(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.5.2点到直线的距离公式(含答案)

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课时提升作业(二十一)

点到直线的距离公式

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.(2014·济源高一检测)点P(m-n，-m)到直线+=1的距离为( )

A. B.

C. D.

【解析】选A.因为+=1可化为nx+my-mn=0，所以由点到直线的距离公式，得

==.

2.(2014·吉安高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是( )

A.4

B.

C.

D.

【解析】选D.因为两直线平行，所以=，

所以m=4，

所以两平行直线6x+4y-6=0和6x+4y+1=0的距离为d==.

3.若动点A，B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M 到原点的距离的最小值为( )

A.3

B.2

C.3

D.4

【解析】选A.由题意知AB中点M的集合为与直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0的距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M

所在直线的方程为x+y+m=0，则由平行线间的距离公式得=，即

|m+7|=|m+5|，解得m=-6，即得x+y-6=0，由点到直线的距离公式可得，点M 到原点的距离的最小值为

=3

.

二、填空题(每小题4分，共8分)

4.(2014·济宁高一检测)已知点A(0，4)，B(2，5)，C(-2，1)，则BC 边上的高等于________.

【解析】因为直线BC 的方程为x-y+3=0， 所以点A 到直线BC 的距离d==，即BC 边上的高等于.

答案：

【举一反三】题干不变，则三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】|BC|==4

，又BC 边上的高为，所以三角形

ABC 的面积为×4

×=2.

5.(2014·南阳高一检测)经过点P(1，2)，且使A(2，3)，B(0，-5)到它的距离相等的直线方程为________________.

【解题指南】可先设出过点P 的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程.

【解析】当直线斜率不存在时，即x=1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y-2=k(x-1)， 由条件得

=

，解得k=4，

故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0. 答案：x=1或4x-y-2=0

【一题多解】由平面几何知识知所求直线l ∥AB 或过AB 中点.因为k AB =4， 若l ∥AB ，则l 的方程为4x-y-2=0.

若l过AB中点(1，-1)，则直线方程为x=1，

所以所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.

答案：x=1或4x-y-2=0

【拓展延伸】求直线方程的技巧

(1)常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量.

(2)利用平面几何知识先判断直线的特征，然后由已知直接求出直线的方程.

三、解答题(每小题10分，共20分)

6.直线l过点(1，0)且被两条平行直线l1：3x+y-6=0和l2：3x+y+3=0所截得的线段长为，求直线l的方程.

【解析】当直线l与x轴垂直时，方程为x=1，

由得l与l1的交点为(1，3)，

由得l与l2的交点为(1，-6)，

此时两交点间的距离d=|-6-3|=9≠.

所以直线l与x轴不垂直.

设l的方程为y=k(x-1)(k≠-3)，

解方程组得l与l1交点的坐标为，

同理，由得l与l2的交点坐标为，

由题意及两点间距离公式得

=，

所以k=，

所以直线l的方程为y=(x-1)，

即x-3y-1=0.

【一题多解】由两平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d==，而l被l1，l2截得的线段长恰为，

所以l与l1和l2都垂直，由l1的斜率k1=-3知，

l的斜率k=，

所以l的方程为y=(x-1)，

即x-3y-1=0.

【变式训练】已知直线l1：7x+8y+9=0与l2：7x+8y-3=0.直线l平行于l1，直线l 与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2=1∶2，求直线l的方程.

【解析】因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x+8y+C=0，则d1=，d2=. 又2d1=d2，所以2|C-9|=|C+3|.解得C=21或C=5.故所求直线l的方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.

7.已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点.

(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程.

(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.

【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0，

因为点A(5，0)到l的距离为3，

所以=3，

即2λ2-5λ+2=0，解得λ=2或λ=，

所以l方程为x=2或4x-3y-5=0.

(2)由解得交点P(2，1)，如图，

过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).

所以d max=|PA|

==.

一、选择题(每小题4分，共8分)

1.(2014·佛山高一检测)点P(x，y)在直线x+y-4=0上，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是( )

A.2

B.2

C.

D.4

【解析】选A.(x-1)2+(y-1)2最小值即为(1，1)到直线x+y-4=0的距离的平方，所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为=()2=2.

2.(2014·湖北七市联考)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )

A.，

B.，

C.，

D.，

【解析】选 D.由题意，a+b=-1，ab=c，而两条直线之间的距离为d===，故≤d≤.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.两平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d，则a+d=________.