解析几何中定值与定点问题

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解析几何中定值与定点问题

【探究问题解决的技巧、方法】

(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究. 【实例探究】 题型1:定值问题：

例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 ： 的

2后

焦点，离心率等于 ：

(I)求椭圆 c 的标准方程；

(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若

MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.

(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为 偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).

MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj

2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .

\ + \ [ +召

2

J

去分母整理得

1

'

' - J

将A 点坐标代入到椭圆方程中，得

5

:则由题意知b = 1.

同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允

二啲两个根, ，”召 +血-10.

方法二：设A、B、M点的坐标分别为

又易知F点的坐标为（2, 0）.

显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+

20疋20^ —5

v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=

/一X] 2_召

又

♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“

:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.

2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2

例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.

1）求椭圆方程

2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值

（1）a2-b2=c2 =1

设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1

将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）

所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1

（2）

设AE斜率为k

则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①

x2/4+y2/3=1 ②

①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）

①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0

根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③

将③的结果代入①式得

y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）

设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④

x2/4+y2/3=1 ②

5

不存在，请说明理由.

••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),

5 3k 2

,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 1

3k 2 1 k2x1 1 x2 1

3k 5 1

1k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2

m2

k 2 3：!

②④联立同样解得

x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)

EF 斜率为

(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2

所以直线EF 斜率为定值，这个定值是

1/2。

例3、已知椭圆

冷+耸=1(a >b a 0)的离心率为 a 2 b 2

，且过点(2,1).

(I)求椭圆的方程;

(n)若过点 C (-1, o )且斜率为k 的直线I 与椭圆相交于不同的两点

A, B ，试问在x 轴

上是否存在点 M ，使MA MB

3k 2

1

是与k 无关的常数？若存在，求出点 M 的坐标；若

解：(1 )T 椭圆离心率为空6

3

c .6

又T 椭圆过点 (血，1)，代入椭圆方程，得 .2

1

b -- 2

a

3

2 1

—+— 2

.2

a

b 二

1

所以 a 2

=5,b 2

2

2

x +乂=1 5 5

3

(2)在x 轴上存在点M r ,0)，使MA MB -

6 3k 2

1

是与K 无关的常数.

证明：假设在x 轴上存在点M (

m ,0),使MA MB 3k 2 ,1

是与k 无关的常数,

•••直线L 过点C (-1, 0)且斜率为K, • L 方程为y 二k(x 1),

「2 ，c 2 「

得(3k 2 - 1)x 2 6k 2x 3k 2 -5 =0.

厂k(x+1),

-6k 2

3k 2 -5

设 AZ®2’％)，则 x1 x ^3k 2 -!,x1

3k 2 1

•••椭圆方程为

，即 x 2

3y 2

=5.

_5

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