2014-2015年湖北省荆州市公安三中高一(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年湖北省荆州市公安三中高一（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共50分）1．（5分）集合A={x|x2﹣1=0}的子集共有（）A．4个 B．3 个C．2 个D．1 个2．（5分）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C 关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C3．（5分）下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x0，g（x）=1B．，g（x）=xC．f（x）=D．f（x）=4．（5分）在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（）A．（﹣3，1）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）5．（5分）函数y=（3x﹣x2﹣2）的单调递减区间是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，+∞）6．（5分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣1|，则它（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数7．（5分）函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．则方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.510．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：（共25分）11．（5分）已知=2，则=．12．（5分）设集合M=（﹣∞，m]，P=，若M∩P=∅，则实数m的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是．14．（5分）已知关于x的方程在区间[﹣1，0]上有实数根，则实数a的取值范围是．15．（5分）下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②若f（x）的定义域为[0，1]，则f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]；③函数y=log2（﹣x+1）+2的图象可由y=log2（﹣x﹣1）﹣2的图象向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；④若关于x方程|x2﹣2x﹣3|=m有两解，则m=0或m＞4；⑤若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是α+β=π；其中正确的有．三、解答题：（共75分）16．（12分）计算：（1）（）﹣1﹣4•（﹣2）﹣3+（）0﹣9（2）．17．（12分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=∅，求a 的范围．18．（12分）已知x2﹣20x+64≤0的解集为A，当的值域为B．（1）求集合B；（2）当x∈B时不等式1+2x+4x a≥0恒成立，求a的最小值．19．（12分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＜0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），x∈[1，+∞）的最小值为﹣2，求m的值．20．（13分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．（14分）已知函数，函数．（1）若函数y=g（mx2+2x+m）的值域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=g[f（x2）]的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．2014-2015学年湖北省荆州市公安三中高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共50分）1．（5分）集合A={x|x2﹣1=0}的子集共有（）A．4个 B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，∴A的子集的个数为：22=4个，故选：A．2．（5分）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C 关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C【解答】解：∵A={第一象限角}={θ|2kπ＜θ＜2kπ+，k∈Z}，C={小于的角}={θ|θ＜}，B={锐角}=，∴B∪C=C，故选：B．3．（5分）下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x0，g（x）=1B．，g（x）=xC．f（x）=D．f（x）=【解答】解：对于A，f（x）=x0=1（x≠0），与g（x）=1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）==|x|（x∈R），与g（x）=x（x∈R）的对应关系不相同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）==x•（x∈R），与g（x）=x•（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．故选：D．4．（5分）在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（）A．（﹣3，1）B．（1，3） C．（﹣1，﹣3）D．（3，1）【解答】解：由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）即（﹣3，1）故选：A．5．（5分）函数y=（3x﹣x2﹣2）的单调递减区间是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：由3x﹣x2﹣2＞0，得1＜x＜2．∵内函数g（x）=3x﹣x2﹣2在（1，）上为增函数，∴函数y=（3x﹣x2﹣2）的单调递减区间是（1，）．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣1|，则它（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数【解答】解：∵f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x﹣1|+|x+1|=f（x），∴函数f（x）=|x+1|+|x﹣1|是偶函数．故选：B．7．（5分）函数y=|lg（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣1＞0解得，x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），由选项中的图象知，故C正确．故选：C．8．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log 512等于（）A．B．C．D．【解答】解：log512===．故选：C．9．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．则方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解答】解：由表中数据f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．中结合二分法的定义得f（1.375）•f（1.4375）＜0，零点应该存在于区间（1.375，1.4375）中，观察四个选项，方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为1.4，与其最接近的是C，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设t=f（x），则f（t）=0，若a＜0时，当x≤0，f（x）=a•2x＜0．由f（t）=0，即，此时t=1，当t=1得f（x）=1，此时x=有唯一解，此时满足条件．若a=0，此时当x≤0，f（x）=a•2x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件．若a＞0，当x≤0，f（x）=a•2x∈（0，a]．此时f（x）的最大值为a，要使若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则a＜1，此时0＜a＜1，综上实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）故选：B．二、填空题：（共25分）11．（5分）已知=2，则=8．【解答】解：∵已知=2，∴tanα=2，则===8，故答案为：8．12．（5分）设集合M=（﹣∞，m]，P=，若M∩P=∅，则实数m的取值范围是m＜﹣1．．【解答】解：函数y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣1为开口向上的抛物线，最小值为﹣1，所以得到y≥﹣1，所以集合P的区间为[﹣1，+∞）；由M∩P=∅得到两个集合没有公共元素，即m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．13．（5分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤414．（5分）已知关于x的方程在区间[﹣1，0]上有实数根，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【解答】解：分类参数可得：a=﹣2×（2x）2+2x（x∈[﹣1，0]）令2x=t（t∈[，1]，a=﹣2t2+t=﹣2∴函数在[，1]上单调减∴a∈[﹣1，0]故答案为：[﹣1，0]15．（5分）下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②若f（x）的定义域为[0，1]，则f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]；③函数y=log2（﹣x+1）+2的图象可由y=log2（﹣x﹣1）﹣2的图象向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；④若关于x方程|x2﹣2x﹣3|=m有两解，则m=0或m＞4；⑤若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是α+β=π；其中正确的有①②④．【解答】解：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则，即a＜0，①正确；②若f（x）的定义域为[0，1]，由0≤x+2≤1，解得﹣2≤x≤﹣1，∴f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]，②正确；③函数y=log2（﹣x+1）+2=log2[﹣（x﹣2）﹣1]﹣2+4的图象可由y=log2（﹣x﹣1）﹣2的图象向上平移4个单位，向右平移2个单位得到，③错误；④若关于x方程|x2﹣2x﹣3|=m有两解，对于方程的左边，设函数y=|x2﹣2x﹣3|，作出此函数的图象，而方程的右边对应直线y=m，问题转化为两个图象有且仅有两个公共点的问题，当m=3时，两个图象有三个不同的公共点；当0＜m＜4时，两个图象有四个不同和公共点；当m=0或m＞4时，两个图象有且只有两个公共点．故m=0或m＞4，④正确；⑤若角α与角β的终边关于y轴对称，则π﹣α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π﹣α的终边相同，即β=2kπ+（π﹣α），∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π，k∈Z，⑤错误．故答案为：①②④．三、解答题：（共75分）16．（12分）计算：（1）（）﹣1﹣4•（﹣2）﹣3+（）0﹣9（2）．【解答】解：（1）（）﹣1﹣4•（﹣2）﹣3+（）0﹣9=2++1﹣3=．（2）====．17．（12分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=∅，求a 的范围．【解答】解：当A=φ时即2a＞a+3，a＞3，此时满足A∩B=∅当A≠∅时，2a≤a+3，即a≤3时有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此时A∩B=φ综合知，当a＞3或﹣≤a≤2时，A∩B=∅18．（12分）已知x2﹣20x+64≤0的解集为A，当的值域为B．（1）求集合B；（2）当x∈B时不等式1+2x+4x a≥0恒成立，求a的最小值．【解答】解：（1）A={x|4≤x≤16}f（x）=（log2x﹣3）（log2x﹣2）=（log2x）2﹣5log2x+6令t=log2x，则t∈[2，4]，∵t∈[2，4]，∴时，y取得最小值，t=4时，y取得最大值2∴（2）分离参数可得：设当x∈B时不等式1+2x+4x a≥0恒成立，可转化为a≥g（x）max∵在上递增∴∴19．（12分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＜0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），x∈[1，+∞）的最小值为﹣2，求m的值．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k﹣1=0，即k=1，故f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1．f′（x）=a x lna+，∵0＜a＜1，∴lna＜0，而a x+＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减．原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＜4﹣x，即x2+3x﹣4＜0∴﹣4＜x＜1，∴不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．（2）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）．∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去．综上可知m=2．20．（13分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．21．（14分）已知函数，函数．（1）若函数y=g（mx2+2x+m）的值域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=g[f（x2）]的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）①当m=0时，满足条件；②当m≠0时，有综上可得，0≤m≤1．（2）令，则y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2①当时，②当时，h（a）=3﹣a2③当a＞3时，h（a）=12﹣6a故h（a）=；（3）假设存在实数m，n满足条件，则有0≤m＜n，化简可得函数表达式为y=x2，则函数在[m，n]上单调递增，故值域为[m2，n2]=[2m，2n]解得m=0，n=2故存在m=0，n=2满足条件．。