届高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第3练复数练习文

合集下载

高三数学二轮复习指导

高三数学二轮复习指导高三数学二轮复习指导一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率要做到两先两后，即先预习后听课，先复习后作业。

以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。

而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。

预习还可以培养自己的自学能力。

二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。

现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。

查漏补缺的过程就是反思的过程。

除了把不同的问题弄懂以外，还要学会举一反三，及时归纳。

每次订正试卷或作业时，在做错的.试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类：1、找不到解题着手点。

2、概念不清、似懂非懂。

3、概念或原理的应用有问题。

4、知识点之间的迁移和综合有问题。

5、情景设计看不懂。

6、不熟练，时间不够。

7、粗心，或算错。

三、强化定时训练，及时反馈矫学好数学要做大量的题，但反过来做了大量的题，数学不一定好，因此要提高解题的效率，做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。

如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的定式训练是必要的。

1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题，但一定要做到定时定量;2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按学、练、思、结程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。

3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧。

高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第6练函数的概念、图象和性质练习文

第6练函数的概念、图象和性质[明考情]函数的概念、图象和性质是高考的高频考点，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏上，一般位于选择题的后半部. [知考向]1.函数的定义域与值域.2.函数的性质.3.函数的图象.4.函数与方程.考点一函数的定义域与值域要点重组 (1)常见函数定义域的求法y ＝nf (x )(n ∈N *，n 是偶数)：f (x )≥0； y ＝f (x )g (x )：g (x )≠0； y ＝[f (x )]0：f (x )≠0； y ＝log a f (x )：f (x )＞0.(2)求函数值域的常用方法：配方法、分离常数法、换元法、单调性法、数形结合法. 1.(2017·山东)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B 等于( ) A.(1，2) B.(1，2] C.(－2，1) D.[－2，1)答案 D解析 ∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1)，故选D. 2.函数f (x )＝1mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，4)C.[4，＋∞)D.[0，4)答案 D解析由题意知mx 2＋mx ＋1＞0对一切实数恒成立，当m ＝0时，不等式为1＞0，恒成立；当m ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4.综上，实数m 的取值范围为[0，4). 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ≤2，1x，x ＞2，则f (x )的值域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)B.[)0，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 答案 B解析当0＜x ≤2时，|log 2x |≥0，当x ＞2时，0＜1x ＜12，故f (x )的值域是[0，＋∞).4.若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是__________. 答案 [0，1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，得0≤x ＜1，∴函数g (x )的定义域为[0，1).5.函数f (x )＝2a x－2 017a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的值域为______.答案 (－2 017，2)解析 f (x )＝2a x－2 017a x ＋1＝2(a x＋1)－2 019a x＋1＝2－2 019a x ＋1，因为a x＞0，所以a x ＋1＞1，所以0＜2 019a x ＋1＜2 019，所以－2 017＜2－2 019a x ＋1＜2，故函数f (x )的值域为(－2 017，2). 考点二函数的性质方法技巧 (1)函数奇偶性判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).(2)函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. (3)函数周期性的常用结论：若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )，则2a 是函数f (x )的周期.6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A.4B.－4C.6D.－6 答案 B解析由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 53－1)＝－4，故选B.7.(2017·安庆二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1<x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14B.－14C.－15D.15 答案 D解析由f (x ＋1)＝f (x －1)可知，函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (log 220)＝f (2＋log 25)＝f (log 25)＝f (log 25－2)＝－f (2－log 25)＝－(22-log 52－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1＝15.8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 A解析函数f (x )为偶函数.∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增.综上可知，f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x＋1＜0⇔13＜x ＜1.9.若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 f (x )＝ax ＋2a ＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，由f (x )在(－2，＋∞)上为增函数，可得1－2a ＜0. ∴a ＞12.10.设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2，3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2，0]时，f (x )＝__________.答案 3－|x ＋1| 解析 f (x )的周期T ＝2，当x ∈[0，1]时，x ＋2∈[2，3]， ∴f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2. 又f (x )为偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]，f (－x )＝－x ＋2， ∴f (x )＝－x ＋2；当x ∈[－2，－1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4；综上，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝3－|x ＋1|. 考点三函数的图象方法技巧 (1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到. (2)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题.11.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A.f 2(x )与f 4(x )B.f 1(x )与f 3(x )C.f 1(x )与f 4(x )D.f 3(x )与f 4(x ) 答案 A解析 f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.12.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.{x |－1＜x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |－1＜x ≤2}答案 C解析作出函数g (x )＝log 2(x ＋1)的图象.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}.13.(2017·河北张家口期末)已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (－|x |)的图象为( )答案 A解析 f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ＞0，f (x )，x ＜0，且f (－|x |)为偶函数，当x ＜0时，f (－|x |)的图象与f (x )的图象相同，即可得到函数y ＝f (－|x |)的图象，故选A.14.函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8 答案 D解析如图，两个函数图象都关于点(1，0)成中心对称，两个图象在[－2，4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.15.若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)答案 B 解析不等式4a x －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图1知不满足题意；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.考点四函数与方程方法技巧确定函数零点的常用方法 (1)解方程法.(2)利用零点存在性定理.(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.16.函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(1，2)∪(2，3)答案 B解析 ∵f (2)＝1－ln 1＞0，f (3)＝23－ln 2＝2－ln 83＜0， ∴f (2)f (3)＜0.又f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故函数f (x )的零点在区间(2，3)内.17.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1，3} B.{－3，－1，1，3} C.{2－7，1，3} D.{－2－7，1，3}答案 D解析当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3，由g (x )＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x ＜0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3，由g (x )＝0，得x ＝－2＋7(舍)或x ＝－2－7. ∴g (x )的零点的集合为{－2－7，1，3}.18.函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|及y ＝ln x 的图象，如图.观察图象可以发现它们有2个交点，即函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内有2个零点.19.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x ＜1，f (x －1)，x ≥1，若函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有五个不同的零点，则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，17D.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，17答案 C解析当x ≥1时，f (x )呈现周期性. 作函数y 1＝f (x )和y 2＝k (x ＋2)的图象.直线l ：y ＝k (x ＋2)过定点A (－2，0)，点A 与点B (5，1)连线的斜率k AB ＝15＋2＝17，点A 与点C (6，1)连线的斜率k AC ＝16＋2＝18.由图可知，要使两函数图象有五个交点，则k AC ≤k ＜k AB ，所以18≤k ＜17，故选C.20.已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________. 答案 (1，＋∞)解析函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根.∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |·(x ＋2)，作函数y ＝|x |·(x ＋2)的图象，如图所示.由图象可知m 应满足0＜1m＜1，故m ＞1.1.已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A.(－2，0)B.(－2，2)C.(0，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2⇒0＜x ＜2.故选C.2.(2017·重庆一调)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋3)为偶函数，且f (1)＝1，则f (6)＋f (11)等于( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案 B解析 ∵f (x ＋3)是偶函数，∴f (x )关于x ＝3对称， ∵f (x )是奇函数，∴f (6)＝f (0)＝0，f (11)＝f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－1，∴f (6)＋f (11)＝－1.故选B.3.(2016·全国Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )答案 D解析令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 016x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.(1，2 016)B.[1，2 016]C.(2，2 017)D.[2，2 017]答案 C解析在平面直角坐标系中画出f (x )的图象，如图所示.设a ＜b ＜c ，要使得存在互不相等的a ，b ，c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ，b 关于直线x ＝12对称，可得a ＋b ＝1，1＜c ＜2 016，故a ＋b ＋c 的取值范围是(2，2 017).解题秘籍 (1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y ＝f (g (x ))中，若函数y ＝f (x )的定义域为A ，则有g (x )∈A .(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进行转换. (3)解题中要有数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合.1.函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A.(0，2)B.(0，2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)答案 C解析由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质，得x ＞2，即函数f (x )的定义域为(2，＋∞).2.若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞) 答案 C解析 ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3.设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B.[)0，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 答案 D解析由x ＜g (x )，得x ＜x 2－2， ∴x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)；当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0. ∴当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上可知，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞). 4.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1).又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3，故选D.5.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12. 故选C.6.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.a ＞－14B.a ≥－14C.－14≤a ＜0 D.－14≤a ≤0 答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a. 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0. 综上所述得－14≤a ≤0. 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)答案 C解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞).故选C.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.[－1，1)B.[0，2]C.[－2，2)D.[－1，2) 答案 D解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x ＞a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a ).再借助数轴，可得－1≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是[－1，2)，故选D.9.若函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋k )tan x为奇函数，则k ＝________. 答案－2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴(x ＋2)(x ＋k )tan x ＝－(－x ＋2)(－x ＋k )tan (－x )， ∴(x ＋2)(x ＋k )＝(2－x )(k －x )，即x 2＋2x ＋kx ＋2k ＝2k －kx －2x ＋x 2，∴k ＝－2.10.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝122，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32. 11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________. 答案 5解析方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________________________.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.作出函数f (x )的图象如图所示.由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使函数f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a＜1时，要使函数f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1≤2a ，21－a ＞0，解得12≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).。

2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分考点三复数

复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量

第二讲复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保分题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提分题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保分题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提分题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确；对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0，即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确；各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确；各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确．答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ，又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ，所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14，则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第

第9练三角函数的概念、三角恒等变换[明考情]三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础，常在交汇点处命题，个别年份单独命题，难度中档偏下. [知考向]1.任意角的三角函数.2.三角函数的求值与化简.3.三角恒等变换的应用.考点一任意角的三角函数要点重组 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0). (3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.1.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案 B解析圆的周长为4π，π2弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α | α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.2.已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( )A.27B.127C.9D.19答案 B解析角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3m m＝16m -，则m ＝127.3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案－8解析因为r ＝42＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.4.(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________.答案 13解析由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin α＝13.5.函数y ＝2sin x －1的定义域是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ∈Z 考点二三角函数的求值与化简要点重组 (1)同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：角k2π±α(k ∈Z )的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限. (3)和差公式.方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形，看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.6.(2017·安徽淮北二模)已知α满足sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A.718 B.2518 C.－718D.－2518答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α－sin α)·22(cos α＋sin α)＝12(cos 2α－sin 2α)＝12(1－2sin 2α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×19＝718，故选A.7.(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.8.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( ) A.14 B.12 C.4 D.12 答案 C解析由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝4.9.(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α).又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 10.已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________. 答案π3解析因为cos(2α－β)＝－1114且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4＜α－2β＜π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.考点三三角恒等变换的应用要点重组辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.11.(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C.π D.2π 答案 C解析 ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.故选C.12.(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15 答案 A解析方法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.方法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.13.已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，下列说法错误的是( ) A.f (x )的最小正周期为πB.直线x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上单调递增 D.|f (x )|的值域是[0，1] 答案 C解析 f (x )＝cos 2x ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上不单调， ∴选项C 中的结论错误.14.设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.答案－255解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数f (x )取到最大值，即当θ＝2k π＋π2＋φ时，函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255. 15.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.答案 [－3，3]解析 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝32sin x －32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6∈[－3，3].1.设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B.－1－k2k C.k1－k2D.－k1－k2答案 B解析 sin 80°＝1－cos 280°＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2，所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.2.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 ∵tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.①∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，∴由①得α－β＝π2－α，即2α－β＝π2.故选B.3.已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________.答案－125解析 ∵sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，∴sin θcos θ＝－60169，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝289169.又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝1713，∴sin θ＝1213，cos θ＝－513，∴tan θ＝－125.解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号.(2)利用三角函数值求角要解决两个要素：①角的某一个三角函数值；②角的范围(尽量缩小).1.点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12答案 A解析设点Q 的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2.若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.3.(2017·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A.－7210 B.7210 C.－210 D.210答案 D解析由题意得tan θ＝2，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝210.4.若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α等于( )A.15B.－15C.513D.－513 答案 D解析由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. 5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 答案 C 解析原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22，所以β＝π4.7.tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3 B.33 C.－33D.－ 3 答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.8.记a ＝sin(cos 2 010°)，b ＝sin(sin 2 010°)，c ＝cos(sin 2 010°)，d ＝cos(cos 2 010°)，则a ，b ，c ，d 中最大的是( ) A.a B.b C.c D.d 答案 C解析注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－12，cos 2 010°＝－cos 30°＝－32，因为－π2＜－32＜0，－π2＜－12＜0，0＜12＜32＜π2，所以cos 12＞cos 32＞0，所以a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32＜0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12＜0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12＞d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32＞0，因此c 最大.9.已知角α终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________.答案－3411 解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α. 根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34. 10.已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________. 答案 334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 11.若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________. 答案 1解析由于f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝12sin 2ωx ，所以T ＝2π2ω＝π⇒ω＝1. 12.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________. 答案 12 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4，且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12，故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12.。

高考数学二轮专题复习小题提速练三文

小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C.2．已知a ＋ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A. 3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25 C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B. 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min ＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54 C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝ 3cos ωx －sin ωx ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.10．设曲线f (x )＝ m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－ m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－ m 2＋1x 2sin x ，易知函数y ＝－ m 2＋1x 2sin x 是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ m 2＋1x 2sin x ＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×12×2＝89π，选A. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，解不等式(x－a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 14．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于________．解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC2＝4＋9－2×2×3cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：715．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l .若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a ≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M ||F 1M ＋F 2M |.由椭圆定义得|PF 1|2a ＝|F 1M |2c ⇒c a ＝|F 1M ||PF 1|.同理c a ＝|F 2M ||PF 2|.又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM |2＋|F 1M |2－|PF 1|22|PM |·|F 1M |＋|PM |2＋|F 2M |2－|PF 2|22|PM |·|F 2M |＝0，⇒(|PM |2＋|F 1M ||F 2M |)(|F 1M |＋|F 2M |)＝|PF 1|2|F 2M |＋|PF 2|2|F 1M |⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝c a |PF 1|2|PF 2|＋c a |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎪⎫1＋2c 2a 2c ＝ca (|PF 1|＋|PF 2|) 即1＋2e 2＝2，解得e ＝22. 答案：22。

2019-2020年高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第18练推理与证明练习文

2019-2020 年高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第理与证明练习文
18 练推
[ 明考情 ] 推理与证明在高考中少数年份考查，小题中多以数表情推理，难度为中档 . [ 知考向 ] 1. 合情推理 . 2. 演绎推理 . 3. 推理与证明的综合应用 .
Hale Waihona Puke ( 阵 ) 、图形、不等式等为指导，考查合
＝ 123.
2. 平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，凸十三边形的对角线
条数为 (
)
A.42
B.65
C.143
D.169
答案 B
解析可以通过列表归纳分析得到：
多边形
4
5
6
7
8
对角线
2 2＋ 3 2＋ 3＋ 4 2＋ 3＋ 4＋ 5 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6
13×10 凸十三边形有 2＋ 3＋ 4＋…＋ 11＝ 2 ＝ 65( 条 ) 对角线 .
∴该三棱锥内切球的体积为
43π·２3
＝
32π 3
.
4. 某综艺节目中有这样一个问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出
11 3 1 5 一组数：－ 2，2，－ 8， 4，－ 32，它的第 8 个数是 ________.
1 答案 32
11 31 5
12 3 4
5
解析将这一组数：－，，－，，－化为：－，，－，，－，
A.28
B.76
C.123
D.199
答案 C
解析观察可得各式的值构成数列 1，3， 4， 7， 11，…，其规律为从第三项起，每项等于其
前面相邻两项的和，所求值为数列中的第

高考数学大二轮复习冲刺创专题题型1 选填题练熟练稳少丢分第3讲复数、算法课件文

12/13/2021
第二十七页，共六十二页。
第 8 次执行循环体，S＝511，应不满足输出的条件，n＝9，第 9 次执行循环体，S＝1023，应不满足输出的条件，n＝10，第 10 次执行循环体，S＝2047，应不满足输出的条件，n＝11，第 11 次执行循环体，S＝4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是 S＜4095？，故选 C.
解法二：∵z＝2＋i，∴z·－z ＝|z|2＝5.故选 D.
12/13/2021
第五页，共六十二页。
2.若复数 z＝a＋3＋a2i＋2a－3i(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值
为( )
A.－3
B．－3 或 1
C．3 或－1 D．1
答案 D
12/13/2021
第六页，共六十二页。
解析 ∵z＝a＋3＋a2i＋2a－3i＝(a2＋2a－3)－(a＋3)i 是纯虚数，∴
12/13/2021
第二十二页，共六十二页。
… 观察规律，可知 S 的取值周期为 4，由于 2017＝504×4＋1，可得，S ＝3，k＝2017，满足条件 k＝2017？，退出循环，输出 S 的值为 3.故选 D.
12/13/2021
第二十三页，共六十二页。
1.应注意第 1 题中“否”对应着输出框，只有不满足判断框内的条件时，循环才能结束．另外，本题最容易出错的地方是把累加 S 和计数 K 两个变量的先后顺序颠倒．计数变量 K 在本题中不仅体现了循环的次数，而且还参与了累乘变量的变化过程．
12/13/2021
第二十五页，共六十二页。
执行如图所示的程序框图，若输出的 n 值为 11，则判断框中的条件可以是 ()
A.S<1022? B．S<2018？ C.S<4095? D．S>4095？

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第3篇小题提速练透大题规范增分第3讲复数算法推理与证明课件

B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
7π
∵e 4
i＝cos
74π＋isin
7π＝ 4
2－ 2
22i，
i
7π
e4
＝
i
i 22－
2
＝i
2i
2＋ 2
22i＝－
22＋
22i，
此复数在复平面中对应的点－
22，
22位于第二象限，所以
B
选项
正确．
故选 B．
12．(2022·桃城区校级模拟)已知像 2,3,5,7 这样只能被 1 和它本身整
(C )
A．－1＋ 3i
B．－1－ 3i
C．－13＋
3 3i
D．－13－
3 3i
【解析】 ∵z＝－1＋ 3i，∴z·－z ＝|z|2＝( －12＋ 32)2＝4，
则z－z z－1＝－41－＋1 3i＝－13＋ 33i．
故选 C．
3．(理)(2022·全国乙卷)已知 z＝1－2i，且 z＋a－z ＋b＝0，其中 a，b
4 ． (2022·武功县期中 ) 为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课，甲、乙、丙、丁四人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有泳；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳．
第三篇
小题提速练透•大题规范增分
第3讲复数、算法、推理与证明
导航立前沿考点启方向
考情分析
1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．
2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解．

高考数学二轮复习提高题专题复习复数选择题专项训练练习题附解析

高考数学二轮复习提高题专题复习复数选择题专项训练练习题附解析一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 答案：B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】，. 故选：B.解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --答案：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】解：， . 故选：D.解析：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-，()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.3．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（） A ．－1B ．1C ．－iD ．i答案：B 【分析】，然后算出即可. 【详解】由题意，则复数的虚部为1 故选：B解析：B 【分析】1iz i-+=，然后算出即可. 【详解】由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B4．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限，故选：A5．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（） A ．1B．iCiDi【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D 【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z 【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 6．设()2211z i i=+++，则||z =（）A B ．1C ．2D 答案：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ．本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简． 7．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B8．若复数z 满足()322iz i i-+=+，则复数z 的虚部为（） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i答案：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+，其虚部为35，故选：A. 9．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-，知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题. 10．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（） A ．75B ．75-C ．15D ．15-答案：D 【分析】先化简，求出的值即得解. 【详解】，所以. 故选：D解析：D 【分析】先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解. 【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D11．已知i 是虚数单位，设11iz i，则复数2z +对应的点位于复平面（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A 【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果. 【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果. 【详解】由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.12．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案：A 【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：A.解析：A 【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i iii i i i ++++======+-----+，所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限. 故选：A. 13．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（） A ．0B ．12C ．1D ．2答案：C 【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以1z i =-=．故选：C ．14．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（） A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i答案：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-，故选C 15．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.二、复数多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（） A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=答案：AD 【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD 【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断. 【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC 【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC 【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.18．下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD 【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD 【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD 【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 19．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（） A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.20．已知复数122,2z i z i =-=则（） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =答案：AD 【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD 【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD 【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.21．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2答案：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围22．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（） A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-+（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=--=-，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =---+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．23．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=答案：ACD 【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD 【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11iz i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 24．下面四个命题，其中错误的命题是（） A ．0比i -大 B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数答案：ABC 【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC 【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误；对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确.故选：ABC. 【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.25．给出下列命题，其中是真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数答案：AD 【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A ．根据共轭解析：AD 【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题； D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD 【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 26．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模答案：ACD 【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD 【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD 【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模27．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12答案：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当0a =时,1b =,此时zi 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.28．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 答案：ACD 【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD 【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD. 【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 29．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =答案：AB 【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB 【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB 【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.30．已知复数12ω=-+（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>答案：AC 【分析】根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】解：∵所以， ∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC. 【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC 【分析】根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】解：∵12ω=-+所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC . 【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．。

高考数学二轮复习提高题专题复习复数选择题专项训练练习题及解析

高考数学二轮复习提高题专题复习复数选择题专项训练练习题及解析一、复数选择题1．复数21i=+（） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +答案：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（） A ．9iB ．46i -C ．9D ．46-答案：C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】解：所以的虚部为9. 故选：C.解析：C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】解：()()()32351223469i i i i +=-++=-+ 所以()323i +的虚部为9. 故选：C.3．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y答案：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-.4．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B5．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（） A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+答案：A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-，所以()13133iz i i i i-==-=+-，复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A6．已知复数()211i z i-=+，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -答案：B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得，则. 故答案为：B解析：B 【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+.故答案为：B7．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（） A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③答案：D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】设，则，故，，，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.8．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（）A ．1BC ．2D ．4答案：B 【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此. 故选：B.解析：B 【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.9．已知复数z 的共轭复数212iz i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1B ．-1C ．iD ．i -答案：A 【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部. 【详解】，所以，则的虚部为. 故选：A解析：A 【分析】先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，所以zi ，则z 的虚部为1.故选：A10．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=答案：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B 11．复数2ii -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15D ．35答案：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi . 12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（） A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -答案：D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】 ∴，故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-，故选：D13．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（）A ．15B C D ．5答案：B 【分析】利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】依题意，所以. 故选：B解析：B 【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z . 【详解】依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==故选：B 14．题目文件丢失！15．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C【分析】求出，即可得出，求出虚部. 【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z，即可得出z，求出虚部.【详解】()()()220211i1ii1i1i1iz--===-++-，iz∴=，其虚部是1.故选：C.二、复数多选题16．已知复数z满足220z z+=，则z可能为（）A．0 B．2-C．2i D．2i-答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi=+代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值.【详解】令z a bi=+代入22||0z z+=，得：2220a b abi-+=，∴22020a bab⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得,0ab=⎧⎨=⎩或0,2ab=⎧⎨=⎩或0,2,ab=⎧⎨=-⎩∴0z=或2z i=或2z i=-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.17．下列四个命题中，真命题为（） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =答案：AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确；对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠，则1z R a=∈，则选项B 正确；对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ，而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.18．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断. 【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD 【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】12z =-+，221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.19．若复数z 满足()1z i i +=，则（）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =答案：BC 【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC 【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题20．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 答案：ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．已知复数122,2z i z i =-=则（）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =答案：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.22．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数答案：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.23．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z答案：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.24．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.25．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.26．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 答案：BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确； z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.27．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．28．下列命题中，正确的是（）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．29．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z ==D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

高考数学二轮复习复数选择题专项训练练习题含答案

高考数学二轮复习复数选择题专项训练练习题含答案一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（） A ．1i - B ．1i + C ．1122i + D ．1122i - 答案：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：D.解析：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+，所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．i =（）A ．i -B ．iC i -D i + 答案：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】.故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】()21iii==-.故选：B.3．若20212zi i=+，则z=（）A．12i-+B．12i--C．12i-D．12i+答案：C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】根据复数单位i的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i iz ii i i i i⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i=-.故选：C4．若复数(2)z i i=+（其中i为虚数单位），则复数z的模为（）A．5BC．D．5i答案：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i=+=-，所以|z|故选：B5．已知i为虚数单位，则复数23ii-+的虚部是（）A．35B．35i-C．15-D．15i-答案：A【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.【详解】因为，所以其虚部是.故选：A.解析：A【分析】先由复数的除法运算化简复数23i i -+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A. 6．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（）上 A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12y 答案：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 7．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限，故选：A8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（）A B ．3 C ．5 D ．答案：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A9．若1m i i+-是纯虚数，则实数m 的值为（）． A ．1-B ．0C ．1 D答案：C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题是纯虚数，为纯虚数，所以m=1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题1m i i+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数，所以m =1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.10．复数2i i -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15 D ．35【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i -答案：B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B12．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D13．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（）A B C D 答案：C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--=故选：C 14．题目文件丢失！15．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（） A ．6π B ．3πC ．23πD ．43π【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解.【详解】,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C【分析】写出复数11z =的三角形式1cos0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】 11z =,1cos0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )332Z i O OZ ππ=+=2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴= 故选：C【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.二、复数多选题16．下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.17．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75iC ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.18．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．19．下列结论正确的是（）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥答案：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z =C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.20．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限答案：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z =，故B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.21．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-+（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=--=-，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =---+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．22．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（）A ．若0m =，则共轭复数1z =B ．若复数2z =，则m =C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 答案：BD根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-+，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m =B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-，()()221420412z z ++=+--+=，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.23．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15-，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.24．下面四个命题，其中错误的命题是（）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数答案：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误；对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.25．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i -- 答案：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.26．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -答案：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．27．以下命题正确的是（）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.28．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =答案：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC30．若复数351i z i-=-，则（）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限答案：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD.。

2021-2022年高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第10练三角函数的图象和性质练习文

2021年高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第10练三角函数的图象和性质练习文[明考情]三角函数的图象和性质是高考的热点，每年必考，多以选择题形式呈现，难度为中档. [知考向]1.三角函数的图象及变换.2.三角函数的性质.3.三角函数图象与性质的综合.考点一三角函数的图象及变换要点重组 (1)五点法作简图：y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值，作出对应点得到. (2)图象变换：平移、伸缩、对称.特别提醒由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度.1.(xx·天津西青区模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案 B解析当x ＝－π2时，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3＝32＞0，故排除A ，D ；当x ＝π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，故排除C.故选B.2.(xx·北京)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3答案 A 解析点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，则t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋s )－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.3.(xx·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 答案 D解析因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D. 4.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.5.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________. 答案 2解析将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋(ω－1)π4，ω＞0；向右平移π4个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －(ω＋1)π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋(ω－1)π4＝ωx －(ω＋1)π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值为2. 考点二三角函数的性质方法技巧 (1)整体思想研究性质：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，可令t ＝ωx ＋φ，考虑y ＝A sin t 的性质.(2)数形结合思想研究性质.6.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A.1B.2C.3＋1D.3＋2 答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴f (x )max ＝2.7.设函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，若函数g (x )＝sin(ωx ＋φ)－2，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A.1B.－5或3C.12 D.－2答案 D解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，∴函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)的其中一条对称轴为x ＝π6， ∴ω×π6＋φ＝k π(k ∈Z )，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×π6＋φ－2＝sin k π－2＝－2. 8.使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3 答案 B解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3是奇函数，∴θ＋π3＝k π，k ∈Z ，θ＝k π－π3，k ∈Z .当k 为奇数时，令k ＝2n －1，n ∈Z ，f (x )＝－2sin 2x ，满足在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，此时，θ＝2n π－4π3，n ∈Z ，选项B 满足条件. 当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，f (x )＝2sin 2x ，不满足在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数.综上，只有选项B 满足条件.故选B.9.(xx·豫南九校联考)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下列结论错误的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是π B.函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数D.函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到答案 D解析 f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以函数f (x )的最小正周期是π，故A 正确；当x ＝π3时，函数取最大值，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故B 正确；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，由此可知函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，故C 正确；函数g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到φ(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－1的图象，不是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的图象，故D 错误.故选D.10.关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论：p 1：函数的最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位长度后可得到函数f (x )＝2(sin x－cos x ) cos x 的图象；p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z .其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 B解析因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以函数的最大值为2－1，所以p 1错误；把g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位长度后得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误；由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π8＋k π，11π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确；由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，故选B.考点三三角函数图象与性质的综合要点重组函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，一个最高点和与其相邻的一个最低点的横坐标之差的绝对值也是半个周期，两个相邻的最高点之间的距离是一个周期，一个对称中心和与其最近的一条对称轴之间的距离是四分之一个周期. 11.(xx·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 12.将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3.又0＜φ＜π2，故φ＝π6，故选D.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f (x )的单调递减区间是( ) A.[6k π，6k π＋3]，k ∈Z B.[6k π－3，6k π]，k ∈Z C.[6k ，6k ＋3]，k ∈Z D.[6k －3，6k ]，k ∈Z 答案 D解析因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以T ＝2πω＝8－2＝6，且当x ＝2＋42＝3时函数取得最大值，所以ω＝π3，π3×3＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，所以φ＝－π2＋2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π2.由2k π＋π2≤π3x －π2≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得6k ＋3≤x ≤6k ＋6，k ∈Z .14.(xx·云南曲靖模拟)同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是π2；②在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数的一个函数为( ) A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6答案 C解析由图象的相邻两条对称轴间的距离是π2可知，T 2＝π2，T ＝π，选项B ，C 满足；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6为增函数，符合题意.故选C.15.函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.答案22解析由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，所以12AB ＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2，即AB ＝4，而T ＝AB ＝2πω＝4，解得ω＝π2.所以f (x )＝sin πx2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝sin π4＝22.1.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cosωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 A解析由题意知，函数f (x )的周期T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.2.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2 的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增答案 A解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，即ω＝2.又f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数，即φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z ).∵|φ|＜π2，取k ＝0，则φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x ，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，故选A.3.(xx·安徽宿州一模)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象( ) A.关于点(－2，0)对称 B.关于点(0，－2)对称 C.关于直线x ＝－2对称 D.关于直线x ＝0对称答案 B解析将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g (x )的解析式为g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4－4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－4＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－4，f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，故两个函数的图象关于点(0，－2)对称，故选B.4.若关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则k 的取值范围是________.答案 [1，2) 解析 ∵0≤x ≤π，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，又2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解， ∴1≤k ＜ 2.解题秘籍 (1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f (ωx )的图象得到f (ωx ＋φ)的图象平移了⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度(ω≠0).(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.1.(xx·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案 D解析由题可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选D.2.(xx·全国Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3答案 A解析由图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A.3.先把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 D.[)－1，0答案 A解析依题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，即g (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 答案 C解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22 D.1 答案 B解析由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|＜π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.6.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π6 答案 D解析 ∵函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，∴2ω＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k π＋π6，k ∈Z .∴正数ω的最小值为π6，故选D.7.设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增B.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减C.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为其图象关于x ＝0对称，所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π3＋k π(k ∈Z ).又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos 2x .其最小正周期T ＝2π2＝π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减.8.(xx·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 答案 A解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z ).由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝____.答案3解析如图所示，可知T 2＝3π8－π8＝π4，所以T ＝π2，所以πω＝π2，所以ω＝2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又图象过点(0，1)，A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0＋π4＝1，所以A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 10.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调递增区间为__________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )解析因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).11.已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________. 答案π6解析由题意cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )，因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.12.(xx·吉林市普通中学调研)已知f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ，把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若对任意实数x ，都有g (a －x )＝g (a ＋x )成立，则g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 4解析因为f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ＝32sin 2x －1－cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12，把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到y ＝g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋32＝sin 2x ＋32.若对任意实数x ，都有g (a －x )＝g (a ＋x )成立，则y ＝g (x )的图象关于x ＝a 对称，所以2a ＝π2＋k π，k ∈Z ，故可取a ＝π4，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋π4＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2＋32＋sin π2＋32＝4.。

高三数学二轮复习小题提速练一

10．已知过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，若―A→F ＝3―F→B ，则直线 AB 的斜率为( )
A．
B．12
C．
3 2
D． 3
解析：选 D 作出抛物线的准线 l：x＝－1，
设 A，B 在 l 上的投影分别是 C，D，
连接 AC，BD，过 B 作 BE⊥AC 于 E，如图所示．
A．4π
B．283π
C．443π
D．20π
解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三
角形，侧棱长是 2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外
接球的半径 r，所以 r＝ 23× 32＋12＝ 73，则球面的表面积为 4πr2＝4π×73＝283π.
5．双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－ 3)2＋(y－1)2＝1 相切，则此双曲
线的离心率为( )
A．2
B． 5
C． 3
D． 2
解析：选 A 由题可知双曲线的渐近线方程为 bx±ay＝0，与圆相切，∴圆心( 3，1)
到渐近线的距离为| a32b＋－ba2|＝1 或| a32b＋＋ba2|＝1，又 a>0，b＞0，解得 3a＝b，∴c2＝a2＋b2
g(x)＝xex，则 g′(x)＝(1＋x)ex，
当 x＜－1 时，g′(x)＜0，当 x＞－1 时，g′(x)＞0，
故 g(x)＝xex 在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g(－1)＝－1e，又由
x＜0 时，g(x)＜0，当 x＞0 时，g(x)＞0，故函数 y＝|xex|的图象如图所示：