第10讲 变化率与导数、导数的计算

第10讲变化率与导数、导数的计算◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0).(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝ f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [知识感悟]1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商(及其复合运算)的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．[知识自测]1．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2[解析] 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ， a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，当t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14. [答案] A2．(2018·湖南怀化一模)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．2B ．1 C.12D ．0[解析] 根据图象知，函数y ＝f (x )的图象与在点P 处的切线交于点P ，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)为函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线的斜率，∴f ′(5)＝－1；∴f (5)＋f ′(5)＝2.故选：A.[答案] A3．(天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为 ________ .[解析] f ′(x )＝a (1＋ln x )，∴f ′(1)＝a ＝3. [答案] 3题型一 导数的计算(基础保分题，自主练透)(1)求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e ；[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12－⎝⎛⎭⎫x 12′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln xx 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cosx )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.方法感悟 导数计算的方法1．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；2．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； 3．对数形式：先化为和、差的形式，再求导； 4．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；5．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；提醒：求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．【针对补偿】1．求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .[解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2 ＝－sin x ＋cos xe x.题型二 导数运算的应用(重点保分题，共同探讨)(1)(2018·湖北重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94(2)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为 ________ .[解析] (1)因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.(2)因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096. [答案] (1)C (2)4 096方法感悟在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误． 【针对补偿】2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0[解析] ∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2， ∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2. [答案] B3．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)＝______.[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x ，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018，即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019. [答案] －2 019题型三 导数的几何意义(高频考点题，多角突破) 考向一 求切线方程1．(2018·豫东、豫北十所名校联考)已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2x [解析] 因为f (x )＝2e x sin x ，所以f (0)＝0，f ′(x )＝2e x ·(sin x ＋cos x )，所以f ′(0)＝2，所以曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .[答案] B考向二 求切点坐标2．(高考江西卷)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ________ .[解析] 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x ，所以y ′＝－e －x ，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2，所以y 0＝e ln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2,2)． [答案] (－ln 2,2) 考向三 求参数值3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2[解析] ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2，故选D. [答案] D3．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ ________ .[解析] 因为y ′＝1＋1x ，所以y ′|x ＝1＝2，故切线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y－1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，由Δ＝0，得a ＝8. [答案] 8考向四 切线方程的应用4．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016的值为______．[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝12 017，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2017x 2 016＝log 2 017(x 1x 2…x 2 016)＝－1.[答案] －1方法感悟导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【针对补偿】4．(2018·成都质检)已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6][解析] f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．[答案] C5．(2018·湖北武汉五月模拟)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫3π4，πB.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫0，π4 [解析] 求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ×e －x ＋2＝4∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，∵0<α<π， ∴3π4≤α＜π. [答案] A6．(2018·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278B ．－2C ．2D ．－278[解析] 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝f ′(t )＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )·(x －t )．② 将点(1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解之得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278.故选A.[答案] A◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(十三)[A 基础巩固练]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)[解析] f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． [答案] C2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[解析] ∵y ＝1－2x ＋2＝xx ＋2，∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. [答案] A3．(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4[解析] 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. [答案] B4．(2018·福建省四校第一次联考)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( )A ．10B ．5C ．－1D ．－37[解析] ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标(1,10)，∴切线的方程为：y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37，故选D.[答案] D5．(2018·广东深圳4月调研)过直线y ＝x ＋1上的点P 作圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝2的两条切线l 1、l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x ＋1对称时，|PC |＝( )A ．3B ．2 2C ．1＋2D ．2[解析] 由题设可知当CP ⊥l ：y ＝x ＋1时，两条切线l 1，l 2关于直线l ：y ＝x ＋1对称，此时|CP |即为点(1,6)到直线l ：y ＝x ＋1的距离，即d ＝|1－6＋1|1＋1＝42＝22，应选答案B.[答案] B6．(2018·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A7．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．若f (x )＝2f ′(x )，则1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x＝______.[解析] 根据题意，函数f (x )＝sin x ＋cos x ， 则f ′(x )＝cos x －sin x ，又由f (x )＝2f ′(x )， 即sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， 变形可得cos x ＝3sin x ， 即tan x ＝13，1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ，又由tan x ＝13，则1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝116； [答案]1168．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 017⎝⎛⎭⎫π2＝______. [解析] f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 017⎝⎛⎭⎫π2＝504⎣⎡⎦⎤f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＋f 1⎝⎛⎭⎫π2＝1 [答案] 19．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是______． [解析] 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．[答案] (e ，e)10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 能力提升练]1．(2018·安徽蚌埠二模)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 [解析] ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即得a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解，设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴x ＜2，y ′＜0，x ＞2，y ′＞0∴x ＝2时，函数取得极小值－e －2，∴0＞a ＞－e －2.[答案] D2．(2016·四川卷)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设x 1＞1,0＜x 2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知得k 1k 2＝－1.∴x 1x 2＝1，∴x 2＝1x 1.∴切线l 1的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝⎛⎭⎫x －1x 1. 分别令x ＝0得A (0，－1＋ln x 1)，B (0,1＋ln x 1)．又l 1与l 2的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 11＋x 21，ln x 1＋1－x 211＋x 21.∵x 1＞1，∴S △P AB ＝12|y A －y B |·|x P |＝2x 11＋x 21＜1＋x 211＋x 21＝1，∴0＜S △P AB ＜1，故选A. [答案] A3．(2018·北京市朝阳区二模)设P 为曲线C 1上动点，Q 为曲线C 2上动点，则称|PQ |的最小值为曲线C 1，C 2之间的距离，记作d (C 1，C 2)．若C 1∶x 2＋y 2＝2，C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝2，则d (C 1，C 2)＝______； 若C 3∶e x －2y ＝0，C 4∶ln x ＋ln 2＝y ，则d (C 3，C 4)＝______.[解析] C 1(0,0)，r 1＝2，C 2(3,3)，r 2＝2，d (C 1，C 2)＝32－2－2＝2； ∵C 3：e x －2y ＝0，C 4：ln x ＋ln 2＝y 互为反函数， 先求出曲线e x －2y ＝0上的点到直线y ＝x 的最小距离． 设与直线y ＝x 平行且与曲线e x －2y ＝0相切的切点P (x 0，y 0)． y ′＝12e x ，∴12e x 0＝1，解得x 0＝ln 2，∴y 0＝1.得到切点P (ln 2,1)，到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，丨PQ 丨的最小值为2d ＝2(1－ln 2)， 故答案为2，2(1－ln 2)． [答案]2；2(1－ln 2)4．(2018·湖南衡阳第三次联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y 在D 上的最小值为______．[解析] 当x ＞0时，f ′(x )＝1x ，则f ′(1)＝1所以曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线为y ＝x －1, 区域D 可作图如下则根据线性规划的目标点的选取z ＝x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，将其转化为可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值，有可行域可知，定点(－1，－1)到直线y ＝－2x －1的距离为|－2－1＋1|5＝25，所以可行域D 内取一点(x ，y )与定点(－1，－1)之间距离的平方与2的差的最小值45－2＝－65.[答案] －655．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[C 尖子生专练](2018·河北唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。