函数及其表示A

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函数及其表示知识梳理

函数1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：y =f (x )，x ∈A 。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集.解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．(4) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.（5）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．（6）函数只能是一对一或者多对一（7）函数求值，需要把所有定义域都做代换2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域_.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.辨析() f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值．（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。

高三第一轮复习函数及其表示

第1讲函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。

A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的。

而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。

4.求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数x y a log =的真数0>x ；（4）指数函数x a y =和对数函数x y a log =的底数0>a 且1≠a ；（5）零次幂0x 的底数0≠x ；（6）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。

求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域．5.两个防范 (1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2) 函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。

第1讲函数及其表示

第1讲函数及其表示一、知识梳理1．函数的概念函数两集合A，B A，B是两个非空数集对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论几种常见函数的定义域(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}． (5)指数函数的底数大于0且不等于1.(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .二、教材衍化1．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1答案：B2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5] 3．函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，⇒x ≥2.答案：[2，＋∞)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，则f (－2)＝________，f [f (－2)]＝________．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f [f (－2)]＝f (4)＝4＋1＝5. 答案：4 5一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B ．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)对函数概念理解不透彻； (2)对分段函数解不等式时忘记范围； (3)换元法求解析式，反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．答案：(－∞，－2]∪[0，10]3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．答案：x 2－1(x ≥0)考点一函数的定义域(基础型) 复习指导| 学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．核心素养：数学抽象角度一求函数的定义域(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ． [－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3](2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1] 【解析】 (1)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．故选B ．(2)由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选B ．【答案】 (1)B (2)B求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度二已知函数的定义域求参数若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．【解析】由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 【答案】 [0，4]已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ．因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋ 8－2x 的定义域为( ) A ．[0，3]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]解析：选A ．由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A ．考点二函数的解析式(基础型) 复习指导| 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．核心素养：数学运算(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为________．【解析】 (1)(换元法)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，因为x ＞0，所以t ＞1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3.(3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ，所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－x ＋3 (3)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________．解析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．解析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)考点三分段函数(基础型) 复习指导| 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．核心素养：数学抽象、数学运算角度一求分段函数的函数值(1)(2020·合肥一检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝________．【解析】 (1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C ．(2)当m ≥2时，m 2－1＝3，所以m ＝2或m ＝－2(舍)；当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍)．所以m ＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二分段函数与方程、不等式问题(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 (1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C ．法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数，当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数，又f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.(2)法一：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．故选D ．法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．【答案】 (1)C (2)D有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ．当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时．不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2．(2020·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________．解析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a . 解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8，当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，无解．答案：8考点四函数的新定义问题(创新型)复习指导| 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2020·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C ．由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0, 2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；以上三个函数中，________是“优美函数”．解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②[基础题组练]1．函数y ＝1ln （x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C ．由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln （x －1）的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.3．(多选)下列四组函数中，f (x )与g (x )是相等函数的是( ) A ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x B ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3D ．f (x )＝x ，g (x )＝log a a x (a >0且a ≠1)解析：选CD ．对于选项A ，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为{x |x >0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C ，g (x )＝3x 3＝x ，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D ，g (x )＝log a a x ＝x ，x ∈R ，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B ．由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.5．(多选)函数f (x )＝x 1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x B ．－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x C ．1f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1xD ．f (－x )＝－f (x )解析：选AD ．根据题意得f (x )＝x 1＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 1＋x 2，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；f (－x )＝－x1＋（－x ）2＝－x 1＋x 2＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．故AD 正确，BC 错误．6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f （2x ＋1）log 2（x ＋1）的定义域是( )A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1，0)解析：选D ．由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，所以函数f (x )的定义域是[－1，1]，所以要使函数f （2x ＋1）log 2（x ＋1）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．(创新型)定义a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，a b ，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x ⊕x ，则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2D ．0解析：选D ．2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为12×ln 12<0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1212＝－2ln 2.则f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0. 8．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D ．当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D ．9．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：因为f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，所以f (a )＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－311．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0，1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)，所以f (x )∈[－3，＋∞)．答案：－52[－3，＋∞)12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1，则f (f (0))＝________，若f (m )>1，则实数m 的取值范围是________．解析：f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x <1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1)．若f (m )>1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞)．答案：0 (－∞，0)∪(e ，＋∞)[综合题组练]1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B ．2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A ．对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A ．3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x＋1，x ≤0，－x ，x >0，则f (x ＋1)－9≤0的解集为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＋1，x ≤0，－x ，x >0，所以当x ＋1≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，2－（x ＋1）－8≤0，解得－4≤x ≤－1；当x ＋1>0时，⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－x ＋1－9≤0，解得x >－1.综上，x ≥－4，即f (x ＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．答案：[－4，＋∞)4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.其中是“美丽函数”的序号有________．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y 所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。

《函数及其表示》一等奖说课稿3篇

1、《函数及其表示》一等奖说课稿尊敬的各位专家、老师：大家好！今天我的说课题目是人教A版必修1第一章第二节《函数及其表示》。

对于这节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这么教”为思路，从教材分析、目标分析、教学法分析、教学过程分析和评价五个方面来谈谈我对教材的理解和教学设计，敬请各位专家、评委批评指正。

一、教材分析（一）地位与作用函数是中学数学中最重要的基本概念之一，函数的学习大致可分为三个阶段。

第一阶段在以为教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，本章学习的函数的概念、基本性质与后续将要学习的基本初等函数（i）和（ii）是函数学习的第二阶段，是对函数概念的'再认识阶段；第三阶段在选修系列导数及其应用的学习，使函数学习的进一步深化和提高。

因此函数及其表述这一节在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。

本小结介绍了函数概念，及其表示方法。

我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。

这里我主要谈谈函数概念的教学。

函数概念部分分用三个实际例子设计教学情境，让学生探寻变量和变量对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数概念，体验结合旧知识，探索新知识、研究新问题的快乐。

（二）学情分析（1）在初中，学生已经学习过函数的概念，并且知道韩式是变量间的相互依赖关系（2）学生思维活跃，积极性高，已经步入对数学问题的合作探究能力（3）学生层次参差不齐，个体差异明显二、目标分析根据《函数的概念》在教材中的地位与作用，结合学情分析，本节教学应实现如下教学目标：（一）教学目标（1）知识与技能进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简单函数的定义域。

高二数学函数及其表示试题答案及解析

高二数学函数及其表示试题答案及解析1.已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( ). A．B．C．D．【答案】A.【解析】设，则；；因为函数是奇函数，所以，即.【考点】函数的解析式、函数的奇偶性.2.已知，，，则；【答案】.【解析】令得，；令得，；令得，.【考点】函数的求值.3.已知，且，则等于_____________．【答案】【解析】令，则，，令，则．【考点】函数的解析式．4.下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法测的结构图正确的是（）【答案】A【解析】根据函数的三要素有函数的定义域、值域、对应法则，可知A正确.【考点】函数的概念.5.下列各组函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】函数的要素由两个：定义域与对应法则。

=x(x－1),所以，是同一函数的是与，选D。

【考点】函数的概念点评：简单题，函数的要素由两个：定义域与对应法则。

6.下列各组函数中表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】在D项中，函数与的定义域和对于关系一致，所以是相同函数。

故选D。

【考点】相同函数点评：要看两个函数是否相同，只要看这两个函数的定义域和对于关系是否一致。

7.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是（）A．y=()2B．y=C．y=D．y=【答案】B【解析】根据同一函数的定义可知定义域和对应法则相同的即为所求，那么可知选项A定义域不同，选项C，对应法则不同;选项D,定义域不同，故选B8.对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数,都有，则的值是______________【答案】4【解析】由定义可知,所以,所以恒成立，所以.,.9.图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为【答案】C【解析】解：根据图象可知在[0，1]上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，故选：C10.给出函数，则等于（）A．B．C．D．【答案】 B【解析】解：因为函数，则，选C11.设，在上任取三个数，以为边均可构成的三角形，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0得到x1=1，x2=-1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m-2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m-2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即-4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求12.（本小题满分14分）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】函数在上的最小值为,最大值为【解析】∵,令,即,解得(舍去),.当时,,单调递增;当时,,单调递减.∴为函数的极大值.又∵,,∴函数在上的最小值为,最大值为13.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“海宝”函数. 给出下列函数：①；②；③；④其中是“海宝”函数的序号为【答案】③【解析】解：由题意可知若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“海宝”函数.，那么可以知道对于成立，则①；②④都不能找到这样的常数k使得成立，所以只有选③是个有界函数，成立。

高一新知必修1第一章第2节《函数及其表示》

解题后的思考： y f ( 例 3 思路分析：
1）题意分析：已知 f ( x 1) ，求 f ( x ) 2）解题思路：换元法解答过程：令 t x 1 ，则 x t 1 ， f (t ) 2(t 1)2 1 2t 2 4t 3 。
f ( x) 2 x2 4 x 3 。
当 x ＞－2 时， y ＝解题后的思考：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数取值集合的并集。例 9 解答过程：∵－3＜0 ∴ f （－3）＝0， ∴ f （ f （－3））＝ f （0）＝，又＞0 ∴ f ( f ( f (3))) ＝f（）＝＋1。解题后的思考：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所处的范围，然后按相应的对应关系求值。
三、考点分析：
掌握函数的概念与表示，对于映射的概念只需要了解，本节知识点在单独出题时多为简单题，揉在综合题中考查。
1、函数的概念：一般地，设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应，那么就称 f ：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：
（3） f ( x) x ， g ( x)
x2 ；
（4） f ( x) 3 x 4 x3 ， F ( x) x 3 x 1 ；（5） f1 ( x) ( 2x 5) 2 ， f 2 ( x) 2 x 5 。 A. （1）、（2） B. （2）、（3） C. （4） D. （3）、（5） 2. 函数 y f ( x) 的图象与直线 x 1 的公共点的数目是（） 3. 已知集合 A 1, 2,3, k , B 4, 7, a , a 3a ，且 a N * , x A, y B ，若使 B 中元素 y 3x 1 和 A 中

高考数学总复习考点知识专题讲解3---函数及其表示

(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( D ) A．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝|x|，g(t)＝ t2
[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数
[解析] 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象
过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋
bx(a≠0)，可得
a＋b＝1， a－b＝5，
解得a＝3，b＝－2，所以二次
函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.
2．(2020·湖南衡阳第一中学月考)已知f(2x＋1)＝x2－ 2x，则f(3)＝___－__1___.
3．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为_____f(_x_)_＝__23_e－_x_－__13_e_x _____．
[解析] f(x)＋2f(－x)＝ex①， f(－x)＋2f(x)＝e－x②， ①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex， ∴f(x)＝23e－x－13ex.
A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法． 4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解出a、b→得f(x)．

420个函数公式释义以及实例

420个函数公式释义以及实例由于您提到了420个函数公式，这是一个庞大的数量，您可以在不同的学科和领域中找到许多不同类型的函数公式。

在下面，我将提供一些不同类型的函数公式的示例，并解释它们的含义。

由于数量众多，我无法提供所有420个函数公式的具体实例，但是可以给出更多领域和学科上的函数公式例子。

1.三角函数公式:a)正弦函数公式: sin(x) = opposite/hypotenuse示例：在一个直角三角形中，如果一个角的正弦值为0.5，且斜边长度为10，则对边的长度是5。

b)余弦函数公式: cos(x) = adjacent/hypotenuse示例：在一个直角三角形中，如果一个角的余弦值为0.8，且斜边长度为5，则邻边的长度是4。

c)正切函数公式: tan(x) = opposite/adjacent示例：在一个直角三角形中，如果一个角的正切值为2，且对边长度为3，则邻边的长度是1.5。

2.指数函数公式:a)指数函数公式: f(x) = a^x示例：对于指数函数f(x) = 2^x，当x取值为2时，f(x)的结果为4。

b)对数函数公式: log_a(x) = b示例：对于对数函数log_2(x) = 3，当x取值为8时，log_2(x)的结果为3。

3.代数函数公式:a)一次函数公式: f(x) = mx + b示例：对于一次函数f(x) = 2x + 1，当x取值为3时，f(x)的结果为7。

b)二次函数公式: f(x) = ax^2 + bx + c示例：对于二次函数f(x) = x^2 - 4x + 4，当x取值为2时，f(x)的结果为0。

4.概率函数公式:a)正态分布函数公式: f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))示例：对于正态分布函数f(x) = (1/2π) * e^(-x^2/2)，当x取值为0时，f(x)的结果为0.399。

以上只是少数几个函数公式的示例，并且没有涉及到所有学科和领域。

1.2.函数及其表示(教案)A,B

人教版新课标普通高中◎数学①必修1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念教案 A教学目标一、知识与技能1. 了解构成函数的要素；2. 会求一些简单函数的定义域和值域；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.二、过程与方法通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.三、情感、态度与价值观函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.教学重点、难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示.教法与学法导航教学方法：启发，引导学习方法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，完成本节课的教学目标.教学过程一、创设情境，导入新课1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3. 分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点.4. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5. 根据初中所学函数的概念，判断各实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.二、主题探究，合作交流1. 函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合1教师备课系统──多媒体教案2A 到集合B 的一个函数（Function ）.记作：y =f （x ），x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（Domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域（Range ）.注意：①“y = f （x ）”是函数符号，可用任意的字母表示，如“y =g （x ）”②函数符号“y = f （x ）”中的f （x ）表示与x 对应的函数值，是一个数，不是f 乘x .2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.3.（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间；（2）区间的数轴表示.4.初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y =ax +b （a ≠0）y =ax 2+bx +c （a ≠0）y =xk （k ≠0）比较描述性定义和集合与对应语言刻画的定义，谈谈体会. 三、拓展创新，应用提高 1. 如何求函数的定义域例 1 已知函数f （x ） = 3+x +21+x . （1）求函数的定义域；（2）求f （－3），f （32）的值；（3）当a ＞0时，求f （a ）,f （a －1）的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y =f （x ），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.解：答案见教材第17页例1.例2 设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数解析式，并写出定义域. 解：由题意知，另一边长为2280x -，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以S =8022x x -⋅ =(40－x )x （0＜x ＜40）. 说明：（1）函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如课前三个实例；（2）如果只给出解析式y =f （x ），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；（3）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.巩固练习：教材第23页第1题人教版新课标普通高中◎数学① 必修 3引导学生小结几类函数的定义域：（1）如果f （x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f （x ）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f （x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.巩固练习：教材第19页第1题.2. 如何判断两个函数是否为同一函数？例 3 下列函数中哪个与函数y =x 相等？（1）y = （x ）2；（2）y = （33x ）；（3）y =2x ；（4）y =xx 2. 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.巩固练习：1. 教材第19页第3题.2. 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，并说明理由？（1）f (x )=(x －1)0；g （x ）= 1 ；（2）f （x ）=x ； g （x ）=2x ；（3）f （x ）= x 2；f （x ）=(x +1)2 ；（4）f （x ）= |x | ；g （x ）=2x .四、小结1.从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；2.初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，引出了区间的概念. 课堂作业教师备课系统──多媒体教案4 求下列函数的定义域：（1）1()||f xx x=-；（2）1()11f xx=+；（3）f（x） = 1+x+12x-；（4）24()1xf xx-=-；（5）()131f x x x=-++-；（6）2()610f x x x=-+.教案 B教学目标一、知识与技能通过本节知识的学习，感悟函数概念的产生背景和产生过程，从而激发探索问题的兴趣，掌握函数概念的实质.二、过程与方法通过具体问题的分析，在体会两个变量相互依赖的基础上，引导我们用集合的语言刻画函数概念，然后通过具体例题，思考、探究、练习中的问题，从三个层次理解函数的概念：函数定义，函数符号，函数三要素.三、情感、态度与价值观通过本节知识的学习，将培养观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣.教学重点、难点教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念.教学难点：函数概念及符号y=f（x）的理解.教学过程一、创设情境，引入新课我们生活在世界上，时刻能感受其变化，但万事万物间定存在某种依赖关系，把这些关系抽象出来便可得到我们数学中的一个重要模型.先看下面问题：设计1：金华某车间4月份签下了生产1000个零件的订单，工人小甲是一般车工，生产一个零件需1.5个小时,每个小时12元.问题：1. 小甲生产100个、200个、300个零件的报酬.（确定一一对应关系）2. 用工作天数x表示小甲本月工资G.（目标：函数概念、对应关系）3. 确定x的取值范围.（目标：函数的定义域）人教版新课标普通高中◎数学① 必修54. 确定小甲本月工资范围.（目标：函数的值域）5. 若想提高月工资应采取何种方法.（组织讨论）设计2：在初中，我们就学习了函数的概念，怎么定义的？熟悉了哪些简单的函数？进一步：上述是否存在函数关系，自变量和因变量分别是什么？它们各自的范围是什么？设计3：既然我们已经学习了函数，那么今天为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：问题1：由初中定义你能判断“y =1”是否表示一个函数？问题2：函数y =x 与函数y =2x x表示同一个函数吗？点拨：仅用初中函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念.这就是今天我们要学习的课题：函数的概念.二、共同探究建构知识请翻开教材第P15、16页，查看三个实例，思考下列问题：问题1 对实例1，你能得出炮弹飞行1秒、5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中t 的变化范围是多少？（教师用《几何画板》动态地显示炮弹高度h 关于炮弹发射时间t 的函数.）问题2 对实例2，你能从图中看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为1500万平方公里？其中t 的取值范围是什么？问题3 在实例3中，恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？思考：以上都反映了哪几个变量之间的关系？对于给定的一个量的值，相应另一个量的值确定吗？有几个值与它对应？归纳出共性，尝试用集合与对应语言描述变量之间依赖关系.交流归纳：上述问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量都有唯一值与之对应，确定三个实例中都包含一个函数.每一个问题均涉及两个非空数集A 、B 的关系.存在某种对应法则f ，对于A 中的任意一个数x ，B 中总有唯一确定数y 与之对应.记作y =f （x ），x ∈A .自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.三、观察分析引导探究探究1：对初中学过的几种函数，分别指出它们的对应法则、定义域、值域.并填写下表：归纳小结函数三要素：对应法则、定义域和值域.（教师在屏幕上动态画出这三种函数的图象）函数一次函数反比例函数二次函数 a ＞0 a ＜0对应关系定义域值域教师备课系统──多媒体教案6探究2：y = f （x ）一定就是函数的解析式吗？分析：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法.强调：数学符号“y =f （x ）”就表示y 是x 的函数，而不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.在有些问题中，对应关系f 可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f 不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示.探究3：反思课前引入中的两个问题，重新思考，谈谈自己的认识.画图：反思：1()R y x =∈是函数；x y =与y =2x x不是同一个函数. 探究4：如何判断两个函数是否相同？总结：当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等.四、例题分析，推广应用例1 已知函数213)(+++=x x x f . （1）求函数f （x ）的定义域；（2）求f （-3）,f （32）的值；（3）当a >0时，求f （a ）,f （a -1）的值.解：答案见教材第17页例1.思考：怎样求函数的定义域？f （x ）与f （a ）有何区别与联系？课后反思：f （a ）表示当自变量a x =时函数f （x ）的值，是一个常量，而f （x ）是自变量x 的函数，它是一个变量，f （a ）是f （x ）的一个特殊值.在求函数值时，可把f （x ）中的变量x 看成○,如上述函数看成 213)(+O ++O =O f , 求f （4）时，只要把4填入○中，求f （x +1）时，相当于把x +1填入了○. 甚至可以想象213)(+++=猫猫猫f （可惜猫不属于数集）. 例2 下列函数中哪个与函数x y =相等？（1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y =；（4）xx y 2=. 分析：①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等. x y o 1=y 22-x y o x y =22-x y ox x y 2=22-人教版新课标普通高中◎数学① 必修 7②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.解：答案见教材第18页例2五、知识应用巩固理解1.教材第19页练习1.2.3.2.变式：若把例2中的33x y =改33y t =为，如何？思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？六、回顾总结形成体系归纳总结：1. 函数是非空数集到非空数集的一种特殊对应；2. 函数的核心是对应法则，通常用记号f 表示函数的对应法则，在不同的函数中，f 的具体含义不同.3. 函数符号y =f （x ）的说明：（1）符号y =f （x ）表示y 是x 的函数，而不是f 乘以x ；（2）y =f （x ）不一定能用解析式表示；（3）f （x ）与f （a ）是不同的，通常，f （a ）表示函数f （x ）当x =a 时的函数值；（4）y =f （x ）是函数符号，可用任意字母表示，如g （x ）、F （x ）、φ（x ）.4. 函数定义域和函数值的求法.七、作业：1. 书面作业：教材第24页习题1、2、3、4、5.2. 弹性作业：比较函数初中和高中定义的异同点，你对函数有什么新的认识？请举出几个具体函数例子，用初中定义不好解释，而用高中定义容易理解.八、教学后记基于学生的认知水平和学习特点，本节课以学生为主体，创设情景，首先突破对“对应关系”的理解，在教学时采用问题探究式的教学方法，逐层深入，并借助计算机辅助教学.使学生准确理解函数的概念.教师备课系统──多媒体教案81.2.2 函数的表示法教案 A教学目标一、知识与技能1. 明确函数的三种表示方法；2. 会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；3. 通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.二、过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程.三、情感、态度与价值观学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.教学重点、难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象. 教学过程一、创设情境，导入新课我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题.二、主题探究，合作交流1.函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2.明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值；图象法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况.三、拓展创新，应用提高：例1 某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =.分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表.解：答案见教材第19页例3.巩固练习：教材第23页练习第1题.人教版新课标普通高中◎数学① 必修 9例2 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表.沙漠面积增加数y 与年份数x 之间的关系图象近似地为一次函数y =kx +b 的图象.根据此表所给的信息进行预测：如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷？观测时间1996年底 1997年底 1998年底 1999年底 2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷） 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001解析：因为沙漠面积增加数y 与年份数x 之间的关系图象近似地为一次函数y =kx +b 的图象.将x =1，y =0.2与x =2，y =0.4，代入y =kx +b ，求得k =0.2，b =0，所以y =0.2x （x ∈N ）.因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为95+0.5×15=98（万公顷）.巩固练习：教材第23页练习第2题.例3 一辆中型客车的营运总利润y （单位：万元）与营运年数x （x ∈N ）的变化关系如表所示，求y （单位：万元）与营运年数x （x ∈N ）的关系表达式x 年 46 8 … c bx ax y ++=2（万元）7 11 7 …解析：表中已给出了二次函数模型c bx ax y ++=2，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则 ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=.887,6611,447222c b a c b a c b a解得a =-1，b =12，c =-25，即25122-+-=x x y . 点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题.例4 某市公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）. 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能教师备课系统──多媒体教案10停车，所以行车里程只能取整数值.解：设票价为y 元，里程为x 公里，根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}.由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：2345y ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，，，0551010151519x x x x <≤<≤<≤<≤，，，. （*N x ∈）根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：O x y543215101519注意：（1）本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；（2）本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？（3）例4中的函数，称为分段函数.（4）分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式.用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值范围.小结：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.（可以实地考查一下某公交车线路）课堂作业：1. 国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g ，付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，一封x g （0＜x ≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）2. 如右图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为x ，面积为y ，把y 表示成x 的函数.四、小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.人教版新课标普通高中◎数学①必修教案 B教学目标一、知识与技能1. 明确函数的三种表示方法；2. 会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；3. 通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.二、过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程.三、情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.教学重点、难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象. 学法及教学用具1.学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2.教学用具：圆规、三角板、投影仪.教学过程一、引入课题学生在初中已经学习了函数的基本概念和函数的两种表示方法――解析法和图象法（建立在一次函数和二次函数基础上）.进入高中之后，又学习了函数的定义.本节课在此基础上进一步学习函数的三种表示法.鉴于学生的应用能力不强，缺乏从生活实际抽象出数学问题的意识，在教学中以日常生活为背景抽象出函数的三种表示法，并应用于生活实际，将实际生活中的函数表示法互相转换，使问题具体化、数学化.二、新课教学（一）典型例题例1一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？分析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析.解法：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）.数量（份）价格（元）金额（元）买进30 0.20 6x卖出20x＋10×250 0.30 6x＋750退回10（x－250）0.08 0.8x－200 则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）.11教师备课系统──多媒体教案12 y在x ［250，400］上是一次函数.∴x＝400元时，y取得最大值870元.答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元.评注：当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等.这里自变量x的取值范围为［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘.巩固练习：教材第23页练习第1题.例2下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：答案见教材第20页例4.注意：1. 本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点.2. 本例能否用解析法？为什么？巩固练习：教材第23页练习第2题例3画出函数y = | x |的图象.解：答案见教材第20页例5巩固练习：教材第23页练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f（x）的图象，然后作出y=|f（x）| 和y=f（|x|）的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系.例4某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：一期2000年投入1亿元兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十多万吨年综合收益2千万元二期2002年投入4亿元兴建垃圾焚烧发电一厂年发电量1.3亿kw/h 年综合收益4千万元三期2004年投入2亿元兴建垃圾焚烧发电二厂年发电量1.3亿kw/h 年综合收益4千万元如果每期的投资从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f（x）（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部人教版新课标普通高中◎数学① 必修13投资款.解析：由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理.由表中的数据易得，x =1，2时，f （x ）=2xx =3，4时，f （x ）=2x +4(x -2)=6x -8x =5，6,7时，f （x ）=2x +4(x -2)+4(x -4)=10x -24所以{}{}{}21,2()683,410245,6,7.x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩，，，，，显然，当n ≤4时，不能收回投资款.当n ≥5时，由f （n ）=10n -24>70，得n >9.4，取n =10. 所以到2010年可以收回全部投资款.点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果.①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？小结：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. （二）实践与拓展请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.（可以实地考查一下某公交车线路）说明：像上面两例中的函数，称为分段函数.注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，再分别注明各部分的自变量的取值范围.（三）归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.（四）作业布置教材第24页习题1.2（A 组）第8-10题；第25页（B 组）第2、3题.教师备课系统──多媒体教案14 1.2.3 映射教案 A教学目标一、知识与技能1. 了解映射的概念及表示方法；2.了解象、原象的概念；二、过程与方法1. 函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；2. 通过实例进一步理解映射的概念；3. 会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射.三、情感、态度与价值观映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础.教学重点、难点教学重点：映射的概念.教学难点：映射的概念.教法与学法导航教学方法：启发引导.学习方法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.教学过程一、创设情境，导入新课复习初中常见的对应关系1. 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2. 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（,x y）和它对应；3. 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5. 函数的概念.二、主题探究，合作交流1.我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）2.先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开立方；（2）求正切；（3）找自己的身份证号；（4）乘以3加2.归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A→B为从集合A到集合B的一个映射. 记作“f ：A→B”。

函数的概念及其表示法

时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析的基础，通过拟合数据点，可以预测因变量的变化趋势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它使得集合A中的每一个元素都能通过某种法则对应到集合B中的唯一一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。

函数及其表示

函数及其表示一、函数的概念及其构成要素函数在数学上的定义：给定一个数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.例:设数集A={1、2、3、4、5},对A施加对应法则求平方，得B={1、4、9、16、25}也就是B=f(A)=A^2，这个关系式就是函数设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作或。

其中x叫作自变量，叫做x的函数，集合叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，叫做对应法则。

其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。

定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。

一般书写为。

二、判断两个函数是否为同一个函数若两函数定义域相同,对应法则也相同,则称这两个函数相等。

其实就是看两个方面：1、看定义域是否相同，如果定义域不同，就算函数式形式相同，也不是相同的函数。

例如函数f（x）=x和g（x）=x²/x，尽管当x≠0时，两个函数相等，但是f（x）的定义域是全体实数，g（x）的定义域是x≠0，定义域不一样，所以不是相同的函数。

2、定义域相同的情况下，看相同的x计算出来的函数值是否一样，如果有相同的x算出来的函数值不一样，那么就不是相同的函数。

例如f（x）=x和g（x）=|x|，定义域相同，但是当x＜0的时候，函数值不同，所以不是相同的函数。

如上述两个方面都相同，那么就一定是相同的函数了。

三、函数的定义域及其求法1.如果f（x）为整式,其定义域是R2.如果f（x）=x分之1,其定义域是x≠03.如果f（x）=根号x,其定义域是x≥04.如果f（x）=x0,其定义域是x≠05.如果f（x）是由几个部分的式子构成,定义域是使几个部分有意义的公共部分（交集）6.已知f（x）的定义域是【1,2】,则f（x+1）的定义域是[0,1]7.已知f（x+1）的定义域是【1,2】,则f（x）的定义域是[2,3]四、函数的值域1：直接法：从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。

高中数学人教A版必修1课件：1.2函数及其表示

2．分式1x有意义的条件是 x≠0，无理式 x有意义的条件是 x≥0，x0 有意义的条件是 x≠0.
1．函数的概念
(1)函数的定义设A，B是非空的_数__集__，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个__数__x_，在集
合B中都有_唯__一__确__定__的__数__f_(x_)__和它对应，那么就称_f：__A__→__B___为从集合A到集合B的一个函数，记作_y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A. 函数y＝f(x)中，x叫自变量，_x_的__取__值__范__围___叫函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_函__数__值__，函数值的集合_{_f(_A_)_|x_∈__A__}_叫做函数的值域．显然，值域是集合B的_子__集__．
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m 的范围； ②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对 m进行分类，而不是对x分类； ③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围, 也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取并集； ④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例, 则最后既不取交集也不取并集． [注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．
，即
x≤5
x≠2 x≠－1
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪
(2,5]
[题后感悟] 定义域的求法： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
2．区间与无穷的概念 (1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且a＜b.

函数及其表示知识点+练习题+答案

函数及其表示考纲知识梳理一、函数与映射的概念集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念〔1〕函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域〔2〕一个函数的构成要素定义域、值域和对应法则〔3〕相等函数如果两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

注：假设两个函数的定义域与值域一样，是否为相等函数.〔不一定。

如果函数y=*和y=*+1,其定义域与值域完全一样，但不是相等函数；再如y=sin*与y=cos*，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系〕〔4〕函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。

〔5〕分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个局部组成，但它表示的是个函数。

函数及其表示测试题1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是〔 A 〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析由，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ，3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或 2、试判断以下各组函数是否表示同一函数.〔1〕f 〔*〕=2x ，g 〔*〕=33x ；〔2〕f 〔*〕=x x ||，g 〔*〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔*〕=1212++n n x ，g 〔*〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔*〕=x 1+x ，g 〔*〕=x x +2；〔5〕f 〔*〕=*2－2*－1，g 〔t 〕=t 2－2t －1。

高考数学一轮复习讲义函数及其表示课件新人教A版

4.由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合(jíhé)A,
B必须是非空数集 .
第三页，共47页。
基础自测(zìcè)
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面
的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的
有
()
C
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
第十七页，共47页。
探究提高求函数解析式的常用方法有:(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式； (2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入
f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根据特殊值，确定相关(xiāngguān)的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.
10分
解得0<x< 1,适合0<x<1. 故为保证本3年度利润比上年有所增加，投入成本增加
第十九页，共47页。
解（1）令 2 1 t,则x 2 ,
x
t 1
f (t) 1g 2 , f (x) 1g 2 , x (1,). （2）设f（x）t=ax1+b（a≠0），则 x 1
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+b+5a=2x+17，

A版必修1-函数及其表示、定义域、解析式、值域的求法

已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
解: 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
3 2 5x 9
7 x 1 5
f 2 5x的定义域是[ 7 ,1)
5
题型三: 已知函数的定义域，求含参数的取值范围
例 : 当k为何值时,函数y
kx 7 kx2 4kx
的定义域是一切实数 3
由 f (x 2) f (x 2)
得 4a b 0
x1 x2
2 a
2 b2 4ac 8a2
又 c 1
解得 a 1 ,b 2, c 1 2
f (x) 1 x2 2x 1 2
• 解法二、
由 f (x 2) f (x 2)
得 y f (x) 的对称轴为 x 2
设 f (x) a(x 2)2 k
练习4 当m为何值时 y lg mx 2 3mx 5 的定义域是 R
解: 由 y lg mx 2 3mx 5 的定义域是 R 可知
mx 2 3mx 5 0 对 x R 恒成立
（1）m = 0 时
5＞0 成立
(2)m 0 时,
m 0
0
解得
0 m 20 9
综上 (1)， (2)知当 0 m 20 时 9
A
x -2
O
B
2 x -2 O
C
2 x -2 O
2x
D
变式：已知函数f（x）的定义域为[-2，4]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点个数是（ B）
A、0个 B、1个 C、2个 D.0个或1个
三、对映射概念的理解
例3、设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法正确的是（ A） A、M中每一个元素在N中必有象； B、N中第一个元素在M中必有原象； C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的； D.N是M中所有元素的象的集合。