2021年北京市人大附高三文十月月考试题

2021年北京市人大附高三文十月月考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{20}A x x x =-->,集合{},B x x a =<若,A B ⋃=R 则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞-B ．(2,)+∞C ．[1,)-+∞D ．(,2)-∞2．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．34．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<5．将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移π3个单位长度得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线π,x =则θ的一个可能取值是 A ．π6B ．π3C ．π12D ．5π66．若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关二、填空题7．若4log 3,a =则2a =_____.8．命题“2000,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 .9．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．10．已知函数()()cos sin 6f x f x x π=+'，则()6f π=______．11．在四边形ABCD 中， 2AB =. 若()12DA CA CB =+，则AB DC ⋅=____.三、解答题12．ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC △的面积为2,b c -=1cos .4A =-（1）求a 的值;（2）求sin()A B +的值.13．已知数列{}n a 满足,*112211,2,,,.2n n n n n n a a a a a n b a a ++++===∈=-N （1）求12,b b 的值;（2）证明:{}n b 是等比数列; （3）求{}n a 的通项公式.14．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（1）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()y f x =在区间[0,2]上的单调性．15．已知数列{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a ⋅=，2716a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：312232222nn n b b b b a =+++（n 为正整数），求数列{}n b 的前n 项和n S . 16．已知函数()1ln .f x x x =--（1）求证:()0;f x ≥ （2）求证:*2111ln[(1)(1)(1)]1()222n n +++<∈N .参考答案1．B 【解析】由题得{21}A x x x =<-或,因为A B R ⋃=,所以2a >,故选B. 2．C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C. 3．B 【解析】 函数()12(12)f x xx=-的零点，即令()0f x =，根据此题可得12(12)xx=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数12y x=和指数函数(12)y x=的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数 4．D 【详解】 因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D. 5．A 【解析】将函数()sin y x θ=-的图象F 向右平移π3个单位长度得到sin()3y x πθ=--, 所以它的对称轴的方程为5()326x k x k k z πππθππθ--=+∴=++∈， 5()66k k k z πππθπθπ++=∴=-+∈k=0时，6πθ=，故选A.6．B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．7【解析】由题得243232a a a =∴=∴=8．a -≤≤【解析】试题分析：由题意可得命题:x R ∀∈,22390x ax -+≥为真命题.所以()234290a ∆=--⨯⨯≤,解得a -≤≤考点：命题的真假.9．30 【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 10．1 【解析】由题得1()()()()()6666626f x f sinx cosx f f sincosf ππππππ=-+∴=-'''''+=-所以3()()266f f ππ='='∴所以11()sin 166622f πππ=+=+=，故填1. 11．2【解析】如图，因为()12DA CA CB =+=CE ,所以四边形AECD 为平行四边形，所以AE=DC=1,所以AB ⋅ DC =2 点睛：根据题意明白()12DA CA CB =+说明四边形AECD 为平行四边形，从而解题，注意多化草图去理解题意，同时要熟练向量的线性运算12．（1）8；（2）8【解析】试题分析: (1)第(1)问,先利用正弦余弦定理求出b 和c,再利用余弦定理求出a. (2)第（2）问，直接利用正弦定理求解.试题解析：（1）因为在ABC 中,1cos ,4A =-所以sin A =因为ABC 的面积为由面积公式得:1sin 2bc A =所以24.bc = 因为2,b c -=解得6, 4.b c ==因为2222cos ,a b c bc A =+-可得8.a = （2）因为在三角形中,所以()sin sin .A B C +=由正弦定理得:,sin sin a c A C =解得sin C =所以()sin A B + 13．（1）11b =，212b =-；（2）见解析；（3）1*521()()332n n a n -=--∈N【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接根据递推关系求出12,b b 的值.(2)第（2）问，一般利用等比数列的定义证明. (3)第（3）问， 先利用第（2）的结论求出n b ，再利用累加法求{}n a 的通项公式.试题解析：（1）解:由题意知:121211,b a a =-=-= 1223221.22a ab a a a +=-=-=- （2）证明:由（Ⅰ）可知,11,b = 当2n ≥时,()111111,222n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项,12-为公比的等比数列. 综上所述,命题得证.（3）解:由（Ⅱ）知:111,2n n n n b a a -+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当2n ≥时,()()()1221121321111121521211111,1223233212n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-++-=++-++-=+=+--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭当1n =时,1115211,332a -⎛⎫--== ⎪⎝⎭所以()1*521332n n a n N -⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.综上所述,{}n a 的通项公式为()1*521332n n a n N -⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.14．（1）0a =，32y x =-；（2）见解析. 【分析】（1）化简()f x 并对其求导，由(1)f '的值构建方程，求得a ，进而由点斜式表示切线方程； （2）对()f x 求导，令()0f x '=，表示两根，利用分类讨论含参数的根所在区间，从而得其导函数的正负关系，即原函数的单调性对应增减. 【详解】 （1）32()f x x ax =-，2()32f x x ax =-'∴，则(1)323f a '=-=，0a ∴=，3()f x x ∴=，(1)1f =，因此，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-； （2）32()f x x ax =-，2()32f x x ax =-'∴，令()0f x '=，得10x =，223a x =． ①当203a≤时，即当0a ≤时，对任意的[0,2]x ∈，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间[0,2]上单调递增．②当2023a<<时，即当0<<3a 时， 此时，当203ax <<，则()0f x '<；当223ax <<时，()0f x '>． 此时，函数()y f x =在区间20,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间2,23a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； ③当223a≥时，即当3a ≥时，对任意的(0,2)x ∈，()0f x '<． 此时，函数()y f x =在区间[0,2]上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在区间[0,2]上单调递增； 当0<<3a 时，函数()y f x =在区间20,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间2,23a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当3a ≥时，函数()y f x =在区间[0,2]单调递减． 【点睛】本题考查利用函数的导数分析含参函数的单调性，还考查了由导数的几何意义求在函数某点处的切线方程，属于难题.15．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）22,126,2n n n S n +=⎧=⎨-≥⎩. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知列方程组求出11a =，2d =，利用等差数列的通项公式可得结果； （2）当2n ≥时，由312232222n n nb b b b a =+++，得131212312222n n n b b b b a ---=+++，两式相减可得12n n b +=，再由1n =求出1b 的值，利用等比数列求和公式可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题意设0d >，271162716a a a d +=⇒+=，①()()3611552555a a a d a d ⋅=⇒++=，②解得11a =，2d =，21n a n ∴=-； （2）当2n ≥时，由312232222n n nb b b b a =++++，得131212312222n n n b b b b a ---=+++，两式相减得122nn n n b a a --==，12n n b +∴=. 又1122b a ==12,12,2n n n b n +=⎧∴=⎨≥⎩，12S ∴=， 当2n ≥时，()()313412212222222612n n n nS -++-=++++=+=--.综上所述，22,126,2n n n S n +=⎧=⎨-≥⎩. 【点睛】已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n =的情况. 16．（1）见解析；（2）见解析 【解析】试题分析: (1)第(1)问,转化成证明:x min 0f =（）. (2)第（2）问，利用第（1）问的结论，放缩数列的通项，11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，再求和证明不等式. 试题解析：（1）由题意知:()f x 的定义域为()0,+∞. 因为()111,x f x='-=-所以()f x 和()f x '的变化情况如下表所示:由表可知:()x min 11ln10f f x ==--=（）. 所以()x min 0.f x f ≥=（） （2）由（Ⅰ）可知:()1ln 0,1x x x -->≠即()ln 11.x x x <-≠所以可得22111111ln 1,ln 1,,ln 1.222222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 将上述n 个式子相加可得:()*21111111ln 111112222422n n nn N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=-<∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以结论得证.即()*2111ln 1111222n n N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 点睛：本题的难点在数列通项的放缩,它利用了第一问的结论.一般情况下，如果数列能求和，就直接求和，再证明. 如果不能，就先放缩，再求和,再证明.。