用尺规作三角形--习题精选(二)
初中数学冀教版八年级上册第十三章 全等三角形13.4 三角形的尺规作图-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图，根据图中作图痕迹，可以得出作三角形的依据分别是：（1）______；（2）______；（3）______（图中虚线表示最后作出的线段）【答案】SAS,SSS,ASA【分析】从作图痕迹可知是通过作两边和两边的夹角得到三角形的，作图的依据是SAS.从作图痕迹可知是通过作三边得到三角形的，作图的依据是SSS.从作图痕迹可知是通过作两角和夹边得到三角形的，作图的依据是ASA.【解答】解：答案为：2.【答题】尺规作三角形的类型：尺规作图类型依据已知两边及其夹角作三角形______已知两角一边作三角形______（或）已知三边作三角形______【答案】SAS,ASA,SSS【分析】判定三角形全等的方法有：【解答】解：已知两边及其夹角作三角形,其依据是：SAS.已知两角一边作三角形,其依据是：ASA（或）.已知三边作三角形, 其依据是：故答案为：3.【答题】作三角形用到的基本作图是：（1）______；（2）______；【答案】作一个角等于已知角,作一条线段等于已知线段【分析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．【解答】解：作三角形用到的基本作图是：(1). 作一个角等于已知角(2). 作一条线段等于已知线段故答案为：(1). 作一个角等于已知角(2). 作一条线段等于已知线段.4.【答题】下列作图中：①用量角器画出；②作，使；③连接；④用直尺和三角板作的平行线，属于尺规作图的是______．（填序号）【答案】②③【分析】尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规作图【解答】属于尺规作图的是②、③.故答案为②③.5.【答题】已知，分别以射线、为始边，在的外部作，，则与的位置关系是______．【答案】互相垂直或重合【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD度数．【解答】①∵∠AOB=22.5°，∴∠AOC=22.5°，∠BOD=45°，∴∠COD=90°，此时OC⊥OD；②∵∠AOB=22.5°，∴∠AOC=22.5°，∠BOD=45°，∴∠BOC=45°，此时OC与OD 重合.故答案为互相垂直或重合.方法总结：本题关键在于考虑到两个可能性.6.【答题】利用尺规作三角形,有三种基本类型:(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是“______”;(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“______”;(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“______”.【答案】SAS,ASA,SSS【分析】根据三角形全等的判定定理可得答案.【解答】根据SAS—两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；ASA—两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；SSS—三边分别相等的两个三角形全等.故答案：(1)SAS、 (2)ASA 、(3)SSS.7.【答题】尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法______．【答案】SSS【分析】通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应相等的线段，判断三角形全等．因此判定三角形全等的依据是边边边公理．【解答】在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．故答案为：SSS.8.【答题】画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD=______AB．【答案】6【分析】先根据题意分别画出各线段．再比较大小．【解答】(1）画线段AB；（2）延长线段AB到点C，使BC=2AB；（3）反向延长AB到点D，使AD=AC；由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB．9.【答题】已知底边a和底边上的高h，在用尺规作图方法作这个等腰△CDE，使DE=a，CB=h时，需用到的作法有：①在MN上截取BC=h；②作线段DE=a；③作线段DE的垂直平分线MN，与DE 交于点B；④连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形．则正确作图步骤的序号是______．(直接填写数字，中间不要用标点符号,如3412)【答案】2314【分析】根据作图的方法把画图步骤排列即可．【解答】解：首先作线段DE=a；然后作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；再在MN上截取BC=h；最后连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形，故答案为：②③①④．10.【答题】如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是______（填SAS，ASA，AAS，SSS）．【答案】SSS【分析】根据作图过程以及全等三角形的判定方法进行判断解答．【解答】解：根据作图过程可知，OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，∴利用的是三边对应成比例，两三角形全等，即作图原理是SSS．故答案为：SSS．11.【答题】如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．作法：（1）作一条线段AB=______；（2）分别以______、______为圆心，以______为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接______、______，则△ABC就是所求作的三角形．【答案】a,A,B,2a,AC,BC【分析】可先作出长2a的线段；作出底边，进而作出两腰的交点，连接顶点和底边的端点即可．【解答】解：作法：（1）作一条线段AB=a；（2）分别以A、B为圆心，以 2a为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．故答案为a；A；B；2a；AC，BC．12.【答题】已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为______．(直接填写数字中间不要用标点符号，如321)①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作直线BP，在BP上截取BC=a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．【答案】213【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．【解答】解：做三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是②作直线BP，在BP上截取BC=a；①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．故答案为：②①③．13.【答题】已知∠a和线段m，n，求作△ABC，使BC=m，AB=n，∠ABC=∠α，作法的合理顺序为______．(直接填写数字中间不要用标点符号，如3421)①在射线BD上截取线段BA=n；②作一条线段BC=m；③以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC=∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．【答案】2314【分析】根据作三角形，使三角形的一角等于已知角，两边等于已知边的作图步骤作答．【解答】解：作三角形，使三角形的一角等于已知角，两边等于已知边，作图的顺序应该是②③①④14.【答题】已知线段a，b，c,求作：△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,有下列作法：①连接AB，AC,△ABC就是所求作的三角形；②作射线BM,在射线BM上截取BC=a；③分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A.则以上作法的合理顺序为(直接填写数字，如321)______【答案】231【分析】已知三条线段长，求作三角形，其作法是：先作出三角形一边，确定两个顶点，再分别以两个顶点为圆心，定长为半径画弧交于一点确定第三个顶点，作出另外两边，从而作出所求的三角形.【解答】题中作法合理的顺序为②③①.15.【题文】已知：线段，，求作：，使，．【答案】答案见解析【分析】首先作进而以B为圆心的长为半径画弧，再以为圆心为半径画弧即可得出的位置．【解答】解：如图所示：△ABC即为所求.16.【题文】已知：线段、、；求作：△ABC，使，，；【答案】答案见解析【分析】先画出与相等的角，再画出的长，连接，则即为所求三角形．【解答】解：如图所示：①先画射线BC，②以α的顶点为圆心,任意长为半径画弧,分别交α的两边交于为A′,C′；③以相同长度为半径,B为圆心,画弧,交BC于点F,以F为圆心,C′A′为半径画弧，交于点E；④在BF上取点C，使CB=a，以B为圆心，c为半径画圆交BE的延长线于点A，连接AC，结论：△ABC即为所求三角形.17.【题文】如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1－∠2.（不写作法，保留作图痕迹）【答案】详见解析.【分析】根据利用尺规作一个角等于已知角的作法，先作再以OD为一边，在的外侧作，则然后以OA为一边，在的内侧作则【解答】解：如图，就是所求作的角.18.【题文】已知：如图所示，线段a，m，h(m>h)，O为线段a的中点．求作：ΔABC，使它的一边等于a，这条边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．【答案】见解析.【分析】(1)作直角ΔAED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m(AD在AE右侧)；(2)延长ED到B，使DB＝a；(3)在DE上截取DC＝a；(4)连接AB，AC．则ΔABC得求.【解答】作法：如图所示．(1)作ΔAED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m(AD在AE右侧)；(2)延长ED到B，使DB＝a；(3)在DE上截取DC＝a；(4)连接AB，AC．则ΔA BC即为所求作的三角形．【方法方法总结】本题目是一道尺规作图，灵活运用直角三角形的判定——HL，再确定BC的位置，连接AB、AC即可.难度较大.19.【题文】已知：任意画出一个∠α、一个∠β(都是钝角)和一条线段a．求作：ΔABC，使∠A＝180°-∠α，∠B＝180°-∠β,AB＝a．【答案】见解析．【分析】根据ASA作图.【解答】20.【题文】已知：任画两条线段a，b(a>b)．求作：边长为a-b的等边三角形(三边长相等)．【答案】见解析.【分析】根据SSS定理作图.【解答】如图所示．(1)作线段BC＝a-b；(2)分别以B，C为圆心，a-b长为半径在BC同侧画弧，两弧的一个交点为A；(3)连接AC，AB．ΔABC就是所求作的三角形．。
北师大版数学七年级下《用尺规作三角形》习题
初中数学试卷《用尺规作三角形》习题一、选择题1．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB 的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40° B．55° C．65° D．75°3．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．根据上述作图步骤，下列结论正确的是（）A．射线OC是∠AOB的平分线 B．线段DE平分线段OCC．点O和点C关于直线DE对称 D．OE=CE4．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等5．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则此作法的数学依据是（）A．SAS B．SSS C．HL D．ASA6．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角二、填空题7．尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法．8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为．9．如图，在△ABC中，∠ACB=80°，∠ABC=60°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D．则∠ADB的度数为°．10．如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为．三、解答题11．如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，分别过A、B作∠CAB=∠α，∠CBA=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）12．作图题，在网格中作图：①过C点作线段CD，使CD∥AB．②过C点作线段CE，使CE⊥AB．13．根据下列要求画图：①如图1，过点A画MN∥BC；②如图2，过点P画PE∥OA，交OB于点E；过点P画PH⊥OB于H，点P到直线OB的距离是cm（精确到0.1cm）．14．作图题：如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等．15．用尺规法画一个角等于已知角．参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：B．【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．2．答案：C解析：【解答】根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD=∠CAB=25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA=90°﹣25°=65°．3．答案：A解析：【解答】根据作图过程可知：OC是∠AOB的平分线，故选A．【分析】根据题干中的作图步骤得到OC是∠AOB的平分线，从而确定正确的选项．4．答案：A解析：【解答】∵∠DPF=∠BAF，∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．故选：A．【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．5．答案：B解析：【解答】连接BC，AC，由作图知：在△OAC和△OBC中，∴△OAC≌△OBC（SSS），故选：B．【分析】熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．易知：OB=OA，BC=AC，OC=OC，因此符合SSS的条件．6．答案：B解析：【解答】观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线．故选B．【分析】根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解．二、填空题7．答案：SSS解析：【解答】在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．【分析】通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应相等的线段，判断三角形全等．因此判定三角形全等的依据是边边边公理．8．答案：30°解析：【解答】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=120°，∴∠CAB=60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=30°．【分析】根据AB∥CD，∠ACD=120°，得出∠CAB=60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．9．答案：100解析：【解答】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠ACB=80°，∠ABC=60°，∴∠CAB=40°，∴∠BAD=20°；在△ADC中，∠B=60°，∠CAD=20°，∴∠ADB=100°【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．10．答案：65°解析：【解答】连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF=AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠ABC=40°∴∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】如图所示：．【分析】根据作一个角等于已知角的方法，分别以A、B为顶点，作图即可．12．答案：见解答过程．解析：【解答】①②如下图所示：【分析】①由于AB是一个长为3，宽为2的矩形的对角线，所以过C点作线段CD，使CD 也是一个长为3，宽为2的矩形的对角线；②过C点作线段CE，使CE是一个长为6，宽为4的矩形的对角线．13．答案：见解答过程．解析：【解答】①如图1，MN即为所求；②如图2所示，利用刻度尺量出PH=1.2cm．故答案为：1.2．【分析】①过点A作出∠C=∠CAN进而得出答案；②利用三角尺作出PE∥OA，PH⊥OB，利用刻度尺得出PH的长即可．14．答案：见解答过程．解析：【解答】如图所示：【分析】作出∠AOB的平分线交线段CD于P点即可．15．答案：见解答过程．解析：【解答】如图：．【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．。
2020届中考数学总复习(23)尺规作图-精练精析(2)及答案解析
图形的性质——尺规作图2一．选择题（共9小题）1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边2．下列作图语句正确的是（）A．延长线段AB到C，使AB=BC B．延长射线ABC．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC3．下列语句（）正确．A．射线比直线短一半B．延长AB到CC．两点间的线叫做线段D．经过三点A，B，C不一定能画出直线来4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③点D在AB的垂直平分线上④AB=2AC．A．1 B．2 C．3 D．45．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（）A．y=x B．y=﹣2x﹣1 C．y=2x﹣1 D．y=1﹣2x7．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（）A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB8．如图，已知∠AOB，按照以下步骤画图：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C．（3）作射线OC．则判断△OMC≌△ONC的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS9．如图，七年级（下）教材第4页给出了利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明AB∥DE的条件是（）A．∠CAB=∠FDE B．∠ACB=∠DFE C．∠ABC=∠DEF D．∠BCD=∠EFG二．填空题（共6小题）10．∠AOB如图所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）．_________11．如图，点A是直线l外一点，在l上取点B、C．按下列步骤作图：分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D．则四点A、B、C、D可组成的图形是_________ ．12．如图，是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与全等的一个格点三角形．13．在如图所示的方格纸上过点P画直线AB的平行线．14．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_________ 个．15．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．三．解答题（共6小题）16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是_________ 度和_________ 度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有_________ 个等腰三角形，其中有_________ 个黄金等腰三角形．17．如图，Rt△ABC的直角边BC=8，AC=6（1）用尺规作图作AB的垂直平分线l，垂足为D，（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）连结D、C两点，求CD的长度．18．如图①，将一张直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A 在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AE∥BC．（1）作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AD=2，求DF的长．20．如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=10．（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）（2）求出点E的坐标．21．如图，在△ABC中，BC=AC，且CD∥AB，设△ABC的外心为O．（1）用尺规作出△ABC的外接圆O．（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）中，连接OC，并证明OC是AB的中垂线；（3）直线CD与⊙O有何位置关系，试证明你的结论．图形的性质——尺规作图2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）A．边边边B边角边C角边角D．角角边考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．专题：压轴题．分析：通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边，判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得出∠A′O′B′=∠AOB．解答：解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，，∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是边边边．故选A．点评：此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．2．下列作图语句正确的是（）A．延长线段AB到C，使AB=BC B．延长射线ABC．过点A作AB∥CD∥EF D．作∠AOB的平分线OC考点：作图—尺规作图的定义．分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．解答：解：A、应为：延长线段AB到C，BC=AB，故本选项错误；B、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；C、过点A作只能作CD或EF的平行线，CD不一定平行于EF，故本选项错误；D、作∠AOB的平分线OC，正确．故选D．点评：此题主要考查图形中延长线、平行线、角平分线的画法，是基本题型，特别是A选项，应该是作出的等于原来的，顺序不能颠倒．3．下列语句（）正确．A．射线比直线短一半B．延长AB到CC．两点间的线叫做线段D．经过三点A，B，C不一定能画出直线来考点：作图—尺规作图的定义．专题：推理填空题．分析：根据直线、射线、线段有关知识，对每个选项注意判断得出正确选项．解答：解：A、直线和射线都没有长短，所以射线比直线短一半错误，故本选项错误；B、延长AB到C，正确的说法是延长线段AB到C，故本选项错误；C、两点间的线叫做线段，不符合线段的定义，故本选项错误；D、若三点A，B，C在一条直线上，则经过三点A，B，C能画出直线来；若三点A，B，C不在一条直线上，则经过三点A，B，C不能画出直线来．所以说经过三点A，B，C不一定能画出直线来，故本选项正确．故选：D．点评：此题考查的知识点是作图﹣﹣尺规作图的定义，熟练掌握概念是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③点D在AB的垂直平分线上④AB=2AC．A． 1 B．2 C．3 D．4考点：作图—基本作图．分析：根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确．解答：解：①AD是∠BAC的平分线，说法正确；②∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴∠ADC=30°+30°=60°，因此∠ADC=60°正确；③∵∠DAB=30°，∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，④∵∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，故选：D．点评：此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．A AS考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．分析：根据作图过程可知O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．解答：解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，在△OCD与△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB．故选：A．点评：本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（）A．y=x B．y=﹣2x﹣1 C．y=2x﹣1 D．y=1﹣2x考点：作图—基本作图；坐标与图形性质．分析：根据角平分线的性质以及第二象限点的坐标特点，进而得出答案．解答：解：由题意可得出：P点在第二象限的角平分线上，∵点P的坐标为（2x，y+1），∴2x=﹣（y+1），∴y=﹣2x﹣1．故选：B．点评：此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．7．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（）A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．P A=PB考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析：根据作图的过程可知PD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可得到问题的选项．解答：解：由题意可知：PD是线段AB的垂直平分线，所以PA=PB，故选D．点评：本题考查了基本作图﹣作已知线段的垂直平分线以及考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．8．如图，已知∠AOB，按照以下步骤画图：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C．（3）作射线OC．则判断△OMC≌△ONC的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．A AS考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．分析：根据角平分线的作图方法解答．解答：解：根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，又∵OC是公共边，∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”．故选：B．点评：本题考查了全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．9．如图，七年级（下）教材第4页给出了利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明AB∥DE的条件是（）A．∠CAB=∠FDE B．∠ACB=∠DFE C．∠ABC=∠DEF D．∠BCD=∠EFG考点：作图—基本作图；平行线的判定．分析：根据同位角相等，两直线平行可得，∠CAB=∠FDE可以说明AB∥DE．解答：解：利用三角尺和直尺画平行线，实际就是画∠CAB=∠FDE，故答案为：A．点评：此题主要考查了画平行线的方法，关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行．二．填空题（共6小题）10．∠AOB如图所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）．参见解答考点：作图—基本作图．分析：∵只要在OB上取C，以O为圆心，OC为半径画圆，交OA于点D，连接CD，再分别以大于CD为半径，C，D，为圆心画圆，两圆相交于P，D，连接OP，则OP即为∠AOB 的平分线．解答：解：作法如下：（1）在OB上取C，以O为圆心，OC为半径画圆，交OA于点D，连接CD；（2）再分别以大于CD为半径，C，D，为圆心画圆，两圆相交于P，D，连接OP，则OP即为∠AOB的平分线．点评：本题考查了运用三角形全等的判定与性质，结合圆的性质作等角的方法，需同学们熟练掌握．11．如图，点A是直线l外一点，在l上取点B、C．按下列步骤作图：分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D．则四点A、B、C、D可组成的图形是平行四边形或梯形．考点：作图—复杂作图．分析：根据题意画出图形，可得两弧有两个交点，连接可得答案．解答：解：如图所示：，四点A、B、C、D可组成的图形是平行四边形或梯形．故答案为：平行四边形或梯形．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是根据题意画出图形，找到D点位置．12．如图，是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与全等的一个格点三角形．考点：作图—复杂作图．专题：作图题．分析：本题答案不唯一，最简单的方法就是从点B所以在的纵坐标找一点，作BC 的平行线，且长度相等，然后再作AB的平行线且长度相等，最后连接，构成三角形．解答：解：点评：本题主要考查了利用网格画图的能力．13．在如图所示的方格纸上过点P画直线AB的平行线．考点：作图—基本作图．专题：网格型．分析：由题意可知应根据小正方形的格数及勾股定理作图，只要在直线找点A，B，D，P使其连接起来构成平行四边形即可．解答：解：作图如下：（1）连接PA，假设图中每个小方格的边长为1，则AP==，AB==；（2）找点D，使得AP=BD，AP∥BD，连接DP，即可．点评：本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的运用，利用图中每个小格的边长相等作图．14．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 4 个．考点：作图—复杂作图．分析：能画4个，分别是：以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．因此最多能画出4个解答：解：如图，可以作出这样的三角形4个．点评：本题考查了学生利用基本作图来做三角形的能力．15．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．考点：作图—复杂作图；全等三角形的性质；勾股定理．分析：若是三边对应相等的两个三角形互为全等三角形，根据此可画出图．解答：解：从图上可看出两个三角形的三条边对应相等．所以△DEF即为所求．点评：本题考查全等三角形的性质，三边对应相等，以及在表格中如何画出全等的三角形．三．解答题（共6小题）16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是108 度和36 度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有2n 个等腰三角形，其中有n 个黄金等腰三角形．考点：作图—应用与设计作图；黄金分割．专题：作图题；探究型．分析：（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这2个等腰三角形的顶角度数；（2）利用（1）种思路进而得出符合题意的图形；（3）利用当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案．解答：解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108，36；（2）如图2所示：（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．故答案为：2n，n．点评：此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形的规律是解题关键．17．如图，Rt△ABC的直角边BC=8，AC=6（1）用尺规作图作AB的垂直平分线l，垂足为D，（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）连结D、C两点，求CD的长度．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）根据垂直平分线的作法得出答案即可；（2）根据垂直平分线的性质以及直角三角形的性质得出AB进而得出CD即可．解答：解；（1）如图．直线DE即为所求作的图形．（2）连接CD，∵DE是AB的垂直平分线，∠C=90°，∴AD=B D=CD，∵AC=6，BC=8，∴AB=10，∴CD是Rt△ABC斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=5．点评：此题主要考查了垂直平分线的作法以及直角三角形的性质，根据Rt△ABC斜边上的中线等于斜边的一半得出是解题关键．18．如图①，将一张直角三角形纸片△ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A 在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是什么？考点：作图—应用与设计作图．专题：新定义；开放型．分析：（1）应先在三角形的格点中找一个矩形，折叠即可；（2）根据正方形的边长应等于底边及底边上高的一半可得所求三角形的底边与高相等；（3）由（2）可得相应结论．解答：解：（1）；（2）；（3）由（2）可得，若一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形．点评：解决本题的关键是得到相应矩形的边长等于所给三角形的底边与底边上的高的一半的关系．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AE∥BC．（1）作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AD=2，求DF的长．考点：作图—基本作图；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：（1）利用角平分线的作法得出DF即可；（2）首先得出∠DAF=90°，即可得出∠ADF=45°，进而利用勾股定理求出即可．解答：解：（1）如图所示，DF就是所求作；（2）∵AD⊥BC，AE∥BC，∴∠DAF=90°，又∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=45°，∴AD=AF，．点评：此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的做法是解题关键．20．如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=10．（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）（2）求出点E的坐标．考点：作图—复杂作图；坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质．分析：（1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．解答：解：（1）如图所示：E点即为所求；（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．∵矩形OABC中OC=6，OA=10，∴B点坐标为（10，6）．∴E F=6．又∵OE=OA，∴OF==8．∴点E的坐标为（8，6）．点评：此题主要考查了基本作图以及勾股定理和矩形的性质，得出B点坐标是解题关键．21．（如图，在△ABC中，BC=AC，且CD∥AB，设△ABC的外心为O．（1）用尺规作出△ABC的外接圆O．（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）中，连接OC，并证明OC是AB的中垂线；（3）直线CD与⊙O有何位置关系，试证明你的结论．考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；直线与圆的位置关系．分析：（1）首先作出三角形两边的中垂线进而得出圆心求出△ABC的外接圆O；（2）利用等腰三角形的性质得出答案即可；（3）利用切线的判定方法求出∠OCG=90°，进而得出答案．解答：解：（1）如图所示：（2）方法一：连接BO、CO、OA，∵OB=OA，AC=BC，∴OC是AB的中垂线；方法二：在⊙O中，∵AC=BC，∴=，∴∠BOC=∠AOC，∵OB=OA，1 ∴OC是AB的中垂线；（3）直线CD与⊙O相切，证明：∵CD∥AB，CO是AB的垂线，∴∠OCG=90°，∴直线CD与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及三角形外接圆的作法等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．2。
初一数学用尺规作三角形试题
初一数学用尺规作三角形试题1.（2014•滨州）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【答案】A【解析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．解：∵∠DPF=∠BAF，∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．故选：A．点评：此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．2.（2014•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】B【解析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，故选：B．点评：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．3.（2014•河西区模拟）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【解析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角4.（2014•崇左）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【答案】C【解析】根据作图的过程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．解：如图，连接EC、DC．根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故选：C．点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．5.（2013•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1【答案】B【解析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选：B．点评：此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．6.（2013•曲靖）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（）A.射线OE是∠AOB的平分线B.△COD是等腰三角形C.C、D两点关于OE所在直线对称D.O、E两点关于CD所在直线对称【答案】D【解析】连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；根据作图得到OC=OD，判断B正确；根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE是CD的垂直平分线，判断C正确；根据作图不能得出CD平分OE，判断D错误．解：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．∵在△EOC与△EOD中，，∴△EOC≌△EOD（SSS），∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；C、根据作图得到OC=OD，又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线，∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．故选D．点评：本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形、轴对称的性质，从作图语句中提取正确信息是解题的关键．7.（2012•河北）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D【解析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．解：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选D．点评：本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键．8.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边【答案】A【解析】通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边，判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得出∠A′O′B′=∠AOB．解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，，∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是边边边．故选A．点评：此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．9.如图，已知线段AB，以下作图不可能的是（）A．在AB上取一点C，使AC=BCB．在AB的延长线上取一点C，使BC=ABC．在BA的延长线上取一点C，使BC=ABD．在BA的延长线上取一点C，使BC=2AB【答案】C【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等作图．解：A、可能，只要做AB的垂直平分线即可；B、可能，在AB的延长线上取一点C，使BC=AB；C、不可能，因为BC始终大于AB；D、可能，在BA的延长线上取一点C，使BC=2AB．故选C．点评：此题根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等作图，比较简答．10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③点D在AB的垂直平分线上④AB=2AC．A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确．解：①AD是∠BAC的平分线，说法正确；②∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴∠ADC=30°+30°=60°，因此∠ADC=60°正确；③∵∠DAB=30°，∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，④∵∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，故选：D．点评：此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．。
浙教版数学八年级上册_《尺规作图》典型例题(基础)
《尺规作图》典型例析限定用直尺和圆规来画图称为尺规作图.学习了三角形全等的判定后，我们可以借助于全等三角形的判定方法，根据所给的条件，用尺规作图法作三角形.请看举例.一、已知两边及一边的对角作三角形例1 如图,已线段a、b及∠α.求作:△ABC,使其有一个角是∠α,且∠α的对边等于a,另一边等于b.思路点拨：根据已知条件，可先作一个∠MBN等于∠α，在∠MBN的一边上截取BA=b，然后以A为圆心，以线段a长为半径画弧即可.作法: 1.作∠MBN=α；2．在边BM上截取AB=b；3．以点A为圆心,a的长为半径作弧交BN于点C(或C′);4．连结AC(或AC′).则△ABC或△ABC′就是所求作的三角形（如图2）.图1 图2二、已知斜边和一条直角边作三角形例2如图3，已知线段c、b（c>b）.求作:△ABC,使∠C=Rt∠,AB=c,AC=b.思路点拨：根据已知条件，可先作∠C=Rt∠，然后在∠C的一边上截取CA=b，再以点A为圆心，线段c为半径画弧即可.作法:1.作直线MN，并在直线MN上取点C；2．作MCN的平分线CE；3．在射线CE上截取CA=b；4．以A为圆心，c为半径画弧交直线CM于B点；5．连结AB.则△ABC就是所求作的三角形（如图4）.图3 图4三、已知两直角边求作直角三角形例3如图5，已知两条线段a，b.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=b，BC=a.思路点拨：可先借助作平角平分线的方法作出∠ECM=90°，然后再CE上截取CA=b，在CF上截取CB=a，连接AB即可.作法：1.作直线MN，在直线MN上取点C；2．作∠MCN的平分线CE；3．在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；4．连接AB.则△ABC为所作三角形（如图6）.图5 图6四、求作两边相等的三角形例4 如图7，已知线段a，b，求作：△ABC，使BC=a，AC=AB=b.思路点拨：可先作线段BC=a，然后分别以B，C为圆心，以线段b为半径画弧即可.作法：1.作射线BE；2．在射线BE上截取BC=a；3．分别以点B，C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A.则△ABC为所求作的三角形（如图8）.图7 图8。
2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章 4.4用尺规作三角形 同步练习题
4.4用尺规作三角形【知识点】1 在尺规作图中，直尺用来作直线、____________、射线或延长____________等，圆规用来作圆或____________等，也可用来截取____________.【例题讲解】1 已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a，b，c，如图4-4-2.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.2 已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A．作已知角的平分线B．作已知线段的垂直平分线C．过一点作已知直线的高D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段【举一反三】1 如图4-4-3，已知∠α，∠β和线段a，求作：△ABC，使∠A=α，∠B=β，BC=a.2 用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是()A. 作一个角等于已知角B. 作已知直线的垂线C. 作一条线段等于已知线段D. 作角的平分线【知识操练】1 用尺规作图，下列条件可能作出两个不全等的三角形的是()A. 已知两边和夹角B. 已知两边及其一边的对角C. 已知两角和夹边D. 已知三条边2 用直尺和圆规作两个全等三角形，如图4-4-4，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是()A．SAA B．SSS C．ASA D．AAS3 下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是（）4 如图4-4-5，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的画法如下：①画射线AM；②连接AC，BC；③分别以点A，B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB=a.以上画法的正确顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③5 如图4-4-6，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出____________个．6 已知∠α和线段a，用尺规作△ABC，使∠A=2∠α，AB=2a，∠B=3∠α，作法如下：①在AN上截取AB=2a；②作∠MAN=2∠α；③以点B为圆心，BA为一边作∠ABE=3∠α，BE交AM于点C．△ABC就是所求作的三角形，则正确的作图顺序是__________．（填序号）7 已知：如图4-4-7，线段a，c，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．请你根据所学的知识，说明尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的____________ ，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的____________．8 如图4-4-8，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形，标注顶点字母并填空：（1）在图4-4-8①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB，记作△ABC≌____________；（2）在图4-4-8②中所画三角形与△ABC有一个公共角C，记作△ABC≌____________；（3）在图4-4-8③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A，记作△ABC≌____________．9 如图4-4-9，已如∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）10 如图4-4-10，已知直角α，线段m，利用尺规作直角三角形ABC，使∠C=90°，AC=m，BC=2m．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）11 已知：如图H4-4-7，∠α以及线段b，c（b＜c）．求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分线AD=b．12（1）直接回答：已知三角形的两边，能不能作出一个三角形？（2）直接回答：已知三角形的三边，能不能作出一个三角形？（3）如图4-4-11，已知三角形的两边和一角，试作三角形.（要求：不写作法，保留作图痕迹）13 利用尺规，用两种不同方法作一个三角形与已知△ABC（如图K4-4-5）全等，并简要说明你所作三角形与△ABC全等的依据．（保留作图痕迹，不写作法）14 某班的“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度（单位长度如图H4-4-8）．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形；（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形.（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第一章 三角形4 三角形的尺规作图-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（）A. 已知两边及夹角B. 已知两边及一边对角C. 已知两角及夹边D. 已知三边【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】A、边角边（SAS）；B、两边夹一角（SAS）；C、两角夹一边（ASA）；D、边边边（SSS）都是成立的，只有B（SSA）是错误的，选B.2.【答题】给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④【答案】A【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】①是根据边边边（SSS）；②是根据两边夹一角（SAS）；③是根据两角夹一边（ASA）都成立．根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；而④则不能．选A.3.【答题】如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．选D.4.【答题】如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）个．A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】解：可以做4个，分别是以D为圆心，AB为半径，作圆，以E为圆心，AC为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．然后以D为圆心，AC为半径，作圆，以E为圆心，AB为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．如图.选B.5.【题文】作图题：尺规作图，保留作图痕迹．如图，已知三角形ABC和给出的∠MB′N，∠MB′N=∠ABC．（1）在射线B′N上截取B′C′=BC；（2）在B′C′上方作∠EC′B′=∠ACB，C′E与B′M相交于点A′．【答案】见解答．【分析】（1）根据题意，在图形中截取一段线段等于已知线段即可．（2）根据作一个角等于已知角的做法进行作图即可．【解答】（1）解：如图所示，B′C′即为所求；（2）解：如图所示，∠EC′B′即为所求．6.【题文】已知：∠α.请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC＝∠α．（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，且写出结论）【答案】见解答．【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．【解答】解：如图所示：，∠BAC即为所求．7.【题文】如图，AB∥CD，点E是射线CD上一点．（1）在射线AB上取点F，利用尺规作图，使∠FED=∠C（用黑色水笔描粗作图痕迹，不要求写作法）；（2）∠AFE与∠C相等吗？说明理由．【答案】见解答．【分析】根据平行四边形的性质可进行画图计算．【解答】（1）（2）相等∵由题意可知，四边形ACEF为平行四边形∴∠C=∠AFE8.【题文】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）已知：∠α、∠β和线段a求作：△ABC使∠CAB=∠α，∠ABC=∠β，AB=a．【答案】见解答．【分析】先作∠CAB=∠α，再作AB=a，再作∠ABC=∠β．【解答】解：9.【题文】阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：△ABC，尺规作图：求作∠APC=∠ABC．小明同学的主要作法如下：如图甲：①作∠CAD=∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP=CB，连结CP．∴∠APC=∠ABC．问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．【答案】见解答．【分析】根据“SAS”证△ABC≌△APC即可得．【解答】解：正确，证明：∵在△ABC和△APC中，∵AP＝CB∠CAD＝∠ACBAC＝AC，∴△ABC≌△APC（SAS），∴∠APC=∠ABC．10.【题文】作图题如图，点C，E均在直线AB上，∠BCD＝45°．（1）在图中作∠FEB，使∠BEF＝∠DCB（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接说出直线EF与直线CD的位置关系．【答案】见解答．【分析】（1）根据射线EF与射线CD在直线AB的同侧，另一个则在直线AB的两侧得出两种情况；（2）分别利用若射线EF与射线CD在直线AB的同侧，则直线EF与直线CD平行；若射线EF与射线CD在直线AB的两侧，则直线EF与直线CD相交．【解答】解：（1）如图所示，∠BEF即为所求：（2）当射线EF与射线CD在直线AB的同侧时，由∠BEF＝∠BCD知直线EF与直线CD平行；当射线EF与射线CD在直线AB的两侧时，延长DC交EF于点G，∵∠BEF＝∠BCD＝∠ECG＝45°，∴∠EGC＝90°，∴EF⊥CD．11.【题文】按要求作图（不必写作图过程，但需保留作图痕迹）．（1）用量角器作一个∠AOB，使得∠AOB=2∠α；（2）已知线段a，b，用直角和圆规作线段MN，使MN=2a﹣b．【答案】见解答．【分析】（1）先作∠AOC=α，再作∠COB=α，从而得到∠AOB；（2）先作MP=2a，再作PN=b，从而得到MN．【解答】解：（1）如图，∠AOB为所作；（2）如图，MN为所作．12.【题文】已知：∠AOB（如图），求作：在旁边空白处作∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB．【答案】见解答．【分析】利用全等三角形，可以做出等角．【解答】步骤（1）：作射线O’A’步骤（2）：以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；步骤（3）：以点O’为圆心，以OC长为半径作弧，交O’A’于点C’；步骤（4）：以点C’为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点D’；步骤（5）：过点D’作射线O’B’．∠A’O’B’就是所求做的角．13.【题文】如图，已知∠AOB，∠EO′F，利用尺规作等角，比较它们的大小．【答案】见解答．【分析】利用全等三角形，可以做出等角，再复制角．【解答】步骤（1）：作射线O’B’，与OF重合；步骤（2）：以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OB于D，交OA于C；步骤（3）：以点O’为圆心，以OD长为半径作弧，交O’B’于点D’；步骤（4）：以点D’为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点C’；步骤（5）：过点C’作射线O’A’．∠A’O’B’就是所求做的角．14.【题文】如图，已知∠AOB，∠EO’F，利用尺规作图，比较它们的大小．【答案】见解答．【分析】利用全等三角形，可以做出等角，再复制角．【解答】步骤（1）：作射线O’B’，与OF重合；步骤（2）：以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OB于D，交OA于C；步骤（3）：以点O’为圆心，以OD长为半径作弧，交O’B’于点D’；步骤（4）：以点D’为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点C’；步骤（5）：过点C’作射线O’A’．∠A’O’B’就是所求做的角．15.【题文】已知：∠A和∠B（如图），求作：在旁边空白处作∠A’OB’，使得∠A’OB’=∠A-∠B．【答案】见解答．【分析】利用全等三角形，以∠A的一条边为边，作等角把∠B复制过来叠加即可．【解答】利用全等三角形，以∠A的一条边为边，作等角把∠B复制过来叠加．即可得∠A’OB’=∠A-∠B．16.【题文】如图，有一横断面为等腰梯形ABCD的防洪堤被洪水冲掉一角后其形状如图，请用尺规作图的方法将这个等腰梯形补充完整（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解答．【分析】根据等腰梯形的性质和作已知角的作法解答．【解答】解：如图所示：17.【题文】已知：线段，，求作：，使，．【答案】答案见解答．【分析】首先作进而以B为圆心的长为半径画弧，再以为圆心为半径画弧即可得出的位置．【解答】如图所示：△ABC即为所求．18.【题文】已知：线段、、；求作：△ABC，使，，；【答案】答案见解答．【分析】先画出与相等的角，再画出的长，连接，则即为所求三角形．【解答】如图所示：①先画射线BC，②以α的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交α的两边交于为A′，C′；③以相同长度为半径，B为圆心，画弧，交BC于点F，以F为圆心，C′A′为半径画弧，交于点E；④在BF上取点C，使CB=a，以B为圆心，c为半径画圆交BE的延长线于点A，连接AC，结论：△ABC即为所求三角形．19.【题文】如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1-∠2.（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解答．【分析】根据利用尺规作一个角等于已知角的作法，先作再以OD为一边，在的外侧作，则然后以OA为一边，在的内侧作则【解答】如图，就是所求作的角．20.【题文】已知：如图所示，线段a，m，h（m＞h），O为线段a的中点．求作：ΔABC，使它的一边等于a，这条边上的中线和高分别等于m和h（m＞h）．【答案】见解答．【分析】（1）作直角ΔAED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m（AD在AE右侧）；（2）延长ED到B，使DB＝a；（3）在DE上截取DC＝a；（4）连接AB，AC．则ΔABC得求．【解答】作法：如图所示．（1）作ΔAED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m（AD在AE右侧）；（2）延长ED到B，使DB＝a；（3）在DE上截取DC＝a；（4）连接AB，AC．则ΔABC即为所求作的三角形．。
2021年中考数学复习专题25：尺规作图(含中考真题解析)2
专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种根本作图1．画一条线段等于线段会用尺规作图法完成五种根本作图，了解五种根本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言表达画图过程．2．画一个角等于角3．画线段的垂直平分线4．过点画直线的垂线5．画角平分线会利用根本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用根本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用根本作图画圆．☞2年中考【2021年题组】1．〔2021深圳〕如图，△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，那么以下选项正确的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】D．考点：作图—复杂作图．2．〔2021三明〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长〔大于12AB〕为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，以下结论错误的选项是〔〕A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D．【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．应选D．考点：1．作图—根本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．3．〔2021福州〕如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为〔〕A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B．【解析】试题分析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．应选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—根本作图．4．〔2021潍坊〕如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．假设BD=6，AF=4，CD=3，那么BE的长是〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—根本作图．5．〔2021嘉兴〕数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．〞分别作出了以下四个图形．其中作法错误的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】A．考点：作图—根本作图． 6．〔2021衢州〕数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如下图，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是〔 〕A ．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】B ． 【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．应选B ． 考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周 角定理． 7．〔2021自贡〕如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保存作图痕迹．〔备注：此题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行〕【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．8．〔2021北京市〕阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．〞请答复：小芸的作图依据是．【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．考点：1．作图—根本作图；2．作图题．9．〔2021百色〕⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．〔1〕在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D〔保存作图痕迹，不写作法与证明〕；〔2〕如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕①证明见试题解析；②321 7．【解析】试题分析：〔1〕按照作角平分线的方法作出即可；〔2〕①由AD是∠BAC的平分线，得到CD BD=，再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得34EF FDCE AC==，即可求得37EFCF=，继而求得EF的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．〔2021南京〕如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．〔要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3〕【答案】答案见试题解析．【解析】试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如下图：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．11．〔2021镇江〕图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．〔1〕如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕在〔1〕的前提下，连接OD ，OA=5，假设扇形OAD 〔∠AOD ＜180°〕是一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径等于 ．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕158．【解析】 试题分析：〔1〕作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求；〔2〕由八边形ABCDEFGH 是正八边形，求得∠AOD 的度数，得到AD 的长，设这个圆锥底面圆的半径为R ，根据圆的周长的公式即可求得结论． 试题解析：〔1〕如下图，八边形ABCDEFGH 即为所求；〔2〕∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD 的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R ，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图． 12．〔2021广安〕手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在以下四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积〔注：不同的分法，面积可以相等〕【答案】答案见试题解析．〔2〕正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；〔3〕正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；〔4〕正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．〔2021孝感〕如图，一条公路的转弯处是一段圆弧〔AB〕．〔1〕用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；〔要求保存作图痕迹，不写作法〕〔2〕假设AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕50m ．试题解析：〔1〕如图1，点O 为所求；〔2〕连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，如图2，∵C 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∴AD=BD=12AB=40，设⊙O 的半径为r ，那么OA=r ，OD=OD ﹣CD=r ﹣20，在Rt △OAD 中，∵222OA OD BD =+，∴222(20)40r r =-+，解得r=50，即AB 所在圆的半径是50m ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．14．〔2021宜昌〕如图，一块余料ABCD ，AD ∥BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于12GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．〔1〕求证：AB=AE；〔2〕假设∠A=100°，求∠EBC的度数．【答案】〔1〕证明见试题解析；〔2〕40°．考点：1．作图—根本作图；2．等腰三角形的判定与性质．15．〔2021随州〕如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．〔1〕在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA〔用尺规在原图中作，保存痕迹，不写作法〕，并证明PC是⊙O的切线；〔2〕在〔1〕的条件下，假设PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求AB的长．【答案】〔1〕作图见试题解析，证明见试题解析；〔2839．【解析】试题分析：〔1〕按照作一个角等于角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；〔2〕先证明△PAB是等边三角形，那么∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．试题解析：〔1〕作图如右图，连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA ，OB ⊥PC ，∴OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；〔2〕∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△PAB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt △AOP 中，tan60°=4OA ，∴OA=433，∴431203180AB l π⨯⨯==839π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—根本作图．16．〔2021广州〕如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．〔1〕利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD 〔保存作图痕迹，不写作法〕；〔2〕在〔1〕所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕12．试题解析：〔1〕如下图；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．17．〔2021吉林省〕图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按以下要求画图：〔1〕在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；〔2〕在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；〔3〕在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕作图见试题解析；〔3〕作图见试题解析．【解析】试题分析：〔1〕根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；〔2〕根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；〔3〕根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：〔1〕如图①，符合条件的C点有5个：；〔3〕如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．18．〔2021哈尔滨〕图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．〔1〕在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；〔2〕在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于〔1〕中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余〔画出一种即可〕．【答案】〔1〕答案见试题解析；〔2〕答案见试题解析．试题解析：〔1〕如图1所示；〔2〕如图2、3所示；考点：作图—应用与设计作图．19．〔2021六盘水〕如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°．〔1〕〔4分〕用尺规作图，在CA 的延长线上截取AD ＝AB ，并连接BD 〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕〔4分〕求∠BDC 的度数；〔3〕〔4分〕定义：在直角三角形中，一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．【答案】〔1〕答案见试题解析；〔2〕22.5°；〔321+．试题解析：〔1〕如图，〔2〕∵AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD ，而∠BAC=∠ADB+∠ABD ，∴∠ADB=12∠BAC=12×45°=22.5°，即∠BDC 的度数为22.5°；〔3〕设AC=x ，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x ，AB=2AC=2x ，∴AD=AB=2x ，∴CD=2x x +=(21)x +，在Rt △BCD 中，cot∠BDC=DC BC =(21)xx +=21+，即cot22.5°=21+．考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．20．〔2021山西省〕如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．〔1〕尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保存作图痕迹，不写作法，请标明字母；〔2〕在你按〔1〕中要求所作的图中，假设BC=3，∠A=30°，求DE 的长．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔232．试题解析：〔1〕如图，⊙C为所求；〔2〕∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC ，∴CD=3cos30°=332，∴DE的长=33602180π⋅=32π．考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．21．〔2021济宁〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母〔保存作图痕迹，不写作法〕〔1〕作∠DAC的平分线AM；〔2〕作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．猜测并判断四边形AECF的形状并加以证明．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕作图见试题解析，四边形AECF的形状为菱形．【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．22．〔2021宁波〕在边长为1的小正方形组成的方格纸中，假设多边形的各顶点都在方格纸的格点〔横竖格子线的交错点〕上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，那么格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数．〔1〕在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形〔非菱形〕、菱形；〔2〕利用〔1〕中的格点多边形确定m ，n 的值．【答案】〔1〕答案见试题解析；〔2〕112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．〔2〕∵格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，那么格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ，其中m ， n 为常数，∴三角形：3816S m n =+-=，平行四边形：3816S m n =+-=，菱形：5416S m n =+-=，那么38165416m n m n +-=⎧⎨+-=⎩，解得：112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．考点：作图—应用与设计作图．23．〔2021杭州〕“综合与实践〞学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．〔1〕用记号〔a ，b ，c 〕〔a≤b≤c 〕表示一个满足条件的三角形，如〔2，3，3〕表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．〔2〕用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形〔用给定的单位长度，不写作法，保存作图痕迹〕．【答案】〔1〕共9种：〔2，2，2〕，〔2，2，3〕，〔2，3，3〕，〔2，3，4〕，〔2，4，4〕，〔3，3，3〕，〔3，3，4〕，〔3，4，4〕，〔4，4，4〕；〔2〕答案见试题解析．【解析】试题分析：〔1〕应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；〔2〕首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB ，且取AB=4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC ．那么△ABC 即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．24．〔2021温州〕各顶点都在方格纸格点〔横竖格子线的交错点〕上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克〔G•Pick ，1859～1942年〕证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，4=a ，6=b ，616214=-⨯+=S ． 〔1〕请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．〔2〕请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为27，且每条边上除顶点外无其它格点．〔注：图甲、图乙在答题纸上〕【答案】．【解析】试题分析：〔1〕根据皮克公式画图计算即可；〔2〕根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．试题解析：〔1〕方法不唯一，如图①或图②所示：〔2〕方法不唯一，如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．25．〔2021青岛〕【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】〔1〕用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．〔2〕用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．〔3〕用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？假设分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，那么不能搭成三角形．假设分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，那么能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．〔4〕用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？假设分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，那么不能搭成三角形．假设分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】〔1〕用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？〔仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中〕〔2〕用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔只需把结果填在表②中〕表②n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔设n 分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中〕表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用2021根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔写出解答过程〕，其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．〔只填结果〕【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．试题解析：〔1〕用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，那么能搭成一种等腰三角形用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，那么能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2021÷4=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2021÷3=672，∴用2021根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2021年题组】1．〔2021·安顺〕用直尺和圆规作一个角等于角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是〔〕A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B．考点：作图—根本作图；全等三角形的判定与性质．2．〔2021涉县一模〕如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点．②连接AB，AC．△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断〔〕A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【答案】A．【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BD,∵OD=BD，OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD，∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,应选A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．3．〔2021·玉林〕如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O〔保存作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑〕，并直接写出旋转角度是．【答案】90°．【解析】试题分析：如下图：旋转角度是90°．考点：作图-旋转变换．4．〔2021•河南〕如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，假设CD=AC，∠B=25°，那么∠ACB的度数为【答案】105°．考点：作图—根本作图；线段垂直平分线的性质．5．〔2021•梅州〕如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，那么：〔1〕∠ADE= ；〔2〕AE EC；〔填“=〞“＞〞或“＜〞〕〔3〕当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=【答案】〔1〕90°；〔2〕=；〔3〕7．考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．☞考点归纳归纳1：作三角形根底知识归纳：利用根本作图作三角形〔1〕三边作三角形；〔2〕两边及其夹角作三角形；〔3〕两角及其夹边作三角形；〔4〕底边及底边上的高作等腰三角形；〔5〕一直角边和斜边作直角三角形．注意问题归纳：用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．【例1】：线段a、c和∠β〔如图〕，利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．〔不写作法，保存作图痕迹〕．【答案】作图见解析．考点：作图—根本作图．归纳2：用角平分线、线段的垂直平分线性质画图根底知识归纳：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根本做图如图：【例2】两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如下图，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．【答案】作图见解析．考点：作图—应用与设计作图．归纳3：与圆有关的尺规作图根底知识归纳：〔1〕过不在同一直线上的三点作圆〔即三角形的外接圆〕；〔2〕作三角形的内切圆；〔3〕作圆的内接正方形和正六边形．注意问题归纳：关键是找准圆周心作出圆．【例3】如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O〔用尺规作图，不写作法，保存作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑〕【答案】考点：作图—复杂作图．☞1年模拟1．〔2021届山东省胶南市校级模拟〕：用直尺和圆规作图，〔不写作法，保存作图痕迹，〕如图，在∠AOB内，求作点P，使P点到OA，OB的距离相等，并且P点到M，N的距离也相等．【答案】作图见解析．【解析】试题分析：点P到M、N两点的距离相等即作MN的垂直平分线；点P到OA、OB的距离也相等．即作角平分线，两线的交点就是点P的位置．试题解析：如下图：考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．2．〔2021届广东省黄冈中学校级模拟〕△ABC中，∠C=90°，请利用尺规作出△ABC的内切圆O〔不写作法，请保存作图痕迹〕【答案】作图见解析．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．作图—复杂作图．3．〔2021届湖北省宜昌市兴山县模拟考试〕如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．〔1〕作△ABC的外接圆O，作直径AE〔尺规作图〕；〔2〕假设AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆直径AE的长．【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕9.6．试题解析：〔1〕如图：〔2〕证明：由作图可知AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°，〔直径所对的圆周角是直角〕∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC,∵AB AB=∴∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC,∴AC ADAE AB=,即658AB=,∴AE=9.6．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．作图—复杂作图．4．〔2021届江苏省盐城模拟考试〕实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按以下要求作图，并在图中标明相应的字母〔保存作图痕迹，不写作法〕〔1〕作∠BCA的角平分线，交AB于点O；〔2〕以O为圆心，OB为半径作圆．综合运用：在你所作的图中,〔1〕AC与⊙O的位置关系是〔直接写出答案〕〔2〕假设BC=6，AB=8，求⊙O的半径．【答案】实践操作：画图见解析；综合运用：〔1〕相切；〔2〕3．试题解析：实践操作：〔1〕如下图：CO即为所求；〔2〕如下图：⊙O即为所求；综合运用：〔1〕AC与⊙O的位置关系是：相切；考点：1．作图—复杂作图；2．直线与圆的位置关系．。
用尺规作三角形
4.数学活动课上，老师拿了一个三角形硬纸板(△ABC)，让每 位同学制作一个大小相同的模型，小明测量了三个角∠A， ∠B，∠C的大小，小丽测量了三角形的三条边AB，BC，AC的
长度，小亮测量了AB，BC的长度和∠C的大小，然后都各自按
照自己的测量数据作出相应的三角形，这三位同学谁能作出 符合要求的图形.________(填他们的名字).
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4 用尺规作三角形
1
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1.尺规作图的工具：圆规和直尺 ___________. 已知角 2.作三角形用到的基本作图：(1)作一个角等于 _______；(2) 作
已知线段
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5. 利用尺规作图，在下列条件中不能作出惟一直角三角形的
是
( (A)已知两个锐角 (B)已知一直角边和一个锐角 (C)已知两条直角边
)
(D)已知一个锐角和斜边
17
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
(A)已知底边及底边上的高 (B)已知底边及顶角 (C)已知底边上的高及腰 (D)已知两底角
)
8
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
【解析】选D.已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形
全等，所以A可作；已知底边和顶角，AAS或ASA能判定两个三
角形全等，所以B可作；已知底边上的高及腰，可以判定两个 三角形全等，所以C可作；已知两底角，AAA不能判定两个三 角形全等，所以D不可作.
北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形(含解析)
北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形（含解析) 1 / 17北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形(含解析）一、单选题1．已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ）A ．作一个角等于已知角B ．作一个角使它等于已知角的一半C ．在射线上取一线段等于已知线段D ．作一条直线的平行线或垂线2．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）A ．3cm AB =， 7cm BC =， 4cm AC = B ．3cm AB =， 7cm BC =， 8cm AC =C ．30A ∠=︒， 3cm AB =D ．30A ∠=︒， 100B ∠=︒， 50C ∠=︒3．如图AOB ∠，以OB 为边作BOC ∠，使2BOC AOB ∠=∠，那么下列说法正确的是（ ）．A ．3AOC AOB ∠=∠ B ．AOC AOB ∠=∠ C ．AOC BOC ∠>∠D ．AOB AOC ∠=∠或3AOC AOB ∠=∠4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A ′O ′B ′=∠AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA5．根据下列条件作出的三角形不唯一是（ ）A ．AB=6，∠A=60°，∠C=40°B ．AB=5，BC=4，CA=6C ．AB=5，AC=4，∠C=40°D ．∠A=50°，AB=8，AC=66．下列选项所给条件能画出唯一ABC ∆的是（ ）A ．50A ∠=︒， 30B ∠=︒， 2AB = B ．4AC =， 5AB =， 60B ∠=︒C ．90C ∠=︒， 90AB =D ．3AC =， 4AB =， 8BC =7．已知∠AOB ，用尺规作一个角∠A ’O ’B ’等于已知角∠AOB 的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB=∠A ’O ’B ’所用到的三角形全等的判断方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS8．已知∠BOP 与OP 上点C ，点A （在点C 的右边），李玲现进行如下操作：①以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交OB 于点D ；②以点A 为圆心，OC 长为半径画弧MN ，交OA 于点M ；③以点M 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧MN 于点E ，作射线AE ，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）.A ．∠ACD=∠EAPB ．∠ODC=∠AEMC ．OB ∥AED ．CD ∥ME9．如图，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了CN OA ，作图痕迹中， FG 是（ ）北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形（含解析)A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，DM为半径的弧 D．以点E为圆心，OD为半径的弧二、解答题10．如图，已知a和∠α，用尺规作一个三角形ABC，使AB=AC=2a，∠BAC=180°-∠α。
用尺规作三角形
（
）
尺规作三角形进一步验证了全等三角形的条件． 尺规作三角形进一步验证了全等三角形1.7
用尺规作三角形
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等？ 如何利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等？ A
B
C
直尺
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． ．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段 已知：线段a, c, ∠α .
a c
α
求作： 求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= ∠α . ，
A D C
F B
A
B
F
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比 它们全等吗？为什么？ 较，它们全等吗？为什么？
还有没有其他 的作法？ 的作法？
3．已知三角形的三边，求作这个三角形． ．已知三角形的三边，求作这个三角形． 已知：线段 ， ， 已知：线段a，b，c．
a b c
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a． 求作： ， ， ， （1）请写出作法并作出相应的图形． ）请写出作法并作出相应的图形． （2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形 ） 进行比较，它们全等吗？为什么？ 进行比较，它们全等吗？为什么？
作法 （1）作一条线段 ）作一条线段BC=a； ； 为顶点， （2）以B为顶点，以BC为 ） 为顶点 为 一边， 一边，作 ∠DBC = ∠α ．
B B
示范
C
C
（3）在射线 上截取线 ）在射线BD上截取线 段BA=c； ；
B C A
（4）连接 ．△ABC就 ）连接AC． 就 是所求作的三角形． 是所求作的三角形．
请按照给出的作法作出相应的图形． 请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 （1）作 ∠DAF = ∠α ． ）
用尺规作三角形-七年级数学下册课件(北师大版)
则△ 即为所求；
③运用“SSS”画图3，作线段 = ，分别以R，S为圆心，，为半径在的同
旁画弧交P点，连接，，则△ 即为所求．
通过作图可得，运用“SSS”作图比较方便．
2)在……上截取，使……=……；
3)以……为顶点，以……为一边，作∠……=∠……；
4)作∠……=∠……；
5)连接……，或连接……交……于点……；
6)以点……为圆心，以……为半径画弧，交于……于一点……；
7)分别以……，……为圆心，以……，……为半径画弧，两弧交于···点；
课堂练习
王同学不小心在一个三角形上洒了一片墨水，请用尺规帮王同学重新画一个三
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
课堂小结
尺规作图的一般步骤：
1）分析，即根据已知条件寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；
2）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
3）说明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。
课堂小结
常用作图语言（灵活掌握）
1)作一条线段……=……；
角形使它与原来的三角形完全相同。(保留作图痕迹，不写作法)
解：△ABC即为所求图形
课堂练习
已知线段a，n，h，求作△ABC，使BC= a, BC边上的中线AD=n，高AE= h.
作法:
① 作角∠MEN= 90°;
② 在射线EN上截取线段EA= h;
③ 以A为圆心，线段n为半径画弧交射线EM于点D，连接AD；
a
已知：线段a、 c、∠α
c
求作：△ABC，使BC=a、AB=c、∠ABC=∠α
方法二：先作两边的夹角，再作两边
44用尺规作三角形
4.4 用尺规作三角形1．已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b.2．已知线段a，h，如图所示，求作等腰三角形ABC，使得底边BC=a，BC边上的高为h（保留作图痕迹，不写作法）.3．已知一个三角形的两边分别为线段a，b，并且边a上的中线为线段c，求作此三角形（要求：用尺规作图，写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法，要写结论）．已知：求作：结论：4．如图，已知a和∠α，用尺规作一个三角形ABC，使AB=AC=2a，∠BAC=180°-∠α．【知识要点】1．作三角形：按所给的已知条件，依据三角形全等的判定方法作符合要求的三角形．2．作三角形主要结合以下几种已知条件：（1）知两边及其夹角，求作三角形；（2）已知两角及其夹边，求作三角形；（3）已知两角及一角的对边，求作三角形；（4）已知三边，求作三角形．【温馨提示】求作三角形的过程用到了两种最基本的尺规作图法，一种是作一个角等于已知角；另一种是作一条线段等于已知线段．因此确定求作三角形的作图顺序，应先画出草图，标上已知线段和角，并经过分析得出作图顺序．【方法技巧】作三角形的步骤：先写出已知、求作，然后进行分析，最后画出图形，写出作法.答案：1．解：如图所示.2．解：如图，△ABC为所求作的图形．3．解：已知：线段a，b，c；求作：△ABC，使AC=b，BC=a，D是BC的中点，且AD=c；（或：求作△ABC使AC=b，BC=a，BC边上的中线AD=c）结论：如图，△ABC即为所求．4．解：作法：首先作射线，在射线上截取AB=2a，再作∠BAC=180°-∠α，再截取AC=AB=2a，连接BC即可（图略）.。
4.4 用尺规作三角形-北师大版七年级数学下册同步提升训练(含解析)
4.4用尺规作三角形同步提升训练1．用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC 内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（ ）A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜m C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE 2．如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°3．按下列语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，下列图形符合题意的是（ ）A．B．C．D．4．如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧MN，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C、D为圆心，CD 长为半径作圆弧，两圆弧交于点P，连接CP、DP；③作射线OP交CD于点Q．下列说法不正确的是（ ）A．∠AOP＝∠BOP B．∠CDO＝∠PDB C．CP＝2QC D．CD⊥OP5．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容如图，已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交☺于点N；②分别以点⊕为圆心，大于♡的长为半径画弧，两弧在⊗内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．（ ）A．☺表示OA B．⊕表示M、C C．♡表示ON D．⊗表示∠AOB 6．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（ ）①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣①C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②7．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（ ）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧9．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）A．50°B．52°C．58°D．64°11．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是 ．①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．12．为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M．则射线OM为∠AOB的平分线．OM为∠AOB的平分线的原理是 ．13．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为 ．14．阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′＝∠AOB．小米的作法如下：如图：（1）作射线O′A′；（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；（5）过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是所求作的角．老师说：“小米的做法正确．”请回答：小米的作图依据是 ．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ ．16．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．（1）经过点P画CB的平行线PQ．（2）过点A，画CB的垂线AM．（3）过点C，画CB的垂线CN．（4）请直接写出AM、CN的位置关系．17．如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）18．尺规作图：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹，画在答题纸的方框中）写出这样作图的两点依据：① ；② ．19．如图，已知∠AOB，点P是OA边上的一点．（1）在OA的右侧作∠APC＝∠AOB（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线PC与直线OB的位置关系，并说明理由．20．如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）21．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）22．已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．参考答案1．解：作∠ABC的平分线的步骤如下：①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．∴m＞0，n＞DE，故选：C．2．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，根据作图过程可知：AD是∠CAB的平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝CAB＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝60°．故选：C．3．解：∵点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，∴点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，∴图形符合题意的是选项B．故选：B．4．解：由作法得OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，所以A选项的说法正确；由作法得OC＝OD，PC＝PD，∴OP垂直平分CD，所以D选项的说法正确；∴CD＝2CQ，∵CP＝CD＝PD，∴CP＝2CQ，所以C选项的说法正确；∵∠AOB不能确定为60°，∴不能确定∠CDO等于∠PDB，所以B选项的说法错误．故选：B．5．解：作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．故选：D．6．解：根据作一个角等于已知角的过程可知：④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．故选：C．7．解：A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；所以A选项不符合题意；B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以B选项符号题意；C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；所以C选项不符合题意；D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．所以D选项不符合题意．故选：B．8．解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选：D．9．解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠AOC＝30°，∵AC＝AO，∴∠AOC＝∠ACO＝30°．故选：B．10．解：由作图可知，AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，∠B＝26°，∴∠BAC＝64°，∴∠DAC＝∠BAC＝32°，∴∠ADC＝90°﹣32°＝58°，故选：C．11．解：由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，故③④正确，∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，∴CQ＝DQ，∴CP＝2QC，故②正确，故答案为②③④．12．解：如图，连接PM，PQ．∵OP＝OQ，PM＝QM，OM＝OM，∴△POM≌△QOM（SSS），∴∠POM＝∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．故答案为SSS．13．解：由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝40°，∵∠ACD＝30°，如图1，∴∠ACB＝40°+30°＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；如图2，∴∠ACB＝40°﹣30°＝10°，∴∠BAC＝180°﹣10°﹣40°＝130°，综上所述，∠BAC的度数为70°或130°，故答案为：70°或130°．14．解：根据作图过程可知：在△OCD和△OC′D′中所以△OCD≌△OC′D′（SSS）所以∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．故答案为：全等三角形对应角相等．15．解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C＝90°，∠B＝20°，∴∠CAB＝70°，∴∠CAD＝∠BAD＝35°，∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．故答案为：125°．16．解：（1）如图，PQ为所作；（2）如图，AM为所作；（3）如图，CN为所作；（4）AM∥CN．17．解：如图，点P即为所求．18．解：如图∠A′O′B′即为所求；作图的依据：①三边对应相等两三角形全等．②全等三角形的对应角相等．故答案为：三边对应相等两三角形全等．全等三角形的对应角相等．19．解：（1）如图，∠APC就是所要求作的角；（2）直线PC与直线OB的位置关系为：PC∥OB，理由如下：由（1）作图可得：∠APC＝∠AOB，∴PC∥OB．20．解：如图，射线BD即为所求．21．解：如图，点P即为所求．22．解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，又∵∠AOE＝2∠BOE，∴∠AOB＝∠BOE，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，又∵∠AOD＝40°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°。
尺规作图初二上练习题
尺规作图初二上练习题尺规作图是几何学中的重要内容之一，通过尺和规这两种工具，可以实现诸多几何图形的精确绘制。
下面是一些初二上学期尺规作图的练习题，通过完成这些题目，可以更好地理解和掌握尺规作图的方法和技巧。
1. 作一个等腰三角形ABC，知道底边BC和顶角A的大小。
2. 作一个等边三角形XYZ，已知边长为a。
3. 作一个与已知直线平行的直线。
4. 作一个与已知直线垂直的直线。
5. 过已知点P作一条平行于已知直线的直线。
6. 过已知点P作一条垂直于已知直线的直线。
7. 作一个直角三角形，已知两条直角边的长度。
8. 作一个正方形，已知边长。
9. 过已知点P作一条经过已知点Q的直线。
10. 作一个与已知线段AB等长的线段。
以上是初二上学期尺规作图的一些练习题，通过动手实践这些题目，可以帮助同学们更好地掌握尺规作图的方法和技巧。
尺规作图在几何学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们准确地绘制各种几何图形，还可以培养我们的观察力、分析能力和解决问题的能力。
尺规作图的基本原理是通过尺上的刻度和规上的固定长度，结合直尺和圆规这两种工具，来绘制几何图形。
在作图过程中，需要注意以下几点：1. 清晰准确地标出已知条件。
在作图前，要仔细阅读题目，理解图形的已知条件，将这些条件清晰地标出来，为后续的作图提供依据。
2. 确定作图的步骤和顺序。
尺规作图一般需要按照一定的步骤和顺序进行，不可随意涂抹或直接描绘，要有条不紊地进行作图。
3. 使用规时要保持长度不变。
规上的固定长度是尺规作图的关键，要保证在作图过程中不改变规的长度，以保证绘制的图形准确无误。
4. 仔细检查作图结果。
完成作图后，要仔细检查绘制的图形是否符合已知条件和要求，确保没有错误。
通过反复练习和不断实践，同学们可以逐渐掌握尺规作图的方法和技巧。
在解决数学和几何问题时，尺规作图可以起到辅助的作用，帮助理解和解决问题。
同时，尺规作图也是培养同学们观察力、分析能力和解决问题能力的有效方法之一。
《用尺规作三角形》练习题课件
12．如图，四条线段a，b，c，d，a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4. 选择其中三条线段为边作一个三角形．(尺规作图，要求保留作图痕迹， 不必写作法) 解：根据三角形三边关系，只能选b，c，d为边作三角形，如图所示．
13．(导学号：54584068)如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使
BC＝2a，AB＝b，中线AD＝c. 解：如图， 作法：(1)作△ABD，使AB＝b，BDA，C为圆心，BC，AB长为半径
画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有( A．∠ADC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补 C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余 B )
11．如图，已知线段a，∠α. 求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α. 解：如图所示(作法如下)：
( A ) A．已知两个锐角 B．已知一直角边和一直角边所对的锐角 C．已知两条直角边 D．已知一个锐角和斜边
9．如图，已知∠AOB. 作法：(1)在 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD＝OE；(2) 1 分别以 D，E 为圆心，大于2DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧 交于点 C；(3)作射线 OC.OC 就是所求的射线． 这个作图是( A ) A．作一个角的平分线 B．作一个角等于已知角 C．作一个三角形等于已知三角形 D．以上说法均不正确
七年级下册数学（北师版）
第四章
三角形
4
用尺规作三角形
知识点：用尺规作三角形 1．若按给定的三个条件画一个三角形，则画出的三角形 不唯一的条件可能是( D )
A．两边一夹角 B．两角一夹边 C．三边 D．两边及其中一边对角
2．你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？如图，由尺规作 图知，OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，所以△OCD≌△O′C′D′，
《用尺规作三角形》典型例题 精品北师大版数学练习
《用尺规作三角形》典型例题例1线段a、b，求作ABC∆，使得b=∠,90．︒,=C=aACBC例2 ，三角形的两个内角分别是50°和60°，其中60°角所对的边是3cm，求作这个三角形．例3，三角形的两条边分别是3cm和4cm，且3cm这条边所对的角是30°，求作这个三角形．例4：α∠和线段c，α求作：ABC∆，使得c=∠,2∠,α∠ABAB==∠参考答案例1 分析：假定ABC ∆已作出，那么应有b AC a BC C ==︒=∠,,90．C ∠是BC 、AC 的夹角，此题是三角形的两边及夹角，求作这个三角形．直角可以用直角三角形的直角来作．解：作法：〔1〕作︒=∠90PCQ ；〔2〕在PC 、QC 上分别截取线段b AC a BC ==,； 〔3〕连接AB ．那么ABC ∆即为所求作的三角形．例2 分析：根据三角形内角和等于180°，可求出所作三角形的另一个角是70°，这就变成了三角形的两个角和其夹边来作这个三角形．作法：根据三角形内角和等于180°，可求得该三角形的另一个角是70°． 〔1〕作线段3=AB cm ．〔2〕以AB 为边，分别以A 、B 为顶点作︒=∠︒=∠70,50B A ． 〔3〕B A ∠∠、的另一边交于C 点，那么ABC ∆就是所求作的三角形． 说明：由这个题我们可以知道，只要给出三角形的两个角和一个边，就可以作出这个三角形．例3 分析：先作一个30°角，再作出它的一个邻边，只要再把三角形30°角所对的边确定了，所作的三角形就确定了．作法：〔1〕作30°角； 〔2〕截4=AB cm ；〔3〕以B 为圆心，以3cm 为半径画弧，交30°角的一边于C 、C '点； 〔4〕连结BC 、C B '，得到的ABC ∆和C B A '''∆都是符合要求的三角形． 说明：给出三角形的两边和一边的对角，作三角形，有时可以作出两个，这也是全等三角形，不存在“SSA 〞判别方法的原因．例4分析：此题是三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．关键是A∠的作法，α=∠∠PAB，再以P A为一条边，=∠∠2A，可以先以AB为一条边，作α作α∠QAB．=∠2=∠PAQ，那么α∠解：作法：〔1〕作线段cAB=；〔2〕以B为顶点，以BA为一条边，作α=∠MBA；∠〔3〕在AB的同侧，以A为顶点，以AB为一条边，作α∠2QAB，射线=∠BM、AQ相交于点C．那么ABC∆即为所求作的三角形．单元测试一、选择题：〔每题4分，共20分〕1.⊙O的直径是15cm，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，那么AB=〔〕A．24cm B．12cm C．6cm D．3cm2.⊙O的直径是3，直线与⊙O相交，圆心O到直线的距离是d，那么d应满足〔〕A．d>3 B．1.5<d<3 C．0≤d<1.5 D．0<d<33.两圆的半径分别为R，r〔R>r〕，圆心距为d,且R2+d2-r2=2Rd,那么这两圆的位置关系是〔〕A．内含B．相切C．相交D．相离4.假设直径为4cm，6cm的两个圆相外切，那么与这两个圆都相切且半径为5cm 的圆的个数是〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个5.圆内接正方形与该圆的内接正六边形的周长比为〔〕A．2：3 B．23C2 2 D．2 3二、填空题：〔每题4分，共20分〕6.过⊙O 内一点P 的最长的弦是10cm ，最短的弦是8cm ，那么OP 和长为 cm.7.如图,弦AC ，BD 相交于E ，并且AB BC CD ==,∠BEC=110°,那么∠ACD 的度数是 .8.假设三角形的周长为9，面积为S ，其内切圆的半径为r,那么r ：S= . 9.∠AOB=30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M 与OA 相切，切点为N ，那么△MON 的面积为 .10.如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为12的圆得到图②，挖去22个半径为〔12〕2的圆得到图③……，那么第n(n>1)个图形阴影局部的面积是 .……三、解答题：〔每题8分，共40分〕11.如图，AB 是⊙O 的直径，CF ⊥AB 交⊙O 于E 、F ，连结AC 交⊙O 于D. 求证：CD·AD = DE·DF.12.用钢丝制作两个不同的轴对称模型，如下列图，这两个模型中大圆半径都是1米，模型甲中大圆内连接两个等边三角第7题图①图②图③B模型甲形，模型乙中大中圆内连接两个正方形.这两个图案哪个用料多一点？为什么？13.如图，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形，然后分别作三个正方形的内切圆，试探究三个圆的面积之间的关系.14.如图，在直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，以线段AB为弦的⊙C与直线x=-2相切于点E〔-2〕，交x轴于点D，线段AE求点A、B的坐标.模型乙15.如图，四边形ABCD内接于圆，假设AB=AC，且∠ABD=60°.求证：AB=BD+CD.四、解答题：〔每题10分，共20分〕16.：如图，AB为半圆O的直径，过圆心O作EO⊥AB，交半圆于F，过E作EC切⊙O于M，交AB的延长线于C，在EC上取一点D，使CD=OC，请你判断DF与⊙O有什么关系，并证明你的判断的正确性.17.如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠局部的面积总等于△ABC的面积的13，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由.参考答案一、选择题：〔每题4分，共20分〕 BCBAD二、填空题：〔每题4分，共20分〕 6、3，7、75°，8、2：9，9、cm 2，10、〔1-112n -〕π.三、解答题：〔每题8分，共40分〕 11.证明：连结AF ，∵AB 中直径，CF ⊥AB ， ∴AB ADE =，∴∠ADF=∠AFE ， ∵A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠CED=∠CAF=180°-∠DEF ， 同理∠CDE=∠AFE ， ∴∠CDE=∠ADF ， ∴△CDE ∽△FDA ，∴CD DE DF AD=，∴CD·AD=DE·DF.12.解：模型甲用料多一点.理由：模型甲用料〔2π+6〕米，模型乙用料〔2π∵=∴2π+6>2π∴模型甲用料多一点.13.解：设分别以AB 、BC 、CA 为边长的正方形的内切圆面积分别为S 1，S 2，S 3， 那么S 1=22AB π⎛⎫⎪⎝⎭=4πAB 2，S 2=22BC π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4πBC 2，S 3=22AC π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4πAC 2∵△ABC 直角三角形，∴AB 2=BC 2+AC 2. ∴4πAB 2=4πBC 2+4πAC 2. B即S 1=S 2+S 3.14.解：连结EA ，那么Rt △ADE 中，，∴1 ∴OD=2，∴OA=OD-AD=1， ∴点A 的坐标为〔-1，0〕， 再连结EB ，∵∠DEA=∠B, ∠EDA=∠BDE,∴DE DADB DE =,∴DB=221DE DA==5,∴OB=DB-OD=5-2=3, ∴点B 坐标为〔3，0〕.15.证明：延长CD ，使DE=BD ，连结AE ， ∵四边形ABCD 内接于圆， ∴∠ADE=∠ABC=180°-∠ADC ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∵∠ADB=∠ACB ，∴∠ADB=∠ADE ， ∵AD=AD∴△ABD ≌△AED ，∴AB=AE ，∴AC=AE ，∵∠ABD=∠ACD=60°， ∴△ACE 是等边三角形， ∴CE=AE=AB ，∵CE=ED+DC=BD+CD ，∴AB=BD+CD. 16.解：DF 与⊙O 相切. 证明：连结OM ，∵CD=CO ，∴∠COD=∠CDO ，∵CE 切⊙O 于M ，∴OM ⊥CE ， ∴∠C+∠COM=90°，E∵EO⊥AC，∴∠C+∠E=90°，∴∠COM=∠E,∵∠CDO=∠E+∠DOF, ∠COD=∠COM+∠DOM.∴∠DOF=∠DOM,∵OF=OM,OD=OD, ∴△OFD≌△OMD,∴∠OFD=∠OMD=90°, ∴DF⊥OF, ∴DF与⊙O相切.17.解：扇形的圆心角应为120°.〔1〕当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时，显然△ABC与扇形重叠局部的面积等于△ABC的面积的13.〔2〕当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时，连结OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，∵O是正三角形的中心，∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，∴∠AOF=120°-∠BOF，∠BOG=∠DOE-∠BOF=120°-∠BOF，∴∠AOF=∠BOG，∴△AOF≌△BOG，S四边形OFBG=S△OAB=13S△ABC.即扇形与△ABC的重叠局部的面积总等于△ABC的面积的13.由〔1〕〔2〕可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠局部的面积总等于△ABC的面积的13.。
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用尺规作三角形习题精选(二)
一、训练平台（每小题6分，共24分）
1．如图11-55所示，已知线段a，c。
求作R t△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，AB＝c。
2．如图11-56所示，已知两边a，b，求作等腰三角形ABC。
3．如图11-57所示，已知线段m，n，∠A。
求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，∠A ＝∠a。
4．如图11-58所示，已知线段b，m（m＞b），求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝b，BC边上的中线AD＝m。
能力升级
二、提高训练（每小题6分，共24分）
1．如图11-59所示，已知钝角三角形ABC ，求作中线BE 、角平分线AD 、高CF 。
2．如图11-60所示，已知△ABC 。
求作AC 上一点D ，使点D 到∠B 两边的距离相等。
3．如图11-61所示，已知△ABC 中的∠A 和∠B 分别等于图中的α∠，β∠，求作∠MON ，使∠MON ＝∠C 。
4．如图11-62所示，已知△ABC 。
求作△ABC 的三边中垂线。
三、探索发现（每小题7分，共42分）
1.．如图11-63所示，已知线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，AC＝BC。
∠。
求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝b，2．如图11-64所示，已知线段b，α
∠=∠。
Aα
3．如图11-65所示，已知线段a，b，c。
求作△ABC，使AB＝c，AC＝a，BC＝b。
4．如图11-66所示，已知线段b，m（b＞m）。
求作△ABC，使AB＝AC＝b，且BC 边上的高为m。
5．如图11-67所示，已知∠A ，求作α∠的补角的平分线。
6．如图11-68所示，已知△ABC 。
求作BC 边上的中线AD 。
四、拓展创新（共10分）
如图11-69所示，已知线段c 和α∠，β∠。
求作△ABC ，使A α∠=∠，B β∠=∠，AB ＝c 。