数学分析下——平面点集与多元函数知识点
16-1 数学分析全套课件
( x, y) | x x0 | , | y y0 | .
U o( A; )
( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2
( x, y) | x x0 | , | y y0 | ,( x, y) ( x0, y0 )
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2. 点和点集之间的关系
第十六章 多元函数的 极限与连续
y f (x)
定义域 对应法则
V r2h
z f (x, y)
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§1 平面点集与多元函数
一、平面点集
1.定义： 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合,
称为平面点集。 A( x0, y0 )
U( A; ) :
( x, y) ( x x0)2 ( y y0)2 2
推论 任一有界无限点列 { Pn} R2 必存在收敛子 列 { Pnk } . ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. )
定理3 (有限覆盖定理) 设 D R2 为一有界闭域 ,
U { } 为一族开域 , 它覆盖了 D ( 即 D ). 则
在 { } 中必存在有限个开域 1, 2 , L , n , 它们 同样覆盖了D。
2.几何意义 z f (x, y)
通常表空间曲面
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上次课内容 1. 点
内点，外点，界点，聚点，孤立点 2. 集 开集，闭集，连通集；开域，闭域，区域，有界点集
3. 完备性定理 4. 二元函数
z f ( x, y), ( x, y) D;
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z 10 2x 5 y
二、R2上的完备性定理
1.平面点列的极限
（1）定义 设 {Pn } R2 为一列点, P0 R2 为一固定点.
（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.
（整理）《数学分析》第十六章多元函数的极限与连续.第十六章多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<="">二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内点E ∈, 外点E ?, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确定集} 4)2()1(1|),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.7. 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.定义0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 四. 2R 中的完备性定理:1. Cauchy 收敛准则:先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.2. 闭集套定理: [1]P 89.3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:4. n 元函数:Ex [1]P 92—93 1—8 .§2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限:1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或A y x f y y x x =→→),(lim 00例1 用“δε-”定义验证极限7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x .[1]P 94 E1.例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3 设??=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.Th 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f DP P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .2 方向极限:方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等?/ 二重极限存在( 以下例5 ).例4 设??=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.例5 设+∞<<-∞<<=.,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f yx →不存在. [1]P 95 E4.二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222yx y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(yx y x +++. 3．极限),(lim),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设22),(yx xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设xy y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.Ex [1]P 99 2§3 二元函数的连续性 (2 时 )一．二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.2.连续的定义:定义用邻域语言定义连续.注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 设=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例1 设+∞<<∞-<<=., 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101)证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性: 定义.三.四.有界闭区域上连续函数的性质:1.有界性与最值性. ( 证)2.3.一致连续性. ( 证)4.介值性与零点定理. ( 证)Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.。
数学分析16.1平面点集与多元函数
第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数一、平面点集概念1：在平面上确定一个坐标系(一般指平面直角坐标系)，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应，因此“数对”可等同于“平面上的点”，这种确定了坐标系的平面称为坐标平面. 坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作：E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.如R2={(x,y)|-∞<x<+∞,-∞<y+∞}指整个坐标平面. 平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)|x2+y2<r2}.而集合S={(x,y)|a≤x≤b, c≤y≤d}表示一矩形及其内部所有点的全体，通常记作：[a,b]×[c,d].一般地，对于任意两个数集A, B，记A×B={(x,y)|x∈A,y∈B }，称为A 与B的直积. 如：A={(u,v)|u2+v2<1}，B=[0,1]，则A×B={(u,v,w)|u2+v2<1, 0≤w≤1 }.平面点集{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}与{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ}分别称为以点A(x0,y0)为中心的δ圆邻域与δ方邻域.点A的任一圆邻域可包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然)，所以通常用“点A的δ邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并记为U(A;δ)或U(A). 而点A的空心邻域是指：(记为U⁰(A;δ)或U⁰(A)) {(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}或{(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ, (x,y)≠(x0,y0)}.任一点A∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种关系之一：1、内点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)⊂E，则称A是点集E 的内点. E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.2、外点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Ø，则称A是点集E的外点.3、界点：若点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E 的点，则称A是集合E的界点. 即对任何正数δ，恒有U(A;δ)∩E≠Ø且U(A;δ)∩E c≠Ø，其中E c=R2\E是E关于全平面的余集. E的全体界点构成E的边界，记作∂E.内点属于E，外点不属于E，界点不能确定.按点A的近旁是否密集着E中无穷多个点而构成的关系：1、聚点：若在点A的任何空心邻域U⁰(A)内都含有E中的点，则称A 是E的聚点. 聚点不一定属于E. A是点集E的聚点的定义等价于“点A的任何邻域U(A)内包含有E的无穷多个点”.2、孤立点：若点A∈E, 但不是E的聚点，即存在某一正数δ，使得U⁰(A;δ)∩E=Ø，则称点A是E的孤立点. 孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，即不是聚点，又不是孤立点，必为外点.例1：设平面点集D={(x,y)|1≤x2+y2<4}，分别指出它的内点、界点和聚点，并指出界点是否属于点集D.解：满足1<x2+y2<4的一切点都是D的内点；满足x2+y2=1的一切点是D的界点且属于D；满足x2+y2=4的一切点是D的界点且不属于D；点集D连同它外圆边界上的所有点都是D的聚点.概念2：重要的平面点集：1、开集：若平面点集所属的每一点都是E的内点(即intE=E)，则称E 为开集.2、闭集：若平面点集E的所有集点都属于E，则称E为闭集. 没有聚点的点集也称为闭集.注：例1中的点集D即不是开集也不是闭集；R2和Ø既开又闭.3、开域：若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全包含于E的有限折线相连接，则称E为开域(非空连通开集).4、闭域：开域连同其边界所成的点集称为闭域.5、区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域. 反例：开集E={(x,y)|xy>0}在I,III象限之间不具有连通性，所以它不是区域.6、有界点集：对于平面点集E，若存在某一正数r ，使得E⊂U(O,r)，其中O 为坐标原点(也可为其它固定点)，则称E 为有界点集. 反之则为无界点集. E 为有界点集等价于：存在矩形区域D=[a,b]×[c,d]⊃E.点集的有界性可用点集的直径来反映，即d(E)=E P ,P 21sup ∈ρ(P 1,P 2)，其中ρ(P 1,P 2)表示P 1与P 2两点之间的距离，当P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2)时，则ρ(P 1,P 2)=221221)-y (y )x -(x +，于是当d(E)为有限值时，E 为有界点集.根据距离的概念，对R 2上的任意三点P 1,P 2,P 3，有以下三角不等式： ρ(P 1,P 2)≤ρ(P 1,P 3)+ ρ(P 2,P 3).例2：证明：对任何S ⊂R 2，∂S 恒为闭集.证：如图：设x 0为∂S 的任一聚点，∀ε>0，由聚点的定义，∃γ∈U ⁰(x 0;ε)∩∂S. 又γ是S 的界点， ∴对任意U(γ;δ)⊂U ⁰(x 0;ε), U(γ;δ)上既有S 的点，又有非S 的点. ∴U(x 0;ε)上也既有S 的点，又有非S 的点，即x 0∈∂S ，∴∂S 恒为闭集.二、R 2上的完备性定理定义1：设{P n }⊂R 2为平面点列，P 0∈R 2为一固定点. 若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，有P n ∈(P 0;ε)，则 称点列{P n }收敛于点P 0，记作：∞→n lim P n =P 0或P n →P 0, n →∞.注：分别以(x n ,y n )与(x 0,y 0)表示P n 与P 0时，∞→n lim P n =P 0等价于∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0. 以ρ(P 1,P 2)表示P n 与P 0之间距离时，∞→n lim P n =P 0又等价于，∞→n lim ρ=0.定理16.1：(柯西准则)平面点列{P n }收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有ρ(P n ,P n+p )<ε. 证：[必要性]设∞→n lim P n =P 0, 则由三角不等式有 ρ(P n ,P n+p )≤ρ(P n ,P 0)+ρ(P n+p ,P 0)，由点列收敛定义，∀ε>0，∃正整数N ， 当n+p>n>N 时，恒有ρ(P n ,P 0)<2ε; ρ(P n+p ,P 0)<2ε；∴ρ(P n ,P n+p )<ε.[充分性]若ρ(P n ,P n+p )<ε，则同时有|x n+p -x n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，|y n+p -y n |≤ρ(P n ,P n+p ) <ε，∴∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，∴∞→n lim P n =P 0，即{P n }收敛于P 0.定理16.2：(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：(1)D n ⊃D n+1, n=1,2,…；(2)d n =d(D n ), ∞→n lim d n =0，则 存在唯一的点P 0∈D n , n=1,2,….证：任取点列P n ∈D n , n=1,2,….∵D n+p ⊂D n , ∴P n ,P n+p ∈D n , 如图有ρ(P n ,P n+p )≤d n →0, n →∞. 由定理16.1知，存在P 0∈R 2，使∞→n lim P n =P 0. 任取n ，对任何正整数p ，有P n+p ∈D n+p ⊂D n .令p →∞，∵D n 是闭域，从而必为闭集. ∴D n 的聚点P 0∈D n ,即P0=lim P n+p∈D n, n=1,2,…. 若有P0’∈D n, n=1,2,….n→∞由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！推论：对上述闭域套{D n}，任给ε>0，存在正整数N，当n>N时，有D n⊂U(P0;ε).定理16.3：(聚点定理)设E⊂R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.证法一：∵E是平面有界无限点集，∴存在一个闭正方形D1包含它. 连接正方形对边中点，把D1分成四个小的闭正方形，则在这个四个小闭正方形中，至少有一个含有E的无限个点，记为D2，同样的将D2分成四个小的闭正方形，得到D3含有E的无限个点，如此下去得到一个闭正方形序列：D1⊃D2⊃D3⊃…，则闭正方形序列{D n}的边长随着n趋向于无限而趋向于0，于是由闭域套定理，存在一点M0∈D n, n=1,2,….ε，任取M0的ε邻域U(M0;ε)，当n充分大时，正方形的边长小于2即D n⊂U(M0;ε). 又由D n的取法知U(M0;ε)含有E的无限多个点，即M0是E的聚点.证法二：若点集E不存在任何聚点，则对任意点P∈E，∵E有界，∴存在某一正数r ，使得E⊂U(P;r)，且U(P;r)中只包含E的有限个点. 而E的所有点都包含于U(P;r)，即E 只包含有限个点，与E 为无限点集矛盾；∴E 在R 2中至少有一个聚点.定理16.3’：有界无限点列{P n }⊂R 2必存在收敛子列{kn P }.定理16.4：(有限覆盖定理)设D ⊂R 2为一有界闭域(集)，{△α}为一开域(集)族，它覆盖了D(即D ⊂αα∆ )，则{△α}中必存在有限个开域(集)△1,△2,…,△n ，它们同样覆盖了D(即D ⊂i n1i ∆= ). 证：设有界闭域D 含在矩形[a,b]×[c,d]之中，并假设D 不能被{△α}中有限个开域所覆盖.用直线x=2b a +，y=2d c +把矩形[a,b]×[c,d]分成四个相等的闭矩形，则 至少有一个闭矩形所含的D 的部分不能被{△α}中有限个开域所覆盖. 类似的，把这个矩形(或几个的其中任一)再分成四个相等的闭矩形. 按此法继续下去，可得一闭矩形套{[a n ,b n ]×[c n ,d n ]}. 其中每一个闭矩形 所含的D 的部分都不能为{△α}中有限个开域所覆盖，于是每个闭矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]中都至少含有D 的一点，任取其中一点(x n ,y n ), 则 (x n ,y n )∈D, 且a n <x n <b n , c n <y n <d n (n=1,2,…). 由闭矩形套定理可知： 存在一点(x 0,y 0)，满足对任意自然数n ，都有a n ≤x 0≤b n , c n ≤y 0≤d n . ∵∞→n lim (b n -a n )=n n 2a -b lim ∞→=0; ∞→n lim (d n -c n )=n n 2c -d lim ∞→=0；∴∞→n lim x n =x 0; ∞→n lim y n =y 0. 又(x n ,y n )是有界闭域D 上的点，∴(x 0,y 0)∈D. 则{△α}中必有一开域包含(x 0,y 0)，设为△0，则必存在点P 0(x 0,y 0)的一个邻域U(P 0,δ)⊂△0，由a n →x 0, b n →x 0; c n →y 0,d n →y 0，知当n 充分大时，恒有x 0-2δ<a n ≤x 0≤b n <x 0+2δ; y 0-2δ<c n ≤y 0≤d n <y 0+2δ. 可知，矩形[a n ,b n ]×[c n ,d n ]都包含于U(P 0,δ)中，从而包含于开域△0中， 这与每个[a n ,b n ]×[c n ,d n ]都不能被{△α}中有限个开域所覆盖矛盾， ∴{△α}中必有D 的有限开覆盖.三、二元函数定义2：设平面点集D ⊂R 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作：f:D →R ，P ↦z.且称D 为f 的定义域，P ∈D 所对应的z 为f 在点P 的函数值. 记作： z=f(P)或z=f(x,y).全体函数值的集合为f 的值域，记作f(D) ⊂R. 通常把P 的坐标x 与y 称为f 的自变量，而z 称为因变量.若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数.f 在D 上无界的充要条件是：存在{P k }⊂D ，使∞→k lim f(P k )=∞.在映射意义下，z=f(P)称为P 的象，P 称为z 的原象.把(x,y)∈D 和它对应的象z=f(x,y)一起组成三维数组(x,y,z)时，三维欧氏空间R 3中的点集S={(x,y,z)|z=f(x,y), (x,y)∈D }⊂R 3，就是二元函数f 的图象. z=f(x,y)的图象通常是一空间曲面，f 的定义域D 就是该曲面在xOy 平面上的投影.例3：指出下列函数的定义域和值域，以及它们属于有界函数还是无界函数，并说明它们的图象形状.(1) z=2x+5y ；(2)z= )y x (122+-；(3)z=xy ；(4)z=[ y x 22+].解：(1)z=2x+5y 的定义域是R 2，值域是R ，属于无界函数；其图象为R 3中一个平面.(2)z= )y x (122+-的定义域是xOy 平面上的单位圆域{(x,y)|x 2+y 2≤1}， 值域为区间[0,1]，属于有界函数；其图象为以原点为中心的单位球面的上半部分.(3)z=xy 的定义域是R 2，值域是R ，属于无界函数；其图象为过原点的双曲抛物面.(4)z=[ y x 22+]是定义在R 2上的函数，值域是全体非负整数，属于无界函数；其图象如图.四、n 元函数概念3：所有有序实数组(x 1,x 2,…,x n )的全体称为n 维向量空间，简称n 维空间，记作R n . 其中每个有序实数组(x 1,x 2,…,x n )称为R n 中的一个点，n 个实数x 1,x 2,…,x n 是这个点的坐标.设E为R n中的点集，若有某个对应法则f，使E中每一点P(x1,x2,…,x n)都有唯一的一个实数y与之对应，则称f为定义在E上的n元函数(或称f为E⊂R n到R的一个映射)，记作f:E→R, (x1,x2,…,x n)↦y.或简写成y=f(x1,x2,…,x n), (x1,x2,…,x n)∈E或y=f(P), P∈E.习题1、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域，并分别指出它们的聚点与界点：(1)[a,b)×[c,d)；(2){(x,y)|xy≠0}；(3){(x,y)|xy=0}；(4){(x,y)|y>x2}；(5){(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}；(6){(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}；(7){(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2}；(8){(x,y)|x,y均为整数}；1, x>0}.(9){(x,y)|y=sinx解：(1)点集[a,b)×[c,d)为非开非闭有界集，也是区域.聚点为[a,b]×[c,d]中任一点；界点为[a,b]×[c,d]的四条边上任一点. (2)点集{(x,y)|xy≠0}是无界开集，非区域.聚点为平面内任一点；界点为两坐标轴上的点.(3)点集{(x,y)|xy=0}是无界开集，非区域.聚点和界点都是两坐标轴上的点.(4)点集{(x,y)|y>x2}是无界开集，也是区域；聚点为抛物线y=x2及上方的所有点；界点为抛物线y=x2上的所有点.(5)点集{(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}为有界开集，也是区域；聚点为直线x=2, y=2及x+y=2所围成的三角形三边及内部所有的点；界点为直线x=2, y=2及x+y=2所围成的三边形三边上的点.(6)点集{(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1}是有界闭集，非区域；聚点和界点都是圆x2+y2=1和x轴上线段[0,1]上所有的点.(7)点集{(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2}是有界闭集，非区域；聚点是圆x2+y2=1及其内部和x轴上线段[1,2]上所有的点；界点是圆x2+y2=1和x轴上线段[0,1]上所有的点.(8)点集{(x,y)|x,y均为整数}是无界闭集，非区域；没有聚点；界点为集内全体点.1, x>0}为非开非闭无界集，非区域；(9)点集{(x,y)|y=sinx1在I,IV象限的所有点. 界点与聚点都是y轴上线段[-1,1]及曲线y=sinx2、试问集合{(x,y)|0<|x-a|<δ, 0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ, (x,y)≠(a,b)}是否相同？解：不相同.因为点集{(x,y)|0<|x-a|<δ, 0<|y-b|<δ}不包含x=a及y=b上的两线段；而点集{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ, (x,y)≠(a,b)}仅不包含一个点(a,b).3、证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{P n}⊂E, P n≠P0，lim P n=P0n→∞时，P0是E的聚点.证：[充分性]若P n≠P0，lim P n=P0，则∀ε>0，∃N，使得当n>N时，n→∞有P n ∈U ⁰(P 0;ε)，当n 充分大时，U ⁰(P 0;ε)含有{P n }的无穷多个点. 又{P n }⊂E, ∴U ⁰(P 0;ε)含有E 中无穷多个点，即P 0是E 的聚点.[必要性]若P 0是E 的聚点，则∀ε>0，U ⁰(P 0;ε)中必含有E 中的点. 取ε1=1，则U ⁰(P 0;ε1)中必含有E 中的点，任取出一个记为P 1. 取ε2=min{21,|P 1-P 0|}，则U ⁰(P 0;ε2)中必含有E 的点，任取一个记为P 2. 依次类推，取εn =min{n1,|P 1-P 0|,…,|P n-1-P 0|}，则U ⁰(P 0;εn )中含有E 的点，取出一个记为P n . 无限继续，可得各项互异的点列{P n }，即有P n ≠P 0，{P n }⊂E ，且∞→n lim P n =P 0.4、证明：闭域必为闭集. 举例说明反之不真.证：设D 为闭域，则有开域G ，使D=G ∪∂G ，其中∂S 为G 的边界. 设P 0∉D ，则P 0∉G 且P 0∉∂G. 由P 0∉G 可知，∀δ>0，U(P 0;δ)∩G c ≠Ø，其中G c 为G 的余集即关于R 2的补集. 又由P 0∉∂G 可知，存在δ0>0，使U(P 0;δ0)∩G=Ø.若存在P 1∈U(P 0;δ0)∩∂G ，则当ε>0充分小时，U(P 1;ε)⊂(P 0;δ0). 由于 P 1∈∂G ，从而U(P 1;ε)含有G 的点Q ，于是Q ∈U(P 0;δ)∩G ，矛盾. ∴U(P 0;δ0)∩∂G=Ø，∴(P 0;δ0)∩D=Ø，即P 0不是D 的聚点，∴若P 0是D 的聚点，则P 0∈D ，即D 为闭集.反之，平面内的任意两点可以构成一个闭集，但却不是一个闭域.注：任一点集E ，E ∪∂E 恒为闭集.5、证明：点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0)的充要条件是：∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0.证：[必要性]设点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0)，则∀ε>0，∃N ， 当n>N 时，ρ(P n ,P 0)< ε, 即20n 20n )y -(y )x -(x +<ε,∴|x n -x 0|≤20n 20n )y -(y )x -(x +< ε,(n>N)，∴∞→n lim x n =x 0，同理∞→n lim y n =y 0. [充分性]设∞→n lim x n =x 0，∞→n lim y n =y 0，则∀ε>0，∃N 1,N 2，使得 当n>N 1时，有|x n -x 0|<2ε; 当n>N 2时，有|y n -y 0|<2ε; 取N=Max{N 1,N 2}，则当n>N 时，同时有|x n -x 0|<2ε和|y n -y 0|<2ε；∴ρ(P n ,P 0)=20n 20n )y -(y )x -(x +<2ε2ε22+=ε, ∴点列{P n (x n ,y n )}收敛于P 0(x 0,y 0).6、求下列各函数的函数值： (1)f(x,y)=2y)-arctan(x y)arctan(x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+, 求f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231231，； (2)f(x,y)=22y x 2xy +, 求f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1，；(3)f(x,y)=x 2+y 2-xytan y x , 求f(tx,ty). 解：(1)x+y=231231-++=1; x-y=231231--+=3； ∴f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231231，=23arctan 1arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π÷4π⎪⎭⎫ ⎝⎛=169. (2)f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷22a b 1a 2b =22b a 2ab +. (3)f(tx,ty)=t 2x 2+t 2y 2-t 2xytan ty tx =t 2(x 2+y 2-xytan yx ).7、设F(x,y)=lnxlny ，证明：若u>0, v>0，则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).证：当u>0, v>0时，F(xy,uv)=lnxylnuv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).8、求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明是何种点集： (1)f(x,y)=2222y-x y x +；(2)f(x,y)=223y 2x 1+；(3)f(x,y)=xy ； (4)f(x,y)=2x -1+1-y 2；(5)f(x,y)=lnx+lny ；(6)f(x,y)=)y sin(x 22+；(7)f(x,y)=ln(y-x)；(8)f(x,y)=)y x (22e +-；(9)f(x,y,z)=1y x z 22++； (10)f(x,y,z)=2222z y x R ---+2222r z y x 1-++, (R>r).解：如图：(1)函数定义域D={(x,y)|x ≠±y}，是无界开点集.(2)函数定义域D={(x,y)|xy ≠0}=R 2-(0,0)，是无界开点集.(3)函数定义域D={(x,y)|xy ≥0}，是无界闭集.(4)函数定义域D={(x,y)||x|≤1, |y|≥1}，是无界闭集.(5)函数定义域D={(x,y)|x>0, y>0}，是无界开点集.(6)函数定义域D={(x,y)|2n π≤x 2+y 2≤(2n+1)π, n=0,1,2,…}，是无界闭集.(7)函数定义域D={(x,y)|y>x}，是无界开集.(8)函数定义域D=R 2，是无界既开又闭的点集.(9)函数定义域D=R 3，是无界既开又闭的点集，图略.(10)函数定义域D={(x,y)|r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}，是有界非开非闭的点集.(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (10)(空心球体)9、证明：开集与闭集具有对偶性，即若E为开集，则E c为闭集；若E为闭集，则E c为开集.证：设E为开集，E c不是闭集. 则E c中至少有一个聚点A不属于E c，则必有A∈E. ∵E为开集，∴存在点A的某邻域U(A)⊂E，则U(A)中不含有E c中的点，与A为E c的聚点矛盾.∴E 为开集，则E c 为闭集.设E 为闭集，E c 不是开集. 则E c 中至少有一点B 不是E c 的内点. ∵点B 的任何邻域U(B)⊄E c ，即U(B)中含有E 中的点，又B ∉E ， ∴B 为E 的聚点，这与E 是闭集矛盾. ∴E 为闭集，则E c 为开集.10、证明：(1)若F 1, F 2为闭集，F 1∪F 2与F 1∩F 2都为闭集；(2)若E 1, E 2为开集，E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集；(3)若F 为闭集，E 为开集，则F\E 为闭集，E\F 为开集.证：(1)设P 为F 1∪F 2的任意聚点，则存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列{P n }⊂F 1∪F 2，∴F 1和F 2至少有一个集合含有{P n }的无限多项，不妨设{k n P }⊂F 1，则 也有kn P →P(k →∞)，从而P 为F 1的聚点. 又F 1为闭集，∴P ∈F 1，即 P ∈F 1∪F 2，∴F 1∪F 2为闭集.设Q 为F 1∩F 2的任意聚点，则存在一个各点互不相同的收敛于Q 的点列{Q n }⊂F 1∩F 2，即Q 即是F 1的聚点，又是F 2的聚点，又F 1, F 2都是闭集， ∴Q ∈F 1且Q ∈F 2，即Q ∈F 1∩F 2，∴F 1∩F 2为闭集.(2)若E 1, E 2为开集，∀A ∈E 1∪E 2，则A ∈E 1或A ∈E 2. 不妨设A ∈E 1，则 存在A 的某邻域U(A)⊂E 1，从而有U(A)⊂E 1∪E 2，∴E 1∪E 2为开集. ∀B ∈E 1∩E 2，则B ∈E 1且B ∈E 2. ∵E 1, E 2为开集，∴存在B 的某邻域U(B;δ1)⊂E 1，也存在B 的某邻域使U(B;δ2)⊂E 2， 取δ=min{δ1,δ2}，则U(B;δ)⊂E 1∩E 2，∴E 1∩E 2为开集.(3)若F闭集，则F c为开集；若E为开集，则E c为闭集.又F\E=F∩E c，E\F=E∩F c；根据(1)知F\E为闭集；根据(2)知E\F为开集.11、试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之.解：闭域套定理：设{D n}是R2中的闭域列，它满足：(1)D n⊃D n+1, n=1,2,…；(2)d n=d(D n),lim d n=0，则∞n→存在唯一的点P0∈D n, n=1,2,….推广为：设{F n}是R2中的闭集列，它满足：(1)F n⊃F n+1, n=1,2,…；(2)d n=d(F n),lim d n=0，则∞n→存在唯一的点P0∈F n, n=1,2,….证明如下：任取点列P n∈F n, n=1,2,…. ∵F n+p⊂F n, ∴P n,P n+p∈F n, 从而有ρ(P n,P n+p)≤d n→0, n→∞. 由定理16.1知，存在P0∈R2，使lim P n=P0.n∞→任取n，对任何正整数p，有P n+p∈F n+p⊂F n. ∵F n是闭集，且lim P n+p=P0.n→∞∴必有P0∈F n, n=1,2,…. 若有P0’∈F n, n=1,2,….由ρ(P0,P0’)≤ρ(P n,P0)+ρ(P n,P0’)≤2d n→0, n→∞. 得ρ(P0,P0’)=0，∴P0=P0’. 即P0是唯一的，得证！12、证明定理16.4(有限覆盖定理).证：证明过程见定理16.4.13、证明：设D⊂R2，则f在D上无界的充要条件是存在{P k}⊂D，使lim f(P k)=∞.k→∞证：[必要性]若D⊂R2，且f在D上无界，则对任何M1>0，总有点P1∈D，使f(P1)>M1; 取M2=M1+2, 则存在点P2∈D，使f(P2)>M2; 依次取M3=M1+3,…, M k=M1+k,总有P3,…,P k∈D,使f(P3)>M3,…,f(P k)>M k. ∴点列{P k}⊂D，当k→∞时，f(P k)>M k=M1+k→∞，即lim f(P k)=∞.k∞→[充分性]若存在{P k}⊂D⊂R2，且lim f(P k)=∞, 即对任何M>0，k∞→当k充分大时，总有|f(P k)|>M，即函数的值域无界，∴f在D上无界.。
§1平面点集与多元函数.docx
第十六章多元函数的极限与连续§ 1平面点集与多元函数（一）教学1=1的：了解平面中的邻域,开集,闭集，开域，闭域的定义,了解疋的完备性,掌握二元及多元函数的定义.（二）教学内容：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；的完备性；二元及多元函数的定义.（1）基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及A?的完备性，掌握二元及多元函数的定义.（2）较高要求：拿握的完备性定理.（三）教学建议：（1）要求学牛清处地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念, 可布置适量习题.（2）有关$的完备性定理的证明可对较好学生提出要求.平面点集:平面点集的表示:E = {(兀,刃I (兀,y)满足的条件P}・余集E c =R2\E・1.常见平而点集：全平面：R2 = { (x,y) I _0° < ^ < +00 , -oo < ^ < +oo}半平ffi {(x,y)lx>0), {(x,y) I x > 0}, {(x,y)\x> a}f{(x,y) I y > ax + b}等.矩形域：[a,b]x[c,d], {(x,y) | I x I + I y l< 1}}.圆域：C = {(x,y) I x2 + y2 < r~ }和{(厂,0) I r < 2asin&}.邻域：圆邻域和方邻域■■■\ 厂―\ 1111♦♦■ ♦•・・・•・・■ ••11圆邻域内有方邻域, 方邻域内有圆邻域d h1—■、11 /\ 111/ 11 0-■A空心邻域■•・、■■■/ 6•111 O 11•1■ % ■■■ •• ■ •••11{(x, y)IO<lx-x o I2 +1 y-y Q \2<3}{(x, y)丨0 vl 兀一兀o Iv 5, 0 <1 y — y° l< 5}的区别•一.点集拓扑的基本概念：内点：若存在点P的某邻域U(P)使得U(P)uE,则称P是集合E的内点外点“若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)C]E =①，则称P是集合E的外点。
第4讲-多元函数概念与极限
第4讲 平面点集与多元函数极限讲授内容一、平面点集平面点集()()(){}2202|,δ<-+-y y x x y x 与(){}δδ<-<-00,|,y y x x y x 分()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．空心邻域是指 ()()(){}22020|,δ<-+-<y y x x y x 与()()(){}0000,,,,|,y x y x y y x x y x ≠<-<-δδ，并用记号()()A U A U;或δ来表示．任意一点2R A ∈与任意一个点集2R E ⊂之间必有以下三种关系之一：（i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为E 的内部，记作intE ．(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．(iii)边界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的边界点．即对任何正数δ，恒有()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且 E 的全体边界点构成E 的边界，记作E ∂．点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U;0，则称点A是正的孤立点．显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例如 设平面点集(){}41|,22<+≤=y x y x D ，满足4122<+<y x 的一切点都是D 的内点；满足122=+y x 的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的边界点，但它们都不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点．根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集． 开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域．又例如(){}0|,>=xy y x E ，虽然是开集，但因Ⅰ、 Ⅲ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得(),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点. 点集E 的直径)(E d . 就是()(),,sup 21,21p p E d Ep p ρ∈=其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则， ()()().,22122121y y x x p p -+-=ρ根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：()()()323121,,,p p p p p p ρρρ+≤二、2R 上的完备性定理定义 设{}⊂n P R 2为平面点列，∈o P R 2为一固定点。
161平面点集与多元函数
y
y
A
A
o
x
o
x
注：圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.
空心方邻域
(x, y) x x0 , y y0 ,(x, y) (x0, y0)
与集{(x, y) | 0 | x x0 | , 0 | y y0 | }
的区别.
y
y
A
A
o
x
o
x
二.点集拓扑的基本概念:
1.内点、外点和界点 定义:设 A是R2上一点,平面点集E R2，
•A
E
•A
集E 的边界点,称为E 的边界.记为E.
可能 E 说明: 集合的内点 E, 外点 E, 界点
y 1
可能 E
o1 2
x
•A
•A
内点2•源自外点集 边界E•A
例 1.确定集E (x, y) | 0 (x 1)2 ( y 2)2 1
的内点、外点集和边界 .
2.(以凝聚程度分为) 聚点和孤立点:
表示平面上满足条件Ｐ的(x, y)点的全体。
y
Ｅ的补集为Ec R2 E。
⑴ 全平面和半平面：
y ax b
o
x
{(x, y) | x 0}, {(x, y) | x 0},
{(x, y) | x a}, {(x, y) | y ax b}等. y
{({x{(,(xyx,),y|y)x)| |xxa}00}}
第十六章 多元函数的极限与连续
• §16.1 平面点集与多元函数 • §16.2 二元函数的极限 • §16.3 二元函数的连续性
引言
1. 简要介绍多元函数的概念(一元函数只依 赖一个自变量，多元函数依赖多个自变量)。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
平面点集与多元函数.ppt
聚点也可定义为： 若点 P 的任何邻域 U (P) 内都含有点集 E 的无穷多个点， 则称 P 为 E
的聚点。
注： 聚点可以属于E, 也可以不属于E。
如：设平面点集
E {( x, y) |1 x2 y2 4}
满足1 x2 y2 4 的一切点 ( x, y) 都是 E 的
内点； 满足 x2 y2 1的一切点( x, y)都是 E
D {( x, y) | x 0, y 0}
2. 邻域
设P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点，d 是某
一正数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 d 的点 P( x, y) 的全体，称为 点P0的d邻域.记作U (P0,d ), 即
U(P0 ,d ) P | PP0 | d
的边界点， 它们不属于 E ；满足 x2 y2 4
的一切点( x, y)也都是 E 的边界点，它们都属
于 E ； 点集 E 的内点以及它的
y
边界 E上的一切点都是 E的
聚点。
o
x
4. 平面区域
开集： 若点集 E 的所有点都是E 的内点， 则 称 E 为开集。
闭集：若点集 E的余集 EC 为开集，则称E( x1, x2 , , xn ),
数 xi 称为该点的第 i 个坐标或 n维向量的第 i 个
分量。
Rn 中点 x ( x1, x2 ,, xn ) 和点 y ( y1, y2 ,, yn )
间的距离，记作 ( x, y) ，规定
( x, y) ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
设 E 是平面 R2上的一个点集， P 是平面 R2 上的一个点, 则点 P 与点集 E 之间必有以
多元函数的概念、极限与连续
例2 求下列的定义域D，并描出D的图形．
1. z 4 x y
2 2
1
y
x y 1 2. z x y ln(x y 2)
2 2
解 1. D :
y 1＞0 2 2 2 2 1 x y 4 即定义域为 {( x, y) : 1＜x y 4}. y y x 2. D： x y 0 y=x+2
o
x
12
7. n 维空间
n 元有序数组 ( x1 , x2 ,L
n
, xn ) 的全体称为 n 维空间,
说明：(1) n维空间的记号为 R n ;
R R R K R ( x1 , x2 ,K , xn ) xk R, k 1,2,K , n
n 维空间中的每一个元素 ( x1 , x2 ,K , xn ) 称为空间中的 一个点,
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界区域 , 否则称为 y 无界区域 . 例如：{( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
是有界闭区域。
y
o
x
{( x , y ) | x y 0}
是无界开区域。
13
(2) n维空间中两点间距离公式
( x, y) = x y ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) K ( xn yn )
2 2
2
设两点为 P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) K ( xn yn )
P( x, y ) D， 变量 z按照一定的对应法则总有确定的值
《数学分析》第十六章 多元函数的极限和连续
D = {(x, y)| x2 + y2 1 } 如图
y 1 x2 + y2 = 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
的聚点.
一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的 聚点, 自证.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念 都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可 推广到 4 维以上的空间中去, 但不再 有几何意义.
y A
f (x) 0 x x0 x
x x0
y = f (x) f (x)
x
lim f (x) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
xx0
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图
E E0 , 所以 E 是开集.
5. 连通集
设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图
X Y
E 连通
X
Y
E 不连通
几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接.
例1, 2中的 D 都是连通集. 如图
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}， 这个点集称为二元函数的图形.
数学分析之多元函数的极限与连续
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为使 U ( A ;) IE ,则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
(iii) 界点—— 若 0, 恒有
用并记号 U(A;)或 U ( A ) 来表示.
点 A 的空心邻域是指:
( x , y )0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 ( 圆 )
或
( x , y ) | x x 0 | , | y y 0 | , ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( 方 ) ,
只有当 EE时, E 的外部与 E c 才是两个相同
的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
y
D ( x ,y )1 x 2 y 2 4 .( 4 )
满足 1x2y24的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4的一切点也
图 16 – 3
是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分 的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近 是旁否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U o ( A ) 内都
含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点． 注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E. 注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U ( A ) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
E ( x ,y )( x ,y ) 满 足 条 件 P .
第一节平面点集与多元函数
1)
Dn n1, n 1, 2,
2)
dn dDn ,
lim
n
d
n
0
则存在唯一点
P0 Dn , n 1, 2,
4 聚点原理 定理16.3（聚点原理）设 E R2 为有界 无限点集，则 E 在 R2 中至少有一个聚点.
推论： 有界无限点列 Pn R2
必存在收敛子列 Pnk
5 有限覆盖定理
例如, x2 y2 z2 a2
左图球面.
z
D {( x, y) x2 y2 a2 }.
单值分支:z a2 x2 y2
o
y
z a2 x2 y2 .
x
例6
z
x2
y2
是定义在
R2
上的函数，值域是全体非负整数
若二元函数的值域是有界集， 则称该函数为有界函数；
若值域是无界集，则称该函数 为无界函数.
如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆 周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图
y D
o
x
y 1
D
o
1x
x+y=0 E 的边界点可以是 E 中的点, 也可以不是 E 中的点.
x2 + y2 = 1
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E int E, 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x
x2 y2
y2
平面点集与多元函数
记作 ( X 0 , ),
即
( X 0 , ) {( x, y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
记 Û (X0, ) = U (X0, ) { X0 }, 称为 X0 的 去心 邻域.
如图
X0 X0
U (X0, )
Û (X0, )
故也可说, 若E = int E , 则称 E 是一个开集.
比如, 例1中 D 是开集, (D = int D ), 而例2中 D 不 是开集.
又比如, E 如图
y E o
x
若 E 不包含边界, 则 E 为开集. 若 E 包含边界, 则 E 不是开集.
结论: 非空平面点集 E 为开集的充要
条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点.
X E 连通
Y
X E 不连通
Y
从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 例1, 2中的 D 都是连通集. y 如图 y 1
o x+y=0
x
o
1
x
x2 + y2 = 1
6. 开区域 ( 开域 )
设 E 是一平面点集.
若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.
y
x2 + y2 = 1 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
如图
y 易见, 直线上方 每一点都是D的内点. x+y=0
平面点集与多元函数
第十六章 多元函数的极限与连续§ 1 平面点集与多元函数(一) 教学目的：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解2R 的完备性，掌握二元及多元函数的定义．(二) 教学内容：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；2R 的完备性；二元及多元函数的定义．(1) 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及2R 的完备性，掌握二元及多元函数的定义．(2) 较高要求：掌握2R 的完备性定理．(三) 教学建议：(1) 要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关2R 的概念，可布置适量习题．(2) 有关2R 的完备性定理的证明可对较好学生提出要求．————————————————————————平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件P}.余集E R E c \2=.1. 常见平面点集:全平面: },|),({2+∞<<∞-+∞<<∞-=y x y x R半平面 }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.矩形域: ],[],[d c b a ⨯, }1||||),{(≤+y x y x }.圆域: }|),({222r y x y x C <+=和}sin 2|),{(θθa r r ≤.邻域: 圆邻域和方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域}||||0|),{(2020δ<-+-<y y x x y x}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.一. 点集拓扑的基本概念:内点：若存在点P 的某邻域)(P U 使得E P U ⊂)(，则称P 是集合E 的内点。
外点：：若存在点P 的某邻域)(P U ，使得Φ=E P U )(，则称P 是集合E 的外点。
10-1 平面点集和多元函数
函数描述了变量之间的依赖关系，常把变量 分为自变量和因变量，一元函数就是只有一个自 变量的函数。但经常会遇到多个自变量的函数。
二元函数
三元函数
n元函数
多元函数
一、平面点集
平面点集的表示
D={(x,y)|(x,y)满足条件E}
例如
R {( x, y) | x , y }
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
P0
它是以Po为圆心，δ为半径的圆的内部，称为Po 的δ-圆邻域。
以Po为中心，2δ为边长正 方形的内部，也称为Po的δ-领 域，称作Po的δ-方邻域。
。P o
即设P0 ( x0 , y0 )为xoy平面上的一个点， 是某一 正数，则称点集 U ( P0 , ) {( x, y ) || x x0 | , | y y0 | } 为P0的（方）邻域。
2 2
(0,0)既是边界点也是聚点．
但(1,1)是边界点，不是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, {( x , y ) | 0 x y 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合．
但上述集合的圆周x, y) | x y 1} {(
2 2
边界上的点都是聚点也都属于集合．
2 x y 4 2 x y
2 2
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
二元函数 z f ( x , y )的图形
设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 z f ( x , y ) ，这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D}，这个点集称 为二元函数的图形.
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数学分析下定义定理整理
第一章多元函数的极限与连续
第一节平面点集与多元函数
1、坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，并记作
E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.
2、内点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)ÌE，则称点A是点E的内点.E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.
3、外点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=Æ，则称A是点集E的外点.
4、界点——若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点.即对任何正数d，恒有
U(A;d)∩E≠Æ且U(A;d)∩E c≠Æ，
其中E c=R2\E是E关于全平面的余集.E的全体界点构成E的边界，记作¶ E.
注：E的内点必定属于E，E的外点必定不属于E，E的界点可能属于E，也可能属于E，也可能不属于E.
5、聚点——若在点A的任何空心邻域U0(A)内都含有E中的点，则称A是E的
聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E.
6、孤立点——若点A∈E，但不是E的聚点，即存在某一正数d，使得U0(A;d)∩E=Æ，则称点A是E的孤立点.
注：孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.
7、开集——若平面点集所属的每一点都是E的内点(即int E=E)，则称E为开集.
8、闭集——若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.
注：只有R2与Æ是既开又闭的点集.
9、开域——若非空开集具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E为开域.
10、闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域.
11、区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域.
12、有界点集——对于平面点集E，若存在某一正数r，使得
EÌU(O;r)，
其中O是坐标原点(也可以是其他固定点)，则称E是有界点集.否则就是无界点集.
13、定义1设{P n}ÌR2为平面点列，P0∈R2为一固定点.若对任给的正数e，存在正整数N，使得当n>N时，有P n∈U(P0;e)，则称点列{P n}收敛于点P0，记作
lim P n=P0 或P n®P0，n®¥.
n
14、定理16.1（柯西准则）平面点列{P n}收敛的充要条件是：任给正数e，存
在正整数N ，使得当n>N 时，对一切正整数p ，都有 r (P n ,P n+p )<e .
15、定理16.2(闭域套定理) 设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：
（i ）D n ÉD n+1，n=1，2，…；
（ii ）d n =d(D n )，n
lim d n =0， 则存在惟一的点P 0∈D n ，n=1，2，….
推论 对上述闭域套{D n }，任给e >0，存在N ∈N +，当n>N 时，有D n ÌU(P 0;e ).
16、定理16.3(聚点定理) 设E ÌR 2为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚
点.
17、定理16.3’ 有界无限点列{P n }ÌR 2必存在收敛子列{P n k }.
18、定理16.4(有限覆盖定理) 设D ÌR 2为一有界闭域，{D α}为一开域族，它覆
盖了D （即D Ìa
α），则在{D α}中必存在有限个开域D 1，D 2，…，D n ，它们
同样覆盖了D （即D Ì
1n i =D α）. 19、定以2 设平面点集D ÌR 2，若按照某对应法则f ，D 中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数(或称f 为D 到R 的一个映射)，记作
F ：D ®R ，。