巧填幻方(课堂PPT)
火眼金睛——巧填幻方
§2.4 火眼金睛——巧填幻方08年 月 日 偶滴大名【知识要点】将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为“三阶幻方”，这个相等的和称为幻和。
在三阶幻方中有：中间数A=总和÷9=幻和÷3 D=（B ＋C ）÷2 【典型例题】例1 请你把5，6，7，8，9，10，11，12，13这几个数字填入下面的方格中组成一个三阶幻方。
例2 找出九个连续的自然数，分别填入下图的空格内，构成一个幻和为60的三阶幻方。
例3 在下面空格中填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和是60。
例4 在下图中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数，使每一个横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和都等于30。
D B AC13278随堂小测偶滴大名偶滴成绩1．将2，4，6，8，10，12，14，16，18这九个数分别填入下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的和都相等。
2．用3～27这25个数排成一个五阶幻方。
3．请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
4．请在下面的空格中填上适当的数，使其成为一个幻和为27的幻方。
565．在下图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数，使其成为幻和为30的幻方。
14课后作业偶滴大名 偶滴成绩1．请自编一个幻和为90的三阶幻方。
2．补充下面的幻方，使其幻和为33。
3．将图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
奥运知识１．国际奥委会的英文名称缩写为＿＿＿＿＿＿＿。
ａ．ＩＯＣ ｂ．ＮＯＣ ｃ．ＦＩＦＡ2．＿＿＿＿＿＿＿＿是第一个主办夏季奥运会的亚洲城市。
ａ．日本东京 ｂ．中国北京 ｃ．韩国汉城3．在现代奥运会史上有＿＿＿＿＿＿＿届夏季奥运会因战争未能举办。
ａ．３ ｂ．４ ｃ．５4．女子选手从第＿＿＿＿＿＿＿届奥运会开始，被允许参加奥运会田径比赛。
数学讲座填幻方(陈文珊)
(2)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。 A象限的其它行则标出最左边的k格（见图2）。将这些格，和C象 限相对位置上的数，互换位置（见图3）。
图2
图3
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列（见图4）。 (注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形 成幻方（见图5）
互补：如果两个数字的和，等于 幻方最大数和最小数的和，即 n2 +1，称为互补。
定义
n=4 1,2,3,……,15,
42
16
巧填四阶幻方
选择数列：1-16连续自然数 4阶：n 4 最小的数是1，最大的数是n2 42 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
结束
改变数的位置还有可能满足上述规律吗？
4 3
9
5 1
2
7 6
8 3 4
1 5
6 7 2
2 7 6
9 5 1
4 3 8
6 7 2
1 5 9
8 3 4
8
9
上下换
左右换
上下左右换
8
3
6 9 2
1
8
5
7
2
5
9
3
4
2 9 4
7 5 3
6 1 8
将幻方围绕中心，向右旋转90度一次、二次、三次
例题：给出一个不完整的幻方,请你们认真补充完这个表格! 2
“罗伯法”巧填五阶幻方
所选数列：1-25
65 1居首行正中央， 65依次右上莫相忘，
上出格时往下放， 右出格时往左放， 65 排重便往自下放， 65 右上出格一个样。
巧填幻方
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
小学数学 幻方问题 PPT课件带答案带作业
A为34-4-5-11=14
其他空根据幻和可依次填出
总结：重数分析法
练习5: 在下面方格表中的字母处分别填入不同的自然数，使其每行、每
列以及每条对角线上的四个数之和都等于264，并求A＋B－C＋ D＋E－F＋G－H。
幻和：264 A:264-68-89-96=11 F:264-96-88-19=61 E:264-68-91-19=86 C:264-11-86-98=69 D:264-99-86-61=18 B:264-91-69-88=16 H:264-89-91-18=66 G:264-66-9819=81 A＋B－C＋D＋E－F＋G－H=11+1669+18+86-61+81-66=16
16
18 81 66
11 69
86 61
例题6: 在下面的方格表中填入适当的数，使每行、每列和每条对角线上
的三个数的乘积都相等。
幻积为：32×32×32＝215 上层中间数为：215÷32÷512＝2 右上角数为：215÷256÷2＝64 左下角数为：215÷64÷32＝16 左侧中间数为：215÷256÷16＝8 右侧中间数为：215÷8÷32＝128 右下角数为：215÷16÷512＝4
X=（11+15）÷2=13
作业3:
在下面3×3的方格表中，每行、每列和每条对角线上的数之和都相等，那么
A+B与C+D相等吗？ E+D+H A+B=C+D E+C+M=M+F+B E+C=F+B
M H
作业4:
在下面3×3的方格表中，每行、每列和每条对角线上的数之和都相等, 那么字母 X是多少？
小学奥数专题巧解三阶幻方APPT课件
7、 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
48
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
5 26
图1
图3
5
图2
8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
9
12 3 8 94 76 5
方案一
12 3 654 789
方案二
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。
5
6
3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
图1
2、将 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 5 ， 7 这九
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
276 951 4 38
.
一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方.
趣味数学课件-幻方
神龟背洛书
神龟背洛书
在公元前23世纪，大 禹治水的时侯，在黄 河支流洛水中，有一 天忽然浮现出一个大 乌龟，当时，大禹与 治水士兵正在河 边观
察洛河水情，商议治理黄河大计，遇 到乌龟在河里上下翻腾十分奇怪。只 见此龟行走水面，游来游去，身形庞 大，甲背平圆。近处仔细观看，
甲背上有9种花点的图案， 大禹让士兵们将图案中的 花点记了下来，带回去作 了认真的研究,他惊奇地 发现9种花点数正巧是， 1—9这9个数，各数的位置排列也相 当奇巧，各线上三数之和皆为15， 既均衡又对称，奇偶交替变化之中似 有一种周转运动之妙，大禹受到启发 ，用此原理治理黄河，获得成功。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁 才第一次提起幻方。我国不仅拥用 幻方的发明权，而且是对幻方进行 深入研究的国家。公元13世纪的数 学家杨辉已经编制出3－10阶幻方， 记载在他1275年写的《续古摘厅算 法》一书中。在欧洲，直到574年， 德国著名画家丢功才绘制出了完整 的4阶幻方。
一般地, 将1,2,3...n 2填入到一个n n的表格中 使得 , 每行, 列以及两对角线上的 个数字之和相等 称这 n , 样数表为n阶幻方.
26 21 22 7 12 13 111
19 23 27 10 14 18 111
24 25 20 15 16 11 111
84 84 84 138 138 138
六阶幻方填法
35 3 31 8 30 4 111 35 4 1 32 9 28 5 36 111 32 5 6 7 2 33 34 29 111 2 33 26 21 22 17 12 13 111 17 22 19 23 27 10 14 18 111 14 23 24 25 20 15 16 11 111 11 24 111 111 111 111 111 111 111 111
巧填幻方
巧填幻方一、什么叫幻方？（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。
这样的方阵图叫做幻方。
幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。
奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。
偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。
二、奇数阶幻方在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
(1) 将1放在第一行中间一列；(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按 45°方向向右上方行走，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1；(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
例：3阶幻方例：5阶幻方三、偶阶幻方1、双偶阶幻方:四阶幻方，八阶幻方,....,4m阶幻方，采用对称元素交换法。
将幻方等分成m×m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶(n=4×m)幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵，然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线,3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调。
例：4阶幻方第一步，先把1放在4阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数。
如下所示：第二步，进行对称交换（有两种对称交换的方法）。
小学数学思维训练巧填幻方
例1．在空格里填数，使横行、竖行、斜行 的三个数相加的和等于18．
课堂练习
★
1．如图已填了三个数，请将3，4，5，6，8，9填 入空格中，使各横行、各竖行、各斜行上三个数 之和都行于21.
10＋10＋10＝30
在填幻方时，填数中有很多规律：
1、中间数一定要填到方格的中间；
从小到大
2、行、列和斜行的和等于中间数的3倍． 排列的数
例2．把6、7、8、9、10、11、12、13、14填入下 图，使其横行、竖行、斜行和相等．
4．要使下图中横行、竖 行、斜行三个数的和相 等，字母E、F、G、H 分别是几？
小飞机
10＋6＋X＝A＋X＋9 10＋6＝A＋9 A＝10＋6－9＝7
X
例3．要使下图中横行、竖行、斜行三个数的 和相等，字母A、B、C、D分别是几？
从小到大 排列的数
4、5、6、7、8、9、10、11、12 2．如图中已填了两个数5，8.请将4，6，7，9，10，11， 12这七个数填入空格中（一格一数），使各横行、各竖 行、各斜行上的三个数之和都等于24.
3．如图已填了一个9，请将1，3，5，7，11， 13，15，17填入空格内（一格一数），使各 横行、各竖行、各斜行上的三个数之和都等 于27.
6．在如图的空格内填入2，4，6，8，12，14， 16，18，使各横行、各竖行、各斜行上三个数之 和都等于30.
5．把9～17填入方格内， 使其构成一个三阶幻方．
3．把3，6，9，12，15，18，21，24，27填入 如图的小方格里，使各横行、各竖行、各斜行 上的三个数相加都等于45.
2．如图已填了两个数2和4.请将另两个2， 三个3，另两个4填入空格中，使各横行、 各竖行、各斜行上三个数之和都等于9.
幻方课件
（2）现在我们把这些数 依次填进去
三阶幻方的幻和可以用9个数的和除以3； 那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4
（3）现在来分析这个列表
幻和=34
1 5 9
第 一 对角线和=34 列 和
2 6
3 7
4 第一行和=10 少了24
8
第二行和=26
古代神龟 的故事
传说夏禹治水时洛河中出现了一只大乌龟，龟背 上有一张纵横图，又称“龟背图”古代数学史上经 常研究这一神话。 图案用数字表示就是将数1至9填在方格里，每一 行，每一列及两条对角线上三个数的和均为15。
8+5+2=15
1到9的数字都按照某个特殊规律排 列在小乌龟的背上
8+1+6=15 3+5+7=15 4+9+2=15 6+5+4=15 每行，每列，每条对 8+3+4=15 6+7+2=15 角线上的数字之和相 等都是15 1+5+9=15
它就是对称交换法
对 数字依次先排好, 上下中间交叉换,左右中间交叉换 ,其他地方不要变 比 以前 现在 一 1 2 3 4 1 15 14 4 下 12 6 了 7 8 7 9 5 6 ， 8 10 11 5 9 10 11 12 哪 13 3 2 16 些 13 14 15 16 数 1 2 3 4 位 你们能不能 置 告诉老师诀窍在哪里？ 5 6 7 8 有 原来只有8个数的位置进行了 9 10 11 12 变 调换，其他数不变。。。。 化
4个数和= 34 4个数和= 34 1.我先变个中心点 4个数和= 34 2.数字2和3与谁关于 4个数和= 34 中心点相对 3.数字5和9谁关于 中心点相对
三年级下数学-思维拓展训练-简单的三阶幻方 全国通用PPT课件(10张)
这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将
连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3 个数的和都相等。
请你动手填一填！
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45÷3=15 幻和
29 4
75 3 61 8
二四为肩，六八为足 上九下一，左七右三
五居中间
（1）幻和=九个数之和÷3
4等、。5、6、7、8、9、10、11、12
每条对角线上的三个自然数的和均相等（这个相等的 1B、=3在6-31×1-53=（2三0，行E三=3列6-）11的-6正=1方9，形F方=格36中-2，0-1既2不=4重复也不遗漏的填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的
和（均3）相九等个（连这续个的相自等然的数和中叫，做第幻5和个）是，中通心常数这，样第的二图、形叫做三阶幻方。
1、在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复 五四居、中 六间、八个数是四个角上的数。
这7、个8图、案9、用1现0、在1的1、数1字2、翻1译3出、来14，、就15是三阶幻方，也就是将连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个数的和都相
也不遗漏的填上9个连续的自然数，使每行、每列、 等这。个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个数的和都相
2、 三阶幻方中的规律： 等G=。36-18-5=13 ，A=36-12-13=11
2C、=1三2, 阶D幻=3方6中-1的2-6规=律18：
（1）幻和=九个数之和÷3 1中+心2+数3+=43+65÷+63+=71+28+9=45
初中数学北师大七年级上册综合与实践《数趣课三阶幻方》PPT
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
816 357 492
三阶幻方
•三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数字之和都为15。
23 16 21 18 20 22 19 24 17
下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
1?7 19
13
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21．
8 2 11 10 7 4 3 12 6
8 3 10
97 5
4 11 6
练习2：
15 3 12
7 10 13
8 17 5
例题2：
补 15
全
7
这
个8
幻
方
3 12 10 13 17 5
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
17 12 15
9 19 5
25 5 0 35 10 15
17 13 11 5 19 8
816 357 492
幻方
幻方
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
幻方的定义
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大禹 治水的时候，在黄河支流洛水 中，浮现出一个大乌龟， 人 们将乌甲上背有9种花点的图 案图案中的花点数了一下
组合数学课件--神奇的幻方
其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2 31 6 27 10 30 7 29 8 35 28 3 4 5 36
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
如；八阶幻方
十阶幻方 十二阶幻方
Strachey法（单偶）：
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分， 成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
AC DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
12 25
8 16
9
17 5
13 21
10 18 1 23 6 24 25 19
14 22 2 20
15
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12 9
8
3 2
5
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
填九宫诀巧
பைடு நூலகம்解：
它们的级差为3，中位数为13，放在中间，最大数25放在上面，最小数1放在下面，22放在左下角，4放在右上角……这个数列的总和为117，每行每列的和为117/3=39，你照我的方法填就一定成功。
10
25
4
4
13
填九宫诀巧
九宫格是有规律的填九宫（也叫3阶幻方）诀巧：
把九个数的中位数放在九宫的中央。
把最大的一个数放在第一行的中间。
把最小的一个数放在第三行的中间。
把第二大的数放在左下角。
把第二小的数放在右上角。
这样就基本定局了，再以每行每列的和为九个数总和的三分之一计算，填补其余空格就一定能完成，你不妨试试看。
22
22
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫 格中，不能重复，使得每一行，每一 列，每一条对角线上的三个数的和相 等。
解题过程：
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九子斜排
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78ຫໍສະໝຸດ 61上下对易，左右相更
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例1：把1-9这九个数填入下面的九 宫格中，不能重复，使得每一行， 每一列，每一条对角线上的三个数 的和相等。
方法二：阶梯法（下回分解）
方法三：罗伯法（徐近乔已讲）
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张老师提示：对易法、阶梯法、罗伯法都只适用于奇数幻方
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谢谢大家
完
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幻和： 幻方中每行/列/对角线的数的和。
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幻和：15 总和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 阶数：3
15=45÷3 幻和=总和÷阶数
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫格中， 不能重复，使得每一行，每一列，每一条对 角线上的三个数的和相等。
刚才神龟背上的九宫图，究竟是怎 么填出来的呢？
巧填幻方
主讲人：张权瑞
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同学们，你观察到了什么？这 些数无论横着加、竖着加还是 斜着加，结果都等于十五。
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幻方的基本概念
幻方： 是指横行、竖行、对角线上数的和都 相等的数的方阵，具有这一性质的3x3 的数阵称作三阶幻方，4x4的数阵称作 四阶幻方，5x5的数阵称作五阶幻方 ……….