实验2_统计的方法求pi
自己动手计算圆周率
自己动手计算圆周率圆周率的计算历程圆周率是一个极其著名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回忆历史，人类对π 的认识过程，反映了数学和计算技术开展情形的一个侧面。
π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学开展水平的指标。
〞直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。
为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。
我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
〔1〕实验时期通过实验对π 值进行估算，这是计算π 的的第一阶段。
这种对π 值的估算根本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。
在古代世界，实际上长期使用π ＝3这个数值。
在我国刘徽之前“圆径一而周三〞曾广泛流传。
我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一〞这一结论。
在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七〞，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。
这正反映了早期人们对圆周率π 和√2 这两个无理数的粗略估计。
东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。
后人称之为“古率〞。
在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。
刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。
为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。
现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。
人类的这种探索的结果，当主要估计园田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不适宜了。
算法之美--1.蒙特卡洛方法计算pi
算法之美--1.蒙特卡洛⽅法计算pi基本思想：利⽤圆与其外接正⽅形⾯积之⽐为pi/4的关系，通过产⽣⼤量均匀分布的⼆维点，计算落在单位圆和单位正⽅形的数量之⽐再乘以4便得到pi的近似值。
样本点越多，计算出的数据将会越接近真识的pi（前提时样本是“真正的”随机分布）。
蒙特卡罗（Monte Carlo）计算圆周率的主要思想：给定边长为R的正⽅形，画其内切圆，然后在正⽅形内随机打点，设点落在圆内的概为P，则根据概率学原理： P = 圆⾯积 / 正⽅形⾯积＝ PI * R * R / 2R * 2R = PI / 4。
即 PI=4P。
这样，当随机打点⾜够多时，统计出来的概率就⾮常接近于PI的四分之⼀了。
#include <iostream>#include <ctime>using namespace std;int main(){const int MAX_TIMES = 20000000;srand(static_cast<unsigned int>(time(0)));int in=0;for (int i = 0; i < MAX_TIMES;i++){double x = static_cast<double>(rand()) / RAND_MAX;double y = static_cast<double>(rand()) / RAND_MAX;if (x*x+y*y<=1.0){in++;}if (i%(MAX_TIMES/100)==0){cout << ".";}}double pi = 4.0*in / MAX_TIMES;cout << "\nPI=" << pi << endl;return0;}实现了⼀下，感觉时间⽤的有点长。
cuda积分法求pi
cuda积分法求piCUDA积分法求π在计算机科学领域中，π（圆周率）是一个重要的数学常数。
许多领域的问题都需要用到π，例如几何、物理学、统计学等。
求π的方法有很多，其中一种常见的方法是使用积分法求解。
本文将介绍如何使用CUDA（计算统一设备架构）来实现积分法求解π。
1. 积分法介绍积分法是一种求解数学问题的方法，它将一个函数在某个区间上的积分转化为该区间内该函数的加权和。
对于π的求解，我们可以使用下述公式来表示：π = ∫(0 to 1) 4 / (1 + x^2) dx该公式表示了一个从0到1的积分，其中被积函数为4 / (1 + x^2)。
我们可以使用积分法来估计这个积分的近似值。
2. CUDA并行计算CUDA是由NVIDIA开发的一种并行计算平台和编程模型，它可以利用GPU 的计算能力进行高性能的并行计算。
在本文的任务中，我们将使用CUDA来进行并行计算，以加快π的计算速度。
3. CUDA程序设计在使用CUDA进行程序设计时，我们需要编写两个函数：主机函数和设备函数。
主机函数在CPU上运行，用于控制CUDA的执行流程。
设备函数在GPU上运行，用于实际的计算。
首先，我们需要创建一个包含设备函数的CUDA文件。
设备函数用于计算积分的近似值，代码如下所示：```cpp__global__ void compute_pi(float* result, int n) {int index = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;float x = (index + 0.5) / n;float fx = 4 / (1 + x * x);result[index] = fx / n;}```接下来，我们需要创建主机函数来调用设备函数并计算近似值。
主机函数的代码如下所示：```cpp#include <iostream>#include <cuda_runtime.h>int main() {int n = 1000000; // 迭代次数size_t size = n * sizeof(float);float* result = (float*)malloc(size);float* dev_result;cudaMalloc((void**)&dev_result, size);int threads_per_block = 256;int blocks_per_grid = (n + threads_per_block - 1) / threads_per_block;compute_pi<<<blocks_per_grid, threads_per_block>>>(dev_result, n);cudaMemcpy(result, dev_result, size, cudaMemcpyDeviceToHost);float pi = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {pi += result[i];}pi *= 4;std::cout << "Approximation of pi: " << pi << std::endl;free(result);cudaFree(dev_result);return 0;}```在主机函数中，我们首先定义了迭代次数n，并根据它计算需要分配的内存大小。
生物医学研究的统计学方法 课后答案(案例分析)
第1章绪论案例辨析及参考答案案例1-1某研究者的论文题目为“大学生身心健康状况及其影响因素研究”，以某地职业技术学院理、工、文、医学生（三年制）为研究对象，理、工、文、医学生分别挑选了60、38、19和46人，以问卷方式调查每位学生的一般健康状况、焦虑程度、抑郁程度等。
得出的结论是：“大学生身心健康状况不容乐观，学业问题、就业压力、身体状况差、人际交往不良、社会支持不力为主要影响因素”。
请问其结论合理吗？为什么？应该如何？案例辨析①样本不能代表总体。
总体是“大学生”，而样本仅为某地三年制职业技术学院学生；②社会学调查的样本含量显得不足；③“理、工、文、医学生分别挑选……”这种说法中隐含人为“挑选”的意思，不符合统计学要求。
正确做法应在论文的题目中明确调查的时间范围和地点，还应给“大学生”下一个明确的定义，以便确定此次调查的“总体”；对“大学生身心健康状况”可能有影响的因素很多，应结合具体问题拟定出少数最可能有影响的因素（如学科、在学年限等）进行分层随机抽样，以保证样本有较好的代表性；还应根据已知条件找到估计样本含量的计算公式，不可随意确定各学科仅调查几十人；当然，调查表中项目的设置也是十分重要的，此处从略。
案例1-2两种药用于同一种病，A药治疗5例，4例好转；B药治疗50例，36例好转。
结论是：A药优于B药。
请问其结论合理吗？为什么？应该如何？案例辨析①A药样本仅5例，样本含量太少；②得出“A药优于B药”没有交待是否采用了统计学推断方法，若用目测法得出结论，则结论没有说服力；③未明确研究目的和研究结果将被使用的范围。
正确做法①应明确研究目的和研究结果将被使用的范围，若是个别研究者或临床医生想了解这两种药的大致疗效，属于小规模的临床观察，其结论仅供少数人在今后临床实践中参考，其样本含量可能不需要很大，因为观察指标是定性的（有效、无效），一般来说，每个药物组也需要几十例（以不少于20例为宜）；若属于新药的Ⅱ期临床试验，那就要严格按有关规定，比较准确地估计出所需要的样本含量，不仅如此，还有很多严格的要求，详见本书中临床试验设计一章；②从明确定义的总体中随机抽样进行实验研究，得到的实验结果不能仅凭数据大小作出判断，应进行假设检验，以提高结论的可信度。
统计学公式
3
xi x 4 n(n 1) 3(n 1) 2 ( ) . s (n 1)(n 2)(n 3) (n 2)(n 3)
2
统计学公式
二、概率分布
一、度量事件发生的可能性：
1.事件 A 发生的概率： P ( A) 二、随机变量的概率分布：
统计学公式
一、用统计量描述数据
一、水平的度量：
x x2 x3 1.简单平均数: x 1 n
xn
X
i 1
n
i
n
.
k
M f M 2 f2 M k fk 2.加权平均数： x 1 1 f1 f 2 f k
M
i 1
i i
f
n
.（如果原始数据被分成 k 组，各
2
E2
.
四、假设检验
一、一个总体参数的检验
1.大样本的检验
(1)在大样本的情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其抽样标准差为 /
2
n.
采用正态分布的检验统计量.设假设的总体均值为 0 ,当总体方差 已知时,总体均值检验 的统计量为： z
x 0
/ n
.
(2)当总体方差 未知时,可以采用样本方差 s 来代替,此时总体均值检验的统计量为：
组的组中值分别用 M1，M 2， ，M k 表示，各组的频数分别用 f1，f 2， ，f k 表示，则得到 样本平均数计算公式）
x n 1 2 3.中位数（ M e ） ： Me 1 x n x n 1 2 2 2
n
p ；
(1 )
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
概率论与数理统计实验
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3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
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在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
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二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
概率论与数理统计实验
实验2 随机数的产生
数据的统计描述
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实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。 3、计算统计描述的命令。 4、计算实例。
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一、随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
整理课件
例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
数学建模 π的计算
可将 算到 200 位。
二、 泰勒级数法 考虑反正切函数的泰勒级数
取 x =1，n =1e3(3,4,5,6,7)
程序： clear tic k=1e3(3,4,5,6,7); x=1; n=1:k; pai=sum((-1).^(n-1).*x.^(2.*n-1)./(2.*n-1)) toc 结果显示：花费时间长！准确度差！！ 原因：x =1 时得到的 arctan1 的展开式收敛太慢！ Maqin 公式法 提高收敛速度：
1、 梯形公式法 将扇形 G 分为 n 个宽度相等的部分 Gk（1 ≤ k ≤ n） Gk：曲边梯形 左右边界平行，上方边界为曲线 n→∞ Gk→梯
G G
形 Gk 梯形面积：
等价于
π
取 n =10k （k=3, 4, …,7），按上述方法，通过计算扇形面积计 算 π 的近似值。 程序
Clear tic n=1e3(3, 4, …,7); x=linspace(0,1,n+1); y=(1-x.^2).^0.5; pai=(0.5*y(1)+0.5*y(n+1)+sum(y(2:n)))*4/n toc
rand(n) 产生 n×n 的随机方阵 rand(m,n) 产生 m×n 的随机矩阵 需要产生两个[0, 1]上均匀分布的随机数 x，y，表示一个点的坐 标，这个点落在单位正方形内每个位置的机会均等，当 x2 + y2 ≤ 1 时，该点落在扇形内。 程序： clear tic n=1e7; x=rand(1,n); y=rand(1,n); c=x.^2+y.^2; m=sum(c<=1); k=m/n; pai=4*k toc 四、蒲丰（Buffon）掷针试验 1777 年法国数学家蒲丰提出了一种用于计算 π 的随机掷针试验， 步骤如下： （1）取一张白纸，在上面画许多间距为 d 的等距平行线；（2） 取一根长度为 l ( l < d ) 的均匀直针，随机地向画有平行线的纸
matlab2022实验2参考答案
matlab2022实验2参考答案报告名称：MATLAB试验二符号计算姓名：学号：专业：班级：MATLAB实验二MATLAB符号计算试验报告说明：1做试验前请先预习，并独立完成试验和试验报告。
2报告解答方式：将MATLAB执行命令和最后运行结果从命令窗口拷贝到每题的题目下面，请将报告解答部分的底纹设置为灰色，以便于批阅。
3在页眉上写清报告名称，学生姓名，学号，专业以及班级。
3报告以Word文档书写。
一目的和要求1熟练掌握MATLAB符号表达式的创建2熟练掌握符号表达式的代数运算3掌握符号表达式的化简和替换4熟练掌握符号微积分5熟练掌握符号方程的求解二试验内容1多项式运算（必做）1.1解方程:f(某)=某^4-10某某^3+34某某^2-50某某+25=0%采用数值方法：>>f=[1-1034-5025];>>root(f)%采用符号计算方法：f1=ym('某^4-10某某^3+34某某^2-50某某+25')olve(f1)1.2求有理分式R=(3某^3+某)(某^3+2)/((某^2+2某-2)(5某^3+2某^2+1))的商多项式和余多项式.a1=[3010];a2=[1002];a=conv(a1,a2);b1=[12-2];b2=[5201];b=conv(b1,b2);[p,r]=deconv(a,b);%注意：ab秩序不可颠倒。
%reidue用于实现多项式的部分分式展开，此处用deconv函数报告名称：MATLAB试验二符号计算姓名：学号：专业：班级：%%此题，有同学程序如下：某1=[3010]，某2=[1002],某3=[12-2],某4=[5201]某5=conv(某1,某2)[y6,r]=deconv(某5,某3)R=deconv(y6,某4)%%这种方法较第一种解法缺点：在除法运算中，会产生误差，故此题应先将分母的多项式相乘后，再与分子部分的多项式进行运算。
统计信号处理 实验二
平均偏差
标准偏差
方差
ML估计
A1
5.3211e-04
0.0168
2.8314e-04
A2
2.4522e-04
0.0078
6.0134e-05
LS估计
A1
5.3211e-04
0.0168
2.8314e-04
A2
2.4522e-04
f1=2Hz，f2=3Hz，A1，A2未知
假设A1=0.5，A2=3，用傅里叶级数表示三角波：
令 ， 得到：
则可写作矩阵乘法
即
利用matlab可以求得已知样本(X1,...XN)时A1，A2的最大似然估计。
假设观测结果和待估计参量间为线性关系：x=H.*p+n
， ，
其中N=200，m=1000
最小二乘解
EBmla2=sum(abs(theta(2,j)-Etheta(2)))/m;
NBmla2=sqrt((sum(theta(2,j)-Etheta(2)))^2/(m-1));
EBlsa1=sum(abs(p(1,j)-Ep(1)))/m;
NBlsa1=sqrt((sum(p(1,j)-Ep(1)))^2/(m-1));
0.0078
1.8345e-07
LS估计
A1
6.8823e-060Biblioteka 01684.7366e-08
A2
1.3544e-05
0.0078
1.8345e-07
对目标位置x估计：
最大似然估计与最小二乘估计结果仍然非常相近。
6）假设s(t)是两个幅度未知、频率与上面正弦波一样的三角波的和，试推出这时的最大似然，最小二乘方法估计公式，并验证其性能。
python蒙特卡罗方法求解π的方法
python蒙特卡罗方法求解π的方法在数学中，蒙特卡罗方法是一类通过随机采样和统计方法解决问题的算法。
它被广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学、金融学等。
蒙特卡罗方法的一个经典应用就是用来求解π的值。
求解π的方法有很多种，其中一种就是使用蒙特卡罗方法。
这个方法的基本思想是通过投掷随机点来计算单位圆周率π的估计值。
下面我将详细介绍如何使用Python编程实现这个方法。
首先，我们需要了解π和单位圆的关系。
单位圆的面积为π，那么我们可以通过单位圆内的随机点和单位正方形内的随机点的比例来估计π的值。
具体步骤如下：1.生成随机点：生成一对[-1,1]之间的随机数(x,y)，表示随机点的坐标。
2.计算距离：计算点(x,y)到原点(0,0)的距离d，即d=√(x^2+y^2)。
3.判断点的位置：如果d<=1，则点在单位圆内；否则，点在单位圆外。
4. 统计圆内点的个数：记录在单位圆内的点的个数num_circle。
5. 统计总的点数：记录总的点数num_total。
6. 计算估计值：估计值π ≈ 4 * (num_circle/num_total)。
重复上述步骤多次，我们可以获得多个π的估计值。
然后，取多个估计值的平均值，得到最终的π的估计值。
下面是使用Python编程实现这个方法的代码：```pythonimport randomdef estimate_pi(num_points):num_circle = 0num_total = 0for _ in range(num_points):x = random.uniform(-1, 1)y = random.uniform(-1, 1)distance = x**2 + y**2if distance <= 1:num_circle += 1num_total += 1return 4 * (num_circle / num_total)#测试pi_estimate = estimate_pi(num_points)print(f"估计值π ≈ {pi_estimate}")```在这个代码中，我们定义了一个名为`estimate_pi`的函数，它接受一个参数`num_points`，表示生成的随机点的数量。
pi 计算算法
pi 计算算法以pi计算算法为标题在数学中，圆周率（π）是一个无理数，其近似值约为 3.14159。
圆周率在几何学、物理学、工程学等领域中具有重要的应用。
然而，要精确计算圆周率并非易事，因为它是一个无限不循环的小数。
本文将介绍一些常见的计算pi的算法。
1. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机数统计的计算方法，可以用来估计圆周率。
该方法基于一个简单的原理：在一个单位正方形内，随机选择大量的点，然后统计落在内切圆内的点的比例。
根据概率统计的原理，当选择的点足够多时，圆周率的近似值等于落在圆内的点的比例与总点数之比的四倍。
2. 雅可比-马切罗尼方法雅可比-马切罗尼方法是一种迭代算法，通过不断逼近来计算圆周率。
该方法的基本思想是利用正多边形的周长逼近圆的周长，进而得到圆周率的近似值。
算法首先从一个正六边形开始，通过不断增加正多边形的边数，计算出越来越精确的圆周率近似值。
3. 阿基米德方法阿基米德方法是一种通过逼近圆的面积来计算圆周率的方法。
该方法的基本思想是将一个正多边形逐渐逼近为圆，然后计算出正多边形的面积，并通过不断增加正多边形的边数，逼近圆的面积。
最终，根据面积与半径的关系，可以得到圆周率的近似值。
4. 基于连分数的算法基于连分数的算法是一种将圆周率表示为无限连分数的方法。
连分数是一种无限循环小数的表示形式，通过逐步逼近的方式，可以得到圆周率的近似值。
该算法通过不断迭代求解连分数的部分和，最终得到圆周率的近似值。
5. 基于级数的算法基于级数的算法是一种通过级数展开来计算圆周率的方法。
其中最著名的是莱布尼茨级数和欧拉级数。
莱布尼茨级数是一种交替级数，通过不断累加可以得到圆周率的近似值。
欧拉级数则是一种无穷级数，通过逐步迭代求解可以逼近圆周率的值。
总结起来，计算圆周率是一个有趣而又具有挑战性的问题。
通过不同的算法，我们可以得到圆周率的近似值。
蒙特卡洛方法、雅可比-马切罗尼方法、阿基米德方法、基于连分数的算法以及基于级数的算法都是常见的计算pi的方法。
c++程序设计实验三
实验三3．实验内容（1）输入一行字符，分别统计出其中英文字母、空格、数字字符和其它字符的个数。
提示：用cin.get(c)函数从键盘上输入一个字符给变量c ，直到输入回车换行字符'\n'为止。
（2）设有一个数列，它的前四项为0、0、2、5，以后每项分别是其前四项之和，编程求此数列的前20项。
（3）求π近似值的公式为：122122543432122+-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n π其中，n=1、2、3…设计一个程序，求出当n=1000时的π的近似值。
（4） 求出1~599中能被3整除，且至少有一位数字为5的所有整数。
如15、51、513均是满足条件的整数。
提示：将1~599中三位整数i 分解成个位、十位、百位，分别存放在变量a 、b 、c 中。
然后判断a 、b 、c 中是否有5。
将三位整数i (设i=513)分解成个位、十位、百位的方法是：c=i%10; //c= i%10=513%10=3a=i/10; //a= i/10=51b=a%10; //b=a%10=51%10=1a=a/10; //a=a%10=51/10=54．解答参考(1) # include <iostream.h>void main(void){ char c;int i,letter=0,number=0,blank=0,other=0;cout<<"请输入字符串:";cin.get(c); //get(c)函数用于从键盘上提取一个字符while(c!='\n'){ if ('a'<=c && c<='z' || 'A'<=c && c<='Z') letter++;else if ('0'<=c && c<='9') number++;else if (c==' ') blank++; else other++;cin.get(c);}cout<<"letter="<<letter<<endl;cout<<"number="<<number<<endl;cout<<"blank="<<blank<<endl;cout<<"other="<<other<<endl;}运行结果：请输入字符串:I am Student 1234letter=10number=4blank=3other=0(2) 数列前四项值存放在变量f1=0、f2=0、f3=2、f4=5中第5项的值用f1表示，则f1= f1+f2+f3+f4;第6项的值用f2表示，则f2= f2+f3+f4+f1;第7项的值用f3表示，则f3= f3+f4+f1+f2;第8项的值用f4表示，则f4= f4+f1+f2+f3;共进行5次，即可求出此数列的前20项。
pi的计算
f ( x i 1 ) f ( x i ) ( ( xi xi 1 )) 2 i 1
当区间划分为n等分时
b
s3
s4
o
x2 x3
b x
——trapz(x,y)
n 1 h f ( xi ) f (b)) , a f ( x )dx Tn 2 ( f (a ) 2 i 1 ba 其中 h , xk a kh k 1,2,, n 1 n
出：
1706年，英国天文学教授John Machin(梅钦) 发现了下面的公式
1 1 16 arctan 4 arctan , 5 239
梅钦公式
并利用下面公式计算到了圆周率的100位.
2 n1 x3 x5 x7 x n1 arctan x x 1 3 5 7 2n 1
虽然计算π的精确值已经没有实际意义了，但是研究它 的计算方法及相应算法的收敛速度还是很有必要的。
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan发表了 下面的公式：
9801 (4n)! (1103 26390n) 2 2 4n 4 4n 4 ( n ! ) 99 n 0
在中国
祖冲之: 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论： 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到π 的两个近似分数：约率为22／7； 密率为355／113。 他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精 密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致 于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
无理数 和e的近似计算
西安交通大学 数学与统计学院 赵小艳
有趣的统计实验
有趣的统计实验统计实验是科学研究中重要的一部分，它帮助我们理解数据、发现规律、验证假设，并最终推动科学的进步。
以下是一些有趣的统计实验及其相关内容。
请注意，由于禁止出现链接，我将无法提供具体的实验细节或相关文献。
1. 随机抽样实验：在统计学中，随机抽样是一种常用的方法。
通过随机抽样可以确保样本具有代表性，从而推断总体的特征。
例如，我们可以通过随机抽取1000名参与者调查其对某种产品的满意度，然后利用统计分析方法计算出总体满意度的置信区间。
2. 配对实验：配对实验是一种基于配对样本的实验设计。
在这种设计中，每个样本都被分配到两个处理条件中，例如治疗组和对照组。
通过比较两个处理条件的结果差异，我们可以评估其中的因果关系。
一个有趣的例子是比较同一批学生在接受新的学习方法前后的成绩变化，以确定新学习方法的有效性。
3. A/B测试：A/B测试是一种常用的市场研究工具，用于比较两种不同的处理条件对用户行为的影响。
例如，一家电子商务公司可以将一部分用户随机分配到A组，另一部分用户分配到B组，然后比较两组用户的购买率。
这样可以帮助公司决策，确定哪种条件更有可能提高销售。
4. 方差分析：方差分析是一种用于比较三个或更多组之间平均值差异的统计方法。
一个有趣的例子是比较不同年龄组的人对同一广告的反应。
通过方差分析，我们可以确定不同年龄组之间是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
5. 回归分析：回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它可以用来预测一个变量的数值，基于其他与之相关的变量。
一个有趣的例子是通过回归分析研究身高和体重之间的关系。
通过收集身高和体重的数据，我们可以建立一个回归模型，从而预测一个人的体重。
以上是一些有趣的统计实验及其相关内容。
在实际研究中，我们需要仔细设计实验，选择合适的统计方法，并进行合理的数据分析。
这样才能得到可靠的结论，并为科学研究和实践提供有用的参考。
圆周率的计算
4(AGM (a0,b0 ))2
1 22 c12 23c22 24 c32 ....
年代
1949 1973 1989 1999
2011
精确位数 2035 100万 10亿 2061亿 2000万亿
“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便
能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨
2 随机投针的概率含义 (1) 针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]
(2) 针与平行线的交角均匀分布于区间 [0, ]
在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针
[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]
M x
针与平行线相交的条件
x l sin ,0 x d ,0
两个任务:
(1) 了解圆周率的计算过程
(2) 设计计算圆周率的方法
1、实验时期
通过实验进行估算,这是计算圆周率 的的第一阶段
古埃及：数谷粒与称重量：
中国:
4(8)2 256 3.1605 9 81
(1) “圆径一而周三”
----《周髀算经》
(2)“周三径一,方五斜七”
----木工口诀
2、几何算法
1
4
1
dx
01 x2
6、代数迭代
对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列
ak 1
1 2
(ak
bk ), bk
ak bk
若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)
记 Ck2 ak2 bk2 ,
取
1 a0 1, b0 2 ,
实验报告实验步骤
spss实验报告一实验内容：数据预处理、数据描述性统计实验目的及要求：了解各项数据预处理功能（变量生成、筛选、计数、分组等），掌握基本统计分析操作（频数分析、数据标准化、交叉表分析和多选题分析等），能较熟练地分析结果。
1、将a15（总收入）分为8组：0为无收入者；大于0小于1000为低收入者；大于等于1000小于1300为较低收入者；大于等于1300小于1850为中等偏下收入者；大于等于1850小于2850为中等收入者；大于等于2850小于4500为中等偏上收入者；大于等于4500小于6000为高收入者；大于等于6000为最高收入者；计算各组的人数和比例，进一步比较不同性别收入结构的差别。
1）点【analyze】【descriptive statistics】，再把【总收入分组】拖入到【variable（s）】中，点【ok】。
2）点击【数据】-【拆分文件】，把“性别”变量选入分组方式。
然后再点击【分析】-【描述统计】-【频率】，选择“收入分组”变量，在“显示频率表格”前打勾，按确定输出。
2、筛选除去无收入者，研究有收入人员的行业和职业分布，画出其条形图进行简单分析。
比较一下不同行业的平均收入，哪三个行业平均收入最高，分别为多少。
点击【数据】-【选择个案】-【如果条件满足】-【如果】，在输入框中输入“收入分组>0”，按确定，筛选去除无收入者。
再点击【分析】-【描述统计】-【频率】，选择“行业”和“职业”变量，按【图表】，选择“条形图”，按“确定”输出。
完成以上步骤，再点击【数据】-【拆分文件】，选择“行业”变量进入分组方式。
再点击【分析】-【描述统计】-【频率】，选择“总收入”变量，点击【统计量】里面的均值，按“确定”输出。
3、筛选除去无收入者，对总收入进行标准化处理，计算其均值和标准差是否为0和1；然后再计算总收入异常值的比重。
【分析】-【描述统计】-【描述】，选择“总收入”变量，在“将标准化得分另存为变量”前打勾。
蒙特卡洛投点法计算pi( π )的值
蒙特卡洛投点法计算pi( π )的值
其中，蒙特卡洛投点法是一种常用的方法。
它的思路很简单：我们可
以在一个正方形中随机投点，然后统计落入圆内的点的数量和所有点的数量。
这样，就可以得到圆的面积和正方形的面积，从而计算出π的近似值。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行计算：
1.首先确定一个较大的正方形，假设其边长为L。
然后，在这个正方
形内随机投点。
每个点的某和y坐标都应该在[0,L]的范围内。
2.统计所有点的数量N和落入圆内的点的数量M。
落入圆内的条件是
某^2+y^2<=L^2/4，其中^2表示平方。
3.根据落入圆内点的数量，可以计算出圆的面积。
根据所有点的数量，可以计算出正方形的面积。
则π的近似值为4某M/N。
4.重复进行上述操作，直到π的近似值收敛到所需的精度。
需要注意的是，蒙特卡洛投点法的计算速度较慢，需要进行大量的随
机试验才能得到较为准确的结果。
同时，投点的过程也可能会产生误差，
因此需要进行多次实验，并取平均值来提高精度。
总的来说，蒙特卡洛投点法是一种基于概率统计的计算方法，可以用
来估算π的值。
虽然其计算速度较慢，但其思路简单明了，具有广泛的
应用前景。
设计用投点法求pi的函数
设计用投点法求pi的函数在数学中，圆周率（π）是一个重要的常数，其值约为3.14159。
我们可以用许多方法来计算π，其中一种常用的方法是投点法。
投点法是一种基于概率的方法，它通过在一个正方形内随机投点，并统计落在这个正方形内的圆形部分中的点的数量，从而估算π的值。
为了实现这个方法，我们可以使用Python编写一个函数。
以下是一个简单的实现：```pythonimport randomdef estimate_pi(n):num_points_circle = 0num_points_total = 0for _ in range(n):x = random.uniform(0, 1)y = random.uniform(0, 1)distance = x**2 + y**2if distance <= 1:num_points_circle += 1num_points_total += 1return 4 * num_points_circle / num_points_total```这个函数接受一个整数n作为输入，表示投点的数量。
函数首先初始化一个计数器来记录圆形部分内的点的数量和总点数。
随机生成n个点，并计算每个点到圆心的距离。
如果距离小于等于1，则将圆形计数器加1。
最后，函数返回一个估算的π值，通过将圆形计数器乘以4除以总点数得出。
我们可以调用这个函数来估算π的值。
例如，我们可以运行以下代码：```pythonprint(estimate_pi(1000000))```这将输出一个近似值为3.14135的π，这是基于100万个随机点的估计。
我们可以看到，随着投点数量的增加，我们的估计值将越来越接近π的真实值。
总之，投点法是一种有趣而有效的方法，用于估算圆周率π的值。
通过编写一个简单的Python函数，我们可以轻松地实现这种方法，并用它来估算π的值。
药品器械临床实验 PI
药品器械临床实验 PI药品和医疗器械的研发和使用是保障人类健康的关键环节。
在进行临床试验之前，对药品和器械进行充分的评估是非常重要的，这就需要有一名负责该试验的个人或小组来担任临床试验的负责人，即临床试验PI（Principal Investigator）。
临床试验PI是指在进行药品和器械临床试验时，负责整个试验过程的主要研究人员。
他们是保障实验安全和有效性的关键角色。
本文将介绍临床试验PI的角色和职责，以及临床试验的一般步骤。
一、临床试验PI的角色和职责1. 设计试验方案：临床试验PI需要根据研究目的和对象的特点，设计出符合伦理规范和科学原则的实验方案。
方案应包括样本选择、试验组织、试验流程等内容。
2. 确保试验安全：作为试验的主要负责人，临床试验PI需要确保试验过程中的安全性。
这包括对受试者的人身安全进行保障，以及对可能出现的不良反应和副作用进行有效的监测和控制。
3. 督导试验团队：临床试验PI需要对试验团队进行有效的督导和管理，确保试验按照预定的方案进行，并及时进行相应的调整。
同时，他们还需与其他相关研究人员和团队进行协调和合作，确保试验的顺利进行。
4. 数据收集和分析：临床试验PI需要对试验数据进行收集、整理和分析。
对数据进行科学的统计分析，以获取可靠的结果，并根据结果做出相应的结论和决策。
5. 编写试验报告：试验完成后，临床试验PI需要编写试验报告。
报告应详细地描述试验的目的、方法、结果和结论等内容，以供评审和公开发表。
二、临床试验的一般步骤1. 研究计划：确定研究目的和问题，制定研究计划，明确试验的目标和范围。
2. 伦理审查：提交试验方案和相关材料，经过伦理委员会的审查和批准。
3. 试验准备：确定试验组和对照组，招募试验对象，组织试验团队，准备试验所需的药品和器械。
4. 试验实施：按照试验方案进行试验，记录试验数据，监测试验对象的安全和效果。
5. 数据分析：整理试验数据，进行统计分析，评估试验结果的可靠性和意义。
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本次实验的主要内容是利用上述方法计算π ， 以给定的精度作为求π 循环的 终止条件。要求： 1. 利用 for 循环或 while 循环； 2. 设定合适的终止条件。
3. 练习单步跟踪调试程序。 4. 注意变量的可取值范围。 提示：库函数 rand()可以产生在[0,RAND_MAX]范围内的随机整数，可在程序 中直接使用，其中 RAND_MAX 是宏，是 rand()函数可以产生的最大的整数。 通过强制类型转换和缩放可以把生成的整数变换到任意的范围。例如：
intv1 = rand() % 100; // v1 是 0 到 99 之间的整数 float v2 = float(rand())/float(RAND_MAX); // v2 是 0 到 1 之间的浮点数
#include <iostream> #include <iomanip> int main(intargc,char*argv[]) { // 声明所用的变量并正确初始化 // 编写求 pi 的循环 // 在你的循环体内 { //调用 rand（）函数，产生随机二维点（两个随机数：x 坐标和 y 坐标） // 将随机数变换到正方形所在的区间，利用系统宏 RAND_MAX // 计算点是否在圆内 // 更新统计数据，求 pi 值 } // 在控制台输出 pi 值 return0; }
实验要求
完成上述代码，并能显计的方法求π
实验目的
熟练运用循环和数值计算
实验内容
有一个正方形和它的内切圆。圆的半径为 R，则正方形的边长为 2R，内切圆 与正方形的面积比：
S圆 S 圆正方形
=
π R2 4R 2
=
π 4
如果在正方形区域内随机产生大量的均匀分布的点， 那么落入内切圆和正方 形中的随机点个数的比值等于它们的面积之比。该比值乘以 4，即为π 值。