2020年暑假高二数学补习题 (19)-0715(解析版)

2020年暑假高二数学补习题 (19)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.∫(12x−3x2)dx=()A. −6B. −1C. 0D. 12.用反证法证明命题：“若a∈R，则函数y=x3+ax+b至少有一个零点”时，要做的假设是()A. 函数y=x3+ax+b没有零点B. 函数y=x3+ax+b至多有一个零点C. 函数y=x3+ax+b至多有两个零点D. 函数y=x3+ax+b恰好有一个零点3.已知函数f(x)的定义域为(m,n)，导函数f′(x)在(m,n)上的图象如图所示，则f(x)在(m,n)内的极小值点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44.设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.如图所示电路，有A、B、C三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且相互独立，则灯泡亮的概率()A. 18B. 14C. 12D. 1166.已知直线x−√3y−1=0与圆C：(x−1)2+(y−2)2=4交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 1B. √3C. 2D. 2√37.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种8.在(x+2)4的展开式中，x2的系数为()A. 24B. 12C. 6D. 49.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 323B. 163C. 83D. 4310.执行如图所示程序框图，若输出的S=−46，则①处填入的条件可以是()A. k<4？B. k<5？C. k>4？D. k>5？11.若直线y=kx+2是函数f(x)=x3−x2−3x−1图像的一条切线，则k=()A. 1B. −1C. 2D. −212.点M，N分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，则异面直线CM与DN所成的角的余弦值为()A. 4√515B. √515C. √315D. 415二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z=(1+i1−i)2018+3i，则|z|=_______．14.某工厂生产甲乙丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为1：3：5，现用分层抽样的方法抽得容量为n的样本进行质量检测，已知抽得乙种型号的产品12件，则n=______ ．15.已知抛物线x2=8y与双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于点A，若点A到抛物线的准线的距离为4，则双曲线的离心率为______．16.在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为______ ，乙丙两名同学都选物理的概率是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=|2x−3|−|x+1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)设集合M满足：当且仅当x∈M时，f(x)=|3x−2|，若a，b∈M，求证：a2−b2+2a+2b≤83．18.已知椭圆C：x24+y23=1，直线l：{x=−3+√3ty=2√3+t(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离为32，求点P的坐标．19.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求二面角A−HF−C的正弦值．20.某大学400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数21.设f(x)=e t(x−1)−tlnx，(t>0)(Ⅰ)若t=1，证明x=1是函数f(x)的极小值点；(Ⅱ)求证：f(x)≥0．22.已知椭圆E：x2+y2=1，A，C分别是E的上顶点和下顶点．4(1)若B，D是E上位于y轴两侧的两点，求证：四边形ABCD不可能是矩形；|AN|，(2)若B是E的左顶点，P是E上一点，线段PA交x轴于点M，线段PB交y轴于点N，|BM|=94求|MN|．-------- 答案与解析 --------1.答案：C2x−3x2)dx=(x2−x3)| 01=1−1=0，解析：解：∫(1故选：C．根据定积分的计算法则，即可求出．本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“若a，b为实数，则方程函数y=x3+ax+b至少有一个零点”时，要做的假设是：函数y=x3+ax+b没有零点．故选A．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的极值的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．根据极小值点的导数符号特征左负右正解答．【解答】解：根据图象：点A的左右两边导数左负右正，所以A是极小值点；点O的左右两边导数都正，所以O不是极小值点；点B的左右两边导数左正右负，所以B是极大值点；点C的左右两边导数左负右正，所以C是极小值点；故选B．4.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题主要考察相互独立事件同时发生的概率，属中档题．【解答】解：灯泡发亮的时候，A键要闭合，同时B键断开，C键闭合，则由独立事件的概率公式可知，为12×12×12=18．故选A．6.答案：C解析：解：由于圆(x−1)2+(y−2)2=4的圆心C(1,2)，半径等于2，圆心到直线x−√3y−1=0的距离为√3√1+3=√3，所以弦AB的长为2√4−3=2，故选：C．求出点到直线的距离，由弦长公式可得弦AB的长．本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．7.答案：A解析：解：∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选：A．每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，有两种方法，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个，有三种选择；余下两个数字按从小到大只有一种方法．根据分步计数原理得到结果．数字问题是排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8.答案：A解析：解：(x+2)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r⋅24−r⋅x r，令r=2，故展开式中x2的系数为C42⋅22=24，故选：A．直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．9.答案：A解析：解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，其体积V=13×(12×4×4)×4=323，故选：A．由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点棱锥的体积与表面积，空间几何体的三视图，难度中档．10.答案：B解析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环循环前S=1，k=2第一圈是S=1，k=2第二圈是S=−4，k=3第三圈是S=−17，k=4第四圈是S=−46，k=5第五圈否所以判断框内可填写“k<5”，故选B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量k 的平方到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义、直线的斜率的概念等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，可求实数k的值．【解答】解：设直线y=kx+2与曲线f(x)=x3−x2−3x−1切于点P(x0,y0)，则y0=x03−x02−3x0−1①，y0=kx0+2②，又∵y′=f′(x)=3x2−2x−3，且k =y′|x=x 0=3x 02−2x 0−3③， ③代入②中，消去k ，得2x 03−x 02+3=0， 即(x 0+1)(2x 02−3x 0+3)=0， 解得：x 0=−1， 当x 0=−1时，k =2， 故选C ．12.答案：A解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则N(1,2，2)，D(0,0，0)，C(0,2，0)，M(2,2，1)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，1)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 设异面直线所成角为θ， 则cosθ=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√9=4√515．∴异面直线CM 与DN 所成的角的余弦值为4√515．故选：A ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM 与DN 所成的角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 13.答案：√10解析：【分析】本题考查了复数的运算，利用题中的复数进行化简求解然后得复数的模． 【解答】解：由题可得z =(1+i1−i )2018+3i ； =[(1+i )(1+i )(1−i )(1+i )]2018+3i =−1+3i ，所以|z |=√10， 故答案是√10． 14.答案：36解析：【分析】本题考查分层抽样的应用，基本知识的考查． 求出抽样比，然后求解n 的值即可． 【解答】解：某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为1：3：5，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则乙被抽的抽样比为：31+3+5=13，样本中乙型产品有12件，所以n=12÷13=36，故答案为36．15.答案：√5解析：分析：求出双曲线的一条渐近线方程，代入抛物线方程，求得交点A的坐标，再求出抛物线的准线方程，由点到直线的距离公式，即可求出离心率的值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和抛物线的性质，考查运算能力，属于基础题．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程设为y=abx，代入抛物线x2=8y，可得x=8ab ，y=8a2b2，抛物线x2=8y的准线为y=−2，由题意可得8a2b2+2=4，即有b=2a，c=√a2+b2=√5a，即有离心率e=ca=√5．故答案为：√5．16.答案：15；949解析：解：在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：C11C62=15，乙丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数n=C73C73，乙丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m=C62C62，∴乙丙两名同学都选物理的概率是p=mn =C62C62C73C73=949．故答案为：15，949．同学甲必选物理，则甲选物理后还要从另外6门学科中再任选两门，由此能求出甲的不同选法种数；乙丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数n=C73C73，乙丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m=C62C62，由此能求出乙丙两名同学都选物理的概率．本题考查排列组合的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17.答案：(Ⅰ)解：f(x)=|2x−3|−|x+1|={−x+4,x<−1−3x+2,−1≤x≤32x−4,x>32，当x <−1时，−x +4≤6，得x ≥−2，故−2≤x <−1； 当−1≤x ≤32时，−3x +2≤6，得x ≥−43，故−1≤x ≤32； 当x >32时，x −4≤6，得x ≤10，故32<x ≤10；综上，不等式f(x)≤6的解集为{x|−2≤x ≤10}． (Ⅱ)证明：由绝对值不等式的性质可知f(x)=|2x −3|−|x +1|≤|(2x −3)+(x +1)|=|3x −2|， 等价于|3x −2+(−x −1)|≤|3x −2|+|x +1|，当且仅当(3x −2)(−x −1)≥0，即−1≤x ≤23时等号成立， 故M =[−1,23]，因为a ，b ∈M ， 所以−1≤a ≤23,−1≤b ≤23， 所以0≤(a +1)2≤259，19≤(b −1)2≤4， 所以(a +1)2−(b −1)2≤259−19=83．即a 2−b 2+2a +2b ≤83．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，不等式的性质，属于中档题．(Ⅰ)讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；(Ⅱ)根据绝对值三角不等式得出M ，即a ，b 的范围，再得出(a +1)2和(b −1)2的范围，利用不等式的性质即可得出结论．18.答案：解：(1)由椭圆C ：x 24+y 23=1，a =2，b =√3，则{x =2cosθy =√3sinθ，(θ为为参数)， 将t =y −2√3代入x =−3+√3t ，整理得：x −√3y +9=0，椭圆C 的参数方程{x =2cosθy =√3sinθ，(θ为为参数)，直线l 的普通方程x −√3y +9=0；(2)设P(2cosθ,√3sinθ)，则丨AP 丨=√(2cosθ−1)2+(√3sinθ)2=2−cosθ， 由丨AP 丨=32，得2−cosθ=32，又sin 2θ+cos 2=1，得sinθ=±√32，cosθ=12．点P 的坐标(1,±32). ∴点P 的坐标(1,±32).解析：(1)由椭圆方程可知：a =2，b =√3，sin 2θ+cos 2=1，可求得其参数方程，将t =y −2√3代入x =−3+√3t ，即可求得直线l 的普通方程；(2)设P(2cosθ,√3sinθ)，利用两点之间的距离公式，即可求得2−cosθ=32，即可求得点P 的坐标． 本题考查椭圆及直线的参数方程，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 19.答案：(1)证明：连接AC ，由AE = //CG 可知四边形AEGC 为平行四边形，所以EG//AC ． 由题意易知BF ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BF ，又因为AC ⊥BD ，所以EG ⊥BD ，EG ⊥BF ，因为BD ∩BF =B ，BD ，BF ⊂平面BDHF ，所以EG ⊥平面BDHF ，又DF ⊂平面BDHF ，所以EG ⊥DF ．(2)解：设AC ∩BD =O ，EG ∩HF =P ，由已知可得：平面ADHE//平面BCGF ，FG ⊂平面BCGF ，所以FG//平面ADHE ，因为平面GFEH ∩平面ADHE =EH ，FG ⊂平面GFEH ，所以FG//EH ，同理可得：EF//HG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点，所以OP = //AE ，从而OP ⊥平面ABCD ，又OA ⊥OB ，所以OA ，OB ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O −xyz ，则OP =3，DH =4，由平面几何知识，得BF =2．则A(2√3,0,0)，C(−2√3,0,0)，F(0,2，2)，H(0,−2,4)，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,2)，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,2)，HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)． 设平面AFH 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，可得{−2√3x +2y +2z =04y −2z =0， 令y =1，则z =2，x =√3，所以n ⃗ =(√3,1,2)．同理，可得平面CFH 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−√3,1,2)．设平面AFH 与平面CFH 所成角为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√8×√8=14， 所以sinθ=√154， 即二面角A −HF −C 的正弦值为√154．解析：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．(1)连接AC，证明EG//AC.推出EG⊥BD，EG⊥BF，证明EG⊥平面BDHF，然后证明EG⊥DF．(2)OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O−xyz，OP=3，DH=4，求出平面AFH 的法向量，平面CFH的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的正弦函数值即可．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1−(0.04+0.02)×10=0.4，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40,50)内的频率为：1−(0.04+0.02+0.02+0.01)×10−0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为400×0.05=20人．解析：本题考查频率分布直方图的应用和用样本估计总体，属基础题，难度不大．(Ⅰ)由频率分布直方图求出分数小于70的频率，进而得从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(Ⅱ)由样本估计总体得出总体中分数在区间[40,50)内的人数．21.答案：证明：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，…( 1分)若t=1，则f(x)=e x−1−lnx，f′(x)=e x−1−1x.…(2分)因为f′(1)=0，…(3分)且0<x<1时，e x−1<e0=1<1x，即f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减；…(4分)x>1时，e x−1>e0=1>1x，即f′(x)>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增；…(5分)所以x=1是函数f(x)的极小值点；…(6分)(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，t>0．f′(x)=te t(x−1)−tx =t(e t(x−1)−1x)；…(7分)令g(x)=e t(x−1)−1x ，则g′(x)=te t(x−1)+1x2>0，故g(x)单调递增．…(8分)又g(1)=0，…(9分)当x>1时，g(x)>0，因而f′(x)>0，f(x)单增，即f(x)的单调递增区间为(1,+∞)；当0<x<1时，g(x)<0，因而f′(x)<0，f(x)单减，即f(x)的单调递减区间为(0,1).…(11分)所以x∈(0,+∞)时，f(x)≥f(1)=1≥0成立．…(12分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；(Ⅱ)求出函数的导数，令g(x)=e t(x−1)−1x，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．22.答案：证明：(1)依题意A(0,1)，C(0,−1)，设B(x 1,y 1)，则x 1≠0，且x 124+y 12=1，设直线BA ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 1+1x 1=y 12−1x 12=−14x 12x 12=−14≠−1，∴BA 与BC 不垂直，∴四边形ABCD 不可能是矩形．(2)设P(x 0,y 0)，则x 0>0，y 0<0，且x 024+y 02=1， ∴直线PA 的方程为y =y 0−1x 0x +1，令y =0，得x =x 01−y 0， 则M(x 01−y 0,0)，直线PB 的方程为：y =y0x 0+2(x +2)， ∴N(0,2y 0x 0+2)，∵|BM|=94|AN|，∴x 01−y 0+2=94(1−2y 0x 0+2)，∴4x 0+9y 0−1=0，由{4x 0+9y 0−1=0x 024+y 02=1，可得145x 02−32x 0−320=0， 解得x 0=85，或x 0=−4029(舍去)，∴P(85,−35)，M(1,0)，N(0,−13)，故|MN|=√103．解析：(1)B(x 1,y 1)，根据斜率公式即可证明，(2)设P(x 0,y 0)，分别求出直线PA ，PB 的方程，求出点M ，N 的坐标，再根据|BM|=94|AN|，结合点P 在椭圆上即可求出．本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系等知识，考查了运算求解能力，推理论证能力等，考查数形结合思想，函数与方程的思想，化归与转化思想等，属于中档题．。