数学 2.4.2等比数列的基本性质及其应用教学设计 新人教A版必修5

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人教A版数学必修五 §2.4《等比数列》教案【精品教案】.doc

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..a”+「b”+]一39;
它是一个与n无关的常数,所以{a”也}是一个以q心为公比的等比数列 拓展探究:
对于例4中的等比数列{a”}与{b”},数列{他}也一定是等比数列吗?
b”
探究:设数列{ a” }与lbn}的公比分别为厲和0 ,令c”二他,则 一b”
c_a“+i

II•讲授新课
1.等比中项:如果在a与“中间插入一个数
G,使a, G,b
成等比数列,那么称这个数G为a与〃的等比中项.
即G=± Jab
(&,b同号)
如果在a与b中间插入一个数G,使a, G,"成等比数列,则
G
=—=>G2=ab
a G=±\[ab ,
a
G
河北武中•宏达教育集团教师课时教案
教 学 过 程 及 方 法
结论:2.等比数列的性质:若m+n=p+k,则aman=apak在等比数列中,m+n=p+q,am,an,ap,ak有什么关系呢? 山定义得:勺”=%/"7an=axqn~{ap=a{qp~xak= a, •qk~'
am 'an =ai Q,ap'ak =ai Q则aman =aPak
学生分析回 答
c”+i--—
b”+i
.启=/分=(如L)(如1)=鱼,所以,数列{5l}也一定是等
C”an/anbnq2bn
/Un
比数列。
课本P59的练习4
已知数列{a”}是等比数列,
(1)tzf=(z,a7是否成立?a;=叩9成立吗?为什么?
(2)a:=〉1)是否成立?你据此能得到什么结论?
a;=an_kan+k(n>k>0)是否成立?你又能得到什么结论?

高中数学 2.4 等比数列教案1 新人教A版必修5

高中数学 2.4 等比数列教案1 新人教A版必修5

2.4等比数列教学目标知识与技能目标:1.等比数列的定义;2.等比数列的通项公式.过程与能力目标:1.明确等比数列的定义;2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道n a ,1a ,q ,n 中的三个,求另一个的问题. 情感态度与价值观通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.教学重点:1.等比数列概念的理解与掌握;2.等比数列的通项公式的推导及应用. 教学难点:等差数列"等比"的理解、把握和应用.教学过程学生自学:(1)阅读课本P48页-P49页上部分内容。

(2)思考数列1,2,3,4的共同特点是什么?二、新课 (抽生回答)共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数.1.等比数列的定义:一般地,若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比,用字母q 表示(q ≠0),即:1-n na a =q (q ≠0).思考:(1)等比数列中有为0的项吗? (2)公比为1的数列是什么数列?(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗?(4)常数列都是等比数列吗? (抽生回答,相互补充,直至完整)(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ; {n a }成等比数列⇔n n a a 1+=q (+∈N n ,q ≠0.)(2) 隐含:任一项00≠≠q a n 且(3) q= 1时,{an}为常数数列. (4).既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.2.等比数列的通项公式1:)0,(111均不为q a q a a n n -⋅= 观察法:由等比数列的定义,有:q a a 12=;21123)(q a q q a q a a ===; 312134)(q a q q a q a a ===;… …)0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ,. 迭乘法:由等比数列的定义,有:q a a =12;q a a =23;q a a =34;…;q a a n n =-1所以11342312--=⋅⋅nnn qaaaaaaaa,即)0(111≠⋅=-qaqaa nn,3.等比数列的通项公式2:)0(≠⋅=-qaqaammnmn,三、例题讲解例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项. 例2.求下列各等比数列的通项公式:例3.已知数列{an}满足12,111+==+nnaaa,(1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式。

【高中教育】高中数学 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5.doc

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2.4等比数列教学目标知识与技能目标:等比中项的概念;掌握"判断数列是否为等比数列"常用的方法;进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用.过程与能力目标:明确等比中项的概念;进一步熟练掌握等比数列的通项公式、1.通过对等比数列更多性质的探究,培养学生的良好的思维品质和思维习惯,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决,培养学生认识社会、了解社会的意识,更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点;等比数列的通项公式、性质及应用.教学难点:灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题. 教学过程 一、复习1.等比数列的定义. 2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ,)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ,)0,(≠=B A AB a n n3.{an }成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4.求下面等比数列的通项公式:(1)5,-15,45,……;(2)1.2,2.4,4.8,……; 二、新课:思考:类比等差中项的概念,你能说出什么是等比中项吗?1.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a, G ,b 成等比数列,那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab (a,b 同号) ,则ab G ab G G ba G ±=⇒=⇒=2,反之,若G 2=ab,则G ba G =,即a,G,b ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab (a ·b ≠0)例1.三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数, 有已知得m+n+ G =14,64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题,猜测并推广,得 等比数列的性质:若m+n=p+k ,则kp n m a a a a =证明:由定义得:11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ,221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +.解: ∵{na }是等比数列,∴ 2a 4a +23a 5a +4a 6a =(3a +5a )2=25,又na >0, ∴3a +5a =5;3.判断等比数列的常用方法:定义法,中项法,通项公式法 例3.已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列,求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明:设数列{}n a 的首项是1a ,公比为1q ;{}n b 的首项为1b ,公比为2q ,那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nnn n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数,所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考;(1){an }是等比数列,C 是不为0的常数,数列{}n ca 是等比数列吗?试证明。

高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5

高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5

6-2log 8 = 0,
= 2,

= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页,共30页。
问题
(wèntí)导

课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:

(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,

可设 3 , ,aq,aq3.

第 2 课时
等比数列的性质
第一页,共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数

列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;

难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页,共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
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当堂(dānɡ
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【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)

【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)

知识改变命运,学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚邮箱:zxjkw@第 1 页共 5 页课题: §2.4等比数列授课类型:新授课(第1课时)●教学目标知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导;过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。

●教学重点等比数列的定义及通项公式●教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习:等差数列的定义:n a -1n a =d ,(n ≥2,n ∈N )等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P41页的4个例子:①1,2,4,8,16,,②1,12,14,18,116,,③1,20,220,320,420,,④10000 1.0198,210000 1.0198,310000 1.0198,410000 1.0198,510000 1.0198,,,观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征?共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。

Ⅱ.讲授新课1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:1n na a =q (q ≠0)1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) {n a }成等比数列n n a a 1=q (Nn ,q ≠0)。

新人教A版数学必修5课件:2.4 第二课时 等比数列的性质及应用

新人教A版数学必修5课件:2.4 第二课时 等比数列的性质及应用

(2)求证{an+1-2an}是等比数列;
(2)证明:法一 由(1)知 an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n, 所以 an+2-2an+1=(Sn+1+2n+2)-(Sn+1+2n+1)=2n+1,所以 an2 2an1 =2,
an1 2an 所以数列{an+1-2an}是首项为 a2-2a1=2,公比为 2 的等比数列. 法二 由 Sn=2an-2n 得 Sn+1=2an+1-2n+1, 所以 Sn+1-Sn=an+1=2an+1-2n+1-2an+2n, 即 an+1-2an=2n, 同理得 Sn+2-Sn+1=an+2=2an+2-2n+2-2an+1+2n+1,即 an+2-2an+1=2n+1,所以 an2 2an1 =2,
解:法一 设这四个数依次为 a-d,a,a+d, (a d )2 (a≠0), a
由条件得
a a

(a d)2 d
a (a d ) 12,

16,
解得
a d

4, 4,

a d

9, 6.
所以当 a=4,d=4 时,所求四个数分别为 0,4,8,16;
质,am·an=ak·al= at2 (m,n,k,l,t∈N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系 m+n=k+l=2t,它们往往涉及其中的四项或三项,注意不要和等差数列相应的性质 相混淆.

高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5

高中数学 2-4-2等比数列的性质课件 新人教A版必修5

1 1 ∴{bn}是首项为 a-4,公比为2的等比数列.
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中, 已知 a1 =1,且 a1=b1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q; (2)是否存在常数 a, b 使得对一切正整数 n, 都有 an=logabn +b 成立?若存在,求出 a 和 b;若不存在,说明理由.
1 bn+1 2n 1d 1 ∴ = = , bn 1 2 2nd

∴数列{bn}是等比数列.
[辨析]
①在解方程变形过程中,不可在方程两边同时约
去含未知量的因式, 错解中, 由 d2=a1d 约去 d 得出 d=a1 是错 bn+1 误的, ②在判定{bn}是等比数列, 做除法 b 时, 应先说明 bn≠0. n
等比数列的综合应用
1 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 = a≠ 4 , 且 an + 1 =
n为偶数 . n为奇数
1 记 bn=a2n-1-4,n=1,2,3,„„. (1)求 a2、a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
[解析]
1 1 1 1 1 (1)a2=a1+4=a+4,a3=2a2=2a+8.
(8){an}是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项积相 等,且等于首末两项之积.即:a1an=a2 an-1 =a3 an-2 =„= ak an-k+1 .
(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列,则 数列{lg an}是公差为 lgq 的等差数列.
重点难点展示
重点:等比数列的性质. 难点:灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题.
[正解]
∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,

高中数学 2.4.2等比数列的基本性质及其应用教学设计

高中数学 2.4.2等比数列的基本性质及其应用教学设计

2.4.2 等比数列的基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识,以教材练习中提供的问题作为基本材料,认识等比数列的一些基本性质及内在的联系,理解并掌握一些常见结论,进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决,渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.教学中以师生合作探究为主要形式,充分调动学生的学习积极性.教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中,抽象出等比数列关系,并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法,发挥学生的主体作用,引导学生探究问题的解决方法,经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究,培养学生的良好的思维品质和思维习惯,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决,培养学生认识社会、了解社会的意识,更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题,请学生课外进行活动探究,现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生 由学习小组汇报探究结果. 师 对各组的汇报给予评价.师 出示多媒体幻灯片一:第3题、第4题详细解答: 第3题解答:(1)将数列{a n }的前k 项去掉,剩余的数列为a k+1,a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2,…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以,{b n }是等比数列,即a k+1,a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21,…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项,q 10为公比的等比数列.猜想:在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项,组成一个新数列,这个数列是以a 1为首项、q m为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到,等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列,可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答:(1)设{a n }的公比是q ,则a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8,而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n >1).由此得出,a n 是a n -1和a n +1的等比中项,同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n >k >0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n >k >0).师 和等差数列一样,等比数列中蕴涵着许多的性质,如果我们想知道的更多,就要对它作进一步的探究.推进新课[合作探究] 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n },计算a 7+a 10,a 8+a 9和a 10+a 40,a 20+a 30,你发现了什么一般规律,能把你发现的规律用一般化的推广吗?从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论?师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”,你打算用一个什么样的等差数列来计算? 生 用等差数列1,2,3,…师 很好,这个数列最便于计算,那么发现了什么样的一般规律呢? 生 在等差数列{a n }中,若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *),则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”,如何做? 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一:等差数列与函数之间的联系. [教师精讲]师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列{a n }的图象,可以看出qsa a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质,有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论?生 猜想对于等比数列{a n },类似的性质为:k+s=p+t(k,s,p,t∈N *),则a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明:设等比数列{a n }公比为q , 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·qk+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出:经过上述猜想和证明的过程,已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中,若k+s=p+t(k,s,p,t∈N *),则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论:(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积; (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗? 生 思考、列式、合作交流,得到:结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形; 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考,得出上述联系,并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2:例题2例题2(1)在等比数列{a n }中,已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; (2)在等比数列{b n }中,b 4=3,求该数列前七项之积; (3)在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成,充分让学生思考,展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答:(1)在等比数列{a n }中,已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18. 解:∵a 1a 18=a 9a 10,∴a 18=51001109 a a a =20. (2)在等比数列{b n }中,b 4=3,求该数列前七项之积. 解:b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5,∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,求a 8. 解:.∵a 5是a 2与a 8的等比中项,∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458.另解:a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. [合作探究]师 判断一个数列是否成等比数列的方法:1、定义法;2、中项法;3、通项公式法. 例题3:已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论?证明你的结论. a n b n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例n )32(3⨯ -5×2n -11)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格,我们可以得到什么样的结论?如何证明?生 得到:如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列,那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n +1项分别为a 1pn -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ,因为pq q b p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111,它是一个与n 无关的常数,所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. [教师精讲]除了上面的证法外,我们还可以考虑如下证明思路: 证法二:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n +1项(n >1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1pn -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ,因为(a n b n )2=(a 1pn -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p nb 1q n)=(a 1b 1)2(pq)2(n -1),即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n >1,n ∈N *), 所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识,我们还可以直接对数列的通项公式考察:证法三:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的通项公式为a nb n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(p q)n -1,所以{a n ·b n }是一个等比数列.课堂小结本节学习了如下内容:1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例 1 例2 例 3习题详解(课本第60页习题2.4)A 组1.(1)a 7=a 4·q 3=27×(-3)3=-729. (2)设等比数列{a n }的公比是q(q≠0),⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⇔⎩⎨⎧=-=-②①.6)1(,15)1(61521412415q q a q a a a a a ②÷①,整理得6q 2-15q+6=0, 解方程得q=2或21=q . 由a 4-a 2=6,得a 3(q-q -1)=6, ③所以,当q=2时,由③得,a 3=4当21=q 时,由③得a 3=-4. 2.设n 年后,需退耕a n ,则{a n }是一个等比数列,其中a 1=8,q=0.1.那么2005年需退耕a 5=a 1(1+q)5=8(1+0.1)5=13(万公顷).3.若{a n }是各项均为正数的等比数列,则首项a 1和公比q 都是正数, 由a n =a 1qn -1,得121121111)(---===n n n n q a qa qa a ,所以数列{a n }是以a 1为首项,21=q 为公比的等比数列. 4.这张报纸的厚度为0.05 mm ,对折一次后厚度为0.05×2 mm,再对折后厚度为0.05×22mm ,再对折后厚度为0.05×23mm ,设a 0=0.05,对折n 次后报纸的厚度为a n ,则{a n }是一个等比数列,公比q=2,对折50次后,报纸的厚度为a 50=a 0q 50=0.05×250≈5.63×1013=5.63×1010 (m).这时报纸的厚度已经超过地球和月球之间的平均距离(约3.84×108m),所以能够在地球和月球之间建一座桥.5.设年平均增长率为q ,a 1=105,n 年后空气质量为良的天数为a n ,则{a n }是一个等比数列,由a 3=240,得a 3=a 1(1+q)2=105(1+q)2=240,解得q=105240-1≈0.51. 6.由已知条件,知2b a A +=,G=ab,且2)(222b a ab b a ab b a G A -=-+=-+=-≥0,所以有A ≥G,等号成立的条件是a =b .而a ,b 是互异正数,所以一定有A >G. 7.(1)±2 (2)±ab (a 2+b 2) 8.略B 组1.证明略2.(1)设生物死亡时,体内每克组织中的碳14的含量为1,每年的衰变率为q ,n 年后的残留量为a n ,则{a n }是一个等比数列,由碳14的半衰期为5 730,则a n =a 1q5 730=q5 730=21,解得57301)21(=q ≈0.999 879.(2)设动物约在距今n 年前死亡,由a n =0.6,得a n =a 1q n=0.999 879n=0.6, 解得n ≈4 221,所以动物约在距今4 221年前死亡. 3.略备课资料备用例题1.已知无穷数列5010,5110,5210 ,…, 5110-n ,….求证:(1)这个数列成等比数列;(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的101; (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.证明:(1)101101010154511===-+--n n n n a a (常数),∴该数列成等比数列. (2)101101010154515===-+-+n n n n a a ,即:5101+=n n a a . (3)a p a q =525151101010-+--=q p q p ,∵p,q∈N ,∴p+q≥2.∴p+q -1≥1且(p+q-1)∈N .∴5210-+q p ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-5110n (第p+q-1项).2.设a ,b ,c,d 均为非零实数,(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c 2=0, 求证:a ,b ,c 成等比数列且公比为d .证法一:关于d 的二次方程(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c 2=0有实根, ∴Δ=4b 2(a +c)2-4(a 2+b 2)(b 2+c 2)≥0.∴-4(b 2-a c)2≥0.∴-(b 2-a c)2≥0. 则必有:b 2-a c=0,即b 2=a c ,∴a ,b ,c 成等比数列. 设公比为q ,则b =a q,c=a q 2代入 (a 2+a 2q 2)d 2-2a q(a +a q 2)d +a 2q 2+a 2q 4=0. ∵(q 2+1)a 2≠0,∴d 2-2q d +q 2=0,即d =q≠0. 证法二:∵(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c 2=0, ∴(a 2d 2-2abd +b 2)+(b 2d 2-2b c d +c 2)=0. ∴(ad -b )2+(bd -c)2=0.∴ad =b ,且bd =c. ∵a ,b ,c,d 非零,∴d bca b ==d .∴a ,b ,c 成等比数列且公比为d .。

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2.4.2 等比数列的基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识,以教材练习中提供的问题作为基本材料,认识等比数列的一些基本性质及内在的联系,理解并掌握一些常见结论,进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决,渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等教学中以师生合作探究为主要形式,充分调动学生的学习积极性教学重点1.探究等比数列更多的性质2.解决生活实际中的等比数列的问题教学难点渗透重要的数学思想教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中3.能在生活实际的问题情境中,抽象出等比数列关系,并能用有关的知识解决相应的实际问题二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法,发挥学生的主体作用,引导学生探究问题的解决方法,经历解决问题的全过程3.当好学生学习的合作者的角色三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究,培养学生的良好的思维品质和思维习惯,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力2.通过生活实际中有关问题的分析和解决,培养学生认识社会、了解社会的意识,更多地知道数学的社会价值和应用价值教学过程导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题,请学生课外进行活动探究,现在请同学们把你们的探究结果展示一下生 由学习小组汇报探究结果 师 对各组的汇报给予评价师 出示多媒体幻灯片一:第3题、第4题详细解答: 第3题解答:(1)将数列{a n }的前k 项去掉,剩余的数列为a k+1,a k+2,….令b i =a k+i则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2,因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以,{b n }是等比数列,即a k+1,a k+2,…是等比数列 (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21,…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项,q 10为公比的等比数列猜想:在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项,组成一个新数列,这个数列是以a 1为首项、q m为公比的等比数列◇本题可以让学生认识到,等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列,可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法第4题解答:(1)设{a n }的公比是q ,则a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8所以a 52=a 3·a 7.同理,a 52=a 1·a 9(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n >1).由此得出,a n 是a n -1和a n +1的等比中项,同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n >k >0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n >k >师 和等差数列一样,等比数列中蕴涵着许多的性质,如果我们想知道的更多,就要对它作进一步的探究推进新课[合作探究] 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n },计算a 7+a 10,a 8+a 9和a 10+a 40,a 20+a 30,你发现了什么一般规律,能把你发现的规律用一般化的推广吗?从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论?师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”,你打算用一个什么样的等差数列来计算? 生 用等差数列1,2,3,师 很好,这个数列最便于计算,那么发现了什么样的一般规律呢? 生 在等差数列{a n }中,若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *),则a k +a s =a p +a q师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”,如何做?生 思考、讨论、交流师 出示多媒体课件一:等差数列与函数之间的联系[教师精讲]师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列{a n }的图象,可以看出qs a a p k a a q s p k ==,根据等式的性质,有1=++=++qp sk a a a a q p s k所以a k +a s =a p +a q师 在等比数列中会有怎样的类似结论?生 猜想对于等比数列{a n },类似的性质为:k+s=p+t(k,s,p,t∈N *),则a k ·a s =a p ·a t师 让学生给出上述猜想的证明证明:设等比数列{a n }公比为q , 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·qk+s-2a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2因为所以有a k ·a s =a p ·a t师 指出:经过上述猜想和证明的过程,已经得到了等比数列的一个新的性质即等比数列{a n }中,若k+s=p+t(k,s,p,t∈N *),则有a k ·a s =a p ·a t师 下面有两个结论:(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积; (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方你能将这两个结论与上述性质联系起来吗?生 思考、列式、合作交流,得到:结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形; 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形 师 引导学生思考,得出上述联系,并给予肯定的评价 师 上述性质有着广泛的应用师 出示投影胶片2:例题2例题(1)在等比数列{a n }中,已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18(2)在等比数列{b n }中,b 4=3,求该数列前七项之积; (3)在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成,充分让学生思考,展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程解答:(1)在等比数列{a n }中,已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18解:∵a 1a 18=a 9a 10,∴a 18=51001109=a a a(2)在等比数列{b n }中,b 4=3,求该数列前七项之积解:b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5,∴前七项之积(32)3×3=37(3)在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,求a 8解:.∵a 5是a 2与a 8的等比中项,∴542=a 8×(-∴a 8=-另解:a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-[合作探究]师 判断一个数列是否成等比数列的方法:1、定义法;2、中项法;3、通项公式法例题3:已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论?证明你的结论师 请同学们自己完成上面的表师 根据这个表格,我们可以得到什么样的结论?如何证明?生 得到:如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列,那么{a n ·b n }也是等比数列证明如下:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n +1项分别为a 1pn -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ,因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==∙--++11111111它是一个与n 无关的常数,所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列[教师精讲]除了上面的证法外,我们还可以考虑如下证明思路: 证法二:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n +1项(n >1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1pn -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ,因为(a n b n )2=(a 1pn -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1)(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p nb 1q n)=(a 1b 1)2(pq)2(n -1)即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n >1,n ∈N *所以{a n ·b n }是一个等比数列师 根据对等比数列的认识,我们还可以直接对数列的通项公式考察:证法三:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的通项公式为a nb n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq)n -1所以{a n ·b n }是一个等比数列课堂小结本节学习了如下内容: 1.等比数列的性质的探究2.证明等比数列的常用方法布置作业课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题板书设计习题详解(课本第60页习题2.4)组1.(1)a 7=a 4·q 3=27×(-3)3=-(2)设等比数列{a n }的公比是⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⇔⎩⎨⎧=-=-②①.6)1(,15)1(61521412415q q a q aa a a a ②÷①,整理得6q 2- 解方程得q=2或21=q由a 4-a 2=6,得a 3(q-q -1)=6,所以,当q=2时,由③得,a 3=4当21=q 时,由③得a 3=-2.设n 年后,需退耕a n ,则{a n }是一个等比数列,其中a 1=8,q=0.1.那么2005年需退耕a 5=a 1(1+q)5=8(1+0.1)5=13(万公顷3.若{a n }是各项均为正数的等比数列,则首项a 1和公比q 都是正数, 由a n =a 1qn -1,得121121111)(---===n n n n q a qa q a a ,所以数列{a n }是以a 1为首项,21=q 为公比的等比数列4.这张报纸的厚度为0.05 mm ,对折一次后厚度为0.05×2 mm,再对折后厚度为0.05×22mm ,再对折后厚度为0.05×23mm ,设a 0=0.05,对折n 次后报纸的厚度为a n ,则{a n }是一个等比数列,公比q=2,对折50次后,报纸的厚度为a50=a 0q 50=0.05×250≈5.63×1013=5.63×1010这时报纸的厚度已经超过地球和月球之间的平均距离(约3.84×108m),所以能够在地球和月球之间建一座桥5.设年平均增长率为q ,a 1=105,n 年后空气质量为良的天数为a n ,则{a n }是一个等比数列,由a 3=240,得a 3=a 1(1+q)2=105(1+q)2=240,解得q=105240-6.由已知条件,知2b a A +=,G=ab,且2)(222b a ab b a ab b a G A -=-+=-+=-≥0, 所以有A ≥G,等号成立的条件是a =b .而a ,b 是互异正数,所以一定有A >7.(1)±2 (2)±ab (a 2+b 28.略组1.证明略2.(1)设生物死亡时,体内每克组织中的碳14的含量为1,每年的衰变率为q ,n 年后的残留量为a n ,则{a n }是一个等比数列,由碳14的半衰期为5 730,则a n =a 1q5 730=q5 730=21,解得57301)21(=q(2)设动物约在距今n 年前死亡,由a n =0.6,得a n =a 1q n=0.999 879n解得n ≈4 221,所以动物约在距今4 221年前死亡3.略备课资料备用例题1.已知无穷数列5010,5110,5210 ,…, 5110-n求证:(1)这个数列成等比数列;(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的101; (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证明:(1)101101010154511===-+--n n n n a a (常数),∴该数列成等比数列(2)101101010154515===-+-+n n n n a a ,即:5101+=n n aa(3)a p a q =525151101010-+--=q p q p ,∵p,q∈N,∴p+q -1≥1且(p+q-1)∈N .∴5210-+q p ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-5110n (第p+q-1项2.设a ,b ,c,d 均为非零实数,(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c2求证:a ,b ,c 成等比数列且公比为d证法一:关于d 的二次方程(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c 2=0有实根, ∴Δ=4b 2(a +c)2-4(a 2+b 2)(b 2+c 2)≥0.∴-4(b 2-a c)2≥0.∴-(b 2-a c)2则必有:b 2-a c=0,即b 2=a c ,∴a ,b ,c成等比数列设公比为q ,则b =a q,c=a q 2代入 (a 2+a 2q 2)d 2-2a q(a +a q 2)d +a 2q 2+a 2q4∵(q 2+1)a 2≠0,∴d 2-2q d +q 2=0,即d 证法二:∵(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c2∴(a 2d 2-2abd +b 2)+(b 2d 2-2b c d +c2∴(ad -b )2+(bd -c)2=0.∴ad =b ,且bd∵a ,b ,c,d 非零,∴d bca b ==d .∴a ,b ,c 成等比数列且公比为d。

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