淮海工学院2014高等数学竞赛AB组试卷参考答案及评分标准

第１页 共4页2014年淮海工学院高等数学竞赛AB 组试卷参考答案及评分标准一、选择题1、()1lim 1xx x →-∞-=------------------------------------------------------------------------------（C ）（A ）0 （B ）1e （C ）1 （D ）e2、n =--------------------------------------------------------------------------------------（C ）（A ）0 （B ）1e （C ）1 （D ）e 3、当n →∞，22ln ln ,ln ,ln 2,2n nn n 趋于无穷大速度最慢与最快的分别是---- (D)(A) 2ln ln ,2nn (B) 2ln ln ,2nn (C) 2ln ,ln 2nn (D) 2ln ,ln 2nn注：ln ln 22nn =.4、下列曲线中无渐近线的是-----------------------------------------------------------------（A ） （A ）sin y x x =+（B ）1sin y x x -=+（C ）1sin y x x -=+（D ）1sin y x x -=+ 注：（B ）、（C ）有铅直渐近线；（D ）有斜渐近线. 5、右下图为()f x 的导函数()f x '在[1,3]-上的图像，则()y f x =的图像--------（B ） （A ）在(1,1)-单增，且为凹的，在(1,3)（B ）在(1,0),(2,3)-单减，在(0,2)单增，在(1,1)-为凹的，在(1,3)为凸的（C ）在(1,1)-单增，且为凸的，在(1,3)（D ） 在(1,0),(2,3)-单减，在(0,2)单增，在(1,1)-为凸的，在(1,3)为凹的6、设34arcsin[sec()],z x x y =则xx f =（A ）-（B ）2- （C ）2 （D ）7、设()f x 为周期为2的可导奇函数，且'()12,[0,1]f x x x =-∈，则(54)f =（B ） （A ）516- （B ）316- （C ）316 （D ）5168、设连续曲线)(x f y =与,x a x b ==及x 轴围成三块面积321,,S S S ，其中31,S S在x 轴下方，2S 在x 轴上方，若132S S a S b ++=-，则()b af x dx =⎰---------------(D)(A) ()a b -+ (B) a b - (C) b a - (D) a b +注：利用定积分的几何意义.二、填充题1、当0→x 时，5ln(1)()n x o x +=，而=1)n x o ，则正整数n =4.2、()f x x =的水平渐近线为23y =． 注：令1x t =求极限．3、设)(x f 导数连续,且[()2()]12x x f x f x '-=-，则(0)2(0)f f '-=ln 2-. 注：0lim[()2()](0)2(0)x f x f x f f →''-=-．4、设()f x =(1)(0)n f += [1(1)]!2n n +-. 注：(1)(1)(1)()()1111()[ln (1)ln (1)][()()]2211n n n n n fx x x x x +++=+--=-+-． 5、4434tan (tan 1)x x dx ππ-+=⎰423π-.（对称奇偶性） 6、设(,)z f x y =在点(0,0)的某邻域内可微，且(,)123(),f x y x y o ρ=+++而ρ=则(,)1f x y =在(0,0)处的切线方程为230x y +=．注：利用可微定义及公式法求切线斜率. 7、设1(),(1)xf x t t dt x -=≥-⎰，则曲线()f x 与x 轴所围封闭图形的面积S =12.注：当10x -≤<，21()xf x t dt -=-⎰；当0x ≥，0221()xf x t dt t dt -=-+⎰⎰. 8、设曲线段L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤，则其弧长为s = 214e +.注：曲线弧微分11()2ds x dx x===+． 9、函数(),21f x y x y =-+满足方程225x y +=的条件极大值为6． 注：构造()22,21(5)L x y x y x y λ=-+++-．10、原点到曲面22()1x y z --= 注：构造()22222,(()1)L x y x y z x y z λ=+++---．x第２页 共4页三、计算题（本大题8分）设当0x →时， 2(1)x e ax bx -++与231x -互为等价无穷小，求(,)a b =(12,1). 解：当0x →时，222(1)31ln3x x e ax bx x -++--------------------------------------2则2'00(1)0limlim(2)1x L Hx x x e ax bx e ax b b x→→-++==--=-，有1b =-------------------2 而2''2000(1)212121lim lim lim ln 32ln 32ln 32ln 3x x x L H L H x x x e ax x e ax e a ax x →→→-++----====-------------3有12ln 3a =-，故(,)a b =(12l n 3,1)-.---------------------------------------------------1 四、计算题（本大题8分）10lim x x +→ 解：原式ln(1)12000ln(1)lim lim lim x x x x x x xe e e x ++++-→→→+-===----------4 1'00(1)1lim lim 222L H x x x x e e e x x ++-→→+--===-.-------------------------------------------4五、计算题（本大题8分）若324[ln(12)1]cos()x z z e x y xz e +-++-=确定了(,)z z x y =求（1）(0,0)dz ；（2）0(2,0)(0,3)lim x z x z x x →--. 解：（1）显然，当0,0x y ==时，1z =，对方程两端求微，有32242{[1ln(12)](3)}cos()cos()12x z z dx e x dx dz yd xz xz dy e dz x+-++++--=-+--2将0,0x y ==，1z =代入上式，易得31(0,0)(3)4dz dx e dy -=--；--------------------2（2）由（1）知，3(0,0)34,(0,0)x y z z e -=-=故0(2,0)(0,3)lim x z x z x x →--2030(2,0)(0,0)(0,3)(0,0)2lim lim 23x x z x z z x z x x→-→---=+---2 32(0,0)3(0,0)3(21)2x y z z e -=+=-.----------------------------------------------------2六、问答题（本大题8分）设数列{}n a 满足211,,01,222nn a c c a a c +==+<< 请问数列{}n a 收敛吗？若收敛，求lim n n a →∞.答：因01c <<，则012<+，即112c a =<=-若1n a <221(112222n n a c c a +=+<+=------------------1由数学归纳法知，11,2,n a n <=，即{}n a 上有界---------------------------1又21202n n n n a a c a a +-+-==>----------------2则{}n a 单增，由单调有界定理知，{}n a 收敛，令lim n n a a →∞=-------------------------------1 对2122n n a c a +=+两端取极限，有222c a a =+，得l i m 1n n a a →∞==. -------3六、证明题（本大题10分） 设(,)u v Φ可微，且(,)0ax cz by cz Φ--=确定了隐函数(,)z z x y =，其中0abc ≠（1）证明：曲面(,)z z x y =在任一点处的法线垂直于某常向量；（2）若(,)u v Φ二阶偏导数连续，证明：22xx yy b z a z =.证明：（1）()()()()0u v u v d ax cz d by cz adx cdz bdy cdz Φ-+Φ-=Φ-+Φ-=-----1则u v u v u v a b dz dx dy c c ΦΦ=+Φ+ΦΦ+Φ，有,u vx y u v u va b z z c c ΦΦ==Φ+ΦΦ+Φ-------2于是，1111(,,1)(,,)0y x x y z z z z a b c a b c-⋅=+-=，即111(,,1)(,,)x yz z a b c -⊥---------2 因(,)z z x y =在任一点处的法向量为(,,1)x y z z -，故其垂直于常向量111(,,)a b c----1（2）由题意知，,x y z z 都可微，则1()0y x z z d a b c+-=--------------------------------------1 有110xy yx yy xx x y z z z z dz dz dx dy dx dy a b a a b b+=+++=----------------------------------1 ()()0yx xy yy xx z z z z dx dy a b a b +++=，即0,0y x x y y y xx z z z z a b a b +=+=---------------------1 又(,)z z x y =二阶偏导数连续，则yx xy z z = ，对上述两式消去xy z ，（2）得证.-------2第３页 共4页七 、计算题（本大题10分）设(,)u v Φ可微，若(,)0y x x y Φ=确定了隐函数()y y x =，且(1)6y =， 求''()y x ，并由此求出()y y x =的解析表达式.解： 22()()()()0u v u v d y x d x y x xdy ydx y ydx xdy --Φ+Φ=-Φ+-Φ=---------2 则'()y x dy dx y x ==，此时，(,)(0,0)x y ≠--------------------------------------------2 于是，2''()()'(')0y x y x x xy y -==-=------------------------------------------------------2 当(,)(0,0)x y ≠时，'()y x y x k ==----------------------------------------------------------2 又(1)6y =，则6y x =，即()y y x =的解析表达式为6,0y x x =≠.----------------2八、计算题（本大题10分）设22()ln(1)xf x t dt -=+⎰，（1）求)1(-f ；（2）求)1('-f ；（3）求320()lim ln (1)x f x x →+.解：（1）22212112(1)ln(1)[ln(1)]1tf t dt t t dt t ----=+=+-+⎰⎰ -------------------------2 001211ln 22(1)ln 22(arctan )1dt t t t --=--=--+⎰ 222ln π+-= ；----------2 （2）因4()2l n (1)f x x x '=+， 则'(1)2ln 2f -=-；----------------------------------2 （3）原式326ln (1)60()lim x x x f x x +→=L'H 50'()lim 6x f x x →=4454002ln(1)1lim lim 633x x x x x x x →→+==．----4九、计算验证题（本大题10分）设)(x f 在13[0,]e -上单调且可导，(0)0f =，其反函数为)(x g ，若()20()ln f x x g tx dt x x =⎰，（1）求()f x ；（2）请验证题设条件：)(x f 在13[0,]e -上单调且可导的合理性．解：（1）0x >时，()()10()()xt uf x x f xg tx dt x g u du =-=⎰⎰，则()30()ln f x g u du x x =⎰----3其两端对x 求导得22()3ln ,xf x x x x '=+即()(3ln 1),f x x x '=+------------------1 则2()(3ln 1)(6ln 1)4x f x x xdx x C =+=-+⎰，由0lim ()(0)0x C f x f +→===，--2 则2(6ln 1)4,0()0,0x x x f x x ⎧->=⎨=⎩----------------------------------------------------------1（2）13(0,]x e -∈时，()(3ln 1)0f x x x '=+≤，则)(x f 单调且可导-----------------1又00()(0)'(0)limlim (6ln 1)04x x f x f xf x x+++→→-==-=，故题设条件合理．------------2 十、证明计算题（本大题10分）若()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()()2a bf x f x ++=， 证明：()2()2()2()2()()()2b b a b a a b a b a a b xf x dx xf x dx f x dx ------+=+⎰⎰⎰， 并由上式计算2440(sin cos )x x x dx π+⎰。