【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程课件 理

【变式训练】
(2015· 福州八中质检)对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区 间(a,b)内 ( ) A.一定有零点 B.一定没有零点 C.可能有两个零点 D.至多有一个零点 C 【解析】由于函数f(x)=x2+mx+n,图象开口向上,当Δ=m2-4n>0时,图象与x 轴有两个交点,结合题干条件知选项C正确.
1.函数的零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
注意:零点不是点!从“数”的角度理解为使方程 f(x)=0 的实数解;从“形”的角度理解为函数 f(x)的图象与 x 轴的 交点的横坐标.
2.函数零点与方程根的关系
方程f(x)=0有实数根 ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数y=f(x)有零点.
【解题思路】作两个函数的图象观察其交点,或从导数的角度入手考查单调性,求出区间端点值比较.解法 1: 令 f(x)=0 得
1 ������ 3
= ln ������. 作出函数������ = 3 ������和������ = ln ������的图象, 如图, 显然������ =
1 ,1 e
2×
π 6
= 3 . 因为函数������(������ ) = 2sin 2������ − 1(������ ∈ ������)在区间 0, 2 上有两个零点������1, ������ 2(������ 1≠ ������ 2), 所以������ = 2sin 2������ + 6 的图象与直线������ = 1 − ������在区间 0, 2 上有两个交点, 由������ ∈ 0, 2 , 可得 2������ +
2. (2015· 北京朝阳区模拟) 已知函数 f(x)=
log 2 ������
1 ������ 2
+
3 4
(������ ≥ 2), .
(0 < ������ < 2).
若函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是
3 ,1 4
【解析】画出函数������(������ )的图象如图. 要使函数������(������) =
内单调递减. 又������
1 e
= 3 e + 1 > 0, ������(1) = 3 > 0, ������(e) = 3e-1<0,所以函数有唯一的
1
函数零点所在区间的确定方法 (1)当对应的方程 f(x)=0 的解容易求出时,则通过求出方程的解,观察解所在区间即得零点所在的区间. (2)当方程的解不易求解时可按下列步骤进行:一看函数在区间[a,b]上的图象是否连续,二看是否有 f(a)· f(b)<0,若有,则函数 y=f(x)的零点在区间(a,b)内. (3)通过作出函数的图象,观察图象与 x 轴在所给的区间是否有交点来判断.
π 6 π π π
∈
π 7π , 6 6 π 3
, 则 2sin 2������ + 6 ∈ [1,2], 所以 1 ≤ 1 − ������ < 2 ⇒ −1 < ������ ≤ 0, 故 0 ≤ −������ <
π 3
π
1, 因此 ≤ ������1+������2−������ < +1. 【参考答案】 B
3.函数零点的判断
(1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(a b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
【变式训练】
1.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( ) A.0<g(a)<f(b) B.f(b)<g(a)<0 C.f(b)<0<g(a) D.g(a)<0<f(b) D 【解析】由于函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=e1>0,f(a)=0,由零点的存在性定理知,a∈(0,1),同理可知,b∈(1,2).由于函数 f(x)和g(x)都在定义域上单调递增,则g(a)<g(1)=-2<0,f(b)>f(1)=e-1>0,于是 有g(a)<0<f(b).
考点 1 函数零点的个数问题
典例 1 ������ 3 (2015· 湖南高考) 已知函数 f(x)= 2 ������ (������ ≤ ������), (������ > ������).
若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点, 则a的取值范围是
.
【解题思路】函数y=x2和y=x3的交点为(0,0),(1,1),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则f(x)-b=0有两个根,即直线y=b与 y=f(x)有两个交点.作出y=x2与y=x3的图象,如图(1),观察图象,可知当a<0时,存在实数b,使f(x)-b=0有两个根,如图(2); 当a>1时,存在实数b使f(x)-b=0有两个根,如图(3);当0≤a≤1时,f(x)-b=0只有一个根或无根,如图(4).综上,当a<0或 a>1时,g(x)=f(x)-b有两个零点.
4.二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数f(x),通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法.
5.用二分法求函数f(x)零点近似值的步聚
(1)确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0 ,给定精确度ε;
第八节 函数与方程
考纲概述
考查热点 零点个数
考查 频次
备考指导
(1)结合二次函数的图象,了解函数的 及所在的 ★ 零点与方程根的联系,判断一元二次 区域 方程根的存在性及根的个数; 法求相应方程的近似解. 零点性质 (2)根据具体函数的图象,能够用二分 的应用 二分法 ★ 函数的零点、 方程的根的问题,既会在选择题、 填空题中,还会在解答题中出 现,多以求零点的个数、 参数的取值与范围问题的考查为主,体现了对函数与 方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想的考查.
6.常用的数学方法与思想
函数零点个数的判断方法,函数与方程、转化与化归、数形结合思想.
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (1)× (2)若函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)· f(b)<0.( (2)× (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,且f(a)· f(b)<0,则在区间(a,b)内有且仅有一个零点.( (3)√
考点 2 确定函数零点所在的区间
典例 2
(2015· 豫南十校联考) 设函数 f(x)= x-ln x,则函数 y=f(x)
1 ,1 e 1 ,1 e 1 ,1 e 1 ,1 e
1 3
A.在区间 B.在区间 C.在区间 D.在区间
,(1,e)内均有零点 ,(1,e)内均无零点 内有零点,在区间(1,e)内无零点 内无零点,在区间(1,e)内有零点
) )
2.(2015· 安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1 2.A 【解析】y=cos x是偶函数且有无数多个零点,y=sin x为奇函数,y=ln x既不是奇函数也 不是偶函数,y=x2+1是偶函数,但没有零点. 3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为( ) A.2 B.3 C.1 D.4 3.A 【解析】构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象,可知有两个交点,故 方程2-x+x2=3的实数解的个数为2. 4.若函数f(x)=2x+m存在零点,则m的取值范围是 . 4.(-∞,0) 【解析】由于y=2x在x轴上方,当x越小时,图象越接近y轴,所以m∈(-∞,0)时图象与x 轴有且仅有一个交点,故m的取值范围是(-∞,0).
1.利用函数的零点求参数的取值范围 已知函数有零点(或方程有根、图象有交点)求参数值或范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察交点个数进行求解. 2.利用函数的零点研究函数的有关性质 利用函数零点的区间来构建不等关系进而研究其性质,如方程的解、单调性、周期性等.
(2)求区间(a,b)的中点c;
(3)计算 f(c) ;
①若 f(c)=0 ,则c就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0 ,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0 ,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:即若 |a-b|<ε (2)~(4). ,则得到零点近似值a(或b);否则重复
【参考答案】 (-∞,0)∪(1,+∞)
函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接法:令 f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数 的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:画出两个函数图象,看其交点的个数有几个,就有几个不同的零点.