弹性力学的变分解法

七、弹性力学参量的下标表示法
前面给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其 表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示 方法。 下标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。 1. 下标符号 具有相同性质的一组物理量，可用一个带下标的字母表示： 如：位移分量 u, v, w 表示为 u1, u2, u3 ，缩写为ui（i=1,2,3） 体力分量 X, Y, Z 表示为X1, X2, X3 ，缩写为Xi（i=1,2,3） 坐标 x, y, z 表示为x1, x2, x3 ，缩写为xi（i=1,2,3） 单位矢量 i, j, k 表示ei（i=1,2,3）。
( G ) , i G 2ui X i 0 (i 1 , 2 , 3) E —— 拉梅常数 (1 )(1 2 )
x y z ij ij
—— 体积应变
(2) 几何方程
1 ij ui , j u j , i 2
二、变分法
变分法是研究求泛函的极大 值和极小值的方法
三、变分法发展的三个古典问题
1、最速降线问题 确定一条曲线，连接不在同一铅直线上所 给二点A和B，使它具有：当质点沿这条 线由A滑至B时所需的时间为最小。 即求泛函： 2 的极小值
y A
J
x1
1 y 2 gy
x0
dx
B
x
2、短程线问题 求曲面
S
2
t0
x y )dt ( xy
的极大值，且须满足

t1
t0
y dt l x
2 2
一般情况下，泛函具有如下形式：
F ( x, y, y)dx
a
b
其中被积函数 F ( x, y, y) 也是 y(x) 的泛函
四、函数的微分与泛函的变分 dy f dx ydx 函数的微分：
( x, y , z ) 0
x1
上所给二点间长度最短的曲线。
这是约束极值或条件极值问题。即求泛函：
J
x0
2 2 1 y z dx
的极小值，其中 y(x) 和 z(x) 应满足 ( x, y, z ) 0
3、等周问题 求长为一定的封闭线 l ，使其所围成的面积 S 为最大。 即求泛函： 1 t1
(i 1,2,3)
a a1e1 a2 e2 a3e3
求和指标
aij x j Pi
j 求和指标
i 非求和指标 称为自由指标
(i 1,2,3;
j 1,2,3)
a11 x1 a12 x2 a13 x3 P 1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 P2 a x a x a x P 3 31 1 32 2 33 3
1 F 2g 1 y 2 y
Fy Fxy Fyy y Fyy y 0
d ( F Fy y) 而 dx y( Fy Fxy Fyy y Fyy y) 0
不显含 x
尤拉方程有初积分形式：
F Fy y C
F Fy y C
(3) 物理方程 用应力分量表示应变分量
x
1 ij ij kk ij E E
1 x E E 1 y y E E 1 z z E E
用应变分量表示应力分量
1 xy xy 2 E yz 1 yz yz 2 E zx 1 zx zx 2 E
假设函数 y(x) 的形式发生改变而成为 新的函数 Y(x) ，如果对应于 x 的一个 定值，y 有微小增量 y
y
Y(x) y dx dy y(x)
y Y ( x) y ( x)
—— y(x) 的变分
( y) Y ( x) y( x) d (y ) 而 (y ) Y ( x) y( x)
3. 求导数的简记方法 微分算符简记法：
例:
, i xi ui ui , i u11 u 22 u33 xi
求和约定
, i xi x j xi ui ui ui , j ui , jk x j x j xk
六、变分问题的直接解法（里兹法） 里兹法——从一族假定解中寻找满足泛函变分的“最佳”解
n
取满足边界条件的试函数 其中 Ci —— 待定系数
y ( x) CiU i
i 1
U i —— 基函数
确定 Ci 使泛函 达到极值 0 , (i 1 , 2 , , n) Ci
Ci
v u xy yx x y w v yz zy y z w u zx xz x z
u x x v y y w z z
求泛函 [ y ( x)]

x1
x0
F ( x, y ( x), y( x))dx
的极值，其中容许函数（能确定泛函的曲线）的边界点是固定 的，且 y ( x0 ) y0 , y ( x1 ) y1 ，函数 F ( x, y, y) 三阶可微 x1 F F 其变分为 [ y y]dx x0 y y dy dy dx d (y ) 看积分第2项 (y)dx ( )dx dx dx x1 不动边界 x1 F x1 d F F 分部积分 ydx ( )ydx y 0 x0 y x0 dx y y x0 x1 F d F [ ( )]ydx x0 y dx y F d F y(x) 能使 取得极值的必要条件是： ( ) 0 尤拉方程 y dx y 或 Fy Fxy Fyy y Fyy y 0
弹性力学的变分解法 一、泛函
定义：凡变量的值是由一个或几个函数的选取而确定者，这个 变量就叫做泛函 如：连接给定两点的曲线弧的长 l 是一个泛函（因这个量是由 函数 y=y(x) 的选取而确定的）
l[ y ( x)]
x1
y
x0
1 y2 dx
B(x1 ,y1 ) y=y(x) A(x0 ,y0 ) x
dx
( y) (y )
—— 导数的变分 = 变分的导数
x
泛函的变分：考察泛函 F(x, y, y’) 当函数 y(x) 具有变分 y 时， 泛函的增量可用泰勒展开：
y 也有变分y
F F F ( x, y y , y y) F ( x, y , y) y y （y及y高阶项） y y F F y y —— 泛函F 的变分 定义： F y y
例：最速降线问题 将坐标原点置于A点，质点的运动速度为 ds 2 gy dt 从 A(0,0) 滑至B(x1 ,y1 ) 所用时间为
1 t [ y ( x)] 2g 1 y 2 y
A
x
B y

x1
0
dy
y (0) 0 , y ( x1 ) y1
尤拉方程
求泛函 t 的极值函数 y(x)
考察泛函 [y(x)]， 的增量为：
b b

a b
F ( x, y y, y y) dx F ( x, y, y) dx
a

[ F ( x, y y, y y) F ( x, y, y)]dx
a
[F (y及y的高阶项)]dx (F ) dx (y及y的高阶项)dx
应力分量：
x xy xz yx y yz zx zy z
11 12 13 21 22 23 31 32 33
可表示为：
缩写为： ij ( i 1 , 2 , 3 ; j 1 , 2 , 3 )
即
1 y y
2

y
2 2
2 y ( 1 y ) C1 化简后：
C
y (1 y )
引进参数 t ，使
y ctg t
C1 C1 C1 2 y C1 sin t (1 cos 2t ) 2 2 1 y 1 ctg t 2 dy 2C1 sin t cos tdt dx 2C1 sin 2 tdt C1 (1 cos 2t ) dt y ctg t sin 2t C1 x C1 (t ) C2 ( 2t sin 2t ) C2 2 2 C1 C1 x (t1 sin t1 ) x C2 (2t sin 2t ) 2 2 C1 C1 y (1 cos t1 ) y (1 cos 2t ) 2 2 —— 圆滚线 C2 0 令 2t t1 ，且因y=0, x=0 时，
x y z
xy
ij ij 2G ij
(4) 边界条件 力边界条件: 位移边界条件:
应变分量：
x yx zx
xy xz y yz zy z
13 x 1 23 yx 2 1 33 zx 2 1 xy 2 1 xz 2 1 yz 2 z
1 i j ij 0 i j
11 12 13 1 0 0 0 1 0 ij 22 23 21 31 32 33 0 0 1 ij 具有如下性质 (1) ii 3
(2) ij Ai A j 同理:

ij 也称换名算子
aik kj Aij
5. 弹性力学的下标表示法
(1) 平衡微分方程 应力分量表示：
ij , j X i 0 (i 1, 2, 3)
位移分量表示：