+x 3,-x 3)证明,σ是可逆变换,并求σ-1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A .显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1001100111A 所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换,试证,(1)如果σ, τ都与ρ可交换,则στ, σ2也都与ρ可交换(若对任意α∈V ,都有στ (α)=τσ (α),就说σ与τ可交换);(2)如果σ+τ, σ-τ都与ρ可交换,则σ, τ也都与ρ可交换.证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明,数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的.Λ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明,可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组.证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换,Λ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令Λ++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: Λ+11αk +0=m m k α.由已知Λ,,21αα,m α 线性无关,所以:Λ==21k k =0=m k .故Λ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关. 10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵;(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0,k ∈F ); (3) 求σ在{ε1, ε1+ε2, ε3}下的矩阵.解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a aa a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka aa k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a a a a a a a a a a a a a a 11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 2+x 3, x 1-4x 2, 3x 1),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)下的矩阵;(2) 利用(1)中结论,求σ在基α1=(1, 1, 1),α2=(1, 1, 0),α3=(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ(2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ,τ如下σ (X )=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111, τ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ).试求σ+τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆?若可逆,求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+021*********)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ=12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ=121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A .同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1100110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*********10021211B . 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间,并且V =W 1⊕W 2证明,σ是可逆变换的充要条件是V =σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令Λ,1α,r α是1W 的一个基. 令Λ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: Λ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则Λ),(1ασ,)(r ασ,Λ)(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£(Λ),(1ασ,)(r ασ).=)(2W σ£(Λ)(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V =σ ( W 1)⊕ σ ( W 2). 充分性:将必要性的过程倒过去即可. 14. 设R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 1-x 2, x 2-x 3, x 2+x 3)求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)及基η1=(1, 1, 0), η2=(0, 1, 1),η3=(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110110012A .σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1100110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011.15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X , ∀X ∈M 2(F ).求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵,其中E 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001, E 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=302003021000010A . 16. 证明,与n 维向量空间V 的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得.17. 给定R 3的两个基α1=(1, 0, 1), α2=(2, 1, 0), α3=(1, 1, 1);和 β1=(1, 2,-1), β2=(2, 2, -1), β3=(2, -1, -1). σ是R 3的线性变换,且σ(αi )=βi ,i =1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵; (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵; (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101110221.所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 18. 设α1=(-1, 0, -2), α2=(0, 1, 2), α3=(1, 2, 5),β1=(-1, 1, 0), β2=(1, 0, 1), β3=(0, 1, 2),ξ=(0, 3, 5)是R 3中的向量,σ是R 3的线性变换,并且σ(α1)=(2, 0, -1), σ(α2)=(0, 0, 1),σ(α3)=(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵; (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标; (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标.解:令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1,β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T .又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-= 321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 ,β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2,x 2+x 3,x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变?(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , -a , 0)| a ∈R }. 解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,证明下列条件等价: (1) σ (V )=V ; (2) ker σ={0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σKer .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+2x 2-x 3, x 2+x 3, x 1+x 2-2x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换,W 是σ的一个不变子空间,证明,W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证.23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换,{α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn }是V 的基. 证明,如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基,那么{σ (αr +1),…, σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr +1)+ l r +2σ (αr +2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr +1+…+ l n αn )=0, l r +1αr +1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr +1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr +1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr +1),…, σ (αn )). 从而结论成立.24. 对任意α∈R 4,令σ (α)=A α,其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201求线性变换σ的核与象.解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ,τ 是向量空间V 的线性变换,且σ+τ=ι,στ=τσ=θ. 这里ι是V 的恒等变换,θ 是V 的零变换. 证明:(1) V =σ(V )⊕τ (V ); (2) σ(V )=Ker τ. 证明: (1) ∀ξ∈ V , ξ=ι (ξ)=(σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V =σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ+τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中,定义线性变换τ为:对任意f (x )∈F n [x ],τ(f (x )) =x f '(x )-f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数.(1)求Ker τ及Im τ;(2)证明,V =Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f '(x )-f (x ) = 0 其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2 + … + (n a n -a n )x n = 0有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020n a a a M , 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ). (2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121101365求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换,证明 (1) σ的本征值一定不为0;(2) 如果λ是σ 的本征值,那么λ1是σ-1的本征值. 证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立. 补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2 ⊆ Ker σ3 ⊆… (2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n ., σ n (ξ)=0, σ (σ n (ξ))=0 即σ n +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σ n +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σ n +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n .2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明,存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )=0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A2n 线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=n n Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=n n x k ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ-1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以Λ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以Λ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故Λ),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1Λ=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2=σ. 证明: (1) Ker σ ={ξ-σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V =Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ.[提示:证(3)的必要性,利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ)()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以0)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2=ι. 证明, V =W 1⊕W 2, 这里W 1={ξ∈V |σ(ξ)=ξ},W 2={η∈V |σ(η)=-η}.[提示:∀α∈V ,α=21(α+σ(α))+21(α-σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V =W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ=τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说,V λ={ξ∈V |σ(ξ)=λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示:证(2)时,考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ={ξ∈R n |ξ T A ξ=0}是R n 的n -r 维子空间.[提示:利用习题三第33题的结论,可得W 是齐次线性方程组BX =0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T=,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A TTTT==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ,τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2=σ,τ2=τ. 证明,(1) Im σ=Im τ 当且仅当 στ=τ, τσ=σ; (2) Ker σ=Ker τ 当且仅当 στ=σ, τσ=τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. (2)必要性:设Ker σ=Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。
工程光学习题解答--第七章-典型光学系统
工程光学习题解答--第七章-典型光学系统第七章 典型光学系统1.一个人近视程度是D 2-(屈光度),调节范围是D 8,求: (1)远点距离; (2)其近点距离;(3)配戴100度近视镜,求该镜的焦距; (4)戴上该近视镜后,求看清的远点距离; (5)戴上该近视镜后,求看清的近点距离。
解: ① 21-==rl R )/1(m∴ ml r5.0-=②PR A -= D A 8= D R 2-=∴D A R P 1082-=--=-=m P l p1.01011-=-== ③f D '=1 ∴m f 1-=' ④D D R R 1-=-=' m l R1-='⑤P R A '-'= DA 8=D R 1-='DA R P 9-=-'='m l P11.091-=-='2.一放大镜焦距mm f 25=',通光孔径mm D 18=,眼睛距放大镜为mm 50,像距离眼睛在明视距离mm 250,渐晕系数为%50=k ,试求(1) 视觉放大率;(2)线视场;(3)物体的位置。
已知:放大镜 mm f 25=' mmD 18=放mm P 50='mm l P 250='-'%50=K求:① Γ ② 2y ③l 解:①f D P '-'-=Γ125501252501250-+=''-+'=f P feye92110=-+=②由%50=K 可得:18.050*2182=='='P D tg 放ωωωtg tg '=Γ ∴02.0918.0==ωtg D y tg =ω ∴mmDtg y 502.0*250===ω∴mm y 102= 方法二:18.0='ωtg Θmmtg y 45*250='='ωmml 200-='mmfe 250='mm l 2.22-=yy l l X'==='=92.22200βΘmm y 102=③ l P D '-'= mm D P l 20025050-=-=-'='l l =-'1125112001=--lmml 22.22-=3.一显微镜物镜的垂轴放大率为x3-=β,数值孔径1.0=NA ,共扼距mm L 180=,物镜框是孔径光阑,目镜焦距mm f e25='。
水力学教材习题解答习题解答7
第 七 章 习 题 解 答7-1 梯形断面壤土渠道,已知通过流量Q = 10.5 m 3/s ,底宽b = 8.9 m ,边坡系数m = 1.5,正常水深h 0= 1.25 m ,糙率 n = 0.025,求底坡i 和流速v 。
解: A = 1.25×(8.9+1.5×1.25) = 13.47 m 2,χ= 8.9+2×1.25×25.11+= 13.41 m , R = A /χ=1.005 m ,C = 1.0051/6/0.025 = 40.03 m 1/2·s , K = ACR 1/2=540.57 m/3si = (Q /K )2 = 0.000377,v = Q /A = 0.78 m/s7-2 有一灌溉干渠,断面为梯形,底宽b = 2.2 m ,边坡系数m = 1.5,实测得流量Q = 8.11 m 3/s 时,均匀流水深h 0 = 2 m ,在1800m 长的顺直渠段水面落差Δh = 0.5 m ,求渠道的糙率n 。
解:i = J = J P = △h /L =1/3600,A = 2×(2.2+1.5×2 ) = 10.4 m 2, χ= 2.2+2×2×25.11+= 9.41 m , R = A /χ= 1.105 mn = AR 2/3i 1/2/Q = 0.02287-3 一石渠的边坡系数m = 0.1,糙率n = 0.020,底宽b = 4.3 m ,水深h = 2.75 m ,底坡i = 1/2000,求流量和流速。
解:A = 2.75×(4.3+0.1×2.75 ) = 12.58 m 2,χ= 4.3+2×2.75×21.01+= 9.83 m R = A /χ= 1.28 m ,v = n i R 32=1.318 m/s , Q = vA =16.58 m 3/s7-4 直径为d 的圆形管道中的明槽均匀流动,试根据式(7-2-5)导出Q/Q 1~h/d 的关系式(Q 1为h/d = 1时的流量),并论证当充满度h/d 为多大时Q/Q 1达到最大值。
习题解答第7章
A. ; B. ;
C. ; D.
解:由求解一阶电路的三要素法 可知在原电路中 V, V。当初始状态不变而输入增加一倍时,有
V
二、填空题
1.换路前电路已处于稳态,已知 , , , . 时,开关由 掷向 ,则图7—3所示电路在换路后瞬间的电容电压 V, V。
作用时的响应为
作用时的响应为
总的零状态响应为
8.图7—14所示电路中,激励为单位冲激函数 A,求零状态响应 。
解:设激励为 ,用三要素法求电路的单位阶跃响应。
,
,
电流的单位阶跃响应为
根据单位冲激响应和单位阶跃响应的关系,可得电路中的 :
9.图7—15所示电路中, , ,求 时的响应 。
解:应用叠加原理求解此题.
第七章(一阶电路)习题解答
一、选择题
1.由于线性电路具有叠加性,所以C。
A.电路的全响应与激励成正比;
B.响应的暂态分量与激励成正比;
C.电路的零状态响应与激励成正比;
D.初始值与激励成正比
2.动态电路在换路后出现过渡过程的原因是A。
A.储能元件中的能量不能跃变;
B.电路的结构或参数发生变化;
C.电路有独立电源存在;
解: 由 时刻电路得:
,
换路后,电容 , 构成纯电容的回路(两电容并联),电容电压发生强迫跃变,此时应由电荷守恒原理求解换路后瞬刻的电容电压。由 得:
……①
…… ②
由以上两式解得
2.图7—4所示电路的时间常数 .
解:将储能元件开路,独立电源置 后,可得求戴维南等效电阻的电路如图7—4(a)所示。由于电路中含有受控源,因此需用外加电压法求戴维南等效电阻 .由图7—4(a)得
第七章恒定磁场-习题解答
7-3 如图所示,一无限长载流绝缘直导线弯成如附图所示的
形状。求使o点的磁感应强度为零的半径a和b的比值。
解 该载流系统由三部分组成,o点的磁感
应强度为载有相同电流的无限长直导线
及两个半径分别为a和b的圆环分别在该
处激发的磁感应强度的矢量和。设磁场 方向以垂直纸面向内为正,向外为负。
方向垂直纸面向里。 (2)由磁矩定义
方向垂直纸面向里。
第七章、稳恒磁场
7-20 质谱仪的构造原理如图所示。离子源S提供质量为M、
电荷为q的离子。离子初速很小,可以看作是静止的,然后经
过电压U的加速,进入磁感应强度为B的均匀磁场,沿着半圆
周运动,最后到达记录底片P上。测得离子在P上的位置到入
口处A的距离为x。试证明该离子的质量为:M ? qB 2 x 2 。
或由磁感应线是闭合曲线,也可推知
??
Φaefd
?
? Φabcd
?
0.24Wb
? Φ ? ?B?dS ? 0
第七章、稳恒磁场
7-9 一个非均匀磁场磁感应强度的变化规律为B=ky(k为常 量),方向垂直纸面向外。磁场中有一边长为a的正方形线 框,其位置如图所示。求通过线框的磁通量。
解 在线框内坐标为y处取一长为a宽为 dy的矩形面积元dS,在dS中磁场可认 为是均匀的,则通过dS的磁通量
? I2l
? 0 I1
2πx1
I2l
? ?7.2?
F2 10?4
? B2I2l N
?
? 0 I1
2πx2
I2l
负号表示合力方向水平向左。
第七章、稳恒磁场
习题7-16 一长直导线通有电流I =20A,另一导线ab通 有电流I?=10A,两者互相垂直且共面,如图所示。求导 线ab所受的作用力和对o点的力矩。
第7章习题解答
第7章思考题及习题71.如果采用的晶振的频率为24MHz,定时器/计数器工作在方式0、1、2下,其最大定时时间各为多少?答:晶振的频率为24MHz, 机器周期为0.5µs。
方式0最大定时时间=0.5µs×213=0.5µs×8192=4096µs方式1最大定时时间=0.5µs×216=0.5µs×65536=327686µs方式2最大定时时间=0.5µs×28=0.5µs×256=128µs2.定时器/计数器用作计数器模式时,对外界计数频率有何限制?答:外部输入的计数脉冲的最高频率为系统振荡器频率的1/24。
3.定时器/计数器的工作方式2有什么特点?适用于哪些应用场合?答:方式2为初值自动装入的8位定时器/计数器,克服了在循环定时或循环计数应用时就存在用指令反复装入计数初值影响定时精度的问题。
4.TH x与TL x(x= 0,1)是普通寄存器还是计数器?其内容可以随时用指令更改吗?更改后的新值是立即刷新还是等当前计数器计满后才能刷新?答:THx与TLx(x = 0,1)是计数器,其内容可以随时用指令更改,但是更改后的新值要等当前计数器计满后才能刷新。
5.Proteus虚拟仿真使用定时器T0,采用方式2定时,在P1.0脚输出周期为400µs,占空比为4:1的矩形脉冲,要求在P1.0脚接有虚拟示波器,观察P1.0脚输出的矩形脉冲波形。
答:略6.Proteus虚拟仿真利用定时器T1的中断来使P1.7控制蜂鸣器发出1kHz的音频信号,假设系统时钟频率为12MHz。
答:利用定时器T1的中断控制P1.7引脚输出频率为1kHz的方波音频信号,驱动蜂鸣器发声。
系统时钟为12MHz。
方波音频信号的周期为1ms,因此T1的定时中断时间为0.5 ms,进入中断服务程序后,对P1.7求反。
无机化学(周祖新)习题解答-第七章
第七章分子结构和晶体习题解答(7)思考题1.举例说明下列概念的区别:离子键与共价键、共价键与配位键、σ键和Л键、极性键和非极性键、极性分子与非极性分子、分子间力与氢键。
1.离子键是得到电子的阴离子与失去电子的阳离子的强烈静电吸引作用;共价键是原子间通过共用电子对(或电子云重叠)而形成的相互吸引作用,无阴、阳离子;配位键也是共价键中的一种,只不过共用的一对电子有一个原子提供。
σ键是各自电子云用密度最大的一头相互重叠,以使重叠体积最大,两原子间形成共价键时首先肯定以σ键成键,但两原子间只能形成σ键一次。
Л键是在原子间已形成一根σ键后,其余原子轨道以“肩并肩”在侧面重叠的成键方式,其重叠体积比σ键要小,但两原子间根据各自的单电子数可形成几个Л键。
极性键是两不同原子间形成共价键时,由于两原子的电负性不同,吸引公用电子对的作用不同,使某一端带有部分正电荷,另一端带有部分负电荷,这就是极性键;若两相同的原子间形成共价键,由于彼此电负性相同,吸引共用电子对的能力相同,公用电子对不偏向任何一个原子,两原子不带“净”电荷,没有“正”或“负”的一端,即非极性键。
极性分子是整个分子中正、负电荷重心不重合,使分子一端带部分正电荷,为正极,另一端带部分负电荷,为负极。
分子之间由于偶极间的相互作用力为分子间力。
氢键是氢原子与电负性大、半径小的原子形成共价键后,由于氢原子唯一的电子被其他原子吸引到离氢原子核较远的地方,氢原子几乎成了“裸露”的质子,有很强的正电场,吸引另一电负性大、半径小的原子的孤对电子,形成了一种作用力,这个作用力本质上还是分子间作用力,但比一般的分子间力强。
2.离子键是怎样形成的?离子键的特征和本质是什么?为什么离子键无饱和性和方向性?2.离子键是失电子的金属阳离子和德电子的非金属阴离子通过静电引力形成的。
离子键的特征是无方向性、无饱和性。
其本质是正、负点电荷间的静电引力。
点电荷产生的电场向空间各个方向均匀传播,每一个在其电场中的异号电荷都会受到它的吸引作用,在理论上它可吸引无数个异号电荷,所以离子键无饱和性;由于点电荷产生的电场向空间各个方向的传播是均匀的,只要距离相等,不管在哪个方向,受到的作用里是一样的,这就是离子键的无方向性。
第七章习题解答
习 题 七1. 判断下面所定义的变换,哪些是线性的,哪些不是:(1) 在向量空间V 中,σ (ξ)=ξ+α,α是V 中一固定的向量;(2) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,(233221x x x x +;(3) 在向量空间R 3中,σ (x 1, x 2, x 3)=),,2(13221x x x x x +-; (4) 把复数域看作复数域上的向量空间,σ (ξ)=ξ. 解 (1)当0=α时,σ是线性变换;当0≠α时,σ不是线性变换; (2)σ不是线性变换; (3)σ是线性变换; (4)σ不是线性变换;2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明,σ是V 的一个线性变换的充要条件是:存在F 中的一个数a ,使得对任意ξ∈V ,都有σ (ξ)=a ξ .证明:充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换,如果σ k -1ξ≠0, 但σ k ξ=0,求证ξ, σξ, …, σk -1ξ (k >0)线性无关.证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:++-ξσξσkk l l 110+0221=--ξσk k l由已知得: ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: +σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ 作用得:ξσξσkk l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中,σ (f (x ))=f '(x ), τ (f (x ))=xf (x ), 证明,στ -τσ=ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ -τσ=ι.5. 在向量空间R 3中,线性变换σ, τ如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1, x 2, x 1+x 2)τ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2-x 3, 0, x 3-x 1-x 2)(1) 求στ, τσ, σ2;(2) 求σ+τ, σ -τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2+x 3, x 2+x 3,-x 3) 证明,σ是可逆变换,并求σ-1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001100111A所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换,试证,(1)如果σ, τ都与ρ可交换,则στ, σ2也都与ρ可交换(若对任意α∈V ,都有στ (α)=τσ (α),就说σ与τ可交换);(2)如果σ+τ, σ-τ都与ρ可交换,则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明,数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明,可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1,ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵;(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0,k ∈F );(3) 求σ在{ε1, ε1+ε2, ε3}下的矩阵. 解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a aa a a a a a a a a a a a11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 2+x 3, x 1-4x 2, 3x 1),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)下的矩阵;(2) 利用(1)中结论,求σ在基α1=(1, 1, 1),α2=(1, 1, 0),α3=(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ (2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ,τ如下σ (X )=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111, τ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ). 试求σ+τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆?若可逆,求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+021202011111)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*******1210021211B. 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间,并且V =W 1⊕W 2证明,σ是可逆变换的充要条件是V =σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£( ),(1ασ,)(r ασ). =)(2W σ£( )(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V =σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(2x 1-x 2, x 2-x 3, x 2+x 3)求σ在基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1) 及基η1=(1, 1, 0), η2=(0, 1, 1),η3=(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110012A . σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011. 15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X , ∀X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵,其中E 11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001, E 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=30200302100001A . 16. 证明,与n 维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得. 17. 给定R 3的两个基α1=(1, 0, 1), α2=(2, 1, 0), α3=(1, 1, 1);和 β1=(1, 2,-1), β2=(2, 2, -1), β3=(2, -1, -1). σ是R 3的线性变换,且σ(αi )=βi ,i =1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵; (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵; (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110221. 所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 18. 设α1=(-1, 0, -2), α2=(0, 1, 2), α3=(1, 2, 5),β1=(-1, 1, 0), β2=(1, 0, 1), β3=(0, 1, 2),ξ=(0, 3, 5)是R 3中的向量,σ是R 3的线性变换,并且σ(α1)=(2, 0, -1), σ(α2)=(0, 0, 1),σ(α3)=(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵; (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标; (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标. 解:令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T . 又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-=321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+x 2,x 2+x 3,x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变?(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , -a , 0)| a ∈R }.解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,证明下列条件等价: (1) σ (V )=V ; (2) ker σ={0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下:σ (x 1, x 2, x 3)=(x 1+2x 2-x 3, x 2+x 3, x 1+x 2-2x 3),∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换,W 是σ的一个不变子空间,证明,W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证. 23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换,{α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn }是V 的基. 证明,如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基,那么{σ (αr +1),…,σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr +1)+ l r +2σ (αr +2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr +1+…+ l n αn )=0, l r +1αr +1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr +1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr +1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr +1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr +1),…, σ (αn )).从而结论成立.24. 对任意α∈R 4,令σ (α)=A α,其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ,τ 是向量空间V 的线性变换,且σ+τ=ι,στ=τσ=θ. 这里ι是V 的恒等变换,θ 是V 的零变换. 证明:(1) V =σ(V )⊕τ (V ); (2) σ(V )=Ker τ.证明: (1) ∀ξ∈ V, ξ=ι (ξ)=(σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V =σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ+τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ+τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中,定义线性变换τ为:对任意f (x )∈F n [x ],τ(f (x )) =x f '(x )-f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数. (1)求Ker τ及Im τ;(2)证明,V =Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f'(x )-f (x ) = 0其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2+ … + (n a n -a n )x n= 0 有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020na a a, 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ).(2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121101365 求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换,证明 (1) σ的本征值一定不为0; (2) 如果λ是σ 的本征值,那么λ1是σ-1的本征值.证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立.补 充 题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2⊆ Ker σ3⊆…(2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n., σ n(ξ)=0, σ (σ n(ξ))=0 即σn +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σn +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σn +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n.2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明,存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )=0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2n线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=nn Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=nn xk ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ-1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2=σ. 证明: (1) Ker σ ={ξ-σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V =Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ.[提示:证(3)的必要性,利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2=ι. 证明, V =W 1⊕W 2, 这里W 1={ξ∈V |σ(ξ)=ξ},W 2={η∈V |σ(η)=-η}.[提示:∀α∈V ,α=21(α+σ(α))+21(α-σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V =W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ=τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说,V λ={ξ∈V |σ(ξ)=λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示:证(2)时,考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ={ξ∈R n |ξ T A ξ=0}是R n 的n -r 维子空间.[提示:利用习题三第33题的结论,可得W 是齐次线性方程组BX =0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ,τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2=σ,τ2=τ. 证明,(1) Im σ=Im τ 当且仅当 στ=τ, τσ=σ; (2) Ker σ=Ker τ 当且仅当 στ=σ, τσ=τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. (2)必要性:设Ker σ=Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。
复变函数习题解答(第7章)
p317第七章习题(一) [ 2, 5, 6, 9, 15, 17, 19 ]2. 利用保域定理证明:若函数f(z)在区域D内解析,(1) 若| f(z) |在D内为常数,则f(z)在D内为常数;(2) 若Re( f(z))或Im( f(z))在D内为常数,则f(z)在D内为常数.【解】由保域定理,假若f(z)在区域D内不恒为常数,则f(D)是区域.(1) 若| f(z) |在D内为常数,则存在r ≥ 0,使得f(D) ⊆C r= { z∈ | | z | = r }.但int(C r) = ∅,故int( f(D)) = ∅,因此f(D)不是开集,因此不是区域,矛盾.(2) 若Re( f(z))在D内为常数,则存在a∈ ,使得f(D) ⊆L a= { z∈ | Re(z) = a }.但int(L a) = ∅,故int( f(D)) = ∅,因此f(D)不是开集,因此不是区域,矛盾.同理,若Im( f(z))在D内为常数,f(D)也不是区域,矛盾.故不论如何,f(z)在区域D内必恒为常数.[保区域性定理:设f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则f(D)是区域.]5. z平面上有三个互相外切的圆周,切点之一在原点,函数w = 1/z将此三个圆周所围成的区域变成w平面上的什么区域?【解】设圆周A, B外切于原点,圆周C分别外切圆周A, B于z1, z2.由分式线性映射的保圆性,以及f(0) = ∞,知f(A), f(B)为w平面中的直线.并且因f(A), f(B)在有限z平面内无交点,f(A), f(B)为一对平行直线.因C不过原点,故f(C)为w平面中的圆周;并且,由分式线性映射的保角性,f(C)与f(A), f(B)都相切,切点分别为f(z1), f(z2).下面的图(用sketchpad和photoshop做出,本质上是尺规作图的结果,累!),指出圆周A, B, C的象f(A), f(B), f(C),以及圆周A, B, C所围的区域D的象f(D).[上面的图,我是把z平面和w平面作为一个平面来画的.因为用的是sketchpad,所以图形应该还是比较精确的.同学们可以思考:f(z) = 1/z将那三个圆所围的那个无界的(但在 ∞中是单连通的)区域变成哪个区域?]6. 如w = (az + b)/(cz + d)将单位圆周变成直线,其系数应满足什么条件?【解】首先应满足ad–bc≠ 0,以保证映射不是常值映射.其次,单位圆周上存在点α使得w(α) = ∞,这意味着cα + d = 0,因此| d | = | –cα| = | c | · | α| = | c |.反过来,若ad–bc≠ 0,| d | = | c |,则w = (az + b)/(cz + d)是分式线性映射,具有保圆性.因| –d/c | = 1,故–d/c在单位圆周上,而且w(–d/c) = ∞,故单位圆周在此映射的下的象为直线.9. 求出将圆| z – 4 i | < 2变成半平面v > u的共形映射,使得圆心变到– 4,而圆周上的点2 i变到w = 0.【解】注意到4 i和∞关于圆周| z – 4 i | = 2对称,– 4和– 4 i关于直线v = u对称;因此若分式线性映射f(z)满足f(4 i) = – 4,f(∞) = – 4 i,则f(z)将圆周| z – 4 i | = 2变成直线v = u.根据题目要求,又应有f(2 i) = 0;故可用分式线性映射的保角比性来确定共形映射w = f(z).(w- (– 4))/(w- 0) : (– 4 i- (– 4))/(– 4 i- 0) = (z- 4 i)/(z- 2 i) : (∞- 4 i)/(∞- 2 i);即(w- (– 4))/(w- 0) : (1 –i)/(–i) = (z- 4 i)/(z- 2 i);所以,w = – 4i ( z– 2i)/(z- (4i + 2)).[或者,直接设f(z) = (– 4i) (z– 2i)/(z–d),将f(4 i) = – 4代入,则– 4 = (– 4i) (4 i– 2i)/(4 i–d),即d = 4 i +2.所以w = – 4i ( z– 2i)/(z- (4i + 2)).] 15. 求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射,使z = 1, -1, 0分别变成w = -1, 1, ∞.【解】因f1(z) = - (z + 1)/(z- 1)把正向实轴变成正向实轴,上半平面映成上半平面,且f1(- 1) = 0,f1(0) = 1,f1(1) = ∞,故f1将实轴上的区间(0, 1)变成正实轴.由保角性,f1将上半单位圆周变成正虚轴.所以,f1将上半单位圆共形地变成第一象限.而f2(z) = z2将第一象限共形地变成上半平面.所以,f2 ◦f1将上半单位圆共形映射成上半平面,且(f2 ◦f1)(1) = ∞,(f2 ◦f1)(- 1) = 0,(f2 ◦f1)(0) = 1.注意到f1(∞) = - 1,f1(0) = 1,f1(1) = ∞;故(f1 ◦f2 ◦f1)(1) = - 1,(f1 ◦f2 ◦f1)(- 1) = 1,(f1 ◦f2 ◦f1)(0) = ∞.所以,f = f1 ◦f2 ◦f1即满足题目要求.f(z) = (f1 ◦f2 ◦f1)(z) = - ( (f2 ◦f1)(z) + 1)/( (f2 ◦f1)(z) - 1)= - ( ( f1(z)2 + 1)/( ( f1(z)2- 1)= - ( ( (- (z + 1)/(z- 1))2 + 1)/( ((- (z + 1)/(z- 1))2- 1)= - ((z + 1)2 + (z- 1)2)/( (z + 1)2 - (z- 1)2)= - 2(z2 + 1)/(4z) = (- 1/2)(z + 1/z).17. 将扩充z平面割去1 + i到2 + 2 i的线段后剩下的区域共形映射成上半平面.【解】设割去的线段的端点分别为α, β,先做分式线性映射使得此线段变成一条以0为端点的射线(在 ∞中看成是一条以0, ∞为端点的线段).例如可取ξ= k (z-α)/(z-β).下面选取使当的k,使得映射将给定的线段映射成(带端点的)正实轴.为此,我们要求ξ((α + β)/2) > 0.即k (α + β)/2 -α)/(α + β)/2 -β) > 0,因此k < 0.所以,当k < 0时,ξ(z)将给定的区域映射成割去正实轴的复平面(不是扩充的).因此,w = (k (z-α)/(z-β))1/2即为满足要求的共形映射.19. 将一个从中心起沿正实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆,使符合条件:割缝上岸的1变成1,割缝上岸的1变成-1,0变成-i.【解】设给定的区域为D.则ξ= z1/2将D共形映射成上半单位圆 +.按第15题的论证,η = (ξ + 1)2/(ξ- 1)2将 +共形映射成上半平面 +.那么,ϕ(z) = (z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2将D共形映射成 +.并且,割缝上岸的1变成∞,割缝上岸的1变成0,0变成1.下面作一个分式线性映射ψ将 +共形映射成单位圆 ,并且使得ψ(∞) = 1,ψ(0) = -1,ψ(1) = -i.为满足ψ(∞) = 1,ψ(0) = -1,只要取ψ(z) = (z-α)/(z + α);将ψ(1) = -i代入,得-i = (1 -α)/(1 + α),即α = (1 + i)/(1 -i) = i.故ψ(z) = (z-i)/(z + i);令f = ψ◦ϕ,则f即为满足要求的共形映射.f(z) = (ϕ(z) -i)/(ϕ(z) + i) = ((z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2-i)/((z1/2 + 1)2/(z1/2- 1)2 + i)= ((z1/2 + 1)2-i(z1/2- 1)2)/((z1/2 + 1)2 + i (z1/2- 1)2)= ((z + 2z1/2 + 1) -i(z - 2z1/2 + 1))/((z + 2z1/2 + 1) + i (z - 2z1/2 + 1))= ((1 -i)(z + 1) + 2(1 + i)z1/2)/((1 + i)(z + 1)+ 2(1 -i) z1/2 )= (-i) · ((z + 1) + 2i z1/2)/( (z + 1)- 2i z1/2 ).[在第17题和第19题中,我们使用了多值函数z1/2而未指明是它的哪个单值解析分支.实际上,我们是遵从了一个一般的约定:倘若未指出具体的分支,则z1/n 表示的是它的主值分支.]1. 至此,只有第六章和第七章的第二组习题尚未做完,同学们不要着急,容我慢慢做之.2. 如果还有题目,是我没有做但是同学们希望我做的,可以发Email给我,写清楚页码和题号,我将尽量满足同学们的要求.如果题目不是来自我们的教材的,一方面要打清楚,另一方面请给出题目来源:若来自书,则指明书名和作者,出版社,版次,年份;若来自互联网,则给出url;若是考研题,则指明学校,年份,最好附整个试题.3. 答疑时间定在考试前一天,上午10点开始.∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞•︒ℵℜ℘∇∏∑⎰⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +,★z∈ ∞α1, α2, ...αn lim n→∞,+n→∞∀ε > 0,∑u n,∑n≥ 1u n,m∈ ,∀ε > 0,∃δ> 0,【解】z⎰[0, 2π]l 2 dx,f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n,[0, 2π]。
第7章习题解答
第7章思考题及习题7参考答案一、填空1. AT89S52单片机任何一个端口要想获得较大的驱动能力,要采用电平输出。
答:低2.检测开关处于闭合状态还是打开状态,只需把开关一端接到I/O端口的引脚上,另一端接地,然后通过检测来实现。
答:I/O端口引脚的电平3. “8”字型的LED数码管如果不包括小数点段共计段,每一段对应一个发光二极管,有和两种。
答:7,共阳极,共阴极4. 对于共阴极带有小数点段的数码管,显示字符“6”(a段对应段码的最低位)的段码为,对于共阳极带有小数点段的数码管,显示字符“3”的段码为。
!答:7DH,B0H5. 已知8段共阳极LED数码显示器要显示某字符的段码为A1H(a段为最低位),此时显示器显示的字符为。
答:d6. LED数码管静态显示方式的优点是:显示闪烁,亮度,比较容易,但是占用的线较多。
答:无,较高,软件控制,I/O口7. 当显示的LED数码管位数较多时,一般采用显示方式,这样可以降低,减少的数目。
答:动态,成本,I/O端口8. LCD 1602是型液晶显示模块,在其显示字符时,只需将待显示字符的由单片机写入LCD 1602的显示数据RAM(DDRAM),内部控制电路就可将字符在LCD上显示出来。
答:字符,ASCII码-9. LCD 1602显示模块内除有字节的RAM外,还有字节的自定义,用户可自行定义个5×7点阵字符。
答:80,显示数据,64,字符RAM,810.当按键数目少于8个时,应采用式键盘。
当按键数目为64个时,应采用式键盘。
答:独立,矩阵11.使用并行接口方式连接键盘,对独立式键盘而言,8根I/O口线可以接个按键,而对矩阵式键盘而言,8根I/O口线最多可以接个按键。
答:8,6412.LCD 1602显示一个字符的操作过程为:首先,然后,随后,最后。
答:读忙标志位BF,写命令,写显示字符,自动显示字符13.由于微型打印机TPµP-40A/16A是一种外设,因此单片机与微型打印机的的命令与数据传送,必须采用方式。
第7章 习题解答
第7章 习题解答7.1 由74290所构成的计数电路如图7.50所示,试分析它们各为几进制计数器。
图7.50 习题7.1图Q3Q3Q3Q3解:74290是异步二-五-十进制计数器,下降沿触发;CKA 是二进制计数器脉冲输入,Q 0是输出;CKB 是五进制计数器脉冲输入,Q 3Q 2Q 1是输出;异步清零端R0(1)、R0(2)和异步置9控制端R9(1)、R9(2)都是高有效。
(1)R9(1)=R9(2)=0;R0(1)=R0(2)=Q 3;CKA 无脉冲输入;CKB 接外部时钟,所以74290中只有五进制计数器工作。
设五进制计数器的初态为Q 3Q 2Q 1=000,在CLK 下降沿的作用下进行加1计数,当Q 3=1时,R0(1)=R0(2)=1,计数器异步清零,重新计数。
也就是说,该电路有效状态的转换过程是:000→001→010→011→000(由于该芯片是异步清零,所以Q 3Q 2Q 1=100是过渡状态,在011之后短暂存在)。
由此可知,该电路是四进制计数器。
(2)CKA 没有脉冲输入,CKB 接外部时钟,所以只有五进制计数器工作。
R9(1)=R9(2)=0;R0(1) =Q 1,R0(2)=Q 2;设五进制计数器的初态为Q 3Q 2Q 1=000,在CLK 下降沿的作用下进行加1计数,当Q 2=Q 1=1(即计数值变为Q 3Q 2Q 1=011)时,R0(1)=R0(2)=1,计数器异步清零,重新计数。
也就是说,该电路有效状态的转换过程是:000→001→010→000(由于该芯片是异步清零,所以Q 3Q 2Q 1=011是过渡状态,在010之后短暂存在)。
由此可知,该电路是三进制计数器。
(3)CKB=Q 0,CKA 接外部时钟,两个计数器同时工作,构成一个8421BCD 码计数器。
R9(1)=R9(2)=0;R0(1)=R0(2)=Q 3。
设计数器的初态为Q 3Q 2Q 1Q 0=0000,在CLK 下降沿的作用下按8421BCD 码进行加1计数,当Q 3=1时,R0(1)=R0(2)=1,计数器异步清零,重新计数。
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};
7.5有n个学生,每个学生的数据包括学号(num),姓名(name[20]),性别(sex),年龄(age),三门课成绩(score[3])。
(1)要求在main函数中输入这几个学生的数据,然后调用一个函数count,在该函数中计算出每个学生的总分和平均分,然后打印出所有各项数据(包括原有的和新求出的)。
}
7.7建立一个链表,每个节点包含的成员为:职工号、工资。
(1)用malloc函数开辟新节点。要求链表包含5个节点,从键盘输入节点中的有效数据。然后把这些节点的数据打印出来。要求用函数creat来建立链表,用list函数来输出数据。这5个职工的号码为0601,0603,0605,0607,0609。
printf("工龄: ");
a[i].ls=atoi(gets(numstr));
printf("工资: ");
a[i].wage=atof(gets(numstr));
printf("地址: ");
gets(a[i].addr);
}
printf("职工号职工名性别年龄工龄工资地址\n");
for(i=0; i<N; i++)
{
printf("请输入第%d个学生的记录:\n", i);
gets(numstr); student[i].num=atol(numstr);
gets(student[i].name);
student[i].sex=getchar(); getchar();
gets(numstr); student[i].age=atoi(numstr);
for(j=0; j<M; j++)
{
gets(numstr); student[i].score[j]=atof(numstr);
}
}
printf("学号姓名性别年龄");
for(i=0; i<M; i++)
printf("科目%-3d", i);
printf("总分平均分\n");
for(i=0; i<N; i++)
gets(numstr); p->age=atoi(numstr);
for(i=0; i<M; i++)
{
gets(numstr); p->score[i]=atof(numstr);
}
}
printf("学号姓名性别年龄");
for(i=0; i<M; i++)
printf("科目%-3d", i);
count(student[i]);
}
(2)
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 4 /*学生数*/
#define M 3 /*课程数*/
struct stud
{
unsignedlong num;
char name[20];
char sex;
int age;
(2)性别和出生日期用位段表示。
[解答]
struct date
{
unsigned int day:5;
unsigned int month:4;
unsigned int year:15;
};
struct person
{
unsigned long num;
char name[20];
unsigned int sex:1;
printf("总分平均分\n");
for(p=student; p<student+N; p++)
{
count(p);
printf("%-8ld%-12s%-5c%-5d", p->num, p->name, p->sex, p->age);
for(i=0; i<M; i++)
printf("%-7.1f", p->score[i]);
{
unsigned long num;
char name[20];
float score;
};
void main()
{
struct stud s[N], *p, *q;
char numstr[20];
for(p=q=s; p<s+N; p++)
{
printf("请输入第%d个学生的记录:\n", p-s);
gets(numstr); p->num=atol(numstr);
gets(p->name);
gets(numstr); p->score=atof(numstr);
if(q->score<p->score) q=p;
}
printf("成绩最高者的姓名和成绩为: %s %.1f.\n", q->name, q->score);
float sum;
float aver;
};
void count(struct stud s)
{
int i;
for(i=0, s.sum=0; i<M; i++)
s.sum+=s.score[i];
s.aver=s.sum/M;
printf("%-8ld%-12s%-5c%-5d", s.num, , s.sex, s.age);
printf("%-7.1f%-7.2f\n", p->sum, p->aver);
}
}
7.6有4名学生,每个学生包括学号、姓名、成绩,要求用指针方法找出成绩最高者的姓名和成绩。
[解答]
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 4 /*学生数*/
struct stud
char name[20];
char sex;
unsigned int age;
unsigned int ls;
float wage;
char addr[50];
};
(2)
struct employee
{
unsigned long num;
char name[20];
char sex;
unsigned int age;
C 语言程序设计习题解答(第七章)
7.1题目略.
[解答] (1) A (2) F (3) B (4) B (5) C
7.2题目略.
(1) 6
(2) 40
(3) DDBBCC
(4) 0 4 5 15
(5) 6
(6) 16
7.3职工数据包括:职工号、职工名、性别、年龄、工龄、工资、地址。
(1)为其定义一个结构体变量。
a.ls=atoi(gets(numstr));
printf("工资: ");
a.wage=atof(gets(numstr));
printf("地址: ");
gets(a.addr);
printf("职工号: %d\n职工名: %s\n性别: %c\n年龄: %d\n工龄: %d\n工资: %f\n地址: %s\n",
unsigned int ls;
float};
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void main()
{
struct employee a;
char numstr[10];
printf("请输入职工数据: \n");
printf("职工号: ");
printf("%-8d%-10s%-5c%-5d%-5d%-8.2f%s\n",
a[i].num, a[i].name, a[i].sex, a[i].age, a[i].ls, a[i].wage, a[i].addr);
}
7.4设计一个用于人事管理的结构体:
(1)每个人的数据包括:职工号、姓名、性别、出生日期;
[解答]
(1)
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 4 /*学生数*/
#define M 3 /*课程数*/
struct stud
{
unsignedlong num;
char name[20];
char sex;
int age;
float score[M];
#include <stdlib.h>
#define N 5 /*职工数*/
struct employee
{
long num;
float wage;
struct employee *next;
};
struct employee *creat(int n) /*建立一个有n个结点的链表*/
{
int i;
(2)对上述定义的变量,从键盘输入所需的具体数据,然后用printf函数显示出来。