材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
材料力学第4章弯曲内力
对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例3 补充实例：作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
F A
x B l
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例4 补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
y
q
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x
B C
l
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FBY
FS ql / 2
M 3ql 2 / 32
CB 段：
M Fs x RA a x l l M M x RA x M l x a x l l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
3）绘剪力图和弯矩图
由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：
Fs Fs x M M x
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图和弯矩图。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
Pa M A 0, Pa RB l 0, RB l Pb Fy 0, RA RB P 0, RA l
§4.3 剪力和弯矩—实例2
材料力学——4梁的弯曲内力
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。
M
MM
M
正
负
使梁下凹为正，向上凸为负
[例] 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）
上的内力。
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0 MB 0
FBy 3qa FAy qa
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
由Fy 0, 得到：
钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³ ,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
1m
3m
1m
q
mg L
Vg
L
A1L1g
A2L 2g
L
A11g A2 2g
Dt 1g
[R2
1 2
R2
(
sin
)]
2
g
106.30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.5 2
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。
M
MM
M
正
负
使梁下凹为正，向上凸为负
[例] 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）
上的内力。
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0 MB 0
FBy 3qa FAy qa
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
由Fy 0, 得到：
钢的密度为：7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³ ,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
1m
3m
1m
q
mg L
Vg
L
A1L1g
A2L 2g
L
A11g A2 2g
Dt 1g
[R2
1 2
R2
(
sin
)]
2
g
106.30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.5 2
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
材料力学弯曲内力
载荷集度q 。
2019/5/23
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结论
1．q(x)=0，剪力图为平行于轴的直线；弯矩图为斜 直线。
当Fs >0，弯矩图的斜率为正； 当Fs <0，弯矩图的斜率为负； 当Fs =0，弯矩图的斜率为零，弯矩图为水平线。
2．q(x)=常量，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。 当q(x) >0（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线； 当q(x) <0（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。
4．在集中力偶作用处，M(x)图有突变，由左向右 画图时，顺时针方向的集中力偶突变方向由下往上，突 变值的大小等于集中力偶的大小。剪力图无变化。
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20
剪力图
向上突变
集
中
力
向下突变
集 顺时针 中 力 偶 逆时针
2019/5/23
不受影响 不受影响
弯矩图
向上突变 向下突变
21
5．在q(x)≠0时，若某截面Fs=0，该截面的 M 值为 极值。
（2）
ql2/2
q
A
B
C
a
b
l
l Fb/l
ql Fa/l
ql
Fb/l
Fs
+
Fs +
-
Fa/l Fab/l
M
+
M
-
ql2/2
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（3）
A
q a
qa2
B
a
qa
qa2/2
C
Fs
qa
qa2/2
M
+
-
-
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qa2/2
qa2/2
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
《材料力学》弯曲内力
2、 列剪力方程和弯矩方程 a A FA
x
b C l
B FB
剪力方程无需分段：
Me 0 x l Qx FA l
A
FA
x
B FB
弯矩方程——两段： Me x AC段： M x FA x CB段：
0 x a l Me l x a x l M x FA x M e
Q M
l l
Q
M
l
l
补充：几类符号的正负
• （一）建立平衡方程时 （1）求约束力 （2）截面法 力：与坐标轴同向为 正，反之 负 矩：逆时针为 正， 反之 负 • （二）梁弯曲根据规律法求内力时 力：左上右下为 正，反之 负 矩：左顺右逆为 正， 反之 负 • （三）定义各种内力时（一般画在截面处） 力、矩：由各自定义确定
Fb l
x x
l Fab
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
FBY
Y 0, m 0,
C
Q F FBY 0.
FBY (l x) F (a x) M 0.
Q F (l a) , l M F (l a) x l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上 存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。 FAY 2. 剪力： Q 构件受弯时，横截面上存在 x Q C FAY M C FBY Q M F m FAX A m F B FBY
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学课件之弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
材料力学弯曲内力课件
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
23
2. 列剪力方程和弯矩方程
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx qx2 0 x l
22
3. 作剪力图和弯矩图
24
例4-5 已知:简支梁如图 。求：剪力方程，弯矩 方程，并作剪力图和 弯矩图。
RAx x
RA Fs
80 kN
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
RC
x
40 kN
x
120 kN.m
M
160 kN.m
39
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
Fs Fs
弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。
19
2、 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的
横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函 数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置 的变化规律。显示这种变化规律的图形则分 别称为剪力图和弯矩图。
研究CB梁， 受力如图
12
研究CB梁， 受力如图
MC 0
20 103 N m 3 m 2.5 m 5103 N m FBy 5 m 0
材料力学B第4章弯曲内力
左端： FQ qa; M 0
点 A： FQ qa; M qa2 x
右端：
FQ
0
;M
3 2
qa 2
x (2) 根据微分关系画内力图.
3 2
qa
2
第四章 弯曲内力
材料力学
例 4-7用直接作图法画出梁的内力图.
a
q
a
AB
RA qa
FQ
qa/2 +
– qa/2
a
qa2
CD RD
3) 如果取截面的左边梁段研究，则顺时针转向的力偶在截面 上产生正弯矩；取截面的右边梁段研究，则逆时针转向的力 偶在截面上产生正弯矩。反之产生负弯矩。
第四章 弯曲内力
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
描述内力的变化规律： （1）数学方法—剪力方程和弯矩方程； （2）几何方法—剪力图和弯矩图。
q(x) M(x)+dM(x)
M(x)
FQ dx FQ+dFQ
第四章 弯曲内力
材料力学
因此可以建立载荷与剪力和弯矩间的微分关系：
d FQ (x) q(x) dx
d
M (x) dx
FQ
(x)
d2 M (x) d x2
d
FQ (x) dx
q(x)
第四章 弯曲内力
载荷与剪力和弯矩间的微分关系：
x
递增函数
x
递减函数
x
下凹
x
隆起
x
与 F相同
M2
M1 M2 m
第四章 弯曲内力
材料力学
内力图的一些特点:
1) 无限靠近端部的横截面上，剪力和弯矩在数值上等于作 用在端部的集中力和集中力偶矩的数值。
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C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
简易法求弯矩M（碰到集中外力偶） 切面法求离左边4m处的内力
左顺 右逆
简易法求得4m处的Fs=－1kN
6kN.m
左: ∑MO=0 M=-1×4+6=2kN.m
外力偶左顺为正
第四章 弯曲应力
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4–4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–5 平面曲杆的内力图
§4–1 弯曲的概念和实例 一、弯曲的概念
受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。 变形特点：轴线变成了曲线。
FS
C
M
F
M
FS FB
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
顺时针 为正
弯矩
下凸 为正
Fs Fs
内力的正负规定(以截面左右来定）
（1）剪力FS: 左上右下为正;反之为负。 左上右下为正
FS FS
FS
+
FS FS +
FS
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
例题4-1 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
解：1. 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包 含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。
FS(x)
M x
距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根 据截面右侧梁段上的荷载有
FSx qx 0 x l M x qx x qx2
22
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
2. 作剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图如图b和图c。
注
求梁的指定截面内力
简易法 意义大
要求 熟 准 快
Fs顺； M 上、左顺
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
例题4-2 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
解：1. 求约束力
FA
FB
ql 2
材料力学Ⅰ电子教案
2. 列剪力方程和弯矩方程
第四章 弯曲应力
FS(x)
3m 3m 6kN.m M
右: M=1×2=2kN.m 1kN
求离左边2m处的内力? ? ? 左:M=-1×2=-2kN.m
右:M=1×4-6=-2kN.m
M 1kN
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩 图
Fs FS x, M M (x)
分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。 显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。
的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全
部支反力。
A
q
A
F
B
A
F
F
B
q
A
F
B
F
B
§4–2 剪力和弯矩
已知：F，a，l。
求：距A 端x处截面上内力。
解：(1)求支座反力
Fx 0 , FAx 0
MA 0,
FB
Fa l
M B 0 , FAy Fb
M
(+)
(+)
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
M
(+)
(+)
M
M
M
(–)
MM
(–)
M
简易法求剪力Fs
顺
切面法 切→取→代→ 平（静力平衡方程)
4kN 10kN 4kN
∑Y=0
6m
Fs+ ∑Y方向的外力=0
Fs=Y方向的外力代数和
外力对切面产生
F
梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。
工程实例
工程实例
二、平面弯曲的概念 梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，
杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面 曲线。
轴线
F1
F2
C
纵向对称面
非对称弯曲 若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但 外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
l
a A
x
FAx A
FAy
F
b B
l
F
B
FB
（2）求内力——截面法 剪力FS 弯矩M
取左段：
Fy 0 , FAy FS 0FS Nhomakorabea
FAy
Fb l
MC 0 , FAy x M 0 Fb
M FAy x l x
mF
A
m
FAy
x
B FB
A FAy
4kN
10kN 4kN Fs
顺时针转动取正
所有外力在剪力
Fs
方向投影的代数
9kN
9kN
和即为此处剪力
Fs=9-4=5kN Fs=10+4-9=5kN
简易法求弯矩M
上
切面法 切→取→代→ 平（静力平衡方程)
4kN 10kN 4kN
∑M=0
12
M+ ∑外力矩=0
M=外力矩代数和
4kN M
21 10kN 4kN
M x
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
3. 作剪力图和弯矩图
FS x
ql 2
qx
0 x l
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
简易法求弯矩M（碰到集中外力偶） 切面法求离左边4m处的内力
左顺 右逆
简易法求得4m处的Fs=－1kN
6kN.m
左: ∑MO=0 M=-1×4+6=2kN.m
外力偶左顺为正
第四章 弯曲应力
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4–4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–5 平面曲杆的内力图
§4–1 弯曲的概念和实例 一、弯曲的概念
受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。 变形特点：轴线变成了曲线。
FS
C
M
F
M
FS FB
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
顺时针 为正
弯矩
下凸 为正
Fs Fs
内力的正负规定(以截面左右来定）
（1）剪力FS: 左上右下为正;反之为负。 左上右下为正
FS FS
FS
+
FS FS +
FS
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
例题4-1 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
解：1. 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包 含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。
FS(x)
M x
距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根 据截面右侧梁段上的荷载有
FSx qx 0 x l M x qx x qx2
22
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
2. 作剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图如图b和图c。
注
求梁的指定截面内力
简易法 意义大
要求 熟 准 快
Fs顺； M 上、左顺
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
例题4-2 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
(a)
解：1. 求约束力
FA
FB
ql 2
材料力学Ⅰ电子教案
2. 列剪力方程和弯矩方程
第四章 弯曲应力
FS(x)
3m 3m 6kN.m M
右: M=1×2=2kN.m 1kN
求离左边2m处的内力? ? ? 左:M=-1×2=-2kN.m
右:M=1×4-6=-2kN.m
M 1kN
材料力学Ⅰ电子教案
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩 图
Fs FS x, M M (x)
分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。 显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。
的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全
部支反力。
A
q
A
F
B
A
F
F
B
q
A
F
B
F
B
§4–2 剪力和弯矩
已知：F，a，l。
求：距A 端x处截面上内力。
解：(1)求支座反力
Fx 0 , FAx 0
MA 0,
FB
Fa l
M B 0 , FAy Fb
M
(+)
(+)
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
M
(+)
(+)
M
M
M
(–)
MM
(–)
M
简易法求剪力Fs
顺
切面法 切→取→代→ 平（静力平衡方程)
4kN 10kN 4kN
∑Y=0
6m
Fs+ ∑Y方向的外力=0
Fs=Y方向的外力代数和
外力对切面产生
F
梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。
工程实例
工程实例
二、平面弯曲的概念 梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，
杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面 曲线。
轴线
F1
F2
C
纵向对称面
非对称弯曲 若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但 外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
l
a A
x
FAx A
FAy
F
b B
l
F
B
FB
（2）求内力——截面法 剪力FS 弯矩M
取左段：
Fy 0 , FAy FS 0FS Nhomakorabea
FAy
Fb l
MC 0 , FAy x M 0 Fb
M FAy x l x
mF
A
m
FAy
x
B FB
A FAy
4kN
10kN 4kN Fs
顺时针转动取正
所有外力在剪力
Fs
方向投影的代数
9kN
9kN
和即为此处剪力
Fs=9-4=5kN Fs=10+4-9=5kN
简易法求弯矩M
上
切面法 切→取→代→ 平（静力平衡方程)
4kN 10kN 4kN
∑M=0
12
M+ ∑外力矩=0
M=外力矩代数和
4kN M
21 10kN 4kN
M x
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
3. 作剪力图和弯矩图
FS x
ql 2
qx
0 x l