北京市东城区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题含答案

北京市东城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷

（考试时间120分钟 满分100分）

一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合}3,2,1{},4,2,1,0{==B A ，则B A ＝ A. }4,3,2,1,0{

B. }2,1{

C. }4,0{

D. }3{

2. 已知0cos ,0sin ><θθ，则角θ是 A. 第一象限角

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D. 第四象限角

3. 下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是 A. x

y 1=

B. 2)1(-=x y

C. x y -=2

D. )1(log 2+=x y

4. 2

2

sin 15cos -︒15°＋2sin15°·cos15°的值为 A.

2

1

3+ B.

2

3 C.

2

6 D.

4

3

21+

5. 若函数0(log >=a x y a ，且1≠a ）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是

6. 设2

2

12,log ,log -===π

ππc b a ，则

A. c b a >>

B. c a b >>

C. b c a >>

D. a b c >>

7. 为了得到函数3

sin

3cos 3

cos

3sin π

π

x x y +=的图象，可以将函数x y 3sin =的图象

A. 向右平移

9π

个单位

B. 向右平移π个单位

C. 向左平移9

π

个单位

D. 向左平移π个单位

8. 设函数x x x f sin )(=，若⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x ，且)()(21x f x f >，则

A. 21x x >

B. 021>+x x

C. 21x x <

D. 2

2

21x x > 9. 已知函数5))10(lg(log ),,(4sin )(23=∈++=f R b a x b ax x f ，则))2(lg(lg f 的值为 A. －5

B. －1

C. 3

D. 4

10. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -。例如，当

x x x x sin )(,)(231==ϕϕ时，B x A x ∈∈)(,)(21ϕϕ。现有如下结论：

①设函数)(x f 的定义域为D ，若对于任何实数b ，存在D a ∈，使得b a f =)(，则

)(x f A ∈；

②若函数)(x f B ∈，则)(x f 有最大值和最小值；

③若函数)(x f ，)(x g 的定义域相同，且B x g A x f ∈∈)(,)(，则B x g x f ∉+)()(； ④若函数)(x f ＝),2(1

)2ln(2R a x x x

x a ∈->+++有最大值，则B x f ∈)(。 其中正确的是 A. ②③④ B. ①③④

C. ②③

D. ①③

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知全集R U =，集合}1|{2

≤=x x P ，那么P C U ＝___________。

12. 已知2

1)3tan(-=-απ，则)cos(2)sin()

cos()2cos(

απαπααπ

--+-++的值是___________。

13. 求值：5

4

log 45log 811633

4

3

++⎪⎭

⎫

⎝⎛-

＝___________。 14. 若2

1

)4

tan(=+

π

θ，则θtan ＝___________。 15. 函数)6

3

1sin(2π

-

=x y 的单调递减区间是___________。

16. 对于任意两个实数21,x x ，定义⎩⎨⎧<≥=.

,,

,),max(21221121x x x x x x x x 若2)(2-=x x f ，

x x g -=)(，则))(),(max(x g x f 的最小值为___________。

三、解答题：本大题共5个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本题满分10分）

已知集合}065|{2=+-=x x x A ，}01|{=-=mx x B ，且A B A = ，求实数m 的值组成的集合。 18.（本题满分10分）

已知函数1cos 22sin 3)(2-+=x x x f 。 （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值。 19.（本题满分9分） 已知函数)(x f ＝x

x

e

e -+，其中e 是自然对数的底数。

（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；

（Ⅱ）判断)(x f 在),0(+∞上的单调性，并证明。 20.（本题满分9分）

如图，半径为4m 的水轮绕着圆心O 做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O 距离水面2m ，如果当水轮上的点P 从离开水面的时刻（P 0）起开始计算时间。

（Ⅰ）求点P 到水面的距离)(m y 与时间)(s t 满足的函数关系； （Ⅱ）求点P 第一次到达最高点需要的时间。 21.（本题满分8分）

已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2

。

（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f y =在]1,1[-上存在零点，求a 的取值范围；