角平分线和全等三角形证明分类

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：初二课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课类型T 角平分线C专题精讲
授课日期时段
教学内容
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2）， PA⊥OM， PB⊥ON，∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．
【例题讲解】
1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB
3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP.
E
D
C
B
A
E
A
B
C
D
F
4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC.
【同步练习】
1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？
⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长
2．已知，如图DABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点。

求证：D 到AB 、AC 的距离相等。

3.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=64，BD ∶DC=9∶7,求D 到AB 的距离.
A B
C
D
E
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A是角平分线．求证：AC+CD=AB．
角平分线性质的应用
（一）证明线段相等
例1 已知：如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB。

求证：MB=MC
（二）证明角的平分线
例2已知，如图AF、CF是DABC的外角DAC、ACE的平分线
求证：点F必在B的平分线上。

（三）证明角相等
例3.如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．
◆基础知识扫描
1.点O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠A=60°,则∠BOC的度数为( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2.如图1,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点O,则下列结论正确的是( )
A. OA=OC
B. 点O到AB、CD的距离相等
C. 点O到CB、CD的距离相等
D. ∠BDA=∠BDC
3.△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,且
AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则点O到三边AB、AC、BC的距离为( )
A.2cm 2cm 2cm;
B. 3cm 3cm 3cm;
C. 4cm 4cm 4cm;
D. 2cm 3cm 5cm
4.到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
5.如图2,△ABC中,∠B=90°, ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .
◆能力训练升级
6.如图3,P是∠AOB的平分线上的一点,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,OP与EF的位置关系是
7.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB
的周长为__ cm.
一、专题精讲
【题型一】公共边类型的全等三角形
图形1 图形2 图形3
注意隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA
【例1】 在ABC ∆中，AB=AC,AD 平分∠BAC ，求证：ABD ∆≌ACD ∆
【例2】如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.
【例3】已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．
A B C
D A
B C
D B
C
A D
D C B A A
B C
D
【题型二】边加减类型的全等三角形
图形1 图形2 图形3 图形4
【例4】已知点B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：∠A=∠D. ．
【例5】如图，已知：.,,CF BE DE AC DF AB ===求证：DF AB //.
【例6】如图，已知：BF CE DF AE CD AB ===,,.求证：（1）DE AF =;(2)AE ∥DF.
【例7】已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，
求证：△ABC ≌△DEF ．
B
C
D
E
F A A D B E F C
(1)
A
B
F
E C
D (4) A B F
E D C
(2) A B E F D C
(3) ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE ∵
BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF
∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF
∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE
A D
B
E C
F
【例8】如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.
【题型四】对顶角类型的全等三角形
图形1 图形2
【例9】如图1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：∠B=∠D.
【例10】如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF
图形1 图形2 图形3 图形4
【例10】已知：如图(1)，AB=AD ，BC=DE ，∠1=∠2.求证：(1)AC=AE ； (2) ∠CAE=∠CDE.
【例11】已知：如图(2)，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF ；③△CAN ≌△ABM ；④CD=DN.其中正确的结论是__________________.
【例12】如图，已知AB=AD ， ∠B=∠D ，∠1=∠2，证明：BC=DE
E
D
C
B
A N M
F
E
D C
B
A
E
D
C
B
A
【题型六】大山型的全等三角形
【例14】已知：如图，AB ⊥CD,ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ，求证：AC ⊥CE.
同步练习：
1. 如图所示，已知CD CB AD AB ==,，E 是AC 上一点. 求证：AED AEB ∠=∠.
2. 已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证：AE=DE .
3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .
4.如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===.
求证：点B 是线段AC 的中点.
5．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .
6．已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ． 求证：ED ⊥AC ．
学法提炼：
1、三角形全等的证题思路
（1）SAS
HL
SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩
找夹角已知两边找直角找另一边 （2）AAS SAS ASA AAS →→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩
边为角的对边找任意一角找夹角的另一边已知一边和一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角 （3）ASA AAS
→⎧⎨→⎩找夹边已知两角找任意一边。