山东省冠县武训高级中学高考数学 4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切复习题库
(完整版)两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础训练 一、选择题 1.已知α为锐角,55cos ,=α则=+)24tan(απ( ) A .-3 B .-17 C .-43 D .-72.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,若点A ,B 的坐标为)54,53(和)53,54(-,则cos(α+β)的值为( ) A .-2425 B .-725C .0 D.2425 3.函数f (x )=sin x cos x +32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A .π,1 B .π,2 C .2π,1D .2π,2 4.(2015·嘉兴模拟)2cos10°-sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32C. 3D. 2 5.若,33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα则=+)2cos(βα( ) A.33 B .-33 C.539D .-69 6.已知,534sin )3sin(-=++απα则=+)32cos(πα( ) A .-45 B .-35 C.35D.45 7.(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α=23,则=+)4(cos 2πα( ) A.16 B.13 C.12 D.23二、填空题8.已知,2)4tan(=+πx 则tan x tan2x 的值为________. 9.已知,31)6sin(=-απ则=+)232cos(απ_______. 10.在△ABC 中,已知三个内角A ,B ,C 成等差数列,则tan A 2+tan C 2+3tan A 2tan C 2的值为________. 11.设当θ=x 时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ=________.三、解答题12.(2014·广东卷)已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1)求A 的值;(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求)43(θπ-f . 13.(2014·四川卷)已知函数)43sin()(π+=x x f .(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求cos α-sin α的值. 巩固训练1.已知tan(α+π4)=12,且-π2<α<0,则=-+)4cos(2sin sin 22πααα( ) A .-255 B .-3510 C .-31010D.255 2.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d =ad -bc ,若cos α=17,⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β=3314,0<β<α<π2,则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 3.已知tan α=4,则1+cos 2α+8sin 2αsin 2α的值为( ) A .4 3 B.654 C .4 D.2334.设α、β都是锐角,且cos α=55,sin(α+β)=35,则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或525 5.若),2,0(πα∈且sin 2α+cos 2α=14,则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 6. sin 250°1+sin 10°=________. 7.已知),2,0(,πβα∈满足tan(α+β)=4tan β,则tan α的最大值是________.8.(2014·江西卷)已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,)2,2(ππθ-∈. (1)若a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若,0)2(=πf f (π)=1,求a ,θ的值. 9.已知f (x )=(1+1tan x )sin 2x -2sin(x +π4)·sin(x -π4). (1)若tan α=2,求f (α)的值;(2)若x ∈[π12,π2],求f (x )的取值范围.。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a2 ■ 2 2 ■ 2cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a3. 有关公式的逆用、变形等(1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3.4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数),可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©,其中 tan一、选择题1.给出如下四个命题②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cossin sin 能成立;③公式tan()tan an成立的条件是k—(k Z)且 k —(k Z);1 tan tan22④不存在无穷多个 a 和3,使 sin()sin cosco s,sin ;其中假命题是( )A.①②B.②③C. ③④D. ②③④2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是( )A. 1 . 2B. .. 2 1C.、2D. 2①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立; tan 2 2ta n a1 tan 2a 2(2)cos a=1 + cos 2a2 sin 2a= 1 — COS2a2 -2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2, sin a±cos a= 2sin a±4t .当 x [ — ^]时,函数 f(x) sinx .. 3cosx 的 ( )A •最大值为4,最小值为—1B 最大值为1最小值为土C •最大值为2,最小值为—2D.最大值为2,最小值为—1已知tan( ) 7,ta n tan2则cos()的值( )八1 D、、2c 2D.A.—B.C. -2222已知一3,cos()123,si n( ),则 sin 2( )2413 5A565665 D.65 A.B.———C.—65655656sin15 sin30 sin 75 的值等于( )八<3c 1 D.1A.DB.C.-4884函数 f (x) tan(x)g (x )1tanx ,h(x) cot( x)其中为相同函数的是 4 丿,g (x)41tanx( )A. f (x)与 g(x)B. g(x)与 h(x)C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)1a 、B 、 都是锐角,tan—2 ,tan 1,ta n 贝U等于 ( )小 55A.—B.-C.-D.3 464设 tan 和 tan(— 4 )是方程x 2 px q 0的两个根,则 P 、q 之间的关系是()A. p+q+1=OB. p — q+仁C. p+q —仁0D. p — q —1=0已知 cosa,sin 4sin( ),则 tan( )的值是 ( )13.已知 sin( )4分,共16分,将答案填在横线上)sin( ) m ,则 cos 2cos 2 的值为A1 a 2B. —V 1 2aC.a 4D.1 a 2a 4a 4 1 a 2a 4.在厶 ABC 中, C 90o ,则tan A tanB 与1的关系为( : )A. tanA tanB 1B. tan A tanB 1C. tanA tanB 1D. 不能确定.sin 20 cos70 sin10sin50的值是( : )A.—B.3C. —D.34224、填空题(每小题3.4.5. 6.7.8.9.10111215 .若sin( 24 ) cos(24 ),则tan( 60)= _____________ . ____16. 若sinx si ny -,则cosx cosy的取值范围是2 ---------------------------------------三、解答题(本大题共74分,17— 21题每题12分,22题14分)17. 化简求值:sinq 3x) cosq 3x) cos(石 3x) sin3x).求tan( 2 )的值.19.求证:tan (x y) tan (x y)18.已知0 90 ,且cos , cos 是方程 x2, 2sin50 x sin250 0的两根,20.已知a,p€( 0,n )且 tan( )1,tan 1弓,求2的值.21.证明:tan|x眄2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足: A+C=2B1cos A1cosC2求cos^cosBsin 2x 2 ~2~cos x sin y11. 1. C 2 B 12 . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 .A 3 . D 4 . D A 参考答案 .C 8 . B 9 . B 10 . D 18. 19. 20. 21. 22. 13. m 14 . - 15 . 32 .3 16 .[ 帀 J i?】17.原式円叫3x)cos(3 3x) si n( 3x) cos(- 3 4 2 3x)t 6 岳i ns 。
两角和与差正弦余弦正切公式试题(含答案)
两角和、差的正弦、余弦、正切测验题一、选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。
)1、o o o o 54cos 66cos 36cos 24cos -的值等于( ) A.0 B.21 C.23D.21-2.在△ABC 中,若sin A =2sin C cos B .那么三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3. 已知()414tan ,53tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα ,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα=( )A .1813 B .2313 C .227 D .1834.()()()()o o o o 24tan 123tan 122tan 121tan 1++++ 的值是( )A.16B.8C.4D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)6.化简=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x 3sin 32sin 3cos 32cos ππππ______.7. 已知角α的终边经过点()()04,3≠-a a a P 则=α2sin .8. 52coslog 5coslog 44ππ+的值等于______.9.已知21tan -=α,则=-+αααα22cos sin cos sin 21 10.函数)2(22≥--=x x y 的反函数是 。
三、解答题(本大题共3小题,共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分10分)已知()()⎪⎭⎫⎝⎛∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-=-=+ππβαππβαβαβα,43,2,47,54c o s ,54co s ,求α2cos 的值。
.12. (本小题满分10分) 已知22tan -=θ,求)4sin(21sin 2cos 22θθθ+--的值.13. (本小题满分15分) 已知()πβα,0∈、,且βαtan tan 、是方程0652=+-x x 的两根.①求βα+的值. ②求()βα-cos 的值.参考答案:1.解析:原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21. 答案:B2.解析:∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得:sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案:C 3.解析:4.分析:本题中所涉及的角均为非特殊角,但两角之和为45°特殊角,为此,将因式重组来求. 解析:∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan ∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理,由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案:C 5. B6.解析:原式=cos [(2x -3π)+(3π-x )]=cos x . 7. 18.解析:∵5sin 252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ 答案:-19. 0.5 10. y=2x 11.25/3612.分析:求三角函数的值,一般先要进行化简,至于化成哪一种函数,可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值,所以应将所求的式子化成正切函数式. 解:原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--. 由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π,∴2π<θ<π,故tan θ=-22. 故原式=223221221+=-+. 评注:以上所给解法,似乎有点复杂,但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.13. ①由根与系数的关系得:分分6.1615tan tan 1tan tan )tan(2)2(6tan tan )1(5tan tan -=-=-+=+∴⎩⎨⎧==+βαβαβαβαβα 分所以且又9.43),,0(),2,0(,),,0(,,0tan ,0tan πβαπβαπβαπβαβα=+∈+∈∴∈>>②由(1)得)3(22sin sin cos cos )cos( -=-=+βαβαβα 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===102cos cos 523sin sin )4)(3()4(cos cos 6sin sin βαβαβαβα得联立 1027sin sin cos cos )cos(=+=-∴βαβαβα。
(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1.给出如下四个命题①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立; ②存在实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是( )A .①②B .②③C .③④D .②③④ 2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是( )A .21+B .12-C .2D . 2 3.当]2,2[ππ-∈x 时,函数x x x f cos 3sin )(+=的( ) A .最大值为1,最小值为-1 B .最大值为1,最小值为21-C .最大值为2,最小值为-2D .最大值为2,最小值为-1 4.已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 ( )A .21 B .22 C .22-D .22±5.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 ( )A .6556B .-6556C .5665D .-56656.οοο75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于( )A .43 B .83 C .81D .41 7.函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是 ( )A .)()(x g x f 与B .)()(x h x g 与C .)()(x f x h 与D .)()()(x h x g x f 及与8.α、β、γ都是锐角,γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 ( )A .3π B .4π C .π65D .π459.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是( )A .p+q+1=0B .p -q+1=0C .p+q -1=0D .p -q -1=0 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是( )A .412--a aB .-412--a aC .214a a --±D .412--±a a11.在△ABC 中,90C >o ,则B A tan tan ⋅与1的关系为( )A .1tan tan >+B A B .1tan tan <⋅B AC .1tan tan =⋅B AD .不能确定12.οοοο50sin 10sin 70cos 20sin +的值是( )A .41B .23C .21D .43二、填空题(每小题4分,共16分,将答案填在横线上)13.已知m =-⋅+)sin()sin(αββα,则βα22cos cos -的值为 . 14.在△ABC 中,33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15.若),24cos()24sin(θθ-=+οο则)60tan(ο+θ= . 16.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题(本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分) 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π.18.已知ο0βαβαcos ,cos ,90且ο<<<是方程02150sin 50sin 222=-+-οοx x 的两根,求)2tan(αβ-的值.19.求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++.20.已知α,β∈(0,π)且71tan ,21)tan(-==-ββα,求βα-2的值.21.证明:xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22.已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2B ,B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A二、13.m 14.3π15.32-- 16.]214,214[-三、17.原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222οοοοο±=---±=x ,12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====o o o o3275tan )2tan(+==-οαβ.19.证:y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右. 20.13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右.22.由题设B=60°,A+C=120°,设2CA -=α知A=60°+α, C=60°-α, 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即C A故222cos =-C A .。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 s in (α±β)=s in_αcos _β±cos_αsin _β. cos(α∓β)=cos_αc os_β±sin_αsin_β. t an(α±β)=错误!.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 s in 2α=2sin_αcos_α.cos 2α=cos 2α-sin2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. ta n 2α=错误!. 3.有关公式的逆用、变形等(1)ta n α±tan β=t an(α±β)(1∓ta n_αt an_β). (2)co s2α=\f(1+cos 2α,2),sin 2α=错误!.(3)1+sin 2α=(si n α+co s α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±co s α=\r(2)sin 错误!.4.函数f (α)=a sin α+bcos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2s in(α+φ),其中t an φ=\f(b,a ) 一、选择题1.给出如下四个命题ﻩﻩ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立;②存在实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ﻩ( )A .①②ﻩB.②③ C.③④ﻩD.②③④2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是ﻩﻩ( )A .21+ﻩB .12-ﻩC .2ﻩD . 2 3.当]2,2[ππ-∈x 时,函数x x x f cos 3sin )(+=的ﻩﻩ( ) A.最大值为1,最小值为-1ﻩB .最大值为1,最小值为21-C .最大值为2,最小值为-2D .最大值为2,最小值为-14.已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值ﻩﻩ( ) A.21 B .22 C.22-D.22±5.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 ( )A.6556ﻩB .-6556ﻩC.5665 D.-5665 6. 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于ﻩﻩ( ) A .43 B .83ﻩC.81 D.417.函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是ﻩﻩ( )A.)()(x g x f 与B .)()(x h x g 与C.)()(x f x h 与ﻩD.)()()(x h x g x f 及与8.α、β、γ都是锐角,γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 ( ) A.3πB.4πﻩC.π65ﻩD.π45 9.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是( )A.p +q +1=0 B .p-q +1=0ﻩC.p+q-1=0 D .p-q-1=0 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是( )A.412--a a ﻩB.-412--a a ﻩC.214a a --± D .412--±a a11.在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为ﻩ( )A.1tan tan >+B A ﻩB .1tan tan <⋅B A C.1tan tan =⋅B A D.不能确定 12. 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是ﻩ( )A.41B.23ﻩC.21D.43二、填空题(每小题4分,共16分,将答案填在横线上)13.已知m =-⋅+)sin()sin(αββα,则βα22cos cos -的值为 . 14.在△ABC 中,33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15.若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题(本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分) 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π.18.已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值.19.求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++.20.已知α,β∈(0,π)且71tan ,21)tan(-==-ββα,求βα-2的值.21.证明:xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22.已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2B,B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A二、13.m 14.3π15.32-- 16.]214,214[- 三、17.原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====ﻩ3275tan )2tan(+==- αβ. 19.证:y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右. 20.13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右.22.由题设B=60°,A +C=120°,设2CA -=α知A=60°+α, C=60°-α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A .。
高中 两角和与差的正弦、余弦和正切 知识点+例题
[例1]已知 为第二象限角, ,则
[巩固1]已知 为锐角, ,则
[巩固2]已知函数 , ,则
[例2]已知 ,则 的值为_______.
[巩固1]若 ,则
[巩固2]已知 为锐角, 为钝角, , ,则 的值为_______.
[例3]已知 ,则
[巩固]在△ABC中,若 ,则 的值为_______.
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))
3.两角和与差的正切公式:tan(α-β)= (T(α-β))
tan(α+β)= (T(α+β))
[例1]若 ,则
[巩固]已知 , ,且 ,则 的值为___________.
[例2]化简: 的值为___________.
[巩固]求 的值为________.
所以,f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = .
(2)由(1)得f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ = sin + .
由x∈ ,得 ≤2x+ ≤ .
所以- ≤sin ≤1,0≤f(x)≤ ,
所以f(x)的取值范围是 .
答案-
解析由tan(α+ )= = ,得tanα=- .
又- <α<0,所以sinα=- .
故 = =2 sinα=- .
12.若α∈ ,且sin2α+cos 2α= ,则tanα的值等于_______.
答案
解析∵α∈ ,且sin2α+cos 2α= ,
∴sin2α+cos2α-sin2α= ,∴cos2α= ,
又α、β为锐角,则sinβ+cosβ>0,
∴cosα-sinα=0,∴tanα=1.
8. =________.
高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切 试题
卜人入州八九几市潮王学校高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切苏【本讲教育信息】 一.教学内容:两角和与差的正弦、余弦、正切 二、教学目的:1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2.能正确运用三角公式,进展简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 三、知识要点: 1、和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±; βαβα=β±αsin sin cos cos )cos( ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2、二倍角公式αααcos sin 22sin =;ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=;22tan tan 21tan ααα=-。
3、降幂公式22cos 1sin 2αα-=;22cos 1cos2αα+=。
4、半角公式2cos 12cosαα+±=;sin 1cos tan21cos sin ααααα-===+。
*5、积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=;)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=;)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=;)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=。
*6、和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+;2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-;2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+;2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-。
ⅠⅢ比较高的;而且在2021年全国高考卷〔Ⅱ〕文科卷第〔17〕题以大题形式出现。
这些都足以说明和、差、倍角的三角函数的重要地位。
两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式、在学习时应注意以下几点:〔1〕不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉;〔2〕擅长拆角、拼角,如()ββαα-+=,()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22,等;〔3〕注意倍角的相对性;〔4〕要时时注意角的范围;〔5〕化简要求;〔6〕熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等。
高三复习:两角和与差的正弦、余弦、正切公式含解析参考答案(教师版+学生版)
§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识梳理:1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)= (C (α-β));cos(α+β)= (C (α+β)); sin(α-β)= (S (α-β));sin(α+β)= (S (α+β)); tan(α-β)= (T (α-β));tan(α+β)= (T (α+β)). 2.二倍角公式sin2α= cos2α= = = ;tan2α= .3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T (α±β)可变形为tan α±tan β= 试一试1.已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan2α= .2.若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan2α= .3.(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为 .考点一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的两根,则tan(α+β)的值为. (2)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)=33,则cos(α+β2)=.变式 (1)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α=.(2)计算:1+cos20°2sin20°-sin10°(1tan5°-tan5°)=.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)已知α∈(0,π),化简:(1+sin α+cos α)·(cos α2-sin α2)2+2cos α=.(2)在△ABC 中,已知三个内角A ,B ,C 成等差数列,则tan A 2+tan C 2+3tan A 2tan C2的值为.题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.则sin(α-β)=,cos β=.课堂练习:1.已知tan(α+β)=25,tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=14,那么tan ⎝⎛⎭⎫α+π4= .2.已知tan α=4,则1+cos2α+8sin 2αsin2α的值为 .3.(2013·重庆)4cos50°-tan40°= .4.已知cos(x -π6)=-33,则cos x +cos(x -π3)的值是 .5.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,且sin α2+cos α2=62. (1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈⎝⎛⎭⎫π2,π,求cos β的值.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=(α+β2)-(α2+β)等.两角和与差的正弦、余弦、正切公式作业1. 已知α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,cos α=35,则tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=________.2.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=_______.3.若tan θ=12,θ∈(0,π4),则sin(2θ+π4)=_______.4.若α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin 2α+cos2α=14,则tan α的值为_______.5.函数y =sin(πx +φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,A ,B 是图象与x 轴的交点,记∠APB =θ,则sin2θ的值是_______.6. .(2013·浙江高考改编)已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan 2α=________. 7. 3tan12°-3(4cos 212°-2)sin12°=________.8. (1)若tan2θ=-22,π<2θ<2π,则2cos 2θ2-sin θ-12sin (θ+π4)=.(2)(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sin βcos β,则2α-β=.9.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +7π4+cos ⎝⎛⎭⎫x -3π4,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,0<α<β≤π2,求证:[f (β)]2-2=0.10. 已知f (x )=(1+1tan x )sin 2x -2sin(x +π4)·sin(x -π4).(1)若tan α=2,求f (α)的值;(2)若x ∈[π12,π2],求f (x )的取值范围.§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识梳理:1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)= (C (α-β));cos(α+β)= (C (α+β)); sin(α-β)= (S (α-β));sin(α+β)= (S (α+β)); tan(α-β)= (T (α-β));tan(α+β)= (T (α+β)). 2.二倍角公式sin2α= cos2α= = = ;tan2α= .3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T (α±β)可变形为 tan α±tan β=试一试1.已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan2α=. 答案 -34解析 ∵sin α+2cos α=102, ∴sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52.化简得:4sin2α=-3cos2α, ∴tan2α=sin2αcos2α=-34. 2.若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan2α=.答案 34解析 由sin α+cos αsin α-cos α=12,等式左边分子、分母同除cos α得,tan α+1tan α-1=12,解得tan α=-3,则tan2α=2tan α1-tan 2α=34.3.(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为. 答案 1解析 ∵f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ) =sin [(x +φ)+φ]-2sin φcos(x +φ)=sin(x +φ)cos φ+cos(x +φ)sin φ-2sin φcos(x +φ) =sin(x +φ)cos φ-cos(x +φ)sin φ =sin [(x +φ)-φ]=sin x , ∴f (x )的最大值为1.考点一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α,tan β是方程x 2-3x +2=0的两根,则tan(α+β)的值为. (2)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)=33,则cos(α+β2)=.答案 (1)-3 (2)539解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α+tan β=3,tan αtan β=2.∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=31-2=-3.(2)cos(α+β2)=cos[(π4+α)-(π4-β2)]=cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4-β2).∵0<α<π2,则π4<π4+α<3π4, ∴sin(π4+α)=223.又-π2<β<0,则π4<π4-β2<π2, 则sin(π4-β2)=63.故cos(α+β2)=13×33+223×63=539.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.变式 (1)若α∈(π2,π),tan(α+π4)=17,则sin α=.(2)计算:1+cos20°2sin20°-sin10°(1tan5°-tan5°)=.答案 (1)35 (2)32解析 (1)∵tan(α+π4)=tan α+11-tan α=17,∴tan α=-34=sin αcos α,∴cos α=-43sin α.又∵sin 2α+cos 2α=1, ∴sin 2α=925.又∵α∈(π2,π),∴sin α=35.(2)原式=2cos 210°4sin10°cos10°-sin10°·cos 25°-sin 25°sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin20°sin10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin (30°-10°)2sin10°=cos10°-2sin30°cos10°+2cos30°sin10°2sin10°=32. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)已知α∈(0,π),化简:(1+sin α+cos α)·(cos α2-sin α2)2+2cos α=.(2)在△ABC 中,已知三个内角A ,B ,C 成等差数列,则tan A 2+tan C 2+3tan A 2tan C2的值为.答案 (1)cos α (2) 3 解析 (1)原式=(2cos 2α2+2sin α2cos α2)·(cos α2-sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0,π),所以cos α2>0,所以原式=(2cos 2α2+2sin α2cos α2)·(cos α2-sin α2)2cosα2=(cos α2+sin α2)·(cos α2-sin α2)=cos 2α2-sin 2α2=cos α.(2)因为三个内角A ,B ,C 成等差数列,且A +B +C =π,所以A +C =2π3,A +C 2=π3,tan A +C 2=3,所以tan A 2+tan C 2+3tan A 2tan C2=tan ⎝⎛⎭⎫A 2+C 2⎝⎛⎭⎫1-tan A 2tan C 2+3tan A 2tan C 2 =3⎝⎛⎭⎫1-tan A 2tan C 2+3tan A 2tan C2= 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.则sin(α-β)=,cos β=.(2)(2013·课标全国Ⅱ改编)已知sin2α=23,则cos 2⎝⎛⎭⎫α+π4=. 答案 (1)-1010 95010 (2)16解析 (1)∵α,β∈(0,π2),从而-π2<α-β<π2.又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010,cos(α-β)=31010. ∵α为锐角,sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =45×31010+35×(-1010)=91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α+π4=1+cos2⎝⎛⎭⎫α+π42=1+cos ⎝⎛⎭⎫2α+π22=1-sin2α2,所以cos 2⎝⎛⎭⎫α+π4=1-sin2α2=1-232=16.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=(α+β2)-(α2+β)等.变式 (1)设α、β都是锐角,且cos α=55,sin(α+β)=35,则cos β=. (2)已知cos(α-π6)+sin α=453,则sin(α+7π6)的值是.答案 (1)2525 (2)-45解析 (1)依题意得sin α=1-cos 2α=255, cos(α+β)=±1-sin 2(α+β)=±45.又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 因为45>55>-45,所以cos(α+β)=-45.于是cos β=cos [(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-45×55+35×255=2525.(2)∵cos(α-π6)+sin α=453,∴32cos α+32sin α=453, 3(12cos α+32sin α)=453, 3sin(π6+α)=453,∴sin(π6+α)=45,7ππ4方法与技巧 1.巧用公式变形:和差角公式变形:tan x ±tan y =tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y );倍角公式变形:降幂公式cos 2α=1+cos2α2,sin 2α=1-cos2α2,配方变形:1±sin α=⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22, 1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α2.2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=22所对应的角α+β不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.课堂练习:1.已知tan(α+β)=25,tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=14,那么tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=. 答案322解析 因为α+π4+β-π4=α+β,所以α+π4=(α+β)-⎝⎛⎭⎫β-π4,所以 tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan ⎣⎡⎦⎤(α+β)-⎝⎛⎭⎫β-π4 =tan (α+β)-tan ⎝⎛⎭⎫β-π41+tan (α+β)tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=322.2.已知tan α=4,则1+cos2α+8sin 2αsin2α的值为.答案654解析 1+cos2α+8sin 2αsin2α=2cos 2α+8sin 2α2sin αcos α,∵tan α=4,∴cos α≠0,分子、分母都除以cos 2α得2+8tan 2α2tan α=654.3.(2013·重庆)4cos50°-tan40°=. 答案3解析 4cos50°-tan40°=4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2sin (50°+30°)-sin40°cos40°=3sin50°+cos50°-sin40°cos40°=3sin50°cos40°= 3.4.已知cos(x -π6)=-33,则cos x +cos(x -π3)的值是.答案 -1解析 cos x +cos(x -π3)=cos x +12cos x +32sin x =32cos x +32sin x =3(32cos x +12sin x )=3cos(x -π6)=-1.10.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,且sin α2+cos α2=62. (1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈⎝⎛⎭⎫π2,π,求cos β的值. 解 (1)因为sin α2+cos α2=62,两边同时平方,得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-32. (2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=45.cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-32×45+12×⎝⎛⎭⎫-35=-43+310.两角和与差的正弦、余弦、正切公式作业1. 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos α=35,则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=________. [解析] 由α∈⎝⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos α=35,得sin α=-1-cos 2α=-45,tan α=sin αcos α=-43,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α =-43+11+43=-17. [答案] -172.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=. 答案 1解析 根据已知条件:cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β, cos β(cos α-sin α)+sin β(cos α-sin α)=0, 即(cos β+sin β)(cos α-sin α)=0. 又α、β为锐角,则sin β+cos β>0, ∴cos α-sin α=0,∴tan α=1.3.若tan θ=12,θ∈(0,π4),则sin(2θ+π4)=.答案7210解析 因为sin2θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=45, 又由θ∈(0,π4),得2θ∈(0,π2),所以cos2θ=1-sin 22θ=35,所以sin(2θ+π4)=sin2θcos π4+cos2θsin π4=45×22+35×22=7210.4.若α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin 2α+cos2α=14,则tan α的值为. 答案3解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin 2α+cos2α=14, ∴sin 2α+cos 2α-sin 2α=14,∴cos 2α=14,∴cos α=12或-12(舍去),∴α=π3,∴tan α= 3.5.函数y =sin(πx +φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,A ,B 是图象与x 轴的交点,记∠APB =θ,则sin2θ的值是.答案1665PD =1,根据函数的图象,可得AD =12,BD =32.在Rt △APD 和Rt △BPD 中,sin ∠APD =15,cos ∠APD =25,sin ∠BPD =313,cos ∠BPD =213.所以sin θ=sin(∠APD +∠BPD )=865,cos θ=cos(∠APD +∠BPD )=165,故sin2θ=2sin θcos θ=2×865×165=1665.6. .(2013·浙江高考改编)已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan 2α=________.[解析] 把条件中的式子两边平方,得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52,即3cos 2α+4sin αcos α=32,所以3cos 2α+4sin αcos αcos 2α+sin 2α=32,所以3+4tan α1+tan 2α=32,即3tan 2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-13,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-34. [答案] -347.3tan12°-3(4cos 212°-2)sin12°=.答案 -4 3解析 原式=3sin12°cos12°-32(2cos 212°-1)sin12°23⎝⎛⎭⎫12sin12°-32cos12°cos12°=23sin (-48°)2cos24°sin12°cos12°=-23sin48°sin24°cos24° =-23sin48°12sin48°=-4 3.8. (1)若tan2θ=-22,π<2θ<2π,则2cos 2θ2-sin θ-12sin (θ+π4)=.(2)(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sin βcos β,则2α-β=.解析 (1)原式=cos θ-sin θsin θ+cos θ=1-tan θ1+tan θ,又tan2θ=2tan θ1-tan 2θ=-22,即2tan 2θ-tan θ-2=0,解得tan θ=-12或tan θ= 2. ∵π<2θ<2π,∴π2<θ<π.∴tan θ=-12,故原式=1+121-12=3+2 2.(2)由tan α=1+sin βcos β得sin αcos α=1+sin βcos β,即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin(π2-α).∵α∈(0,π2),β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π2),∴由sin(α-β)=sin(π-α),得α-β=π-α,∴2α-β=π2.9.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +7π4+cos ⎝⎛⎭⎫x -3π4,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,0<α<β≤π2,求证:[f (β)]2-2=0.(1)解 ∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +7π4-2π+cos ⎝⎛⎭⎫x -π4-π2 =sin ⎝⎛⎭⎫x -π4+sin ⎝⎛⎭⎫x -π4=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4, ∴T =2π,f (x )的最小值为-2.(2)证明 由已知得cos βcos α+sin βsin α=45,cos βcos α-sin βsin α=-45,两式相加得2cos βcos α=0, ∵0<α<β≤π2,∴β=π2,∴[f (β)]2-2=4sin 2π4-2=0.10. 已知f (x )=(1+1tan x )sin 2x -2sin(x +π4)·sin(x -π4).(1)若tan α=2,求f (α)的值;(2)若x ∈[π12,π2],求f (x )的取值范围.解 (1)f (x )=(sin 2x +sin x cos x )+2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4· cos ⎝⎛⎭⎫x +π4 =1-cos2x 2+12sin2x +sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 11=12(sin2x +cos2x )+12. 由tan α=2,得sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=45.cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35. 所以,f (α)=12(sin2α+cos2α)+12=35.(2)由(1)得f (x )=12(sin2x +cos2x )+12=22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12,π2,得5π12≤2x +π4≤5π4. 所以-22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4≤1,0≤f (x )≤2+12, 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2+12. 11. 10.已知f (x )=-3sin 2x +sin x cos x ,(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6的值;(2)设α∈(0,π),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=14-32,求sin α的值. [解] f (x )=-3sin 2x +sin x cos x =-3×1-cos 2x 2+12sin 2x =-32+12sin 2x +32cos 2x =-32+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6=-32+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π3+π3=-32+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+2π3=-32+sin 2π3=-32+32=0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=-32+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=14-32, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=14. ∵α∈(0,π),∴α+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,4π3,又0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=14<12, ∴α+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,4π3. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=-1-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫142=-154, ∴sin α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3cos π3-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3sin π3 =14×12+154×32=1+358.。
高考数学第一轮复习配套练习及答案:两角和与差的正弦、余弦、正切
4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于( )A.12B.3C.2D. 2 解析 原式=1sin (43-13)=sin 30=2,故选A.答案 A2.已知锐角α满足cos 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α,则sin 2α等于( ) A.12 B .-12 C.22 D .-22解析:由cos 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=22(cos α+sin α) 由α为锐角知cos α+sin α≠0. ∴cos α-sin α=22,平方得1-sin 2α=12. ∴sin 2α=12.答案:A3.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos x =45,则tan 2x 等于( ).A.724 B .-724 C.247 D .-247 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos x =45.∴sin x =-35,∴tan x =-34.∴tan 2x =2tan x 1-tan 2x =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-341-⎝ ⎛⎭⎪⎫-342=-247.答案 D4.已知α,β都是锐角,若sin α=55,sin β=1010,则α+β= ( ). A.π4B.3π4C.π4和3π4D .-π4和-3π4解析 由α,β都为锐角,所以cos α=1-sin 2α=255,cos β=1-sin 2β=31010.所以cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=22,所以α+β=π4.答案 A 5.若0<α<π2,-π2<β<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=13,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=33,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+β2=( ).A.33B .-33C.539D .-69解析 对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+β2=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2,而π4+α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,π4-β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=223,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=63,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+β2=13×33+223×63=539.答案 C6.已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-35,则tan2α的值为( )A.45 B .-237 C .-247 D .-83解析 由sin (π+α)=-35,得sin α=35,又α是第二象限角,故cos α=-1-sin 2α=-45,∴tan α=-34,tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-341-⎝ ⎛⎭⎪⎫-342=-247.答案 C7.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6的值是( ).A .-235 B.236 C .-45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435⇒32sin α+32cos α=435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=45,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=-45.答案 C 二、填空题8.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos α=________.解析:∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=223.故cos α=cos [⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-π4]=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos π4+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4sin π4=13×22+223×22=4+26. 答案:4+269.化简[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·2sin 280°的结果是________.解析 原式=2sin 50°+sin 10°·cos 10°+3sin 10°cos 10°·2sin 80°=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°+2sin 10°·12cos 10°+32sin 10°cos 10°·2cos 10°=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°+2sin 10°·cos -cos 10°·2cos 10° =22(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)=22sin 60°= 6. 答案 610.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=3,则sin 2θ-2cos 2θ的值为________.解析 法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=3,∴1+tan θ1-tan θ=3,解得tan θ=12.∵sin 2θ-2cos 2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1 =2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ-cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ-1 =2tan θ1+tan 2 θ-1-tan 2 θ1+tan 2 θ-1 =45-35-1=-45. 法二 sin 2θ-2cos 2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1 =-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2 θ-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2θ-1=-1-tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ1+tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ-2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ1+tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ-1=-1-91+9-2×31+9-1=-45.答案 -4511.函数f (x )=2cos 2x +sin 2x 的最小值是________.解析 ∵f (x )=2cos 2x +sin 2x =1+cos 2x +sin 2x =1+2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4,∴f (x )min =1- 2. 答案 1- 212.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tan αtan β=________.解析 由已知,得cos αcos β-sin αsin β=15,cos αcos β+sin αsinβ=35,则有cos αcos β=25,sin αsin β=15,sin αsin βcos αcos β=12,即tan αtanβ=12.答案12三、解答题13.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =513,且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,求1-tan x 1+tan x .解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,∴π4+x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =-1213,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =-512,∴1-tan x1+tan x=1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=-125. 14.设函数f (x )=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2,x ∈R.(1)若ω=12,求f (x )的最大值及相应的x 的集合;(2)若x =π8是f (x )的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f (x )的最小正周期.解析 (1)f(x)=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2=sin ωx -cos ωx ,当ω=12时,f(x)=sin x 2-cos x 2=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π4,而-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π4≤1,所以f(x)的最大值为2,此时,x 2-π4=π2+2k π,k ∈Z ,即x =3π2+4k π,k ∈Z ,相应的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x =3π2+4k π,k ∈Z .(2)因为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π4, 所以,x =π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ8-π4=0,即ωπ8-π4=k π,k ∈Z ,整理,得ω=8k +2,又0<ω<10,所以0<8k +2<10,-14<k <1,而k ∈Z ,所以k =0,ω=2,f (x )=2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4,f (x )的最小正周期为π. 15.在△ABC 中,A 、B 、C 为三个内角,f (B )=4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+B 2+3cos 2B-2cos B .(1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m >2恒成立,求实数m 的取值范围.解析 (1)f (B )=4cos B ×1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+B 2+3cos 2B -2cos B=2cos B (1+sin B )+3cos 2B -2cos B =2cos B sin B +3cos 2B=sin 2B +3cos 2B =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3.∵f (B )=2,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3=2,π3<2B +π3<73π,∴2B +π3=π2.∴B =π12. (2)f (B )-m >2恒成立,即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3>2+m 恒成立.∵0<B <π,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3∈[-2,2],∴2+m <-2.∴m <-4.16. (1)①证明两角和的余弦公式C (α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由C (α+β)推导两角和的正弦公式S (α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(2)已知cos α=-45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,32π,tan β=-13,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求cos(α+β).解析 (1)证明 ①如图,在直角坐标系xOy 内作单位圆O ,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点P 1,终边交⊙O 于点P 2;角β的始边为OP 2,终边交⊙O 于点P 3,角-β的始边为OP 1,终边交⊙O 于点P 4. 则P 1(1,0),P 2(cos α,sin α),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)).由P 1P 3=P 2P 4及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2,展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β). ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.②由①易得,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos α. sin(α+β)=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-α+β =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α+-β=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos(-β)-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin(-β)=sin αcos β+cos αsin β.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π,32π,cos α=-45,∴sin α=-35. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,tan β=-13,∴cos β=-31010,sin β=1010. cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =⎝ ⎛⎭⎪⎫-45×⎝⎛⎭⎪⎫-31010-⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×1010=31010.。
两角和与差的正弦、余弦和正切专题及答案
两角和与差的正弦、余弦和正切专题一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α,则sin 2α等于( ) A.12 B .-12 C.22 D .-22 2.若1+cos 2αsin 2α=12,则tan 2α等于 ( ).A.54 B .-54 C.43 D .-43 3.已知α,β都是锐角,若sin α=55,sin β=1010,则α+β= ( ).A.π4B.3π4C.π4和3π4 D .-π4和-3π4 4.已知sin θ+cos θ=43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4,则sin θ-cos θ的值为( ).A.23 B .-23 C.13 D .-135.若tan α=lg(10a ),tan β=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,且α+β=π4,则实数a 的值为 ( ). A .1 B.110 C .1或110D .1或10 6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6的值是( ). A .-235 B.236 C .-45 D.45二、填空题7.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos α=________.8.设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12的值为________.9.函数f (x )=2cos 2x +sin 2x 的最小值是________.10.方程x 2+3ax +3a +1=0(a >2)的两根为tan A ,tan B ,且A ,B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,则A +B =________.三、解答题11.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2cos 2x -1,x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值和最小值.12.已知sin α+cos α=355,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值.13.函数f (x )=6cos 2ωx2+3sin ωx -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求ω的值及函数f (x )的值域;(2)若f (x 0)=8 35,且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-103,23,求f (x 0+1)的值.14.(1)①证明两角和的余弦公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;②由C(α+β)推导两角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(2)已知cos α=-45,α∈⎝⎛⎭⎪⎫π,32π,tan β=-13,β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π,求cos(α+β).两角和与差的正弦、余弦和正切专题及答案一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α,则sin 2α等于( )A.12 B .-12 C.22 D .-22 解析由cos 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=22(cos α+sin α) 由α为锐角知cos α+sin α≠0.∴cos α-sin α=22,平方得1-sin 2α=12.∴sin 2α=12.答案A 2.若1+cos 2αsin 2α=12,则tan 2α等于 ( ).A.54 B .-54 C.43 D .-43 解析 1+cos 2αsin 2α=2cos 2α2sin αcos α=cos αsin α=12,∴tan α=2,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=41-4=-43,故选D. 答案 D3.已知α,β都是锐角,若sin α=55,sin β=1010,则α+β= ( ). A.π4 B.3π4 C.π4和3π4 D .-π4和-3π4 解析 由α,β都为锐角,所以cos α=1-sin 2α=255,cos β=1-sin 2β=31010.所以cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=22,所以α+β=π4.答案 A4.已知sin θ+cos θ=43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4,则sin θ-cos θ的值为( ). A.23 B .-23 C.13 D .-13解析 ∵sin θ+cos θ=43,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=169,∴sin 2θ=79,又0<θ<π4,∴sin θ<cos θ.∴sin θ-cos θ=-(sin θ-cos θ)2=-1-sin 2θ=-23. 答案 B5.若tan α=lg(10a ),tan β=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,且α+β=π4,则实数a 的值为 ( ).A .1 B.110 C .1或110D .1或10 解析 tan(α+β)=1⇒tan α+tan β1-tan αtan β=lg (10a )+lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1-lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =1⇒lg 2a +lg a =0,所以lg a =0或lg a =-1,即a =1或110. 答案 C6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435,则sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6的值是( ). A .-235 B.236 C .-45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435⇒32sin α+32cos α=435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=45, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=-45. 答案 C 二、填空题7.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos α=________.解析∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=223.故cos α=cos [⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-π4]=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos π4+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4sin π4=13×22+223×22=4+26. 答案4+268.设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12的值为________.解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,∴α+π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2π3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-π4 =sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos π4-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6sin π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-1=2×35×45-22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452-1=12225-7250=17250.答案172509.函数f (x )=2cos 2x +sin 2x 的最小值是________.解析 ∵f (x )=2cos 2x +sin 2x =1+cos 2x +sin 2x =1+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,∴f (x )min =1-2. 答案 1- 210.方程x 2+3ax +3a +1=0(a >2)的两根为tan A ,tan B ,且A ,B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,则A +B =________.解析 由题意知tan A +tan B =-3a <-6,tan A ·tan B =3a +1>7,∴tan A <0,tan B <0, tan(A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =-3a1-(3a +1)=1.∵A ,B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴A ,B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,∴A +B ∈(-π,0),∴A +B =-3π4. 答案 -3π4三、解答题11.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2cos 2x -1,x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值和最小值.解 (1)f (x )=sin 2x ·cos π3+cos 2x ·sin π3+sin 2x ·cos π3-cos 2x ·sin π3+cos 2x =sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4. 所以,f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π8上是增函数,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8,π4上是减函数.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=-1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=1,故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上的最大值为2,最小值为-1. 12.已知sin α+cos α=355,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值.解 (1)由题意得(sin α+cos α)2=95,即1+sin 2α=95,∴sin 2α=45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴cos 2α=1-sin 22α=35,∴tan 2α=sin 2αcos 2α=43. (2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,β-π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=35,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=45,于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=-cos 2β,∴cos 2β=-2425,又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴sin 2β=725,又cos 2α=1+cos 2α2=45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4, ∴cos α=255,sin α=55.∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β =255×⎝ ⎛⎭⎪⎫-2425-55×725=-11525. 13.函数f (x )=6cos 2ωx2+3sin ωx -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求ω的值及函数f (x )的值域; (2)若f (x 0)=8 35,且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-103,23,求f (x 0+1)的值. 解 (1)由已知可得,f (x )=3cos ωx +3sin ωx =23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3,又正三角形ABC 的高为23,从而BC =4, 所以函数f (x )的周期T =4×2=8,即2πω=8,ω=π4.函数f (x )的值域为[-23,23]. (2)因为f (x 0)=835, 由(1)有f (x 0)=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3=835,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3=45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-103,23,知πx 04+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=35.故f (x 0+1)=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π4+π3=23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫πx 04+π3+π4 =23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3cos π4+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04+π3sin π4 =23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22+35×22=765.14.(1)①证明两角和的余弦公式C (α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由C (α+β)推导两角和的正弦公式S (α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(2)已知cos α=-45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,32π,tan β=-13,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求cos(α+β).解(1)证明 ①如图,在直角坐标系xOy 内作单位圆O ,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点P 1,终边交⊙O 于点P 2;角β的始边为OP 2,终边交⊙O 于点P 3,角-β的始边为OP 1,终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0),P 2(cos α,sin α),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)).由P 1P 3=P 2P 4及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2,展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β). ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.②由①易得,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α,11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos α. sin(α+β)=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2- α+β =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α+ -β =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos(-β)-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin(-β) =sin αcos β+cos αsin β.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π,32π,cos α=-45,∴sin α=-35. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,tan β=-13, ∴cos β=-31010,sin β=1010. cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=⎝ ⎛⎭⎪⎫-45×⎝⎛⎭⎪⎫-31010-⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×1010=31010.。
山东省冠县武训高中数学必修四《两角和与差的正弦、余弦和正切》学案
两角和与差的正弦、余弦和正切一、知识清单1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(C α-β) cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β (C α+β)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(S α-β) sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β (S α+β)前4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个公式成立的条件是 (T α+β需满足), (T α-β需满足) k ∈Z 时成立,否则是不成立的.当tan α、tan β或tan (α±β)的值不存在时,不能使用公式T α±β,处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法来解.2.要辩证地看待和角与差角,根据需要,可以进行适当的变换:α=(α+β)-β,α=(α-β) +β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等等.3.二倍角公式 sin 2α= ;cos 2α= = = ;tan 2α= .4.灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T α±β可变形为: tan α±tan β= , tan αtan β=5.函数f (α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为f (α)= 或f (α)= ,其中φ可由a ,b 的值唯一确定.二、课前练习1.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值为 ( )A. B. C. D. 2 3.(2009·陕西理,5)若3sin α+cos α=0, 则 的值为( )A. B. C. D.-24.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2α 等于( )A. B. C. D. 5.(2009·上海理,6)函数y=2cos 2x+sin 2x 的最小值是 .三、典型例题题型一 三角函数式的化简、求值例1 )(T tan tan 1tan tan )tan()(T tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβαβαβα+--+=++-=-;;Z,∈+≠+≠k k k ,2,2ππβππα2ππβα+≠+k 且2ππβα+≠-k 2121-3131-等于则且已知)4tan(),,2(54cos απππαα+∈-=7.D 71.C 7.B 71.A --αα2sin cos 12+31035328181-7474-θθθθθcos 22)2cos 2)(sin cos sin 1()1(+-++化简);0(πθ<<).5tan 5tan 1(10sin 20sin 220cos 1)2(︒-︒︒-︒︒+求值题型二 三角函数的给值求值例2角的变换:转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等;如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β)等;函数变换:弦切互化,化异名为同名.综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响.当出现互余、互补关系,利用诱导公式转化.练习2 已知题型三 三角函数的给值求角例3 已知tan(α-β)= ,tan β= , 且α,β∈(0,π),求2α-β的值.(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是 ,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为 ,选正弦较好.(2)解这类问题的一般步骤为:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出所求的角. 练习3 已知 απβαβα<=--=-2,32)2sin(,91)2cos(且已知.2cos ,20,的值求βαπβπ+<<<,53)cos(=-βα,135sin -=β的值求且απβπαsin ),0,2(),2,0(-∈∈2171-)2,0(π2,2(ππ-,212tan ,20=<<<<απβπα.102)cos(=-αβ(1)求sin α的值; (2)求β的值.题型四 三角函数的综合应用 (12分)已知α、β为锐角,向量a= (cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c (1)若a ·b= ,a ·c= ,求角2β-α的值; (2)若a=b+c ,求tan α的值.(1)已知三角函数值求角,一定要注意角的范围.(2)求有关角的三角函数问题,有时构造等式,用方程的思想解决更简单、实用. 练习4(2009·广东理,16)已知向量a= (sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中 (1)求sin θ 和cos θ的值;四、作业与练习一、选择题1.sin 45°·cos 15°+cos 225°·sin 15°的值为 ( ) A. B. C. D. 2 3. ).21,21(-=22413-).2,0(πθ∈.cos ,20,1010)sin()2(的值求若ϕπϕϕθ<<=-23-21-2123,55)45sin(=+︒α已知等于则α2sin 54.D 53.C 53.B 54.A --则已知,33)6cos(=-απ)65cos()6(sin 2αππα+--的值是332.D 332.C 332.B 332.A +--+-+———π4π5. 6.在△ABC 中,角C=120°,tan A+tan B= ,则tan Atan B 的值为 ( ) A. B. C. D.二、填空题7. .8 _________ 9. 已知 .三、解答题10.化简:11.已知函数 (1)求f(x)的周期和单调递增区间; (2)若关于x 的方程f(x)-m=2在 上有解, 求实数m 的取值范围.12.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α), 且a ⊥b. (1)求tan α的值;41.D 43.C 41.B 43.A --+=-32cos(,31)6sin(παπ则已知的值是)2α97.D 31.C 31.B 97.A --33241312135)tan(,3cos sin cos sin βααααα-=-+若=-=)2tan(,2αβ则=︒-︒-10cos 270sin 3,53)sin(),,43(,-=+∈βαππβα)4sin(πβ-=+=)4cos(,1312πα则+-)4sin(2)1(x π);4cos(6x -π.)4(sin )4tan(21cos 2)2(22απαπα+--)4(sin 2)(2x x f +=π.2cos 3x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ),2,23(ππα∈.)32cos()2(的值求πα+。
两角和与差正弦-余弦-正切公式试题
7. 已知角 的终边经过点 P3a,4aa 0 则 sin 2
2 的值等于______. 5 5 1 2 sin cos 1 9.已知 tan ,则 2 2 sin cos 2
.
8. log4 cos log4 cos
两角和、差的正弦、余弦、正切测验题
班级
学号
姓名
得分
.
一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。) 1. ( ) A.0 D.
1 2
cos 24o cos 36o cos 66o cos 54o
的
值
等
于
B.
1 2
C.
3 2
2. 在 △ ABC 中 , 如 果 sinA=2sinCcosB. 那 么 这 个 三 角 形 是 ( ) A.锐角三角形 等边三角形 3. 已 知
10.函数 y 2 x 2 ( x 2) 的反函数是
。
三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 11.( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知
4 4 7 3 cos , cos , ,2 , , , 5 5 4 4
1 3
A. a n 34 8n
D. a n 162 ( ) n
1 3
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)
6.化简 cos 2 x cos x sin 2 x sin x ______.
1 tan 21 1 tan 22 1 tan 23 1 tan 24
高考数学一轮复习 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切
4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切一、填空题1.设f (tan x )=tan2x ,则f (2)等于________.解析 ∵f (tan x )=tan 22tan 21tan x x x =,- ∴2224(2)312f ⨯==--. 答案 43-2.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=14,则sin2α的值为________.解析 方法1:sin 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2α=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4-1=-78.方法2:cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=22cos α+22sin α=14.两边平方得,12+12sin 2α=116,∴sin 2α=-78.答案 -783.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tan αtan β=________.解析 由cos αcos β-sin αsin β=15,cos αcos β+sin αsin β=35,解得cos αcos β=25,sin αsin β=15,所以tan αtan β=12.答案 124.已知向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6,1,b =(4,4cos α-3),若a ⊥b ,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+4π3=________.解析 a·b =4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6+4cos α- 3 =23sin α+6cos α-3=43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-3=0,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=14.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+4π3=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=-14. 答案 -145.已知α为第三象限的角,cos 325α=-,则tan (2)4απ+= .解析 ∵α为第三象限的角,2k π+π2k α≤≤π32π+,k ∈Z ,∴4k π+2π24k α≤≤π+3π(k ∈Z ). 又cos 325α=-,∴sin 425α=,tan 423α=-.∴tan 1tan21(2)41tan27πααα++==--.答案 17-6.在△ABC 中,C =120°,tan A +tan B =233,则tan A tan B 的值为________.解析 tan(A +B )=-tan C =-tan 120°=3, 所以tan(A +B )=tan A +tan B1-tan A tan B =3,即2331-tan A tan B = 3.解得tan A tan B =13. 答案 137.已知0<α<π2,π2<β<π,且cos α=17,sin β=5314,则β-α的值为________.解析 因为0<α<π2,π2<β<π,所以0<β-α<π,又cos α=17,sin β=5314,所以sin α=437,cos β=-1114,所以cos(β-α)=12,所以β-α=π3.答案π38.已知tan α=17,tan β=13,且α,β∈(0,π),则α+2β=________.解析 tan 2β=2tan β1-tan 2β=231-19=34,所以tan(α+2β)=tan α+tan 2β1-tan αtan 2β=17+341-328=1.∵tan α=17<1,α∈(0,π),∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,同理β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,∴α+2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34π,所以α+2β=π4.答案π49.若sin α-sin β=1-32,cos α-cos β=12,则cos(α-β)的值为________. 解析 由sin α-sin β=1-32得: sin 2α-2sin αsin β+sin 2β=1-3+34=74- 3.①由cos α-cos β=12得:cos 2 α-2cos αcos β+cos 2β=14.②①+②得1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-3, 即2cos(α-β)=3,所以cos(α-β)=32. 答案3210.已知函数f (x )=2sin(2x +φ),若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=3,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4=________.解析 因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ=3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ=32,所以可取φ=-π6,则f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π2-π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-π6=2sin π3=2×32= 3. 答案311.实数x ,y 满足tan x =x ,tan y =y ,且|x |≠|y |,则sinx +y x +y -sin x -yx -y=________.解析 因为tan x =x ,tan y =y , 所以sin x +y x +y -sin x -yx -y=sin x cos y +cos x sin y tan x +tan y -sin x cos y -cos x sin ytan x -tan y=cos x cos y -cos x cos y =0. 答案 012.已知A 、B 均为钝角且sin A =55,sin B =1010,则A +B 的值为________.解析 A 、B 均为钝角且sin A =55,sin B =1010, 得cos A =-1-sin 2A =-25=-255,cos B =-1-sin 2B =-310=-31010,所以cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =-255×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010-55×1010=22, 又因为π2<A <π,π2<B <π,所以π<A +B <2π,故A +B =7π4.答案7π413.若π4<x <π2,则函数y =tan2x tan 3x 的最大值为________.解析 令tan x =t ,∵π4<x<π2,∴t>1,∴y=tan 2x tan 3x =2tan 4x 1-tan 2x =2t 41-t 2=21t 4-1t 2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2-122-14≤2-14=-8. 答案 -8 二、解答题14.已知函数f (x )=sin x +sin ()2x x π+,∈R . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的最大值和最小值; (3)若3()4f α=,求sin 2α的值.解析 f (x )=sin x +sin ()2x π+=sin x +cos x =()4x π+, (1)f (x )的最小正周期为221T π==π;(2)f (x )最小值为; (3)因为3()4f α=,即sin α+cos 34α=, 所以1+2sin αcos 916α=,即2sin αcos 716α=-,即sin 7216α=-.15.A ,B ,C 是△ABC 的内角,向量m =⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2,sin 3A 2,n =⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2,sin A 2满足|m +n |= 3.(1)求角A 的大小;(2)若sin B +sin C =3sin A ,试判断△ABC 的形状. 解析 (1)由|m +n |=3,得m 2+n 2+2m ·n =3, 即1+1+2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A2+sin 3A 2sin A 2=3,所以cos A =12,又0<A <π,所以A =π3.(2)因为sin B +sin C =3sin A ,所以sin B +sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-B =3×32,即32sin B +12cos B =32, sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B +π6=32,又0<B <2π3,所以B +π6=π3或2π3,所以B =π6或π2.因此B =π6时,C =π2;B =π2时,C =π6.故△ABC 为直角三角形.16.已知向量a =(m ,sin 2x ),b =(cos 2x ,n ),x ∈R ,f (x )=a ·b ,若函数f (x )的图象经过点(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,1.(1)求m ,n 的值;(2)求f (x )的最小正周期,并求f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4上的最小值;(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=15,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4时,求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4的值.解析 (1)f (x )=m cos 2x +n sin 2x ,因为f (0)=1,所以m =1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=1,所以n =1.故m =1,n =1.(2)f (x )=cos 2x +sin 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以f (x )的最小正周期为π. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4,所以2x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4,所以当x =0或x =π4时,f (x )取最小值1.(3)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=15,所以cos α+sin α=15,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=210,又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π4,故α+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=7210,所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=272=17.17.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(2,2),若a ·b =85,且π4<x <π2.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4和tan ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4的值;(2)求sin 2x 1-tan x1+tan x的值.解析 (1)因为a ·b =85,所以2cos x +2sin x =85,即cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4=45.又π4<x <π2,所以0<x -π4<π4,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4=35,tan ⎝⎛⎭⎪⎫x -π4=34.(2)因为sin 2x =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4-1=725,所以sin 2x 1-tan x 1+tan x =sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =-21100.18.在△ABC 中,A 、B 、C 为三个内角,f (B )=4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+B 2+3cos 2B -2cos B .(1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m >2恒成立,求实数m 的取值范围.解析 (1)f (B )=4cos B ×1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+B 2+3cos 2B -2cos B=2cos B (1+sin B )+3cos 2B -2cos B =2cos B sin B +3cos 2B=sin 2B +3cos 2B =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B +π3. ∵f (B )=2,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3=2,∴2B +π3=π2.∵0<B <π,∴B =π12.(2)f (B )-m >2恒成立,即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3>2+m 恒成立. ∵0<B <π,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3∈[-2,2],∴2+m <-2.∴m <-4.。
高中数学一轮复习(含答案) 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β):sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. C (α±β):cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β):tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α,β,α±β≠π2+k π,k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系:C (α±β)同名相乘,符号反;S (α±β)异名相乘,符号同;T (α±β)分子同,分母反.2.二倍角公式 S 2α:sin 2α=2sin αcos α.C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.T 2α:tan 2α=2tan α1-tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π+π2且α≠k π2+π4,k ∈Z . 二倍角是相对的,例如,α2是α4的二倍角,3α是3α2的二倍角.二、常用结论(1)降幂公式:cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2.(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos 2α,1-cos 2α=2sin 2α. (3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). (4)辅助角公式:a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ=b a 2+b 2,cos φ=a a 2+b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α=35,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,tan β=-12,则tan(α-β)的值为( ) A .-211B.211C.112D .-112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π-α=13,且π2≤α≤π,则sin 2α的值为( )A .-229B .-429C.229D.429[解析] (1)因为sin α=35,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以cos α=-1-sin 2α=-45, 所以tan α=sin αcos α=-34. 所以tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=-211.(2)因为sin(π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=-1-sin 2α=-223,所以sin 2α=2sin αcos α=2×13×⎝⎛⎭⎫-223=-429. [答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. [题组训练]1.已知sin α=13+cos α,且α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α+π4的值为( ) A .-23B.23C .-13D.13解析:选A 因为sin α=13+cos α,所以sin α-cos α=13,所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α+π4=cos 2α-sin 2αsin αcos π4+cos αsin π4=(cos α-sin α)(cos α+sin α)22(sin α+cos α)=-1322=-23.2.已知sin α=45,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,则sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3的值为________. 解析:因为sin α=45,且α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π2,所以α∈⎝⎛⎭⎫π2,π, 所以cos α=-1-sin 2α=-1-⎝⎛⎭⎫452=-35. 因为sin 2α=2sin αcos α=-2425,cos 2α=2cos 2α-1=-725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3=sin 2αcos π3+cos 2αsin π3=-24+7350. 答案:-24+7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________. (2)计算:tan 25°+tan 35°+3tan 25°tan 35°=________. [解析] (1)∵sin α+cos β=1,① cos α+sin β=0,② ∴①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,∴sin αcos β+cos αsin β=-12,∴sin(α+β)=-12.(2)原式=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°·tan 35°=3(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°tan 35°= 3. [答案] (1)-12(2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)公式的一些常用变形:sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β;cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β;1±sin α=⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22;sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1;cos 2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α. [提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.(3)注意特殊角的应用,当式子中出现12,1,32, 3等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.[题组训练]1.设a =cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b =22(sin 56°-cos 56°),c =1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .a >c >b解析:选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式,可得a =cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°=cos 50°cos 127°+sin 50°sin 127°=cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos 77°=sin 13°,b =22(sin 56°-cos 56°)=22sin 56°-22cos 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,c =1-tan 239°1+tan 239°=1-sin 239°cos 239°1+sin 239°cos 239°=cos 239°-sin 239°=cos 78°=sin 12°.因为函数y =sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2为增函数,所以sin 13°>sin 12°>sin 11°,所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α-π6+sin α=435,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=________. 解析:由cos ⎝⎛⎭⎫α-π6+sin α=435,可得32cos α+12sin α+sin α=435,即32sin α+32cos α=435, ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=435,即sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=45. 答案:45 3.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6+sin 2⎝⎛⎭⎫α+π6-sin 2α的结果是________.解析:原式=1-cos ⎝⎛⎭⎫2α-π32+1-cos ⎝⎛⎭⎫2α+π32-sin 2α=1-12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α-π3+cos ⎝⎛⎭⎫2α+π3-sin 2α =1-cos 2α·cos π3-sin 2α=1-cos 2α2-1-cos 2α2=12. 答案:12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫-35,-45.若角β满足sin(α+β)=513,则cos β的值为________. [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫-35,-45,得sin α=-45,cos α=-35. 由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213. 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-5665或cos β=1665. [答案] -5665或1665[解题技法]1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=⎝⎛⎭⎫α+β2-⎝⎛⎭⎫α2+β等. 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-55.(1)求cos 2α的值;(2)求tan(α-β)的值.[解] (1)因为tan α=43,tan α=sin αcos α,所以sin α=43cos α .因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β 为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-55,所以α+β∈⎝⎛⎭⎫π2,π. 所以sin(α+β)=1-cos 2(α+β)=255,所以tan(α+β)=-2.因为tan α=43,所以 tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247.所以tan(α-β)=tan [2α-(α+β)]=tan 2α-tan (α+β)1+tan 2αtan (α+β)=-211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.[题组训练]1.已知tan θ+1tan θ=4,则cos 2⎝⎛⎭⎫θ+π4=( ) A.12 B.13C.14D.15解析:选C 由tan θ+1tan θ=4,得sin θcos θ+cos θsin θ=4,即sin 2θ+cos 2θsin θcos θ=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ+π4=1+cos ⎝⎛⎭⎫2θ+π22=1-sin 2θ2=1-2sin θcos θ2=1-2×142=14.2.(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=7210,A ∈⎝⎛⎭⎫π4,π,则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析:选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4,π,∴A +π4∈⎝⎛⎭⎫π2,5π4,∴cos ⎝⎛⎭⎫A +π4=- 1-sin 2⎝⎛⎭⎫A +π4=-210, ∴sin A =sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A +π4-π4=sin ⎝⎛⎭⎫A +π4cos π4-cos ⎝⎛⎭⎫A +π4sin π4=45. 3.已知sin α=-45,α∈⎣⎡⎦⎤3π2,2π,若sin (α+β)cos β=2,则tan(α+β)=( ) A.613 B.136C .-613D .-136解析:选A ∵sin α=-45,α∈⎣⎡⎦⎤3π2,2π,∴cos α=35.又∵sin (α+β)cos β=2, ∴sin(α+β)=2cos [(α+β)-α].展开并整理,得65cos(α+β)=135sin(α+β),∴tan(α+β)=613.[课时跟踪检测]A 级1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=( ) A .1 B.12C.32D .-12解析:选B sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=sin 45°·cos 15°+(-cos 45°)sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=12.2.若2sin x +cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =1,则cos 2x =( ) A .-89B .-79C.79D .-725解析:选C 因为2sin x +cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =1,所以3sin x =1,所以sin x =13,所以cos 2x =1-2sin 2x =79. 3.(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=-33,则cos ⎝⎛⎭⎫α-π3+cos α=( ) A .-223B .±223C .-1D .±1解析:选C cos ⎝⎛⎭⎫α-π3+cos α=12cos α+32sin α+cos α=32cos α+32sin α=3cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=-1. 4.tan 18°+tan 12°+33tan 18°tan 12°=( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析:选D ∵tan 30°=tan(18°+12°)=tan 18°+tan 12°1-tan 18°tan 12°=33,∴tan 18°+tan 12°=33(1-tan 18°tan 12°),∴原式=33. 5.若α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,且3cos 2α=sin ⎝⎛⎭⎫π4-α,则sin 2α的值为( ) A .-118B.118C .-1718D.1718解析:选C 由3cos 2α=sin ⎝⎛⎭⎫π4-α,可得3(cos 2α-sin 2α)=22(cos α-sin α),又由α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,可知cos α-sin α≠0,于是3(cos α+sin α)=22,所以1+2sin αcos α=118,故sin 2α=-1718. 6.已知sin 2α=13,则cos 2⎝⎛⎭⎫α-π4=( ) A .-13B.13C .-23D.23解析:选D cos 2⎝⎛⎭⎫α-π4=1+cos ⎝⎛⎭⎫2α-π22=12+12sin 2α=12+12×13=23. 7.已知sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=12,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则cos ⎝⎛⎭⎫α-π3的值为________.解析:由已知得cos α=12,sin α=-32,所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π3=12cos α+32sin α=-12.答案:-12 8.(2019·湘东五校联考)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则tan αtan β=________.解析:因为sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,所以sin αcos β+cos αsin β=12,sin αcos β-cos αsin β=13,所以sin αcos β=512,cos αsin β=112,所以tan αtan β=sin αcos βcos αsin β=5.答案:59.(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α-π4=16,则tan α=________. 解析:tan α=tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α-π4+π4=tan ⎝⎛⎭⎫α-π4+tan π41-tan ⎝⎛⎭⎫α-π4tan π4=16+11-16=75.答案:7510.化简:sin 235°-12cos 10°cos 80°=________.解析:sin 235°-12cos 10°cos 80°=1-cos 70°2-12cos 10°sin 10°=-12cos 70°12sin 20°=-1. 答案:-111.已知tan α=2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α+π4的值;(2)求sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值.解:(1)tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=tan α+tanπ41-tan αtanπ4=2+11-2=-3. (2)sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1=2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-(2cos 2α-1)-1=2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-2cos 2α =2tan αtan 2α+tan α-2=2×222+2-2=1. 12.已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值.解:(1)∵α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴-π2<α-β<π2. 又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010. (2)由(1)可得,cos(α-β)=31010. ∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45.∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×31010+35×⎝⎛⎭⎫-1010=91050.B 级1.(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2-θ=4cos(2π-θ),|θ|<π2,则tan 2θ=________.解析:∵tan ⎝⎛⎭⎫π2-θ=4cos(2π-θ),∴cos θsin θ=4cos θ,又∵|θ|<π2,∴sin θ=14, ∴0<θ<π2,cos θ=154,tan θ=sin θcos θ=115,从而tan 2θ=2tan θ1-tan 2θ=157.答案:1572.(2018·江西新建二中期中)已知A ,B 均为锐角,cos(A +B )=-2425,sin ⎝⎛⎭⎫B +π3=35,则cos ⎝⎛⎭⎫A -π3=________.解析:因为A ,B 均为锐角,cos(A +B )=-2425,sin ⎝⎛⎭⎫B +π3=35,所以π2<A +B <π,π2<B +π3<π, 所以sin(A +B )=1-cos 2(A +B )=725,cos ⎝⎛⎭⎫B +π3=- 1-sin 2⎝⎛⎭⎫B +π3=-45, 可得cos ⎝⎛⎭⎫A -π3=cos ⎣⎡⎦⎤(A +B )-⎝⎛⎭⎫B +π3=-2425×⎝⎛⎭⎫-45+725×35=117125.答案:117125 3.(2019·石家庄质检)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π12,x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫-π4的值; (2)若cos θ =45,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫2θ-π3的值. 解:(1)f ⎝⎛⎭⎫-π4=sin ⎝⎛⎭⎫-π4+π12=sin ⎝⎛⎭⎫-π6=-12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ-π3=sin ⎝⎛⎭⎫2θ-π3+π12=sin ⎝⎛⎭⎫2θ-π4=22(sin 2θ-cos 2θ). 因为cos θ=45,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以sin θ=35, 所以sin 2θ=2sin θcos θ=2425,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=725,所以f ⎝⎛⎭⎫2θ-π3=22(sin 2θ-cos 2θ)=22×⎝⎛⎭⎫2425-725=17250.。
高考数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题卷
高考数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题卷一、单选题(共13题;共26分)1.已知,则()A. B. C. D.2.已知,,,则()A. B. C. D.3.为了得到y=−2cos 2x的图象,只需把函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度4.已知是锐角,若,则()A. B. C. D.5.在中,则cosC的值为()A. B. - C. D. -6.函数的零点是和,则()A. B. C. D.7.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为()A. B. C. D.8.中,角,,所对的边分别为,,,若,且的面积为,则()A. B. C. , D. ,9.已知, 则的值为()A. B. C. D.10.若,则=()A. B. 1 C. D.11.在三角形中,已知,,则()A. B. C. D.12.已知函数,且,则的值是()A. B. C. D.13.已知,,则A. B. C. D.二、填空题(共5题;共5分)14.已知且,则________15.的值等于________.16.若tan(α﹣)= .则tanα=________.17.sin10°cos20°+cos10°sin20°=________。
18.已知,且,则________,________.三、解答题(共5题;共45分)19.如图,在平面直角坐标系中,点、都在单位圆上,,且.(1)若,求的值;(2)若,求的取值范围.20.已知函数的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若,求的值.21.已知α,β∈(0,π),tanα=-,tan(α+β)=1.(1)求tanβ及cosβ的值;(2)求的值.22.已知求的值.23.如图四边形中,分别为的内角的对边,且满足.(1)证明:;(2)若,设, 求四边形面积的最大值.答案一、单选题1. D2. A3. D4.D5. B6. B7. A8. A9. C 10. C 11. D 12. C 13. D二、填空题14. 15. 16.17. 18. 7;三、解答题19. (1)解:由三角函数的定义有,因为,,所以,,所以(2)解:由题知,,,,,,.所以的取值范围是.20.(1)解:由题意可得函数的最小正周期为,再根据图象关于直线对称,可得结合,可得(2)解:再根据21. (1)解:∵∴,∴(2)解:∴22. 解:,23. (1)证明:由,,,,正弦定理得(2)解:,,为等边三角形,时,取最大值.。
高三数学:两角和与差的正弦余弦和正切公式测试题-最新学习文档
高三数学:两角和与差的正弦余弦和正切公式测
试题
一、选择题
1.已知,,则等于( ).
A. B. C.?,高中物理; D.
考查目的:考查两角和的正切公式的灵活应用.
答案:C.
解析:由得.
2.的值为( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查两角和、差的正(余)弦和正切公式的灵活应用.
答案:B.
解析:原式.
3.函数的最小值是( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查二倍角的正、余弦公式和两角和的正弦公式,以及三角函数的有界性.
答案:B.
解析:∵,∴的最小值为.
二、填空题
4.若,,则 .
考查目的:考查两角和、差的正切公式及角的基本变换方法. 答案:.
解析:.
5.已知均为锐角,且,则 .
考查目的:考查正、余弦函数齐次式的化归、两角和正切公式的灵活应用.
答案:1.
解析:∵,∴,
6.已知,则 .
考查目的:考查二倍角正切和两角差的正切公式的综合应用.
答案:.
解析:∵,∴.
三、解答题
7.若是锐角,且,求的值.
考查目的:考查两角和的正切公式的灵活应用.
答案:2.
解析:∵,∴,
8.已知,且,求的值.
考查目的:考查二倍角的余弦、正切公式的灵活应用,以及三角恒等变形能力.
答案:.
解析:∵,解关于的方程得,或. ∵,∴,∴取,
∴原式.。
山东省冠县武训高级中学高考数学 4.6 正弦定理和余弦定理复习题库
山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库:4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1.在△ABC 中,C =60°,AB =3,BC =2,那么A 等于( ). A .135° B .105° C .45° D .75°解析 由正弦定理知BC sin A =AB sin C ,即2sin A =3sin 60°,所以sin A =22,又由题知,BC<AB ,∴A =45°. 答案 C2.已知a ,b ,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a +b -c )(a +b +c )=ab ,则角C 的大小为( ).A .60°B .90°C .120°D .150° 解析 由(a +b -c )(a +b +c )=ab ,得(a +b )2-c 2=ab , ∴c 2=a 2+b 2+ab =a 2+b 2-2ab cos C , ∴cos C =-12,∴C =120°.答案 C3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =λ,b =3λ(λ>0),A =45°,则满足此条件的三角形个数是( )A .0B .1C .2D .无数个 解析:直接根据正弦定理可得asin A =bsin B,可得sin B =b sin A a =3λsi n 45°λ=62>1,没有意义,故满足条件的三角形的个数为0. 答案:A4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A =b sin B ,则sin A cos A +cos 2B 等于( ).A .-12 B.12C .-1D .1解析 根据正弦定理,由a cos A =b sin B ,得sin A cos A =sin 2B ,∴sin A cos A +cos 2B =sin 2B +cos 2B =1. 答案 D5. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( )A.2 B. 2C. 12D. 12-解析 2122cos 2222222=+-≥-+=ba c c abc b a C ,故选C. 答案 C6.在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是( ).A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6,πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3,π解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2+c 2-bc ,而由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,于是可得b 2+c 2-2bc cos A ≤b 2+c 2-bc ,可得cos A ≥12,注意到在△ABC 中,0<A <π,故A∈⎝⎛⎦⎥⎤0,π3.答案 C7.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a +b )2-c 2=4,且C =60°,则ab 的值为( ).A.43 B .8-4 3 C .1 D.23解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a +b 2-c 2=4a 2+b 2-c 2=2ab cos 60°=ab,两式相减得ab =43,选A.答案 A 二、填空题8.如图,△ABC 中,AB =AC =2,BC =23,点D 在BC 边上,∠ADC =45°,则AD 的长度等于________.解析 在△ABC 中,∵AB =AC =2,BC =23,∴cos C =32,∴sin C =12;在△ADC 中,由正弦定理得,AD sin C =AC sin ∠ADC , ∴AD =2sin 45°×12= 2.答案29. 在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,且3a =2c sin A ,角C =________. 解析:根据正弦定理,a sin A =csin C,由3a =2c sin A ,得a sin A =c32,∴sin C =32,而角C 是锐角.∴角C =π3. 答案:π310.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A >B >C ,3b=20acosA ,则sinA ∶sinB ∶sinC 为______.答案 6∶5∶411.若AB =2,AC =2BC ,则S △ABC 的最大值________.解析 (数形结合法)因为AB =2(定长),可以令AB 所在的直线为x 轴,其中垂线为y 轴建立直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0),设C (x ,y ),由AC =2BC , 得x +2+y 2= 2x -2+y 2,化简得(x -3)2+y 2=8,即C 在以(3,0)为圆心,22为半径的圆上运动, 所以S △ABC =12·|AB |·|y C |=|y C |≤22,故答案为2 2.答案 2 212.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b a +a b =6cos C ,则tan C tan A +tan Ctan B的值是________.解析 法一 取a =b =1,则cos C =13,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =43,∴c =233,在如图所示的等腰三角形ABC 中,可得tan A =tan B =2,又sin C =223,tan C =22,∴tan C tan A +tanC tan B=4.法二 由b a +a b =6cos C ,得a 2+b 2ab =6·a 2+b 2-c 22ab,即a 2+b 2=32c 2,∴tan C tan A +tan C tan B =tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A +cos B sin B = sin 2C cos C sin A sin B =2c2a 2+b 2-c 2=4.答案 4 三、解答题13.叙述并证明余弦定理.解析 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a ,b ,c 为A ,B ,C 的对边,有a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 法一 如图(1),图(1)a 2=BC →·BC →=(AC →-AB →)·(AC →-AB →) =AC →2-2AC →·AB →+AB →2=AC →2-2|AC →|·|AB →|cos A +AB →2=b 2-2bc cos A +c 2,即a 2=b 2+c 2-2bc cos A . 同理可证b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ,B ,C 所对边分别为a ,b , c ,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,如图(2)则C (b cos A ,b sin A ),B (c,0), ∴a 2=|BC |2=(b cos A -c )2+(b sin A )2=b 2cos 2A -2bc cos A +c 2+b 2sin 2A =b 2+c 2-2bc cos A .同理可证b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .14.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,B =2π3,b =13,a +c =4,求a . 解析:由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+c 2-2ac cos 2π3=a 2+c 2+ac =(a +c )2-ac . 又∵a +c =4,b =13,∴ac =3.联立⎩⎪⎨⎪⎧a +c =4,ac =3,解得a =1或a =3.15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(1)求角B 的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA ,求a ,c 的值.16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A -2cos C cos B =2c -ab .(1)求sin Csin A的值;(2)若cos B =14,△ABC 的周长为5,求b 的长.解析 (1)由正弦定理,设a sin A =b sin B =csin C =k ,则2c -a b =2k sin C -k sin A k sin B =2sin C -sin A sin B ,所以cos A -2cos C cos B =2sin C -sin A sin B.即(cos A -2cos C )sin B =(2sin C -sin A )cos B , 化简可得sin(A +B )=2sin(B +C ). 又A +B +C =π,所以sin C =2sin A ,因此sin Csin A=2. (2)由sin C sin A =2得c =2a .由余弦定理及cos B =14得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+4a 2-4a 2×14=4a 2.所以b =2a .又a +b +c =5.从而a =1,因此b =2.。
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山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库:4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于( )A.12解析 原式=1sin (43-13)=sin 30=2,故选A. 答案 A2.已知锐角α满足cos 2α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α,则sin 2α等于( ) A.12 B .-12 C.22 D .-22解析:由cos 2α=cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4-α得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=22(cos α+sin α) 由α为锐角知cos α+sin α≠0. ∴cos α-sin α=22,平方得1-sin 2α=12. ∴sin 2α=12.答案:A3.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos x =45,则tan 2x 等于( ).A.724 B .-724 C.247 D .-247 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos x =45.∴sin x =-35,∴tan x =-34.∴ta n 2x =2tan x 1-tan 2x =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-341-⎝ ⎛⎭⎪⎫-342=-247. 答案 D4.已知α,β都是锐角,若sin α=55,sin β=1010,则α+β= ( ). A.π4B.3π4C.π4和3π4D .-π4和-3π4解析 由α,β都为锐角,所以cos α=1-sin 2α=255,cos β=1-sin 2β=31010.所以cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=22,所以α+β=π4. 答案 A5.若0<α<π2,-π2<β<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=13,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=33,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+β2=( ). A.33B .-33C.539D .-69解析 对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+β2=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2= cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2,而π4+α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,π4-β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=223,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=63,则co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+β2=13×33+223×63=539.答案 C6.已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-35,则tan2α的值为( )A.45 B .-237 C .-247 D .-83解析 由sin (π+α)=-35,得sin α=35,又α是第二象限角,故cos α=-1-sin 2α=-45,∴tan α=-34,tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-341-⎝ ⎛⎭⎪⎫-342=-247. 答案 C7.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6的值是( ). A .-235 B.236 C .-45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+sin α=435⇒32sin α+32cos α=435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=45, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+7π6=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=-45. 答案 C 二、填空题8.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos α=________.解析:∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=223. 故cos α=cos [⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-π4]=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos π4+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4sin π4=13×22+223×22=4+26. 答案:4+269.化简[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·2sin 280°的结果是________.解析 原式=2sin 50°+sin 10°·cos 10°+3sin 10°cos 10°·2sin 80°=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2sin 50°+2sin 10°·12cos 10°+32sin 10°cos 10°·2cos 10° =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°+2sin 10°·cos 60°-10°cos 10°·2cos 10°=22(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)=22sin 60°= 6.答案 610.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=3,则sin 2θ-2cos 2θ的值为________.解析 法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=3,∴1+tan θ1-tan θ=3, 解得tan θ=12.∵sin 2θ-2cos 2θ=sin 2θ-cos 2θ-1 =2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ-cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ-1 =2tan θ1+tan 2 θ-1-tan 2 θ1+tan 2θ-1 =45-35-1=-45. 法二 sin 2θ-2cos 2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2 θ-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2θ-1=-1-tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ1+tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ-2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ1+tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ-1 =-1-91+9-2×31+9-1=-45.答案 -4511.函数f (x )=2cos 2x +sin 2x 的最小值是________.解析 ∵f (x )=2cos 2x +sin 2x =1+cos 2x +sin 2x =1+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,∴f (x )min =1-2. 答案 1- 212.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tan αtan β=________.解析 由已知,得cos αcos β-sin αsin β=15,cos αcos β+sin αsin β=35,则有cos αcos β=25,sin αsin β=15,sin αsin βcos αcos β=12,即tan αtan β=12.答案 12三、解答题13.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =513,且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,求1-tan x 1+tan x .解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,∴π4+x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =-1213, ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =-512, ∴1-tan x 1+tan x =1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=-125. 14.设函数f (x )=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2,x ∈R.(1)若ω=12,求f (x )的最大值及相应的x 的集合;(2)若x =π8是f (x )的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f (x )的最小正周期.解析 (1)f(x)=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2=sin ωx -cos ωx , 当ω=12时,f(x)=sin x 2-cos x 2=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π4, 而-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π4≤1,所以f(x)的最大值为2, 此时,x 2-π4=π2+2k π,k ∈Z ,即x =3π2+4k π,k ∈Z ,相应的x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x =3π2+4k π,k ∈Z .(2)因为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π4, 所以,x =π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8-π4=0,即ωπ8-π4=k π,k ∈Z ,整理,得ω=8k +2,又0<ω<10,所以0<8k +2<10,-14<k <1,而k ∈Z ,所以k =0,ω=2,f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4,f (x )的最小正周期为π. 15.在△ABC 中,A 、B 、C 为三个内角,f (B )=4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+B 2+3cos 2B -2cos B .(1)若f (B )=2,求角B ;(2)若f (B )-m >2恒成立,求实数m 的取值范围.解析 (1)f (B )=4cos B ×1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+B 2+3cos 2B -2cos B=2cos B (1+sin B )+3cos 2B -2cos B =2cos B sin B +3cos 2B=sin 2B +3cos 2B =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3. ∵f (B )=2,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3=2,π3<2B +π3<73π,∴2B +π3=π2.∴B =π12.(2)f (B )-m >2恒成立,即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3>2+m 恒成立.∵0<B <π,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B +π3∈[-2,2],∴2+m <-2.∴m <-4.16. (1)①证明两角和的余弦公式C (α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由C (α+β)推导两角和的正弦公式S (α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(2)已知cos α=-45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,32π,tan β=-13,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求cos(α+β).解析 (1)证明 ①如图,在直角坐标系xOy 内作单位圆O ,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点P 1,终边交⊙O 于点P 2;角β的始边为OP 2,终边交⊙O 于点P 3,角-β的始边为OP 1,终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0),P 2(cos α,sin α),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)).由P 1P 3=P 2P 4及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2,展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β). ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.②由①易得,cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos α.sin(α+β)=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-α+β=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α+-β=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos(-β)-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin(-β)=sin αcos β+cos αsin β.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,32π,cos α=-45,∴sin α=-35. ∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π,tan β=-13, ∴cos β=-31010,sin β=1010.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=⎝ ⎛⎭⎪⎫-45×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010-⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×1010=31010.。