5第五章 方差分析—正交试验设计

上述选择， 保证了A因素的每个水平与 因素、 因素的每个水平与B因素 上述选择 ， 保证了 因素的每个水平与 因素 、 C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、 、 因素的各个水平在试验中各搭配一次 。对于 、B、 C 3个因素来说 ， 是在 个全面试验点中选择 个 个因素来说， 个全面试验点中选择9个 个因素来说 是在27个全面试验点中选择 试验点，仅是全面试验的 三分之一。 试验点， 三分之一。 从图10-1中可以看到， 9个试验点在选优区中分布 中可以看到， 个试验点在选优区中分布 从图 中可以看到 是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试 是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是 个试 验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的 个试验点均衡地分布于整个立方体内， 个试验点均衡地分布于整个立方体内 代表性， 代表性 ， 能够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
如果实验之前,不对实验进行合理的设计, 如果实验之前,不对实验进行合理的设计,不仅会 造成浪费,而且即使实验次数进行得较多, 造成浪费,而且即使实验次数进行得较多,结果却不一 定会令人满意,因此合理地安排一定数量的实验, 定会令人满意,因此合理地安排一定数量的实验,就可 获得足够的信息,这是个值得研究的问题. 获得足够的信息,这是个值得研究的问题. 实验设计是数理统计的一个重要的分支.实验设计 实验设计是数理统计的一个重要的分支 实验设计 的种类很多,其中正交实验设计是通过事先设计好的一 的种类很多 其中正交实验设计是通过事先设计好的一 套”正交表”来安排实验的. 正交表”来安排实验的 借助正交表可以选出具有代表性的实验,以较少 借助正交表可以选出具有代表性的实验 以较少 的实验次数所取得的数据进行统计分析,而能得到满 的实验次数所取得的数据进行统计分析 而能得到满 意的结果.——对较多因子进行较少次数的实验 希望 对较多因子进行较少次数的实验,希望 意的结果 对较多因子进行较少次数的实验 获得较好的检验效果. 获得较好的检验效果
正交试验设计的基本原理
每个因素在研究的范围内选几个水平， 在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内选几个水平， 就好比在选优区内打上网格 ，如果网上的每个点都做 试验，就是全面试验。 试验，就是全面试验。 如上例中， 个因素的选优区可以用一个立方体表示 如上例中，3个因素的选优区可以用一个立方体表示 （图10-1）， ）， 3个因素各取 3个水平，把立方体划分成 个格点，反 个因素各取 个水平 把立方体划分成27个格点 个水平， 个格点， 上就是立方体内的27个 映在 图10-1上就是立方体内的 个“.”。 上就是立方体内的 。 个网格点都试验， 若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如 个网格点都试验 就是全面试验， 所示。 表10-1所示。 所示
正交设计就是从选优区全面试验点（ 水平组合） 正交设计 就是从选优区全面试验点（水平组合 ） 中挑 就是从选优区全面试验点 选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。 选出有代表性的部分试验点 （ 水平组合 ） 来进行试验 。 中标有试验号的九个“ 图 10-1中标有试验号的九个 “ (·)”， 就是利用正交表 中标有试验号的九个 ， L9(34)从27个试验点中挑选出来的 个试验点。即 个试验点中挑选出来的9个试验点 从 个试验点中挑选出来的 个试验点。 (1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3 (2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1 (3)A3B1C3 (6)A3B2C1 (9)A3B3C2
正交试验设计的基本特点是： 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全 面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试 面试验，通过对部分试验结果的分析， 验的情况。 验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的， 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的， 它不可能像全面试验那样对各因素效应、 它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用 一一分析；当交互作用存在时， 一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作 用的混杂。 用的混杂。 虽然正交试验设计有上述不足， 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试 验找到最优水平组合 ，因 而 很 受实际工作者青 睐。
1. 不考虑交互作用的正交设计
试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2
（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都 出现，且对出现的次数相等(n/s 出现，且对出现的次数相等(n/s2) 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次； 各出现两次； 中 各出现两次 L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) (3, 1), (3, 2), (3, 3) 各出现 次。 各出现1次 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有 可能组合次数相等， 可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之 间的搭配是均匀的。 间的搭配是均匀的。
图9-1
3因素 水平的全面试验水平组合数为 33=27， 因素3水平的全面试验水平组合数为 因素 ， 4因素 水平的全面试验水平组合数为 34=81 ， 因素3水平的全面试验水平组合数为 因素 5因素 水平的全面试验水平组合数为 35=243， 因素3水平的全面试验水平组合数为 因素 ， 这在科学试验中是有可能做不到的。 这在科学试验中是有可能做不到的。
2 (B) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 (C) 1 2 3 2 3 1 3 1 2
组合水平
试验值
A1 B1C1 A1 B2 C 2 A1 B3C 3 A2 B1C 2
Y1 Y2 Y3 Y4
5 6 7 8 9
2 2 3 3 3
A2 B2 C 3 A2 B3C1
A3 B1C 3 A3 B2 C1 A3 B3C 2
计 算 K 值
计 算 k 值
优水平 优组合
因素主次顺序
结论
为了考察影响某种化工产品转化率的因素， 例1 为了考察影响某种化工产品转化率的因素，选 择三个有关因素： 择三个有关因素： 反应温度（ ）、反应时间（ ）、用碱量（ ） ）、反应时间 ）、用碱量 反应温度（A）、反应时间（B）、用碱量（C） 每个因素取三种水平，列表如下： 每个因素取三种水平，列表如下： 水平 因素 反应温度(A) 反应温度 反应时间(B) 反应时间 用碱量(C) 用碱量
L ——正交表 2——水平数
8——试验次数 7——表中最多可安排的因素数
L9 ( 3
试验号
4
)
列号 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3
正交表
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
常用的正交表已由数学工作者制定出来 常用的正交表已由 数学工作者制定出来， 供进行正 数学工作者 制定出来， 交设计时选用。 交设计时选用。 2水平正交表除 8(27)外，还有 4(23)、L16(215)等； 水平正交表除L 还有L 水平正交表除 、 等 3水平正交表有 9(34)、L27(213), …… 水平正交表有L 水平正交表有 、 正交表的性质（特点）: 正交表的性质（特点） （1）任一列中各水平都出现，出现的次数相等 ）任一列中各水平都出现，出现的次数相等(n/s) 例如: 例如 L8(27)中不同数字只有 和2，它们各出现 次； 中不同数字只有1和 ，它们各出现4次 中不同数字只有 L9(34)中不同数字有 、2和3，它们各出现 次. 中不同数字有1、 和 ，它们各出现3次 中不同数字有
正交试验设计的基本程序
对于多因素试验，正交试验设计是 对于多因素试验， 简单常用的一种试验设计方法，其设计 简单常用的一种试验设计方法， 基本程序如图所示。正交试验设计的基 基本程序如图所示。 本程序包括试验方案设计及 本程序包括试验方案设计及试验结果分 试验方案设计 两部分。 析两部分。
试验目的与要求
80°C ( A1 ) 90分( B1 ) 5%(C1 ) 85°C ( A2 ) 120分( B2 ) 6%(C2 ) 90°C ( A3 ) 150分( B3 ) 7%(C3 )
1
2
3
假设: 三个因素中的任意二个都没有交互作用。 假设: 三个因素中的任意二个都没有交互作用。 反应温度、 问：反应温度、反应时间和用碱量分别对转化率有无 显著影响？ 显著影响？ 对正交表的要求： 对正交表的要求： （1）正交表中水平数 与每个因素水平数一致 ）正交表中水平数S与每个因素水平数一致 （2）正交表中因子数 大于或等于实际因素数 ）正交表中因子数r大于或等于实际因素数 （3）选用试验次数 较少的正交表 ）选用试验次数n较少的正交表
3因素 水平全面试验方案 因素3水平全面试验方案 因素 C1 B1 A1 B2 B3 B1 A2 B2 B3 B1 A3 B2 B3 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2 C3 A1B1C3 A1B2C3 A1B3C3 A2B1C3 A2B2C3 A2B3C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3
正交试验设计
引例1 引例 如果有s 个因素，各因素分别有 r1 , r2 ,L , rs
种水平，共有 rr L r 种组合水平 r 12 在每一种组合水平上都作一次试验，总共要作 r1r2 L rr 次试验。 例如：有4个因素，每个因素有3种水平，总共要作 4 3 例如