二元一次不等式组与平面区域2

B (-1,-1)
1
（2，-1） A
例1 已知x,y满足现行约束条件 x-2y 7 0 4 x 3 y 12 0 x 2 y 3 0 求（1）u=4x-3y的最大值与最小值。
2 （2）z=(x+3)2 +(y+1)的最大值和最小值。 y 1 来自百度文库3）t = 的最值。 x3
把有关数据列表表示如下:
甲产品 (1件) 乙产品 (1件) 0 4 2 资源限额
资源
A种配件 B种配件 所需时间 4 0 1 ≤16 ≤12
≤8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件.
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8, 4 x 16, 4 y 12, x 0, y 0.
典例精析
题型一：画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
y
x+4y>4
（1）x +4y>4 变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
x+4y=4
o
x
x+4y<4
y
o
x-y-4>0 x-y-4=0
x
题型二：画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 y
2A
B
2
y=2
o
x
x=2
题型四：综合应用 x-y+5≥0
变式： 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2
所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
变式训练 题型四：综合应用 x-y+5≥0
y
7 5D
x-y+5=0
变式： 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2
C
y=a y=7
y=5 y=a
所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
y
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
x4
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8, 4 x 16, 4 y 12, x 0, y 0.
y
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题.
满足线性约束条 件的解 ( x , y ) 叫做 可行解.
y
4
由所有可行解组 成的集合叫做可行域.
y3
2x 3 y 0
2 M
使目标函数取得 最大值或最小值的可 行解叫做线性规划问 题的最优解.
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
O
1
x
2
3
18x+15y=66
4
第二课时
简单的线性规划问题
学点一 简单的线性规划中的基本概念 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
探索规律
右上方的平面区域； （1,1) （0,0) 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} （2,0) 表示直线x +y－1=0 (-1,o) 代入点的坐标 左下方的平面区域。 （2,1) (-1,1） 3、直线x+y-1=0叫做这两个区域 (-2,1) （2,2) 的边界。 正 x+y-1值的正负
题型四：综合应用 x-y+5≥0
例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2
y
5
C x-y+5=0
D
所表示的平面区域的面积
解析： 如图，平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= 3 5 2 8 2 -5
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,
18,27块,用数学关系和图形表示上述要求
规格类型
钢板类型
A规格 (15)
B规格 (18)
C规格 (27)
张数
第一种钢板
2 1
1 2
1 3
x
y
第二种钢板
成品块数
2x+y x+2y x+3y
解:设截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则
x4
x 2 y 8, 4 x 16, 在线性约束条件 4 y 12, 下， x 0, y 0.
求（1）目标函数 z x 2 y 的最大值； （2）目标函数 z x y 的最大值和最小值.
y
4
x y 0
B
x 2y 0
答案:5≤a<7
-5
o
2 x=2
x
y=a
课堂小结
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤 二元一次不等式组表示的平面区域的画法 根据平面区域写出二元一次不等式（组） 综合应用
谢谢
例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可 同时截得三重规格的大小钢板的块数如下表所示:
规格类型
钢板类型
z 2x 3 y
不等组（1）是一组对变量 x、 y 的约束条件，这组约束条 件都是关于 x、 y 的一次不等式， 所以又称为线性约束条件.
函数 z 2 x 3 y 称为目标函 数,又因这里的 z 2 x 3 y 是 关于变量 x、 y 的一次解析式, 所以又称为线性目标函数.
y 1 O 2
B y
O y 1
1
χ
y 1
O 2
(A)
2
χ
(B)
χ
O
2
χ
(C)
(D)
题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组） 例3、写出表示下面区域 的二元一次不等式组
y
(0,1)
x
(-4,-1) (2,-1)
典例精析 题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）
例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析：边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点（0，0) 绿色区域 x-2y+2＞0 得0+0-1＜0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域
2 x y 15 x 2 y 18 x 3 y 27 x 0 y 0
y
18 16 14 12 10 M 8 6 4 2 0 -2 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x
2x+y=15
x+2y=18
直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于 0吗?先完成下表，再观察有何规律呢？ 1、点集{(x,y)|x+y-1>0} 表示直线x +y－1=0 y 区域内的点 右上方点 左下方点
1
0
1
x
x+y-1=0
负
同侧同号，异侧异号
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：
x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3
分析： 画二元一次不等式组表 由于所求平面区域的点的坐
示的平面区域的步骤： 标需同时满足两个不等式， 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集，即公共部分。
-5
x-y+5=0
5
o
x
4
x+y=0
x=3
跟踪练习
如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞0 的点(x,y)所在区域应为：( )
1
0
C
x
1
（2，-1） A
变式演练
x-y≥0 设x,y满足约束条件：x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=-x-y最大值与最小值 。
y x+y=1 1 0
C
①作可行域（如图） 解：
y=-x
x-y=0 x
②由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动 直线y=-x，若直线截距-z取得最大值， 则z取得最小值；截距-z取得最小值， 则z取得最大值. y=-1 ③因此z在B（-1，-1）处截距-z取 得最小值，z取得最大值即Zmax=2； 在边界AC处取得截距-z最大值， z取得最小值即Zmin=-2-（-1）=-1。
例4.一个化肥厂生产甲乙两种混合化肥,生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝 酸盐18t;生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷 酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸 盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料.列出 满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平 面区域.
盐类 肥料
磷酸盐 (10t)
N
M
y3
2
o
2
4A
6
8
x
x 2y 8 0
x4
举一反三
x-y≥0 设x,y满足约束条件：x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。
y y=2x x+y=1 x-y=0
①作可行域（如图） 解：
②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x，若直线截距-z取得最大值， 则z取得最小值；截距-z取得最小值， y=-1 则z取得最大值. B (-1,-1) ③因此z在A（2，-1）处取得最大值， 即Zmax=2×2+1=5； 在B（-1，-1）处取得最小值， 即Zmin=2×（-1）-（-1）=-1。 ④综上,z最大值为5；z最小值为-1.
方法总结：
1、一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界（注意边界的虚实） 平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界， 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得 2、 2、点定域（代入特殊点验证） 实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个 特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
1 -2
o
-1
1
x
x+y-1≤0 x-2y+2＞0 y≥-1
方法总结
根据平面区域写出二元一次 不等式（组）的步骤：
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式（组）
题型四：综合应用
例4、 试确定m的范围，使点（1，2）和（1，1） 在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？
解析： 由于在异侧，则（1，2）和（1，1） 解析： 由于在同侧，则（1，2）和（1，1）
代入3x-y+m 所得数值异号， 代入3x-y+m 所得数值同号， 则有（3-2+m）（3-1+m）<0 则有（3-2+m）（3-1+m）＞0
所以（m+1）(m+2) <0 所以（m+1）(m+2)＞0
即：-2<m<-1 即：m <-2或m＞-1
人教A版必修5 §3.3.1
二元一次不等式（组） 与平面区域
高二数学组
想 问题 一 在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢？ y？ 答：分成三部分:
（1）点在直线上
1
0
1
x （2）点在直线的右上方 x+y-1=0 （3）点在直线的左下方
?不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？
硝酸盐 (66t)
车皮数
甲种肥料
4t 1t
18t 15t
x y
乙种肥料
总吨数
4x+y 18x+15y
解:设x,y分别为计划生产甲乙两种肥料 的车皮数,满足以下条件:
4 x y 10 18 x 15 y 66 x0 y0
y 15
10
4x+y=10
5
-1
4x-3y-12=0
X-2y+7=0
x+2y-3=0
P(-3,-1)
X-2y+7=0
4x-3y-12=0
P(-3,-1)
x+2y-3=0
tmax kPA
X-2y+7=0
Q(x,y)
t
y 1 x3
4x-3y-12=0
tmin kPB
P(-3,-1)
x+2y-3=0
x4
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得 的利润为 z ，则 z 2 x 3 y.
y
2x 3 y 0
4 B 2 N M
y3
o
2
4A
6
8
x
x 2y 8 0
x4
x 2 y 8, 4 x 16, 4 y 12, x 0, y 0.