数学经典易错题会诊与高考试题预测10 (5)
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测（上）目录考点1集合与简易逻辑经典易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质命题角度2 集合与不等式命题角度3 集合的应用命题角度4 简易逻辑命题角度5 充要条件探究开放题预测预测角度1 集合的运算预测角度2 逻辑在集合中的运用预测角度3 集合的工具性预测角度4 真假命题的判断预测角度5 充要条件的应用考点2 函数(一) 经典易错题会诊命题角度1 函数的定义域和值域命题角度2 函数单调性的应用命题角度3 函数的奇偶性和周期性的应用命题角度4 反函数的概念和性质的应用探究开放题预测预测角度1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式预测角度2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题预测角度3 反函数与函数性质的综合考点3 函数(二)经典易错题会诊命题角度1 二次函数的图象和性质的应用命题角度2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用命题角度3 函数的应用探究开放题预测预测角度1 二次函数闭区间上的最值的问题预测角度2 三个“二次”的综合问题预测角度3 含参数的对数函数与不等式的综合问题考点4 数列经典易错题会诊命题角度1 数列的概念命题角度2 等差数列命题角度3 等比数列命题角度4 等差与等比数列的综合命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度6 数列的应用探究开放题预测预测角度1 数列的概念预测角度2 等差数列与等比数列预测角度3 数列的通项与前n项和预测角度4 递推数列与不等式的证明预测角度5 有关数列的综合性问题预测角度6 数列的实际应用预测角度7 数列与图形考点5 三角函数经典易错题会诊命题角度1 三角函数的图象和性质命题角度2 三角函数的恒等变形命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测预测角度1 三角函数的图象和性质预测角度2 运用三角恒等变形求值预测角度3 向量与三角函数的综合考点6 平面向量经典易错题会诊命题角度1 向量及其运算命题角度2 平面向量与三角、数列命题角度3 平面向量与平面解析几何命题角度4 解斜三角形探究开放题预测预测角度1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度2 平面向量为背景的综合题考点7 不等式经典易错题会诊命题角度1 不等式的概念与性质命题角度2 均值不等式的应用命题角度3 不等式的证明命题角度4 不等式的解法命题角度5 不等式的综合应用探究开放题预测预测角度1 不等式的概念与性质预测角度2 不等式的解法预测角度3 不等式的证明预测角度4 不等式的工具性预测角度5 不等式的实际应用考点8 直线和圆经典易错题会诊命题角度1 直线的方程命题角度2 两直线的位置关系命题角度3 简单线性规划命题角度4 圆的方程命题角度5 直线与圆探究开放题预测预测角度1 直线的方程预测角度2 两直线的位置关系预测角度3 线性规划预测角度4 直线与圆预测角度5 有关圆的综合问题考点9 圆锥曲线经典易错题会诊命题角度1 对椭圆相关知识的考查命题角度2 对双曲线相关知识的考查命题角度3 对抛物线相关知识的考查命题角度4 对直线与圆锥曲线相关知识的考查命题角度5 对轨迹问题的考查命题角度6 考察圆锥曲线中的定值与最值问题探究开放题预测预测角度1 椭圆预测角度2 双曲线预测角度3 抛物线预测角度4 直线与圆锥曲线预测角度5 轨迹问题预测角度6 圆锥曲线中的定值与最值问题考点10 空间直线与平面经典易错题会诊命题角度1 空间直线与平面的位置关系命题角度2 空间角命题角度3 空间距离命题角度4 简单几何体探究开放题预测预测角度1 利用三垂线定理作二面角的平面角预测角度2 求点到面的距离预测角度3 折叠问题考点11 空间向量经典易错题会诊命题角度1 求异面直线所成的角命题角度2 求直线与平面所成的角命题角度3 求二面角的大小命题角度4 求距离探究开放题预测预测角度1 利用空间向量解立体几何中的探索问题预测角度2 利用空间向量求角和距离考点12 排列、组合、二项式定理经典易错题会诊命题角度1 正确运用两个基本原理命题角度2 排列组合命题角度3 二项式定理探究开放题预测预测角度1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合预测角度2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题预测角度3 利用二项式定理证明不等式考点13 概率与统计经典易错题会诊命题角度1 求某事件的概率命题角度2 离散型随机变量的分布列、期望与方差命题角度3 统计探究开放题预测预测角度1 与比赛有关的概率问题预测角度2 以概率与统计为背景的数列题预测角度3 利用期望与方差解决实际问题考点14 极限经典易错题会诊命题角度1 数学归纳法命题角度2 数列的极限命题角度3 函数的极限命题角度4 函数的连续性探究开放题预测预测角度1 数学归纳法在数列中的应用预测角度2 数列的极限预测角度3 函数的极限预测角度4 函数的连续性考点15 导数及其应用经典易错题会诊命题角度1 导数的概念与运算命题角度2 导数几何意义的运用命题角度3 导数的应用探究开放题预测预测角度1 利用导数的几何意义预测角度2 利用导数探讨函数的单调性预测角度3 利用导数求函数的极值和最考点16 复数经典易错题会诊命题角度1 复数的概念命题角度2 复数的代数形式及运算探究开放题预测预测角度1 复数概念的应用预测角度2 复数的代数形式及运算答案与解析答案与解析考点-1集合与简易逻辑YT CUO TI TAN JIU TI KAI FANG TI集合的概念与性质集合与不等式集合的应用简易逻辑充要条件集合的运算逻辑在集合中的运用集合的工具性真假命题的判断充要条件的应用经典易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是 ( )=P B．P⊂M⊂ D．C U IM P=ø[考场错解] D[专家把脉] 忽视集合P中，x＜-1部分．[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M⊂P．2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）A．9 B．8C．7 D．6[考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个．[专家把脉]忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．3．(典型例题)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记Pˆ=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Qˆ=｛n∈N|f(n) ∈则(PˆI C N Qˆ) Y(QˆI C N Pˆ)等于 ( )A．｛0，3｝ B．｛1，7｝C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝[考场错解] D P I C N Q=｛6，7｝．Q I C N P=｛1，2｝．故选D．[专家把脉]未理解集合Pˆ的意义.[对症下药] B ∵Pˆ =｛1，3，5｝．Qˆ=｛3，5，7｝．∴PˆI C N Qˆ=｛1｝. PˆI C N Qˆ=｛7｝．故选B．4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：①A B⇔对任意x∈A,有x ∉B；②A B⇔ A I B=ø;③A B ⇔ A B;④A B⇔存在x∈A, 使得x∉B.其中真命题的序号是_____.[考场错解]∵A B，即A不是B的子集，对于x ∈A，有x∉ B;A I B=ø，故①②④正确．[专家把脉]对集合的概念理解不清．∵A B，即A不是B的子集，但是A，B可以有公共部分，即存在x∈ A，使得x∉ B.不是对任意x ∈A,有x ∉B，故④正确．“A B”是“任意x ∈A，有x∉B”的必要非充分条件．②同①.[对症下药]画出集合A，B的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B但B⊆A，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④5．(典型例题Ⅰ)设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是 ( )A．（C I A）Y B=IB．(C I A) Y(C I B)=IC．A I(C I B)=øD．(C I A)I(C I B)= C I B[考场错解]因为集合A与B的补集的交集为A，B的交集的补集．故选D．[专家把脉]对集合A，B，I满足A⊆B⊆I的条件，即集合之间包含关系理解不清．[对症下药]如图是符合题意的韦恩图.从图中可观察A、C、D均正确，只有B不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B错误．专家会诊1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A=ø或A ≠ø 两种可能，此时应分类讨论．考场思维训练1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤121|x x ，则M I (C U N)等于 ( ) A ．{4} B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ． {1，2，3，4}答案：B 解析：由N={},12|,121|+≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤x x N x x 得C U N={}{}4,3)(,12|=⋂∴+N C M x x U φ 2 设集合M={x|x=3m+1，m ∈Z}，N=y|y{=3n+2，n ∈Z}，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M,N 的关系是( )∈M B ．x 0y 0∉M MM∈N D ．x 0y 0∉N答案： C 解析：∵x o ..2)23(32369)23)(13(,23,,130C N n m mn n m mn n m y x n y N y m x M o o o o 故选∈+++=+++=++=∴+=∴∈+=∴∈3 设M={x|x4a ，a ∈R}，N={y|y=3x ，x ∈R}，则 ( )A ．M ∩N=Ø B．M=NC. M ⊃ND. M ⊂N答案：B 解析：M={}{}{}B N y y x x M R a x x a 选.0|0|,4|=>=>==∈=4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( )A ．4B ．8C ．16D ．15答案：解析：{},6,0=B Θ它的子集的个数为22=4。
高考冲刺数学易错题汇集
高考冲刺数学易错题汇集高考冲刺数学易错题汇集在高考冲刺阶段，数学作为我们的必修科目，是我们最需要练习的科目之一。
但是数学难度较大，题目要求较高，加上高考的紧张压力，我们很容易犯错。
因此，我整理了一些高考义务教育阶段数学中易错题型，希望能够帮助大家提前做好复习准备，避免在考试中出现这些常见的错题。
一、三角函数1.【易错题型】如图，在△ABC中，角A的对边BC长度为4，角B的对边AC长度为3，角C的对边AB长度为2.则cotB+2sinA=【做题思路】cotB+2sinA=cotB+2sin(B+C)=cotB+2[sinBcosC+sinCcosB]=cot B+6cotB+8=7cotB+8。
【易错点评】易错的关键在于这道题要使用三角恒等式和三角函数的性质，将其有效的运用在计算中。
同时，需要注意在运算中的细节，例如将sinB和cosB分别算出来，最后再来进行加减运算。
2.【易错题型】正弦函数与余弦函数的值域是：( )A. [ -1 , 1 ]B. [ 1 , +∞ )C. [ -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , +∞ )D. [ 0 , 1 ]【做题思路】根据三角函数的定义，易知y=sin(x)、y=cos(x)的解析式都在[-1,1]之间，因此该题的选项为A。
【易错点评】该题中易错的关键在于忽略了正弦函数与余弦函数的定义和解析式，只看到选项就随便选择，导致最后结果与实际情况不符。
二、解析几何1.【易错题型】若四边形ABCD 的边长分别为a、b、c、d，而且AB＝BC，AD＝CD，则它是一个矩形的充要条件是：A. a＝c，b＝dB. a＝d，b＝cC. a＝b，c＝dD. a＝d，c＝b【做题思路】在解析几何的学习中，我们应掌握矩形的定义及其相关性质，并根据题目中所给出的线段长度，确定此四边形是否为矩形。
根据题干所述，相邻两条边长度相等，即AB＝BC，AD＝CD，则该四边形为矩形的条件为AC垂直BD，即(a2-b2)+(c2-d2)=0。
数学经典易错题会诊与高考试题预测6
经典易错题会诊与高考试题预测(六)考点6 平面向量 经典易错题会诊命题角度1 向量及其运算命题角度2 平面向量与三角、数列 命题角度3 平面向量与平面解析几何 命题角度4 解斜三角形 探究开放题预测预测角度1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度2 平面向量为背景的综合题命题角度1 向量及其运算1 (典型例题)如图6-1，在 Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为 2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP ．CQ 的值最大?并求出这个最大值． [考场错解],||)()(,,2BQ QP CB QP CB BQ BQ BQ CB BQ BQ CQ BP BQ CB CQ QP BQ BP ∙+∙+∙+=+∙+=∙∴+=+= 此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续．[专家把脉] 此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=2，|b|=3，a 与b 的夹角为45°，当向量a+λb 与λa+b 的夹角为锐角时，求实数A 的范围．[考场错解] 由已知a ·b=|a||b|·cos45°=3，∵a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+b)>0即λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a ·b=0，∴2λ+9λ+ 3(λ2+1)>0，解得λ>6851168511--<+-λ或∴实数λ的范围是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+-68511,,68511 [专家把脉] 解题时忽视了a+λb 与a λ+b 的夹角为0的情况，也就是(a+λb)·(λa+b)>0既包括了 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，也包括了a+λb 与λa+b 的夹角为0，而a+λb 与λa+b 的夹角为0不合题意．[对症下药] 由已知a ·b=|a|·|b|，|b|×cos45°=3．又a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+ b)>0，且a+λb ≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a ·b>0即3λ2+11λ +3>0，解得λ>6851168511--<+-λ或．由a+λb ≠μ (λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，综上所述实数λ的取值范围是(-∞，6851168511+-⋃--,1)∪(1，+∞)． 3．(典型例题)已知O 为△ABC 所在平面内一点且满足032=++OC OB OA ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为 ( ) A ．1 B.32.23C D ．2[考场错解] OC OB O OC OB OA 2-=∴=++ ∴O 在BC 边上，且||2||OC OB = ,又△AOB 与△AOC 高相等，∴△AOB 与△AOC 的面积之比为2，∴选D ．[专家把脉] 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O 为△ABC 的重心的情况下，才有O OC OB OA =++ ，而本题无此已知条件． [对症下药] (1)如图6-3，在AB 上取一点D ，使OB OA OB OA OD AB D DB AD 3231212211,2|,|2||+=+++==∴=得的比分λ又由已知,,3231OC OD OB OA OC -=-=∴O 为CD 的中点，不妨设S △AOC =S ，则S △AOD =S(∵两者等底同高)∴,23|),|2||(,21S S BD AD S S AOB BOD =∆==∆△AOB 的面积与△AOC 的面积之比为3：2，选B ．(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练1 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且.432O OC OB OA =++ (1)求||AB1． 答案：由已知得2OC OB OA 43-=+，所以62114121||2||)(||.41,1||||||,||16||912||4,||16)32(2222222222=+⨯-=+∙-=-=∴=∙∴====+∙+=+OA OA OB OB OA OB AB OB OA OC OB OA OC OB OB OA OA OC OB OA 即(2)求△ABC 的面积．答案：设∠AOB=θ，∠AOC=ϕ，∠BOC=γ，由OA ·OB =41，得cos θ=41，sin θ=415，S △AOB= 21|OA |·|OB |sin θ=21×1×1 ×815415=同理可求得cos ϕ=-1611，sin ϕ=15163，S △AOC=15323．cos γ=-87，sinr=81，S △BOC =21×.1615815= 由于θ为锐角，ϕ,γ为钝角，所以OC 不可能在△AOB 内部，故△AOB 、△AOC 、△BOC 互不重叠∴S △ABC =S △AOB + S △AOC +S △BOC =15329． 2 已知向量a=(1，1)，b ：(1，0)，c 满足a ·c=0，且|a|=|c|，b ·c>0． (1)求向量c ；答案：设 =(m ，n)，由a ·c=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m 2+n 2=2，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222n m n m ，解得m=1，n= -1或m=-l ，n=1，又∵b ，c=(1，0)·(m ，n)=m>0．∴m=1，n=-1，c=(1，-1)．(2)若映射f:(x ，y)+(x ’，y ’)=xo+yc ，将(x ，y)看作点的坐标，问是否存在直线l ，使得l 上任一点在映射f 的作用下的点仍在直线l 上，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y ，x-y)，则f:(x ，y)→(x+y ，x-y)．假设存在直线l 满足题意．当l 的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当l 的斜率存在时，设l ：y=kx+m ，在l 上任取一点p(x 0,y 0)，则p 在映射f 作用下的点Q(x 0+y 0，x 0-y 0)，Q 也应在l 上，即x 0-y 0=k(x 0+y 0)+m 又(x 0，y 0)在l 上∴y 0=kx 0+m ，整理得(1-2k-k 2)x 0-(k+2)m=0，此式对于任意x 0恒成立．∴1-2k-k 2=0，(-k+2)m=0．解得k=-1±2，m=0，综上所述，存在直线l ：y=(-1±2)x 符合题意．3 已知A 、B 、C 三点共线，O 是该直线外一点，设OA =a ，,,c OC b OB ==且存在实数m ，使ma-3b+c O 成立．求点A 分 所成的比和m 的值．答案：解：设点A 分BC 所成比为λ，则BA =λAC ，所以OA -OB =λ(OC -OA )．即a-b=λ(c-d)，则(1+λ)a-b-λc=0 (1)由已知条件得c=3b-ma 代人(1)得(1+λ)a-b-3λb+m λa=0，即(1+λ+m λ)a-(1+3λ)b=0 ∵OB OA 不共线，a 、b 不共线∴1+λ+m λ=0，1+3λ=0，解得λ=-31，m=2． ∴A 分BC 所成的比为-31，m=2．1.（典型例题）设函数f(x)=a ·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,]3,3[,3ππ-∈x 且)求x;(2)若函数y=2sin2x 的图像按向量c=(m,n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m 、n 之值.[考场错解]（1）依题意，f(x)=2cos 2x+).32sin(212sin 3π++=x x由;3,332,323,33,23)32sin(,31)32sin(21ππππππππππ-=-=+∴≤+≤-∴≤≤--=+-=++x x x x x x 即得 (2)函数y=2sin2x 的图像按向量c=(m,n)平移后得到y=2sin2(x+m)-n 的图像，即y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(x+.1,12,2||,1)6-==∴<+n m m πππ[专家把脉]“化一”时出错，,1)32sin(21)62sin(212sin 32cos 2cos 2sin 3cos 22++++=++==+ππx x x x x x x 不是第（2）问在利用平移公式的时有错误.[对症下药]（1）依题设，f(x)=,23)62sin(,31)62sin(21),62sin(212sin 3cos 22-=+-=++++=+πππx x x x x 得由 ;4.362,65622,33ππππππππ-=-=+∴≤+≤-∴≤≤-x x x x 即 (2)函数y=2sin2x 的图像按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n 的图像，即函数y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(.1)12++πx.1,12,2||=-=∴<n m m ππ2.(典型例题)已知i,j 分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，*).,2(2,5,1121N n n A A A A j OA j OA m n n n ∈≥===+-（1）求.)2(;87的坐标和求n n OB OA A A[考场错解]（1）由已知有||21||,211111-+-+==n n n n n n n n A A A A A A A A 得 ).222(22222)1(23||||||||).0,29(,29292141||||||||)2(;161,161||,)21()21(||121144441211878732111+=∴+=∙-+=+++=--=-+++=+++===∴==∴--------+n OB n n B B B B OB OB OA OA A A A A OA OA A A A A A A A A n n n n n n n n nn n n n n n n n 得得[专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与实数混为一谈，出现了很多知识性的错误. [对症下药] （1） ,)21(4121,21,2216657687111A A A A A A A A A A A A A A A n n n n n n n ===∴=∴=-++-1n A .1614)21(,46871221j j A A j OA OA A A =∙=∴=-=又 2,12(,)12()12()22()1(33).29,0(.)29(2124,21,2121)1()2(1144412114132111++∴+++=+∙-++=++=-∴-=++++=+++=∴=∴==------+--+n n OB j n i n j i n j j B B OB OB OA j j j j j A A A A OA OA j A A j A A A A n n n n n n n n n n n n n n n n n n 的坐标是同理的坐标为知由 3.（典型例题)在直角坐标平面中，已知点P 1(1，2)，P 2(2，22)，P 3(3，23)…,P n (n ，2n)，其中n 是正整数，对平面上任一点A o ，记A 1为A o 关于点P 1的对称点，A 2为A 1，关于点P 2的对称点，…，A n 为A n-1关于点P n 的对称点． (1)求向量2A A o 的坐标；(2)当点A o 在曲线C 上移动时.点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0，3)时f(x)=lgx ．求以曲线C 为图像的函数在(1，4)上的解析式； (3)对任意偶数n ，用n 表示向量n o A A 的坐标．[考场错解] 第(2)问，由(1)知2A A o =(2，4)，依题意，将曲线C 按向量(2，4)平移得到y=f(x)的图像．∴y=g(x)=f(x-2)+4．[专家把脉] 平移公式用错，应该为y=g(x)=f(x+2)-4．[对症下药] (1)设点A o (x ，y)，A o 关于点P 1的对称点A 1的坐标为A 1(2-x ，4-y)，A 1关于点P 2的对称点 A 2的坐标为A 2（2+x ，4+y ），所以，2A A o =｛2，4｝．(2)∵2A A o =｛2，4｝，∴f(x)的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到． 因此，曲线C 是函数y=g(x)的图像，其中g(x)是以 3为周期的周期函数，且当x ∈(-2，1)时，g(x)=1g(x+2)-4，于是，当x ∈(1，4)时，g(x)=1g(x-1)-4．{}{}{}3)12(4,3)12(2,22)2,12,12,1(2)(2,22)3(1314321122222422⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+++==+++=-----n n n n n n O k k k nn O n O n n P P P P P P A A k P P A A A A A A A A A A 得由于专家会诊向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，综合性强、能力要求较高．考场思维调练1 已知平面向量a=(3，-1)，b=)23,21(，c=a+(sin2a-2cosa)b ，d=(a 2sin 412)a+(cosa)b ，a ∈(o ，2π)，若c ⊥d ，求cosa ． 答案：解析：由已知得a ·b=0，|a|2=a 2=4，|b|2=b 2=1，因为c ⊥d ，∴c ·d=0，即[a+(sin2λ-cos α)·b]．[(41sin 22α)a+(cos α)b]=0，得sin 22α+sin2α，cos α-2cos 2α=0， 即(sin2α+2cos α)(sin2α-cos α)=0，∵α∈(0，2π)，∴sin2α+cos α>0，∴sin2α=cos α，由于cos α>0，得sina=21 ，则cos α=23． 2设向量a=(cos23°，cos67°)．b=(cos68°，cos22°)，c =a+tb(t ∈R)，求|c|的最小值．答案：解：|a|=167cos 23cos 22=+ =1， |b|=122cos 68cos 22=+ =1a ·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°-68°)=22． ∴|c|2=(a+tb)2=|a|2+t 2|b|2+2ta ·b=t 2+1+2t ≥21. ∴|c|的最小值为22，此时t=-223 已知向量a=(2，2)，向量b 与a 的夹角为43，且a ·b=-2． (1)求向量b;答案：设b=(x ，y)，∵a ·b=-2，∴2x+2y=-2，即x+y=-1，(1)，又∵a 与b 的夹角为43π，∴|b|=π43cos ||∙∙a b a =1，∴x 2+y 2=1 (2)，联立(1)、(2)得x=-1，y=0或x=0，y=-1，∴b=(-1，0)或b=(0，-1)．(2)若t=(1，0)且b ⊥t ，c=(cosA ，2cos22c )，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围．答案：由题意得B=3π，A+C=32π，b ⊥t ，t=(1，0)，∴b=(0，-1)，b+C=(cosA ，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos 2c=1+21(cos2A+cos2C)1+21 cos2A+cos2(32π-A))=1+21cos(2A+3π)，∵0∠A<32π，∴3π∠2A+ππ353<，∴-1≤cos(2A+3π)<21，∴|b+c|2∈[45,21 ]，∴|b+c|∈[25,22] 命题角度3平面向量与平面解析几何1．(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点F(-m ，0)(m 是大于0的常数．)(1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、 Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||QF MQ =，求直线l 的斜率．[考场错解] 第(2)问：设Q(xo ，yo)，直线J 的方程为 y=k(x+m)，则点M(0，km)，由已知得F 、Q 、M 三点共线，且 ||2||QF MQ =，∴||2||QF MQ =由于F(-m ，0)， M(0，km)，由定比分点坐标公式，得x Q =62,12791,134,31,3222222±==+∴=+=-k k my m x Q km y m Q 解得上在椭圆又[专家把脉] 缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将||2||QF MQ =进行转化时出现错误，依题意||2||QF MQ =应转化为QF MQ 2±=再分类求解k ． [对症下药] (1)设所求椭圆方程为=+2222b y a x 1 (a>b>O)．由已知得c=m ，.3,2,21m b m a a c ==∴= 故所求的椭圆方程是.1342222=+m y m x(2)设Q(x Q ，y Q )，直线l 的方程为y=k(x+m)，则点M(0，km)，∵M 、Q 、F 三点共线，||2||QF MQ =，∴QF MQ 2=．当QF MQ 2=时，由于F(-m ，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得,31,32km y m x Q Q =-=又Q 在椭圆;62,12791,13422222±==+∴=+k k my m x 解得有上同理当.0,131,2222==+-=k m m k QF MQ 解得有时故直线l 的斜率是0， .62±2．(典型例题)如图6—4，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点，|AB|=.3242||,324-=CD AC ⊥BD ，M 为CD 的中点． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在常数λo ，使PN MP o λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹C 的方程．[考场错解] 第(2)问：设P(x ，y)，M(x o ，y o )，则N(0，y o ) PN MP y y x PN y y x x MP o o o o λ=--=--=∴又),,(),,( ∴x-x o =-λo x,y-y o =λo (y o -y)，∴λo =-1．[专家把脉] 对PN MP o λ=分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M 、N 、P 三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λo=-1是错误的．[对症下药] (1)解法1：设M(x ，y)，则C(x ，-1+,0),3221,(),322=∙⊥+-+BD AC BD AC y x D y 得由 即(x ，y-1)·(x ，y+1)=0，得x 2+y 2=1，又x ≠0，∴M 的轨迹方程是:x 2+y 2=1(x ≠0)解法2：设AC 与BD 交于E ，连结EM 、EO ，∵AC+BD ，∴∠CED=∠AEB=90°，又M 、O 分别为CD ， AB 的中点，∴||21|||,|21||AB EO CD OM ==，又E 为分别以AB 、CD 为直径的圆的切点，∴O 、C 、M 三点共线，∴ |OM|=|OE|+|AB|=1，∴M 在以原点为圆心1为半径的圆上，轨迹方程为x 2+y 2=1(x ≠0)．(2)设P(x ，y)，则由已知可设M(xo ，y)，N(0，y)，又由 MP=λo PN 得(x-x o ，0)=λo (-x ，0)，∴x o =(1+λo )x ，又 M 在x 2+y 2=1(x ≠0)上，∴P 的轨迹方程为(1+λo )2x 2+ y 2=1(x ≠0)，又P 到A 、B 的距离之和为定值，∴P 的轨迹为经A ，BP 为焦点的椭圆，∴+=+-1(,98)1(112得O λλo )2=9，∴P 轨迹E 的方程为9x 2+y 2=1(x ≠O)．3．(典型例题)如图6—5，ABCD 是边长为2的正方形纸片，以某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。
高考数学典型易错题会诊(下)
高考数学典型易错题会诊（下）命题角度 3空间距离1．（典型例题）在空间中，与一个△ABC 三边所在直线距离都相等的点的集合是 （ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．三条直线D ．四条直线[考场错解]设该点为P ，且P 在平面ABC 上的射影为O ，因为P 到△ABC 三边所在直线距离都相等，所以O 到△ABC 的三边直线的距离都相等，即O 为△ABC 的内心，所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC 垂直的直线上，所以选A 。
[专家把脉] 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在直线等距离[对症下药] 设该点为P ，且P 在平面ABC 上的射影为O ，因为P 到△ABC三边所在直线距离都相等，所以O 到△ABC 的三边所在直线的距离都相等，即O 为△ABC 的内心或傍心，所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC 垂直的直线上，这样的直线有4条，所以选D 。
2． （典型例题）如图10-15，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP 。
（1）求直线AP 与平面BCC 1B 1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）设O 点在平面D 1AP 上的射影为H ，求证：D 1H ⊥AP ；（3）求点P 到平面ABD 1的距离。
[考场错解] 第（3）问：∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴AB ⊥面BCC 1B 1，∴BP ⊥AB ，∴BP 即为P 到平面ABD 1的距离，在Rt △BCP 中，BP=17[专家把脉] 线面垂直的判定有误，错解中BP ⊥AB ，但BP 与平面ABD 1不垂直，所以P 到平面ABD 1的距离不是BP 。
正解一：（1）如图10-16，连接BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB 。
数学经典易错题会诊与高考试题预测(含答案解析)9
经典易错题会诊与 高考试题预测（九）考点9 圆锥曲线►对椭圆相关知识的考查 ►对双曲线相关知识的考查 ►对抛物线相关知识的考查 ►对直线与圆锥曲线相关知识的考查 ►对轨迹问题的考查 ►考察圆锥曲线中的定值与最值问题 ►椭圆 ►双曲线 ►抛物线 ►直线与圆锥曲线►轨迹问题 ►圆锥曲线中的定值与最值问题 经典易错题会诊 命题角度1对椭圆相关知识的考查1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 12.22.212.22.---D C B A[考场错解] A[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把||||21PF PF 当作离心率． [对症下药] D 设椭圆的方程为2222b y a x +=l (a ，b >0) 由题意可设|PF 2|=|F 1F 2|=k ，|PF 1|=2k ，则e=12222-=+=kk k ac2．(典型例题)设双曲线以椭圆92522y x +=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )A ．±2B ．±34C ．±21D ．±43[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆92522y x +=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=43±=±a b [专家把脉] 没有很好理解a 、b 、c 的实际意义．[对症下药] C 设双曲线方程为2222by a x -=1，则由题意知c=5，c a 2=4 则a 2=20 b 2=5，而a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±a b =21± 3．(典型例题)从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程2222n y m x +=1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B={(x ，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A ．43 B ．72 C ．86 D ．90[考场错解] D 由题意得，m 、n 都有10种可能，但m ≠n 故椭圆的个数10×10-10=90． [专家把脉] 没有注意，x 、y 的取值不同．[对症下药] B 由题意得m 有10种可能，n 只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m ≠n ，故椭圆的个数：10×8-8=72． 4．(典型例题)设直线l 与椭圆162522y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( ) [考场错解] 设直线l 的方程为y=kx+b如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD由)1(0)40025(50)2516(1162522222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x b kx y 得 所以x 1+x 2=-.2516502k bk +由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122y x bkx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0(2)若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1 所以x 3+x 4=212k bk -、由⇒=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4 ⇒x 1+x 2=x 3+x 4⇒-⇒-=+2212251650k bk k bk bk=0或b =0①当k=0时，由(1)得x 1、2=±21645b - 由(2)得x 3、4=±12+b 由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 1)即1316161641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为y=±1316②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2251620k+，由(2)得x 3、4=211k-±由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 3)即.2516,25161625164022x y l k k k ±=±=⇒-=+的方程为故 综上所述：直线l 的方程为：y=x y 2516,1316=±[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解． [对症下药] 解法一：首先讨论l 不与x 轴垂直时的，情况．设直线l 的方程为y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2， y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有CD AB BD AC 3,==．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11625,22y x b kx y 得(16+25k 2)x 2+50bkx+(25b 2-400)=0．(1) 所以x 1+x 2=-.2516502k bk +由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1,22y x b kx y 得(1-k 2+x 2-2bkx-(b 2+1)=0．若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1． 所以x 3+x 4=212kbk -由⇒-=-⇒=4213x x x x BD AC x 1+x 2=x 2+x 4001225165022=⇒=⇒-=+-⇒k bk kbk kbk或 b=0．①当k=0时，由(1)得.164522,1b x -±= 由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-⇒=x x CD AB (x 4-x 3)． 即.131611641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316②当b=0时，由(1)得x 1、2=2251620k+±自(2)得x 3、4=33,11122=-⇒=-±x x CD AB k 由(x4-x3)．即.25161625164022±=⇒-=+k k k 故l 的方程为y=x 2516±．再讨论l 与x 轴垂直时的情况． 设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=.25542c -±y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y CD AB c -=-⇒=-±由 即.24125,2412516255822=±=⇒-=-x l c c c 的方程为故综上所述，直线l 的方程是：y=2516±x 、y=±1316和x=24125± 解法二：设l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，则有⎪⎩⎪⎨⎧==-==+.4,3.12,1,116252222j y x i y x j ji i由i 的两个式子相减及j 的两个式子相减，得：⎩⎨⎧=-+--+=-++-+.0))(())((,0))((25))((163434343412121212y y y y x x x x y y y y x x x x 因C 、D 是AB 的三等分点，故CD 的中点(x 0，y 0)与AB 的中点重合，且.3CD AB =于是x 0=,221342x x x x +=+y 0=,223412y y y y +=+x 2-x 1=3 (x 4-x 3)． 因此⎩⎨⎧-=-=--=-)2().()()1(),(25)(16340340340340y y y x x x y y y x x x若x 0y 0≠0，则x 2=x 1⇔x 4=x 3⇔y 4=y 3⇔y 2=y 1．因A 、B 、C 、D 互异，故x i ≠x j ，y i ≠y j ，这里ij=1，2，3，4且 i ≠j(1)÷(2)得16=-25，矛盾，所以x 0y 0=0． ①当x 0=0，y 0≠0时，由(2)得y 4=y 3≠0，这时l 平行 x 轴． 设l 的方程为y=b ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x l 、2=,16452b -±x 3、4=.12+±b ∵x 2-x 1=3(x 4-x 3)410⇒1316161622±=⇒+=-b b b ． 故l 的方程为y=±1316 ②当y 0=0，x 0≠0，由(2)得x 4=x 3≠0，这时l 平行y 轴． 设l 的方程为x=c ，分别代入椭圆、双曲线方程得：y l 、2=,25542c -±y3、4=.12-±c ∵y 2-y 1=3(y 4-y 3)2412516255822±=⇒-=-⇒c c c 故l 的方程为：24125±=x③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直． 设l 的方程为y=kx ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x 1、2=.11,25162024,32kx k-±=+±.2516)(33412±=⇒-=-k x x x x 故l 的方程为y=.2516x y ±= 综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±、y=1316±和x=.24125± 5．(典型例题)设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．(1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)[考场错解] (1)设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有:⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y l -y 2)(y l +y 2)=0 依题意，x 1≠x 2 ∴k AB -2121)(3x x y y ++∵N(1，3)是AB 的中点， ∴x 1+x 2=2,y l +y 2=6从而k AB =-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB 的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0 [专家把脉]①用“差比法”求斜率时k AB =2)(3121y y x x ++-这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根， ∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x 1+x 2=3)3(22+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得1221=+x x ，∴A(k-3)=k 2+3． 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)． 于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2121)(3y y x x ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1． 又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x 2+4x+4 又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，且x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23，即M(-21，23)．于是由弦长公式可得|CD|=.)3(2||)1(1432-=-∙-+λx x k④ 将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-λ=0 ⑤ 同理可得|AB|=.)12(2||.1212-=-+λx x k ⑥ ∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心．点M 到直线AB 的距离为d=.2232|42321|2|4|00=-+-=-+y x ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d 2+.|2|2321229|2|22CD AB =-=-+=λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2|CD为半径的圆上． (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2 =|CN|·|DN|， 即)2||)(2||()2(2d CD d CD AB -+=. ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=212-λ,由④和⑦知，⑧式右边=,212)29232232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x 2-8x+16-λ=0．⑤ 解③和⑤式可得 x l ，2=.231,21224,3-±-=-±λλx 不妨设A(1+)233,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C )21233,23123()21233,23123(-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA CA计算可得0=∙CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆． (注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD) 专家会诊1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形……3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等． 考场思维调练1 已知椭圆的中心O 是坐标原点，A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2分别为左右准线，l 1与x 轴交于O ，P 、Q 两点在椭圆上，且PM ⊥l 1于M,PN ⊥l 2于N ，QF ⊥AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( ) ||||)5(;||||)4(;||||)3(;||||)2(;||||)1(BF QF BA AF BO AO PN PF PM PF A.1个 B ．2个 C.4个 D ．5个答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于caaBO AO 2||||==e ，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=,2ab|BF|=cb c c a 22=-,e BF QF =||||故,故(5)正确；(2)显然不对，所选C ． 2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c ，静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 ( ) A ．4a B ．2(a-c)C.2(a+c) D ．以上答案均有可能答案： D 解析：(1)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B ；(2)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a+c)，则选C ；(3)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A. 于是三种情况均有可能，故选D. 3 已知椭圆22ax +y 2=1(a>1)，直线l 过点A(-a ，0)和点B(a ，ta)(tt>0)交椭圆于M ．直线MO 交椭圆于N(1)用a ，t 表示△AMN 的面积S ；(2)若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值． 答案：易得l 的方程为了y=2t(x+a)…1分由,1)1(2222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=y a x x t y 得(a 2t 2+4)y 2-4aty=0解得了y=0或y=4422+t a at 即点M 的纵坐标y M =4422+t a at S=S △AMN =2S △AOM =|OA|·y M =4422+t a at (2)由(1)得，S=4422+t a at =t a ta 2244+ (t>0)令V=t4+a 2t ，V ′=-24t +a 2由V ′=O at 2=⇒ 当时t>a 2时，V ′>0；当0<t<a2时，V ′<0．．．10分 若1≤a ≤2，则，故a 2∈[1，2]当t=a 2时，S max =a 若a>2，则0<a 2<1，∵V=t4+ a 2t 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数．∴当t=1时，S max =2244a a +综上可得S max ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤)2(44)21(22a a a a a 命题角度2对双曲线相关知识的考查 1．(典型例题1)已知双曲线x 2-22y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=∙MF MF ，则点M 到x 轴的距离为 ( ) 3.332.35.34.D C B A[考场错解] B[专家把脉] 没有理解M 到x 轴的距离的意义．[对症下药] C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|，|MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1|由|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2得 x 02=.332||,3435020==y y 则即点M 到x 轴的距离为.332 2．(典型例题)已知双曲线2222b y a x -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [考场错解] B[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．[对症下药] D 由题意得A(c ab c a ,2)s △OAF =21·c ·b a a ab c ab =⇒==2212，则两条渐近线为了y=x 与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°．3．(典型例题Ⅲ)双曲线2222b y a x -=1(a>1，b>0)的焦距为2c ，直线l 过点(a ，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s ≥54c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． [考场错解] 直线l 的方程为b y ax +=1即bx+ay-ab=0点(-1，0)到直线l 的距离：22)1(ba ab ++，点(1，0)到直线l 的距离:22)1(b a a b +- ∴22)1(b a a b +++22)1(b a a b +-=c c ab b a ab 542222≥=+得5a 2222c a c ≥-于是得52221e e ≥-即4e 4-25e 2+25≤0解不等式得45≤e 2≤5，所以e 的取值范围是].5,25[]25,5[⋃-- [专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1． [对症下药] 解法：直线J 的方程为byax+=1，即 bx+ay-ab=0． 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=.)1(22ba ab +-同理得到点（-1，0）到直线l 的距离d 2=.)1(22ba ab ++s=d 1+d 2=.2222cabb a ab =+ 由025254.215.25,542,542222222≤+-≥-≥-≥≥e e e e c a c a c c ab c s 即于是得即得解不等式，得.525,01.5452≤≤>>≤≤e e e e 的取值范围是所以由于 专家会诊1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏．3．掌握参数a 、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用． 考场思维训练 1 已知F 1，F 2为双曲线2222b y a x -=1(a>0,b>0)的两个焦点，过F 2作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠pF1F2=30°，则双 曲线的渐近线方程为 ( )xy D y C xy B x y A 2.33.3.22.±=±=±=±=答案： D 解析：由已知有212|||F F PF =tan30°=ac b 22，所以2a 2=b 2渐近线方程为y=±x 2,所以选取D2 若F l 、F 2双曲线2222b y a x -=1的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足||||||,11OP OF OP OF OMOP OM OP PM O F ∙=∙=(1)求此双曲线的离心率；答案：由−−→−=−−→−PMD F 1知四边形PF 1OM 为平行四边形，又由|||||||11−−→−−−→−−−→−∙−−→−=−−→−−−→−−−→−∙−−→−OPOMOPOMOF OPOF OP知OP 平分∠F 1OM, ∴PF 1OM 菱形，设半焦距为c ，由||1−−→−OF =c 知e a c a c c PMPF PF PF PMPF=−−→−−−→−+=+−−→−=−−→−=−−→−=−−→−||||,22||||,||||1121又，即c+e ca=1 e 2-e-2=0, ∴e=2(e=-1舍去)(2)若此双曲线过点N(2，3)，求双曲线方程：答案：∵e=2=,a c ∴c=2a, ∴双曲线方程为)3,2(,132222将点==ay a x 代入， 有3a ,1434222=∴=-a a 即所求双曲线方程为9322y x -=1. (3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B 1，B 2(B 1在y 轴正半轴上)，求B 2作直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，求B B A B 11⊥时，直线AB 的方程．答案：依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB 的方程为y=kx-3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+-⇒-=193.0186)3(32222y x kx x k kx y ∵双曲线的渐近线为y=±x 3,∴当k=±3时，AB 与双曲线只有一个交点， 即k ≠±3.∵x 1+x 2=.318,362212kx x kk --=∙-y 1+y 2=k(x 1+x 2)-6=2318k --,y 1y 2=k 2x 1x 2-k(x 1+x 2)+9=9又=−−→−AB1（x 1，y 1 -3）,−−→−B B 1=(x 2,y 2 -3), −−→−A B 1⊥−−→−B B 1,09)(3212121=++++⇒y y y y x x 0931*******2=+--∙-+--kk,即k 2=5, ∴k=±5.故所求直线AB 的方程为y=5x-3或y=-5x-3.3 设双曲线42x -y 2=1的右顶点为A 、P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点．(1)证明：无论P 点在什么位置，总有||||2AR OQ OP ∙=；答案：设OP ：y=kx 与AR ：y=联立)2(21-x解得),212,212(kkk OR--=−−→− 同理可得),212,212(k k k OQ++=−−→−所以|−−→−OQ ·−−→−OR |,|41|4422k k -+ 设|−−→−OP |2=（m,n ）,则由双曲线方程与OP 方程联立解得m 2=,414,4142222k k n k -=-所以|−−→−OP |2=m 2+n 2=||414422−−→−∙−−→−=-+OROQk k (点在双曲线上，1-4k 2>0);(2)设动点C 满足条件：)(21AR AQ AC +=，求点C 的轨迹方程．答案：∵ ),(21−−→−+−−→−=−−→−ARAQ AC 点C 为QR 的中心，设C （x,y ）, 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22412412k k y k x ，消去k,可得所求轨迹方程为x 2-x 2-4y 2=0(x ≠0).命题角度3对抛物线相关知识的考查。
数学经典易错题会诊与高考试题预测
1 n2 n. 由 Sk2=(S k) 2,
2
S1 S4
2
( S1) , 即 ( S2 )2 .
a1 4a1
a12 ,(1) 43
d 2
(2a1
2 1 d) 2.(2) 2
由（ 1）得 a1=0 或 a1=1. 当 a1=0 时，代入（ 2）得 d=0 或 d=6. 若 a1=0,d=0, 则 an=0,s n=0, 从而 Sk2=(S k) 2 成立； 若 a1=0,d=6, 则 an=6(n-1), 由 S3=18，（ S3）2=324,S 9=216 知 S9≠ (S 3) 2，故 所得数列不符合题意 . 当 a1=1 时 , 代入 (2) 得 4+6b=(2+d) 2 解得 d=0 或 d=2. 若 a1=1,d=0, 则 an=1,S n=n, 从而 Sk2=(S k) 2 成立； 若 a1=1,d=2, 则 an=2n-1,S n=1+3+… +（2n-1 ）=n2, 从而 Sk2=(S k) 2
+(n-2) · an-2 ②
①- ②得
an-a n-1 =(n-1) · an-1 ∴ 当 n ≥ 3 时 ， an =n ， ∵
an 1
an= an
an 1
·
an an
1 2
·．．．·
a4 a3
?
a3 a2
? a2 =n·…·
4· 3× a2= n!
2
a2，∵ a2=a1=1
∴当 n≥ 2 时， an= n! .
得 an-a n-1 =(n-1)a n-1 ，∴ an =nan-1 . 由此类推： a n-1 =(n-1)a n-2 ，… a2 =2a1，由叠乘法可得 an= n!
高中数学经典易错题会诊与试题预测
高中数学经典易错题会诊与试题预测（十二）考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1．（典型例题）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f 的个数为（）A．C47A33B．C47C．77D．C7473[考场错解] ∵f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B[专家把脉] C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。
[对症下药] 由映射的定义f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，又f(1)<f(2)<f(3)<f(4) ∴f(1) f(2) f(3) f(4)的大小已定，∴1、2、3、4的象的可能为C47，5、6、7三个元素的象每一个都有7种可能，∴有73种可能。
根据分肯计数原理，这样的映射共有C47·73个。
∴选D。
2．（典型例题）8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）[考场错解] 每两人之间比赛一场，需要比赛C28=28场，填28场；或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。
∴至少需要比赛6场，填6。
[专家把脉] 前一种解法的错误是没有看清题意，“至少”没有理解好；后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。
高考数学知识点易错题汇总
高考数学知识点易错题汇总高考是每个学生都要面对的重要考试，而数学作为其中的一门科目，往往是学生们心中的难题。
在高考数学中，有一些知识点常常让学生们感到头疼，不少同学在这些知识点上容易犯错。
本文将通过几个典型的数学知识点，总结一些高考易错题，帮助同学们更好地备考。
一、函数与方程1. 函数的定义域：易错点：不认真审题，未排除函数定义域中的奇点。
解析：在题目中，有时候会给出函数的表达式或图像，要求求取其定义域。
要注意，函数在定义时是有要求的，可能会有分母为零等情况，需要排除掉这些奇点。
2. 二次函数的最值：易错点：对二次函数的抛物线形状理解不透彻。
解析：求二次函数的最值，可以通过求导数或配方法得到。
注意，当二次函数系数开头是负数时，抛物线开口朝下，最值出现在抛物线的顶点。
二、概率与统计1. 条件概率的计算：易错点：未正确理解条件概率的定义和计算方法。
解析：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
计算条件概率时，要根据给定条件将样本空间缩小，再根据条件发生的样本数除以总样本数求得。
2. 抽样与抽样分布：易错点：对抽样方法和抽样分布的理解模糊。
解析：抽样是指根据一定的设计方案从总体中随机选取样本的过程。
常见的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样等。
抽样分布是指样本统计量的分布情况，如样本均值的分布符合正态分布等。
三、数列与数列极限1. 通项公式与前n项和的计算：易错点：没有清晰掌握数列的规律，公式使用错误。
解析：数列通常是根据规律推算的，通过观察可以找到数列的递推关系。
通项公式是指通过递推关系求得数列各项的表达式。
前n项和是指数列的前n项连加的结果，可以通过把通项公式代入得到。
2. 数列极限的定义与计算：易错点：对数列收敛与发散的判断不准确，收敛性和极限值的计算错误。
解析：数列极限是指数列在无穷项时的趋势或取值，如果数列的极限存在，且有限，称该数列收敛。
计算数列的极限时，可以通过递推公式、通项公式和极限的四则运算性质等方法得到。
2022-2023年成人高考《文科数学》预测试题10(答案解析)
2022-2023年成人高考《文科数学》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.下列函数中，在区间（0，+∞）为增函数的是（）A.y=x-1B.y=x2C.y=sinxD.y=3-x正确答案：B本题解析：本题考查了函数的单调性的知识点．A、D两项在（0，+∞）上为减函数，C项在（0，+∞）上不是单调函数．2.函数的值域是（）A.[-2，2]B.[-1，3 ]C.[-3，1]D.[0，4]正确答案：A本题解析：【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的值域．【应试指导】求函数的值域，最简便方法是画图从图像上现察．由图像可知-2≤f(χ)≤2．3.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：4.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：5.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：6.过抛物线C：y2=4x的焦点作2轴的垂线，交C于A，B两点，则|AB|=A.2B.4C.D.8正确答案：B本题解析：抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1．则A、B两点的距离为A点和B点到准线的距离? 之和，即|AB|=2+2=4．7.若1名女生和3名男生排成一排，则该女生不在两端的不同排法共有（）A.24种B.12种C.16种D.8种正确答案：B本题解析：本题考查了排列组合的知识点．该女生不在两端的不同排法有8.过点（2,-2）且与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A本题解析：本题主要考查的知识点为双曲线的渐近线．将双曲线方程化为标准式方程．如图注：本题是用待定系数法来解的．9.函数y=2x的图像与直线x+3=0的交点坐标为（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：本题主要考查的知识点为线的交点．10.设a，b为实数且a＞2，则下列不等式中不成立的是（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：A本题解析：由题意可得应选A。
高考题易错系列数学题解析
高考题易错系列数学题解析数学是高考中的一门重要科目，对于很多考生来说，数学题可能是最容易出错的题型之一。
在复习备考过程中，了解和掌握一些常见易错题的解法是非常重要的。
本文将针对一些高考数学易错题进行解析，帮助考生更好地应对。
1. 高考数学易错题解析一：导数与函数在高考数学中，导数与函数是一种常见的考点。
考生容易在计算导数时出错，或者在根据导数求函数的性质时出问题。
针对导数与函数的易错点，我们可以重点进行解析和讲解。
2. 高考数学易错题解析二：集合与概率集合与概率是高考数学中的另一个容易出错的考点。
考生在解集合相关的题目时，往往未能准确找到正确的交集、并集或补集；而在解概率问题时，容易将概率的计算方法弄混。
我们将针对这些易错点进行详细的解析与说明。
3. 高考数学易错题解析三：几何与三角几何与三角是高考数学中的重要内容，也是容易出错的考点之一。
在解几何相关的问题时，考生常常没有将题目中的条件完全用上，或者在计算过程中出现了计算错误。
而在解三角函数相关的题目时，常常会忽略角度的单位或者使用错误的公式。
我们将通过具体例题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握这些知识点。
4. 高考数学易错题解析四：函数方程与代数函数方程与代数是高考数学中的另一个重要考点，也是容易出错的地方。
考生在解函数方程时，常常会漏解或者解错，没有找到所有的解；而在解代数相关的题目时，常常会在运算过程中出现计算错误，导致最终答案错误。
我们将通过一些典型的函数方程与代数题目进行解析，帮助考生更好地应对这些难点。
5. 高考数学易错题解析五：数列与数论数列与数论是高考数学中的重要内容，也是容易出错的考点之一。
考生在解数列相关的题目时，常常会出现求和错误、项数判断错误等问题；而在解数论相关的题目时，常常会忽略一些定理或者公式的应用。
我们将通过一些典型的数列与数论题目进行解析，帮助考生更好地掌握解题方法。
通过对高考数学易错题的解析，我们希望能够帮助考生更好地理解和掌握这些考点，减少出错的可能性。
数学经典易错题会诊与高考试题预测(含答案解析)6
经典易错题会诊与 高考试题预测(六)考点6 平面向量 经典易错题会诊命题角度1 向量及其运算 命题角度2 平面向量与三角、数列 命题角度3 平面向量与平面解析几何 命题角度4 解斜三角形 探究开放题预测预测角度1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度2 平面向量为背景的综合题 命题角度1 向量及其运算1 (典型例题)如图6-1，在 Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为 2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP ．CQ 的值最大?并求出这个最大值．[考场错解],||)()(,,2BQ QP CB QP CB BQ BQ BQ CB BQ BQ CQ BP BQ CB CQ QP BQ BP ∙+∙+∙+=+∙+=∙∴+=+= 此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续．[专家把脉] 此题是湖北省20典型例题)已知，|a|=2，|b|=3，a 与b 的夹角为45°，当向量a+λb 与λa+b 的夹角为锐角时，求实数A 的范围．[考场错解] 由已知a ·b=|a||b|·cos45°=3，∵a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+b)>0即λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a ·b=0，∴2λ+9λ+ 3(λ2+1)>0，解得λ>6851168511--<+-λ或∴实数λ的范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+-68511,,68511 [专家把脉] 解题时忽视了a+λb 与a λ+b 的夹角为0的情况，也就是(a+λb)·(λa+b)>0既包括了 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，也包括了a+λb 与λa+b 的夹角为0，而a+λb 与λa+b 的夹角为0不合题意． [对症下药] 由已知a ·b=|a|·|b|，|b|×cos45°=3．又a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+ b)>0，且a+λb ≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a ·b>0即3λ2+11λ +3>0，解得λ>6851168511--<+-λ或．由a+λb ≠μ (λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，综上所述实数λ的取值范围是(-∞，6851168511+-⋃--,1)∪(1，+∞)． 3．(典型例题)已知O 为△ABC 所在平面内一点且满足032=++OC OB OA ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为 ( ) A ．1 B.32.23C D ．2[考场错解] OC OB O OC OB OA 2-=∴=++ ∴O 在BC 边上，且||2||OC OB = ,又△AOB 与△AOC 高相等，∴△AOB 与△AOC 的面积之比为2，∴选D ．[专家把脉] 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O 为△ABC 的重心的情况下，才有O OC OB OA =++ ，而本题无此已知条件． [对症下药] (1)如图6-3，在AB 上取一点D ，使OB OA OB OA OD AB D DB AD 3231212211,2|,|2||+=+++==∴=得的比分λ又由已知,,3231OC OD OB OA OC -=-=∴O 为CD 的中点，不妨设S △AOC =S ，则S △AOD =S(∵两者等底同高)∴,23|),|2||(,21S S BD AD S S AOB BOD =∆==∆ △AOB 的面积与△AOC 的面积之比为3：2，选B ．(2)不妨设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练1 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且.432O OC OB OA =++ (1)求||AB1． 答案：由已知得2OC OB OA 43-=+，所以62114121||2||)(||.41,1||||||,||16||912||4,||16)32(2222222222=+⨯-=+∙-=-=∴=∙∴====+∙+=+OA OA OB OB OA OB AB OB OA OC OB OA OC OB OB OA OA OC OB OA 即(2)求△ABC 的面积．答案：设∠AOB=θ，∠AOC=ϕ，∠BOC=γ，由OA ·OB =41，得cos θ=41，sin θ=415，S △AOB = 21|OA |·|OB |sinθ=21×1×1 ×815415=同理可求得cos ϕ=-1611，sin ϕ=15163，S △AOC =15323 ．cos γ=-87，sinr=81，S △BOC =21×.1615815= 由于θ为锐角，ϕ,γ为钝角，所以OC 不可能在△AOB 内部，故△AOB 、△AOC 、△BOC 互不重叠∴S △ABC =S△AOB+ S △AOC +S △BOC =15329． 2 已知向量a=(1，1)，b ：(1，0)，c 满足a ·c=0，且|a|=|c|，b ·c>0． (1)求向量c ；答案：设 =(m ，n)，由a ·c=0，得m+n=0再由，|a|=|c|，得m 2+n 2=2，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222n m n m ，解得m=1，n= -1或m=-l ，n=1，又∵b ，c=(1，0)·(m ，n)=m>0． ∴m=1，n=-1，c=(1，-1)．(2)若映射f:(x ，y)+(x ’，y ’)=xo+yc ，将(x ，y)看作点的坐标，问是否存在直线l ，使得l 上任一点在映射f 的作用下的点仍在直线l 上，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y ，x-y)，则f:(x ，y)→(x+y ，x-y)．假设存在直线l 满足题意．当l 的斜率不存在时，没有符合条件的直线l;当l 的斜率存在时，设l ：y=kx+m ，在l 上任取一点p(x 0,y 0)，则p 在映射f 作用下的点Q(x 0+y 0，x 0-y 0)，Q 也应在l 上，即x 0-y 0=k(x 0+y 0)+m 又(x 0，y 0)在l 上∴y 0=kx 0+m ，整理得(1-2k-k 2)x 0-(k+2)m=0，此式对于任意x 0恒成立．∴1-2k-k 2=0，(-k+2)m=0． 解得k=-1±2，m=0，综上所述，存在直线l ：y=(-1±2)x 符合题意．3 已知A 、B 、C 三点共线，O 是该直线外一点，设OA =a ，,,c OC b OB ==且存在实数m ，使ma-3b+c O 成立．求点A 分 所成的比和m 的值．答案：解：设点A 分BC 所成比为λ，则BA =λAC ，所以OA -OB =λ(OC -OA )．即a-b=λ(c-d)，则(1+λ)a-b-λc=0 (1)由已知条件得c=3b-ma 代人(1)得(1+λ)a-b-3λb+m λa=0，即(1+λ+m λ)a-(1+3λ)b=0 ∵OB OA 不共线，a 、b 不共线∴1+λ+m λ=0，1+3λ=0，解得λ=-31，m=2． ∴A 分BC 所成的比为-31，m=2．1.（典型例题）设函数f(x)=a ·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,]3,3[,3ππ-∈x 且)求x;(2)若函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m 、n 之值.[考场错解]（1）依题意，f(x)=2cos 2x+).32sin(212sin 3π++=x x由;3,332,323,33,23)32sin(,31)32sin(21ππππππππππ-=-=+∴≤+≤-∴≤≤--=+-=++x x x x x x 即得 (2)函数y=2sin2x 的图像按向量c=(m,n)平移后得到y=2sin2(x+m)-n 的图像，即y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(x+.1,12,2||,1)6-==∴<+n m m πππ[专家把脉]“化一”时出错，,1)32sin(21)62sin(212sin 32cos 2cos 2sin 3cos 22++++=++==+ππx x x x x x x 不是第（2）问在利用平移公式的时有错误.[对症下药]（1）依题设，f(x)=,23)62sin(,31)62sin(21),62sin(212sin 3cos 22-=+-=++++=+πππx x x x x 得由 ;4.362,65622,33ππππππππ-=-=+∴≤+≤-∴≤≤-x x x x 即 (2)函数y=2sin2x 的图像按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n 的图像，即函数y=f(x)的图像，由（1）得f(x)=2sin2(.1)12++πx.1,12,2||=-=∴<n m m ππ2.(典型例题)已知i,j 分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，*).,2(2,5,1121N n n A A A A j OA j OA m n n n ∈≥===+- （1）求.)2(;87的坐标和求n n OB OA A A[考场错解]（1）由已知有||21||,211111-+-+==n n n n n n n n A A A A A A A A 得 ).222(22222)1(23||||||||).0,29(,29292141||||||||)2(;161,161||,)21()21(||121144441211878732111+=∴+=∙-+=+++=--=-+++=+++===∴==∴--------+n OB n n B B B B OB OB OA OA A A A A OA OA A A A A A A A A n n n n n n n n nn n n n n n n n 得得[专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.[对症下药] （1） ,)21(4121,21,2216657687111A A A A A A A A A A A A A A A n n n n n n n ===∴=∴=-++-1n A .1614)21(,46871221j j A A j OA OA A A =∙=∴=-=又 ).12,12(,)12()12()22()1(33).29,0(.)29(2124,21,2121)1()2(1144412114132111++∴+++=+∙-++=++=-∴-=++++=+++=∴=∴==------+--+n n OB j n i n j i n j j B B OB OB OA j j j j j A A A A OA OA j A A j A A A A n n n n n n n n n n n n n n n n n n 的坐标是同理的坐标为知由3.（典型例题)在直角坐标平面中，已知点P 1(1，2)，P 2(2，22)，P 3(3，23)…,P n (n ，2n)，其中n 是正整数，对平面上任一点A o ，记A 1为A o 关于点P 1的对称点，A 2为A 1，关于点P 2的对称点，…，A n 为A n-1关于点P n的对称点．(1)求向量2A A o 的坐标；(2)当点A o 在曲线C 上移动时.点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0，3)时f(x)=lgx ．求以曲线C 为图像的函数在(1，4)上的解析式； (3)对任意偶数n ，用n 表示向量n o A A 的坐标．[考场错解] 第(2)问，由(1)知2A A o =(2，4)，依题意，将曲线C 按向量(2，4)平移得到y=f(x)的图像． ∴y=g(x)=f(x-2)+4．[专家把脉] 平移公式用错，应该为y=g(x)=f(x+2)-4．[对症下药] (1)设点A o (x ，y)，A o 关于点P 1的对称点A 1的坐标为A 1(2-x ，4-y)，A 1关于点P 2的对称点 A 2的坐标为A 2（2+x ，4+y ），所以，2A A o =｛2，4｝．(2)∵2A A o =｛2，4｝，∴f(x)的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到． 因此，曲线C 是函数y=g(x)的图像，其中g(x)是以 3为周期的周期函数，且当x ∈(-2，1)时，g(x)=1g(x+2)-4，于是，当x ∈(1，4)时，g(x)=1g(x-1)-4．{}{}{}.3)12(4,3)12(2,22)2,12,12,1(2)(2,22)3(1314321122222422⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+++==+++=-----n n n n n n O k k k nn O n O n n P P P P P P A A k P P A A A A A A A A A A 得由于 专家会诊向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，综合性强、能力要求较高．考场思维调练1 已知平面向量a=(3，-1)，b=)23,21(，c=a+(sin2a-2cosa)b ，d=(a 2sin 412)a+(cosa)b ，a ∈(o ，2π)，若c ⊥d ，求cosa ． 答案：解析：由已知得a ·b=0，|a|2=a 2=4，|b|2=b 2=1，因为c ⊥d ，∴c ·d=0，即[a+(sin2λ-cos α)·b]． [(41sin 22α)a+(cos α)b]=0，得sin 22α+sin2α，cos α-2cos 2α=0， 即(sin2α+2cos α)(sin2α-cos α)=0， ∵α∈(0，2π)，∴sin2α+cos α>0，∴sin2α=cos α，由于cos α>0，得sina=21 ，则cos α=23． 2设向量a=(cos23°，cos67°)．b=(cos68°，cos22°)，c =a+tb(t ∈R)，求|c|的最小值．答案：解：|a|=167cos 23cos 22=+ =1， |b|=122cos 68cos 22=+ =1a ·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°-68°)=22． ∴|c|2=(a+tb)2=|a|2+t 2|b|2+2ta ·b=t 2+1+2t ≥21. ∴|c|的最小值为22，此时t=-223 已知向量a=(2，2)，向量b 与a 的夹角为43，且a ·b=-2． (1)求向量b;答案：设b=(x ，y)，∵a ·b=-2，∴2x+2y=-2，即x+y=-1，(1)，又∵a 与b 的夹角为43π，∴|b|=π43cos ||∙∙a b a =1，∴x 2+y 2=1 (2)，联立(1)、(2)得x=-1，y=0或x=0，y=-1， ∴b=(-1，0)或b=(0，-1)．(2)若t=(1，0)且b ⊥t ，c=(cosA ，2cos22c )，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围．答案：由题意得B=3π，A+C=32π，b ⊥t ，t=(1，0)，∴b=(0，-1)，b+C=(cosA ，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos 2c=1+21(cos2A+cos2C)1+21cos2A+cos2(32π-A))=1+21cos(2A+3π)，∵0∠A<32π，∴3π∠2A+ππ353<，∴-1≤cos(2A+3π)<21，∴|b+c|2∈[45,21 ]，∴|b+c|∈[25,22] 命题角度3平面向量与平面解析几何1．(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点F(-m ，0)(m 是大于0的常数．) (1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、 Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||QF MQ =，求直线l 的斜率． [考场错解] 第(2)问：设Q(xo ，yo)，直线J 的方程为 y=k(x+m)，则点M(0，km)，由已知得F 、Q 、M 三点共线，且 ||2||QF MQ =，∴||2||QF MQ =由于F(-m ，0)， M(0，km)，由定比分点坐标公式，得x Q =62,12791,134,31,3222222±==+∴=+=-k k my m x Q km y m Q 解得上在椭圆又[专家把脉] 缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将||2||QF MQ =进行转化时出现错误，依题意||2||QF MQ =应转化为QF MQ 2±=再分类求解k ． [对症下药] (1)设所求椭圆方程为=+2222b y a x 1 (a>b>O)．由已知得c=m ，.3,2,21m b m a a c ==∴= 故所求的椭圆方程是.1342222=+m y m x(2)设Q(x Q ，y Q )，直线l 的方程为y=k(x+m)，则点M(0，km)，∵M 、Q 、F 三点共线，||2||QF MQ =，∴QF MQ 2=．当QF MQ 2=时，由于F(-m ，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得,31,32km y m x Q Q =-=又Q 在椭圆;62,12791,13422222±==+∴=+k k m y m x 解得有上同理当.0,131,2222==+-=k mm k QF MQ 解得有时故直线l 的斜率是0， .62±2．(典型例题)如图6—4，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点，|AB|=.3242||,324-=CD AC ⊥BD ，M 为CD 的中点． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在常数λo ，使PN MP o λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹C 的方程．[考场错解] 第(2)问：设P(x ，y)，M(x o ，y o )，则N(0，y o ) PN MP y y x PN y y x x MP o o o o λ=--=--=∴又),,(),,( ∴x-x o =-λo x,y-y o =λo (y o -y)，∴λo =-1．[专家把脉] 对PN MP o λ=分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M 、N 、P 三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λo=-1是错误的． [对症下药] (1)解法1：设M(x ，y)，则C(x ，-1+,0),3221,(),322=∙⊥+-+BD AC BD AC y x D y 得由 即(x ，y-1)·(x ，y+1)=0，得x 2+y 2=1，又x ≠0， ∴M 的轨迹方程是:x 2+y 2=1(x ≠0)解法2：设AC 与BD 交于E ，连结EM 、EO ，∵AC+BD ，∴∠CED=∠AEB=90°，又M 、O 分别为CD ， AB 的中点，∴||21|||,|21||AB EO CD OM ==，又E 为分别以AB 、CD 为直径的圆的切点，∴O 、C 、M 三点共线，∴ |OM|=|OE|+|AB|=1，∴M 在以原点为圆心1为半径的圆上，轨迹方程为x 2+y 2=1(x ≠0)．(2)设P(x ，y)，则由已知可设M(xo ，y)，N(0，y)，又由 MP=λo PN 得(x-x o ，0)=λo (-x ，0)，∴x o =(1+λo )x ，又 M 在x 2+y 2=1(x ≠0)上，∴P 的轨迹方程为(1+λo )2x 2+ y 2=1(x ≠0)，又P 到A 、B 的距离之和为定值，∴P 的轨迹为经A ，BP 为焦点的椭圆，∴+=+-1(,98)1(112得O λλo )2=9，∴P 轨迹E 的方程为9x 2+y 2=1(x ≠O)．3．(典型例题)如图6—5，ABCD 是边长为2的正方形纸片，以某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。
最新精编高中高考数学经典易错题和高考试题预测5和答案
经典易错题和高考试题预测(五)考点5 三角函数 经典易错题会诊命题角度1 三角函数的图象和性质 命题角度2 三角函数的恒等变形命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测 预测角度1 三角函数的图象和性质 预测角度2 运用三角恒等变形求值 预测角度3 向量与三角函数的综合命题角度1 三角函数的图象和性质1．（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈（0，2π）的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 . [考场错解] 填[0，3] ∵f(x)=⎩⎨⎧∈-∈]2,(,sin ],0[,sin 3πππx x x x∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k 有交点， ∴k ∈[0，3]．[专家把脉] 上面解答求出k 的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k 有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k 有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解． [对症下药] 填(1，3) ∵f(x)⎩⎨⎧∈--∈]2,(,sin ],0(,sin 3πππx x x x作出其图像如图从图5-1中可看出：当1<k<3时，直线y=k 与 yf(x)有两个交点． 2．(典型例题)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的 ( )A.横坐标缩短到原来的21 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π 个单位长度B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度[考场错解] B 或D ∵将函数y=2sin(2x+4π)的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得函数y=2sin(x+4π)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=2sin(x+2π)=2cosx 的图像．故选B ． 将函数y=2sin(2x+4π)变形为y=2sin2(x+4π)．若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=2sin(x+8π)的图像．再向右平行移动8π 个单位长度后得y=2cosx 的图像，选D ．[专家把脉] 选B 有两处错误，一是若将函数y f(x)=2sin(2x+4π)横坐标缩短到原来的21倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)= sin(4x+4π)，而不是f(x)=2sin(x+4π)，二是将函数y=f(x)=2sin(x+4π)向右平行移动4π得函数y=f(x)=2sinx 的图像，而不是y= f(x)=2cosx 的图像．因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是x 变为x-4π选D 同样是两处错误．一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=2sin(x+4π)而不是y=2sin(x+4π)．由y=2sin(x+8π)的图像向右平移81个单位长度得了y=2sinx 的图像，而不是y=2cosx 的图像．[对症下药] 选C 将函数y=2sin(2x+4π)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4π)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4π+4π)=2cosx 的图像．故选C ．3．(典型例题Ⅰ)设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π.(1)求ϕ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像． [考场错解](1)∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8π+ϕ)=±1，∴4π+ϕ =k π+2πkZ ．∴ ϕ=k π+4π ，∵-π<ϕ<0，∴ ϕ=-43π．(2)由(1)知ϕ =43π，因此y=sin(2×-43π)．∵最小正周期为T=42π=π.由题意得k π-2π≤2x-43π≤k π+2π，k ∈Z ．解得 k π+8π≤x ≤21k π85+π，k ∈Z ．所以函数y=sin(2x-π43)的单调查递增区间为.,8521,821Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ[专家把脉] 以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-2,2432πππππk k x 处，因若把432π-x 看成一个整体u ，则y=sinu 的周期为2π。
2022届高考数学经典易错题会诊与模拟押题预测(五)
经典易错题会诊与2022届高考试题预测五考点5 三角函数 经典易错题会诊命题角度1 三角函数的图象和性质 命题角度2 三角函数的恒等变形命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测 预测角度1 三角函数的图象和性质 预测角度2 运用三角恒等变形求值 预测角度3 向量与三角函数的综合命题角度1 三角函数的图象和性质 1．（典型例题）函数f=in2|in|,∈（0，2π）的图像与直线=有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是[考场错解] 填[0，3] ∵f=⎩⎨⎧∈-∈]2,(,sin ],0[,sin 3πππx x x x∴f 的值域为0，3，∵f 与=有交点， ∴∈[0，3]．[专家把脉] 上面解答求出的范围只能保证= f 的图像与=有交点，但不能保证=f 的图像与=有两个交点，如=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了=f 的图像，运用数形结合的思想求解． [对症下药] 填1，3 ∵f ⎩⎨⎧∈--∈]2,(,sin ],0(,sin 3πππx x x x 作出其图像如图从图5-1中可看出：当1.,8521,821Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-2,2432πππππk k x 432π-x 432π-x .,22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ.43,1,0,4,,24πϕϕπππϕππϕπ-=-=∴<<-+=∴∈+=+时k k Z k k .43).0,(πϕπ-=∴-∈πϕ43-=).432sin(π-=x y .,85,8)432sin(.,858.,2243222Z k k k x y Z k k x k Z k k x k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∴∈+≤≤+∈+≤-≤-ππππππππππππππ的单调递增区间的函数解得)432sin(π-=x yxx x x y 44cos cos sin 32sin -+=xx x x y cos sin 32cos sin 44+-= .22).62sin(22sin 32cos 2sin 3)cos )(sin cos (sin 2222πππ==-=+-=+-+=T x x x xx x x x 故该函数的最小正周期6,.2262πππππ-=∈-=-k x Z k k x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx w w 2,2ππ-.12222-≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≥-w w w ππππx xin x x 2sin 82cos 12++=+x x x x cos sin 2sin 8cos 2220，cot >0，∴f ≥4tan 4cot =•x x 4 化简f=cox k 2316++π2co π-2 2)23sin(3x +π∈R ，∈Z 求函数f 的值域和最小正周期． 答案：解析：∵f=co2π2co2π--22in2=2co22in2=4in 2=4in=4co2．∴f 的值域为[-4，4]；最小正周期为T ：=π 命题角度2三角函数的恒等变形1．典型例题Ⅱ设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则tan2α= [考场错解] 填± ∵513cos 22cos sin 2sin cos cos sin sin )2sin(sin 3sin 2=+=•+=+=αααααααααααα ∴.432tan 54532cos 2sin 2tan .53)54(1212sin ,542cos ,582cos 222±=∴±==∴±=-±=-±=∴=∴=ααααααααco f [专家把脉] 上面解答错在由co2α=得in2α=±时没有考虑角α是第四象限角．2α是第三、四象限角in2α只能取负值．因而tan2α也只能为负值． [对症下药] 填-ααααααααααsin 2sin cos 2cos sin sin )2sin(sin 3sin 43+=+= =co2α2co 2α=2co2α1=∴co2α=．又∵α为第四象限角，即2π.4354532cos 2sin 2tan .53)54(12cos 22-=-==∴-=--=ααααx x xx x cot tan 2cos 2sin 22sin 322++-0，in-coxx x x x x x x x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin cos 1sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322222•++-+=++-=++-.125204)572)(2512(-=+-xxx x x xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-25492524=0，in-co<0．∴in-co=．2125108)512)(2512()sin cos 2(cos sin cos sin cos sin 1sin cos 1sin cos cos sin 1sin sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322222=--=--•=•++--=++-=++-x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x解法2 1联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 2222x x x x由①得n=-co ，将其代入②，整理得25co - 5co-12=0，∴co=-或co=∵- <<0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x 故in-co=- 2xx x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 3222++-=++-=inco2-co-in= .125108)53542(54)53(-=+-⨯-3．典型例题已知6in 2αin αco α-2co 2α=0，α∈[，π]．求in2α的值．[考场错解] 由已知得3in α2co α2in α-co α=03in α2co α=0或2in α-co α=0． ∴tan α=-或tan α=又∵in2α=in2αcoco2α·in=in αco αco 2α-in 2α=.tan 1tan 123tan 1tan cos sin sin cos 23cos sin cos sin 222222222αααααααααααα+-⨯++=+-++将tan α=-代入上式得in2α=3265136)32(1)32(123)32(1)32(222+-=-+--+-+- 将tan α=时代入上式得10334)21(1)21(123)21(121)32sin(222+=++++=+πα 即103343265136)32sin(++-=+或πα [专家把脉] 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，∵α∈,π，tan α<0，∴tan α=应舍去，因此原题只有一解．[对症下药] 解法 1 由已知得3in α2co α 2in α-co α=03in α2in α=0或2in α-c αααααααααααααααα22222222222tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23cos sin cos sin )sin (cos 23cos sin +-++=+-•++=-+•=3265136)32(1)32(123)32(1)32(222+=-+-+-+-2sin )2sin(42cos 1x a x x -++πx a x x sin 21sin 4sin 22+=x a sin )2121(+22121=+a )sin(441sin 21cos 212cos 2sin cos 4cos 222y x a x a x x x a x x ++=+=+211sin a +=ϕ4412a +=•+αααα2cos cos 2cos 12sin 22αααα2cos cos 22sin 222•co 23625cos ,21625==ππ.0625cos 625sin 625sin 3)625(2=+-=ππππf 2341-232sin 212cos 23)(-+=x x x f 234123sin 21cos 23)2(-=-+=αααf 8531±8531±⇔22)2sin(22cos 1x x -+πxx cos 2cos 2221)2sin(25--=ϕθ)2sin(,55arccos ϕθϕ-=当552214ARCCOS +π20401x x +.11tan 1tan sin )(,tan 1tan sin ,tan 1tan cos sin sin sin 20402020202022002200220202222222x x x x x x x x x x x f x x x xx xx x x +=+•=+•=•=+=+=+=得由.tan 1tan sin tan 1tan cos sin sin2020222222x x x xxxx x +=+=+得24002201sin x x x x +=• ⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x ⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x ⎩⎨⎧==-θθsin 2cos 21y x a=2 3 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室．如图所示， ABCD 是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM 就是拟建的健身室，其中C 、M 分别在AB 和AD 上，H 在EF 上，设矩形AGHM 的面积为 S ，∠HCF=θ，请将S 表示为θ的函数，并指出当点H 在EF 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少 答案：解：延长GH 交CD 于3cos 33cos 3x x x +ac ac c a ac b c a 222222-+=-+223123)332sin(3,953323+≤++<≤+<ππππx x ,232,320,1262121πππππ<++<∴<<-x x x x x2sin 320,31πα<<ωπ2=T ππ==22T .972sin .971)4(cos 2)4(2cos )22cos(2-=-=-+=+=+ααπαπαπ即93724)(.924)97(12cos ,22040,031)4cos(,202+=∴=--=∴<<∴<<∴>=+<<ααπαπααππαf 22sin 12)22cos(1θπθ-=++.512531=-=.55)4cos(,4342-=+∴<+<πθππθπθθθtan 112sin 2cos ---θθθtan 12sin 2cos --.512555354tan 112sin cos .535412sin 1)cos (sin cos sin 0cos sin ),2,0(cos sin )cos (sin 2sin cos cos sin cos sin 2sin 21tan 2sin 2cos 1tan 112sin 2cos 542sin ,512sin 122=•=---∴=+=+=+=+∴<+∴∈-+=-+=-+-=---==-θθθθθθθθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ 2531542cos 12sin cos 2cos sin 2cos sin tan ,532cos 2=-=+=•==∴-=θθθθθθθθθ5122115453tan 112sin 2cos =----=---∴θθθ)0,2(4),4,43(παπππα∈---∈-.6556)sin(.6556)54)(135(531312)4sin()45cos()4cos()45sin()]4()45sin[()sin()](sin[.135)1312(1)54cos(.54)53()4sin()23,45(45),4,0(22=+∴=---⨯-=-+--+=--+=+-=++-=---=+-=--=-∈+∈βααπβπαπβπαπβπββαπβπαπππβππβa 所以所以又)(3263422322326222Z k k x k k x k k x k ∈+≤≤+⇔+≤≤+⇔+≤+≤+ππππππππππππππππ32,6+8sin,6,212βαπθθθ-=-求);2,0(2),(0,.2cos |2cos |22cos 22cos 1cos 22cos 1||||12παπθαααααα∈∈===+=++=• c a ca 46234sin 12sin 8sin.32.6222.622).2,0(22),.,0(.22cos 2sin 2sin 22sin 22cos 1cos 22cos 1||||cos .22122221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴-=-=+-∴=--=∴∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-====-=--=••==∴πππβαπβαππβαππβθππβππβββββββθαθQ Q Q c b cb 又而同理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴31sin cos cos sin 21sin cos cos sin βαβαβαβα211521=+⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2π21a -21a -21a +21a +22cos 1x-21a -)4cos(2cos ,534sin ,434πααππαπ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<-x 则.58)4cos(2)4sin()4cos()4sin(2)4cos()22sin()4cos(2cos ,54=-=---=+-=∂+απαπαπαπαπαππα250cos 1,13tan 113tan 2,6sin 236cos 21-=+=-=C b a 232ππ=w )2,0(,2tan 2cot 2cos 1παααα∈-+ααααααααααα2sin 2cos sin 4sin 21cos cos 22cos 2sin2sin 2cos cos 222===-40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos +++10cos 40sin 210cos )1030sin(210cos 10sin 310cos =+=+20cos 220cos 220cos 2140cos 20cos 270sin 10cos 40sin 250sin 40cos 2222=+=+ππππ125,12+-k k 解得令,223222)32sin(ππππππk x k x y +≤-≤+-∴--=.12512ππππ+≤≤-k x k ππππ125,12+-k k x x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin 2222222+=+=--=--+x x x x x x x x x x x x x 82ππ=T )8sin(2ϕπ+x )8sin(2ϕπ+x 1)4(=+ϕπϕπϕπ的24=+))(48sin(2R x x ∈+ππ−−−−−−−−−→−+=−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍纵坐标伸长到原来的倍横坐标伸长到原来的向左平移2284)48sin()4sin(sin πππππx y x y x y 48ππ+x BCAC •αααtan 12cos 2sin 1+-+.1-=BC AC .cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12cos 2sin 12αααααααααα=++=+-+95tan 12sin sin 22-=++ααα]65,6[,34sin ,34cos ,43sin ,43cos ππππ-∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x b x x 且])65,6[()3cos(2πππ-∈+x x .166351243151243tan tan 1tan tan )tan(,512tan .1312=⨯---=+-=-∴=∴=βαβαβαβ.2532041663431166343)](tan[)2tan(=⨯++-=-+=-∴βααβα，深0．5 m ，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价50元，顶盖材料每平方米造价10元．1把建立引水槽的费用元表示为引水槽的侧面与地面所成的角∠DAE=θ的函数； 答案：作AH ⊥CD ，垂足为H ，则AH=, ∠ADH=θ ∴=AHABCD 即)2cot 2(212141θ•++•=x x )(sin cos 2.200300)cot 23sin 4(100)sin 42cot 12cot 55(10010102cot 14010sin 150102cot 1.2cot 1,2cot 1.2cot 1元所以材料费即θθθθθθθθθθθθθ-+=--=+++-=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-=+=-=-=∴y CD AB x 2引水槽的侧面与地面所成的角θ多大时，其材料费最低最低材料费是多少精确到0．01，≈1．732 答案：)(4.64632003002cot 2tan 3200300)2cot 2tan 3(100300sin cos 2200300)2(元=+=+≥++=-+=θθθθθθy 等号当且仅当 3tan=cot 即tan=． ∴θ=60°．即当引槽的侧面与地面所成角为60°材料费最低为646．4元．3按照题没条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与2中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省省多少 答案：截面为正方形时，材料费为10211050211040)2121(⨯+⨯⨯+⨯⨯+=y ×10=700元． 所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时，材料费用较省，省53．6元．。
数学经典易错题会诊与高考试题预测5
经典易错题会诊与2012届高考试题预测(五)考点5 三角函数 经典易错题会诊命题角度1 三角函数的图象和性质 命题角度2 三角函数的恒等变形命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测 预测角度1 三角函数的图象和性质 预测角度2 使用三角恒等变形求值 预测角度3 向量与三角函数的综合命题角度1 三角函数的图象和性质 1．（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈（0，2π）的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 . [考场错解] 填[0，3] ∵f(x)=⎩⎨⎧∈-∈]2,(,sin ],0[,sin 3πππx x x x∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k 有交点， ∴k ∈[0，3]．[专家把脉] 上面解答求出k 的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k 有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k 有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．所以，准确的解答要作出了y=f(x)的图像，使用数形结合的思想求解． [对症下药] 填(1，3) ∵f(x)⎩⎨⎧∈--∈]2,(,sin ],0(,sin 3πππx x x x 作出其图像如图从图5-1中可看出：当1<k<3时，直线y=k 与 yf(x)有两个交点． 2．(典型例题)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的 ( )A.横坐标缩短到原来的21 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度 [考场错解] B 或D∵将函数y=2sin(2x+4π)的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得函数y=2sin(x+4π)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=2sin(x+2π)=2 cosx 的图像．故选B ．将函数y=2sin(2x+4π)变形为y=2sin2(x+4π)．若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=2sin(x+8π)的图像．再向右平行移动8π个单位长度后得y=2cosx 的图像，选D ．[专家把脉] 选B 有两处错误，一是若将函数y f(x)=2sin(2x+4π)横坐标缩短到原来的21倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)= sin(4x+4π)，而不是f(x)=2sin(x+4π)，二是将函数y=f(x)=2sin(x+4π)向右平行移动4π得函数y=f(x)=2sinx 的图像，而不是y= f(x)=2cosx 的图像．因为函数图像变换是针对自变量来说，应该是x 变为x-4π选D 同样是两处错误．一是横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)得函数y=2sin(x+4π)而不是y=2sin(x+4π)．由y=2sin(x+8π)的图像向右平移81个单位长度得了y=2sinx 的图像，而不是y=2cosx 的图像． [对症下药] 选C 将函数y=2sin(2x+4π)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4π)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4π+4π)=2 cosx 的图像．故选C ． 3．(典型例题Ⅰ)设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π. (1)求ϕ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像．[考场错解] (1)∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8π+ϕ)=±1，∴ 4π+ϕ =k π+2πk Z ．∴ ϕ=k π+4π ，∵-π<ϕ<0，∴ ϕ=-43π． (2)由(1)知ϕ =43π，所以y=sin(2×-43π)． ∵最小正周期为T=42π=π.由题意得 k π-2π≤2x-43π≤k π+2π，k ∈Z ． 解得 k π+8π≤x ≤21k π85+π，k ∈Z ． 所以函数y=sin(2x-π43)的单调查递增区间为.,8521,821Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ [专家把脉] 以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈-2,2432πππππk k x 处，因若把432π-x 看成一个整体u ，则y=sinu 的周期为2π。
数学经典易错题会诊与高考试题预测4.pdf
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2
(a1-
a12Biblioteka )k2-adk2(k-1)+
d 2
k2(k2-1)-
d2 4
k2(k-1)2=0 对—切正整数 k 恒成立．
故
aa11d−
a12 = = 0,
0,
d = 0
求
得 a1=0 或 1，d=0 ∴等差数列 an=｛0,0,0,…｝，或 an=｛1，1，1，…｝． [专家把脉] (Ⅱ)中解法定对一切正整数 k 都成立．而不是一切实数．故而考虑取 k
定义．
[对症下药] (1)∵a1=1，∴a2=4，a3=32+4=13．
(2)由已知 an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1= 3n −1 .
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4．(典型例题Ⅲ)等差数列｛an｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前 20 项和等于 ( )
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时命题正确.由 1°、2°知，对一切 n∈N 时有 an＜an+1＜2.
(2)an+1= 1 an(4-an)= 1 [-(an-2)2+4].∴2(an+1-2)=-(an-2)2∴an+1-2= 1 (an-2)2令 bn=an-2,∴
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bn=-(
1 2
) · 1+2+…+2n-1
b12n
+(n-2) · an-2 ②
①-②得
an-an-1=(n-1) · an-1 ∴ 当 n ≥ 3 时 ， an =n ， ∵
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经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十）考点10空间直线与平面►空间直线与平面的位置关系►空间角►空间距离►简单几何体►利用三垂线定理作二面角的平面角►求点到面的距离►折叠问题经典易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F.（1）证明：PA//平面EDB ；（2）证明：BP ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PD —D 的大小.[考场错解]第（2）问证明：∵PD=DC ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ，又由已知EF ⊥PB ，所以根据三垂线定理可得：DF ⊥PB ，又EF ⊥PB ，∴PB ⊥平面EFD 。
[专家把脉]直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE ⊥PC ，不能得出EF 为DF 在面PBC 上的射影，应先证明DE ⊥平面PBC ，才能得出EF 为DF 在面PBC 上的射影，再利用三垂线定理。
[对症下药]（1）如图，连接AC 、AC 交BD 于O ，连接EO 。
∵底面ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，在△PAC 中，EO 是中位线，∴PA//EO ，又EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，所以PA//平面EDB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面PDC ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ，又EF ⊥PB ，∴DF ⊥PB ，又PB ⊥EF ，∴PB ⊥平面DEF ；（3）由（2）知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角。
由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB ，设正方形ABCD 的边长为a 则PD=DC=a ，BD=2a ，PB=3a ，PC=2a,DE=21PC=a 22,在Rt △PDBk ,OF=a PB BD PD 36=•.在Rt △EFD 中，sin ∠EFD=23=DF DE ,∴∠EFD=.3π所以二面角C —PB —D 的大小为.3π 2．（典型例题）下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)[考场错解]由于l 在MN 、NP 、MP 所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得l ⊥MN ，l ⊥MP ，l ⊥NP ，∴（1）中l ⊥面MNP ；（2）中l 在下底面的射影与MP 垂直，∴l ⊥MP ，∴l ⊥面MNP ；（3）中取AB 的中点E ，连接ME 、NE ，∵l 在下底面的射影垂直于EN ，∴l ⊥EN ，∴l ⊥面MEN ，∴l ⊥MN ，同理l ⊥MP ，∴l ⊥面MNP ；（4）中l 在面ADD 1A 1上的射影与MP 垂直，∴l ⊥MP ，∴l ⊥面MNP ；（5）中取AA1中点E ，连接ME ，EP ，l 在面ADD 1A 1、面ABB 1A 1内的射影分别与ME ，EP 垂直，∴l ⊥ME ，∴l ⊥面MP ，得l ⊥面MPN ；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5）[专家把脉]直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。
[对症下药]（1）中l 在面ADD 1A 、A 1B 1C 1D 1，内的射影分别为AD 1，B 1D 1，而AD 1⊥MN ，B 1D 1⊥MP ，∴l ⊥MN ，l ⊥MP , ∴l ⊥面MNP ；（2）中若l ⊥MN,则取AA 1的中点E ，连接ME 、NE ，l 在面ADD 1A 1内的射影为AD 1而AD 1⊥ME ，∴l ⊥ME ，结合l ⊥MN ，得l ⊥面MEN ，∴l ⊥NE,这显然不可能，∴l 与MN 不可能垂直，∴l 与面MNP 不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l 与面MNP 不垂直；（4）中l ⊥MP 易证，而MN ∥AC ，l ⊥AC ，∴l ⊥MN ，∴l ⊥面MNP ；（5）中取AA1中点E ，连接ME ，PE ，可证得l ⊥面MEP ，∴l ⊥MP ，同理可证l ⊥NP ，∴l ⊥面MNP ，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。
3．（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a ，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于E 、F 、G 、H 。
（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由；（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明。
[考场错解]（1）∵AD ∥平面EFGH ，又平面ACD ⋂平面EFGH=HG ，∴AD ∥HG ，同理AD ∥EF ，∴EF ∥HG ，同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形；（2）取AD 中点P ，连接BP 、CP ，∵ABCD 为正棱锥，所以BP ⊥AD ，CP ⊥AD ，∴AD ⊥面BCP ，又由（1）知HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，∴P 为所求，此时AP=2a . [专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。
[对症下药]（1）∵AD ∥面EFGH ，面ACD ⋂面EFGH=HG ，∴AD ∥HG ，同理EF ∥AD ，所以HG ∥EF ，同理EH ∥FG ，∴EFGH 为平行四边形。
又A —BCD 为正三棱锥，∴A 在底面BCD 上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，根据三垂线定理，AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 为矩形；（2）作CP ⊥AD 于P 点，连接BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP ，∴HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，又HG ⊂面EFGH ，∴面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP=30°，AC=a, ∴AP=a 23. 专家会诊 解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a ∥α则过a 作一平面β，使β⋂α=b ，再证a ∥b ；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。
线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。
考场思维训练1 如图10-5 所示的四个正方体图形中，A 、B 为正方体的四个项点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是____________ .(写出所有符合要求的图形序号)答案：①③ 解析：①中平面MNP//平面AB ， ∴AB//平面MNP ；②中取下底面中心O ，MP 的中点C ，连接NO ，NC ，则由已知AB//NO ，AB ■NC ．∴AB ■面MNP ；③中AB//MP,∴AB//平面MNP ；④中AB ■面MNP ．∴填①③．2 如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1，E 是棱BB 1的中点。
（1）求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ；答案：连接A 1C 与AC 1交于点F ，则由条件可得EC 1=EA 1，则EF ⊥AC 1，同理EC 1=EA ，则EF ⊥A 1C 所以EF 上平面AA 1C 1C ，而EF ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C.（2）若把平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。
答案：延长CE 交C 1B 1的延长线于点H ，则有C 1B 1=B 1H=A 1R 1,故∠HA 1C 1=90°且∠CA 1H=90°，所以∠CA 1C 为平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”，则 ∠CA 1=60°, 应有CC 1=113C A 与条件AB=AA 1矛盾．∴此三棱柱不为“黄金棱柱”．（3）设AB=a ，求三棱锥A-A 1EC 的体积。
答案： VA 1-A 1EC=V E -AA 1C=31·EF ·21·AA 1·AC3 已知正三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直，G 是侧面△PAB 的重心，E 是BC上的一点，且BE=31BC ，F 是PB 上一点， 且PF=31PB ，如图（1）求证：GF ⊥平面PBC ；答案：连接BG 并延长交AP 于M ，由C 为APAB 的重心，则MG=31BM ，又由PF=，∴GF//MP ∵AP ⊥BP,AP ⊥CP ．∴AP ⊥平面PBC ，∴GF ⊥平面PBC（2）求证：EF ⊥BC ；答案：在侧面PBC 内作FD//PC 交BC 于D ．∵PF=31PB,∴DC=31BC.又BE=31BC,∴DE=31BC.故BE=DE ，E 为BD 的中点，由△PBC 为等腰三角形，得△FBD 也为等腰三角形．∴FB=FD ． ∴EF ⊥BC ．（3）求证：GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线。
答案：∵GF ⊥平面PBC ，且EF ⊥BC ，∴GE ⊥BC ，连PG 交AB 于H ，则GH=31PH ，过C 作GN//AB 交PB 于N ，则BN=31 PB ．∵PH ⊥AB ，∴PG ⊥AB ，∴PG ⊥GN ．∵BN=31PB ，BE=31BC ，∴NE//PC ，而PC 上平面PAB ，∴NE ⊥平面PAB ，又PG ⊂面PAB ，∴NE ⊥PG ，又PG ⊥GN ，∴PG ⊥平面GEN ，而GEC 平面GEN ．∴PG ⊥GE ，又由GE ⊥BC ，∴GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线．命题角度 2空间角1．（典型例题）如图10-8，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点。
（1）证明：AC ⊥SB ；（2）求二面角N —CM —B 的大小；（3）求点B 到平面CMN 的距离。
[考场错解] 第（2）问：过N 作NF ⊥CM ，过F 作FE ⊥CM 交BC 于E 点，则∠NFE 为二面角N —CM —B 的平面角。