整数线性规划理论概论
最优化理论与方法2(整数线性规划)
- x1 x 2 1
约束条件：
max Z x1 x2
① ② ③ ④ ⑤
3 x1 x 2 4 x1 , x 2 0
x1 , x2为整数
最优化理论与方法
先不考虑条件⑤的整数约束条件， 求得相应的松弛线性规划的最优。 解为：
x1 3 / 4, x2 7 / 4
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
标函数值最大，即为Z=4。
3
x1
最优化理论与方法
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行 域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集。 由上例看出，将线性规划的最优解经过“化整”来解原整数 线性规划，虽是最容易想到的，但常常得不到整数线性规划的最 优解，甚至根本不是可行解。 1、整数规划问题解的特征 （1）最优点不一定在顶点处取得； （2）最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解； （3）整数可行解远多余于顶点，枚举法不可取； （4）可行解是其松弛问题的可行解，反之不一定，但如果松 弛问题的最优解还满足整数约束条件，是整数规划的最优解。
最优化理论与方法
整数规划问题的求解方法：
ü 割平面法 ü 分枝定界法
2.6.1.1 割平面法的基本思想
1、基本思想：由松弛问题的可行域向整数规划的可行域逼近。 2、方法—利用超平面切除。 3、要求： (1)整数解保留； (2)松驰问题最优值增加。 具体为：即 n 首先不考虑变量 Xi 是整数这一条件，仍然是用解线性规
2.6
整数线性规划
线性规划问题的最优解可能是分数或小数，但对于某些问 题，常要求解必须是整数(称为整数解)。这样的问题称为整数线 性规划(integer linear programming)，简称ILP。 一、 整数规划(IP) (1) 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为 整数规划。 A 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规 划问题称为整数规划的松弛问题。 B 若松弛问题是一个线性规划，则称整数规划为整数线性规划。
线性规划与整数规划模式
线性规划与整数规划模式介绍在线性规划（Linear Programming）中，我们寻求一组决策变量的最优值，以使得对应的线性目标函数取得最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
然而，有些情况下，我们需要求解的决策变量只能取整数值，而不能取非整数值。
这就引入了整数规划（Integer Programming）。
线性规划和整数规划都是数学编程方法，主要用于优化问题的求解。
在现实生活中，我们经常遇到需要优化某个目标函数或满足一组约束条件的问题，例如资源分配、生产排程、运输问题等。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、模型建立方法以及求解算法。
线性规划基本概念在线性规划中，我们需要定义决策变量、目标函数和约束条件。
•决策变量：表示需要优化的变量，可以是任意实数值。
•目标函数：表示我们希望最大化或最小化的线性函数。
•约束条件：表示对决策变量的线性限制，可以是等式或不等式。
模型建立方法模型建立是线性规划的关键步骤，需要根据具体问题进行数学建模。
1.定义决策变量：确定需要优化的变量，并给出变量的取值范围。
2.建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为线性函数。
3.建立约束条件：将问题的限制条件转化为一组线性不等式或等式。
4.确定问题类型：确定是最大化问题还是最小化问题。
5.完善模型：考虑特殊约束条件，如非负约束、整数约束等。
求解算法一般来说，线性规划可以使用各种方法进行求解，常见的算法包括：1.单纯形法（Simplex Method）：通过在可行域内移动到更优解的方式求解线性规划问题。
2.内点法（Interior Point Method）：通过在可行域内寻找内点的方式求解线性规划问题。
3.分支定界法（Branch and Bound）：将整数规划问题转化为多个线性规划子问题，通过不断分支和界定来搜索可行解空间。
4.割平面法（Cutting Plane Method）：通过添加额外的约束条件来逼近整数解的方法。
线性规划与整数规划理论及应用研究
线性规划与整数规划理论及应用研究线性规划是一种优化问题，它通过求解数学函数的最大值或最小值，来找到能够满足约束条件的变量值。
线性规划的应用非常广泛，包括生产排程、运输问题、财务管理等领域。
整数规划则是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
本文将介绍线性规划及整数规划的理论和应用研究。
线性规划理论线性规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{R}^n} c^Tx$$ s.t. Ax \leq b ; $其中$x$是$n$维实向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
这个表达式的含义是，求出在满足约束条件$Ax \leq b$的同时，使得$c^Tx$达到最大值的$x$。
约束条件是对$x$的限制，使得$x$满足可行性条件。
线性规划存在的前提是可行性条件的存在，即在约束条件$Ax \leq b$下，存在至少一个$x$可以满足。
如果可行性条件不存在，则线性规划无解。
线性规划的求解可以使用线性规划算法进行，例如单纯形法、内点法等。
其中最常用的算法是单纯形法。
单纯形法的基本思想是从一个初始解开始，通过不断地找到更优的解，来逐步逼近最优解。
具体来说，单纯形法通过找到松弛条件的目标函数最优解对应的松弛变量，来进行解的更新。
线性规划应用线性规划在实际生产、物流等领域被广泛应用。
例如，在生产调度中，线性规划可以用来优化生产过程中的时间排程、机器分配等问题，从而达到最大化生产效率、最小化生产成本的目的。
在物流领域，线性规划可以用来优化物流运输路线，从而最小化运输成本。
另外，线性规划还可以应用于制定食物饮品配方，通过确定每种原料的数量和配比，来达到制作具有某种特定功能的食物饮品的目的。
此外，线性规划还可以用于网络资源规划、金融风险管理等领域。
整数规划理论整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
整数规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{Z}^n} c^Tx$$s.t. Ax \leq b ;$其中$x$是$n$维整数向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第六章 整数线性规划
（3.1.1 ）
整数规划与线性规划在形式上相差不多 , 但是由于整
数规划的解是离散的正整数 ,实质上它属于非线性规划 .若
去掉整数规划的整数约束 ——— x j 为整数 ,则该规划就变
成了一个线性规划 ,一般称这个线性规划为该整数规划的 松弛问题 .
§6.1 整数线性规划问题的提出 Page 6
一些原则
Page 22
序号 分支问题1
1 无可行解
2 无可行解 3 无可行解
4
整数解
5
整数解，优 于问题2
6
整数解
7 非整数解
分支问题2 无可行解
整数解 非整数解
整数解
非整数解 非整数解， 优于问题1
非整数解
说明 原问题无可行解 此整数解为最优解 对问题2继续分支 较优的为最优解
问题1为最优解 问题1停止分支，继续 对问题2分支 继续分支,较优的先分
解： x1——甲货物的托运箱数； x2——乙货物的托运箱数；
这就是一个(纯)整数线性规划问题，数学模型为：
max2 24
(2)
2
x1
5 x2
13
(3)
x1
,
x2
0
(4)
x1 , x2为整数.
第章 整数线性规划
X3 24 5 4 1
0
X4 13 2 5
0
1
-z -96 0 -6 -4 0
X1 24/5 1 4/5 1/5 0 X4 17/5 0 17/5 -2/5 1
X* =
4.8 0
,Z* =96为上界,下界0
选X1分枝 问题(2)
(1) X1 4
问题(3)
(1) X1 5
解(2)的松弛问题
X1 X2 X3 X4 X5 -z -96 0 -6 -4 0 0
问题(3)无可行解.
(2)
S0 =0
4
1
90
X1 4
(1)
S0 =0
4.8
0
960
X1 5
(3)
S0 =90
无可行解
分枝定界法一般步骤:(min)
(1)、(A), 先解(A)的松弛问题(B)
(2)、① (B)无可行解→(A)无可行解。 ② (B)最优解符合(A)要求，停。 ③ (B)最优解不符合(A)要求，转(3)。
(LP)
条件--保留整数解删除最优解
割平面生成方法
xB
B 0 I
xN
N cB B1b
B1N B1b0
xr arj x j br jN
对应的单纯形表
cB B1b
b1
b
2
b
r
bm
x1 x 2 x r x m x m 1 x n
0 0 0 0 m1 0 n 0
1
1
1
1
a1m 1 a 1n
。
第章 整数线性规划
整数线性规划的标准形式：
n
min Z C i X i i1
n i1
第8章 整数线性规划
(P)
(8.8)
可先求其对应的线性规划问题
max z max CX
( P0 )
AX b st. X 0
(8.9)
8.4 整数线性规划问题的求解—分枝定界法
Step1 求解相应的线性规划问题 ( P0 ) ，并确定初始上、下界
求解相应的线性规划问题 ( P0 ) ，若 ( P0 ) 无解，则 (P) 无解，停止计算； 若 ( P0 ) 的最优解满足整数要求，就得到 (P) 的最优解，计算完毕；若 ( P0 ) 的 最优解中有非整数分量，其最优目标函数值是 (P) 的初始上界，记为 z ，任意 选的一个整数可行解（一般可取 x j 0, j 1,2, n ） ，求得其目标函数值作 为初始下界，并记为 z ，以 z * 表示问题 (P) 的最优目标函数值；这时有
8.3 整数线性规划问题的求解——割平面法
1． 基本思想 给出整数规划
min z min CX
(P)
AX b st. X0 x 整数（ j 1,2, ,n) j
(8.5)
可先求其相应的线性规划问题
min z min CX
( P0 )
AX b st. X 0
这三个不等式相加，不论 u 3 ,u 4 ,u 5 取任何实数值均导致 5 4 的矛盾，第 三组约束所起的这个作用是可以严格证明。根据定义，旅行售货员问题是一个 混合整数线性规划问题。有许多实际应用问题的数学模型都是（8.3）的形式， 如生产顺序表问题、集成电路的布线问题等。
8.2 整数规划的图解法
8.1 整数线性规划问题的提出
在前面讨论的线性规划问题中，最优解可能是分数或小数，但对于某些 具体问题常要求最优解是整数。我们称这样的线性规划问题为整数线性规划 问题（Integer Linear Programming 简记为 ILP） 。 在整数规划中如果所有的变量都限制为整数，就称为纯整数规划（Pure ILP）,如果仅一部分变量限制为整数，就称为混合整数规划（Mixed ILP）, 整数规划的一个特例就是 0—1 规划，它的变量仅取 0 或 1。 例 8-1 投资决策问题 某部门在今后五年中可用于投资的资金总额为 B 万元，有 n ( n 2)个可 以投资的项目，假定每个项目最多投资一次，第 j （ j n ）个项目所需投资 资金为 b j 万元，获得的利润为 c j 万元，问如何选择投资项目，才能使获得的 总利润最大。
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
第7章整数线性规划
假设我们把LP松弛的解近似到整数：T=2， A=3。于是目标函数值为：l0×2+15×3=65。而 65 000美元的年现金流量比LP松弛的结果73 754
美元少很多。那么有没有其他可能的近似解呢？ 对其他近似方法的研究表明：整数结果T=3， A=3不可行，因为这样资金就超过了伊斯特伯恩 公司现有的2 000 000美元；同理，T=2，A=4也
我们先定义决策变量如下：
T—一连体别墅的数量； A——公寓楼的数量。 现金流量(单位：1000美元)的目标函数 为：
max 10T+l5A
必须满足的3个约束条件是：
282T+400A≤2 000 可用资金(单位：1
000美元)
4T+40A ≤140 管理者的时间(小时)
T
≤ 5 可得连体别墅
变量T和A必须是非负的。而且， 连体别墅和(或)公寓楼均不可以拆 开购买。因此，T和A一定是整数
整数线性规在构建模型上的灵活性很大程 度上是由于使用了0-1变量。在很多应用中， 如果采取相应行动，则变量值取1，否则取0。 0-l变量因此而提供着选择的功能。本节所讲 的资金预算、固定成本核算、分布系统设计、 银行选址、产品设计和市场份额的应用问题都 用到0-l变量。
7.3.1资金预算 爱斯柯德冰箱公司正在考虑随后4年内
2x1+1x2≤16 x1，x2≥O，且x2为整数
去掉“X2为整数”这个条件后，我们得 到此混台整数线性规划的LP松弛。
在某些应用软件中，整数变量只取0或1 。这类规划被称做0一1整数线性规划。读者 可以在本章的后面部分中发现，使用0一1变
量可以使线性规划很灵活、很容易求解。专 栏7-2描述了如何用一个含有0一1变量的混
第八章 整数线性规划(ILP)
v 1 , v 2 , ⋯ , v n 各 一 次 ，最 后 返 回 v 0 ，已 知 从 v i 到 v j
的 旅 费 为 C ij ， 问 他 应 按 怎 样 的 次 序 访 问 这 个 城 市，才能使得总旅费最少？
解：对每一对城市设一个变量 xij ，令
( P)
可先求其对应的线性规划问题
minz = minCX AX = b X ≥ 0
(P0 )
如果 P0 中的最优解满足 P 中的整数要求，则以求得 P 的整 数最优解。如果 P0 的最优解的分量不全是整数，就对 P0 增 加一 个约束条件（ 称它为割平 面方程） 新增加的割平面 方 ， 程 将 P0 的 可 行 域割 去一块 ，并且 非 整 数 的 最优解 恰好在 这 一块中， 即非整数的最优解被割去而 P 的全部整数可行解保 留， 然后在解新的线性规划， 看其最优解是否满足整数要求， 就这样继续进行下去，直到得到最优解满足整数要求为止。
*
分枝定界法可用于解纯整数规划问题，也可以 分枝定界法可用于解纯整数规划问题， 用于求混合整数规划问题。 20世纪60年代初由 世纪60 用于求混合整数规划问题。在20世纪60年代初由 Land和Dong提出经Dakin修正的 提出经Dakin修正的， Land和Dong提出经Dakin修正的，其优点是方法 灵活并且十分便于计算机求解， 灵活并且十分便于计算机求解，所以现在它已成 为求解整数规划的重要方法之一， 为求解整数规划的重要方法之一，目前已成功地 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、旅 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、 行推销员问题、工厂选址问题、 行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。分枝定界法比穷举法优越， 问题等。分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解， 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比 穷举法小，但若变量数目很大， 穷举法小，但若变量数目很大，其计算工作量也 是相当可观的。因此，它有时也需要与其他方法 是相当可观的。因此， 如切割平面法)配合使用， (如切割平面法)配合使用，效率更高一些。
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。
它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。
一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。
图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。
而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。
整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
第二章 整数线性规划
得最优解 x1＝
45
9 2 3 0 0 0 0 5 10 10 4 1 1 1 0 0 − 0 5 5 5 9 2 3 0 1 0 0 5 10 10 4 1 6 0 0 1 − 0 5 5 5 2 3 4 − 0 0 − 0 − 1 5 10 10
x J k ＋ ∑ [bkj ] xj＋ ∑ f kj xj＝[bk0]＋fk0
j∈N
j∈N
(2.2－1)
其中[bkj]表示小于等于 bkj 的最大整数，从而 fkj 满足 0≤fkj<1，而 fk0>0，由此得
x J k ＋ ∑ [bkj ] xj≤[bk0]＋fk0
j∈N
(2.2－2)
由于(ILP)的任何可行解必满足(2)，所以也必满足
n
i , j =0 i≠ j
∑d
n
ij
xij
∑ xij ＝1
j =0 j ≠i
i＝1，2…，n
∑ xij ＝1
i =0 i≠ j
m
j＝0，1，2…，n
1≤i≠j≤n ui－uj＋nxij≤n－1 xij＝0，1 i，j＝0，1，2，…n 上式中的不等式是消除子圈的一组约束。 最后，对阶梯函数和析取约束等，也可以用线性整数函数描述。如一个线性规划的目标 函数 f(x)具有固定费用项，即
AX = b
整数向量
X ≥0
其中 A 是 m×n 的整数元素的矩陈，C 为 n 维的整数向量，b 为 m 维的整数向量。(ILP) 的松弛问题为下述的线性规划(LP) min x0＝CTX (LP)
整数线性规划
×
× 1
195x1+273x2=1365
x1
利 用 图 解 法 ， 得 到 线 性 规 划 的 最 优 解 为 x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出 , 整数规划的最优解（黄色叉号）为 x1=4, x2=2,目标函数值为14。 7
§1 整数规划的图解法
由于相应的线性规划的可行域包含了其整 数规划的可行点，则对于整数规划，易知 有以下性质： 性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数值； 任何求最小目标函数值的纯整数规划或混 合整数规划的最小目标函数值大于或等于 相应的线性规划的最小目标函数值。
根据变量的取值情况，整数线性规划又可以分 为纯整数规划（所有变量取非负整数），混合整 数规划（部分变量取非负整数）， 0-1 整数规划 （变量只取0或1）等。
3
第六章 整数规划
整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前 有成熟的方法解线性整数规划问题，而非线性整 数规划问题，还没有好的办法。 整数线性规划(Integer Linear Programming， 简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时， 在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题， 是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
8
§2 整数规划的计算机求解
例2： 纯整数规划问题 Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1, x2, x3 ≥ 0 , 为整数 用《管理运筹学》软件 求解得： x 1 = 5 x2 = 2 x3 = 2 例 3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 - 3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1, x2, x3 ≥ 0 x1，x3 为整数，x3 为0-1 变量
整数线性规划理论(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。
整数线性规划理论§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点（i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
LINGO1.lg4 LINGO11.lg4③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
LINGO2.lg4 LINGO21.lg4（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
02线性规划--整数规划概论
整数规划-分支定界法
例：求解整数规划：
max z 5x1 8x2
s.t.
92
x2
6
45
x1, x2 0,且为整数
我们把整数规划对应的一般线性规划称为此整数 规划的松弛问题，上例的松弛问题为：
x1 x2 6 s.t. 5xx2149x2 45
x1, x2 0,且为整数
增加约束条件一般会使最优值减小，所以原问题的最优值 为对应的整数规划的上限。
整数规划-分支定界法
第3步：求解IP1 运用单纯形法，可以求得无整数要求的IP1的最优解， x1 3, x2 3, z 39 可以看出，此最优解也为整数规划IP1的最优解，原整 数规划的最优值不可能小于39，否则肯定不为极大值。所 以，39可以作为原整数规划最优值的下限。但是，此最优 值还小于上限，所以，还需求解另一分支。
第2步：选择非整数解变量，构造附加约束条件（分支）
选取 x2 ，由于 x2 3.75 ，可以构造约束条件：
x2 3, x2 4 ，在 3 x2 4 范围内，
无整数要求的线性规划即使有最优解，也不是整数解.
(0,5)
(0,4)
(2.25 3.75) z 5x1 8x2
(0,3)
(6,0)
的下限，则可能在 (0,3)
解的附近还有整数
IP1x1 3, x2 3, z 39
最优解，还需继续
分支。
(6,0)
如果此时的最优值小于原规划的下限，则不可能有最优解，停止计算。
整数规划-分支定界法
(0,5) (0,4) (0,3)
IP2 x1 1.8, x2 4, z 41
第五章 整数线性规划
整数线性规划问题的最优解
A
第1节 整数线性规划的数学模型及解的特点
例2：某宝石加工厂最近新到6粒大小、质量等级 相似的钻石毛料，管理层有两种选择，一是切 磨成一般的皇冠形，每粒可获利2.5千元；一 是切磨成虽然较难切磨但当前市场较流行的心 形，每粒可获利4千元。若切磨成皇冠形则每 粒需要5个工作日，若切磨成心形则每粒需要9 个工作日，由于工厂切工师傅较忙，最多只有 45个工作日来做这批工作。另外，由于毛料自 身形状的关系，其中只有4粒毛料可以切磨成 皇冠形，而6粒毛料中任何一粒都可以切磨成 心形。那么，管理层应如何决策才能使这批钻 石获利最大？
例5：某服务部门各时段（每2h为一时 段）需要的服务员人数见下表。按规 定，服务员连续工作8h（即四个时段 ）为一班。现要求安排服务员的工作 时间，使服务部门服务员总数最少。
时段 1 2 3 4 5 6 7 8
服务员最少数目
10
8
9
11 13
8
5
3
第3节 0-1型整数线性规划
例5： 解：设在第j时段开始时上班的服务员人数为xj。
min z cij xij 1200 y 1500 1 y
i 1 j 1 4 4
x11 x21 x31 x41 350 x x x x 400 12 22 32 42 x13 x23 x33 x43 300 x14 x24 x34 x44 150 x x x x 400 11 12 13 14 x x x x 600 21 22 23 24 x31 x32 x33 x34 200 y x41 x42 x43 x44 200 1 y x 0，， (i j =1， 2， 3， 4) ij y 0或1
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
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问题 B1 ： Max z 40 x1 90 x2
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70 0 x1 4, x2 0
最优解为： x1 4.0, x2 2.1, z1 349 。 问题 B2 ： Max z 40 x1 90 x2
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70 x1 5, x2 0
工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题 A ，与它相应的线性规划为问题 B ，从解问题 B 开始， 若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z* 的上 界，记作 z ；而 A 的任意可行解的目标函数值将是 z* 的一个下界 z 。分枝定界法就是将 B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z 和增大 z ，最终求到 z* 。现用下例来说明：
从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为： 开始，将要求解的整数规划问题称为问题 A ，将与它相应的线性规划问题称为问题 B。 （i）解问题 B 可能得到以下情况之一： （a） B 没有可行解，这时 A 也没有可行解，则停止． （b）B 有最优解，并符合问题 A 的整数条件，B 的最优解即为 A 的最优解，则停止。 （c） B 有最优解，但不符合问题 A 的整数条件，记它的目标函数值为 z 。 （ii）用观察法找问题 A 的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,, n ，试探，求得 其目标函数值，并记作 z 。以 z* 表示问题 A 的最优目标函数值；这时有
2x1 4x2 5, x1 0, x2 0
其最优实数解为：
x1
0,
x2
5 4
, min
z
5 4
Hale Waihona Puke 。LINGO1.lg4LINGO11.lg4
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例 2 原线性规划为
min z x1 x2
2x1 4x2 6, x1 0, x2 0
其最优实数解为：
再定界： 340 z* 341，并将 B12 剪枝。 （iv）对问题 B2 再进行分枝得问题 B21 和 B22 ，它们的最优解为
B21 : x1 5.44, x2 1.00, z22 308
B22 无可行解。 将 B21, B22 剪枝。
于是可以断定原问题的最优解为：
x1 4, x2 2, z* 340
-19-
最优解为： x1 5.0, x2 1.57, z1 341 .4 。 再定界： 0 z* 349。 （iii）对问题 B1 再进行分枝得问题 B11 和 B12 ，它们的最优解为
B11 : x1 4, x2 2, z11 340 B12 : x1 1.43, x2 3.00, z12 327.14
1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点
（i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：
①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例 1 原线性规划为
min z x1 x2
整数线性规划理论
§1 概论
1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型
中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往
往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类
如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类：
的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），
这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一
步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由 Land Doig 和 Dakin 等人提出的。由于这种方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是 解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、
例 3 求解下述整数规划
Max z 40 x1 90 x2
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70
x1
,
x
2
0
且为整数
解 （i）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划 B ，得最优解为：
x1 4.8092 , x2 1.8168 , z 355.8779
可见它不符合整数条件。这时 z 是问题 A 的最优目标函数值 z* 的上界，记作 z 。而 x1 0, x2 0 显然是问题 A 的一个整数可行解，这时 z 0 ，是 z* 的一个下界，记作 z ，即 0 z* 356。
（ii）因为 x1, x2 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选 x1 进 行分枝，把可行集分成 2 个子集：
x1 [4.8092] 4 ， x1 [4.8092] 1 5 因为 4 与 5 之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这 一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：
x1
0,
x2
3 2
, min
z
3 2
。
若限制整数得： x1 1, x2 1,min z 2 。LINGO2.lg4
LINGO21.lg4
（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.4 求解方法分类： （i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
z z* z
进行迭代。 第一步：分枝，在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ，其值为 b j ，以[bj ]
①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
-12-
§2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行
系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小